Rotorius (matematika)

Rotorius, arba sūkurys yra vektoriaus diferencialinis operatorius vektoriniame lauke.

Paskirta

(rusų kalbos literatūroje) arba

(anglų literatūroje),

ir taip pat kaip diferencialo operatoriaus vektorinį padauginimą iš vektoriaus lauko:

Šio operatoriaus veiksmo konkrečiame vektoriaus lauke rezultatas F paskambino lauko rotorius F arba, trumpai tariant, tiesiog rotorius F ir reiškia naują vektorinį lauką:

Puvimo laukas F(vektoriaus puvimo ilgis ir kryptis F kiekviename erdvės taške) tam tikra prasme apibūdina lauko sukimosi komponentą F atitinkamai kiekviename taške.

Intuityvus vaizdas

Jeigu v(x,y,z) yra dujų greičio (arba skysčio srauto) laukas puvinys v- vektorius, proporcingas labai mažos ir lengvos dulkių (arba rutulio) dėmės, esančios sraute (ir įtrauktos dėl dujų ar skysčio judėjimo), kampinio greičio vektoriui; nors rutulio centras gali būti fiksuojamas, jei pageidaujama, kaip tol, kol jis gali laisvai suktis aplink jį).

Tiksliau puvinys v = 2 ω , Kur ω - šis kampinis greitis.

Paprastą šio fakto iliustraciją rasite toliau.

Šią analogiją galima suformuluoti gana griežtai (žr. toliau). Pagrindinis apibrėžimas per apyvartą (pateiktas kitoje pastraipoje) gali būti laikomas lygiaverčiu gautam tokiu būdu.

Matematinis apibrėžimas

Vektorinio lauko vingis yra vektorius, kurio projekcija kiekviena kryptimi n yra vektorinio lauko cirkuliacijos santykio išilgai kontūro riba L, kuri yra lygaus ploto Δ kraštas S, statmenai šiai krypčiai, šios srities dydžiui, kai ploto matmenys linkę į nulį, o pati sritis susitraukia iki taško:

Kontūro važiavimo kryptis parenkama taip, kad, žiūrint kryptimi, kontūras Lėjo pagal laikrodžio rodyklę.

Trimatėje Dekarto koordinačių sistemoje rotorius (kaip apibrėžta aukščiau) apskaičiuojamas taip (čia F- žymi tam tikrą vektorinį lauką su Dekarto komponentais ir - Dekarto koordinačių vienetinius vektorius):

Patogumui galime oficialiai pavaizduoti rotorių kaip nabla operatoriaus (kairėje) ir vektorinio lauko sandaugą:

(Paskutinė lygybė formaliai reiškia vektorinį sandaugą kaip determinantą.)

Susiję apibrėžimai

Vadinamas vektorinis laukas, kurio garbanos bet kuriame taške yra nulis erzinantis ir yra potencialą. Kadangi šios sąlygos yra būtinos ir pakankamos viena kitai, abu terminai yra praktiniai sinonimai. (Tačiau tai galioja tik laukams, apibrėžtiems tiesiog prijungtame domene).

Norėdami sužinoti daugiau apie abipusį potencialumo sąlygiškumą ir lauko irrotacinį pobūdį, žr. toliau (Pagrindinės savybės).

Priešingai, paprastai vadinamas laukas, kurio garbanos lygis nelygus nuliui sūkurys , toks laukas negali būti potencialus.

Apibendrinimas

Tiesioginis rotoriaus apibendrinimas, taikomas vektoriaus (ir pseudovektoriaus) laukams, apibrėžtiems savavališko matmens erdvėse (su sąlyga, kad erdvės matmuo sutampa su lauko vektoriaus matmeniu), yra toks:

su indeksais m Ir n nuo 1 iki erdvės matmens.

Tai taip pat gali būti parašyta kaip išorinis produktas:

Šiuo atveju rotorius yra antisimetrinis tenzorinis laukas, kurio valentingumas yra du.

3 matmens atveju šio tenzoriaus konvoliucija su Levi-Civita simboliu suteikia įprastą trimačio rotoriaus apibrėžimą, pateiktą aukščiau esančiame straipsnyje.

Be to, dvimatėje erdvėje, jei pageidaujama, galima naudoti panašią formulę su pseudoskaliariniu sandauga (toks rotorius bus pseudoskaliarinis, sutampantis su tradicinės vektorinės sandaugos projekcija į ašį, statmeną tam tikrai dvimačiai erdvė – jei laikysime dvimatę erdvę įterpta į kokią nors trimatę erdvę, kad tradicinė vektorinė sandauga turėtų prasmę).

Svarbiausios vektorinio lauko charakteristikos yra rotorius ir divergencija. Šiame skyriuje apžvelgsime šių vektorinių laukų charakteristikų matematinį aprašymą ir jų skaičiavimo metodus naudojant diferencialines operacijas. Šiuo atveju naudosime tik Dekarto koordinačių sistemą. Išsamesnį divergencijos ir rotoriaus apibrėžimą bei jų fizinę reikšmę panagrinėsime kitame skyriuje. Šių dydžių skaičiavimą kreivinėse koordinačių sistemose svarstysime vėliau.

Panagrinėkime vektorinį lauką, apibrėžtą trimatėje erdvėje.

Apibrėžimas 1. Vektorinio lauko divergencija yra skaičius, kurį apibrėžia išraiška

Daroma prielaida, kad nagrinėjamame taške egzistuoja atitinkamos dalinės išvestinės priemonės. Vektorinio lauko divergenciją, kaip ir gradientą, galima parašyti naudojant operatorių nabla

Čia divergencija vaizduojama kaip vektorių ir skaliarinė sandauga F. Be įrodymų pažymėkime, kad divergencija apibūdina lauką kuriančių šaltinių tankį.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite vektorinio lauko divergenciją taške.

2 apibrėžimas. Vektoriaus lauko vingis yra vektorius, kurį apibrėžia išraiška

Atkreipkite dėmesį, kad pateiktoje sumoje gretimų terminų indeksai keičiasi pagal apskritimo permutacijos taisyklę, atsižvelgiant į taisyklę.

Vektorinio lauko garbanos gali būti parašytos naudojant operatorių nabla

Rotorius apibūdina vektoriaus lauko polinkį suktis arba suktis, todėl jis kartais vadinamas sūkuriu ir žymimas garbanėF.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite vektorinio lauko vingį taške.

Kartais prireikia apskaičiuoti vektorinio lauko gradientą. Šiuo atveju apskaičiuojamas kiekvieno vektorinio lauko komponento gradientas. Rezultatas yra antrojo rango tenzorius, kuris lemia vektoriaus gradientą. Šį tenzorių galima apibūdinti matrica

Tokiems objektams apibūdinti patogu naudoti tenzorinį žymėjimą

tikėdamas. Tenzorinių metodų naudojimas supaprastina matematines operacijas su tokiais objektais. Išsamus tenzorinio skaičiavimo aparato pristatymas pateikiamas kurse „Tenzorių analizės pagrindai“, kuris dėstomas lygiagrečiai su kursu „Papildomi aukštosios matematikos skyriai“.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite vektorinio lauko gradientą.

Sprendimas. Skaičiavimams naudojame tenzorinį žymėjimą. Turime

Čia Kronecker simbolis yra tapatybės matrica.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite skaliarinio lauko gradientą ir palyginkite išraiškas ir.

Kai kurios nabla operatoriaus savybės

Anksčiau mes pristatėme vektoriaus diferenciacijos operatorių

Naudodami šį operatorių užrašėme pagrindines diferencialines operacijas tenzorių laukuose:

Operatorius yra diferenciacijos operatoriaus apibendrinimas ir turi atitinkamas išvestinės savybes:

1) sumos išvestinė lygi išvestinių sumai

2) pastovųjį daugiklį galima išimti iš operatoriaus ženklo

Išvertus į vektorinių funkcijų kalbą, šios savybės turi tokią formą:

Šios formulės išvedamos taip pat, kaip ir atitinkamos vieno kintamojo funkcijos išvestinių formulės.

Naudodami Hamiltono operatorių galime supaprastinti daugelį operacijų, susijusių su diferencijavimu tenzorių laukuose. Tačiau atminkite, kad šis operatorius yra vektorinis operatorius ir su juo reikia elgtis atsargiai. Pažvelkime į kai kurias šio operatoriaus programas. Šiuo atveju atitinkamos formulės rašomos ir naudojant Hamiltono operatorių, ir įprastiniu žymėjimu.

Divergencijos, kaip vektorinio lauko lokalios ypatybės, samprata buvo pristatyta nagrinėjant vektorinio lauko srautą uždarame paviršiuje. Panašiai galima įvesti atitinkamą charakteristiką, kai atsižvelgiama į vektorinio lauko cirkuliaciją.

Apsvarstykime kai kuriuos dalykus M ir vektorinis laukas a . Pasirinkime kryptį, kuriai būdingas vieneto vektorius n o vektoriui statmena plokštuma n ir einantis per tašką M. Apsupkime esmę M kontūras L, guli tam tikroje plokštumoje. Apskaičiuokime vektorinio lauko cirkuliaciją išilgai šio kontūro ir paimkime šios cirkuliacijos santykį su plotu S, apribotas kontūru L:

Dabar suraskime šio santykio ribą ties S®0, su sąlyga, kad kontūras L susitraukia iki taško M neišlipęs iš lėktuvo. Ši riba vadinama rotorius vektorinis laukas a taške M:

. (7.6)

3 pastaba. Rotorius yra vektoriaus lauko „sukimosi komponento“ charakteristika, todėl jis žymimas kaip puvimas. Tačiau kartais vietoj žodžio rotorius yra terminas " sūkurys“ ir yra pažymėtas simboliu garbanoti.

Dabar išveskime rotoriaus formulę Dekarto koordinačių sistemoje. Leiskite n sutampa su ašies kryptimi Ozas, ir kontūras L yra stačiakampis su kraštinėmis D x ir D y, o grandinė važiuojama prieš laikrodžio rodyklę (žr. 7.3 pav.). Tada gauname

Pirmą kadenciją gauname

(segmentai D.A. Ir B.C. galima ignoruoti, nes čia x=konst Ir dx=0). Kitas

Panašiai gauname ir antrąjį terminą

Dėl to randame

Panašiai apskaičiuojame kitų koordinačių ašių projekcijas:

, .

Vektorinėje formoje tai galima padaryti taip:

Šią formulę galima parašyti kompaktiškiau simboline forma:

. (7.8)

Formulė (7.7) gaunama iš (7.8), išplečiant determinantą išilgai pirmosios eilutės.

7.4 pavyzdys. Apskaičiuokite vektorinio lauko vingį a =x 2 y 3 i +j +z k taške M(1;1;1).

Sprendimas. Užsirašykime

Taigi,

7.5 pavyzdys. Raskite besisukančio kūno greičio lauko rotorių v =–w y i +w x j .

Sprendimas. Kadangi v x=–w y, v y=w x, v z=0, tada

Taigi, standaus kūno greičių rotorius bet kuriame taške yra lygus dvigubam kampiniam greičiui. Rasta mechaninė rotoriaus reikšmė turi platesnę reikšmę. Pavyzdžiui, ratas su mentėmis skysčio sraute turės didžiausią sukimosi greitį, jei sukimosi ašis nukreipta išilgai puvimo a , o sukimosi greitis bus lygus .

Lauko teorija

Taip pat žinomas kaip vektorinė analizė. Ir kai kuriems, vektorinė analizė, žinoma kaip lauko teorija =) Pagaliau mes pasiekėme šią įdomiausią temą.

a) kad visi suprastų, apie ką vyksta pokalbis;

b) ir kad „manekenai“ išmoktų išspręsti bent paprastus dalykus - bent jau neakivaizdinių studijų studentams siūlomų užduočių lygiu.

Visa medžiaga bus pateikta populiariu stiliumi, o jei jums reikia tikslesnės ir išsamesnės informacijos, galite paimti, pavyzdžiui, 3 Fichtenholtz tomą arba pažvelgti į Wiki.

Ir iškart iššifruokime pavadinimą. Su teorija, manau, viskas aišku – pagal geriausias svetainės tradicijas išanalizuosime jos pagrindus ir susitelksime ties praktika. Na, su kuo jums asocijuojasi žodis „laukas“?

Žolės, futbolo aikštė... Daugiau? Veiklos sritis, eksperimentų sritis. Sveikinimai humanistams! ...Iš mokyklos kurso? Elektrinis laukas, magnetinis, elektromagnetinis..., gerai. Žemės gravitacinis laukas, kuriame atsiduriame. Puiku! Taigi, kas tai pasakė apie lauką? galioja Ir kompleksiniai skaičiai? ...čia susirinko kažkokie monstrai! =) Laimei algebra jau praėjo.

Kitose pamokose susipažinsime su konkrečia koncepcija laukus, konkrečių pavyzdžių iš gyvenimo, taip pat išmokite spręsti vektorinės analizės temines problemas. Lauko teoriją geriausia studijuoti, kaip teisingai spėjate, lauke – gamtoje, kur yra miškas, upė, ežeras, kaimo namas, ir kviečiu visus pasinerti nebent į šiltą vasaros realybę, tada maloniuose prisiminimuose:

Laukai ta prasme, kokia laikoma šiandien skaliarinis Ir vektorius, o mes pradėsime nuo jų „statybinių blokų“.

Pirma, skaliarinis. Gana dažnai šis terminas klaidingai tapatinamas numerį. Ne, viskas yra šiek tiek kitaip: skaliarinis yra dydis, kurio kiekviena reikšmė gali būti išreikšta tik vienas skaičius. Fizikoje yra daug masės pavyzdžių: ilgis, plotis, plotas, tūris, tankis, temperatūra ir tt Visa tai yra skaliariniai dydžiai. Ir, beje, masė taip pat yra pavyzdys.

Antra, vektorius. Algebrinį vektoriaus apibrėžimą paliečiau pamokoje apie tiesinės transformacijos ir vienas iš jo privačių įsikūnijimų Nežinoti tiesiog neįmanoma=) Tipiška vektorius yra išreikštas du ar daugiau numeriai(su savo koordinatėmis). Ir net vienmačiam vektoriui tik vienas skaičius neužtenka– dėl to, kad vektorius turi ir kryptį. Ir taikymo taškas, jei vektorius nėra nemokama. Vektoriai apibūdina fizinių jėgų laukus, greitį ir daugelį kitų dydžių.

Na, dabar galite pradėti rinkti aliuminio agurkus:

Skaliarinis laukas

Jeigu kiekviena tam tikras taškas erdvės plotai priskiriamas tam tikras numeris (paprastai tikras), tada jie sako, kad šioje srityje tai duota skaliarinis laukas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, statmeną, išeinantį iš žemės sija. Įdėkite kastuvą, kad būtų aiškumo =) Ką skaliariniai laukai ar galiu paklausti ant šios sijos? Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra aukščio laukas– kai kiekvienam sijos taškui priskiriamas jo aukštis virš žemės lygio. Arba pvz. atmosferos slėgio laukas– čia kiekvienas pluošto taškas atitinka skaitinę atmosferos slėgio reikšmę tam tikrame taške.

Dabar eikime prie ežero ir mintyse nubrėžkime plokštumą virš jo paviršiaus. Jei kiekvienas plokštumos „vandens“ fragmento taškas yra susietas su ežero gyliu, tada, prašome, pateikiamas skaliarinis laukas. Tuose pačiuose taškuose galite atsižvelgti į kitus skaliarinius dydžius, pavyzdžiui, vandens paviršiaus temperatūrą.

Svarbiausia skaliarinio lauko savybė yra jo nekintamumas koordinačių sistemos atžvilgiu. Jei išversime į žmonių kalbą, tai nesvarbu, iš kurios pusės žiūrėtume į kastuvą / ežerą - skaliarinis laukas (aukštis, gylis, temperatūra ir kt.) tai nepasikeis. Be to, skaliarinis laukas, tarkime, gylis, gali būti nustatytas kitame paviršiuje, pavyzdžiui, tinkamame pusrutulis, arba tiesiai ant paties vandens paviršiaus. Kodėl gi ne? Ar negalima kiekvienam pusrutulio taškui, esančiam virš ežero, priskirti numerį? Lygumą pasiūliau vien dėl patogumo.

Pridėkime dar vieną koordinatę. Paimk akmenį į ranką. Kiekvienas šio akmens taškas gali būti priskirtas prie jo fizinis tankis. Ir vėl – kad ir kokioje koordinačių sistemoje tai laikytume, kad ir kaip susuktume rankoje – skaliarinio tankio laukas išliks nepakitęs. Tačiau kai kurie žmonės gali ginčytis dėl šio fakto =) Toks yra filosofinis akmuo.

Grynai matematiniu požiūriu (ne fizine ar kita asmenine prasme) skaliarinius laukus tradiciškai nurodo mūsų „įprastos“ funkcijos vienas , du , trys ir daugiau kintamųjų. Tuo pačiu lauko teorijoje plačiai naudojami tradiciniai šių funkcijų atributai, pvz apibrėžimo sritis, lygios linijos ir paviršiai.

Su trimate erdve viskas yra panašiai:
– čia kiekvienas leistinas erdvės taškas yra susietas su vektoriumi, kurio pradžia tam tikrame taške. „Priimtinumą“ lemia funkcijų apibrėžimo sritys, o jei kiekviena iš jų apibrėžta visiems „X“, „E“, „Z“, tai vektorinis laukas bus nurodytas visoje erdvėje.

! Pavadinimai : vektoriniai laukai taip pat žymimi raide arba, o jų komponentai atitinkamai žymimi arba.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, jau seniai aišku, kad, bent jau matematiškai, skaliariniai ir vektoriniai laukai gali būti apibrėžti visoje erdvėje. Tačiau vis tiek buvau atsargus su atitinkamais fiziniais pavyzdžiais, nes tokios sąvokos kaip temperatūros, gravitacija(ar kiti) juk kažkur gali išvis neegzistuoti. Bet tai jau ne siaubas, o mokslinė fantastika =) Ir ne tik mokslinė fantastika. Nes vėjas, kaip taisyklė, nepučia akmenų viduje.

Reikėtų pažymėti, kad kai kurie vektoriniai laukai (tie patys greičio laukai) laikui bėgant greitai keičiasi, todėl daugelyje fizinių modelių atsižvelgiama į papildomą nepriklausomą kintamąjį. Beje, tas pats pasakytina ir apie skaliarinius laukus - temperatūra iš tikrųjų taip pat nėra „užšalusi“ laiku.

Tačiau matematikos rėmuose apsiribosime trejybe, o tokiems laukams „susitikę“ turėsime omenyje kokį nors fiksuotą laiko momentą arba laiką, per kurį laukas nepasikeitė.

Vektorinės linijos

Jei aprašomi skaliariniai laukai linijos ir lygūs paviršiai, tada galima apibūdinti vektorinio lauko „formą“. vektorines linijas. Tikriausiai daugelis prisimena šią mokyklinę patirtį: po popieriaus lapu padėtas magnetukas, o ant viršaus (pažiūrėsim!) geležies drožlės išsilieja, kurie tiesiog „išsirikiuoja“ išilgai lauko linijų.

Pabandysiu suformuluoti paprasčiau: kiekvienas vektoriaus linijos taškas yra pradžia lauko vektorius, kuris yra ant liestinės tam tikrame taške:

Žinoma, tiesių vektoriai bendruoju atveju yra skirtingo ilgio, todėl aukščiau esančiame paveikslėlyje judant iš kairės į dešinę jų ilgis didėja – čia galime manyti, kad artėjame, pavyzdžiui, prie magneto. Jėgos fizikiniuose laukuose vektorinės linijos vadinamos - elektros linijos. Kitas, paprastesnis pavyzdys yra Žemės gravitacinis laukas: jo lauko linijos yra spinduliai su pradžia planetos centre ir vektoriais gravitacija esančios tiesiai ant pačių spindulių.

Greičio laukų vektorinės linijos vadinamos dabartinės linijos. Vėl įsivaizduokite dulkių audrą – dulkių dalelės kartu su oro molekulėmis juda pagal šias linijas. Panašiai ir su upe: trajektorijos, kuriomis juda skysčio (ir ne tik) molekulės, tiesiogine prasme yra racionalios. Apskritai daugelis lauko teorijos sąvokų kyla iš hidrodinamikos, su kuria susidursime ne kartą.

Jei „plokščias“ vektoriaus laukas pateikiamas nulinės funkcijos funkcija, tada jo lauko linijas galima rasti iš diferencialinė lygtis. Šios lygties sprendimas suteikia šeima vektorinės linijos plokštumoje. Kartais užduotyse reikia nubrėžti keletą tokių linijų, kurios paprastai nesukelia sunkumų - pasirinkome keletą patogių „tse“ reikšmių, nubrėžėme keletą hiperbolės, ir užsisakyti.

Įdomesnė situacija su erdviniu vektoriniu lauku. Jo lauko linijas lemia santykiai . Čia mes turime nuspręsti dviejų diferencialinių lygčių sistema ir gauti dvi šeimas erdviniai paviršiai. Šių šeimų susikirtimo linijos bus erdvinės vektorinės linijos. Jei visų komponentų („pe“, „ku“, „er“) vertės skiriasi nuo nulio, tai yra keli techniniai sprendimai. Aš nenagrinėsiu visų šių metodų. (nes straipsnis išaugs iki nepadoraus dydžio), bet aš sutelksiu dėmesį į dažną konkretų atvejį, kai vienas iš vektorinio lauko komponentų yra lygus nuliui. Iš karto išvardinkime visas parinktis:

jei , tai sistemą reikia išspręsti;
jei , tai sistema;
o jei, tada.

Ir kažkodėl ilgą laiką neturėjome praktikos:

1 pavyzdys

Raskite vektorinio lauko lauko linijas

Sprendimas: šioje užduotyje, todėl mes išsprendžiame sistema:

Prasmė labai paprasta. Taigi, jei funkcija nurodo skaliarinį ežero gylio lauką, tada atitinkama vektorinė funkcija apibrėžia aibę nelaisvas vektoriai, kurių kiekvienas nurodo kryptį greitas kilimas dugnas viename ar kitame taške ir šio kilimo greitis.

Jei funkcija nurodo tam tikros erdvės srities skaliarinį temperatūros lauką, tai atitinkamas vektoriaus laukas apibūdina kryptį ir greitį greičiausias apšilimas vietos kiekviename šios srities taške.

Pažvelkime į bendrą matematinę problemą:

3 pavyzdys

Duotas skaliarinis laukas ir taškas. Reikalinga:

1) sudaryti skaliarinio lauko gradiento funkciją;

Kuris yra lygus potencialų skirtumą .

Kitaip tariant, potencialo lauke svarbūs tik maršruto pradžios ir pabaigos taškai. Ir jei šie taškai sutampa, tada bendras jėgų darbas uždarame kontūre bus lygus nuliui:

Paimkime plunksną nuo žemės ir pristatykime į pradinį tašką. Šiuo atveju mūsų judėjimo trajektorija vėlgi yra savavališka; Jūs netgi galite numesti rašiklį, vėl paimti ir pan.

Kodėl galutinis rezultatas lygus nuliui?

Ar plunksna nukrito iš taško „a“ į tašką „b“? Tai nukrito. Gravitacijos jėga padarė darbą.

Ar rašiklis atsitrenkė į tašką „a“? Supratau. Tai reiškia, kad buvo atliktas lygiai toks pat darbas prieš gravitaciją, ir nesvarbu, su kokiais „nuotykiais“ ir su kokiomis jėgomis – net jei vėjas jį sugrąžino.

Pastaba : Fizikoje minuso ženklas simbolizuoja priešingą kryptį.

Taigi bendras jėgų atliktas darbas yra lygus nuliui:

Kaip jau minėjau, fizinė ir pasaulietinė darbo samprata skiriasi. Ir šis skirtumas padės gerai suprasti ne plunksną ar net plytą, o, pavyzdžiui, pianiną :)

Kartu pakelkite pianiną ir nuleiskite jį laiptais. Vilkite jį gatve. Kiek nori ir kur nori. O jei kvailio niekas nešaukė, atnešk instrumentą atgal. Ar dirbote? Žinoma. Iki septinto prakaito. Tačiau fizikos požiūriu darbas nebuvo atliktas.

Frazė „potencialų skirtumas“ vilioja daugiau kalbėti apie potencialų elektrostatinį lauką, tačiau šokiruoti savo skaitytojus kažkaip nėra humaniška =) Be to, yra begalė pavyzdžių, nes bet koks gradiento laukas yra potencialus, kurių yra keliolika centų.

Bet lengva pasakyti „duziną cento“: čia mums pateikiamas vektorinis laukas - kaip nustatyti, ar jis yra potencialus, ar ne?

Vektorinis lauko rotorius

Arba jį sūkurys komponentas, kuris taip pat išreiškiamas vektoriais.

Vėl paimkime plunksną į rankas ir atsargiai nusiųsime plaukioti upe. Dėl eksperimento grynumo manysime, kad jis yra vienalytis ir simetriškas jo centro atžvilgiu. Ašis laikosi.

Pasvarstykime vektorinis laukas srovės greitis ir tam tikras vandens paviršiaus taškas, virš kurio yra plunksnos centras.

Jei į šiuo metu tušinukas sukasi prieš laikrodžio rodyklę, tada derinsime jį su išeinančiu nelaisvas vektorius aukštyn. Tuo pačiu, kuo greičiau sukasi tušinukas, tuo ilgesnis šis vektorius,... kažkodėl jis man atrodo toks juodas ryškiuose saulės spinduliuose... Jei sukimas vyksta pagal laikrodžio rodyklę, vektorius „žiūri“ žemyn. Jei rašiklis visai nesisuka, vektorius lygus nuliui.

Susipažinkite – štai kas rotoriaus vektorius vektoriaus greičio laukas, jis apibūdina skysčio „sukimosi“ kryptį šiuo metu ir rašiklio sukimosi kampinis greitis (bet ne pačios srovės kryptis ar greitis!).

Visiškai aišku, kad visi upės taškai turi sukimosi vektorių (įskaitant tuos, kurie yra „po vandeniu“), taigi srovės greičio vektorinis laukas mes apibrėžėme naują vektorinį lauką!

Jei vektorinis laukas pateikiamas funkcija, tai jo rotoriaus laukas pateikiamas taip vektoriaus funkcija:

Be to, jei vektoriai rotoriaus laukas upės yra didelės ir linkusios keisti kryptį, tai visai nereiškia, kad kalbame apie vingiuotą ir neramią upę (grįžkite į pavyzdį). Tokią situaciją galima stebėti ir tiesiame kanale – kai, pavyzdžiui, viduryje greitis didesnis, o prie krantų – mažesnis. Tai yra, sukuriamas rašiklio sukimasis skirtingi srautai V kaimyninis dabartinės linijos.

Kita vertus, jei rotoriaus vektoriai trumpi, tai gali būti „vingiuota“ kalnų upė! Svarbu, kad į gretimos srovės linijos pačios srovės greitis (greitai arba lėtai)šiek tiek skyrėsi.

Ir galiausiai atsakome į aukščiau pateiktą klausimą: bet kuriame potencialo lauko taške jo rotorius yra lygus nuliui:

Tiksliau, nulinis vektorius.

Potencialus laukas taip pat vadinamas erzinantis lauke.

„Idealaus“ srauto, žinoma, nėra, bet gana dažnai tai galima pastebėti greičio laukas upės yra arti potencialo - įvairūs objektai plaukia ramiai ir nesisuka, ...ar jūs taip pat įsivaizdavote šį paveikslą? Tačiau jie gali plaukti labai greitai ir kreive, o tada sulėtinti, tada pagreitinti – svarbu, kad srovės greitis būtų gretimos srovės linijos buvo išsaugotas pastovus.

Ir, žinoma, mūsų mirtingojo gravitacinis laukas. Kitam eksperimentui tinka bet koks gana sunkus ir vienalytis daiktas, pvz., užversta knyga, neatidaryta alaus skardinė arba, beje, sparnuose laukusi plyta =) Laikykite jos galus rankomis , pakelkite ir atsargiai atleiskite į laisvą kritimą. Jis nesisuks. Ir jei taip, vadinasi, tai yra jūsų „asmeninės pastangos“ arba gauta plyta buvo netinkama. Nepatingėkite ir patikrinkite šį faktą! Tik nemesk nieko pro langą, tai jau ne plunksna

Po to su ramia sąžine ir padidintu tonu galite grįžti prie praktinių užduočių:

5 pavyzdys

Parodykite, kad vektorinis laukas yra potencialus ir suraskite jo potencialą

Sprendimas: sąlyga tiesiogiai nurodo lauko potencialą, o mūsų užduotis yra įrodyti šį faktą. Raskime tam tikro lauko rotoriaus funkciją arba, kaip dažniausiai sakoma, rotorių:

Kad būtų patogiau, užrašome lauko komponentus:

ir pradėkime jų ieškoti daliniai dariniai– patogu juos „rūšiuoti“ „sukama“ tvarka, iš kairės į dešinę:
- Ir iš karto tai patikrink (kad nereikėtų daryti papildomo darbo, jei rezultatas nėra nulis). Eikime toliau: