Geometrija yra visur aplink mus. Dvikampis kampas

Trikampio elementai Trikampyje laikomos ir kitos atkarpos: Medianos (atkarpos, jungiančios trikampio viršūnes su priešingų kraštinių vidurio taškais.) Bisektoriai (trikampio viduje esantys atkarpos, dalijančios jo kampus) Aukštinės (statmenys, nukritę nuo trikampio viršūnių). trikampis su linija, kurioje yra priešinga kraštinė)

Lygiašonio trikampio teoremos Lygiašonio trikampio pagrindo kampai yra lygūs. Lygiašonio trikampio pagrindo kampai yra lygūs. Lygiašonio trikampio pusė, nubrėžta į pagrindą, yra mediana ir aukštis. Lygiašonio trikampio pusė, nubrėžta į pagrindą, yra mediana ir aukštis.

Naudota literatūra: Vadovėlis "Geometrija" 7-9 klasės / L.S. Atanasyan - leidykla "Prosveshchenie", 2007 Vadovėlis "Geometrija" 7-9 klasė / L.S. Atanasyan - leidykla "Prosveshchenie", 2007 Enciklopedija1.Matematika. / Vyriausiasis redaktorius M.D. Aksenova-M.: Avanta+, 1998 m. Enciklopedija vaikams T. 11. Matematika / Vyriausiasis redaktorius. M.D. Aksenova-M.: Avanta+, 1998 m.

Daugelio mus supančių objektų forma panaši į geometrines figūras. Albumo lapas yra stačiakampio formos. Jei ant popieriaus lapo uždėsite apvalią stiklinę ir nubrėžsite ją pieštuku, gausite apskritimą vaizduojančią liniją. Žiedas ar lankelis savo forma primena apskritimą, o cirko arena, stiklinės dugnas ar lėkštė – apskritimo formos. Apelsinas, futbolo kamuolys ir arbūzas atrodo kaip kamuolys. Šešiakampis pieštukas ir Egipto piramidės taip pat yra geometrinės figūros.

Geometrija yra mokslas apie geometrinių figūrų savybes: trikampį, kvadratą, apskritimą, piramidę, sferą ir kt.

Žodis „geometrija“ yra graikų kalba ir išvertus į rusų kalbą reiškia „žemės matavimas“. Visuotinai pripažįstama, kad geometrija atsirado Senovės Graikijoje. Tačiau graikai žemės matavimo pagrindus perėmė iš egiptiečių ir, nustatydami bendruosius įstatymus, pavertė ją moksline disciplina. Pagrindinis geometrijos darbas yra senovės graikų mokslininko Euklido „Elementai“, sudaryti apie 300 m. Šis darbas ilgą laiką buvo laikomas pavyzdiniu. Euklido geometrija tiria paprasčiausias geometrines formas: taškus, tiesias linijas, atkarpas, daugiakampius, rutulius, piramides ir tt Būtent ši geometrijos dalis yra mokoma mokykloje.

1877 m. vokiečių matematikas Feliksas Kleinas savo Erlangerio programoje pasiūlė įvairių geometrijos šakų klasifikaciją, kuri yra naudojama ir šiandien: euklidinė geometrija, projekcinė, afininė, aprašomoji, daugiamatė, Riemanninė, neeuklidinė geometrija, daugiklių geometrija. , topologija.

Euklido geometrija susideda iš dviejų dalių: planimetrijos ir stereometrijos.

Planimetrija yra geometrijos šaka, kurioje tiriamos geometrinės figūros plokštumoje.

Stereometrija yra geometrijos šaka, tirianti figūras erdvėje.

Projekcinė geometrija tiria figūrų savybes, kurios išsaugomos jas projektuojant (pakeičiant panašiomis skirtingo dydžio figūromis).

Afininė geometrija tiria pastovias figūrų savybes esant įvairiems plokštumos ir erdvės pokyčiams.

Inžinerinė disciplina – aprašomoji geometrija objektui vaizduoti naudoja kelias projekcijas, kurios leidžia padaryti trimatį objekto vaizdą.

Daugiamatė geometrija tiria alternatyvų ketvirtosios dimensijos egzistavimą.

Yra atskiri instrumentiniai poskyriai: analitinė geometrija, naudojanti algebrinius metodus geometrinėms figūroms aprašyti, ir diferencialinė geometrija, tirianti įvairių funkcijų grafikus.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Geometrija - matematikos šaka, tirianti erdvinius santykius ir formas, taip pat bet kokius kitus santykius ir formas, panašius į erdvinius.

Rusų kalboje (kaip ir daugelyje kitų) terminas „geometrija“ vartojamas ne tik atitinkamam mokslui, bet ir nagrinėjamo objekto erdvinių ar panašių formų bei savybių rinkiniui.

Šiuolaikinė geometrija tiek pagal pagrindinius studijų objektus, tiek pagal taikomus metodus yra suskirstyta į daugelį disciplinų, žr. skyrių Pagrindinės geometrijos šakos, turinčios ir fundamentalią, ir taikomąją reikšmę. Visus juos vienija vienas geometrinis požiūris, susidedantis iš to, kad dėmesys pirmiausia skiriamas kokybinėms nagrinėjamų objektų savybėms, taip pat aiškumo siekis visuose tyrimo etapuose, nuo problemos nustatymo iki formulavimo. rezultatas. Geometrija turi daugybę pritaikymų, žr. skyrių Geometrijos vieta šiuolaikiniame pasaulyje, o tai savo ruožtu skatina jos vystymąsi.

Geometrija persmelkia beveik visas žmogaus veiklos sritis. Mūsų idėjos apie grožį ir harmoniją, apie griežtą įrodymą, apie nepriekaištingą loginę struktūrą yra neatsiejamai susijusios su geometrija. Galiausiai, žmogaus regėjimo turtingumas labai padidina analizės galimybes ir leidžia aptikti sudėtingus ryšius, kurie nėra akivaizdūs be vizualinio tiriamų objektų vaizdo. Tikriausiai todėl, spręsdami sudėtingą problemą, dažnai siekiame nubraižyti paveikslą (schemą, planą, diagramą). Kitaip tariant, siekiame rasti sėkmingą vizualizaciją, sukurti geometrinį modelį, t.y. sumažinti problemą iki geometrinės.

Geometrijos raida.

Geometrija yra viena iš seniausių žmogaus veiklos rūšių. Net priešistoriniais laikais žmonės ant urvų sienų vaizdavo medžioklės raštus, taip pat gana sudėtingus geometrinius raštus. Vėliau, Senovės Egipte ir Babilone atsiradus žemdirbystei, atsirado poreikis padalinti žemės sklypus. Matyt, tada geometrijoje pradėjo formuotis mokslo užuomazgos: buvo atrasti ir suprasti kai kurie bendri modeliai ir ryšiai tarp tokių geometrinių dydžių kaip plotas ir ilgis. Pastebėkime, kad iš esmės tai buvo empiriniai faktai, kurių tuo metu arba visai nebuvo, arba jie buvo primityvaus lygio.

Galiausiai, maždaug prieš pustrečio tūkstančio metų, anot istorikų, geometrija iš Egipto buvo atvežta į Graikiją. Čia geometrija ne tik įgauna savo šiuolaikinį pavadinimą (žodis „geometrija“ kilęs iš graikų kalbos ir reiškia „matuoti žemę“), bet ir palaipsniui išsivysto į nuoseklią žinių sistemą, kaupiasi nauji faktai, kuriami kai kurie įrodymams keliami reikalavimai. , ir pirmosios abstrakčios geometrinių figūrų ir judesių sąvokos. Atsiranda mokslinės mokyklos (žinomiausia iš jų yra mokykla Pitagoras). Dėl to įvyksta kokybinis šuolis, o geometrija tampa atskiru matematiniu mokslu, kurio teiginiai pateikiami įrodymais. Puikus graikų laikotarpio rezultatas buvo „Principai“ Euklidas(apie 300 m. pr. Kr.). Euklido pristatyme geometrija (tiksliau, elementarioji geometrija) mums atrodo praktiškai, savo šiuolaikine forma, kaip paprasčiausių erdvinių formų ir santykių mokslas, sukurtas remiantis aiškiai suformuluotais pagrindiniais principais – aksiomomis ir postulatais. griežta loginė seka. Taip pat Senovės Graikijoje atsirado kūginių pjūvių doktrina ( Apolonijus), trigonometrijos pradžia ( Hiparchas) ir kt.

Renesanso laikais domėjimąsi geometrija daugiausia lėmė praktiniai poreikiai. Kartografija vystosi ( Merkatorius), astronomija ( Kepleris), perspektyvos teorija ( Leonardo da Vinci, Vitruvijus). Tačiau iš esmės naujas žingsnis buvo žengtas tik XVII amžiaus pradžioje. Renė Dekartas (Renė Dekartas; Renatas Kartezius), kuris savo fundamentiniame veikale „Metodo diskursas...“ (1637) pirmasis panaudojo algebrinius metodus geometriniame tyrime. Kad tai pasiektų, Dekartas pristatė koordinačių sistemas ir kreives bei paviršius pateikė kaip (algebrinių) lygčių sprendinių rinkinius. Pasitelkęs savo metodą, Dekartas sugebėjo atrasti nemažai naujų faktų, dėl kurių jo požiūris labai išpopuliarėjo. Šiuolaikiniu požiūriu Dekartas sukūrė analitinę geometriją ir priartėjo prie algebrinės geometrijos. Taip pat XVII a Desarguesas (Gerardas Desarguesas) ir jo mokinys Paskalis (Blezas Paskalis) padėjo projekcinės geometrijos ir aprašomosios geometrijos pagrindus.

Dekarto koordinačių metodas leido susieti geometriją su tuo metu sparčiai besivystančia ir darbuose atsiradusia algebra. Leibnicas Ir Niutonas matematinė analizė. Dėl to XVIII a Euleris (Leonhardas Eileris), Monge (Gaspardas Monge'as) Ir Ponceletas (Jean-Victor Poncelet) jau tyrinėja kreives ir paviršius, apibrėžtus savavališkomis pakankamai lygiomis funkcijomis (nebūtinai algebrinėmis). Taip gimė diferencialinė geometrija, kuri savo pavadinimą daugiausia įsakinėjo dėl metodų, pagrįstų diferencialiniu skaičiavimu. Šiomis pareigomis ji klesti savo darbuose Gausas (Johanas Carlas Friedrichas Gaußas) Ir Bona (Pierre'as Ossianas Bonetas).

Kitas kokybinis šuolis įvyko jau XIX a. Matyt, bendrųjų paviršių tyrimas ir gautų rezultatų palyginimas su elementariąja (euklidine) geometrija leido geometrams suprasti kitų, ne euklido geometrijų, egzistavimo galimybę. Neeuklido geometrijų raidos kertinis akmuo buvo garsusis Euklido „penktasis postulatas“, kuriame teigiama (formuluotėje Prokla), kad plokštumoje per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, lygiagrečiai pradinei gali būti nubrėžta viena ir tik viena tiesė. Nuo seniausių laikų iki XVIII amžiaus kartkartėmis buvo bandoma šį teiginį išvesti iš kitų Euklido geometrijos aksiomų. Tarp matematikų, kurie nagrinėjo šią temą, buvo Ptolemėjas(II a.) ir Proclus(V a.), Ibn al Haithamas Ir Omaras Khayyamas(XI amžius), Saccheri Ir Legenda(XVIII a.). Galiausiai XIX amžiaus pradžioje ėmė ryškėti supratimas, kad prasmingą teoriją galima sukurti ir be penktojo postulato. Garbė atrasti naują geometriją priklauso N. I. Lobačevskis, kuris 1829 metais išleido veikalą „Apie geometrijos principus“, kuriame teigiama, kad neįmanoma įrodyti penktojo postulato ir egzistuoja nuosekli teorija, paremta priešingu teiginiu. Vengrijos matematikas savarankiškai padarė tokią pačią išvadą Bolyayi (Janas Bolyai), kuris savo darbą paskelbė 1832 m. Vėliau paaiškėjo, kad Gausas kiek anksčiau suvokė neeuklido geometrijų egzistavimo galimybę, tačiau darbų šia tema neskelbė. Lobačevskio sukurta geometrija dabar vadinama Lobačevskio geometrija.

Atidarymas Lobačevskis Ir Bolyayi paskatino domėtis bendrąja paviršių teorija. Tampa aišku, kad Lobačevskio „įsivaizduojama geometrija“ yra tikra lenktose erdvėse. Darbuose iškilo kreivumo samprata Gausas apie paviršių teoriją XIX a. XX amžiuje. Gausas tiria vidinę paviršiaus geometriją, t.y. geometrija, kuri nepriklauso nuo paviršiaus vietos supančioje erdvėje ir nesikeičia lenkiant. Įrodyta Gausas Theorema Egregium ("Briliantinė teorema") teigia, kad (Gauso) paviršiaus kreivumas nekinta jį sulenkus. Visų pirma, iš to seka, kad joks rutulio gabalas negali būti padėtas ant plokštumos neiškraipant atstumų, o tai svarbu, pavyzdžiui, kartografijoje.

Paviršių teorija buvo toliau plėtojama darbuose Rimanas (GeorgasFriedrichasBernhardas Riemanas), padėjusį šiuolaikinės daugiamatės Riemanno geometrijos („daugiamatė paviršių teorija“) pagrindus. Jis yra darbuose Rimanas Pirmą kartą atsiranda tokios pagrindinės sąvokos kaip kolektorius, Riemano metrika ir kreivumo tenzorius. Jis vienas pirmųjų suvokė ryšį tarp metrikos, erdvės kreivumo ir fizinių jėgų, kurios numatė sukurti bendrąją reliatyvumo teoriją. Riemannas suprato, kad mikrokosmoso ir makrokosmoso geometrijos gali labai skirtis nuo euklido, o tai gerai sutampa su šiuolaikiniais fiziniais duomenimis. Riemannas Jis taip pat aktyviai dalyvavo kompleksinėje analizėje. Jo darbuose pirmą kartą buvo sukonstruoti daugiareikšmių kompleksinių funkcijų Riemann paviršiai.

Tuo pačiu metu gimsta topologija. Pirmieji topologinio pobūdžio rezultatai gauti dar XVIII amžiuje (pavyzdžiui, Eilerio formulė išgaubtam daugiakampiui, Eulerio grafikai). Kolektorių, ypač Riemanno paviršių, tyrimas leido atrasti tokias savybes kaip sujungimas ir orientuotumas, kurių nenustato nei metrinė, nei kreivumas. Topologinio pobūdžio svarstymai jau buvo naudojami darbuose Gausas , Rimanas, Moebius, Džordana Ir Cantora. Tačiau, kaip savarankiškas mokslas, topologija susiformavo jau XX a Hausdorfas(apibūdinta svarbi topologinių erdvių klasė, šiandien vadinama Hausdorfo erdvėmis), Kuratovskis(apibrėžė bendrą topologinę erdvę), Poincare(padėjo homotopijų ir homologijos teorijos pagrindus, pristatė pagrindinę grupę ir Betti skaičius), Aleksandrova Ir Urysonas(sukūrė šiuolaikinę matmenų teoriją ir kompaktiškų erdvių teoriją).

Taigi XIX amžių galima apibūdinti kaip geometrijos klestėjimo šimtmetį. Dėl to buvo atrasta daug įvairių geometrijų, kurios, aktyviai vystydamosi, tarsi tolsta viena nuo kitos. Feliksas Kleinas savo garsiojoje Erlangeno programoje (1872 m.) jis pasiūlė vieningą algebrinį metodą, kuris sumažina geometrinius tyrimus iki iš anksto nustatytos kolektoriaus transformacijų grupės invariantų aprašymo. Keisdami transformacijos grupę, keičiame nagrinėjamą geometriją. Pavyzdžiui, šiuo požiūriu euklido geometrija atitinka Euklido erdvės judesių grupę, projekcinė geometrija - projekcinių transformacijų grupę, topologija - homeomorfizmų grupę ir t.t. Atkreipkite dėmesį, kad už jo darbą ties geometrijos pagrindais Kleinas buvo apdovanotas Lobačevskio premija (1897).

Įnešė svarų indėlį į invariantų teoriją Gilbertas(garsioji teorema apie invariantus). Gilbertas Jis taip pat nagrinėjo matematikos formalizavimo problemas apskritai, sukūrė šiuolaikinę euklido geometrijos aksiomatiką (fundamentalus darbas „Geometrijos pagrindai“, 1899 m.). Be to, Gilbertas pradžios geometrijos (ir apskritai matematikos) raidą apibendrino. Kalbėdamas II tarptautiniame matematikos kongrese (1900 m., Paryžius), Gilbertas suformulavo 23 problemas, kurios, jo nuomone, turėjo tapti aktualiausiomis ateinančio šimtmečio matematikams. Tarp jų – mažiausiai šešios geometrinės problemos, kurios tikrai daugiausia nulėmė tolimesnės geometrijos raidos kryptis XX a.

XX amžiaus pagrindines raidos kryptis ir geometrijos pjūvius apibūdinsime kitame skyriuje. Čia tik pabrėšime, kad geometrija tęsėsi ir toliau aktyviai vystosi ir užima vieną iš pirmaujančių vietų tarp matematikos mokslų. Kaip iliustraciją pateikiame šiuos įdomius faktus. Kaip žinote, šiandien matematikai turi du Nobelio premijos analogus – Fieldso premiją ir Abelio premiją. Fieldso medalis datuojamas 1936 m. Pirmieji du jo laureatai (1936 m.) buvo geometrai: Larsas Ahlforsas(Riemano paviršių teorija) ir Jesse'as Douglasas(Plato problemos sprendimas ant minimalių paviršių). Nuo tada tarp laukų laureatų visada buvo geometrai. Abelio premija yra daug jaunesnė, ji pradėta teikti XXI amžiuje. Iš viso 2010 m. buvo įteiktos 8 Abelio premijos, trys iš jų geometrijos ( Jeanas Pierre'as Serre'as 2003, Michaelas Atiyah Ir Isadore Singer 2004, Michailas Gromovas 2009) ir du geometriniams metodams kituose moksluose ( Piteris Laxas 2005, Lenaras Carlesonas 2006).

Vienas iš Hilberto sąrašo analogų XXI amžiuje yra vadinamosios Tūkstantmečio problemos ( TūkstantmetisPrizasProblemos), suformuluotas Molio instituto, kurį 1998 metais įkūrė verslininkas, vardu Lendonas Klejus (Lendonas T. Klejus) ir matematikas Artūras Jaffey (Artūras Džefas) matematinių žinių skatinimo tikslu. Iš 7 tūkstantmečio problemų trys yra geometrijos, būtent Hodge spėjimas (projektinės atmainos kohomologijos klasių struktūra, realizuojama algebrinėmis povarčiais), Poincaré spėjimas (homologinėje sferoje, išspręstas G. Perelmanas), Birch ir Swinnerton-Dyer spėjimas (apie racionalius elipsinių kreivių taškus). Problema, susijusi su Yang-Mills laukų tyrimu, taip pat gali būti klasifikuojama kaip geometrinė.

Pagrindinės šiuolaikinės geometrijos dalys.

Šiuolaikinėje universaliojoje dešimtainėje klasifikacijoje (http://udk-codes.net/) yra daugiau nei 50 elementų, kurių pavadinime yra žodis „geometrija“. Čia išvardinsime tik keletą iš jų, atitinkančių reikšmingiausias ir, mūsų nuomone, aktyviai besivystančias geometrijos dalis.

• Algebrinė geometrija tiria P=0 formos lygčių sistemų sprendimus, kur P yra kelių kintamųjų daugianario. Kartu tiriami tiek tokių sprendinių egzistavimo klausimai, tiek visų sprendinių aibės savybės. Tokios aibės vadinamos algebrinėmis aibėmis arba algebrinėmis atmainomis. Pagrindinis skirtumas tarp algebrinės geometrijos ir kitų geometrijos šakų yra tas, kad, be kitų geometrinių metodų, joje labai dažnai naudojamos abstrakčios algebros idėjos ir metodai, ypač jos poskyriai, tokie kaip komutacinė algebra ir homologinė algebra. Vienas garsiausių algebrinės geometrijos pasiekimų yra paskutinės Ferma teoremos įrodymas.
• Sukurta analitinė geometrija Dekartas, jis buvo suprastas kaip algebrinė geometrija šiuolaikine prasme. Šiandien analitinė geometrija yra algebrinės geometrijos poskyris, tiriantis tiesinių arba kvadratinių lygčių sistemų sprendimus plokštumoje ir erdvėje. Taigi analitinės geometrijos objektai yra antros eilės tiesės, plokštumos, taip pat kreivės ir paviršiai. Šių objektų klasifikavimo problema buvo visiškai išspręsta, tačiau analitinė geometrija neprarado savo reikšmės. Jis svarbus tiek konkretiems skaičiavimams, tiek mokymosi procesui, nes jame yra tokių svarbių metodų, kaip koordinačių metodas ir invariantų metodas, pagrindai.
• Išgaubtoji geometrija nagrinėja išgaubtų aibių geometriją, pirmiausia Euklido erdvėse. Pradedant nuo darbų Minkovskis (Hermanas Minkovskis) Ir Bruna (Hermanas Brunas) tapo aišku, kad išgaubtumo savybė leidžia sukurti nepriklausomą teoriją, be papildomų diferencijavimo prielaidų. Vienas ryškiausių išgaubtos geometrijos rezultatų yra Minkovskio-Aleksandrovo teorema apie išgaubto daugiakampio atstatymą pagal jo paviršių savybes. Išgaubtoji geometrija turi daug pritaikymų optimizavimo problemoms spręsti, ypač išgaubtam programavimui ir tiesiniam programavimui.
• Skaičiavimo geometrija užsiima kombinatorinių algoritmų geometrinių uždavinių sprendimu konstravimu ir tyrimu, taip pat geometriniu modeliavimu, t.y. ištisinių kreivių ir paviršių diskrečiųjų modelių tyrimas. Klasikiniai skaičiavimo geometrijos rezultatai apima išgaubto korpuso konstravimo algoritmus, Euklido minimalų aprėpties medį, Delaunay trianguliaciją, Voronojaus diagramą, artimiausio kaimyno uždavinį ir kt. Žinomiausi geometrinio modeliavimo metodai naudoja splainus ir Bezier kreives. Skaičiavimo geometrija turi daugybę pritaikymų, visų pirma robotikoje, modelių atpažinimo, kompiuterinės grafikos ir kt.
• Banacho ir Hilberto erdvių geometrija tiria begalinius normuotų ir euklido erdvių analogus. Glaudžiai susiję su funkcine analize, matų teorija, tikimybių teorija, variacijų skaičiavimu. Naudoja idėjas iš išgaubtos analizės, tiesinės algebros, topologijos ir, žinoma, funkcijų teorijos. Ryškiausi rezultatai apima Hahn-Banach teoremą dėl tolydžios tiesinės funkcijos tęsinio, teoremos Banachas fiksuotame taške – Ries-Fréchet teorema apie dvigubos Hilberto erdvės izomorfizmą su pradine.
• Grupių geometrija ir Lie algebros tiria atmainų, turinčių papildomą algebrinę struktūrą, ty grupės struktūrą, geometriją. Šiuo atveju manoma, kad grupės operacijos vyksta sklandžiai. Ši algebrinė operacija sukuria papildomą algebrinę struktūrą liestinės erdvėje grupės vienete ir paverčia ją Lie algebra. Pavadintas norvegų matematiko vardu Sophusa Lee (Marius Sophus Lie). Paprasčiausi Lie grupių pavyzdžiai yra transformacijos grupės, pavyzdžiui, Euklido erdvės arba Lobačevskio erdvės judesių grupės. Lie grupių vidinės struktūros turtingumas leidžia, viena vertus, gauti gilius netrivialius rezultatus, tokius kaip kompaktinių Lie grupių klasifikavimo teorema, ir, kita vertus, iki galo atlikti daugybę konkrečių skaičiavimų. . Melo grupės taip pat dažnai atsiranda programose, pirmiausia mechanikos ir fizikos srityse.
• Dinaminių sistemų geometrija tiria įvairių tipų dinaminių sistemų kokybines (t.y. geometrines ir topologines) savybes. Tokių dinaminės sistemos savybių pavyzdžiais gali būti pusiausvyros padėčių arba periodinių sprendinių skaičius, jų stabilumas ar nestabilumas, chaotiška ar taisyklinga sprendinių elgsena, sistemos ar visos jos fazių erdvės nekintamų kolektorių topologija. Paprastai atliekant kokybinį dinaminių sistemų tyrimą, jos laikomos iki tam tikro ekvivalentiškumo (trajektorijos, topologinės, lygiosios ir kt.), o užduotis yra rasti invariantus, atitinkančius šį ekvivalentą (ypač surasti visą invariantų rinkinį). , t. y. sistemų klasifikavimas iki atitinkamo ekvivalentiškumo).

• Skaičių geometrija nagrinėja geometrinius skaičių teorijos aspektus. Tipiška skaičių geometrijos problema yra sveikųjų vektorių išdėstymas išgaubtų kūnų atžvilgiu daugiamatėje erdvėje. Pirmą kartą pasirodė darbuose Minkovskis, kuris įrodė sveikojo skaičiaus taško (sveikojo skaičiaus pagrindo) buvimą pakankamai didelės apimties simetriškame kūne. Glaudžiai susiję su funkcine analize, diofantine ir racionaliomis aproksimacijomis.
• Optimizavimo problemų geometrija tiria geometrinius objektus, kurie yra tam tikrų geometrinių funkcijų kritiniai taškai, pvz., kreivės ilgis, paviršiaus plotas ir energijos funkcinė funkcija. Šio tipo objektai yra minimalūs ir harmoniniai paviršiai, geodezija, ekstremalūs tinklai, minimalūs užpildai ir kt. Ryškiausi šios teorijos rezultatai yra Plateau problemos sprendimas ant minimalių paviršių, trijų uždarų įdėtų geodezinių elementų egzistavimo ant kolektorius įrodymas. homeomorfinis į dvimatę sferą ir lokaliai uždarų minimalių tinklų klasifikavimas ant pastovaus neneigiamo kreivumo paviršių. Šio tipo problemos turi daugybę pritaikymų fizikoje, mechanikoje, chemijoje, biologijoje, logistikoje ir kt.
• Diskretinė ir kombinatorinė geometrija sujungia geometrines problemas, tiriančias diskrečiųjų geometrinių objektų, pvz., taškų, linijų, rutuliukų ir kt., kombinatorines savybes. Šiuo atveju, kaip taisyklė, svarstomi klausimai apie šių objektų santykinę padėtį ar optimalią vietą supančioje erdvėje. Tarp žinomiausių tokio tipo problemų yra Keplerio ir Niutono problema apie maksimalų įmanomą rutulių, liečiančių duotą, skaičių, problema dėl optimalaus rutulių pakavimo erdvėje arba ribotame tūryje, Tammo problema apie sferinį kodą. Į diskrečiąją geometriją įeina ir klausimai, susiję su vienokiu ar kitokiu grafų išdėstymu aplinkos erdvėse. Tai taip pat apima daugybę skaičiavimo geometrijos problemų, susijusių, pavyzdžiui, su Voronojaus diagramomis, Delaunay trianguliacijomis ir kt.
• Diferencialinė geometrija tiria lygius kolektorius su tam tikromis papildomomis struktūromis. Pirmiausia jis išsiskiria savo metodais, kurie yra glaudžiai susiję su matematine analize, ypač su diferencialinėmis funkcijų savybėmis. Sukurta pagal klasikinę kreivių ir paviršių teoriją, sukurtą pagal Gausas ir Monge. Diferencialinė geometrija sutartinai skirstoma į vietinę, t.y. tiria kolektoriaus, esančio mažoje taško kaimynystėje, savybes, ir globalias (vadinamoji geometrija „kaip visuma“), tiria ryšius tarp mažų kolektoriaus fragmentų savybių ir viso kolektoriaus charakteristikų. . Tam tikra prasme kai kurios atskiros mūsų identifikuotos geometrijos dalys, tokios kaip Riemanno geometrija ir simplektinė geometrija, taip pat gali būti laikomos diferencialinės geometrijos poskyriais.
• Integralinė geometrija tiria problemas, atvirkštines klasikinei integracijai, būtent, ji tiria galimybę atkurti funkciją iš jos integralų verčių rinkinio per tam tikrus pradinės funkcijos apibrėžimo srities pogrupius. Sąvoka „integrali geometrija“ atsirado XX amžiaus 30-aisiais darbuose apnašas ir iš pradžių reiškė visai ką kita: funkcijų integralų apskaičiavimą per tam tikrus kolektorių poaibius arba, apskritai, erdves su matu. Šiuolaikinė integralinė geometrija yra glaudžiai susijusi su vienalyčių erdvių teorija, skaidulinių erdvių teorija, reprezentacijų teorija ir matų teorija. Jis turi daugybę pritaikymų, pavyzdžiui, kompiuterinėje tomografijoje.
• Sudėtinga geometrija tiria sudėtingos struktūros kolektorių geometriją. Jo pradinė šaka yra sukurta Riemann paviršių teorija Riemannas ir tiriant vienmačių kompleksinių kolektorių savybes. Sudėtinga geometrija pasižymi glaudžiais ryšiais su sudėtinga analize ir algebra. Pastaruoju metu glaudūs ryšiai tarp sudėtingos geometrijos (ypač geometrijos Teichmuller erdvės) su šiuolaikine teorine fizika.
• Kompiuterinė geometrija nagrinėja bendrą kompiuterinį modeliavimą, susijusį su geometrinių modelių vizualizavimu. Kompiuterio geometrija apima, bet tuo neapsiriboja, skaičiavimo geometriją. Kompiuterinės geometrijos rėmuose sukuriami tokių sudėtingų objektų kaip kolektoriai, neeuklido geometrijos, geodezinis srautas paviršiuje modeliai, daugybė diferencialinės lygties sprendinių ir kt. Kompiuterinė geometrija suteikia šiuolaikiniam tyrinėtojui galingą įrankį atlikti a kompiuterinių eksperimentų įvairovė, dėl kurios kyla tam tikros hipotezės.
• Metrinė geometrija tiria klasikinių objektų, tokių kaip kreivės ir paviršiai, geometriją, atsižvelgiant į juose natūraliai apibrėžtą atstumo funkciją. Šiuo atveju savybės, apibrėžtos diferencialiniais terminais, pavyzdžiui, kreivumas, aiškinamos tam tikrais atstumo funkcijos santykiais. Dėl to, viena vertus, daug diferencinės geometrijos rezultatų galima perkelti į žymiai bendresnius objektus be prielaidų apie lygumą, o tai daugeliu atvejų leidžia pasiekti nagrinėjamų objektų erdvių išsamumą. . Dėl to tarp iš pažiūros tolimų matematinių objektų atsiranda netikėtų ryšių. Pavyzdžiui, ribotai sugeneruotos diskrečios grupės savybes galima apibūdinti erdvės geometrijos požiūriu su vadinamąja Manheteno metrika ( Gromovas). Kita vertus, toks aiškinimas leidžia permąstyti diferencinius geometrinius rezultatus ir suprasti tokius sudėtingus objektus kaip, pavyzdžiui, kreivės tenzorius.
• Aprašomoji geometrija tiria erdvines figūras, naudodama jų kelias stačiakampes projekcijas. Kilęs iš inžinerijos kaip pagrindinė brėžinių piešimo ir skaitymo priemonė. Buvo padėti aprašomosios geometrijos pagrindai Monge, kuris tuomet dėstė inžinerijos mokykloje ir vykdė įtvirtinimų skaičiavimo užsakymą. Pastaruoju metu, plėtojant kompiuterinio projektavimo sistemas, aprašomosios geometrijos vaidmuo vis labiau sumažinamas iki grynai edukacinio.
• Nekommutacinė geometrija tiria funkcijų algebrų nekomutacinių analogų savybes tam tikrose erdvių klasėse. Atspirties taškas, privertęs įgyvendinti šią idėją, yra Gelfand-Naimark teorema, įrodyta 1940-ųjų pradžioje, dėl kompaktiškų topologinių erdvių ir komutuojamųjų C * -algebrų kategorijos lygiavertiškumo. Paaiškėjo, kad čia atsirandančios algebrinės struktūros išlieka prasmingos net ir atsisakius komutatyvumo savybės. Nekomutacinės geometrijos rėmuose buvo derinami įvairių šiuolaikinės matematikos katedrų metodai: topologija, diferencialinė geometrija, funkcinė analizė, matų teorija, vaizdavimo teorija ir kai kurie kiti. Nekomutacinio apibendrinimo idėja yra esminė, nes jos dėka buvo išspręsta ne tik daug svarbių problemų, bet ir aukščiau paminėtos sritys buvo tarpusavyje praturtintos naujais metodais ir rezultatais. Sąvoka „nekomutacinė geometrija“, matyt, atsirado monografijos dėka A. Konna„Nekommutacinė geometrija“.
• Riemanno ir Finslerio geometrija tiria kolektorius, ant kurių pateikta papildoma struktūra, leidžianti apskaičiuoti liestinių vektorių ilgius. Pagrindiniai tokių struktūrų pavyzdžiai yra Riemanno ir pseudo-Riemano metrika (neišsigimusios simetrinės dvitiesės formos liestinėse erdvėse, sklandžiai priklausomai nuo kolektoriaus taško) ir Finslerio struktūra (normų šeima liestinėse erdvėse, sklandžiai priklausomai nuo taško kolektorius, turintis daugybę papildomų savybių). Buvo padėti Riemanno geometrijos pamatai Riemannas, kuris apibendrino paviršių teoriją į daugiamatį atvejį, perkeldamas į jį klasikinius rezultatus Gausas, Bona ir tt Riemanno geometrijos rėmuose galima gauti apribojimus globalinei kolektorių struktūrai pagal jos vietines charakteristikas, panašias į dvimačio paviršiaus kreivumą (pjūvio kreivumas, Ricci kreivumas, Riemann kreivumas).
• Simlektinė geometrija tiria simplektinius kolektorius, t.y. kolektoriai, ant kurių pateikta uždara neišsigimusi 2 forma (simplektinė struktūra). Tiesą sakant, simplektinė geometrija, kaip atskira geometrijos šaka, atsirado maždaug prieš 200 metų kaip patogi kalba klasikinės mechanikos problemoms spręsti. Ir dabar viena iš pagrindinių paskatų tirti simplektinius kolektorius yra tai, kad natūralu juos laikyti dinaminių sistemų fazinėmis erdvėmis, kurios apibūdina įvairias mechanikos, matematinės fizikos ir geometrijos problemas. Tačiau nuo 1970-ųjų-80-ųjų (po darbo V.I.Arnoldas, A. Weinsteinas(A. Weinsteinas), M.L. Gromova) simlektinė geometrija virto atskira savarankiška matematikos sritimi, kurios plėtrą skatina glaudūs ryšiai su matematine fizika, mažamatė topologija, dinaminių sistemų teorija, algebrinė geometrija, kompleksinė analizė.
• Stochastinė geometrija yra stochastinės analizės šaka. Ji tiria atsitiktinius procesus begalinės dimensijos Hilberto erdvėse ir lygiuose Hilberto kolektoriuose, aprašytus stochastinėmis Ito lygtimis. Ištirtos tokių procesų perėjimo tikimybių glotnumo savybės, supažindinama su kvazikintamų matų konstravimu begalinių dimensijų Lie grupėse. Padėti stochastinės diferencialinės geometrijos pagrindai Yu.L. Daletskis Ir Y.I.Belopolskaya XX amžiaus 70-aisiais
• Fraktalų geometrija tiria vadinamuosius fraktalus (savaime panašias aibes). Pirmieji tokių neįprastų savybių rinkinių pavyzdžiai pasirodė XIX amžiuje (pavyzdžiui, Cantor rinkinys). Buvo įvestas terminas „fraktalas“. B. Mandelbrotas 1975 m. ir sulaukė didelio populiarumo, kai 1977 m. buvo išleista jo knyga „Fractal Geometry of Nature“. Tačiau „fraktalas“ (lot. fractus- susmulkintas, sulaužytas, sulaužytas) nėra matematinis terminas ir neturi visuotinai priimto griežto matematinio apibrėžimo. Fraktalas yra sudėtinga geometrinė figūra, turinti panašumo savybę, tai yra, susidedanti iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą. Platesne prasme fraktalai suprantami kaip Euklido erdvės taškų rinkiniai, turintys trupmeninį metrinį matmenį (ta prasme Minkovskis arba Hausdorfas) arba metrinis matmuo, griežtai didesnis nei topologinis. Šiuolaikinėje fraktalų geometrijoje tiriami ir atsitiktiniai fraktalai. Fraktalų geometrija turi gilių ryšių su skaičių teorija ir šiuolaikine fizika

Visos šios labai skirtingos žinių sritys yra vieningos geometriniai metodai.

Geometriniai tyrimo metodai.

Svarbiausia geometrinių objektų savybė yra jų invariantiškumas (koordinačių sistemos nepriklausomumas). Šiuo atžvilgiu geometrija formuoja ypatingą, būdingą pasaulio vaizdą, paremtą pirmiausia ne formulėmis ir skaičiavimais, o kokybine analize; Šiam paveikslui būdingas visiškas matematinis griežtumas ir platus intuicijos panaudojimas. Išvardinkime keletą, mūsų nuomone, pagrindinių geometrinių objektų tyrimo metodų.

• Vienarūšių objektų (taškų), aprūpintų vienokiomis ar kitokiomis papildomomis struktūromis, erdvės savybių apibrėžimas ir aprašymas. Pavyzdžiui, euklido erdvių geometrijos aprašymas, taisyklingi paviršiai, lygūs kolektoriai (ypač įvairių struktūrų – Riemanno, pseudo-Riemano, kompleksinių, algebrinių, simplektinių, kontaktinių, Finslerio Kėlerio ir kt.), Hilberto erdvių, Melo grupės, bendros topologinės erdvės, ląstelių kompleksai ir kt.
• Vienas iš pagrindinių geometrijos (ir apskritai matematikos) metodų yra koordinavimo metodas. Geometriniam objektui tirti įvedama koordinačių sistema, leidžianti apibūdinti jo savybes naudojant analitinį ar algebrinį aparatą. Patys terminai „analitinė geometrija“, „diferencialinė geometrija“, „algebrinė geometrija“, „simplektinė geometrija“ yra siejami visų pirma su tais koordinačių metodo variantais, kurie naudojami šiose geometrijos dalyse. Taikant šį metodą, skirtingų geometrinių struktūrų buvimas atsispindi skirtingose ​​koordinačių sistemų klasėse ir koordinačių pakaitaluose (pavyzdžiui, simlektinėje geometrijoje atsižvelgiama į simplektines koordinates ir kanonines transformacijas, sudėtingoje geometrijoje - analitines koordinates ir holomorfinius pakaitalus ir kt.) . Kadangi patys geometriniai objektai iš prigimties yra nekintami, svarbi koordinačių metodo dalis yra aprašyti, kaip keičiasi tam tikros formulės keičiant koordinates.
• Svarbiausia geometrinio objekto charakteristika yra jo „simetrijų“ visuma, t.y. transformacijų grupė, išsauganti savo savybes. Taigi stačiakampių operatorių grupė siejama su euklidine erdve, difeomorfizmų grupė – su lygiuoju koletu, izometrijų grupė – su Riemano koletu ir kt. Transformacijų grupės studijavimas leidžia gauti svarbios informacijos apie patį objektą; pavyzdžiui, tiriant vienarūšes erdves pagrindinį vaidmenį atlieka transformacijos grupės savybės.
• Metrinis požiūris geometrijoje siejamas su atstumo tarp taškų analogo įvedimu ir šio atstumo savybių tyrimu (bendra metrinių erdvių teorija, Banacho erdvių geometrija ir jose esančių operatorių savybės, pusnormos ir Fréchet erdvės ir kt.).
• Aksiominis metodas geometrijoje buvo naudojamas nuo pat jo atsiradimo. Jis susideda iš to, kad geometrinės struktūros aprašomos naudojant aksiomų sąrašą, iš kurio vėliau gaunamos kitos savybės. Pavyzdžiui, Euklido geometrija apibrėžiama tiesinėje erdvėje (tai yra aibėje su pridėjimo ir daugybos iš skaičiaus operacijomis, atitinkančiomis tam tikrą aksiomų rinkinį) su skaliarine sandauga (vektorių poros funkcija, kuri taip pat tenkina kai kurios aksiomos). Kitas pavyzdys: afininis ryšys kolektorius apibrėžiamas kaip vektorinių laukų diferenciacijos operacija, kuri atitinka tiesiškumo aksiomas ir Leibnizo taisyklę.
• Pastaraisiais dešimtmečiais kompiuterinis geometrinis modeliavimas aktyviai vystėsi. Sukurta daug programų, kurios leidžia vizualizuoti geometrinius objektus, atsirandančius modeliuojant įvairiausius procesus, vaizdžiai demonstruoti jų savybes ir atlikti kompiuterinius eksperimentus matematinės, fizinės, biologinės, ekonominės ir kitos hipotezės tikrinimui. Be to, kompiuterinis modeliavimas taip pat naudojamas matematinėms teoremoms įrodyti (tačiau tokie įrodymai daugeliui matematikų visada kelia abejonių); garsūs pavyzdžiai – įrodymas Apeliacija Ir Hakenas 1976 m., keturių spalvų spėjimas ir įrodymas 1989 m Lam baigtinės 10-osios eilės projekcinės plokštumos nebuvimas.

Geometrijos vieta šiuolaikiniame pasaulyje.

Matematika. Geometrinis pasaulio vaizdas persmelkia visą šiuolaikinę matematiką; Daugumoje jos sekcijų naudojama geometrinė kalba ir taikomi geometriniai metodai. Dažnai geometrinių idėjų skverbtis lemia naujų teorijų kūrimą, naujų problemų formulavimą ir netikėtus rezultatus: visų pirma geometrinės idėjos įprastų diferencialinių lygčių teorijoje paskatino sukurti kokybinę teoriją ir dinaminių sistemų teoriją; dalinių diferencialinių lygčių teorijoje - iki mikrolokalinės analizės, nestandartinių charakteristikų teorijos, solitonų ir Yang-Mills laukų teorijos; variacijų skaičiavime - prie geometrinių variacijų uždavinių, geodezinių srautų teorijos.

Gamtos mokslai.Šiuolaikinė fizika yra glaudžiai susijusi su geometrija. Klasikinėje mechanikoje naudojama Riemanno ir simplektinės geometrijos kalba, metodai ir rezultatai, optika ir termodinamika – simplektinė ir kontaktinė geometrija, kvantinė mechanika naudoja kompleksinę geometriją, simplektinę geometriją ir Hilberto erdvių geometriją, kvantinio lauko teorija – diferencialinę, kompleksinę, algetinę. geometrija. Beveik visuose teorinės fizikos skyriuose vienaip ar kitaip susiduriama su geometrinėmis idėjomis, metodais ar struktūromis. Pastebėkime, kad fizinės idėjos savo ruožtu atsiranda geometrijoje; dažnai fizinių teorijų analizė suteikdavo postūmį geometrinių konstrukcijų raidai (pavyzdžiui, simplektinė ir kontaktinė geometrija yra tiesiogiai susijusios su fizika).

Geografija visada naudojo geometrinę kalbą; visų pirma, idėja aprašyti paviršių naudojant žemėlapius ir koordinates glaudžiai sieja šiuos mokslus. Sferinė geometrija naudojama kuriant laivų ir orlaivių maršrutus.

Geometrija naudojama chemijoje ir molekulinėje biologijoje; sudėtingi junginiai (pavyzdžiui, baltymai) turi turtingą geometrinę struktūrą, kuri, kaip paaiškėja, reikšmingai veikia atitinkamos medžiagos chemines ir biologines savybes; geometrija taip pat naudojama energetinėms ir kvantinėms molekulių savybėms apibūdinti.

Technika.Šiuolaikinės technologijos aktyviai naudoja geometrinius metodus ir rezultatus. Kompiuterinė geometrija naudojama projektuojant automobilius, lėktuvus, tiltus ir daugelį kitų techninių objektų; geometrinių problemų kyla pjaunant brangakmenius, mobiliosios navigacijos reikaluose ir kt. Geometriniai modelio atpažinimo metodai yra plačiai naudojami, o šiuolaikiniai šifrai ir kodai dažnai yra pagrįsti elipsinių kreivių algebrinėmis savybėmis.

Vaistas. Užduotis atkurti vidaus organų vaizdą iš jų projekcijų, matomų nuotraukose (medicininė tomografija), yra geometrinio pobūdžio ir yra susijusi su integraline geometrija (funkcijos kolektorius apibūdina jo integralais per tam tikras subdaliklių šeimas). Medicinoje naudojami įvairių skeleto dalių geometriniai modeliai (pavyzdžiui, dantų protezavimo metu judantis žandikaulis, kelių ir alkūnių sąnariai ir kt.). Tobulėjant šiuolaikinėms 3D technologijoms, remiantis paciento 3D skenavimo rezultatais, atsirado galimybė sukurti individualius kaulo protezus. Šiuolaikinėje medicinoje svarbų vaidmenį atlieka ir atskirų organų bei jų sistemų kompiuteriniai modeliai. Pavyzdžiui, kuriant pagrindines širdies operacijas, dažnai naudojamas jos geometrinis kompiuterinis modelis.

Art. Geometriniai vaizdai jau seniai naudojami vaizduojamajame mene ir architektūroje. Geometrinis perspektyvos mokslas randamas Aischilas Ir Demokritas(nors, žinoma, jo elementai buvo naudojami daug anksčiau – pavyzdžiui, statant Egipto šventyklas ir piramides). Vėliau šią geometrijos sekciją sukūrė daugelis menininkų ir mokslininkų (ypač didelį indėlį į jos vystymąsi padarė Leonardo da Vinci, Durer, Desarguesas, Monge ir kiti). Dabar perspektyvinė geometrija ir aprašomoji geometrija yra standartinės menininkų, architektų ir dizainerių priemonės. Tarkime, oro uosto terminalo Šarm el Šeiche (Egiptas) stogas yra minimalaus paviršiaus modelis. Geometrija svarbi ir muzikoje: muzikos instrumento, koncertų salės, šventyklos forma yra subtilių geometrinių ir akustinių skaičiavimų rezultatas. Galiausiai, 3D technologijos, pagrįstos projektine ir skaičiavimo geometrija, vis dažniau naudojamos filmuose ir televizijoje, perkeldamos juos į kitą plėtros etapą.

Humanitariniai mokslai. Geometrija taip pat naudojama humanitariniuose moksluose: ekonomikoje (transporto problemos, optimizavimo uždaviniai, gamybos geometriniai modeliai, ištisinio kartografavimo savybių taikymas ekonominei pusiausvyrai surasti); lingvistika (žodžių erdvių geometrija) ir kt.

Religija.Šventoji geometrija – religinių idėjų apie pasaulio formas ir erdvę sistema, atspindinti jos proporcingumą ir harmoniją – yra daugumoje pasaulio religijų. Ji pasireiškia sakralinėje architektūroje, tapyboje ir muzikoje bei ikonografijoje. Geometrines figūras beveik visos religijos naudoja kaip šventus simbolius.

Išsilavinimas.Šiuolaikiniame mokykliniame ugdyme geometrija atlieka išskirtinį vaidmenį. Geometrijos pamokose vaikai sužino, kas yra griežtas įrodymas, mokosi logiškai mąstyti ir iš premisų daryti pagrįstas išvadas. Tuo pačiu mokyklinė geometrija demonstruoja vizualinę (t.y. nekintamąją) matematiką, paremtą ne tiek formulėmis, kiek detaliu geometrinių objektų kokybinių savybių tyrimu. Šis griežtumo ir aiškumo derinys yra gamtos mokslinio pasaulio paveikslo pagrindas; Taigi geometrijos studijos yra svarbiausias viso mokslinio ugdymo etapas. , vert. iš vokiečių kalbos, M.-L., 1937 m.

ĮVADAS

1862-1943 ) CIC amžiaus pabaigoje.

– – matuoti.

Geometrinės konstrukcijos schema

Pateikiamos pagrindinės neapibrėžtos sąvokos.

Suformuluotos pagrindinių sąvokų savybės – aksiomos.

Apibrėžiamos kitos geometrinės sąvokos.

Suformuluotos ir įrodytos geometrinių sąvokų savybės – teoremos.

STEREOMETRIJOS AKSIOMOS. AKSIOMŲ PASEKMĖS

Pagrindinės stereometrijos sąvokos: taškas, tiesė, plokštuma, atstumas.

Apibrėžimas: Aksioma yra teiginys, kuriam nereikia įrodymų .

Pagrindinės taškų, tiesių ir plokštumų savybės, susijusios su jų santykine padėtimi, išreiškiamos aksiomomis. Visa stereometrijos aksiomų sistema susideda iš kelių mums žinomų planimetrijos kurso aksiomų ir aksiomų apie santykines taškų, tiesių ir plokštumų padėtis erdvėje.

STEREOMETRIJOS AKSIOMOS

aš. Priklausymo aksiomos

aš 1. Yra bent viena tiesi linija ir bent viena plokštuma. Kiekviena tiesė ir kiekviena plokštuma yra netuščias taškų rinkinys, nesutampantis su erdve.

Paskyrimas:

A, B, C, D – taškai;

a, b, c - tiesus;

a, b, g – lėktuvai;

A Î A– taškas A priklauso tiesei a, tiesė a eina per tašką A;

E Ï A –taškas E nepriklauso tiesei a;

S Î a– taškas C priklauso plokštumai a, plokštuma a eina per tašką C;

E Ï a –taškas E nepriklauso plokštumai a.

Išvada: Yra taškai, kurie priklauso tiesei, ir tie, kurie nepriklauso tiesei, yra taškų, kurie priklauso plokštumai, ir kurie nepriklauso plokštumai.

aš 2. Per du skirtingus taškus eina viena ir tik viena tiesė.

Paskyrimas:

ir М a –plokštuma a eina per tiesę a;

b Ë a–plokštuma a nekerta tiesės b.

aš 4. Per tris taškus, kurie nepriklauso tai pačiai tiesei, eina viena ir tik viena plokštuma.

Paskyrimas: a = ABC

Išvada: Plokštumos, turinčios tris skirtingus bendrus taškus, sutampa.

aš 5. Jei dvi skirtingos plokštumos turi bendrą tašką, tai jų susikirtimas yra tiesi linija.

Paskyrimas: M Î a, MÎ b , a ¹ b , aìü b = l.

II. Atstumo aksiomos

II 1. Už bet kokius du taškus A Ir IN yra neneigiamas dydis, vadinamas atstumu nuo Aį IN. Atstumas AB lygus nuliui tada ir tik tada, kai taškai A Ir IN rungtynės.

Paskyrimas: AB³ 0.

II 2. Atstumas nuo Aį IN lygus atstumui nuo INį A.

Paskyrimas: AB = BA.

II 3. Už bet kokius tris taškus A, IN, SU atstumas nuo Aį SU ne daugiau kaip atstumų suma nuo Aį IN ir iš INį SU.

Paskyrimas: AC £ AB + BC.

III. Tvarkos aksiomos

III 1. Bet koks taškas APIE tiesioginis r padalija visų dalykų, kurie skiriasi nuo taško, aibę APIE tiesios linijos taškai rį dvi netuščias aibes, kad bet kokiems dviem taškams A Ir IN, priklausantis skirtingoms aibėms, taškas APIE yra tarp taškų A Ir IN; jei taškai A Ir IN priklauso tai pačiai aibei, tada vienas iš jų yra tarp kito ir taško APIE.

III 3. Jei taškas SU yra tarp taškų A Ir IN, tada taškai A, IN, SU priklauso tai pačiai linijai.

III 4. Bet kokia tiesi linija r, guli lėktuve a r r.

IV. Plokštumos mobilumo aksioma

Jei taškai A, IN, A 1, B 1 gulėti lėktuve a, ir AB > 0 Ir AB= A 1 B 1, tada yra du ir tik du šios plokštumos judesiai, kurių kiekvienas rodo po tašką A už tašką A 1 ir taškas IN už tašką B 1.

V. Lygiagretės aksioma

Per tašką A yra daugiausia viena tiesė, lygiagreti duotai tiesei r.

AKSIOMŲ PASEKMĖS

1 išvada: Per tiesę ir jai nepriklausantį tašką galima nubrėžti vieną ir tik vieną plokštumą.

Duota: M, a, M Ï A

Įrodyk:

2. .

Įrodymas:

1. Tiesėje a pasirinkime taškus A ir B (aksioma I 1 ): AÎ a, BÎ A.

): a = MAV.

Kadangi taškai A, B priklauso plokštumai a, tai tiesė a priklauso plokštumai a (aksioma I 3 ): AÌ a.

Vadinasi, yra plokštuma a, einanti per tiesę a, ir jai nepriklausantis taškas M: .

2. Plokštumoje a yra tiesė a ir taškas M, tai yra, ji eina per taškus M, A, B. Per tris taškus, kurie nepriklauso tai pačiai tiesei, yra viena plokštuma (aksioma aš 4 ).

2 išvada: Per dvi susikertančias linijas galima nubrėžti vieną ir tik vieną plokštumą.

Duota: a, b, a ' b

Įrodyk:

2. .

Įrodymas:

1. Pažymėkime tiesių a ir b susikirtimo tašką: .

Parinkime tašką A tiesėje a ir tašką B tiesėje b (aksioma I 1 ): AÎ a, BÎ b.

Plokštuma a eina per taškus M, A, B (aksioma I 4 ): a = MAV.

Kadangi taškai A, M priklauso plokštumai a, tai tiesė a priklauso plokštumai a (aksioma I 3 ): AM = aÌ a.

Kadangi taškai B, M priklauso plokštumai a, tai tiesė b priklauso plokštumai a (aksioma I 3 ): VM = b Ì a.

Vadinasi, yra plokštuma a, einanti per dvi susikertančias tieses a ir b: .

2. Plokštumoje a yra tiesės a ir b, tai yra, ji eina per taškus M, A, B. Per tris taškus, kurie nepriklauso tai pačiai tiesei, yra viena plokštuma (aksioma I 4 ).

Apibrėžimas: Tiesės vadinamos lygiagrečiomis, jei jos yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų arba sutampa.

3 išvada: Per dvi lygiagrečias tieses galima nubrėžti vieną ir tik vieną plokštumą.

Duota: a, b,

Įrodyk:

2. .

Įrodymas:

1. Plokštumos a, einančios per dvi lygiagrečias tieses a ir b, egzistavimas išplaukia iš lygiagrečių tiesių apibrėžimo.

2. Tarkime, kad yra kita plokštuma, kurioje yra tiesės a ir b. Parinkime tašką A tiesėje a, o taškus B ir M tiesėje b (aksioma I 1 ): AÎ a, BÎ b, MÎ b. Mes nustatėme, kad per taškus A, B, M eina dvi plokštumos, o tai prieštarauja aksiomai aš 4. Todėl prielaida nėra teisinga, plokštuma a–vienintelė.

Pratimai:

c) ;

2. Pavadinimas iš paveikslėlio:

a) plokštumos, kuriose yra tiesės PE, MK, DB, AB, EC;

b) tiesės DK susikirtimo su plokštuma ABC, tiesės CE su plokštuma ADV taškai;

c) taškai, esantys plokštumose ADB ir DBC;

d) tiesios linijos, išilgai kurių susikerta plokštumos ABC ir DCB, ABD ir CDA, PDC ir ABC.

3. Pavadinimas iš paveikslėlio:

a) taškai, esantys DCC 1 ir BQC plokštumose;

b) plokštumos, kuriose yra tiesė AA 1;

c) tiesės MK susikirtimo taškai su plokštuma АВD, tiesių DК ir ВР su plokštuma А 1 В 1 С 1;

d) tiesės, išilgai kurių susikerta plokštumos AA 1 B 1 ir ACD, PB 1 C 1 ir ABC;

e) tiesių MK ir DC, B 1 C 1 ir BP, C 1 M ir DC susikirtimo taškai.

3. DVIEJŲ TIESIŲ SANTYKINĖ PADĖTIS ERDVĖJE

TIESIŲ PERĖJIMO ŽENKLAS

Ryžiai. 1. pav. 2. pav. 3.

Apibrėžimas: Plokštumos yra lygiagrečios, jei jos neturi bendrų taškų arba sutampa.

TETRAEDRAS. LYGIAUSIAUSIAS

Temoje „Geometriniai kūnai, jų paviršiai ir tūriai“ tyrinėsime daugiakampius – geometrinius kūnus, kurių paviršiai sudaryti iš daugiakampių. Norėdami iliustruoti sąvokas, susijusias su santykine linijų ir plokštumų padėtimi erdvėje, susipažinkime su dviem daugiakampiais - tetraedru ir gretasieniu.

Apsvarstykite savavališką trikampį ABC ir laikotarpis D , esantis ne šio trikampio plokštumoje. Taško sujungimas D atkarpos su trikampio viršūnėmis ABC , gauname trikampius DAB , DBC ,DCA .

Paviršius sudarytas iš keturių trikampių ABC , DAB , DBC ,DCA , paskambino tetraedras ir yra paskirtas DABC .

Trikampiai, sudarantys tetraedrą, vadinami briaunos, jų šonai – šonkauliai, o viršūnės yra tetraedro viršūnės. Tetraedras turi keturis paviršius, šešias briaunas ir keturias viršūnes.

Vadinamos dvi tetraedro briaunos, neturinčios bendrų viršūnių priešinga. Prie tetraedro DABC šonkauliai yra priešingi AD Ir Saulė , ВD Ir AC , CD Ir AB . Dažnai vienas iš tetraedro paviršių vadinamas pagrindu ir dar trys - šoniniai veidai.

Apsvarstykite du vienodus lygiagretainius ABCD Ir A 1 B 1 C 1 D 1 , esančios lygiagrečiose plokštumose taip, kad segmentai AA 1 , BB 1 , SS 1 Ir DD 1 lygiagrečiai. Keturkampiai АВВ 1 А 1 , VSS 1 IN 1 , СDD 1 С 1 ,DAA 1 D 1 taip pat yra lygiagretainiai, nes kiekvienas iš jų turi lygiagrečių priešingų kraštinių poras.

Paviršius sudarytas iš dviejų lygiagretainių ABCD Ir A 1 B 1 C 1 D 1 ir keturi lygiagretainiai АВВ 1 А 1 , VSS 1 IN 1 , СDD 1 С 1 ,DA A 1 D 1 , vadinamas gretasieniu ir žymimas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Lygiagretainiai, sudarantys gretasienį, vadinami briaunos, jų šonai – šonkauliai, o lygiagretainių viršūnės yra gretasienio viršūnės. Lygiagretainis turi šešis paviršius, dvylika briaunų ir aštuonias viršūnes. Vadinami du gretasienio paviršiai, turintys bendrą briauną gretimas, ir neturintys bendrų kraštų – priešinga. Vadinamos dvi viršūnės, kurios nepriklauso tam pačiam veidui priešinga. Vadinamas linijos atkarpa, jungianti priešingas viršūnes gretasienio įstrižainė. Kiekvienas gretasienis turi keturias įstrižaines.

Gretasienio įstrižainės ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 yra segmentai AC 1 , ВD 1 , CA 1 , DВ 1 .

Dažnai atpažįstami ir vadinami du priešingi veidai priežasčių, o likę veidai yra gretasienio šoniniai paviršiai. Vadinamos gretasienio briaunos, nepriklausančios pagrindams šoniniai šonkauliai.

Jei kaip gretasienio pagrindai ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pasirinkti veidus ABCD Ir A 1 B 1 C 1 D 1 , tada šoniniai paviršiai bus lygiagretainiai АВВ 1 А 1 , VSS 1 IN 1 , СDD 1 С 1 ,DA A 1 D 1 , o šoniniai kraštai yra segmentai AA 1 , BB 1 , SS 1 Ir DD 1 .

Pratimai:

1. Tetraedro DABC taškai M, N, Q, P yra atkarpų ВD, DC, AC, AB vidurio taškai. Raskite keturkampio MNQP perimetrą, jei AD = 12 cm, BC = 14 cm.

KAMPAS TARP TIESIŲ

Apibrėžimas: Kampas tarp nelygiagrečių linijų T Ir n yra mažiausias iš gretimų kampų, suformuotų susikertančių tiesių T" Ir p", Kur T"|| T,p"|| n.

, , .

komentuoti: Kampas tarp lygiagrečių linijų laikomas lygiu nuliui.

Apibrėžimas: dvi tiesės erdvėje vadinamos statmenomis, jei kampas tarp jų yra lygus .

Paskyrimas:

Statmenos linijos gali susikirsti ir gali būti iškreiptos.

Užduotis: Duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Rasti: ; ; .

Sprendimas:

Remiantis dviejų eilučių lygiagretumu:

ir todėl . .

. , nes CDD 1 C 1 yra kvadratas.

Remiantis susikertančiomis linijomis:

, vadinasi, · .

, vadinasi,.

Išvada:

Nuo 3 dm spindulio apskritimo centro O atstatomas jo plokštumai statmenas OB. Apskritimo taške A nubrėžiama liestinė ir šioje liestinėje nuo lietimo taško atskiriama atkarpa AC, lygi 2 dm. Raskite pasvirosios BC ilgį, jei statmeno OB ilgis yra 6 dm.

5. Iš stačiakampio ABCD viršūnės D, kurios kraštinės AB = 9 cm ir BC = 8 cm, statmena DF = 12 cm atkurta stačiakampio plokštumai. Raskite atstumus nuo taško F iki stačiakampio viršūnių.

8. DIHADRINIS KAMPAS. LININIS KAMPAS DIHADRINIS KAMPAS

III 4. Bet kokia tiesi linija r , guli lėktuve a , padalina jai nepriklausančių šios plokštumos taškų aibę į dvi netuščias aibes taip, kad bet kurie du skirtingoms aibėms priklausantys taškai būtų atskirti tiesia linija r ; bet kurie du taškai, priklausantys tai pačiai aibei, nėra atskirti linija r .

Rinkiniai, į kuriuos yra tiesioginė linija r padalija plokštumos taškų aibę, kuri jai nepriklauso a, vadinamos atviromis pusplokštumomis su riba r.

Stačiakampio ABCD kraštinė BC yra trikampio BCF kraštinė, o viršūnė F projektuojama į DC. Įvardykite dvisienio kampo, kurį sudaro plokštumos ABC ir BCF, tiesinį kampą (1 pav.).

Ryžiai. 1. pav. 2.

Pateiktas lygiašonės trapecijos ABCD ir trikampio ABM vaizdas. Atkarpa MC yra statmena plokštumai ABC. Sukurkite plokštumų ABC ir ВСМ suformuoto dvisienio kampo tiesinį kampą taip, kad viena jo kraštinė eitų per tašką M (2 pav.).

3. Dvikampio kampo, lygaus 45°, paviršiuje duotas taškas, esantis 4 cm atstumu nuo krašto. Raskite atstumą nuo šio taško iki kito paviršiaus.

Daugiakampis yra padalintas iš vienos viršūnės nubrėžtų įstrižainių į baigtinį skaičių trikampių, kurių kiekvieno teorema yra teisinga. Todėl teorema taip pat bus teisinga visų trikampių, kurių plokštumos sudaro tą patį kampą su projekcijos plokštuma, plotų sumai.

komentuoti: Įrodyta teorema galioja bet kuriai plokštumai, ribojamai uždaros kreivės.

Pratimai:

1. Raskite plotą trikampio, kurio plokštuma į projekcijos plokštumą pasvirusi kampu , jei jo projekcija yra taisyklingas trikampis, kurio kraštinė yra a.

2. Raskite plotą trikampio, kurio plokštuma pasvirusi į projekcijos plokštumą kampu , jei jo projekcija yra lygiašonis trikampis, kurio kraštinė 10 cm, o pagrindas 12 cm.

3. Raskite plotą trikampio, kurio plokštuma į projekcijos plokštumą pasvirusi kampu , jei jo projekcija yra trikampis, kurio kraštinės yra 9, 10 ir 17 cm.

4. Apskaičiuokite plotą trapecijos, kurios plokštuma pasvirusi į projekcijos plokštumą kampu , jei jos projekcija lygiašonė trapecija, kurios didesnis pagrindas yra 44 cm, kraštinė yra 17 cm, o įstrižainė yra 39 cm.

5. Apskaičiuokite taisyklingo šešiakampio, kurio kraštinė yra 8 cm, projekcijos plotą, kurio plokštuma pasvirusi į projekcijos plokštumą kampu.

6. Rombas, kurio kraštinė yra 12 cm ir smailusis kampas, sudaro kampą su duota plokštuma. Apskaičiuokite rombo projekcijos į šią plokštumą plotą.

7. Rombas, kurio kraštinė yra 20 cm ir įstrižainė 32 cm, sudaro kampą su duota plokštuma. Apskaičiuokite rombo projekcijos į šią plokštumą plotą.

8. Baldakimo projekcija į horizontalią plokštumą yra stačiakampis su kraštinėmis ir . Raskite stogelio plotą, jei šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai, pasvirę į horizontalią plokštumą kampu , o vidurinė stogelio dalis yra kvadratas, lygiagretus projekcijos plokštumai.

11. Pratimai tema „Tiesijos ir plokštumos erdvėje“:

Trikampio kraštinės lygios 20 cm, 65 cm, 75 cm Iš didesnio trikampio kampo viršūnės nubrėžtas statmenas, lygus 60 cm. Raskite atstumą nuo statmeno galų didžioji trikampio kraštinė.

2. Iš taško, esančio cm atstumu nuo plokštumos, nubrėžiami du pasvirę, su plokštuma sudaryti kampai, lygūs , o tarp jų – stačiu kampu. Raskite atstumą tarp pasvirusių plokštumų susikirtimo taškų.

3. Taisyklingo trikampio kraštinė lygi 12 cm. Taškas M parinktas taip, kad atkarpos, jungiančios tašką M su visomis trikampio viršūnėmis, sudarytų kampus su jo plokštuma. Raskite atstumą nuo taško M iki trikampio viršūnių ir kraštinių.

4. Per kvadrato kraštinę kampu į kvadrato įstrižainę nubrėžta plokštuma. Raskite kampus, kuriais dvi kvadrato kraštinės yra pasvirusios į plokštumą.

5. Lygiašonio stačiojo trikampio kojelė yra pasvirusi į plokštumą a, einančią per hipotenuzą kampu . Įrodykite, kad kampas tarp plokštumos a ir trikampio plokštumos yra lygus .

6. Dvikampis kampas tarp trikampių ABC ir DBC plokštumų lygus . Raskite AD, jei AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Testo klausimai tema „Tiesijos ir plokštumos erdvėje“

1. Išvardykite pagrindines stereometrijos sąvokas. Suformuluokite stereometrijos aksiomas.

2. Įrodykite pasekmes iš aksiomų.

3. Kokia santykinė dviejų tiesių padėtis erdvėje? Pateikite susikertančių, lygiagrečių ir pasvirųjų linijų apibrėžimus.

4. Įrodykite pasvirusių linijų ženklą.

5. Kokia yra tiesės ir plokštumos santykinė padėtis? Pateikite susikertančių, lygiagrečių tiesių ir plokštumų apibrėžimus.

6. Įrodykite tiesės ir plokštumos lygiagretumo ženklą.

7. Kokia yra dviejų plokštumų santykinė padėtis?

8. Apibrėžkite lygiagrečias plokštumas. Įrodykite ženklą, kad dvi plokštumos yra lygiagrečios. Būsenos teoremos apie lygiagrečias plokštumas.

9. Apibrėžkite kampą tarp tiesių.

10. Įrodykite tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą.

11. Apibrėžkite statmens pagrindą, pasvirimo pagrindą, pasvirojo projekciją į plokštumą. Suformuluokite statmenų ir pasvirusių tiesių, nuleidžiamų į plokštumą iš vieno taško, savybes.

12. Apibrėžkite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

13. Įrodykite teoremą apie tris statmenis.

14. Pateikite dvisienio kampo, tiesinio dvisienio kampo apibrėžimus.

15. Įrodykite dviejų plokštumų statmenumo ženklą.

16. Apibrėžkite atstumą tarp dviejų skirtingų taškų.

17. Nurodykite atstumą nuo taško iki tiesės.

18. Nurodykite atstumą nuo taško iki plokštumos.

19. Nurodykite atstumą tarp tiesės ir jai lygiagrečios plokštumos.

20. Apibrėžkite atstumą tarp lygiagrečių plokštumų.

21. Nurodykite atstumą tarp susikertančių tiesių.

22. Apibrėžkite taško stačiakampę projekciją į plokštumą.

23. Apibrėžkite figūros stačiakampę projekciją į plokštumą.

24. Suformuluokite projekcijų į plokštumą savybes.

25. Suformuluokite ir įrodykite teoremą apie plokštumos daugiakampio projekcijos plotą.

ĮVADAS

Pirmasis mokslinis geometrijos pristatymas, kurį pasiekėme, yra darbe „Elementai“, kurį parengė senovės graikų mokslininkas Euklidas, gyvenęs III amžiuje prieš Kristų Aleksandrijos mieste. Būtent Euklidas pirmą kartą bandė pateikti aksiominį geometrijos pristatymą. Pirmą kartą mokslinę Euklido aksiomų sistemą suformulavo D. Hilbertas ( 1862-1943 ) CIC amžiaus pabaigoje.

Mokyklos geometrijos kursas susideda iš dviejų dalių: planimetrijos ir stereometrijos. Planimetrijoje tiriamos geometrinių figūrų plokštumoje savybės.

Stereometrija yra geometrijos šaka, tirianti figūrų savybes erdvėje.

Žodis „stereometrija“ kilęs iš graikų kalbos žodžių „stereos“ – tūrinis, erdvinis ir „metreo“ – matuoti.

Stereometrijoje tiriamų geometrinių kūnų idėją suteikia mus supantys objektai. Skirtingai nuo realių objektų, geometriniai kūnai yra įsivaizduojami objektai. Tyrinėdami geometrinių kūnų savybes, įgyjame supratimą apie realių objektų geometrines savybes ir galime šias savybes panaudoti praktinėje veikloje. Geometrija, ypač stereometrija, plačiai naudojama statybose, architektūroje, mechaninėje inžinerijoje, geodezijoje ir daugelyje kitų mokslo ir technologijų sričių.

Geometrinės konstrukcijos schema