Vektorinės funkcijos integralas. kreivinis Csh integralas

3 skyrius

INTEGRALINIS VEKTORIAUS SKAIČIUS

§1.Vektorių integralai; kreivinis integralas?

§2.Vektoriaus lauko srautas

§Z. Srautas iš kubo; Gauso teorema

§4 šilumos laidumas; difuzijos lygtis

§5.Vektoriaus lauko cirkuliacija

§6. Kvadratinė cirkuliacija; Stokso teorema

§7. Laukai be rotorių ir laukai be nukrypimų

§8.Rezultatai

§ 1. Vektoriniai integralai;

kreivinis Csh integralas

Ankstesniame skyriuje matėme, kad lauko išvestinės gali būti paimtos įvairiai. Kai kurie veda į vektorinius laukus; kiti yra skaliariniai. Nors formulių išvesta gana daug, jas visas galima apibendrinti viena taisykle – operatoriais d/dx, d/d Ir d/dz yra trys vektorinio operatoriaus y komponentai. Dabar norėtume geriau suprasti lauko darinių reikšmę. Tada lengviau suprasime vektorinių lauko lygčių reikšmę.

Mes jau kalbėjome apie gradiento operacijos reikšmę (nuo C iki skaliarinio). Dabar pažiūrėkime į divergencijos (divergencijos) ir rotoriaus (sūkurio) skaičiavimo operacijų reikšmę. Šiuos dydžius geriausia interpretuoti vektorinių integralų ir šiuos integralus jungiančių lygčių kalba. Tačiau šios lygtys, deja, negali būti išvestos iš vektorinės algebros naudojant bet kokius paprastus pakaitalus, todėl turėsite jas išmokti kaip kažką naujo. Viena iš šių integralinių formulių yra praktiškai nereikšminga, o kitos dvi – ne. Mes juos išvesime ir paaiškinsime jų reikšmę. Šios formulės iš tikrųjų yra matematinės teoremos. Jie naudingi ne tik aiškinant divergencijos ir rotoriaus sąvokų reikšmę ir turinį, bet ir kuriant bendrąsias fizikines teorijas. Lauko teorijai šios matematinės teoremos yra tokios pačios kaip dalelių mechanikos energijos išsaugojimo teorema. Tokios bendrosios teoremos yra labai svarbios gilesniam fizikos supratimui. Tačiau pamatysite, kad, išskyrus kelias paprastas išimtis, jie mažai padeda išspręsti problemas. Laimei, kaip

Mūsų kurso pradžioje daugelis paprastų problemų bus išspręstos šiomis trimis integralų formulėmis.

Fig. 3.1. (3.1) lygties iliustracija.

Vektorius Csh apskaičiuojamas tiesiniu elementu ds.

Tačiau vėliau, kai užduotys taps sunkesnės, šiais paprastais metodais nebeišsiversime.

Pradėsime nuo integralios formulės, kuri apima gradientą. Jame esanti idėja labai paprasta: kadangi gradientas yra lauko reikšmės kitimo greitis, tai šio rodiklio integralas duos mums bendrą lauko pokytį. Turėkime skaliarinį lauką w (x, y, z). Dviejuose savavališkuose taškuose (1) ir (2) funkcija i|z turi atitinkamai w(l) ir w(2) reikšmes. [Naudojamas toks patogus žymėjimas: (2) reiškia tašką (x 2, y 2, z 2), o w(2) yra toks pat kaip w(x 2, y 2, z 2).] Jei Г ( gama ) yra savavališka kreivė, jungianti (1) ir (2) (3.1 pav.), tada

T E O R E M A 1

Integralas čia yra linijos integralas nuo (1) iki (2) išilgai kreivės Г nuo vektoriaus Сш) skaliarinės sandaugos su kitu vektoriumi, ds, kuris yra be galo mažas kreivės lanko Г elementas [nukreiptas iš (1) į (2)].

Prisiminkime, ką reiškia kreivinis integralas. Apsvarstykite skaliarinę funkciją f(x, y, z) ir kreivę Г, jungiančią du taškus (1) ir (2). Pažymėkime daugybę kreivės taškų ir sujungsime juos styga, kaip parodyta fig. 3.2. I-osios stygos ilgis lygus Ds i,-, kur i eina per reikšmes 1, 2, 3, .... Po eilutės integralu

reiškia sumos ribą

kur f i yra funkcijos reikšmė kažkur i-ajame styga. Riba yra ta

Fig. 3.2. Linijos integralas yra sumos riba.

į kokią sumą linksta, kai akordų skaičius didėja (pagrįstai, kad net didžiausi Ds i ®0).

Mūsų teoremoje (3.1) integralas reiškia tą patį, nors atrodo šiek tiek kitaip. Vietoj f yra kitas skaliaras - komponentas Сш Ds kryptimi. Jei šį komponentą pažymėsime (Сш) t, tai aišku, kad

Integralas, esantis (3.1), reiškia tokių terminų sumą.

Dabar pažiūrėkime, kodėl (3.1) lygtis yra teisinga. Sk. 1 parodėme, kad komponentas Sh išilgai mažo poslinkio DR yra lygus Sh kitimo greičiui DR kryptimi. Apsvarstykite kreivės Ds stygą nuo taško (1) iki taško A pav. 3.2. Pagal mūsų apibrėžimą

Lygiai taip pat ir mes

kur, žinoma, (Csh) 1 reiškia gradientą, apskaičiuotą pagal akordą Ds 1, o (Csh) 2 yra gradientas, apskaičiuotas pagal Ds 2. Sudėjus (3.3) ir (3.4), gauname

Matote, kad toliau įtraukdami tokius terminus baigiame

Kairė pusė nepriklauso nuo to, kaip pasirinkti intervalus – kol taškai (1) ir (2) yra vienodi, kad dešinėje būtų galima pereiti prie ribos. Tai patvirtina (3.1) lygtį. Iš mūsų įrodymų aišku, kad lygybė nepriklauso nuo taškų a pasirinkimo, b, c,..., lygiai taip pat nepriklauso nuo pačios kreivės G pasirinkimo Teorema teisinga bet koks kreivė, jungianti taškus (1) ir (2).

Du žodžiai apie žymėjimą. Nebus painiavos, jei parašysite dėl patogumo

Tada mūsų teorema bus tokia:

T E O R E M A 1

§ 2. Vektoriaus lauko srautas

Prieš pradėdamas svarstyti kitą integralinę teoremą - divergencijos teoremą - norėčiau suprasti vieną idėją, kurios prasmė šilumos srauto atveju yra lengvai suvokiama. Mes jau apibrėžėme vektorių h, kuris parodo šilumos kiekį, tekantį per ploto vienetą per laiko vienetą. Tarkime, kad kūno viduje yra uždaras paviršius S, ribojant tūrį V(3.3 pav.). Norime sužinoti, kiek šilumos išteka iš to apimtis.Žinoma, galime tai nustatyti apskaičiuodami bendrą šilumos srautą paviršius S.

Pažymėkime pagal da paviršiaus elemento plotas. Šis simbolis pakeičia dvimatį diferencialą. Jei, pavyzdžiui, elementas yra plokštumoje hu, Tai

da= dxdy.

Vėliau nagrinėsime tūrio integralus, o tada bus patogu tūrinį elementą laikyti mažo kubo pavidalu ir jį pažymėti dV, tai reiškia

dV = dxdydz.

Kai kurie žmonės rašo ir d 2 a vietoj taip, priminti, kad tai antrojo laipsnio išraiška; vietoj dV jie taip pat rašo d 3 V. Naudosime paprastesnį žymėjimą, bet stenkitės nepamiršti, kad plotai turi du matmenis, tūriai – tris.

Fig. 3.3. Uždaras paviršius S, ribojantis tūrį V.

Vieneto vektorius n - išorinis normalus paviršiaus elementui da, ah - šilumos potvynio vektorius per paviršiaus elementą.

Šilumos srautas per paviršiaus elementą da lygi ploto ir statmenos dedamosios h sandaugai da. Jau apibrėžėme n – vienetinį vektorių, nukreiptą į išorę statmenai paviršiui (žr. 3.3 pav.). Reikalingas komponentas h yra lygus

h n = h·n, (3.9)

ir tada šiluma teka da lygus

h· nda.(3.10)

Ir visas šilumos srautas per savavališką paviršių gaunamas susumavus visų paviršiaus elementų įnašus. Kitaip tariant, (3.10) yra integruotas per visą paviršių

Šį integralą pavadinsime „srautu h per paviršių“. Mes svarstome h kaip šilumos „srauto tankis“ ir paviršiaus integralas h yra bendras šilumos srautas į išorę per paviršių, t.y. šiluminė energija per laiko vienetą (džauliais per sekundę).

Šią mintį norime apibendrinti tuo atveju, kai vektorius yra ne kokio nors dydžio srautas, o, tarkime, elektrinis laukas. Žinoma, jei to reikia, tokiu atveju vis tiek galima integruoti įprastą elektrinio lauko komponentą per plotą. Nors dabar tai jau nebebus niekieno srautas, vis tiek vartosime žodį

„tekėjimas“. Mes tai pasakysime

Žodžiui „tekėjimas“ suteikiame kokio nors vektoriaus „normaliojo komponento paviršinio integralo“ reikšmę. Tas pats apibrėžimas galioja, kai paviršius nėra uždarytas.

O grįžtant prie konkretaus šilumos srauto atvejo, atkreipkime dėmesį į tuos atvejus, kai išlaikomas šilumos kiekis.Įsivaizduokite, pavyzdžiui, medžiagą, kurioje po pirminio kaitinimo nebelieka šilumos tiekimo ar absorbcijos. Tada, jei šiluma teka į išorę nuo uždaro paviršiaus, šilumos kiekis vidiniame tūryje turėtų sumažėti. Taigi sąlygomis, kai išsaugomas šilumos kiekis, mes taip sakome

Kur Q-šilumos rezervas viduje S.Šilumos srautas iš Sį išorę yra lygus su minuso ženklu bendro šilumos rezervo kitimo laikui greičiui K viduje S. Toks aiškinimas įmanomas, nes kalbame apie šilumos srautą, ir todėl, kad manėme, kad šilumos kiekis yra išsaugomas. Žinoma, jei šiluma būtų kuriama tūrio viduje, apie visišką šilumos rezervą jame kalbėti būtų neįmanoma.

Dabar atkreipkime dėmesį į įdomią bet kurio vektoriaus srauto savybę. Galite įsivaizduoti šilumos srauto vektorių, bet tai galioja ir savavališkam vektoriaus laukui C. Įsivaizduokite uždarą paviršių S, aplinkinis tūris V. Dabar padalykime tūrį į dvi dalis naudodami tam tikrą „skyrius“ (3.4 pav.). Rezultatas buvo du tūriai ir du uždari paviršiai. Tomas V 1 yra apsuptas paviršiaus S 1 , sudarytas iš dalies iš ankstesnio paviršiaus S a ir iš dalies iš „atkarpos“ S ab . V 2 tūrį supa paviršius S 2, sudarytas iš likusio ankstesnio paviršiaus ( Sb ) ir uždarytas skerspjūviu S ab . Užduokime klausimą: jei apskaičiuosime srautą per paviršių Sl ir prie jo pridėsime srautą per paviršių S2, ar jų suma bus lygi srautui per pradinį paviršių? Atsakymas yra: „Taip“. Teka per S dalį ab , bendras abiem paviršiams S 1 ir S 2 tiksliai atšauks. Vektoriaus C srautui iš V 1 galite rašyti

ir srautui iš V 2:

Atkreipkite dėmesį, kad antrajame integrale išorinę normaliąją S ab pažymėjome raide n 1, jei ji reiškia S 1 , ir raidė n 2, jei ji nurodo S 1 (žr. 3.4 pav.).

Fig.3.4. V tomas, esantis S paviršiaus viduje, yra padalintas į dvi dalis „sekcija“ (paviršius S ab ). Dėl to susidaro V tomas 1 , apsuptas paviršiaus S 1 = S a +S ab ir V tomas 2 , apsuptas paviršiaus S 2 = S b +S ab .

Aišku, kad n 1 = -n 2, todėl

Dabar pridėjus lygtis (3.14) ir (3.15), esame įsitikinę, kad srautų suma S 1 Ir S 2 yra lygiai lygi dviejų integralų sumai, kurie kartu duoda srautą per pradinį paviršių S = S a +S b .

Matome, kad srautas per visą išorinį paviršių S gali būti laikoma srautų suma iš dviejų dalių, į kurias supjaustomas tūris. Šios dalys taip pat gali būti supjaustytos: tarkime, V 1 pertrauka per pusę. Vėl turėsime griebtis tų pačių argumentų. Taigi bet kam pradinio tūrio padalijimo metodas, savybė, kad srautas per išorinį paviršių (pradinis integralas) yra lygus srautų iš visų vidinių dalių sumai, visada išlieka galioti.

§ 3. Srautas iš kubo; Gauso teorema

Dabar panagrinėkime ypatingą srauto iš mažo kubo atvejį ir gaukime įdomią formulę. Tegu kubo briaunos nukreiptos išilgai koordinačių ašių (3.5 pav.), arčiausiai pradžios viršūnės koordinatės yra x, y, z, kubo kraštas kryptimi X lygus Dx, kubo (tiksliau, juostos) kraštinei kryptimi adresu yra lygus Dy, o z kryptimi lygi Dz. Norime rasti vektorinio lauko C srautą per kubo paviršių. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame srautų per visus šešis paviršius sumą. Pradėkime nuo 1 veido (žr. 3.5 pav.).

Srautas į išorę per jį lygus x komponentui C su minusu, integruotam per veido sritį. Tai lygu

Kadangi kubas laikomas mažu, šį integralą galima pakeisti reikšme C x veido centre 1, pažymėjome šį tašką (1), padaugintą iš veido ploto DyDz:

Srautas per 1 išėjimą = -C x (1)DyDz.

Panašiai išorinis srautas per 2 paviršių yra

Srautas per 2 out = C x (2) DyDz.

Fig. 3.5. Vektoriaus C srauto apskaičiavimas iš mažo kubo.

Kiekiai C x (1) Ir SU X (2), Apskritai, jie šiek tiek skiriasi. Jei Dx yra pakankamai mažas, galime rašyti

Žinoma, yra ir kitų terminų, tačiau jie apima (Dx) 2 ir didesnes Dx galias, o mažo Dx ribose jų galima lengvai nepaisyti. Tai reiškia, kad srautas per 2 paviršių yra lygus

Sudėjus srautus per 1 ir 2 briaunas, gauname

Išvestinė turi būti skaičiuojama 1 paviršiaus centre, ty taške . Bet jei kubas labai mažas, padarysime nedidelę paklaidą, jei apskaičiuosime jį viršūnėje (x, y, z).

Kartodami tuos pačius samprotavimus su kiekviena veidų pora, gauname

Ir bendras srautas per visus veidus yra lygus šių terminų sumai. Mes tai atrandame

Išvestinių skliausteliuose suma lygi С·С, o DxDyDz=DV (kubo tūris). Taigi galime teigti be galo mažam kubui

Mes parodėme, kad srautas į išorę nuo be galo mažo kubo paviršiaus yra lygus vektoriaus divergencijos ir kubo tūrio sandaugai. Dabar mes suprantame vektorinės divergencijos sąvokos „prasmę“. Vektoriaus divergencija taške R - tai yra C srautas (C „ištekėjimas“) tūrio vienetui, paimtas kaimynystėje R. Mes susiejome skirtumą C su C srautu nuo be galo mažo tūrio. Bet kokiam baigtiniam tūriui dabar galime naudoti aukščiau įrodytą faktą, kad bendras srautas iš tūrio yra srautų iš atskirų jo dalių suma. Kitaip tariant, skirtumą galime integruoti visame tūryje. Tai veda prie teoremos, pagal kurią savavališko vektoriaus normaliosios komponentės, esančios uždarame paviršiuje, integralas taip pat gali būti pavaizduotas kaip vektoriaus divergencijos per paviršiuje esančio tūrio integralas. Ši teorema vadinama Gauso teorema.

GAUSS TEOREMA

Kur S- savavališkai uždaras paviršius, V- tūris jo viduje.

§ 4, šilumos laidumas; difuzijos lygtis

Norėdami priprasti prie teoremos, pažvelkime į jos taikymo pavyzdį. Grįžkime prie šilumos paskirstymo, tarkime, metale, panagrinėkime labai paprastą atvejį: visa šiluma buvo tiekiama į kūną iš anksto, o dabar kūnas vėsta. Nėra šilumos šaltinių, todėl šilumos kiekis yra taupomas. Kiek šilumos tam tikru momentu turėtų būti tam tikrame tūryje? Turėtų mažėti tik tiek, kiek palieka tūrio paviršių. Jei šis tūris yra mažas kubas, tada

pagal formulę (3.17), galime parašyti

Bet tai turi būti lygi šilumos nuostolių iš kubo vidaus greičiui. Jeigu q-šilumos kiekis tūrio vienetui, tada visas

šilumos rezervas kube qDV, ir greitis nuostoliai lygus

Palyginus (3.19) su (3.20), matome, kad

Atidžiai pažvelkite į šios lygties formą; ši forma dažnai sutinkama fizikoje. Jis išreiškia tvermės dėsnį, šiuo atveju šilumos tvermės dėsnį. (3.13) lygtyje tas pats fizikinis faktas buvo išreikštas skirtingai. Buvo integralas išsaugojimo lygties forma, ir štai mes turime - diferencialas forma.

Lygtį (3.21) gavome pritaikę (3.13) formulę be galo mažam kubui. Galite eiti kitu keliu. Dideliam tūriui F, kurį riboja paviršius S, Gauso dėsnis teigia, kad

Naudojant (3.21), dešinėje pusėje esantis integralas gali būti transformuojamas tik į formą - dQ/dt ir tada gauname formulę (3.13).

Dabar pažvelkime į kitą atvejį. Įsivaizduokime, kad medžiagos bloke yra nedidelė skylutė, joje vyksta cheminė reakcija, generuojanti šilumą. Taip pat galite įsivaizduoti, kad laidai yra prijungti prie mažos varžos bloko viduje, šildant jį elektros srove. Tarkime, kad šiluma susidaro beveik viename taške, a W reiškia per sekundę tuo momentu pagamintą energiją. Likusiame tūryje leiskite sulaikyti šilumą ir, be to, tegul šilumos generavimas prasideda taip seniai, kad dabar temperatūra niekur nesikeičia. Kyla klausimas: kaip šilumos srauto vektorius h atrodo skirtinguose metalo taškuose? Kiek šilumos teka per kiekvieną tašką?

Žinome, kad jei įprastą komponentą h integruosime į uždarą šaltinį supantį paviršių, visada gausime W. Visa šiluma, kuri susidaro taškiniame šaltinyje, turi tekėti per paviršių, nes manoma, kad srautas yra pastovus. Mes susiduriame su sudėtinga užduotimi surasti vektorinį lauką, kuris, integravus per savavališką paviršių, visada duotų W. Tačiau šį lauką galime palyginti nesunkiai, pasirinkę specialaus tipo paviršių. Paimkime sferą su spinduliu R centruoti prie šaltinio ir manyti, kad šilumos srautas yra radialinis (3.6 pav.). Intuicija mums sako, kad h turėtų būti nukreipta išilgai spindulio, jei materijos blokas yra didelis ir mes nepriartėjame prie jo ribų; be to, h reikšmė visuose sferos taškuose turi būti vienoda.

Fig. 3.6. Regione, esančiame šalia taškinio šaltinio, šilumos srautas yra radialiai nukreiptas į išorę.

Matote, kad norėdami gauti atsakymą į savo skaičiavimus, esame priversti pridėti tam tikrą spėlionių kiekį (dažniausiai tai vadinama „fizine intuicija“).

Kai h yra radialiai ir sferiškai simetriškas, h normaliosios dedamosios per paviršiaus plotą integralą labai lengva apskaičiuoti, nes normalioji dedamoji yra lygiai lygi h ir yra pastovi. Plotas, kurio integracija yra lygi 4pR 2 . Tada gauname

Kur h- absoliuti vertė h. Šis integralas turi būti lygus W- greitis, kuriuo šaltinis generuoja šilumą. Pasirodo

kur, kaip visada, e r žymi vieneto vektorių radialine kryptimi. Šis rezultatas mums tai sako h proporcingas W ir kinta atvirkščiai atstumo nuo šaltinio kvadratui.

Ką tik gautas rezultatas taikomas šilumos srautui šalia taškinio šilumos šaltinio. Dabar pabandykime rasti lygtis, kurios galioja bendriausios formos šilumos srautui (laikantis vienintelės sąlygos, kad šilumos kiekis turi būti išsaugotas). Mums bus įdomu tik tai, kas vyksta vietose, esančiose už bet kokių šaltinių ar šilumos kriauklių.

Šilumos sklidimo diferencialinė lygtis buvo gauta skyriuje. 2. Pagal (2.44) lygtį,

(Atminkite, kad šis santykis yra apytikslis, bet kai kurioms medžiagoms, pavyzdžiui, metalams, jis gerai išsilaiko.) Žinoma, jis taikomas tik tose kūno vietose, kur nėra nei generuojama, nei sugeriama šiluma. Aukščiau išvedėme kitą ryšį (3.21), kuris tenkinamas, kai išsaugomas šilumos kiekis. Jei šią lygtį sujungsime su (3.25), gausime

Jeigu c- vertė yra pastovi. Aš jums tai primenu q- tai yra šilumos kiekis tūrio vienete, o С·С = С2 yra Laplasas, ty operatorius

Jei dabar darytume dar vieną prielaidą, iš karto susidarytų labai įdomi lygtis. Tarkime, kad medžiagos temperatūra yra proporcinga šilumos kiekiui tūrio vienete, tai yra, kad medžiaga turi tam tikrą specifinę šiluminę talpą. Kai ši prielaida yra teisinga (ir dažnai taip yra), galime rašyti

Šilumos kiekio kitimo greitis yra proporcingas temperatūros kitimo greičiui. Proporcingumo koeficientas c včia yra savitoji šilumos talpa vienam vienetui apimtis medžiaga. Pakeitę (3.27) į (3.26), gauname

Mes tai radome pokyčio greitis laikui bėgant temperatūros T kiekviename taške yra proporcingas Laplaso iš T, y., antroji erdvinio temperatūrų pasiskirstymo išvestinė. Turime diferencialinę lygtį – kintamaisiais x, y, z Ir t- temperatūrai T.

Diferencialinė lygtis (3.28) vadinama šilumos difuzijos lygtis, arba šilumos lygtis. Dažnai rašoma formoje

Kur D- pastovus. Jis lygus x/c v.

Difuzijos lygtis atsiranda daugelyje fizinių problemų: dujų difuzija, neutronų difuzija ir kt. Kai kurių šių reiškinių fiziką jau aptarėme t. 4, sk. 43. Dabar jūs turite visą lygtį, kuri apibūdina difuziją pačia bendriausia forma. Šiek tiek vėliau spręsime difuzijos lygtį, kad pamatytume, kaip kai kuriais atvejais pasiskirsto temperatūra. Dabar grįžkime prie kitų teoremų apie vektorinius laukus svarstymo.

§ 5. Vektorinio lauko cirkuliacija

Dabar norime atsižvelgti į lauko rotorių taip pat, kaip ir apie skirtumą. Gauso teoremą išvedėme apskaičiuodami paviršinį integralą, nors nuo pat pradžių jokiu būdu nebuvo aišku, kad turėsime reikalą su divergencija. Kaip galima žinoti, kad norint jį gauti, reikia integruotis per paviršių? Šis rezultatas nebuvo visiškai akivaizdus. Ir lygiai taip pat nepagrįstai dabar apskaičiuosime kitą lauko charakteristiką ir parodysime, kad ji yra susijusi su rotoriumi. Šį kartą apskaičiuosime vektorinio lauko vadinamąją cirkuliaciją. Jei C yra savavališkas vektorinis laukas, mes paimame jo komponentą išilgai išlenktos linijos ir integruojame šį komponentą išilgai uždaros kilpos. Integralas vadinamas tiražu vektoriaus laukas išilgai kontūro. Šiame skyriuje jau apžvelgėme Cy linijinį integralą. Dabar tą patį darome su savavališkas vektorinis laukas C.

Tegu Г yra savavališkas uždaras erdvės kontūras (žinoma, įsivaizduojamas). Pavyzdį matome fig. 3.7. Liečiamosios komponentės C kreivinis integralas išilgai kontūro užrašomas forma

Fig. 3.7. Vektoriaus C cirkuliacija, bet kreivė G yra kreivinis C integralas t (liestinės komponentas C).

Fig. 3.8. Cirkuliacija visoje grandinėje yra cirkuliacijos išilgai dviejų grandinių suma: G 1 =G a +G ab ir G 2 =G b +G a b .

Atkreipkite dėmesį, kad integralas perimamas visą uždarą kelią, o ne iš vieno taško į kitą, kaip buvo padaryta anksčiau. Apskritimas ant integralo ženklo turėtų mums tai priminti. Toks integralas vadinamas vektorinio lauko cirkuliacija išilgai kreivės G. Pavadinimas atsirado dėl to, kad iš pradžių taip buvo skaičiuojama skysčio cirkuliacija. Tačiau šis pavadinimas, kaip ir srautas, buvo išplėstas į bet kokius laukus, net tuos, kuriuose nebuvo ko „cirkuliuoti“.

Žaisdami su tuo pačiu žaidimu kaip ir su srautu, galime parodyti, kad cirkuliacija pagal kontūrą yra cirkuliacijos išilgai dviejų mažesnių kontūrų suma. Tarkime, kad tam tikra linija sujungę du pradinės kreivės taškus (1) ir (2), kreivę padalinome į du kontūrus Г 1 ir Г 2 (3.8 pav.). Kontūras Г 1 susideda iš Г a - pradinės kreivės dalies į kairę nuo (1) ir (2) ir „jungties“ Г ab . Kontūras G 2 susideda iš likusios pradinės kreivės ir tos pačios jungties.

Cirkuliacija išilgai Г 1 yra integralo išilgai Г а ir išilgai Г аб suma. Lygiai taip pat cirkuliacija išilgai Г2 yra dviejų dalių suma, viena išilgai Гb, kita išilgai Гab. Kreivės Г 2 integralas išilgai Г ab turi ženklą, priešingą kreivės ženklui G 1 , nes važiavimo kryptys priešingos (abiejuose kreiviniuose integraluose sukimosi kryptys turi būti paimtos vienodai).

Kartodami ankstesnius argumentus, galime įsitikinti, kad dviejų cirkuliacijų suma duos tik kreivinį integralą išilgai pradinės kreivės G. Integralai virš G ab anuliuos. Cirkuliacija išilgai vienos dalies plius cirkuliacija išilgai kitos yra lygi cirkuliacijai išilgai išorinės linijos. Šį didelio kontūro pjaustymo į mažesnius procesą galima tęsti. Pridedant cirkuliaciją išilgai mažesnių kontūrų, gretimos dalys susitrauks, todėl jų suma bus sumažinta iki cirkuliacijos išilgai vieno pradinio kontūro.

Dabar tarkime, kad pradinis kontūras yra tam tikro paviršiaus riba. Yra be galo daug paviršių, kurių riba yra tas pats pradinis uždaras kontūras. Tačiau mūsų rezultatai nepriklauso nuo šių paviršių pasirinkimo. Pirmiausia pradinį kontūrą padalinsime į daugybę mažų kontūrų, gulinčių ant pasirinkto paviršiaus (3.9 pav.).

Fig. 3.9. Tam tikras paviršius, ribojamas kontūro G.

Paviršius yra padalintas į daug mažų plotų, kurių kiekvienas yra maždaug kvadrato formos. Cirkuliacija išilgai G yra cirkuliacijos per visas mažas grandines suma.

Nepriklausomai nuo paviršiaus formos, jei maži kontūrai yra pakankamai maži, kiekvienas iš jų visada gali būti laikomas pakankamai plokščiu paviršiumi. Be to, kiekvienas iš jų gali būti labai panašus į kvadratą. O cirkuliaciją aplink didįjį kontūrą G galima rasti suskaičiavus tiražus visuose kvadratuose ir juos susumavus.

§ 6. Tiražas kvadrate; Stokso teorema

Kaip rasti kiekvieno kvadrato tiražą? Viskas priklauso nuo to, kaip aikštė yra orientuota erdvėje. Jei jo orientacija pasirinkta sėkmingai (pavyzdžiui, ji yra vienoje iš koordinačių plokštumų), tada skaičiavimą atlikti nesunku. Kadangi iki šiol nedarėme jokių prielaidų dėl koordinačių ašių orientacijos, turime teisę jas pasirinkti taip, kad kvadratas, į kurį sutelkėme dėmesį, atsidurtų plokštumoje xy(3.10 pav.). Jei skaičiavimo rezultatas išreiškiamas vektoriniu žymėjimu, tai galime pasakyti, kad jis nepriklauso nuo specialios plokštumos orientacijos.

Fig. 3.10. Vektorių cirkuliacijos skaičiavimas SU mažoje aikštėje.

Dabar norime rasti lauko C cirkuliaciją išilgai mūsų aikštės. Kreivinę integraciją lengva atlikti, jei kvadratas yra toks mažas, kad vektorius C labai mažai keičiasi vienoje kvadrato pusėje. (Ši prielaida geriau pasitvirtina, kuo mažesnis kvadratas, todėl iš tikrųjų mes kalbame apie be galo mažus kvadratus.) Pradedant nuo taško. (x, y) – apatiniame kairiajame paveikslo kampe - apeisime visą aikštę rodyklėmis nurodyta kryptimi. Išilgai pirmosios pusės, pažymėtos 1, yra liestinės komponentas SU X(1), o atstumas lygus Dx. Pirmoji integralo dalis lygi C x (1) Dx Išilgai antrosios pusės gauname C y (2) Dy. Išilgai trečiojo gauname -C x (3) Dx, o išilgai ketvirtojo -C y (4) Dy. Yra minuso ženklai, nes mus domina liestinės dedamoji aplinkkelio kryptimi. Tada visas linijos integralas yra lygus

(3.31) Dabar pažvelkime į pirmą ir trečią sąlygas. Iš viso jie duoda

Jums gali atrodyti, kad priimtu aproksimavimu šis skirtumas yra lygus nuliui. Bet tai tik pirmas apytikslis. Galime būti tikslesni ir atsižvelgti į pokyčių tempą SU X , tada gali rašyti

Kitame aproksimacijose atsiras terminai su (Dy) 2, bet kadangi galiausiai mus domina tik Dy®0 riba, šių terminų galima nepaisyti. Pakeitę (3.33) į (3.32), gauname

Mūsų tikslumu išvestinę galima paimti taške (x, y). Panašiai likusieji du terminai gali būti parašyti kaip

o cirkuliacija aplink kvadratą tada lygi

Įdomu tai, kad rotoriaus z komponentas yra skliausteliuose SU. DxDy daugiklis yra mūsų kvadrato plotas. Taigi tiražas (3.36) gali būti parašytas kaip

Tačiau z komponentas iš tikrųjų yra komponentas normalusį paviršiaus elementą.

Fig. 3.11. Vektoriaus C cirkuliacija išilgai G yra lygi vektoriaus normaliosios komponentės paviršiniam integralui CXC.

Todėl cirkuliaciją aplink kvadratą taip pat galima nurodyti nekintamu vektoriniu žymėjimu:

Dėl to turime: savavališko vektoriaus C cirkuliacija per begalinį kvadratą yra lygi rotoriaus komponento C sandaugai, normaliai paviršiui, ir kvadrato plotui.

Cirkuliacija pagal savavališką kontūrą Г dabar gali būti lengvai susieta su vektorinio lauko rotoriumi. Ant kontūro ištempsime bet kokį tinkamą paviršių S(kaip 3.11 pav.) ir sudėkite cirkuliacijas per visus begalinius šio paviršiaus kvadratus. Suma gali būti užrašoma kaip integralas. Rezultatas yra labai naudinga teorema, vadinama Stokso teorema [fiziko Stokso vardu].

STOKSO TEOREMA

Kur S- savavališkas paviršius, apribotas kontūro G. Dabar turime įvesti ženklų susitarimą. Ankstesniame Fig. 3,10 z ašis rodo įjungta Jūs, jei koordinačių sistema yra „normali“, t. y. „dešiniarankė“. Kai kreiviniame integrale paėmėme „teigiamą“ aplinkkelio kryptį, cirkuliacija pasirodė lygi CXC vektoriaus z komponentui. Jei būtume apėję kontūrą kita kryptimi, būtume gavę priešingą ženklą. Kaip išvis žinoti, kurią kryptį pasirinkti teigiamai „normalios“ CXC vektoriaus komponento krypčiai? „Teigiamas“ normalus visada turi būti susietas su kryptimi, kaip buvo padaryta Fig. 3.10. Bendras atvejis parodytas fig. 3.11.

„Dešinės rankos taisyklė“ yra naudinga įsiminti. Jei padėsite pirštus teisingai rankas išilgai kontūro G, kad pirštų galai rodytų teigiamą ėjimo kryptį ds, tada nykštys bus nukreiptas į kryptį teigiamas normalus į paviršių S.

§ 7. Laukai be rotorių ir laukai be divergentų

Dabar pereikime prie kai kurių mūsų naujų teoremų pasekmių. Pirmiausia paimkime atvejį vektoriaus, kurio rotorius (arba sūkurys) visur lygus nuliui. Tada, pagal Stokso teoremą, cirkuliacija išilgai bet kurio kontūro yra lygi nuliui. Jeigu dabar uždaroje kreivėje paimtume du taškus (1) ir (2) (3.12 pav.), tai liestinės komponento tiesinis integralas nuo (1) iki (2) neturėtų priklausyti nuo to, kurį iš dviejų galimų takų mes pasirinko. Galime daryti išvadą, kad integralas nuo (1) iki (2) gali priklausyti tik nuo šių taškų vietos, t.y., kad jis yra tik taškų koordinačių funkcija. Problemoje naudojome tą pačią logiką. 1, sk. 14, kai jie įrodė, kad jei tam tikros reikšmės integralas išilgai savavališko uždaro kontūro visada yra lygus nuliui, tai šis integralas gali būti pavaizduotas kaip dviejų galų koordinačių funkcijų skirtumas. Tai leido mums sugalvoti potencialo sąvoką. Toliau įrodėme, kad vektorinis laukas yra šios potencialios funkcijos gradientas [žr problema 1, (14.13) lygtis].

Iš to išplaukia, kad bet kuris vektorinis laukas, kurio kreivumas lygus nuliui, gali būti pavaizduotas kaip kokios nors skaliarinės funkcijos gradientas, t.y. jei AXC = 0 visur, tada yra tam tikra funkcija y (psi), kuriai C = Cy (naudingas našumas). Tai reiškia, kad, jei norime, galime apibūdinti tokio tipo vektorinius laukus naudodami skaliarinius laukus.

Dabar įrodykime kitą formulę. Leiskite mums savavališkas skaliarinis laukas j (phi). Jei imtume jo gradientą SU j, tada šio vektoriaus integralas išilgai bet kurio uždaro kontūro turi būti lygus nuliui.

Fig. 3.12. Jei CXC lygus nuliui, tai cirkuliacija palei uždarą atšaką G taip pat lygi nuliui.

C·ds tiesinis integralas atkarpoje nuo (1) iki (2) išilgai a turi būti lygus integralui išilgai b.

Fig. 3.13. Pereinant prie uždaro paviršiaus ribos, paviršiaus integralas (CXC) n turėtų eiti į nulį.

Kreivinis integralas nuo taško (1) iki taško (2) yra lygus . Jei taškai (1) ir (2) sutampa, tada mūsų 1 teorema [(3.8) lygtis] ​​sako, kad tiesės integralas yra lygus nuliui:

Taikydami Stokso teoremą galime padaryti tokią išvadą

Autorius bet koks paviršiai. Bet kadangi integralas baigėsi bet koks Paviršius yra lygus nuliui, tada integrandas turi būti lygus nuliui. Reiškia,

Tas pats rezultatas buvo įrodytas Chap. 2, § 7 naudojant vektorinę algebrą.

Dabar panagrinėkime ypatingą atvejį, kai mažas kontūras G ištemptas didelis paviršius S(3.13 pav.). Norime pamatyti, kas atsitiks, kai kontūras susitraukia iki taško. Tada paviršiaus riba išnyks, o pats paviršius pavirs uždaru. Jei vektorius C visur yra baigtinis, tai kreivinis integralas virš Г kontūrui susitraukiant turėtų būti lygus nuliui (integralas paprastai yra proporcingas kontūro Г ilgiui ir jis mažėja). Pagal Stokso teoremą (CXC) n paviršinis integralas taip pat turėtų sumažėti iki nulio. Kai paviršius užsidaro, kažkaip į integralą įvedamas indėlis, kuris panaikina sukauptą

anksčiau. Dėl to gaunama nauja teorema:

Tai turėtų mus sudominti, nes jau turime vieną teoremą apie vektorinio lauko paviršinį integralą. Toks paviršinis integralas yra lygus vektoriaus divergencijos tūriniam integralui, kaip matyti iš Gauso teoremos [(3.18) lygtis]. Gauso teorema, taikoma CXC, teigia, kad

Darome išvadą, kad integralas dešinėje turi išnykti ir kad tai turi būti tiesa bet kuriam vektoriniam laukui C, kad ir koks jis būtų.

Kai lygtis (3.41) tenkinama savavališkas tūris, Tai kiekviename taške erdvėje, integrandas turi būti lygus nuliui. Pasirodo, kad

Tas pats rezultatas buvo gautas naudojant vektorinę algebrą Chap. 2, § 7. Dabar pradedame suprasti, kaip čia viskas derinama vienas prie kito.

§ 8. Rezultatai

Dabar apibendrinkime viską, ką sužinojome apie vektorinį skaičiavimą. Čia pateikiami reikšmingiausi Ch. 2 ir 3.

1. Operatoriai d/dx, d/d Ir d/dz Galima laikyti trimis vektorinio operatoriaus C komponentais ; formulės, išplaukiančios iš vektorinės algebros, išlieka teisingos, jei šis operatorius laikomas vektoriumi

2. Skirtumas tarp skaliarinio lauko verčių dviejuose taškuose yra lygus šio skaliro gradiento liestinės komponento kreiviniam integralui išilgai bet kurios kreivės, jungiančios pirmąjį tašką su antruoju:

Savavališko vektoriaus normaliosios komponentės paviršiaus integralas virš uždaro paviršiaus yra lygus vektoriaus divergencijos tūriui, esančiam šio paviršiaus viduje, integralui:

4. Savavališko vektoriaus liestinės komponentės išilgai uždaro kontūro kreivinis integralas yra lygus šio vektoriaus rotoriaus normaliojo komponento paviršiaus integralui išilgai savavališko paviršiaus, apriboto šio kontūro.

Iš redaktoriaus. Pradėdami studijuoti Maksvelo lygtis, atkreipkite dėmesį, kad šiose paskaitose naudojama racionalizuota vienetų sistema, kurioje Maksvelo lygtyse nėra koeficientų.

Įprastesnis vietoj el 0 rašyti e 0 /4p; tada koeficientas 4p išnyksta iš Kulono dėsnio vardiklio (4.9), bet atsiranda dešinėje (4.1) ir (4.3) lygčių pusėse. [Vienetų sistemos tobulinimas visada panašus į Trishkino kaftaną.]

Be to, vietoj šviesos greičio kvadrato įvedama nauja konstanta m 0 =e 0 /c 2 , vadinkite tai (gana, deja) magnetiniu tuštumos pralaidumu (taip pat kaip ir el