Gali būti sunku tiesiogiai suskaičiuoti atvejus, palankius tam tikram įvykiui. Todėl norint nustatyti įvykio tikimybę, gali būti naudinga įsivaizduoti šį įvykį kaip kai kurių kitų, paprastesnių įvykių derinį. Tačiau šiuo atveju turite žinoti taisykles, reglamentuojančias tikimybes įvykių deriniuose. Būtent su šiomis taisyklėmis yra susijusios pastraipos pavadinime nurodytos teoremos.

Pirmasis iš jų yra susijęs su tikimybės, kad įvyks bent vienas iš kelių įvykių, apskaičiavimu.

Sudėjimo teorema.

Tegu A ir B yra du nesuderinami įvykiai. Tada tikimybė, kad įvyks bent vienas iš šių dviejų įvykių, yra lygi jų tikimybių sumai:

Įrodymas. Leisti būti visa poromis nesuderinamų įvykių grupė. Jei tada tarp šių elementarių įvykių yra būtent įvykių, palankių A ir būtent įvykių, palankių B. Kadangi įvykiai A ir B yra nesuderinami, tai joks įvykis negali būti palankus abiejų šių įvykių. Įvykis (A arba B), susidedantis iš bent vieno iš šių dviejų įvykių, yra akivaizdžiai palankus ir kiekvienam iš įvykių, palankių A ir kiekvienam iš įvykių.

Palankus B. Todėl bendras įvykių, palankių įvykiui (A arba B), skaičius yra lygus sumai, kuri yra tokia:

Q.E.D.

Nesunku pastebėti, kad sudėjimo teorema, suformuluota aukščiau dviejų įvykių atveju, gali būti lengvai perkelta į bet kurio baigtinio jų skaičiaus atvejį. Būtent, jei yra poromis nesuderinami įvykiai, tada

Pavyzdžiui, galima rašyti trijų įvykių atveju

Svarbi sudėjimo teoremos pasekmė yra teiginys: jei įvykiai poromis nesuderinami ir vienareikšmiškai galimi, tada

Iš tiesų, įvykis arba arba arba yra tikras ir jo tikimybė, kaip nurodyta § 1, yra lygi vienetui. Visų pirma, jei jie reiškia du tarpusavyje priešingus įvykius, tada

Sudėjimo teoremą iliustruosime pavyzdžiais.

Pavyzdys 1. Šaudant į taikinį tikimybė padaryti puikų šūvį yra 0,3, o šaudymo įvertinimu „gerai“ – 0,4. Kokia tikimybė už šūvį gauti bent „gerą“ įvertinimą?

Sprendimas. Jei įvykis A reiškia „puikų“ įvertinimą, o įvykis B reiškia „gerą“ įvertinimą, tada

2 pavyzdys. Urnoje, kurioje yra balti, raudoni ir juodi rutuliai, yra balti rutuliai, o aš – raudoni rutuliai. Kokia tikimybė ištraukti rutulį, kuris nėra juodas?

Sprendimas. Jei įvykį A sudaro balto rutulio išvaizda, o įvykį B sudaro raudonas rutulys, tada rutulio išvaizda nėra juoda

reiškia balto arba raudono rutulio išvaizdą. Kadangi pagal tikimybės apibrėžimą

tada pagal sudėjimo teoremą nejuodo rutulio atsiradimo tikimybė yra lygi;

Šią problemą galima išspręsti tokiu būdu. Tegul įvykis C susideda iš juodo rutulio atsiradimo. Juodųjų rutuliukų skaičius yra lygus, kad P (C) Nejuodo rutulio atsiradimas yra priešingas C įvykis, todėl, remiantis aukščiau pateikta sudėjimo teoremos išvada, turime:

kaip ir anksčiau.

3 pavyzdys. Piniginės medžiagos loterijoje 1000 bilietų serijoje yra 120 grynųjų ir 80 materialinių laimėjimų. Kokia tikimybė laimėti ką nors iš vieno loterijos bilieto?

Sprendimas. Jei A žymime įvykį, susidedantį iš piniginės naudos, o B žymime materialinį pelną, tai iš tikimybės apibrėžimo išplaukia

Mus dominantis įvykis pavaizduotas (A arba B), todėl tai išplaukia iš sudėjimo teoremos

Taigi bet kurio laimėjimo tikimybė yra 0,2.

Prieš pereinant prie kitos teoremos, būtina susipažinti su nauja svarbia sąvoka – sąlyginės tikimybės sąvoka. Šiuo tikslu pradėsime svarstydami šį pavyzdį.

Tarkime, sandėlyje yra 400 lempučių, pagamintų dviejose skirtingose ​​gamyklose, o pirmoji pagamina 75% visų lempučių, o antroji - 25%. Tarkime, kad tarp pirmosios gamyklos pagamintų elektros lempučių 83% atitinka tam tikro standarto sąlygas, o antrosios gamyklos gaminiams šis procentas yra 63. Nustatykime tikimybę, kad elektros lemputė atsitiktinai paimta iš sandėlis atitiks standarto sąlygas.

Atminkite, kad bendrą standartinių lempučių skaičių sudaro pirmosios pagamintos lemputės

gamykloje, o antroje gamykloje pagamintos 63 lemputės, tai yra lygus 312. Kadangi bet kurios lemputės pasirinkimas turėtų būti laikomas vienodai galimu, turime 312 palankių atvejų iš 400, todėl

kai įvykis B yra tas, kad mūsų pasirinkta lemputė yra standartinė.

Šio skaičiavimo metu nebuvo daroma prielaidų, kokiam augalui priklausė mūsų pasirinkta lemputė. Jei darysime tokias prielaidas, akivaizdu, kad mus dominanti tikimybė gali pasikeisti. Taigi, pavyzdžiui, jei žinoma, kad pasirinkta lemputė buvo pagaminta pirmoje gamykloje (įvykis A), tada tikimybė, kad ji yra standartinė, bus nebe 0,78, o 0,83.

Tokia tikimybė, ty įvykio B tikimybė, jei įvyks įvykis A, vadinama sąlygine įvykio B tikimybe, jei įvyks įvykis A ir yra pažymėta

Jei ankstesniame pavyzdyje A pažymime įvykį, kad pasirinkta lemputė pagaminta pirmoje gamykloje, tada galime parašyti

Dabar galime suformuluoti svarbią teoremą, susijusią su įvykių sujungimo tikimybės skaičiavimu.

Daugybos teorema.

A ir B įvykių sujungimo tikimybė yra lygi vieno iš įvykių tikimybės ir kito sąlyginės tikimybės sandaugai, darant prielaidą, kad įvyko pirmasis:

Šiuo atveju įvykių A ir B derinys reiškia kiekvieno iš jų įvykį, tai yra ir įvykio A, ir įvykio B įvykimą.

Įrodymas. Panagrinėkime visą grupę vienodai galimų poromis nesuderinamų įvykių, kurių kiekvienas gali būti palankus arba nepalankus tiek įvykiui A, tiek įvykiui B.

Visus šiuos įvykius suskirstykime į keturias skirtingas grupes taip. Pirmoji grupė apima tuos įvykius, kurie palankūs ir įvykiui A, ir įvykiui B; Antrajai ir trečiajai grupėms priskiriami tie įvykiai, kurie teikia pirmenybę vienam iš dviejų mus dominančių įvykių, o neteikia palankumo kitam, pavyzdžiui, antrajai grupei priskiriami tie, kurie palankiai vertina A, bet ne B, o trečia grupė apima tuos, kurie palankiai vertina B, bet nepritaria A; pagaliau į

Ketvirtajai grupei priklauso tie įvykiai, kurie nėra palankūs nei A, nei B.

Kadangi įvykių numeracija neturi reikšmės, galime manyti, kad šis padalijimas į keturias grupes atrodo taip:

I grupė:

II grupė:

III grupė:

IV grupė:

Taigi, tarp vienodai galimų ir poromis nesuderinamų įvykių yra įvykių, kurie palankūs ir įvykiui A, ir įvykiui B, įvykiai, kurie palankiai vertina įvykį A, bet neteikia palankumo įvykiui A, įvykiai, kurie palankūs B, bet nepalankūs A, ir, galiausiai, įvykiai, kurie nėra palankūs nei A, nei B.

Beje, atkreipkime dėmesį, kad bet kurioje iš keturių mūsų svarstytų grupių (ir net daugiau nei vienoje) gali nebūti nei vieno įvykio. Tokiu atveju atitinkamas skaičius, nurodantis įvykių skaičių tokioje grupėje, bus lygus nuliui.

Mūsų suskirstymas į grupes leidžia iš karto rašyti

nes įvykių A ir B derinys yra palankesnis pirmosios grupės įvykiams ir tik jiems. Bendras įvykių, teikiančių pirmenybę A, skaičius yra lygus bendram įvykių skaičiui pirmosios ir antrosios grupėse, o tų, kurie palankiai vertina B, yra lygus bendram įvykių skaičiui pirmosios ir trečiosios grupėse.

Dabar apskaičiuokime tikimybę, tai yra įvykio B tikimybę, su sąlyga, kad įvykis A įvyko. Dabar įvykiai, įtraukti į trečią ir ketvirtą grupes, išnyksta, nes jų įvykimas prieštarautų įvykio A įvykimui, o galimų atvejų skaičius nebėra lygus . Iš jų B įvykiui pirmenybę teikia tik pirmosios grupės įvykiai, todėl gauname:

Norint įrodyti teoremą, pakanka parašyti akivaizdžią tapatybę:

ir visas tris trupmenas pakeiskite anksčiau apskaičiuotomis tikimybėmis. Gauname lygybę, nurodytą teoremoje:

Akivaizdu, kad tapatybė, kurią parašėme aukščiau, turi prasmę tik tada, kai ji visada yra teisinga, nebent A yra neįmanomas įvykis.

Kadangi įvykiai A ir B yra lygūs, juos sukeitę, gauname kitą daugybos teoremos formą:

Tačiau šią lygybę galima gauti taip pat, kaip ir ankstesnę, jei pastebėsite, kad naudojant tapatybę

Palyginę dviejų tikimybės P(A ir B) išraiškų dešines puses, gauname naudingą lygybę:

Dabar panagrinėkime pavyzdžius, iliustruojančius daugybos teoremą.

4 pavyzdys. Tam tikros įmonės gaminiuose 96% produktų yra laikomi tinkamais (įvykis A). 75 produktai iš šimto tinkamų, pasirodo, priklauso pirmai klasei (įvykis B). Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinai parinktas produktas bus tinkamas ir priklausys pirmai klasei.

Sprendimas. Norima tikimybė yra įvykių A ir B sujungimo tikimybė. Pagal sąlygą turime: . Todėl daugybos teorema suteikia

5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu (įvykis A) yra 0,2. Kokia tikimybė pataikyti į taikinį, jei sugenda 2% saugiklių (t. y. 2% atvejų šūvis neveikia

Sprendimas. Tegul įvykis B yra toks, kad įvyks šūvis, o B reiškia priešingą įvykį. Tada pagal sąlygą ir pagal sudėjimo teoremos išvadą. Be to, pagal būklę.

Pataikyti į taikinį reiškia įvykių A ir B kombinaciją (šaudys ir pataikys), todėl pagal daugybos teoremą

Svarbus specialusis daugybos teoremos atvejis gali būti gautas naudojant įvykių nepriklausomybės sąvoką.

Du įvykiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų tikimybė nekinta dėl to, ar kitas įvyksta, ar neįvyksta.

Nepriklausomų įvykių pavyzdžiai yra skirtingo taškų skaičiaus atsiradimas metant kauliuką arba viena ar kita monetos pusė metant monetą, nes akivaizdu, kad tikimybė gauti herbą antruoju metimu yra lygus nepriklausomai nuo to, ar herbas iškilo pirmame, ar ne.

Taip pat tikimybė antrą kartą ištraukti baltą rutulį iš urnos, kurioje yra balti ir juodi rutuliukai, jei pirmasis ištrauktas rutulys buvo grąžintas anksčiau, nepriklauso nuo to, ar rutulys buvo ištrauktas pirmą kartą, baltas ar juodas. Todėl pirmojo ir antrojo pašalinimo rezultatai nepriklauso vienas nuo kito. Priešingai, jei pirmas išimtas rutulys negrįžta į urną, tai antrojo išėmimo rezultatas priklauso nuo pirmojo, nes urnoje esančių kamuoliukų sudėtis po pirmojo išėmimo keičiasi priklausomai nuo jo baigties. Pateikiame priklausomų įvykių pavyzdį.

Naudodami sąlyginių tikimybių žymėjimą, įvykių A ir B nepriklausomumo sąlygą galime užrašyti formoje

Naudodami šias lygybes, galime redukuoti nepriklausomų įvykių daugybos teoremą į tokią formą.

Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tada jų derinio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

Iš tiesų, pakanka įdėti pradinę daugybos teoremos išraišką, kuri išplaukia iš įvykių nepriklausomybės, ir gausime reikiamą lygybę.

Dabar panagrinėkime kelis įvykius: vadinsime juos bendrai nepriklausomais, jei kurio nors iš jų atsiradimo tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kiti nagrinėjami įvykiai, ar ne.

Jei įvykiai yra nepriklausomi visumoje, daugybos teorema gali būti išplėsta iki bet kurio baigtinio jų skaičiaus, todėl ją galima suformuluoti taip:

Nepriklausomų įvykių sujungimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

6 pavyzdys. Darbuotojas valdo tris automatines mašinas, prie kiekvienos iš jų reikia kreiptis, kad būtų pašalintas gedimas, jei mašina sustoja. Tikimybė, kad pirmoji mašina nesustos per valandą, yra 0,9. Tokia pati tikimybė antrai mašinai yra 0,8, o trečiajai - 0,7. Nustatykite tikimybę, kad per valandą darbuotojui nereikės prieiti prie jo aptarnaujamų mašinų.

7 pavyzdys. Tikimybė numušti lėktuvą šautuvo šūviu Kokia tikimybė sunaikinti priešo lėktuvą, jei vienu metu iššaunama 250 šautuvų?

Sprendimas. Tikimybė, kad lėktuvas nebus numuštas vienu šūviu, yra lygi sudėjimo teoremai. Tada, naudodamiesi daugybos teorema, galime apskaičiuoti tikimybę, kad lėktuvas nebus numuštas 250 šūvių, kaip sujungimo tikimybę. įvykius. Tai lygu Po to vėl galime panaudoti sudėjimo teoremą ir rasti tikimybę, kad lėktuvas bus numuštas kaip priešingo įvykio tikimybę

Iš to matyti, kad nors tikimybė numušti lėktuvą vienu šautuvo šūviu yra nereikšminga, vis dėlto šaudant iš 250 šautuvų tikimybė numušti lėktuvą jau labai pastebima. Jis žymiai padidėja, jei padidinamas šautuvų skaičius. Taigi šaudant iš 500 šautuvų tikimybė numušti lėktuvą, kaip nesunku paskaičiuoti, lygi šaudant iš 1000 šautuvų – net.

Aukščiau įrodyta daugybos teorema leidžia mums šiek tiek išplėsti sudėjimo teoremą, išplečiant ją suderinamų įvykių atveju. Akivaizdu, kad jei įvykiai A ir B yra suderinami, tai bent vieno iš jų įvykimo tikimybė nėra lygi jų tikimybių sumai. Pavyzdžiui, jei įvykis A reiškia lyginį skaičių

taškų skaičius metant kauliuką, o įvykis B yra taškų skaičiaus, kuris yra trijų kartotinis, praradimas, tada įvykiui (A arba B) prarandami 2, 3, 4 ir 6 taškai, tai yra

Kita vertus, tai yra. Taigi šiuo atveju

Iš to aišku, kad suderinamų įvykių atveju tikimybių sudėjimo teorema turi būti pakeista. Kaip dabar matysime, ją galima suformuluoti taip, kad ji galiotų ir suderinamiems, ir nesuderinamiems įvykiams, kad anksčiau svarstyta sudėjimo teorema pasirodytų kaip ypatingas naujosios atvejis.

Įvykiai, kurie nėra palankūs A.

Visi elementarieji įvykiai, palankūs įvykiui (A arba B), turi būti palankūs arba tik A, arba tik B, arba abu A ir B. Taigi bendras tokių įvykių skaičius yra lygus

ir tikimybė

Q.E.D.

Taikydami formulę (9) aukščiau pateiktam taškų skaičiaus, atsirandančio metant kauliuką, pavyzdžiu, gauname:

kuris sutampa su tiesioginio skaičiavimo rezultatu.

Akivaizdu, kad (1) formulė yra ypatingas (9) atvejis. Iš tiesų, jei įvykiai A ir B yra nesuderinami, tada derinio tikimybė

Pavyzdžiui. Du saugikliai nuosekliai prijungti prie elektros grandinės. Pirmojo saugiklio gedimo tikimybė yra 0,6, o antrojo - 0,2. Nustatykime elektros energijos tiekimo sutrikimo tikimybę sugedus bent vienam iš šių saugiklių.

Sprendimas. Kadangi įvykiai A ir B, susidedantys iš pirmojo ir antrojo saugiklių gedimo, yra suderinami, reikiama tikimybė bus nustatyta pagal (9) formulę:

Pratimai

Tikimybių teorijos studijos prasideda sprendžiant problemas, susijusias su tikimybių sudėtimi ir daugyba. Iš karto verta paminėti, kad mokinys, įsisavindamas šią žinių sritį, gali susidurti su problema: jei fizikinius ar cheminius procesus galima pavaizduoti vizualiai ir suprasti empiriškai, tai matematinės abstrakcijos lygis yra labai aukštas, o supratimas čia ateina tik su patirtimi.

Tačiau žaidimas vertas žvakės, nes formulės – tiek šiame straipsnyje aptartos, tiek sudėtingesnės – šiandien naudojamos visur ir gali būti naudingos darbe.

Kilmė

Kad ir kaip būtų keista, impulsas šios matematikos šakos raidai buvo... azartiniai lošimai. Iš tiesų, kauliukai, monetų metimas, pokeris, ruletė yra tipiški pavyzdžiai, kuriuose naudojamas tikimybių sudėjimas ir dauginimas. Tai aiškiai matyti naudojant bet kurio vadovėlio problemų pavyzdžius. Žmonėms buvo įdomu sužinoti, kaip padidinti savo šansus laimėti, ir reikia pasakyti, kad kai kuriems tai pavyko.

Pavyzdžiui, jau XXI amžiuje vienas žmogus, kurio pavardės neatskleisime, per šimtmečius sukauptas žinias panaudojo tiesiogine prasme kazino „išvalymui“, ruletėje laimėdamas kelias dešimtis milijonų dolerių.

Tačiau, nepaisant padidėjusio susidomėjimo šia tema, tik XX amžiuje buvo sukurta teorinė sistema, kuri padarė „teoremą“ užbaigtą. Šiandien beveik bet kuriame moksle galima rasti skaičiavimus naudojant tikimybinius metodus.

Pritaikomumas

Svarbus momentas naudojant tikimybių ir sąlyginės tikimybės sudėties ir daugybos formules yra centrinės ribos teoremos tenkinamumas. Priešingu atveju, nors mokinys gali to nesuvokti, visi skaičiavimai, kad ir kokie tikėtini jie atrodytų, bus neteisingi.

Taip, labai motyvuotas studentas kiekviena proga vilioja panaudoti naujas žinias. Tačiau šiuo atveju reikia šiek tiek sulėtinti tempą ir griežtai apibrėžti taikymo sritį.

Tikimybių teorija nagrinėja atsitiktinius įvykius, kurie empiriškai atspindi eksperimentų rezultatus: mes galime mesti šešiapusį kauliuką, ištraukti kortą iš kaladės, numatyti sugedusių dalių skaičių partijoje. Tačiau kai kuriuose klausimuose griežtai draudžiama naudoti formules iš šios matematikos dalies. Įvykio tikimybių svarstymo ypatybes, įvykių sudėjimo ir daugybos teoremas aptarsime straipsnio pabaigoje, bet kol kas pereikime prie pavyzdžių.

Pagrindinės sąvokos

Atsitiktinis įvykis reiškia tam tikrą procesą ar rezultatą, kuris gali pasirodyti arba nepasireikšti kaip eksperimento rezultatas. Pavyzdžiui, išmetame sumuštinį – jis gali nukristi sviestine puse į viršų arba sviestine puse žemyn. Bet kuris iš dviejų rezultatų bus atsitiktinis, ir mes iš anksto nežinome, kuris iš jų įvyks.

Tiriant tikimybių sudėtį ir daugybą, mums reikės dar dviejų sąvokų.

Tokie įvykiai vadinami jungtiniais, kurių vienas įvykis neatmeta kito. Tarkime, į taikinį vienu metu šaudo du žmonės. Jei vienas iš jų sukuria sėkmingą, tai jokiu būdu neturės įtakos antrojo gebėjimui pataikyti į buliaus akį ar nepataikyti.

Nesuderinami įvykiai bus tie įvykiai, kurių įvykti vienu metu neįmanoma. Pavyzdžiui, jei iš dėžutės išimsite tik vieną rutulį, negalėsite iš karto gauti mėlynos ir raudonos spalvos.

Paskyrimas

Tikimybės sąvoka žymima lotyniška didžiąja raide P. Toliau skliausteliuose yra argumentai, žymintys tam tikrus įvykius.

Sudėties teoremos, sąlyginės tikimybės ir daugybos teoremos formulėse skliausteliuose matysite išraiškas, pvz.: A+B, AB arba A|B. Jie bus skaičiuojami įvairiais būdais, o dabar mes kreipsimės į juos.

Papildymas

Panagrinėkime atvejus, kai naudojamos tikimybių sudėjimo ir daugybos formulės.

Nesuderinamiems įvykiams tinka paprasčiausia sudėjimo formulė: bet kurio atsitiktinio rezultato tikimybė bus lygi kiekvieno iš šių baigčių tikimybių sumai.

Tarkime, kad yra dėžutė su 2 mėlynais, 3 raudonais ir 5 geltonais rutuliukais. Iš viso dėžutėje yra 10 prekių. Kokia teisinga teiginys, kad nupiešime mėlyną ar raudoną rutulį? Jis bus lygus 2/10 + 3/10, ty penkiasdešimt procentų.

Nesuderinamų įvykių atveju formulė tampa sudėtingesnė, nes pridedamas papildomas terminas. Grįžkime prie jos vienoje pastraipoje, apsvarstę kitą formulę.

Daugyba

Įvairiais atvejais naudojamas nepriklausomų įvykių tikimybių sudėjimas ir daugyba. Jei pagal eksperimento sąlygas mus tenkina bet kuris iš dviejų galimų rezultatų, apskaičiuosime sumą; jei norime gauti du tam tikrus rezultatus vieną po kito, naudosime kitą formulę.

Grįžtant prie pavyzdžio iš ankstesnės dalies, pirmiausia norime nupiešti mėlyną rutulį, o tada raudoną. Mes žinome pirmąjį skaičių – jis yra 2/10. Kas bus toliau? Liko 9 kamuoliukai, o raudonų dar tiek pat – trys. Pagal skaičiavimus tai bus 3/9 arba 1/3. Bet ką dabar daryti su dviem skaičiais? Teisingas atsakymas yra padauginti, kad gautumėte 2/30.

Bendri renginiai

Dabar vėl galime pereiti prie bendrų renginių sumos formulės. Kodėl buvome atitraukti nuo temos? Norėdami sužinoti, kaip dauginamos tikimybės. Dabar mums prireiks šių žinių.

Jau žinome, kokie bus pirmieji du nariai (toks pat kaip ir anksčiau aptartoje sudėjimo formulėje), bet dabar reikia atimti tikimybių sandaugą, kurią ką tik išmokome skaičiuoti. Aiškumo dėlei parašykime formulę: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Pasirodo, vienoje išraiškoje naudojamas ir tikimybių sudėjimas, ir daugyba.

Tarkime, kad norėdami gauti kreditą, turime išspręsti bet kurią iš dviejų problemų. Pirmąjį galime išspręsti 0,3, o antrąjį – 0,6 tikimybe. Sprendimas: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Atminkite, kad čia nepakaks tiesiog sudėti skaičius.

Sąlyginė tikimybė

Galiausiai yra sąlyginės tikimybės sąvoka, kurios argumentai nurodyti skliausteliuose ir atskirti vertikalia juosta. Įrašas P(A|B) skamba taip: „įvykio A duoto įvykio B tikimybė“.

Pažiūrėkime į pavyzdį: draugas duoda jums kokį nors prietaisą, tebūnie tai telefonas. Jis gali būti sulūžęs (20%) arba nepažeistas (80%). Jūs galite suremontuoti bet kurį įrenginį, kuris patenka į jūsų rankas su tikimybe 0,4 arba negalite to padaryti (0,6). Galiausiai, jei įrenginys yra tvarkingas, galite pasiekti reikiamą asmenį su 0,7 tikimybe.

Nesunku suprasti, kaip šiuo atveju veikia sąlyginė tikimybė: sugedus telefonui žmogaus pasiekti nepavyks, bet jei jis veikia, taisyti nereikia. Taigi, norėdami gauti kokių nors rezultatų „antrame lygyje“, turite išsiaiškinti, koks įvykis buvo įvykdytas pirmą kartą.

Skaičiavimai

Pažvelkime į problemų sprendimo pavyzdžius, susijusius su tikimybių sudėjimu ir daugyba, naudojant ankstesnės pastraipos duomenis.

Pirmiausia suraskime tikimybę, kad pataisysite jums duotą įrenginį. Norėdami tai padaryti, pirma, jis turi būti sugedęs, antra, turite sugebėti jį ištaisyti. Tai tipiška daugybos problema: gauname 0,2 * 0,4 = 0,08.

Kokia tikimybė, kad iš karto pasieksite reikiamą žmogų? Tai taip paprasta: 0,8*0,7 = 0,56. Tokiu atveju pastebėjote, kad telefonas veikia, ir sėkmingai paskambinote.

Galiausiai apsvarstykite šį scenarijų: gausite sugedusį telefoną, sutaisykite jį, tada surinkite numerį ir kitame gale esantis asmuo pakels. Čia jau reikia padauginti tris komponentus: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Ką daryti, jei vienu metu turite du neveikiančius telefonus? Kokia tikimybė, kad sutvarkysite bent vieną iš jų? dėl tikimybių sudėties ir daugybos, nes naudojami bendri įvykiai. Sprendimas: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Taigi, jei gausite du sugedusius įrenginius, galėsite juos pataisyti 64% atvejų.

Atsargus naudojimas

Kaip teigiama straipsnio pradžioje, tikimybių teorijos naudojimas turėtų būti apgalvotas ir sąmoningas.

Kuo didesnė eksperimentų serija, tuo teoriškai prognozuojama vertė priartėja prie gautos praktiškai. Pavyzdžiui, metame monetą. Teoriškai, žinant tikimybių sudėjimo ir daugybos formulių egzistavimą, galime numatyti, kiek kartų atsiras „galvos“ ir „uodegos“, jei eksperimentą atliksime 10 kartų. Atlikome eksperimentą ir atsitiktinai nubrėžtų kraštinių santykis buvo 3:7. Bet jei atliksime 100, 1000 ar daugiau bandymų seriją, paaiškėja, kad pasiskirstymo grafikas vis labiau artėja prie teorinio: 44–56, 482–518 ir pan.

Dabar įsivaizduokite, kad šis eksperimentas atliekamas ne su moneta, o gaminant kokią nors naują cheminę medžiagą, kurios tikimybės mes nežinome. Atliktume 10 eksperimentų ir, negavę sėkmingo rezultato, galėtume apibendrinti: „neįmanoma gauti medžiagos“. Bet kas žino, jei būtume bandę vienuoliktą kartą, ar būtume pasiekę tikslą, ar ne?

Taigi, jei einate į nežinomybę, į neištirtą sritį, tikimybių teorija gali netikti. Kiekvienas paskesnis bandymas šiuo atveju gali būti sėkmingas ir tokie apibendrinimai kaip „X neegzistuoja“ arba „X neįmanomas“ bus per anksti.

Galutinis žodis

Taigi, pažvelgėme į dviejų tipų sudėtį, daugybą ir sąlygines tikimybes. Toliau studijuojant šią sritį, būtina išmokti atskirti situacijas, kai naudojama kiekviena konkreti formulė. Be to, turite įsivaizduoti, ar tikimybiniai metodai paprastai yra taikomi jūsų problemai išspręsti.

Jei treniruositės, po kurio laiko visas reikalingas operacijas pradėsite atlikti tik mintyse. Besidomintiems kortų žaidimais šis įgūdis gali būti laikomas itin vertingu – ženkliai padidinsite savo šansus laimėti vien apskaičiavę konkrečios kortos ar kostiumo iškritimo tikimybę. Tačiau įgytas žinias nesunkiai pritaikysite kitose veiklos srityse.

Tikimybių sudėties ir daugybos teoremos

Sudėjimo teorema

Tikimybė, kad įvyks vienas iš kelių nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai.

Dviejų nesuderinamų įvykių A ir B atveju turime:

P(A+B) = P(A) + P(B) (7)

Įvykis, priešingas įvykiui A, žymimas . Įvykių A derinys suteikia patikimą įvykį, o kadangi įvykiai A yra nesuderinami, tada

P(A) + P() = 1 (8)

Įvykio A tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvykis B įvyko, vadinama sąlyginė tikimybėįvykis A ir žymimas simboliu P B (A).

Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai P(B) = P A (B).

Renginiai A, B, C, ... vadinami kolektyviai nepriklausomi, jeigu kiekvieno iš jų tikimybė nekinta dėl kitų įvykių atskirai arba bet kuriuo jų deriniu ir bet kokiu skaičiumi.

Daugybos teorema

Tikimybė, kad įvyks įvykiai A, B ir C... lygi jų tikimybių sandaugai, apskaičiuotai darant prielaidą, kad įvyko visi įvykiai prieš kiekvieną iš jų, t.y.

P(AB) = P(A)P A (B)(9)

Žymėjimas P A (B) reiškia įvykio B tikimybę, darant prielaidą, kad įvykis A jau įvyko.

Jei įvykiai A, B, C, ... yra kartu nepriklausomi, tada tikimybė, kad jie visi įvyks, yra lygi jų tikimybių sandaugai:

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)

3.1 pavyzdys. Maišelyje yra rutuliukų: 10 baltų, 15 juodų, 20 mėlynų ir 25 raudonų. Vienas kamuolys buvo išneštas. Raskite tikimybę, kad nupieštas rutulys yra baltas? juoda? Ir dar vienas dalykas: baltas ar juodas?

Sprendimas.

Visų galimų bandymų skaičius n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;

Tikimybė P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.

Taikome tikimybių sudėjimo teoremą:

R(b + h) = R(b) + R(h) = 1/7 + 3/14 = 5/14.

Pastaba: didžiosios raidės skliausteliuose atitinkamai nurodo kiekvieno rutulio spalvą pagal problemos sąlygas.

3.2 pavyzdys Pirmoje dėžutėje yra du balti ir dešimt juodų kamuoliukų. Antroje dėžutėje yra aštuoni balti ir keturi juodi rutuliai. Iš kiekvienos dėžės buvo paimtas kamuolys. Nustatykite tikimybę, kad abu rutuliai bus balti.

Sprendimas.

Įvykis A yra balto rutulio pasirodymas iš pirmosios dėžutės. Įvykis B yra balto rutulio pasirodymas iš antrosios dėžutės. Įvykiai A ir B yra nepriklausomi.

Tikimybės P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.

Taikome tikimybių daugybos teoremą:

P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.

Peržiūrėkite klausimus

1 Kas yra faktorialus?

2 Išvardykite pagrindinius kombinatorikos uždavinius.

3 Kaip vadinamos permutacijos?

4 Kaip vadinami judesiai?

5 Kaip vadinami deriniai?

6 Kokie įvykiai vadinami patikimais?

7 Kokie įvykiai vadinami nesuderinamais?

8 Kokia įvykio tikimybė?

9 Kas vadinama sąlygine tikimybe?

10 Suformuluokite tikimybių sudėties ir daugybos teoremas.

11 pr.Paskirties vieta nuo n elementai pagal k (k ≤ n ) yra bet koks rinkinys, susidedantis iš Į elementai, paimti tam tikra tvarka iš duomenų n elementai.

Taigi, dvi vietos nuo n elementai pagal Į laikomi skirtingais, jei skiriasi pačiais elementais arba jų išdėstymo tvarka Patalpų skaičius nuo n elementai pagal Į žymėti A p k ir apskaičiuojamas pagal formulę

A p k =

Jei vietos nuo n elementai pagal n skiriasi vienas nuo kito tik elementų tvarka, tada jie reiškia permutacijas n elementai

1 pavyzdys. Antros klasės mokiniai mokosi 9 dalykų. Kiek būdų galite sudaryti vienos dienos tvarkaraštį, kad jame būtų 4 skirtingi dalykai?

Sprendimas: bet koks vienos dienos grafikas, sudarytas iš 4 skirtingų dalykų, skiriasi nuo kitų dalykų rinkiniu arba jų pateikimo tvarka. Tai reiškia, kad šiame pavyzdyje kalbame apie 9 elementų išdėstymą iš 4. Turime

A 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

Tvarkaraštis gali būti sudarytas 3024 būdais

2 pavyzdys. Kiek triženklių skaičių (nepasikartojančių skaitmenų skaičiuje) galima sudaryti iš skaičių 0,1,2,3,4,5,6?

Sprendimas Jei tarp septynių skaitmenų nėra nulio, tai triženklių skaičių (be pasikartojančių skaitmenų), kurį galima sudaryti iš šių skaitmenų, skaičius yra lygus vietų skaičiui

22

iš 7 elementų po 3 Tačiau tarp šių skaičių yra skaičius 0, su kuriuo negali prasidėti triženklis skaičius. Todėl iš 7 elementų išdėstymo po 3 reikia išskirti tuos, kurių pirmasis elementas yra 0. Jų skaičius lygus jų 6 elementų išdėstymo skaičiui 2. =

Tai reiškia, kad reikiamas triženklių skaičių skaičius yra

A 7 3 - A 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. Įgytų žinių įtvirtinimas problemų sprendimo procese

№754 . Keliais būdais trijų asmenų šeima gali miegoti keturviečiame skyriuje, jei kabinoje nėra kitų keleivių?

Sprendimas. Būdų skaičius yra lygus A 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. Iš 30 susirinkimo dalyvių turi būti išrinktas pirmininkas ir sekretorius. Kiek būdų tai galima padaryti?

Sprendimas. Kadangi bet kuris iš dalyvių gali būti tiek sekretoriumi, tiek pirmininku, jų rinkimo būdų skaičius yra vienodas

A 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Kiek keturženklių skaičių, neturinčių identiškų skaitmenų, galima sudaryti iš šių skaitmenų: a) 1,3,5,7,9. b) 0,2,4,6,8?

Sprendimas a) A 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

b)) A 5 4 - A 4 3 = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Namų darbai Nr.756, Nr.757, Nr.758, Nr.759.

6 pamokos tema: „Deriniai“

Tikslas: Pateikite derinių sąvoką, supažindinkite su kombinacijų skaičiavimo formule, išmokykite šią formulę naudoti skaičiuojant derinių skaičių.

1 Namų darbų tikrinimas.

№ 756 . Stotyje yra 7 alternatyvūs takeliai. Kiek būdų juose galima išdėstyti 4 traukinius?

23

Sprendimas : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 būdų

№757 Kiek būdų treneris gali nustatyti, kuris iš 12 sportininkų, pasiruošusių dalyvauti 4x100 m estafetėje, bėgs pirmame, antrame, trečiame ir ketvirtame etapuose?

Sprendimas: A 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12 = 90 ∙ 132 = 11 880

№ 758. Skritulinėje diagramoje apskritimas yra padalintas į 5 sektorius. Nusprendėme sektorius nudažyti skirtingais dažais, paimtais iš 10 dažų rinkinio. Kiek būdų tai galima padaryti?

Sprendimas: A 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9, 10 = 30 240

№759. Kokiais būdais 6 egzaminą laikantys mokiniai gali užimti vietas klasėje, kurioje yra 20 pavienių stalų?

Sprendimas: A 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18,19 ∙20 = 27 907 200

Namų darbų tikrinimą galite organizuoti įvairiais būdais: žodžiu pasitikrinkite namų darbų pratimų sprendimus, kai kurių jų sprendimus surašykite lentoje, o kol sprendimai fiksuojami, atlikite mokinių apklausą šiais klausimais:

1. Ką reiškia įrašas? p!

2.Kas vadinama permutacija iš n elementai?

3. Kokia formule apskaičiuojamas permutacijų skaičius?

4. Kas vadinama išdėstymu iš n elementai pagal Į?

5. n elementai pagal Į?

2 Naujos medžiagos paaiškinimas

Tegul būna 5 skirtingų spalvų gvazdikai. Pažymėkime juos raidėmis a, c, c, d, f. Jums reikia padaryti puokštę iš trijų gvazdikų. Išsiaiškinkime, kokias puokštes galima komponuoti.

Jei puokštėje yra gvazdikų A , tuomet galėsite pasidaryti tokias puokštes:

avs, avd, ave, asd, ase, ade.

Jei puokštėje nėra gvazdikų A, bet gvazdikėliai ateina V , tuomet galite gauti šias puokštes:

viskas, viskas, visur.

Galiausiai, jei puokštėje nėra gvazdiko A, ne gvazdikėlis V, tada galimas tik vienas puokštės sudarymo variantas:

sde.

24

Mes nurodėme visus įmanomus puokščių gaminimo būdus, kuriuose trys iš 5 gvazdikų yra derinami skirtingais būdais. Sakoma, kad padarėme viską deriniai iš 5 elementų, po 3, radome kad C 5 3 = 10.

Išveskime kombinacijų skaičiaus formulę iš n elementai k, kur k ≤ p.

Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip C 5 3 išreiškiamas per A 5 3 ir P 3 . Mes nustatėme, kad jų 5 elementai gali būti sudaryti į šiuos 3 elementų derinius:

avs, avd, ave, asd, ase, ade, vsd, visi, vde, sde.

Kiekviename derinyje atliksime visas permutacijas. 3 elementų permutacijų skaičius lygus P 3 . Dėl to gauname visas įmanomas 5 elementų iš 3 kombinacijas, kurios skiriasi arba pačiais elementais, arba elementų tvarka, t.y. visos 5 elementų vietos yra po 3 Iš viso gauname A 5 3 vietas.

Reiškia , C 5 3 ∙ P 3 = A 5 3, taigi C 5 3 = A 5 3: P 3

Samprotavimą bendru atveju gauname C p k = A p k: P k,

Naudodamiesi tuo, kad A p k = , kur k ≤ p., gauname C p k = .

Tai yra kombinacijų skaičiaus apskaičiavimo formulė n elementai pagal Į bet kuriuo

k ≤ p.

1 pavyzdys. Iš 15 dažų rinkinio reikia pasirinkti 3 spalvas dėžutei nudažyti. Kiek būdų galima pasirinkti šį pasirinkimą?

Sprendimas: kiekvienas trijų spalvų pasirinkimas skiriasi nuo kitos bent viena spalva. Tai reiškia, kad čia mes kalbame apie 15 elementų derinius iš 3

Nuo 15 3 = = (13∙ 14∙15) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

Prime2 Klasėje yra 12 berniukų ir 10 mergaičių. Trys berniukai ir dvi mergaitės privalo išvalyti mokyklos teritoriją. Kiek būdų galima pasirinkti šį pasirinkimą?

Sprendimas: Galite pasirinkti 3 berniukus iš 12 su 12 3 , o dvi merginas iš 10 galite pasirinkti su 10 2 . Kadangi kiekvienam berniukų pasirinkimui mergaites galima pasirinkti 10 2 būdais, tuomet galite pasirinkti mokinius, kurie aptariami užduotyje

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Naujos medžiagos konsolidavimas problemų sprendimo procese

25

Užduotis

Sasha savo namų bibliotekoje turi 8 istorinius romanus. Petya nori iš jo atimti bet kokius 2 romanus. Kiek būdų galima pasirinkti šį pasirinkimą?

Sprendimas: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 a

Šachmatų klube yra 16 žmonių. Keliais būdais treneris iš jų gali atrinkti 4 žmonių komandą būsimam turnyrui?

Sprendimas: C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 Mokyklą renovuojančią komandą sudaro 12 dailininkų ir 5 staliai. Iš jų sporto salės remontui reikia skirti 4 dažytojus ir 2 stalius. Kiek būdų tai galima padaryti?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Namų darbai Nr.768, Nr.769, Nr.770, Nr.775

7 pamoka Tema: „Uždavinių sprendimas naudojant formules judesių skaičiui, išdėstymui, deriniams apskaičiuoti“

Tikslas: mokinių žinių įtvirtinimas. Paprastų kombinacinių uždavinių sprendimo įgūdžių formavimas

1 Namų darbų tikrinimas

№768 Klasėje yra 7 žmonės, kurie sėkmingai mokosi matematikos. Keliais būdais galima pasirinkti du iš jų dalyvauti matematikos olimpiadoje?

Sprendimas: C 7 2 = = (6∙ 7): 2 = 21

№769 Filatelijos parduotuvėje parduodami 8 skirtingi pašto ženklų rinkiniai, skirti sporto temoms. Keliais būdais iš jų galima pasirinkti 3 rinkinius?

Sprendimas: C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

26

№770 Mokiniams buvo pateiktas 10 knygų sąrašas, kurį turėjo perskaityti per atostogas. Keliais būdais mokinys gali iš jų pasirinkti 6 knygas?

Sprendimas: C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 Biblioteka skaitytojui pasiūlė rinktis iš 10 knygų ir 4 žurnalų iš naujokų. Kiek būdų jis gali iš jų pasirinkti 3 knygas ir 2 žurnalus?

Sprendimas: C 10 3 ∙ C 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Klausimai klasei

1.Kas vadinama permutacija iš n elementai?

2. Kokia formule apskaičiuojamas permutacijų skaičius?

3. Kas vadinama išdėstymu iš n elementai pagal Į?

4. Pagal kokią formulę skaičiuojamas vietų skaičius n elementai pagal Į?

5. Kas vadinama deriniu n elementai pagal Į?

6. Pagal kokią formulę apskaičiuojamas derinių skaičius n elementai pagal Į?

Sąnarių sprendimo problemos

Sprendžiant kiekvieną uždavinį, pirmiausia vyksta diskusija: kuri iš trijų ištirtų formulių padės gauti atsakymą ir kodėl

1. Kiek keturženklių skaičių galima sudaryti iš skaičių 4,6,8,9, jei visi skaičiai yra skirtingi?

2. Iš 15 žmonių mokinių grupėje reikia pasirinkti viršininką ir jo pavaduotoją. Kiek būdų tai galima padaryti?

3. Iš 10 geriausių mokyklos mokinių į vadovų susirinkimą reikėtų siųsti du žmones.

Kiek būdų tai galima padaryti?

komentaras: Užduotis Nr.3 nesvarbu, ką pasirinkti: bet kuriuos 2 žmones iš 10, todėl čia veikia kombinacijų skaičiaus skaičiavimo formulė.

2 uždavinyje pasirenkama sutvarkyta pora, nes pasirinktoje poroje, jei pavardes sukeis, bus kitoks pasirinkimas, tad čia veikia formulė skaičiuojant vietų skaičių

Atsakymai į jungtinio sprendimo problemas:

Nr.1 24 d. Nr. 2 210 būdų. Nr.3 45 būdai

Bendros diskusijos ir savarankiškų skaičiavimų uždaviniai

Nr.1 Susitiko 6 draugai ir kiekvienas paspaudė vienas kitam ranką. Kiek buvo rankos paspaudimų?

27

Nr. 2 Kokiais būdais galima sudaryti vienos dienos tvarkaraštį 1 klasės mokiniams, jei jie turi 7 dalykus ir tą dieną turėtų būti 4 pamokos?

(Paskirties vietų skaičius nuo 7 iki 4)

Nr.3 Šeimoje yra 6 žmonės, virtuvėje prie stalo yra 6 kėdės. Buvo nuspręsta kiekvieną vakarą prieš vakarienę sėsti ant šių 6 kėdžių naujai. Kiek dienų šeimos nariai gali tai daryti be pasikartojimo?

Nr.4 Pas namo savininką atvyko svečiai A, B, C, D. Prie apvalaus stalo yra penkios skirtingos kėdės. Kiek yra sėdėjimo būdų?

(4 žmonės atėjo aplankyti + savininkas = 5 žmonės sėdi ant 5 kėdžių, reikia suskaičiuoti permutacijas)

5. Spalvinimo knygelėje nupieštas nesikertantis trikampis, kvadratas ir apskritimas. Kiekviena figūra turi būti nudažyta viena iš vaivorykštės spalvų, skirtingos figūros skirtingomis spalvomis. Kiek yra dažymo būdų?

(Suskaičiuokite paskirties vietų skaičių nuo 7 iki 3)

Nr. 6 Klasėje yra 10 berniukų ir 4 mergaitės. Būtina pasirinkti 3 budinčius žmones, kad tarp jų būtų 2 berniukai ir 1 mergina. Kiek būdų tai galima padaryti?

(10 derinių skaičius iš 2 padaugintas iš kombinacijų skaičiaus iš 4 iš 1)

Atsakymai į savarankiško skaičiavimo problemas

№115 rankos paspaudimų

№2840 būdų

№3720 dienų

№5120 būdų

№6180 būdų

Namų darbai Nr.835, Nr.841

8 pamoka Tema: „Savarankiškas darbas“

Tikslas: mokinių žinių patikrinimas

1.Namų darbų tikrinimas

№^ 835 Kiek lyginių keturženklių skaičių, kuriuose skaitmenys nesikartoja, galima parašyti naudojant skaičius a) 1,2,3,7. b) 1,2,3,4.

28

a) Mūsų skaičiai turi baigtis lyginiu skaitmeniu, toks skaitmuo vienoje sąlygoje yra skaitmuo 2, mes jį pastatysime į paskutinę vietą, o likusius 3 skaitmenis perdėsime, tokių permutacijų skaičius yra 3! = 6. Taigi galite sudaryti 6 lyginius skaičius

b) samprotaujame kaip pavyzdyje a) įdėję skaičių 2 į paskutinę vietą gauname 6 lyginius skaičius, įdėję skaičių 4 į paskutinę vietą gauname dar 6 lyginius skaičius,

tai reiškia, kad yra tik 12 lyginių skaičių

№841 Kiek būdų galite pasirinkti iš 24 mokinių klasės: a) du palydovus; b) vadovas ir jo padėjėjas?

a) nes bet kurie 2 žmonės iš 24 gali budėti, tada porų skaičius yra lygus

C 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276

b) čia jie išplėšia sutvarkytą elementų porą iš 24 elementų, tokių porų skaičius yra A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

1 variantu sprendžiami uždaviniai Nr.1,2,3,4,5.

2 variantu sprendžiami uždaviniai Nr.6,7,8,9,10.

Paprasčiausių kombinacinių uždavinių sprendimas

(pagal 2010 m. balandžio mėn. K. R. medžiagą)

1 . Kiek būdų lentynoje gali būti išdėstytos penkios skirtingų autorių knygos?

2. Keliais būdais galite pagaminti popietinį užkandį iš gėrimo ir pyrago, jei meniu yra: arbata, kava, kakava ir obuolių ar vyšnių pyragai?

3. Trečiadienį pagal tvarkaraštį 9 „A“ klasėje turėtų būti 5 pamokos: chemijos, fizikos, algebros, biologijos ir gyvybės saugos. Kiek būdų galite sudaryti šios dienos tvarkaraštį?

4. Yra 2 balti arkliai ir 4 įlankos arkliai. Kiek būdų galite

padaryti skirtingų spalvų arklių porą?

5. Kiek būdų galite įdėti 5 skirtingas monetas į 5 skirtingas kišenes?

29

6. Spintos lentynoje yra 3 skirtingų stilių kepurės ir 4 skirtingų spalvų šalikai. Keliais būdais galite pagaminti vienos kepurės ir vieno šaliko rinkinį?

7. Į grožio konkurso finalą pateko 4 dalyvės. Kiek būdų

Ar įmanoma nustatyti grožio finalo dalyvių pasirodymų tvarką?

^ 8 .Yra 4 antys ir 3 žąsys. Kiek būdų galite pasirinkti du skirtingus paukščius?

9. Keliais būdais 5 skirtingas raides galima suskirstyti į 5 skirtingas?

vokai, jei i kiekviena voka dedama tik viena raide?

10. Dėžutėje yra 5 raudoni ir 4 žali rutuliai. Keliais būdais galite pagaminti skirtingų spalvų kamuoliukų porą?

Savarankiško darbo užduočių atsakymai

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.
Edukacinės užduotys:
- pateikti atsitiktinio įvykio sampratą, įvykio tikimybę;
- išmokyti apskaičiuoti įvykio tikimybę; atsitiktinių įvykių tikimybės pagal klasikinį apibrėžimą;
- išmokyti taikyti tikimybių sudėties ir daugybos teoremas sprendžiant uždavinius;
- toliau ugdyti domėjimąsi matematika sprendžiant uždavinius naudojant klasikinį tikimybės apibrėžimą, tiesiogiai apskaičiuoti reiškinių tikimybes;
- ugdyti susidomėjimą matematika naudojant istorinę medžiagą;
- ugdyti sąmoningą požiūrį į mokymosi procesą, diegti atsakomybės už žinių kokybę jausmą, kontroliuoti pratimų sprendimo ir planavimo procesą.

Kursų teikimas:
- užduočių kortelės individualiai apklausai;
- užduočių kortelės bandomiesiems darbams;
- pristatymas.

Mokinys turi žinoti:
- permutacijų, vietų ir derinių skaičiaus apibrėžimai ir formulės;
- klasikinis tikimybės apibrėžimas;
- įvykių sumos, įvykių sandaugos nustatymas; tikimybių sudėties ir daugybos teoremų formuluotės ir formulės.

Studentas turi sugebėti:
- apskaičiuoti permutacijas, vietas ir derinius;
- apskaičiuoti įvykio tikimybę naudojant klasikinį apibrėžimą ir kombinatorikos formules;
- spręsti uždavinius naudojant tikimybių sudėties ir daugybos teoremas.

Mokinių pažintinės veiklos motyvavimas.
Mokytojas praneša, kad tikimybių teorijos atsiradimas siekia XVII amžiaus vidurį. ir susijęs su B. Pascal, P. Fermat ir H. Huygens (1629-1695) tyrimais. Didelis žingsnis tikimybių teorijos raidoje siejamas su J. Bernoulli (1654-1705) darbais. Jis yra pirmasis vienos iš svarbiausių tikimybių teorijos nuostatų – didelių skaičių dėsnio – įrodymas. Kitas teorijos raidos etapas siejamas su A. Moivre'o (1667-1754), C. Gauso, P. Laplaso (1749-1827), S. Puasono (1781-1840) vardais. Iš Sankt Peterburgo mokyklos mokslininkų reikėtų paminėti A.M. Liapunovas (1857-1918) ir A.A Markovas (1856-1922). Po šių matematikų darbų tikimybių teorija visame pasaulyje pradėta vadinti „Rusijos mokslu“. 20-ojo dešimtmečio viduryje A.Ya. Khinchinas (1894-1959) ir A.N. Kolmogorovas sukūrė Maskvos tikimybių teorijos mokyklą. Indėlis akad. A.N. Kolmogorovas - Lenino premijos laureatas, pavadintas tarptautinės premijos vardu. B. Bolzano, daugelio užsienio akademikų narys, yra milžiniškas šiuolaikinėje matematikoje. A.N. Kolmogorovo nuopelnas slypi ne tik naujų mokslinių teorijų kūrime, bet ir tuo, kad jis išugdė visą gabių mokslininkų galaktiką (Ukrainos TSR mokslų akademijos akademikas B.V. Gnedenko, akademikas Yu.V. Prokhorovas, B. A. Sevastjanovas ir kiti).
Tikimybių teorija, matematikos mokslas, tiriantis atsitiktinių dydžių modelius, per pastarąjį dešimtmetį virto vienu iš pagrindinių šiuolaikinio mokslo ir technologijų metodų. Spartus automatinio valdymo teorijos vystymasis lėmė būtinybę išspręsti daugybę klausimų, susijusių su galimos atsitiktinių veiksnių įtakos procesų eigos išaiškinimu. Tikimybių teorija reikalinga įvairiausiems specialistams – fizikai, biologai, gydytojai, ekonomistai, inžinieriai, kariškiai, gamybos vadovai ir kt.

Pamokos eiga.

aš. Organizacinis momentas.

II. Namų darbų tikrinimas
Atlikite priekinę apklausą atsakydami į klausimus:

Patikrinkite pratimų sprendimą:

• Kiek būdų galite sudaryti 10 žmonių sąrašą?
• Kiek būdų galima panaudoti 15 darbuotojų kuriant 5 žmonių komandas?
• 30 mokinių tarpusavyje apsikeitė nuotraukų kortelėmis. Kiek nuotraukų kortelių iš viso buvo išdalinta?

III. Naujos medžiagos mokymasis.
Aiškinamajame žodyne S.I. Ožegovas ir N.Yu. Švedova skaitome: „Tikimybė yra galimybė ką nors išsipildyti, įmanoma. Kasdieniame gyvenime dažnai vartojame „tikriausiai“, „labiau tikėtina“, „neįtikėtinai“, visiškai negalvodami apie konkrečius kiekybinius šios įvykdymo galimybės įvertinimus.
Šiuolaikinės tikimybių teorijos įkūrėjas A.N. Kolmogorovas apie tikimybę rašė taip: „Matematinė tikimybė yra skaitinė bet kokio konkretaus įvykio atsiradimo tam tikromis konkrečiomis sąlygomis tikimybės laipsnio charakteristika, kuri gali būti kartojama neribotą skaičių kartų“.
Taigi, matematikoje tikimybė matuojama skaičiumi. Labai greitai išsiaiškinsime, kaip tiksliai tai galima padaryti. Bet pradėsime aptardami, kurie įvykiai turi „matematinę tikimybę“ ir kas yra šios „tam tikros sąlygos, kurios gali būti kartojamos neribotą skaičių kartų“. Štai kodėl mes apsvarstysime atsitiktinius įvykius ir atsitiktinius eksperimentus.
Reikia pasakyti, kad tikimybių teorija, kaip ir jokia kita matematikos sritis, yra kupina prieštaravimų ir paradoksų. Paaiškinimas tai labai paprastas – tai pernelyg glaudžiai susijusi su tikra mus supančia tikrove. Ilgą laiką jie net nenorėjo jos kartu su matematine statistika priskirti prie matematinių disciplinų, laikydami jas grynai taikomaisiais mokslais.
Tik praėjusio amžiaus pirmoje pusėje, daugiausia dėl mūsų didžiojo tautiečio A.N. Kolmogorovas, kurio vardas jau buvo minėtas aukščiau, sukūrė matematinius tikimybių teorijos pagrindus, kurie leido atskirti patį mokslą nuo jo taikymo. Kolmogorovo pasiūlytas požiūris dabar paprastai vadinamas aksiomatiniu, nes tikimybė jame (tiksliau – tikimybių erdvė) apibrėžiama kaip tam tikra matematinė struktūra, tenkinanti tam tikrą aksiomų sistemą.
Būtent šiuo požiūriu yra sukurtas modernus universiteto tikimybių teorijos kursas, kurį vienu metu yra išklausę visi dabartiniai matematikos mokytojai. Tačiau mokykloje toks požiūris į tikimybių (ir apskritai matematikos) tyrimą vargu ar yra pagrįstas. Jei universitete pagrindinis dėmesys skiriamas tikimybiniams modeliams tirti skirto matematinio aparato studijoms, tai mokykloje studentas turi išmokti kurti šiuos modelius, analizuoti, patikrinti jų tinkamumą realioms situacijoms. Tokio požiūrio šiandien laikosi dauguma mokslininkų, susijusių su mokyklinio matematikos ugdymo problemomis.
Šiuolaikiniuose mokykliniuose vadovėliuose galite rasti tokį apibrėžimą: įvykis vadinamas atsitiktinis, jei tomis pačiomis sąlygomis tai gali atsitikti arba ne. Pavyzdžiui, įvykis „Metant kauliuką atsiras 6 taškai“ bus atsitiktinis.
Aukščiau pateiktame apibrėžime yra vienas svarbus reikalavimas, kurį reikia pabrėžti: mes turime sugebėti pakartotinai atkurti tas pačias sąlygas, kuriomis stebimas tam tikras įvykis(pavyzdžiui, mesti kubą) – kitaip neįmanoma spręsti apie jo atsitiktinumą.
Todėl kalbėdami apie bet kokį atsitiktinį įvykį visada turime omenyje tam tikrų sąlygų buvimą, be kurių nėra prasmės kalbėti apie šį įvykį. Šis sąlygų rinkinys vadinamas atsitiktinė patirtis arba atsitiktinis eksperimentas.
Ateityje bet kokį su atsitiktiniu eksperimentu susijusį įvykį pavadinsime atsitiktiniu. Prieš eksperimentą, kaip taisyklė, neįmanoma tiksliai pasakyti, ar tam tikras įvykis įvyks, ar ne - tai paaiškėja tik jam pasibaigus. Tačiau ne be reikalo padarėme sąlygą „kaip taisyklė“: tikimybių teorijoje įprasta visus su atsitiktiniu eksperimentu susijusius įvykius laikyti atsitiktiniais, įskaitant:

• neįmanoma to niekada negali atsitikti;
• patikimas, kurie pasitaiko kiekviename tokiame eksperimente.

Pavyzdžiui, įvykis „Kauliukas ridens 7 taškus“ yra neįmanomas, tačiau „Kauliukas ridens mažiau nei 7 taškus“ yra patikimas. Žinoma, jei kalbame apie kubą, kurio paviršiuose užrašyti skaičiai nuo 1 iki 6.
Renginiai vadinami nesuderinamas, jei kiekvieną kartą įmanoma pasirodyti tik vienam iš jų. Renginiai vadinami jungtis, jei tam tikromis sąlygomis vienas iš šių įvykių neatmeta galimybės įvykti kito to paties tyrimo metu (urnoje yra du rutuliai - baltas ir juodas, juodo kamuoliuko atsiradimas neatmeta galimybės įvykti baltos spalvos to paties tyrimo metu). Renginiai vadinami priešingai, jei testo sąlygomis jie, kaip vieninteliai jo rezultatai, yra nesuderinami. Įvykio tikimybė yra laikoma objektyvios atsitiktinio įvykio galimybės matu.

Pavadinimai:
Atsitiktiniai įvykiai (didžiosiomis lotyniškos abėcėlės raidėmis): A,B,C,D,.. (arba ). „Atsitiktinis“ yra praleistas ir jie tiesiog sako „įvykiai“.
Tam tikram įvykiui palankių baigčių skaičius – m;
Visų rezultatų (eksperimentų) skaičius yra n.
Klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Tikimybėįvykis A – šiam įvykiui palankių rezultatų m skaičiaus santykis su visų baigčių skaičiumi n (nenuoseklus, tik įmanomas ir vienodai įmanomas), t.y.
– atsitiktinio įvykio tikimybė
Bet kurio įvykio tikimybė negali būti mažesnė už nulį ir didesnė už vienetą, t.y. 0≤P(A)≤1
Neįmanomas įvykis atitinka tikimybę P(A)=0, o patikimas įvykis atitinka tikimybę P(A)=1

Tikimybių sudėjimo teoremos.
Teorema nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui.
Tikimybė, kad įvyks vienas iš kelių poromis nesuderinamų įvykių, nesvarbu, kuris iš jų, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Bendrų įvykių tikimybių pridėjimo teorema.
Tikimybė, kad įvyks bent vienas iš dviejų bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Formulė galioja trims bendriems renginiams:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Įvykiui A priešingas įvykis (t. y. įvykio A neįvykimas) žymimas . Dviejų priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui: P(A)+P()=1

Įvykio A tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvykis B jau įvyko, vadinama sąlyginė tikimybėįvykiai A subjektas B ir žymimas (A) arba P(A/B).
Jei A ir B yra nepriklausomi įvykiai, tada
P(B)-(B)=(B).

Įvykiai A,B,C,... vadinami apskritai nepriklausomas, jeigu kiekvieno iš jų tikimybė nekinta dėl kitų įvykių atskirai arba bet kokiu jų deriniu.

Tikimybių daugybos teoremos.
Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema.
Dviejų nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:
P(AB) = P(A) P(B)

Kelių įvykių, kurie kartu yra nepriklausomi, įvykimo tikimybė apskaičiuojama pagal formulę:
P()=P() P()… P().

Priklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema.
Dviejų priklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi vieno iš jų sandaugai ir antrojo sąlyginei tikimybei:
P(AB) = P(A) (B) = P(B) (A)

IV. Žinių taikymas sprendžiant tipines problemas
1 užduotis.
1000 bilietų loterijoje yra 200 laimėjusių. Atsitiktinai išimamas vienas bilietas. Kokia tikimybė, kad šis bilietas bus laimėtojas?
Sprendimas: Renginio A bilietas laimi. Bendras skirtingų baigčių skaičius yra n=1000
Palankių laimėti baigčių skaičius yra m=200. Pagal formulę P(A)= gauname P(A)== = 0,2 = 0,147

4 problema.
Dėžutėje yra 20 atsitiktine tvarka išdėstytų dalių, iš kurių 5 yra standartinės. Darbuotojas atsitiktinai paima 3 dalis. Raskite tikimybę, kad bent viena iš paimtų dalių bus standartinė.

5 užduotis.
Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas dviženklis skaičius bus 3 arba 5, arba abiejų kartotinis

6 užduotis.
Vienoje urnoje yra 4 balti ir 8 juodi rutuliai, kitoje – 3 balti ir 9 juodi rutuliai. Iš kiekvienos urnos buvo paimtas kamuolys. Raskite tikimybę, kad abu rutuliai yra balti.
Sprendimas: Tegul A yra balto rutulio išvaizda iš pirmosios urnos, o B - balto rutulio iš antrosios urnos išvaizda. Akivaizdu, kad įvykiai A ir B yra nepriklausomi. Raskime P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, gausime
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083

Užduotis 7.
Dėžutėje yra 12 dalių, iš kurių 8 yra standartinės. Darbuotojas atsitiktinai paima dvi dalis vieną po kitos. Raskite tikimybę, kad abi dalys bus standartinės.
Sprendimas:Įveskime tokį žymėjimą: A – pirmoji dalis yra standartinė; B – antra dalis yra standartinė. Tikimybė, kad pirmoji dalis yra standartinė, yra P(A)=8/12=2/3. Tikimybė, kad paimta antroji dalis bus standartinė, su sąlyga, kad pirmoji dalis buvo standartinė, t.y. sąlyginė įvykio B tikimybė lygi (B)=7/11.
Tikimybė, kad abi dalys pasirodys standartinės, randama naudojant priklausomų įvykių tikimybių dauginimo teoremą:
P(AB) = P(A) (B) = (2/3) (7/11) = 14/33 = 0,424

Savarankiškas žinių, įgūdžių ir gebėjimų taikymas.
1 variantas.

1. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas sveikas skaičius nuo 40 iki 70 yra 6 kartotinis?
2. Kokia tikimybė, kad penkis kartus išmetus monetą ji nusileis tris kartus?

2 variantas.

1. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas sveikas skaičius nuo 1 iki 30 (imtinai) yra 30 daliklis?
2. Mokslinių tyrimų institute dirba 120 žmonių, iš kurių 70 moka anglų, 60 – vokiečių, 50 – abu. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas darbuotojas nemoka nė vienos užsienio kalbos?

VI. Apibendrinant pamoką.

VII. Namų darbai:
G.N. Jakovlevas, matematika, 2 knyga, § 24.1, 24.2, p. 365-386. Pratimai 24.11, 24.12, 24.17 val

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausių išteklių

Kas yra tikimybė?

Kai pirmą kartą susidūriau su šiuo terminu, nebūčiau supratusi, kas tai yra. Todėl pabandysiu paaiškinti aiškiai.

Tikimybė yra tikimybė, kad įvyks mūsų norimas įvykis.

Pavyzdžiui, nusprendėte eiti į draugo namus, prisimenate įėjimą ir net grindis, ant kurių jis gyvena. Bet pamiršau buto numerį ir vietą. O dabar tu stovi ant laiptinės, o priešais tave – durys, iš kurių galima rinktis.

Kokia tikimybė (tikimybė), kad paskambinus pirmuoju durų skambučiu už jus duris atvers jūsų draugas? Yra tik butai, o draugas gyvena tik už vieno iš jų. Turėdami vienodą galimybę galime pasirinkti bet kokias duris.

Bet kokia yra ši galimybė?

Durys, dešinės durys. Tikimybė atspėti paskambinus pirmuoju durų skambučiu: . Tai yra, vieną kartą iš trijų jūs tiksliai atspėsite.

Norime kartą paskambinę sužinoti, kaip dažnai spėsime duris? Pažvelkime į visas parinktis:

1. Tu paskambinai 1-oji duris
2. Tu paskambinai 2-oji duris
3. Tu paskambinai 3 duris

Dabar pažvelkime į visas galimybes, kuriose galėtų būti draugas:

A. Už 1-oji duris
b. Už 2-oji duris
V. Už 3 duris

Palyginkime visas parinktis lentelės formoje. Varnelė žymi parinktis, kai tavo pasirinkimas sutampa su draugo vieta, kryželis – kai nesutampa.

Kaip tu viską matai Galbūt parinktys jūsų draugo buvimo vieta ir jūsų pasirinkimas, į kurias duris skambinti.

A visiems palankūs rezultatai . Tai yra, atspėsite vieną kartą paskambinę durų skambučiu, t.y. .

Tai tikimybė – palankaus rezultato (kai jūsų pasirinkimas sutampa su draugo buvimo vieta) ir galimų įvykių skaičiaus santykis.

Apibrėžimas yra formulė. Tikimybė paprastai žymima p, taigi:

Rašyti tokią formulę nėra labai patogu, todėl imsime - palankių rezultatų skaičių, o už - bendrą baigčių skaičių.

Tikimybę galima parašyti procentais, gautą rezultatą reikia padauginti iš:

Žodis „rezultatai“ tikriausiai patraukė jūsų dėmesį. Kadangi matematikai įvairius veiksmus (mūsų atveju toks veiksmas yra durų skambutis) vadina eksperimentais, tai tokių eksperimentų rezultatas dažniausiai vadinamas rezultatu.

Na, yra ir palankių, ir nepalankių rezultatų.

Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Tarkime, paskambinome į vieną iš durų, bet jas mums atidarė nepažįstamas žmogus. Mes neatspėjome teisingai. Kokia tikimybė, kad jei paskambinsime į vieną iš likusių durų, mūsų draugas jas mums atidarys?

Jei taip manai, vadinasi, tai klaida. Išsiaiškinkime.

Mums liko dvejos durys. Taigi turime galimų veiksmų:

1) Skambinti 1-oji duris
2) Skambinti 2-oji duris

Draugas, nepaisant viso to, neabejotinai stovi už vieno iš jų (juk jis neatsiliko nuo to, kuriam paskambinome):

a) draugas už 1-oji duris
b) draugas už 2-oji duris

Dar kartą nubraižome lentelę:

Kaip matote, yra tik galimybės, kurios yra palankios. Tai yra, tikimybė yra lygi.

Kodėl gi ne?

Situacija, kurią svarstėme, yra priklausomų įvykių pavyzdys. Pirmasis įvykis yra pirmasis durų skambutis, antrasis įvykis yra antrasis durų skambutis.

Ir jie vadinami priklausomais, nes įtakoja šiuos veiksmus. Juk jei po pirmo skambučio į durų skambutį atsilieptų draugas, kokia būtų tikimybė, kad jis atsiliko už vieno iš kitų dviejų? Teisingai,.

Bet jei yra priklausomi įvykiai, tai taip pat turi būti nepriklausomas? Teisingai, jų pasitaiko.

Vadovėlio pavyzdys – monetos metimas.

1. Vieną kartą mesti monetą. Kokia, pavyzdžiui, tikimybė gauti galvas? Teisingai – kadangi yra visi variantai (arba galvos, arba uodegos, nepaisysime tikimybės, kad moneta nusileis ant jos krašto), bet tai tinka tik mums.
2. Bet tai išėjo į galvą. Gerai, meskime dar kartą. Kokia tikimybė gauti galvą dabar? Niekas nepasikeitė, viskas taip pat. Kiek variantų? Du. Kiek mes esame patenkinti? Vienas.

Ir tegul tai iškyla bent tūkstantį kartų iš eilės. Tikimybė gauti galvas iš karto bus tokia pati. Visada yra variantų, ir palankių.

Nesunku atskirti priklausomus įvykius nuo nepriklausomų:

1. Jei eksperimentas atliekamas vieną kartą (kartą meta monetą, vieną kartą skambina durų skambučiu ir pan.), tada įvykiai visada yra nepriklausomi.
2. Jei eksperimentas atliekamas kelis kartus (kartą įmetama moneta, kelis kartus skambinama durų skambučiu), tada pirmasis įvykis visada yra nepriklausomas. Ir tada, jei keičiasi palankių ar visų baigčių skaičius, įvykiai yra priklausomi, o jei ne, jie yra nepriklausomi.

Šiek tiek pasitreniruokime nustatydami tikimybę.

1 pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė gauti galvas du kartus iš eilės?

Sprendimas:

Apsvarstykime visus galimus variantus:

1. Erelis-erelis
2. Galvos-uodegos
3. Uodegos-Galvos
4. Uodegos-uodegos

Kaip matote, yra tik galimybės. Iš jų esame tik patenkinti. Tai yra tikimybė:

Jei sąlyga tiesiog prašo rasti tikimybę, tada atsakymas turi būti pateiktas dešimtainės trupmenos forma. Jei būtų nurodyta, kad atsakymas turi būti pateikiamas procentais, tada daugintume iš.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Šokoladų dėžutėje visi šokoladai supakuoti į tą patį popierių. Tačiau iš saldumynų – su riešutais, su konjaku, su vyšniomis, su karamele ir su nuga.

Kokia tikimybė paimti vieną saldainį ir gauti saldainį su riešutais? Pateikite savo atsakymą procentais.

Sprendimas:

Kiek yra galimų rezultatų? .

Tai yra, jei paimsite vieną saldainį, jis bus vienas iš tų, kurie yra dėžutėje.

Kiek palankių rezultatų?

Nes dėžutėje yra tik šokoladukai su riešutais.

Atsakymas:

3 pavyzdys.

Balionų dėžutėje. iš kurių yra baltos ir juodos spalvos.

1. Kokia tikimybė nupiešti baltą rutulį?
2. Į dėžutę pridėjome daugiau juodų kamuoliukų. Kokia dabar tikimybė nupiešti baltą rutulį?

Sprendimas:

a) Dėžutėje yra tik kamuoliukai. Iš jų baltos spalvos.

Tikimybė yra tokia:

b) Dabar dėžėje yra daugiau kamuoliukų. O baltųjų liko tiek pat – .

Atsakymas:

Bendra tikimybė

Tarkime, dėžutėje yra raudoni ir žali rutuliai. Kokia tikimybė nupiešti raudoną rutulį? Žalias rutulys? Raudonas ar žalias rutulys?

Tikimybė nupiešti raudoną rutulį

Žalias rutulys:

Raudonas arba žalias rutulys:

Kaip matote, visų galimų įvykių suma yra lygi (). Šio punkto supratimas padės išspręsti daugybę problemų.

4 pavyzdys.

Dėžutėje yra žymekliai: žalia, raudona, mėlyna, geltona, juoda.

Kokia tikimybė nupiešti NE raudoną žymeklį?

Sprendimas:

Suskaičiuokime skaičių palankių rezultatų.

NĖRA raudonas žymeklis, tai reiškia žalią, mėlyną, geltoną arba juodą.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Jūs jau žinote, kas yra nepriklausomi renginiai.

Ką daryti, jei reikia rasti tikimybę, kad du (ar daugiau) nepriklausomi įvykiai įvyks iš eilės?

Tarkime, norime sužinoti, kokia yra tikimybė, kad vieną kartą išmetę monetą pamatysime galvas du kartus?

Mes jau svarstėme - .

O kas, jei vieną kartą mestume monetą? Kokia tikimybė pamatyti erelį du kartus iš eilės?

Iš viso galimų variantų:

1. Erelis-erelis-erelis
2. Galvos-galvos-uodegos
3. Galvos-uodegos-galvos
4. Galvos-uodegos-uodegos
5. Uodegos-galvos-galvos
6. Uodegos-galvos-uodegos
7. Uodegos-uodegos-galvos
8. Uodegos-uodegos-uodegos

Nežinau kaip jūs, bet aš kelis kartus suklydau sudarydamas šį sąrašą. Oho! Ir vienintelis variantas (pirmas) mums tinka.

5 metimams galite patys sudaryti galimų rezultatų sąrašą. Tačiau matematikai nėra tokie darbštūs kaip jūs.

Todėl jie pirmiausia pastebėjo, o paskui įrodė, kad tam tikros nepriklausomų įvykių sekos tikimybė kiekvieną kartą mažėja vieno įvykio tikimybe.

Kitaip tariant,

Pažvelkime į tos pačios nelemtos monetos pavyzdį.

Tikimybė susidurti su iššūkiu? . Dabar vieną kartą apverčiame monetą.

Kokia tikimybė gauti galvas iš eilės?

Ši taisyklė veikia ne tik tada, kai mūsų prašoma rasti tikimybę, kad tas pats įvykis įvyks kelis kartus iš eilės.

Jei norėtume rasti seką TAILS-HEADS-TAILS metimams iš eilės, darytume tą patį.

Tikimybė gauti uodegas yra , galvos - .

Tikimybė gauti seką TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Tai galite patikrinti patys, padarę lentelę.

Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo taisyklė.

Taigi sustok! Naujas apibrėžimas.

Išsiaiškinkime. Paimkime savo susidėvėjusią monetą ir vieną kartą išmeskime.
Galimi variantai:

1. Erelis-erelis-erelis
2. Galvos-galvos-uodegos
3. Galvos-uodegos-galvos
4. Galvos-uodegos-uodegos
5. Uodegos-galvos-galvos
6. Uodegos-galvos-uodegos
7. Uodegos-uodegos-galvos
8. Uodegos-uodegos-uodegos

Taigi nesuderinami įvykiai yra tam tikra, duota įvykių seka. – tai nesuderinami įvykiai.

Jei norime nustatyti, kokia yra dviejų (ar daugiau) nesuderinamų įvykių tikimybė, tada pridedame šių įvykių tikimybes.

Turite suprasti, kad galvos arba uodegos yra du nepriklausomi įvykiai.

Jei norime nustatyti sekos (ar bet kurios kitos) atsiradimo tikimybę, tada naudojame tikimybių dauginimo taisyklę.
Kokia tikimybė gauti galvą pirmą kartą metant, o uodegas – antrą ir trečią metimą?

Bet jei norime sužinoti, kokia yra tikimybė gauti vieną iš kelių sekų, pavyzdžiui, kai galvutės iškyla lygiai vieną kartą, t.y. parinktys ir tada turime pridėti šių sekų tikimybes.

Visi variantai mums tinka.

Tą patį galime gauti sudėję kiekvienos sekos atsiradimo tikimybes:

Taigi, kai norime nustatyti tam tikrų nenuoseklių įvykių sekų tikimybę, pridedame tikimybes.

Yra puiki taisyklė, kuri padės nesusipainioti, kada reikia dauginti, o kada pridėti:

Grįžkime prie pavyzdžio, kai vieną kartą metėme monetą ir norėjome sužinoti tikimybę vieną kartą pamatyti galvas.
Kas turėtų nutikti?

Turėtų iškristi:
(galvos IR uodegos IR uodegos) ARBA (uodegos IR uodegos IR uodegos) ARBA (uodegos IR uodegos IR galvos).
Štai kaip paaiškėja:

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

5 pavyzdys.

Dėžutėje yra pieštukai. raudona, žalia, oranžinė ir geltona bei juoda. Kokia tikimybė piešti raudonus arba žalius pieštukus?

Sprendimas:

6 pavyzdys.

Jei kauliukas metamas du kartus, kokia tikimybė iš viso gauti 8?

Sprendimas.

Kaip galime gauti taškų?

(ir) arba (ir) arba (ir) arba (ir) arba (ir).

Tikimybė gauti vieną (bet kurį) veidą yra .

Apskaičiuojame tikimybę:

Treniruotės.

Manau, dabar jūs suprantate, kada reikia skaičiuoti tikimybes, kada jas pridėti, o kada padauginti. Ar ne taip? Truputį pasitreniruokime.

Užduotys:

Paimkime kortų kaladę, kurioje yra kortos, įskaitant kastuvus, širdeles, 13 lazdų ir 13 deimantų. Nuo iki kiekvieno kostiumo tūzo.

1. Kokia tikimybė ištraukti lazdas iš eilės (pirmą ištrauktą kortą dedame atgal į kaladę ir sumaišome)?
2. Kokia tikimybė ištraukti juodą kortą (kastuvus ar lazdas)?
3. Kokia tikimybė nupiešti paveikslą (domkas, dama, karalius ar tūzas)?
4. Kokia tikimybė nupiešti du paveikslėlius iš eilės (iš kaladės išimame pirmą ištrauktą kortą)?
5. Kokia tikimybė, paėmus dvi kortas, surinkti kombinaciją – (domkas, dama ar karalius) ir tūzas Kortų ištraukimo seka neturi reikšmės?

Atsakymai:

Jei visas problemas sugebėjote išspręsti patys, tuomet esate puikūs! Dabar vieningo valstybinio egzamino tikimybių teorijos uždavinius sprausite kaip riešutus!

TIKIMUMU TEORIJA. VIDURIO LYGIS

Pažiūrėkime į pavyzdį. Tarkime, mesti kauliuką. Koks čia kaulas, ar žinai? Taip jie vadina kubą su skaičiais ant veido. Kiek veidų, tiek skaičių: nuo iki kiek? Į.

Taigi metame kauliuką ir norime, kad jis atsirastų arba. Ir mes tai gauname.

Tikimybių teorijoje jie sako, kas atsitiko palankus įvykis(nepainioti su klestinčiais).

Jei taip atsitiktų, įvykis taip pat būtų palankus. Iš viso gali įvykti tik du palankūs įvykiai.

Kiek yra nepalankių? Kadangi yra visi galimi įvykiai, tai reiškia, kad nepalankūs yra įvykiai (tai yra jei arba iškrenta).

Apibrėžimas:

Tikimybė yra palankių įvykių skaičiaus ir visų galimų įvykių skaičiaus santykis. Tai yra, tikimybė parodo, kokia visų galimų įvykių dalis yra palanki.

Tikimybę jie žymi lotyniška raide (matyt, iš angliško žodžio probability – tikimybė).

Įprasta tikimybę matuoti procentais (žr. temas ir). Norėdami tai padaryti, tikimybės reikšmę reikia padauginti iš. Kauliuko pavyzdyje tikimybė.

Ir procentais: .

Pavyzdžiai (spręskite patys):

1. Kokia tikimybė gauti galvą metant monetą? Kokia yra galvų nusileidimo tikimybė?
2. Kokia tikimybė gauti lyginį skaičių metant kauliuką? Kuris iš jų yra nelyginis?
3. Paprastų, mėlynų ir raudonų pieštukų dėžutėje. Atsitiktinai piešiame vieną pieštuką. Kokia tikimybė gauti paprastą?

Sprendimai:

1. Kiek yra variantų? Galvos ir uodegos – tik dvi. Kiek iš jų yra palankių? Tik vienas yra erelis. Taigi tikimybė

   Tas pats ir su uodegomis: .

2. Iš viso parinkčių: (kiek pusių turi kubas, tiek įvairių variantų). Palankūs: (visi tai lyginiai skaičiai:).
   Tikimybė. Žinoma, taip yra ir su nelyginiais skaičiais.
3. Iš viso: . Palanku:. Tikimybė:.

Bendra tikimybė

Visi dėžutėje esantys pieštukai yra žali. Kokia tikimybė nupiešti raudoną pieštuką? Nėra jokių šansų: tikimybė (juk palankūs įvykiai -).

Toks įvykis vadinamas neįmanomu.

Kokia tikimybė nupiešti žalią pieštuką? Palankių įvykių yra lygiai tiek pat, kiek yra visų įvykių (visi įvykiai yra palankūs). Taigi tikimybė yra lygi arba.

Toks įvykis vadinamas patikimu.

Jei dėžutėje yra žalios ir raudonos spalvos pieštukai, kokia tikimybė nupiešti žalią arba raudoną? Vėlgi. Atkreipkite dėmesį: tikimybė ištraukti žalią yra lygi, o raudona - lygi.

Apibendrinant, šios tikimybės yra lygiai lygios. tai yra visų galimų įvykių tikimybių suma lygi arba.

Pavyzdys:

Pieštukų dėžutėje yra mėlynos, raudonos, žalios, paprastos, geltonos, o likusios - oranžinės spalvos. Kokia tikimybė nenupiešti žaliai?

Sprendimas:

Prisimename, kad visos tikimybės sumuojasi. Ir tikimybė sužaliuoti yra lygi. Tai reiškia, kad tikimybė nenupiešti žalios spalvos yra lygi.

Prisiminkite šį triuką: Tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi minus tikimybei, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomi įvykiai ir daugybos taisyklė

Vieną kartą išverčiate monetą ir norite, kad ji iškiltų į galvą abu kartus. Kokia to tikimybė?

Peržiūrėkime visas galimas parinktis ir nustatykime, kiek jų yra:

Galvos-Galvos, Uodegos-Galvos, Galvos-Uodegos, Uodegos-Uodegos. Kokie kiti?

Iš viso parinkčių. Iš jų mums tinka tik vienas: Erelis-Erelis. Iš viso tikimybė yra lygi.

gerai. Dabar vieną kartą išmeskime monetą. Suskaičiuok pats. Ar pavyko? (atsakymas).

Galbūt pastebėjote, kad pridėjus kiekvieną paskesnį metimą tikimybė sumažėja perpus. Bendra taisyklė vadinama daugybos taisyklė:

Nepriklausomų įvykių tikimybės kinta.

Kas yra nepriklausomi renginiai? Viskas logiška: tai tie, kurie nepriklauso vienas nuo kito. Pavyzdžiui, kai mes metame monetą kelis kartus, kiekvieną kartą daromas naujas metimas, kurio rezultatas nepriklauso nuo visų ankstesnių metimų. Lygiai taip pat lengvai galime išmesti dvi skirtingas monetas vienu metu.

Daugiau pavyzdžių:

1. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė, kad tai įvyks abu kartus?
2. Moneta metama vieną kartą. Kokia tikimybė, kad jis pirmą kartą iškils galva, o paskui du kartus?
3. Žaidėjas meta du kauliukus. Kokia tikimybė, kad ant jų esančių skaičių suma bus lygi?

Atsakymai:

1. Įvykiai yra nepriklausomi, vadinasi, veikia daugybos taisyklė: .
2. Galvų tikimybė yra lygi. Uodegų tikimybė yra tokia pati. Padauginti:
3. 12 galima gauti tik išmetus du -ki: .

Nesuderinami įvykiai ir pridėjimo taisyklė

Įvykiai, kurie papildo vienas kitą iki visiškos tikimybės, vadinami nesuderinamais. Kaip rodo pavadinimas, jie negali vykti vienu metu. Pavyzdžiui, jei mes išverčiame monetą, ji gali pasirodyti galva arba uodega.

Pavyzdys.

Pieštukų dėžutėje yra mėlynos, raudonos, žalios, paprastos, geltonos, o likusios - oranžinės spalvos. Kokia tikimybė nupiešti žalią arba raudoną?

Sprendimas.

Tikimybė nupiešti žalią pieštuką yra lygi. Raudona -.

Palankūs įvykiai iš viso: žalia + raudona. Tai reiškia, kad tikimybė nupiešti žalią arba raudoną yra lygi.

Tą pačią tikimybę galima pavaizduoti tokia forma: .

Tai yra papildymo taisyklė: nesuderinamų įvykių tikimybės sumuojasi.

Mišraus tipo problemos

Pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė, kad ritinių rezultatai skirsis?

Sprendimas.

Tai reiškia, kad jei pirmasis rezultatas yra galvos, antrasis turi būti uodegos ir atvirkščiai. Pasirodo, yra dvi nepriklausomų įvykių poros, ir šios poros yra nesuderinamos viena su kita. Kaip nesusipainioti, kur dauginti ir kur pridėti.

Tokioms situacijoms galioja paprasta taisyklė. Pabandykite apibūdinti, kas nutiks, naudodami jungtukus „IR“ arba „ARBA“. Pavyzdžiui, šiuo atveju:

Jis turėtų iškilti (galvos ir uodegos) arba (uodegos ir galvos).

Ten, kur yra jungtukas „ir“, bus daugyba, o kur „arba“ – pridėjimas:

Išbandykite patys:

1. Kokia tikimybė, kad monetą išmetus du kartus, moneta abu kartus atsidurs toje pačioje pusėje?
2. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė gauti bendrą taškų skaičių?

Sprendimai:

Kitas pavyzdys:

Vieną kartą mesti monetą. Kokia tikimybė, kad galvos atsiras bent kartą?

Sprendimas:

TIKIMUMU TEORIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tikimybė yra palankių įvykių skaičiaus ir visų galimų įvykių skaičiaus santykis.

Nepriklausomi renginiai

Du įvykiai yra nepriklausomi, jei vieno įvykis nekeičia kito įvykimo tikimybės.

Bendra tikimybė

Visų galimų įvykių tikimybė yra lygi ().

Tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi minus tikimybei, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Tam tikros nepriklausomų įvykių sekos tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugai

Nesuderinami įvykiai

Nesuderinami įvykiai yra tie, kurie negali įvykti vienu metu dėl eksperimento. Nemažai nesuderinamų įvykių sudaro visą įvykių grupę.

Sumuojasi nesuderinamų įvykių tikimybė.

Aprašę, kas turėtų įvykti, naudodami jungtukus „IR“ arba „ARBA“, vietoje „IR“ dedame daugybos ženklą, o vietoje „ARBA“ dedame pridėjimo ženklą.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingai išlaikiusį vieningą valstybinį egzaminą, už įstojimą į kolegiją neviršijant biudžeto ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!