Lokalinė Moivre-Laplace teorema(1730 m. Moivre ir Laplasas)

Jei įvykio $A$ įvykių tikimybė $p$ yra pastovi, o $p\ne 0$ ir $p\ne 1$, tada tikimybė $P_n (k)$ yra tokia, kad įvykis $A$ pasirodys $k$ kartų $n $ testuose, yra maždaug lygi (kuo didesnis $n$, tuo tikslesnis) funkcijos $y=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot reikšmė \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2 \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \ varphi (x)$

už $x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $. Yra lentelių, kuriose yra funkcijos $\varphi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) $

taigi \begin (lygtis) \label ( eq2 ) P_n (k)\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)\,\,kur\,x =\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \qquad (2) \end(lygtis)

funkcija $\varphi (x)=\varphi (( -x ))$ yra lyginė.

Pavyzdys. Raskite tikimybę, kad įvykis $A$ įvyks lygiai 80 kartų per 400 bandymų, jei šio įvykio tikimybė kiekviename bandyme yra $p=0,2$.

Sprendimas. Jei $p=0,2$, tai $q=1-p=1-0,2=0,8$.

$P_ ( 400 ) (( 80 ))\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \varphi (x)\,\,where\,x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $

$ \begin(masyvas) ( l ) x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) =\frac ( 80-400\cdot 0,2 ) ( \sqrt ( 400 \cdot 0.2\cdot 0.8 ) ) =\frac ( 80-80 ) ( \sqrt ( 400\cdot 0.16 ) ) =0 \\ \varphi (0)=0.3989\,\,P_ ( 400 ) (( 80 ))\apytiksliai \frac ( 0,3989 ) ( 20\cdot 0,4 ) =\frac ( 0,3989 ) ( 8 ) =0,0498 \\ \end(masyvas) $

Moivre-Laplace integralų teorema

Įvykio $A$ atsiradimo tikimybė P kiekviename bandyme yra pastovi ir $p\ne 0$ ir $p\ne 1$, tada tikimybė $P_n (( k_1 ,k_2 ))$, kad įvykis $A$ įvyks nuo $k_ ( 1 ) $ iki $k_ ( 2 ) $ kartų per $n$ bandymus, lygus $ P_n (( k_1 ,k_2 ))\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi) ) ) \int\limits_ ( x_1 ) ^ ( x_2 ) ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) =\Phi (( x_2 ))-\Phi (( x_1 ))$

kur $x_1 =\frac ( k_1 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) ), x_2 =\frac ( k_2 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $ ,kur

$\Phi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) $ -rasta iš lentelių

$\Phi (( -x ))=-\Phi (x)$-nelyginis

Keista funkcija. Vertės lentelėje pateiktos $x=5$, $x>5,\Phi (x)=0.5$

Pavyzdys. Yra žinoma, kad patikrinimo metu atmetami 10 proc. Kontrolei buvo atrinkti 625 produktai. Kokia tikimybė, kad tarp atrinktųjų yra ne mažiau kaip 550 ir daugiausia 575 standartiniai produktai?

Sprendimas. Jei yra 10% defektų, tai yra 90% standartinių gaminių. Tada pagal sąlygą $n = 625, p = 0,9, q = 0,1, k_1 = 550, k_2 = 575 $. $n\cdot p=625\cdot 0.9=562.5$. Gauname $ \begin(masyvas) ( l ) P_ ( 625 ) (550.575)\approx \Phi (( \frac ( 575-562.5 ) ( \sqrt ( 625\cdot 0.9\cdot 0.1 ) ) ) ( \Phi ( \frac ( 550-562,5 ) ( \sqrt ( 626\cdot 0,9\cdot 0,1 ) )) \apytiksliai \Phi (1,67) - \Phi (-1, 67) = 2 \Phi (1,67) = 0,9052 pabaiga(masyvas) $

Moivre-Laplace integralų teorema . Jei įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo 0 ir 1, tada tikimybė, kad įvykio A skaičius m n nepriklausomų bandymų yra intervale nuo a iki b (imtinai) , su pakankamai dideliu skaičiumi n yra maždaug lygus

Kur
- Laplaso funkcija (arba tikimybinis integralas);

,
.

Formulė vadinama Moivre-Laplace integralo formule. Kuo didesnis n, tuo tikslesnė ši formulė. Jei įvykdoma sąlyga npq ≥ 20, integralo formulė
, kaip ir vietinis, paprastai suteikia praktiką tenkinančią tikimybių skaičiavimo klaidą.

Funkcija Ф(х) pateikiama lentelėse (žr. lentelę). Norėdami naudoti šią lentelę, turite žinoti funkcijos savybės :

Funkcija Ф(х) yra nelyginė, t.y. Ф(-х) = -Ф(х).

Funkcija Ф(х) monotoniškai didėja, o kaip x → +∞ Ф(х) → 1 (praktikoje galime manyti, kad jau x > 4 Ф(х) ≈ 1).

Pavyzdys . Kai kuriose vietovėse iš 100 šeimų 80 turi šaldytuvus. Apskaičiuokite tikimybę, kad nuo 300 iki 360 (imtinai) šeimų iš 400 turi šaldytuvus.

Sprendimas. Taikome Moivre-Laplace integralinę teoremą (npq = 64 ≥ 20). Pirmiausia apibrėžiame:

,

.

Dabar pagal formulę
, atsižvelgdami į Ф(х) savybes, gauname

(pagal lentelę F(2.50) = 0.9876, F(5.0) ≈ 1)

1. Moivre-Laplace integralinės teoremos išvados (su išvada). Pavyzdžiai.

Panagrinėkime Moivre-Laplace'o integralinės teoremos pasekmę.

Pasekmė. Jei įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo 0 ir 1, tada esant pakankamai dideliam n nepriklausomų bandymų skaičiui, tikimybė, kad:

a) įvykio A atvejų skaičius m skiriasi nuo sandaugos nр ne daugiau kaip reikšme ε >
;

b) dažnis įvykis A yra diapazone nuo α iki β (imtinai), t.y.
, Kur
,
.

c) dažnis įvykis A nuo savo tikimybės p skiriasi ne daugiau kaip Δ > 0 (absoliučia verte), t.y.
.

□ 1) Nelygybė
yra lygiavertė dvigubai nelygybei pr - E ~ m ~ pr + E. Todėl pagal integralo formulę
:

.

2) Nelygybė
yra lygiavertė nelygybei a ≤ m ≤ b, kai a = nα ir b = nβ. Pakeitimas formulėse
Ir
,
reikšmes a ir b, naudodamiesi gautomis išraiškomis, gauname įrodinėjamas formules
Ir
,
.

3) Nelygybė
prilygsta nelygybei
. Pakeitimas formulėje

, gauname įrodinėjamą formulę
.

Pavyzdys . Remiantis statistika, vidutiniškai 87% naujagimių išgyvena iki 50 metų. Raskite tikimybę, kad iš 1000 naujagimių dalis (dažnis) išgyvenusių iki 50 metų: a) bus nuo 0,9 iki 0,95; b) nuo šio įvykio tikimybės skirsis ne daugiau kaip 0,04 (absoliučia verte)?

Sprendimas. a) Tikimybė p, kad naujagimis gyvens iki 50 metų, yra 0,87. Nes n = 1000 yra didelis (tenkinama sąlyga npq = 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20), tada naudojame Moivre-Laplace integralo teoremos išvadą. Pirmiausia apibrėžiame:

,
. Dabar pagal formulę
:

B) Pagal formulę
:

Nuo nelygybės
prilygsta nelygybei
, gautas rezultatas reiškia, kad beveik neabejotina, kad nuo 0,83 iki 0,91 naujagimio iš 1000 gyvens iki 50 metų.

„Atsitiktinio kintamojo“ sąvoka ir jos aprašymas. Diskretus atsitiktinis dydis ir jo pasiskirstymo dėsnis (eilutė).

Nepriklausomas atsitiktiniai dydžiai. Pavyzdžiai. Pagal

atsitiktinis kintamasis yra suprantamas kaip kintamasis, kuris testavimo metu, priklausomai nuo atvejo, įgauna vieną iš galimų reikšmių rinkinių (kuris iš anksto nežinomas).

Atsitiktinių dydžių pavyzdžiai : 1) vaikų, gimusių per dieną Maskvoje, skaičius; 2) sugedusių gaminių skaičius konkrečioje partijoje; 3) šūvių skaičius iki pirmojo smūgio; 4) artilerijos sviedinio skrydžio nuotolis; 5) elektros energijos suvartojimas gamykloje per mėnesį. Atsitiktinis dydis vadinamas

Nepriklausomas diskretiškas (nepertraukiamas) , jei jo reikšmių aibė yra baigtinė arba begalinė, bet skaičiuojama.

nuolatinis atsitiktinis dydis

Suprasime dydį, kurio begalinė neskaičiuojama reikšmių rinkinys yra tam tikras skaičių ašies intervalas (baigtinis arba begalinis). Taigi, aukščiau pateiktuose 1-3 pavyzdžiuose turime atskirus atsitiktinius dydžius (1 ir 2 pavyzdžiuose - su baigtiniu reikšmių rinkiniu; 3 pavyzdyje - su begaliniu, bet skaičiuojamu reikšmių rinkiniu); o 4 ir 5 pavyzdžiuose – nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai. Už diskrečiųjų atsitiktinių dydžių
daug galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, t.y. funkcijas, baigtinis arba skaičiuojamas, skirtas

Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis X, Y, Z,..., o jų reikšmės – atitinkamomis mažosiomis raidėmis x, y, z,....

Sakoma, kad atsitiktinis dydis yra „paskirstytas“ pagal tam tikrą paskirstymo dėsnį arba „pagal šį paskirstymo dėsnį“.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui platinimo įstatymas m.b. pateikta lentelės pavidalu, analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.

Paprasčiausias diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnio nurodymo būdas yra lentelė (matrica), kurioje didėjimo tvarka išvardijamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir jas atitinkančios tikimybės, t.y.

Ši lentelė vadinama netoli diskretinio atsitiktinio dydžio skirstinio .

Įvykiai X=x 1, X=x 2,...,X=x n, susidedantys iš to, kad atlikus testą atsitiktinis dydis X įgis reikšmes x 1, x 2, ... , x n atitinkamai yra nenuoseklūs ir vieninteliai galimi (nes lentelėje pateikiamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės), t.y. sudaryti pilną grupę. Todėl jų tikimybių suma lygi 1. Taigi bet kuriam diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui
.

Platinimo serija m.b. pavaizduotas grafiškai, jei atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o jų atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Gautų taškų jungtis sudaro trūkinę liniją, vadinamą daugiakampis arba tikimybių pasiskirstymo daugiakampis .

Vadinami du atsitiktiniai dydžiai nepriklausomas , jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nesikeičia priklausomai nuo to, kokias galimas reikšmes įgauna kitas dydis. Taigi, jei diskretinis atsitiktinis dydis X gali turėti reikšmes x i (i = 1, 2, ..., n), o atsitiktinis dydis Y gali turėti reikšmes y j (j = 1, 2, ..., m), tai diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X ir Y nepriklausomumas reiškia įvykių X = x i ir Y = y nepriklausomybę bet kuriam i = 1, 2, ... , n ir j = 1, 2, ..., m. Priešingu atveju vadinami atsitiktiniais dydžiais priklausomas .

Pavyzdžiui , jei yra bilietų į dvi skirtingas pinigų loterijas, atsitiktiniai dydžiai X ir Y, atitinkamai išreiškiantys kiekvieno bilieto laimėjimą (piniginiais vienetais), bus nepriklausomas, nes bet kokiam vienos loterijos bilieto laimėjimui (pavyzdžiui, kai X = x i), kito bilieto (Y) laimėjimų paskirstymo dėsnis nesikeis.

Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y išreiškia vienos pinigų loterijos bilietų laimėjimus, tai šiuo atveju X ir Y yra priklausomi, nes bet koks laimėjimas vienu bilietu (X = x i) lemia laimėjimo kito bilieto tikimybės pasikeitimą. (Y), t.y. e. pasikeitus U paskirstymo dėsniui.

Matematinės operacijos su atskirais atsitiktiniais objektais asmenybes ir paskirstymo dėsnių konstravimo pavyzdžius KH, X" 1 , X + K, XV pateikti nepriklausomų bylų pasiskirstymai skaitiniai dydžiai X Ir U.

Apibrėžkime matematines operacijas virš diskrečiųjų atsitiktinių dydžių.

Pateikiame du atsitiktinius dydžius:

Atsitiktinio dydžio X sandauga kX pagal pastovią reikšmę k yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmės kx i su tomis pačiomis tikimybėmis p i (i = 1,2,...,n).

m atsitiktinio dydžio X laipsnis, t.y.
, yra atsitiktinis kintamasis, kuris ima reikšmes tomis pačiomis tikimybėmis p i (i = 1,2,...,n).

Atsitiktinių dydžių X ir Y suma (skirtumas arba sandauga). yra atsitiktinis dydis, kuris įgauna visas įmanomas xi+yj (xj-yj arba xj·yj) formos reikšmes, kur i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, su tikimybe pij, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę xi, o y – yj:

Jeigu atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, t.y. bet kokie įvykiai X=xi, Y=yj yra nepriklausomi, tada pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą

3 pastaba . Aukščiau pateiktus operacijų su diskretiniais atsitiktiniais dydžiais apibrėžimus reikia paaiškinti: kadangi daugeliu atvejų tos pačios reikšmės ,
,
Galima gauti įvairiais būdais skirtingiems xi, yj su tikimybėmis pi, pij, tada tokių pasikartojančių reikšmių tikimybės randamos pridedant gautas tikimybes pi arba pij.

Laplaso integralų teorema

Teorema. Jei įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo nulio ir vieno, tada tikimybė, kad įvykio A įvykio skaičius m n nepriklausomų bandymų yra intervale nuo a iki b (imtinai) , esant pakankamai dideliam bandymų skaičiui, n yra maždaug lygus

Laplaso integrali formulė, taip pat vietinė Moivre-Laplace formulė, kuo tikslesnė, tuo daugiau n ir kuo arčiau 0,5 reikšmė p Ir q. Skaičiuojant pagal šią formulę gaunama nereikšminga klaida, jei sąlyga įvykdoma npq≥ 20, nors sąlygos įvykdymas gali būti laikomas priimtinu npq > 10.

Funkcija Ф( x) lentelėse (žr. 2 priedą). Norėdami naudoti šią lentelę, turite žinoti funkcijos Ф( x):

1. Funkcija Ф( x) – nelyginis, t.y. F(– x) = – Ф( x).

2. Funkcija Ф( x) – monotoniškai didėjantis, o kaip x → +∞ Ф( x) → 0,5 (praktiškai galime manyti, kad jau esant x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).

3.4 pavyzdys. 3.3 pavyzdžio sąlygomis apskaičiuokite tikimybę, kad nuo 300 iki 360 (imtinai) mokinių sėkmingai išlaikys egzaminą iš pirmo karto.

Sprendimas. Taikome Laplaso integralo teoremą ( npq≥ 20). Skaičiuojame:

= –2,5; = 5,0;

P 400 (300 ≤ m≤ 360) = Ф(5,0) – Ф(–2,5).

Atsižvelgiant į funkcijos Ф( x) ir naudodamiesi jo reikšmių lentele randame: Ф(5,0) = 0,5; Ф(–2,5) = – Ф(2,5) = – 0,4938.

Mes gauname P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Užrašykime Laplaso integralinės teoremos pasekmes.

1 išvada. Jei įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo nulio ir vieno, tai esant pakankamai dideliam n nepriklausomų bandymų skaičiui, tikimybė, kad įvykio A įvykio skaičius m skiriasi nuo sandaugos np ne daugiau kaip ε > 0

.

(3.8)

3.5 pavyzdys. 3.3 pavyzdžio sąlygomis suraskite tikimybę, kad tikimybių teorijos egzaminą iš pirmo karto sėkmingai išlaikys nuo 280 iki 360 mokinių.

Sprendimas. Apskaičiuokite tikimybę R 400 (280 ≤ m≤ 360) gali būti panašus į ankstesnį pavyzdį, naudojant pagrindinę Laplaso integralo formulę. Bet tai padaryti lengviau, jei pastebėsite, kad intervalo 280 ir 360 ribos yra simetriškos vertės atžvilgiu. n.p.=320. Tada, remdamiesi 1 išvadu, gauname

= = ≈

≈ = 2Ф(5,0) ≈ 2 0,5 ≈ 1,

tie. Beveik neabejotina, kad egzaminą iš pirmo karto sėkmingai išlaikys nuo 280 iki 360 mokinių. ◄

2 išvada. Jei įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo nulio ir vieno, tai esant pakankamai dideliam n nepriklausomų bandymų skaičiui, tikimybė, kad įvykio A dažnis m/n yra intervale nuo α į β (imtinai) yra lygus

,

(3.9)

3.6 pavyzdys. Remiantis statistika, vidutiniškai 87% naujagimių išgyvena iki 50 metų. Raskite tikimybę, kad iš 1000 naujagimių išgyvenusių iki 50 metų dalis (dažnis) bus nuo 0,9 iki 0,95.

Sprendimas. Tikimybė, kad naujagimis gyvens iki 50 metų, yra r= 0,87. Nes n= 1000 yra didelis (t. y. sąlyga npq= 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 patenkinta), tada naudojame Laplaso integralinės teoremos 2 išvadą. Mes randame:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

3 išvada. Jei įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo nulio ir vieneto, tai esant pakankamai dideliam n nepriklausomų bandymų skaičiui, tikimybė, kad įvykio A dažnis m/n skiriasi nuo jo tikimybės p ne daugiau kaipΔ > 0 (absoliučia verte) lygus

.

(3.11)

3.7 pavyzdys. Pagal ankstesnės problemos sąlygas suraskite tikimybę, kad iš 1000 naujagimių išgyvenusių iki 50 metų dalis (dažnis) nuo šio įvykio tikimybės skirsis ne daugiau kaip 0,04 (absoliučia verte).

Sprendimas. Naudodami Laplaso integralinės teoremos 3 išvadą, randame:

= 2F(3,76) = 2 · 0,4999 = 0,9998.

Kadangi nelygybė yra lygiavertė nelygybei, šis rezultatas reiškia, kad beveik neabejotina, kad 83–91% naujagimių iš 1000 gyvens iki 50 metų. ◄

Anksčiau mes nustatėme, kad nepriklausomiems bandymams skaičiaus tikimybė mįvykio įvykiai A V n testas randamas naudojant Bernulio formulę. Jeigu n yra didelis, tada naudokite Laplaso asimptotinę formulę. Tačiau ši formulė netinka, jei įvykio tikimybė maža ( r≤ 0,1). Šiuo atveju ( n puiku, r mažai) pritaikyti Puasono teoremą

Puasono formulė

Teorema. Jei įvykio A tikimybė p kiekviename bandyme yra lygi nuliui (p → 0) neribotai padidėjus bandymų n skaičiui (n→ ∞), o sandauga np linkusi į pastovų skaičių λ (np → λ), tada tikimybė P n (m), kad įvykis A pasirodys m kartų per n. nepriklausomi bandymai tenkina ribinę lygybę

2 teorema (Moivre-Laplace (vietinis)). A kiekviename n nepriklausomi testai yra lygūs r n bandomasis renginys Aįvyks vieną kartą, yra maždaug vienodas (tuo daugiau n, tuo tikslesnis) funkcijos reikšmė

,

Kur , . Funkcijų reikšmių lentelė pateikta priede. 1.

6.5 pavyzdys. Tikimybė rasti kiaulienos grybą tarp kitų yra lygi. Kokia tikimybė, kad tarp 300 kiaulių grybų bus 75?

Sprendimas. Pagal problemos sąlygas , . Mes randame . Iš lentelės randame .

.

Atsakymas: .

3 teorema (Moivre-Laplace (integralas)). Jei įvykio tikimybė A kiekviename n nepriklausomi testai yra lygūs r ir skiriasi nuo nulio ir vieno, o bandymų skaičius yra pakankamai didelis, tada tikimybė, kad in n išbando sėkmės skaičių m yra tarp ir , maždaug lygus (tuo daugiau n, tuo tiksliau)

,

Kur r- kiekvieno testo sėkmės tikimybė, , vertės pateiktos priede. 2.

6.6 pavyzdys. 768 arbūzų partijoje kiekvienas arbūzas yra neprinokęs. Raskite tikimybę, kad prinokusių arbūzų skaičius bus nuo 564 iki 600.

Sprendimas. Pagal sąlygą Laplaso integralų teorema

Atsakymas:

6.7 pavyzdys. Kasdien miestą aplanko 1000 turistų, kurie per dieną išeina papietauti. Kiekvienas iš jų vienodomis tikimybėmis ir nepriklausomai vienas nuo kito pietums pasirenka vieną iš dviejų miesto restoranų. Vieno iš restoranų savininkas nori, kad maždaug 0,99 tikimybės, kad visi į jo restoraną atėję turistai galėtų jame papietauti vienu metu. Kiek vietų turi būti jo restorane?

Sprendimas. Leiskite A= „turistas vakarieniavo su susidomėjusiu savininku“. Įvykio įvykis A Laikykime tai „sėkme“ , . Mus domina šis mažiausias skaičius k, kad atsiradimo tikimybė yra ne mažesnė kaip k„sėkmės“ nepriklausomų bandymų sekoje su sėkmės tikimybe r= 0,5 yra maždaug lygus 1 – 0,99 = 0,01. Būtent tokia tikimybė, kad restoranas bus perpildytas. Taigi mus domina šis mažiausias skaičius k, Ką. Taikykime Moivre-Laplace integralų teoremą

Iš kur tai seka

.

Lentelės naudojimas F(X) (2 priedas), randame , Reiškia. Todėl restorane turėtų būti 537 vietos.

Atsakymas: 537 vietos.

Iš Laplaso integralinės teoremos galime gauti formulę

.

6.8 pavyzdys. Tikimybė, kad įvykis įvyks kiekviename iš 625 nepriklausomų bandymų, yra 0,8. Raskite tikimybę, kad santykinis įvykio dažnis nukryps nuo jo tikimybės absoliučia verte ne daugiau kaip 0,04.

Tikimybė, kad n nepriklausomų bandymų, kurių kiekviename įvykio tikimybė yra p(0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Funkcijų reikšmių lentelė φ(x); neigiamoms x reikšmėms naudokite tą pačią lentelę (funkcija φ (x) yra lyginė: φ(-x) = φ(x)).

1 pavyzdys. Kiekviename iš 700 nepriklausomų bandymų įvykis A įvyksta su pastovia 0,35 tikimybe. Raskite tikimybę, kad įvykis A įvyks: a) lygiai 270 kartų; b) mažiau nei 270 ir daugiau nei 230 kartų; c) daugiau nei 270 kartų.
Sprendimas. Kadangi eksperimentų skaičius n = 700 yra gana didelis, naudojame Laplaso formules.
a) Duota: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Raskime P 700 (270). Mes naudojame Laplaso lokalinę teoremą.
Mes randame:

Funkcijos φ(x) reikšmę randame iš lentelės:

b) Duota: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Raskime P 700 (230< k < 270).
Mes naudojame Laplaso integralų teoremą (23), (24). Mes randame:

Funkcijos Ф(x) reikšmę randame iš lentelės:

c) Duota: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Raskime P 700 (k > 270).
Turime:

2 pavyzdys. Esant pastoviam technologiniam procesui audimo fabrike, 100 verpsčių per valandą nutrūksta 10 siūlų. Nustatykite: a) tikimybę, kad per valandą 80 verpsčių įvyks 7 sriegio nutrūkimai; b) labiausiai tikėtinas sriegio lūžių skaičius 80 verpsčių per valandą.
Sprendimas. Statistinė tikimybė, kad siūlas nutrūks per valandą, yra p = 10/100 = 0,1, taigi, q = 1 – 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Kadangi n yra didelis, naudojama lokali Laplaso teorema (23). Skaičiuojame:

Pasinaudokime savybe φ(-x) = φ(x), suraskime φ(0,37) ≈ 0,3726 ir tada apskaičiuokime norimą tikimybę:

Taigi tikimybė, kad per valandą 80 verpsčių įvyks 7 sriegio lūžiai, yra maždaug 0,139.
Labiausiai tikėtinas įvykio atvejų skaičius k 0 kartotinių bandymų metu bus nustatytas pagal (14) formulę. Randame: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

3 pavyzdys. Tikimybė, kad dalis yra pirmos klasės, yra 0,4. Pagaminta 150 dalių. Raskite tikimybę, kad tarp jų yra 68 pirmos klasės dalys.

4 pavyzdys. Įvykio tikimybė kiekviename nepriklausomame bandyme yra p.
Raskite tikimybę, kad įvykis įvyks n kartų, jei bus atlikta m testų.
Pateikite savo atsakymą į tris reikšmingus skaičius.
р = 0,75, n = 87, m = 120