Sprendimas Kuznecovas.
III diagramos

7 užduotis. Atlikite išsamų funkcijos tyrimą ir sudarykite jos grafiką.

Prieš pradėdami atsisiųsti parinktis, pabandykite išspręsti problemą pagal toliau pateiktą 3 parinkties pavyzdį. Kai kurios parinktys archyvuojamos .rar formatu

7.3 Atlikite išsamų funkcijos tyrimą ir nubraižykite jį

Sprendimas.

1) Apibrėžimo sritis: arba , tai yra .
.
Taigi: .

2) Nėra susikirtimo taškų su Jaučio ašimi. Iš tiesų, lygtis sprendinių neturi.
Nėra susikirtimo taškų su Oy ašimi, nes .

3) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Ordinačių ašies atžvilgiu simetrijos nėra. Taip pat nėra simetrijos dėl kilmės. Nes
.
Matome, kad ir .

4) Funkcija yra ištisinė apibrėžimo srityje
.

; .

; .
Vadinasi, taškas yra antrojo tipo (begalinis netolydumo) taškas.

5) Vertikalios asimptotės:

Raskime įstrižąją asimptotą . Čia

;
.
Vadinasi, turime horizontalią asimptotę: y=0. Įstrižų asimptotų nėra.

6) Raskime pirmąją išvestinę. Pirmasis darinys:
.
Ir štai kodėl
.
Raskime stacionarius taškus, kur išvestinė lygi nuliui, tai yra
.

7) Raskime antrąją išvestinę. Antroji išvestinė:
.
Ir tai lengva patikrinti, nes

Jei uždavinys reikalauja iki galo išnagrinėti funkciją f (x) = x 2 4 x 2 - 1, sudarant jos grafiką, tada mes išsamiai apsvarstysime šį principą.

Norėdami išspręsti tokio tipo problemą, turėtumėte naudoti pagrindinių elementariųjų funkcijų savybes ir grafikus. Tyrimo algoritmas apima šiuos veiksmus:

Apibrėžimo srities radimas

Kadangi tyrimai atliekami funkcijos apibrėžimo srityje, būtina pradėti nuo šio žingsnio.

1 pavyzdys

Pateiktame pavyzdyje reikia rasti vardiklio nulius, kad juos būtų galima pašalinti iš ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Dėl to galite gauti šaknis, logaritmus ir pan. Tada g (x) 4 tipo lyginio laipsnio šaknies ODZ galima ieškoti pagal nelygybę g (x) ≥ 0, logaritmo loga g (x) – pagal nelygybę g (x) > 0.

ODZ ribų tyrimas ir vertikalių asimptotų paieška

Funkcijos ribose yra vertikalios asimptotės, kai vienpusės ribos tokiuose taškuose yra begalinės.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, apsvarstykite kraštinius taškus, lygius x = ± 1 2.

Tada reikia ištirti funkciją, kad būtų galima rasti vienpusę ribą. Tada gauname, kad: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = rib x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Tai rodo, kad vienpusės ribos yra begalinės, o tai reiškia, kad tiesės x = ± 1 2 yra vertikalios grafiko asimptotės.

Funkcijos tyrimas ir ar ji lyginė, ar nelyginė

Kai tenkinama sąlyga y (- x) = y (x), funkcija laikoma lygine. Tai rodo, kad grafikas yra simetriškai Oy atžvilgiu. Kai tenkinama sąlyga y (- x) = - y (x), funkcija laikoma nelygine. Tai reiškia, kad simetrija yra susijusi su koordinačių pradžia. Jei bent viena nelygybė netenkinama, gauname bendrosios formos funkciją.

Lygybė y (- x) = y (x) rodo, kad funkcija yra lygi. Statant reikia atsižvelgti į tai, kad bus simetrija Oy atžvilgiu.

Nelygybei išspręsti naudojami didėjimo ir mažėjimo intervalai atitinkamai su sąlygomis f " (x) ≥ 0 ir f " (x) ≤ 0.

1 apibrėžimas

Stacionarūs taškai– tai taškai, kurie išvestinę paverčia nuliu.

Kritiniai taškai- tai vidiniai taškai iš apibrėžimo srities, kur funkcijos išvestinė lygi nuliui arba jos nėra.

Priimant sprendimą reikia atsižvelgti į šias pastabas:

esamiems f " (x) > 0 formos didėjančių ir mažėjančių nelygybių intervalams kritiniai taškai į sprendinį neįtraukiami;
taškai, kuriuose funkcija apibrėžiama be baigtinės išvestinės, turi būti įtraukiami į didėjimo ir mažėjimo intervalus (pavyzdžiui, y = x 3, kur taškas x = 0 apibrėžia funkciją, išvestinė šiuo atveju turi begalybės reikšmę taškas, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 įtrauktas į didėjantį intervalą);
Norint išvengti nesutarimų, rekomenduojama naudotis Švietimo ministerijos rekomenduota matematine literatūra.

Kritinių taškų įtraukimas į didėjimo ir mažėjimo intervalus, jei jie atitinka funkcijos apibrėžimo sritį.

2 apibrėžimas

Už nustatant funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, būtina rasti:

darinys;
kritiniai taškai;
padalyti apibrėžimo sritį į intervalus, naudojant kritinius taškus;
nustatykite išvestinės ženklą kiekviename intervale, kur + yra padidėjimas, o - sumažėjimas.

3 pavyzdys

Raskite išvestinę apibrėžimo srityje f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Sprendimas

Norėdami išspręsti jums reikia:

rasti stacionarius taškus, šiame pavyzdyje x = 0;
rasti vardiklio nulius, pavyzdyje reikšmė nulis, kai x = ± 1 2.

Dedame taškus skaičių ašyje, kad nustatytume kiekvieno intervalo išvestinę. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kurį tašką iš intervalo ir atlikti skaičiavimą. Jei rezultatas yra teigiamas, grafike pavaizduojame +, o tai reiškia, kad funkcija didėja, o - reiškia, kad ji mažėja.

Pavyzdžiui, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, o tai reiškia, kad pirmasis intervalas kairėje turi + ženklą. Apsvarstykite skaičių eilutėje.

Atsakymas:

funkcija didėja intervale - ∞; - 1 2 ir (- 1 2 ; 0 ] ;
yra intervalo sumažėjimas [0; 1 2) ir 1 2; + ∞ .

Diagramoje, naudojant + ir -, pavaizduotas funkcijos teigiamumas ir neigiamumas, o rodyklės rodo mažėjimą ir padidėjimą.

Ekstremalūs funkcijos taškai yra taškai, kuriuose funkcija apibrėžta ir per kuriuos išvestinė keičia ženklą.

4 pavyzdys

Jei nagrinėsime pavyzdį, kur x = 0, tada funkcijos reikšmė jame yra lygi f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kai išvestinės ženklas pasikeičia iš + į - ir eina per tašką x = 0, tai taškas su koordinatėmis (0; 0) laikomas maksimaliu tašku. Kai ženklas pasikeičia iš - į +, gauname minimalų tašką.

Išgaubtumas ir įgaubimas nustatomi sprendžiant formos f "" (x) ≥ 0 ir f "" (x) ≤ 0 nelygybes. Rečiau vartojamas pavadinimas išgaubimas žemyn, o ne įgaubtas, o išgaubimas į viršų vietoj išgaubimo.

3 apibrėžimas

Už nustatant įgaubimo ir išgaubimo intervalus būtina:

rasti antrą išvestinę;
rasti antrosios išvestinės funkcijos nulius;
padalykite apibrėžimo sritį į intervalus su atsirandančiais taškais;
nustatyti intervalo ženklą.

5 pavyzdys

Raskite antrąją išvestinę iš apibrėžimo srities.

Sprendimas

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Mes randame skaitiklio ir vardiklio nulius, kur mūsų pavyzdyje vardiklio x nuliai yra ± 1 2

Dabar reikia nubraižyti taškus skaičių tiesėje ir nustatyti antrosios išvestinės iš kiekvieno intervalo ženklą. Mes tai gauname

Atsakymas:

funkcija yra išgaubta iš intervalo - 1 2 ; 1 2 ;
funkcija įgaubta iš intervalų - ∞ ; - 1 2 ir 1 2; + ∞ .

4 apibrėžimas

Posūkio taškas– tai x 0 formos taškas; f (x 0) . Kai ji turi funkcijos grafiko liestinę, tada, kai ji eina per x 0, funkcija keičia ženklą į priešingą.

Kitaip tariant, tai yra taškas, per kurį praeina antra išvestinė ir keičia ženklą, o pačiuose taškuose jis yra lygus nuliui arba neegzistuoja. Visi taškai laikomi funkcijos sritimi.

Pavyzdyje buvo aišku, kad vingio taškų nėra, nes antroji išvestinė keičia ženklą eidama per taškus x = ± 1 2. Jie savo ruožtu neįtraukti į apibrėžimo sritį.

Horizontalių ir įstrižų asimptotų radimas

Apibrėžiant funkciją begalybėje, reikia ieškoti horizontalių ir įstrižų asimptotų.

5 apibrėžimas

Įstrižai asimptotai vaizduojamos naudojant tieses, gautas pagal lygtį y = k x + b, kur k = lim x → ∞ f (x) x ir b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Jei k = 0 ir b nėra lygus begalybei, matome, kad įstrižoji asimptotė tampa horizontaliai.

Kitaip tariant, asimptotais laikomos linijos, prie kurių funkcijos grafikas artėja prie begalybės. Tai palengvina greitą funkcijų grafiko sudarymą.

Jei asimptotų nėra, bet funkcija apibrėžta abiejose begalybėse, reikia apskaičiuoti funkcijos ribą šiose begalybėse, kad suprastume, kaip elgsis funkcijos grafikas.

6 pavyzdys

Panagrinėkime kaip pavyzdį tai

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

yra horizontali asimptotė. Išnagrinėję funkciją, galite pradėti ją kurti.

Funkcijos reikšmės apskaičiavimas tarpiniuose taškuose

Kad grafikas būtų tikslesnis, tarpiniuose taškuose rekomenduojama rasti keletą funkcijų reikšmių.

7 pavyzdys

Iš mūsų nagrinėjamo pavyzdžio reikia rasti funkcijos reikšmes taškuose x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Kadangi funkcija lygi, gauname, kad reikšmės sutampa su reikšmėmis šiuose taškuose, tai yra, gauname x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Parašykime ir spręskime:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Norint nustatyti funkcijos maksimumus ir minimumus, vingio taškus ir tarpinius taškus, būtina sudaryti asimptotes. Kad būtų patogu žymėti, registruojami didėjimo, mažėjimo, išgaubimo ir įgaubimo intervalai. Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Per pažymėtus taškus būtina nubrėžti grafiko linijas, kurios leis sekti rodyklėmis priartėti prie asimptotų.

Tai užbaigia visą funkcijos ištyrimą. Yra atvejų, kai sukonstruojamos kai kurios elementarios funkcijos, kurioms naudojamos geometrinės transformacijos.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kaip ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką?

Atrodo, pradedu suprasti dvasiškai įžvalgų pasaulio proletariato lyderio, surinktų kūrinių 55 tomų autoriaus veidą... Ilga kelionė prasidėjo nuo pagrindinės informacijos apie funkcijos ir grafikai, o dabar darbas daug darbo reikalaujančia tema baigiasi logišku rezultatu – straipsniu apie išsamų funkcijos tyrimą. Ilgai laukta užduotis suformuluota taip:

Ištirkite funkciją diferencialinio skaičiavimo metodais ir remdamiesi tyrimo rezultatais sukurkite jos grafiką

Arba trumpai: išnagrinėkite funkciją ir sukurkite grafiką.

Kodėl tyrinėti? Paprastais atvejais mums nebus sunku suprasti elementarias funkcijas, nubraižyti grafiką, gautą naudojant elementarios geometrinės transformacijos ir tt Tačiau sudėtingesnių funkcijų savybės ir grafiniai atvaizdai toli gražu nėra akivaizdūs, todėl reikalingas visas tyrimas.

Pagrindiniai sprendimo žingsniai apibendrinti pamatinėje medžiagoje Funkcijų tyrimo schema, tai yra jūsų skyriaus vadovas. Manekenams reikia nuoseklaus temos paaiškinimo, kai kurie skaitytojai nežino, nuo ko pradėti ar kaip organizuoti savo tyrimą, o pažengusiems studentams gali būti įdomu tik keletas dalykų. Bet kas bebūtumėte, mielas lankytojau, siūloma santrauka su nuorodomis į įvairias pamokas greitai susiorientuos ir nukreips jus dominančia kryptimi. Robotai liejo ašaras =) Vadovas buvo pateiktas kaip pdf failas ir užėmė deramą vietą puslapyje Matematinės formulės ir lentelės.

Esu įpratęs funkcijos tyrimą suskirstyti į 5–6 taškus:

6) Papildomi taškai ir grafikas remiantis tyrimo rezultatais.

Kalbant apie galutinį veiksmą, manau, kad viskas aišku visiems - bus labai apmaudu, jei per kelias sekundes jis bus perbrauktas ir užduotis bus grąžinta peržiūrėti. TEISINGAS IR TIKSLAS BRĖŽINIS – pagrindinis sprendimo rezultatas! Tikėtina, kad tai „užslėps“ analitines klaidas, o neteisingas ir/ar neatsargus grafikas sukels problemų net ir puikiai atlikus tyrimą.

Pažymėtina, kad kituose šaltiniuose tyrimo punktų skaičius, jų įgyvendinimo tvarka ir projektavimo stilius gali gerokai skirtis nuo mano pasiūlytos schemos, tačiau dažniausiai to visiškai pakanka. Paprasčiausias problemos variantas susideda tik iš 2–3 etapų ir yra suformuluotas maždaug taip: „ištirkite funkciją naudodami išvestinę ir sukurkite grafiką“ arba „ištirkite funkciją naudodami 1 ir 2 išvestinius, sukurkite grafiką“.

Natūralu, kad jei jūsų vadove detaliai aprašomas kitas algoritmas arba jūsų mokytojas griežtai reikalauja, kad laikytųsi jo paskaitų, turėsite šiek tiek pakoreguoti sprendimą. Ne sunkiau nei pakeisti grandininio pjūklo šakutę šaukštu.

Patikrinkime lyginės/nelyginės funkcijos funkciją:

Po to pateikiamas atsakymo šablonas:
, o tai reiškia, kad ši funkcija nėra lyginė ar nelyginė.

Kadangi funkcija nuolat įjungta, vertikalių asimptočių nėra.

Įstrižų asimptotų taip pat nėra.

Pastaba : Primenu, kad kuo aukščiau augimo tvarka, nei , todėl galutinė riba yra lygiai „ pliusas begalybė“.

Išsiaiškinkime, kaip funkcija veikia begalybėje:

Kitaip tariant, jei einame į dešinę, tai grafikas be galo daug kyla aukštyn, jei einame į kairę – be galo toli žemyn. Taip, viename įraše taip pat yra dvi ribos. Jei jums sunku iššifruoti ženklus, apsilankykite pamokoje apie be galo mažos funkcijos.

Taigi funkcija neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios. Turint omenyje, kad lūžio taškų neturime, tampa aišku funkcijų diapazonas: – taip pat bet koks tikrasis skaičius.

NAUDINGA TECHNINĖ TECHNIKA

Kiekvienas užduoties etapas atneša naujos informacijos apie funkcijos grafiką, todėl sprendimo metu patogu naudoti savotišką IŠKLAIDYMĄ. Ant juodraščio nubraižykime Dekarto koordinačių sistemą. Kas jau tikrai žinoma? Pirma, grafikas neturi asimptotų, todėl nereikia brėžti tiesių. Antra, mes žinome, kaip funkcija veikia begalybėje. Remdamiesi analize, darome pirmąjį apytikslį apytikslį:

Atkreipkite dėmesį, kad dėl tęstinumą funkcija ir tai, kad grafikas turi kirsti ašį bent kartą. O gal yra keli susikirtimo taškai?

3) Funkcijos nuliai ir pastovaus ženklo intervalai.

Pirmiausia suraskime grafiko susikirtimo tašką su ordinačių ašimi. Tai paprasta. Būtina apskaičiuoti funkcijos reikšmę:

Pusantro virš jūros lygio.

Norėdami rasti susikirtimo su ašimi taškus (funkcijos nulius), turime išspręsti lygtį ir čia mūsų laukia nemaloni staigmena:

Pabaigoje slypi laisvas narys, o tai labai apsunkina užduotį.

Tokia lygtis turi bent vieną realią šaknį ir dažniausiai ši šaknis yra neracionali. Pačioje baisiausioje pasakoje mūsų laukia trys paršiukai. Lygtį galima išspręsti naudojant vadinamąjį Cardano formulės, tačiau popieriui padaryta žala prilygsta beveik visam tyrimui. Šiuo atžvilgiu protingiau pabandyti pasirinkti bent vieną žodžiu arba juodraštyje. visašaknis. Patikrinkime, ar šie skaičiai yra:
– netinka;
- Yra!

Pasisekė čia. Gedimo atveju taip pat galite išbandyti , o jei šie skaičiai netinka, baiminuosi, kad yra labai maža galimybė rasti pelningą lygties sprendimą. Tuomet geriau tyrimo tašką praleisti visiškai – galbūt kas nors paaiškės paskutiniame etape, kai bus pramušti papildomi taškai. O jei šaknis(-ės) aiškiai „blogos“, tai apie ženklų pastovumo intervalus geriau kukliai nutylėti ir piešti atidžiau.

Tačiau mes turime gražią šaknį, todėl dalijame daugianarį be likučio:

Dauginamo padalijimo iš polinomo algoritmas išsamiai aptariamas pirmame pamokos pavyzdyje Sudėtingos ribos.

Dėl to kairioji pradinės lygties pusė suyra į produktą:

O dabar šiek tiek apie sveiką gyvenimo būdą. Aš, žinoma, tai suprantu kvadratines lygtis reikia išspręsti kiekvieną dieną, tačiau šiandien padarysime išimtį: lygtį turi dvi tikras šaknis.

Rastas reikšmes nubraižykime skaičių eilutėje Ir intervalo metodas Apibrėžkime funkcijos požymius:

og Taigi, ant intervalų grafikas yra
žemiau x ašies ir tarpais – virš šios ašies.

Išvados leidžia patobulinti išdėstymą, o antrasis grafiko apytikslis vaizdas atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija turi turėti bent vieną maksimumą intervale ir bent vieną minimumą intervale. Tačiau mes dar nežinome, kiek kartų, kur ir kada tvarkaraštis sustos. Beje, funkcija gali turėti be galo daug kraštutinumai.

4) Funkcijos didinimas, sumažėjimas ir ekstremumai.

Raskime kritinius taškus:

Ši lygtis turi dvi realias šaknis. Sudėkime juos į skaičių eilutę ir nustatykime išvestinės ženklus:

Todėl funkcija padidėja ir sumažėja .
Kai funkcija pasiekia maksimumą: .
Tuo metu funkcija pasiekia minimumą: .

Nustatyti faktai nukreipia mūsų šabloną į gana griežtą sistemą:

Nereikia nė sakyti, kad diferencialinis skaičiavimas yra galingas dalykas. Pagaliau supraskime grafiko formą:

5) Išgaubtumo, įgaubimo ir vingio taškai.

Raskime antrosios išvestinės kritinius taškus:

Apibrėžkime ženklus:

Funkcijos grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas . Apskaičiuokime vingio taško ordinates: .

Beveik viskas tapo aišku.

6) Belieka rasti papildomų taškų, kurie padės tiksliau sukonstruoti grafiką ir atlikti savitikrą. Šiuo atveju jų yra nedaug, bet mes jų nepamiršime:

Padarykime piešinį:

Posūkio taškas pažymėtas žaliai, papildomi taškai pažymėti kryželiu. Kubinės funkcijos grafikas yra simetriškas jos vingio taškui, kuris visada yra griežtai viduryje tarp maksimumo ir minimumo.

Vykdant užduotį pateikiau tris hipotetinius tarpinius brėžinius. Praktiškai užtenka nubraižyti koordinačių sistemą, pažymėti rastus taškus ir po kiekvieno tyrimo taško mintyse įvertinti, kaip galėtų atrodyti funkcijos grafikas. Gerą pasirengimo lygį turintiems studentams nebus sunku atlikti tokią analizę vien savo galva, neįtraukiant juodraščio.

Norėdami tai išspręsti patys:

2 pavyzdys

Ištirkite funkciją ir sukurkite grafiką.

Čia viskas greičiau ir smagiau, apytikslis galutinio dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Dalinių racionalių funkcijų tyrimas atskleidžia daug paslapčių:

3 pavyzdys

Funkcijai tirti naudokite diferencialinio skaičiavimo metodus ir, remdamiesi tyrimo rezultatais, sudarykite jos grafiką.

Sprendimas: pirmasis tyrimo etapas nepasižymi niekuo išskirtiniu, išskyrus skylę apibrėžimo srityje:

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių tiesėje, išskyrus tašką, apibrėžimo sritis: .

, o tai reiškia, kad ši funkcija nėra lyginė ar nelyginė.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

Funkcijos grafikas vaizduoja dvi ištisines šakas, esančias kairėje ir dešinėje pusplokštumose – tai bene svarbiausia 1 punkto išvada.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

a) Naudodami vienpuses ribas, tiriame funkcijos elgseną šalia įtartino taško, kur aiškiai turėtų būti vertikali asimptotė:

Iš tiesų, funkcijos išlieka begalinis tarpas taške
o tiesi linija (ašis) yra vertikali asimptota grafika

b) Patikrinkime, ar nėra įstrižų asimptotų:

Taip, jis yra tiesus įstrižinė asimptotė grafika, jei.

Nėra prasmės analizuoti ribas, nes jau aišku, kad funkcija apima savo įstrižą asimptotę neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios.

Antrasis tyrimo taškas davė daug svarbios informacijos apie funkciją. Padarykime apytikslį eskizą:

Išvada Nr. 1 susijusi su pastovaus ženklo intervalais. Prie „minuso begalybės“ funkcijos grafikas aiškiai yra žemiau x ašies, o ties „pliuso begalybe“ – virš šios ašies. Be to, vienpusės ribos mums pasakė, kad taško kairėje ir dešinėje funkcija taip pat yra didesnė už nulį. Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusplokštumoje grafikas turi kirsti x ašį bent vieną kartą. Dešinėje pusplokštumoje gali nebūti funkcijos nulių.

Išvada Nr. 2 yra ta, kad funkcija didėja taške ir į kairę nuo jo (eina „iš apačios į viršų“). Į dešinę nuo šio taško funkcija mažėja (eina „iš viršaus į apačią“). Dešinėje grafiko šakoje tikrai turi būti bent vienas minimumas. Kairėje kraštutinumai negarantuojami.

Išvadoje Nr.3 pateikiama patikima informacija apie grafiko įdubimą taško apylinkėse. Dar negalime nieko pasakyti apie išgaubimą/įgaubtumą begalybėse, nes liniją galima spausti link asimptotės ir iš viršaus, ir iš apačios. Apskritai, šiuo metu yra analitinis būdas tai išsiaiškinti, tačiau grafiko forma taps aiškesnė vėliau.

Kodėl tiek daug žodžių? Norėdami kontroliuoti tolesnius tyrimo taškus ir išvengti klaidų! Tolesni skaičiavimai neturėtų prieštarauti padarytoms išvadoms.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, funkcijos pastovaus ženklo intervalai.

Funkcijos grafikas nekerta ašies.

Naudodami intervalo metodą nustatome ženklus:

, Jei ;
, Jei .

Šio punkto rezultatai visiškai atitinka 1 išvadą. Po kiekvieno etapo pažiūrėkite į juodraštį, mintyse patikrinkite tyrimą ir užpildykite funkcijos grafiką.

Nagrinėjamame pavyzdyje skaitiklis dalijamas pagal terminą iš vardiklio, o tai labai naudinga diferencijuojant:

Tiesą sakant, tai jau buvo padaryta ieškant asimptotų.

– kritinis taškas.

Apibrėžkime ženklus:

padidėja iki ir sumažėja iki

Tuo metu funkcija pasiekia minimumą: .

Taip pat nebuvo jokių neatitikimų su išvada Nr. 2 ir, greičiausiai, einame teisingu keliu.

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra įgaubtas visoje apibrėžimo srityje.

Puiku – ir jums nieko nereikia piešti.

Posūkio taškų nėra.

Įdubimas atitinka 3 išvadą, be to, tai rodo, kad begalybėje (ir ten, ir ten) yra funkcijos grafikas aukštesnė jos įstrižas asimptotas.

6) Sąžiningai užduotį prisegsime papildomais taškais. Čia turėsime sunkiai dirbti, nes iš tyrimo žinome tik du dalykus.

Ir paveikslas, kurį daugelis tikriausiai jau seniai įsivaizdavo:

Vykdydami užduotį turite atidžiai įsitikinti, kad tarp tyrimo etapų nėra prieštaravimų, tačiau kartais situacija yra skubi ar net beviltiška aklavietė. Analitika „neprideda“ – tai viskas. Tokiu atveju rekomenduoju avarinę techniką: surandame kuo daugiau taškų, priklausančių grafikui (kiek turime kantrybės), ir pažymime juos koordinačių plokštumoje. Grafinė rastų verčių analizė daugeliu atvejų parodys, kur tiesa, o kur klaidinga. Be to, grafiką galima iš anksto sukurti naudojant kokią nors programą, pavyzdžiui, „Excel“ (žinoma, tam reikia įgūdžių).

4 pavyzdys

Norėdami ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką, naudokite diferencialinio skaičiavimo metodus.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Jame savikontrolę sustiprina funkcijos paritetas - grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu, ir jei jūsų tyrime kažkas prieštarauja šiam faktui, ieškokite klaidos.

Lyginę arba nelyginę funkciją galima tirti tik ties , o tada naudoti grafiko simetriją. Šis sprendimas yra optimalus, bet, mano nuomone, atrodo labai neįprastai. Asmeniškai aš žiūriu į visą skaičių eilutę, bet papildomų taškų vis tiek randu tik dešinėje:

5 pavyzdys

Atlikite išsamų funkcijos tyrimą ir sukurkite jos grafiką.

Sprendimas: reikalai tapo sunkūs:

1) Funkcija apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių eilutėje: .

Tai reiškia, kad ši funkcija yra nelyginė, jos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

Kadangi funkcija nuolat įjungta, vertikalių asimptočių nėra

Funkcijai, kurioje yra eksponentas, tai būdinga atskirti„pliuso“ ir „begalybės minuso“ tyrimas, tačiau mūsų gyvenimą palengvina grafiko simetrija - arba yra asimptotė ir kairėje, ir dešinėje, arba jos nėra. Todėl abi begalinės ribos gali būti parašytos vienu įrašu. Sprendimo metu naudojame L'Hopital taisyklė:

Tiesi linija (ašis) yra horizontali grafiko asimptotė ties .

Atkreipkite dėmesį, kaip aš gudriai išvengiau viso įstrižos asimptotės paieškos algoritmo: riba yra visiškai teisėta ir paaiškina funkcijos elgseną begalybėje, o horizontalioji asimptotė buvo aptikta „tarsi tuo pačiu metu“.

Iš tęstinumo ir horizontalios asimptotės egzistavimo išplaukia, kad funkcija apribota aukščiau Ir apribota žemiau.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, pastovaus ženklo intervalai.

Čia taip pat sutrumpiname sprendimą:
Grafikas eina per pradžią.

Kitų susikirtimo taškų su koordinačių ašimis nėra. Be to, ženklo pastovumo intervalai yra akivaizdūs, o ašies braižyti nereikia: , tai reiškia, kad funkcijos ženklas priklauso tik nuo „x“:
, Jei ;
, Jei.

4) funkcijos didėjimas, mažėjimas, ekstremumai.

– kritiniai taškai.

Taškai yra simetriški nuliui, kaip ir turėtų būti.

Nustatykime išvestinės požymius:

Funkcija intervalais didėja, o intervalais mažėja

Kai funkcija pasiekia maksimumą: .

Dėl turto (funkcijos keistumas) minimumo nereikia skaičiuoti:

Kadangi funkcija mažėja per intervalą, akivaizdu, kad grafikas yra „minus begalybėje“ pagal jos asimptote. Per intervalą funkcija taip pat mažėja, tačiau čia yra atvirkščiai - perėjus per maksimalų tašką, linija artėja prie ašies iš viršaus.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, taip pat išplaukia, kad funkcijos grafikas yra išgaubtas ties „minus begalybe“ ir įgaubtas ties „pliuso begalybe“.

Po šio tyrimo taško buvo sudarytas funkcijų reikšmių diapazonas:

Jei turite kokių nors nesusipratimų dėl kokių nors punktų, dar kartą raginu savo sąsiuvinyje nubrėžti koordinačių ašis ir su pieštuku rankose iš naujo išanalizuoti kiekvieną užduoties išvadą.

5) Grafo išgaubtumas, įgaubimas, kreivumas.

– kritiniai taškai.