Funkcijos y grafikas 2x. Kaip nubraižyti funkciją

Funkcijų grafikas yra vaizdinis funkcijos elgsenos koordinačių plokštumoje vaizdas. Grafikai padeda suprasti įvairius funkcijos aspektus, kurių negalima nustatyti pagal pačią funkciją. Galite sudaryti daugelio funkcijų grafikus ir kiekvienai iš jų bus suteikta konkreti formulė. Bet kurios funkcijos grafikas sudaromas naudojant konkretų algoritmą (jei pamiršote tikslų konkrečios funkcijos grafiko sudarymo procesą).

Žingsniai

Tiesinės funkcijos grafikas

Nustatykite, ar funkcija yra tiesinė. Tiesinė funkcija pateikiama pagal formos formulę F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) arba y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(pvz., ), o jo grafikas yra tiesi linija. Taigi formulė apima vieną kintamąjį ir vieną konstantą (konstantą) be jokių eksponentų, šaknies ženklų ar pan. Jei pateikiama panašaus tipo funkcija, gana paprasta nubraižyti tokios funkcijos grafiką. Štai kiti linijinių funkcijų pavyzdžiai:

Naudokite konstantą, kad pažymėtumėte tašką Y ašyje. Konstanta (b) yra taško, kuriame grafikas kerta Y ašį, „y“ koordinatė. Tai yra taškas, kurio „x“ koordinatė yra lygi 0. Taigi, jei x = 0, pakeičiama į formulę. , tada y = b (konstanta). Mūsų pavyzdyje y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta lygi 5, tai yra, susikirtimo taškas su Y ašimi turi koordinates (0,5). Nubraižykite šį tašką koordinačių plokštumoje.

Raskite linijos nuolydį. Jis lygus kintamojo daugikliui. Mūsų pavyzdyje y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) su kintamuoju "x" yra koeficientas 2; taigi, nuolydžio koeficientas lygus 2. Nuolydžio koeficientas lemia tiesės polinkio į X ašį kampą, tai yra, kuo didesnis nuolydžio koeficientas, tuo funkcija greičiau didėja arba mažėja.

Parašykite nuolydį kaip trupmeną. Kampinis koeficientas yra lygus polinkio kampo liestinei, tai yra vertikalaus atstumo (tarp dviejų taškų tiesioje linijoje) ir horizontalaus atstumo (tarp tų pačių taškų) santykiui. Mūsų pavyzdyje nuolydis yra 2, todėl galime teigti, kad vertikalus atstumas yra 2, o horizontalus - 1. Parašykite tai kaip trupmeną: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Jei nuolydis neigiamas, funkcija mažėja.

Nuo taško, kur tiesi linija kerta Y ašį, nubrėžkite antrą tašką naudodami vertikalius ir horizontalius atstumus.

Tiesinę funkciją galima pavaizduoti naudojant du taškus. Mūsų pavyzdyje susikirtimo taškas su Y ašimi turi koordinates (0,5); Nuo šio taško perkelkite 2 tarpus aukštyn ir 1 tarpu į dešinę. Pažymėkite tašką; jis turės koordinates (1,7). Dabar galite nubrėžti tiesią liniją. Naudodami liniuotę nubrėžkite tiesią liniją per du taškus.

Kad išvengtumėte klaidų, raskite trečiąjį tašką, tačiau dažniausiai grafiką galima nubraižyti naudojant du taškus. Taigi jūs nubraižėte tiesinę funkciją.
1. Taškų braižymas koordinačių plokštumoje Apibrėžkite funkciją.
  
  Funkcija žymima f(x). Visos galimos kintamojo „y“ reikšmės vadinamos funkcijos domenu, o visos galimos kintamojo „x“ reikšmės – funkcijos domenu. Pavyzdžiui, apsvarstykite funkciją y = x+2, būtent f(x) = x+2. Nubrėžkite dvi susikertančias statmenas linijas.
  
  Horizontali linija yra X ašis. Vertikali linija yra Y ašis. Pažymėkite koordinačių ašis.
  
  Padalinkite kiekvieną ašį į lygias dalis ir sunumeruokite jas. Ašių susikirtimo taškas lygus 0. X ašiai: teigiami skaičiai brėžiami į dešinę (nuo 0), o neigiami – į kairę. Y ašiai: teigiami skaičiai brėžiami viršuje (nuo 0), o neigiami skaičiai apačioje. Raskite „y“ reikšmes iš „x“ reikšmių.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Mūsų pavyzdyje f(x) = x+2. Norėdami apskaičiuoti atitinkamas y vertes, į šią formulę pakeiskite konkrečias x reikšmes. Jei suteikiama sudėtinga funkcija, supaprastinkite ją, išskirdami „y“ vienoje lygties pusėje. Nubraižykite taškus koordinačių plokštumoje.
  
  Kiekvienai koordinačių porai atlikite šiuos veiksmus: suraskite atitinkamą reikšmę X ašyje ir nubrėžkite vertikalią liniją (taškinę); raskite atitinkamą reikšmę Y ašyje ir nubrėžkite horizontalią liniją (punktyrinę liniją). Pažymėkite dviejų punktyrinių linijų susikirtimo tašką; taigi grafike nubraižėte tašką. Ištrinkite punktyrines linijas.
Atlikite tai nubraižę visus grafiko taškus koordinačių plokštumoje. Pastaba: funkcijos f(x) = x grafikas yra tiesė, einanti per koordinačių centrą [taškas su koordinatėmis (0,0)]; grafikas f(x) = x + 2 yra tiesė, lygiagreti tiesei f(x) = x, bet pasislinkusi į viršų dviem vienetais ir todėl einanti per tašką su koordinatėmis (0,2) (nes konstanta yra 2) .

Modulius turinčių funkcijų grafikų sudarymas paprastai sukelia didelių sunkumų moksleiviams. Tačiau viskas nėra taip blogai. Pakanka prisiminti keletą tokių problemų sprendimo algoritmų ir galite lengvai sukurti net sudėtingiausios funkcijos grafiką. Išsiaiškinkime, kokie tai yra algoritmai.

1. Funkcijos y = |f(x)| grafiko braižymas

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijų reikšmių rinkinys y = |f(x)| : y ≥ 0. Taigi tokių funkcijų grafikai visada yra tik viršutinėje pusplokštumoje.

Funkcijos y = |f(x)| grafiko braižymas susideda iš šių paprastų keturių žingsnių.

1) Atsargiai ir kruopščiai sukonstruokite funkcijos y = f(x) grafiką.

2) Palikite nepakeistus visus grafiko taškus, esančius virš 0x ašies arba ant jos.

3) Rodyti grafiko dalį, esančią žemiau 0x ašies, simetriškai 0x ašies atžvilgiu.

1 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = |x 2 – 4x + 3| grafiką

1) Sudarome funkcijos y = x 2 – 4x + 3 grafiką. Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė. Raskime visų parabolės susikirtimo su koordinačių ašimis taškų koordinates ir parabolės viršūnės koordinates.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Todėl parabolė taškuose (3, 0) ir (1, 0) kerta 0x ašį.

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Todėl parabolė taške (0, 3) kerta 0y ašį.

Parabolės viršūnių koordinatės:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Todėl taškas (2, -1) yra šios parabolės viršūnė.

Naudodamiesi gautais duomenimis nubrėžkite parabolę (1 pav.)

2) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, rodoma simetriškai 0x ašies atžvilgiu.

3) Gauname pradinės funkcijos ( ryžių. 2, parodyta punktyrine linija).

2. Funkcijos y = f(|x|) braižymas

Atkreipkite dėmesį, kad y = f(|x|) formos funkcijos yra lyginės:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Tai reiškia, kad tokių funkcijų grafikai yra simetriški 0y ašiai.

Funkcijos y = f(|x|) grafiko braižymas susideda iš tokios paprastos veiksmų grandinės.

1) Nubraižykite funkcijos y = f(x) grafiką.

2) Palikite tą grafiko dalį, kuriai x ≥ 0, tai yra, grafiko dalį, esančią dešinėje pusplokštumoje.

3) Rodyti (2) punkte nurodytą grafiko dalį simetriškai 0y ašiai.

4) Kaip galutinį grafiką pasirinkite (2) ir (3) punktuose gautų kreivių sąjungą.

2 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = x 2 – 4 · |x| grafiką + 3

Kadangi x 2 = |x| 2, tada pradinę funkciją galima perrašyti tokia forma: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Dabar galime taikyti aukščiau pasiūlytą algoritmą.

1) Kruopščiai ir kruopščiai sudarome funkcijos y = x 2 – 4 x + 3 grafiką (taip pat žr. ryžių. 1).

2) Paliekame tą grafiko dalį, kuriai x ≥ 0, tai yra grafiko dalį, esančią dešinėje pusplokštumoje.

3) Rodyti dešinę grafiko pusę simetriškai 0y ašiai.

(3 pav.).

3 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = log 2 |x| grafiką

Taikome aukščiau pateiktą schemą.

1) Nubraižykite funkciją y = log 2 x (4 pav.).

3. Funkcijos y = |f(|x|)| braižymas

Atkreipkite dėmesį, kad y formos funkcijos = |f(|x|)| taip pat yra lygūs. Iš tiesų, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), todėl jų grafikai yra simetriški 0y ašiai. Tokių funkcijų reikšmių rinkinys: y ≥ 0. Tai reiškia, kad tokių funkcijų grafikai yra tik viršutinėje pusplokštumoje.

Norėdami nubrėžti funkciją y = |f(|x|)|, turite:

1) Atsargiai sukonstruokite funkcijos y = f(|x|) grafiką.

2) Palikite nepakeistą grafiko dalį, esančią virš 0x ašies arba ant jos.

3) Rodyti grafiko dalį, esančią žemiau 0x ašies, simetriškai 0x ašies atžvilgiu.

4) Kaip galutinį grafiką pasirinkite (2) ir (3) punktuose gautų kreivių sąjungą.

4 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = |-x 2 + 2|x| grafiką – 1|.

1) Atkreipkite dėmesį, kad x 2 = |x| 2. Tai reiškia, kad vietoj pradinės funkcijos y = -x 2 + 2|x| – 1

galite naudoti funkciją y = -|x| 2 + 2|x| – 1, nes jų grafikai sutampa.

Sudarome grafiką y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Tam naudojame 2 algoritmą.

a) Nubraižykite funkciją y = -x 2 + 2x – 1 (6 pav.).

b) Paliekame tą grafiko dalį, kuri yra dešinėje pusplokštumoje.

c) Gautą grafiko dalį atvaizduojame simetriškai 0y ašiai.

d) Gautas grafikas parodytas paveiksle punktyrine linija (7 pav.).

2) Virš 0x ašies taškų nėra, 0x ašies taškus paliekame nepakeistus.

3) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, rodoma simetriškai 0x atžvilgiu.

4) Gautas grafikas parodytas paveikslėlyje su punktyrine linija (8 pav.).

5 pavyzdys. Nubraižykite funkciją y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Pirmiausia reikia nubraižyti funkciją y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Norėdami tai padaryti, grįžtame prie 2 algoritmo.

a) Atsargiai nubraižykite funkciją y = (2x – 4) / (x + 3) (9 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad ši funkcija yra tiesinė trupmeninė dalis, o jos grafikas yra hiperbolė. Norėdami nubrėžti kreivę, pirmiausia turite rasti grafiko asimptotes. Horizontaliai – y = 2/1 (x koeficientų santykis trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje), vertikaliai – x = -3.

2) Tą grafiko dalį, kuri yra virš 0x ašies arba ant jos, paliksime nepakeistą.

3) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, bus rodoma simetriškai 0x atžvilgiu.

4) Galutinis grafikas parodytas paveikslėlyje (11 pav.).

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Anksčiau mes studijavome kitas funkcijas, pavyzdžiui, linijines, prisiminkime jos standartinę formą:

iš čia ir akivaizdus esminis skirtumas – tiesinėje funkcijoje X stovi pirmame laipsnyje, o naują funkciją pradedame studijuoti, X stoja į antrąją galią.

Prisiminkite, kad tiesinės funkcijos grafikas yra tiesė, o funkcijos grafikas, kaip matysime, yra kreivė, vadinama parabole.

Pradėkime išsiaiškindami, iš kur atsirado formulė. Paaiškinimas toks: jei mums duotas kvadratas su kraštine A, tada galime apskaičiuoti jo plotą taip:

Jei pakeisime kvadrato kraštinės ilgį, pasikeis ir jo plotas.

Taigi, tai yra viena iš priežasčių, kodėl ši funkcija tiriama

Prisiminkite, kad kintamasis X- tai yra nepriklausomas kintamasis arba argumentas fizine interpretacija, tai gali būti, pavyzdžiui, laikas. Atstumas, priešingai, priklauso nuo laiko. Priklausomas kintamasis arba funkcija yra kintamasis adresu.

Tai yra atitikimo dėsnis, pagal kurį kiekviena vertybė X priskiriama viena reikšmė adresu.

Bet koks korespondencijos dėsnis turi atitikti argumento ir funkcijos unikalumo reikalavimą. Fiziniu požiūriu tai atrodo gana aiškiai, naudojant atstumo priklausomybės nuo laiko pavyzdį: kiekvienu laiko momentu esame tam tikru atstumu nuo pradžios taško, o nuo pradžios neįmanoma būti ir 10, ir 20 kilometrų. kelionės tuo pačiu metu t.

Tuo pačiu metu kiekviena funkcijos reikšmė gali būti pasiekta naudojant kelias argumentų reikšmes.

Taigi, turime sukurti funkcijos grafiką, tam turime sudaryti lentelę. Tada ištirkite funkciją ir jos savybes naudodami grafiką. Tačiau dar prieš sudarant grafiką pagal funkcijos tipą, galime pasakyti kai ką apie jo savybes: akivaizdu, kad adresu negali priimti neigiamų verčių, nes

Taigi, padarykime lentelę:

Ryžiai. 1

Iš grafiko lengva pastebėti šias savybes:

Ašis adresu- tai yra grafiko simetrijos ašis;

Parabolės viršūnė yra taškas (0; 0);

Matome, kad funkcija priima tik neneigiamas reikšmes;

Intervale kur funkcija mažėja, o intervale, kai funkcija didėja;

Funkcija įgyja mažiausią reikšmę viršūnėje, ;

Nėra didžiausios funkcijos vertės;

1 pavyzdys

Būklė:

Sprendimas:

Kadangi X pagal sąlygą keičiasi tam tikrame intervale, apie funkciją galime pasakyti, kad ji didėja ir keičiasi intervale . Šiame intervale funkcija turi mažiausią ir didžiausią reikšmę

Ryžiai. 2. Funkcijos y = x 2, x ∈ grafikas

2 pavyzdys

Būklė: Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę:

Sprendimas:

X pasikeičia per intervalą, o tai reiškia adresu mažėja intervale while ir didėja intervale while .

Taigi, pokyčių ribos X, ir pokyčių ribos adresu, todėl tam tikrame intervale yra ir mažiausia funkcijos reikšmė, ir maksimali

Ryžiai. 3. Funkcijos y = x 2 , x ∈ [-3] grafikas; 2]

Pavaizduokime faktą, kad tą pačią funkcijos reikšmę galima pasiekti su keliomis argumentų reikšmėmis.

Kartais užduotyse yra ne visai įprastų funkcijų, kur funkcijos formulėje yra tik „y“ arba tik „x“.

Kyla klausimas: „ Kaip nubraižyti tokią funkciją?».

Prisimink!

„y = 7“ ir „x = 2“ formos funkcijos grafikas (funkcijos, kuriose yra tik „y“ arba tik „x“) yra tiesė, lygiagreti vienai iš koordinačių ašių.

Kaip pavaizduoti funkcijos "y = 7" grafiką

Supraskime tai pavyzdžiu. Apsvarstykite funkciją "y = 7".

Funkcijos formulėje „y = 7“ yra tik „y“. Tai reiškia, kad visi funkcijos "y = 7" grafiko taškai turi koordinates išilgai "y" ašies (ordinatės), lygios "7".

Funkcijos „x“ argumento aiškiai nėra funkcijos „y = 7“ formulėje, tačiau „x“, nors ir „nematomai“, yra funkcijoje ir įgauna bet kokias skaitines reikšmes.

Tai pasakę, suraskime keletą punktų grafika
funkcijos "y = 7". Pasirinkime tris savavališkas „x“ skaitines reikšmes. Pavyzdžiui, skaičiai „1“, „2“ ir „3“.

Jei gautus funkcijos „y = 7“ grafiko taškus sujungsime, gausime tiesę, lygiagrečią „Ox“ ašiai.

Kaip nubraižyti funkciją „x = 2“

Funkcijos, kuriose yra tik „x“, yra sukurtos panašiu principu kaip ir funkcijos, kuriose yra tik „y“, su vieninteliu skirtumu, kad dabar dirbame su „Jaučio“ ašimi.

Supraskime tai pavyzdžiu. Apsvarstykite funkciją "x = 2".

Funkcijos „x = 2“ formulėje yra tik „x“.

Tai reiškia, kad visi funkcijos "x = 2" grafiko taškai turi koordinates išilgai "x" ašies (abscisės), lygios "2".

Funkcijos „y“ reikšmės funkcijoje „x = 2“ aiškiai nėra, tačiau „y“ funkcijoje yra „nematoma“ ir įgauna bet kokias skaitines reikšmes.

Tai pasakę, suraskime keletą grafiko taškų
funkcijos "x = 2".

Parinkime tris savavališkas „y“ skaitines reikšmes.

Pavyzdžiui, skaičiai „1“, „2“ ir „3“.

Gautus taškus pažymėkime koordinačių sistemoje.

Jei gautus funkcijos „x = 2“ grafiko taškus sujungsime, gausime tiesę, lygiagrečią „Oy“ ašiai.

Kaip atsiminti „y = 7“ ir „x = 2“ formų funkcijų braižymo taisykles