Padalinys o jų trupmenos skaitiklis ir vardiklis bendras daliklis, skiriasi nuo vieno, vadinamas sumažinant dalį.

Norėdami sumažinti bendrąją trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš to paties natūraliojo skaičiaus.

Šis skaičius yra didžiausias bendrasis duotosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklis.

Galimi šie dalykai sprendimų registravimo formos Paprastųjų trupmenų mažinimo pavyzdžiai.

Studentas turi teisę pasirinkti bet kokią įrašymo formą.

Pavyzdžiai. Supaprastinkite trupmenas.

Sumažinkite trupmeną 3 (skaitiklį padalinkite iš 3;

padalykite vardiklį iš 3).

Sumažinkite trupmeną 7.

Nurodytus veiksmus atliekame trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje.

Gauta dalis sumažinama 5.

Sumažinkime šią trupmeną 4) įjungta 5,7³- didžiausias bendras skaitiklio ir vardiklio daliklis (GCD), kurį sudaro bendrieji skaitiklio ir vardiklio koeficientai, paimti į laipsnį su mažiausiu laipsniu.

Suskaičiuokime šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį į pirminius veiksnius.

Mes gauname: 756=2²·3³·7 Ir 1176=2³·3·7².

Nustatykite trupmenos skaitiklio ir vardiklio GCD (didžiausias bendras daliklis) 5) .

Tai yra bendrų veiksnių, paimtų su mažiausiais rodikliais, rezultatas.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš jų gcd, t.y. 2²·3·7 gauname neredukuojamą trupmeną 9/14 .

Arba buvo galima parašyti skaitiklio ir vardiklio skaidymą pirminių koeficientų sandauga, nenaudojant galios sąvokos, o tada sumažinti trupmeną išbraukiant tuos pačius veiksnius skaitiklyje ir vardiklyje. Kai nelieka identiškų koeficientų, likusius veiksnius dauginame atskirai skaitiklyje ir atskirai vardiklyje ir išrašome gautą trupmeną 9/14 .

Ir galiausiai šią dalį pavyko sumažinti 5) palaipsniui, taikant skaičių dalybos ženklus ir trupmenos skaitikliui, ir vardikliui. Pagalvokime taip: skaičiai 756 Ir 1176 baigiasi lyginiu skaičiumi, o tai reiškia, kad abu dalijasi iš 2 . Sumažiname trupmeną 2 . Naujos trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra skaičiai 378 Ir 588 taip pat skirstomi į 2 . Sumažiname trupmeną 2 . Pastebime, kad skaičius 294 - net ir 189 yra nelyginis, o sumažinti 2 nebeįmanoma. Patikrinkime skaičių dalijamumą 189 Ir 294 įjungta 3 .

(1+8+9)=18 dalijasi iš 3 ir (2+9+4)=15 dalijasi iš 3, taigi ir patys skaičiai 189 Ir 294 yra skirstomi į 3 . Sumažiname trupmeną 3 . Kitas, 63 dalijasi iš 3 ir 98 – Ne. Pažvelkime į kitus pagrindinius veiksnius. Abu skaičiai dalijasi iš 7 . Sumažiname trupmeną 7 ir gauname neredukuojamąją trupmeną 9/14 .

Jis pagrįstas jų pagrindine savybe: jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra padalinti iš to paties nenulinio daugianario, tada bus gauta lygi trupmena.

Galite tik sumažinti daugiklius!

Daugiavardžių nariai negali būti trumpinami!

Norint sumažinti algebrinę trupmeną, skaitiklio ir vardiklio daugianariai pirmiausia turi būti koeficientai.

Pažvelkime į trupmenų mažinimo pavyzdžius.

Trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra monomijų. Jie atstovauja dirbti(skaičiai, kintamieji ir jų galios), daugikliai galime sumažinti.

Skaičius sumažiname jų didžiausiu bendruoju dalikliu, ty didžiausiu skaičiumi, iš kurio kiekvienas iš šių skaičių yra padalintas. 24 ir 36 tai yra 12. Sumažinus iš 24 lieka 2, o iš 36 - 3.

Mes sumažiname laipsnius laipsniu su mažiausiu indeksu. Sumažinti trupmeną reiškia padalyti skaitiklį ir vardiklį iš to paties daliklio ir atimti rodiklius.

a² ir a⁷ sumažinami iki a². Šiuo atveju a² skaitiklyje lieka vienas (1 rašome tik tuo atveju, kai po redukavimo nebelieka kitų faktorių. Iš 24 lieka 2, todėl iš a² likęs 1 nerašome). Iš a⁷ po sumažinimo lieka a⁵.

b ir b redukuojami b; gaunami vienetai nerašomi.

c³º ir c⁵ sutrumpinami iki c⁵. Iš c³º tai, kas lieka, yra c²⁵, iš c⁵ yra vienas (mes to nerašome). Taigi,

Šios algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Negalite atšaukti daugianario terminų! (negalite sumažinti, pavyzdžiui, 8x² ir 2x!). Norėdami sumažinti šią dalį, jums reikia. Skaitiklis turi bendrą koeficientą 4x. Išimkime jį iš skliaustų:

Tiek skaitiklis, tiek vardiklis turi tą patį koeficientą (2x-3). Šiuo koeficientu sumažiname trupmeną. Skaitiklyje gavome 4x, vardiklyje - 1. Pagal 1 algebrinių trupmenų savybę trupmena lygi 4x.

Galite tik sumažinti veiksnius (negalite sumažinti šios dalies 25x²!). Todėl trupmenos skaitiklio ir vardiklio polinomai turi būti koeficientai.

Skaitiklis yra visas sumos kvadratas, vardiklis yra kvadratų skirtumas. Išskaidę naudojant sutrumpintas daugybos formules, gauname:

Sumažiname trupmeną (5x+1) (kad tai padarytumėte, skaitiklyje du išbraukite kaip eksponentą, palikdami (5x+1)² (5x+1)):

Skaitiklis turi bendrą koeficientą 2, išimkime jį iš skliaustų. Vardiklis yra kubelių skirtumo formulė:

Dėl išplėtimo skaitiklis ir vardiklis gavo tą patį koeficientą (9+3a+a²). Juo sumažiname trupmeną:

Dauginamą skaitiklyje sudaro 4 nariai. pirmąjį terminą su antruoju, trečiąjį su ketvirtuoju ir pašalinkite bendrą koeficientą x² iš pirmųjų skliaustų. Vardiklį išskaidome naudodami kubų sumos formulę:

Skaitiklyje iš skliaustų išimame bendrą koeficientą (x+2):

Sumažinkite trupmeną (x+2):

Pradinis lygis

Išraiškų konvertavimas. Išsami teorija (2019 m.)

Išraiškų konvertavimas

Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastink posakį“. Paprastai matome tokį pabaisą kaip ši:

„Tai daug paprasčiau“, – sakome, bet toks atsakymas dažniausiai nepasiteisina.

Dabar išmokysiu nebijoti tokių užduočių. Be to, pamokos pabaigoje jūs pats supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprasto skaičiaus (taip, po velnių su šiomis raidėmis).

Tačiau prieš pradėdami šią pamoką turite mokėti tvarkyti trupmenas ir koeficientų polinomus. Todėl pirmiausia, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.

Ar perskaitėte? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.

Pagrindinės supaprastinimo operacijos

Dabar pažvelkime į pagrindinius metodus, kurie naudojami posakiams supaprastinti.

Paprasčiausias yra

1. Panašių atnešimas

Kas yra panašūs? Jūs to ėmėtės 7 klasėje, kai matematikoje pirmą kartą pasirodė raidės, o ne skaičiai. Panašūs yra terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį. Pavyzdžiui, sumoje panašūs terminai yra ir.

Ar prisimeni?

Panašus reiškia pridėti kelis panašius terminus ir gauti vieną terminą.

Kaip galime sujungti raides? - klausi tu.

Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai. Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kam lygi išraiška? Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek jų bus? Teisingai, kėdės: .

Dabar išbandykite šią išraišką: .

Kad išvengtumėte painiavos, leiskite skirtingoms raidėms žymėti skirtingus objektus. Pavyzdžiui, - yra (kaip įprasta) kėdė ir - yra stalas. Tada:

kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai

Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai. Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jame yra lygus.

Taigi, panašių atsinešimo taisyklė yra tokia:

Pavyzdžiai:

Pateikite panašių:

Atsakymai:

2. (ir panašiai, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).

2. Faktorizavimas

Paprastai tai yra svarbiausia dalis supaprastinant išraiškas. Pateikus panašius, dažniausiai gautą išraišką reikia faktorizuoti, tai yra pateikti kaip produktą. Tai ypač svarbu trupmenoms: norint sumažinti trupmeną, skaitiklis ir vardiklis turi būti vaizduojami kaip sandauga.

Išsamiai išnagrinėjote faktoringo išraiškų metodus temoje „“, todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote. Norėdami tai padaryti, nuspręskite keletą pavyzdžių(reikia suskaidyti faktoriais):

Sprendimai:

3. Trupmenos mažinimas.

Na, o kas gali būti maloniau nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?

Tai ir yra mažinimo grožis.

Tai paprasta:

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.

Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:

Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti

2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima perbraukti.

Principas, manau, aiškus?

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną tipišką klaidą trumpinant. Nors ši tema paprasta, daugelis žmonių viską daro ne taip, to nesuprasdami sumažinti– tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis yra tas pats skaičius.

Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.

Pavyzdžiui: turime supaprastinti.

Kai kurie žmonės tai daro: tai visiškai neteisinga.

Kitas pavyzdys: sumažinti.

„Protingiausi“ padarys tai: .

Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, o tai reiškia, kad jį galima sumažinti.

Bet ne: - tai yra tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra koeficientas.

Štai dar vienas pavyzdys: .

Ši išraiška yra suskaidyta faktoriais, o tai reiškia, kad galite ją sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:

Galite iš karto suskirstyti į:

Kad išvengtumėte tokių klaidų, atsiminkite paprastą būdą nustatyti, ar išraiška yra faktorizuota:

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“ operacija. Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išreiškimas yra koeficientas). Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška nėra faktorinuota (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami konsoliduoti, keletą išspręskite patys pavyzdžių:

Atsakymai:

1. Tikiuosi iš karto nepuolei kirpti ir? Vis tiek nepakako „sumažinti“ vienetų, tokių kaip:

Pirmas žingsnis turėtų būti faktorizavimas:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra pažįstama operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius. Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra santykinai pirminiai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo kažko paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir su paprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius:

Dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

· pirmiausia nustatome bendruosius veiksnius;

· tada po vieną išrašome visus bendrus veiksnius;

· ir padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskirstome į pagrindinius veiksnius:

Pabrėžkime bendrus veiksnius:

Dabar po vieną išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkite prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

· koeficientas vardiklius;

· nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius;

· vieną kartą užrašyti visus bendruosius veiksnius;

· padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Taigi, eilės tvarka:

1) suskaičiuokite vardiklius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrėžtų) veiksnių:

Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji - iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui:.

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingais rodikliais. Bendras vardiklis bus:

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur neparašyta, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . ko išmokai?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Kai sumažinate trupmenas iki bendro vardiklio, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet iš ko reikia padauginti, kad gautum?

Taigi padauginkite iš. Ir padauginkite iš:

Išraiškas, kurių negalima suskaidyti į faktorius, vadinsime elementariais veiksniais. Pavyzdžiui, - tai elementarus veiksnys. - Tas pats. Bet ne: jis gali būti faktorinuojamas.

O kaip su išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarieji veiksniai, į kuriuos išskaidote išraišką raidėmis, yra paprastų veiksnių, į kuriuos skaidote skaičius, analogas. Ir su jais elgsimės lygiai taip pat.

Matome, kad abu vardikliai turi daugiklį. Jis eis į bendrą vardiklį iki laipsnio (prisimeni kodėl?).

Koeficientas yra elementarus ir jie neturi bendro koeficiento, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš padaugindami šiuos vardiklius paniškai, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Jie abu atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, išskaidykime vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažvelgsi, jie panašūs... Ir tai tiesa:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar priveskime jį prie bendro vardiklio:

Supratai? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

Čia turime prisiminti dar vieną dalyką - kubelių skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklyje nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip: .

A yra vadinamasis nepilnas sumos kvadratas: antrasis narys jame yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų dviguba sandauga. Dalinis sumos kvadratas yra vienas iš veiksnių, didinančių kubelių skirtumą:

Ką daryti, jei jau yra trys frakcijos?

Taip, tas pats! Pirmiausia įsitikinkime, kad maksimalus faktorių skaičius vardikliuose yra vienodas:

Atkreipkite dėmesį: jei pakeičiate ženklus viename skliaustelyje, ženklas prieš trupmeną pasikeičia į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antrajame skliauste, ženklas prieš trupmeną vėl pasikeičia į priešingą. Dėl to jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.

Išrašome visą pirmąjį vardiklį į bendrą vardiklį, o tada pridedame prie jo visus dar neparašytus veiksnius, nuo antrojo, o tada iš trečiojo (ir taip toliau, jei yra daugiau trupmenų). Tai yra, viskas pasirodo taip:

Hmm... Aišku, ką daryti su trupmenomis. Bet kaip su dviem?

Tai paprasta: jūs žinote, kaip sudėti trupmenas, tiesa? Taigi, turime padaryti, kad du taptų trupmena! Prisiminkime: trupmena yra padalijimo operacija (skaitiklis dalijamas iš vardiklio, jei pamiršote). Ir nėra nieko lengviau, kaip padalyti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, o pavirs trupmena:

Kaip tik tai, ko tau reikia!

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaitinės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Prisiminkite apskaičiuodami šios išraiškos reikšmę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, leiskite man jums priminti.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu yra keli daugybos ir dalybos darbai, juos galima atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: išraiška skliausteliuose vertinama be eilės!

Jei kelis skliaustus padauginame arba padalijame vienas iš kito, pirmiausia apskaičiuojame kiekvieno skliausto išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti apskaičiuojant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Na, mes supratome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos procedūra yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška raidėmis?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinių operacijų reikia atlikti algebrines, tai yra, ankstesniame skyriuje aprašytus veiksmus: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai tai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai, norint suskirstyti faktorių, reikia naudoti I arba tiesiog iš skliaustų sudėti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirma, supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, trupmenas sujungiame į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma dar labiau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų dauginimas: kas gali būti paprasčiau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Na, tai viskas. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Pirmiausia nustatykime veiksmų tvarką. Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, kad vietoj dviejų trupmenų gautume vieną. Tada padalysime trupmenas. Na, pridėkime rezultatą su paskutine trupmena. Sunumeruosiu veiksmus schematiškai:

Dabar parodysiu procesą, nuspalvindamas dabartinį veiksmą raudonai:

Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kur panašių atsirastų mūsų šalyje, patartina nedelsiant juos iškelti.

2. Tas pats galioja ir mažinant trupmenas: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis taikoma trupmenoms, kurias pridedate arba atimate: jei dabar jų vardikliai yra tokie patys, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir kas buvo pažadėta pačioje pradžioje:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, vadinasi, temą įvaldėte.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIŠŲ KONVERTAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

• Atveža panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
• faktorizavimas: bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų, jo taikymas ir pan.
• Dalies sumažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, o tai nekeičia trupmenos reikšmės.
  1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
  2) jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, juos galima perbraukti.

  SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!

• Trupmenų pridėjimas ir atėmimas:
  ;
• Trupmenų dauginimas ir dalijimas:
  ;

Šiame straipsnyje mes apžvelgsime pagrindinės operacijos su algebrinėmis trupmenomis:

• redukuojančios frakcijos
• dauginant trupmenas
• dalijančios trupmenas

Pradėkime nuo algebrinių trupmenų mažinimas.

Atrodytų algoritmas akivaizdu.

Į sumažinti algebrines trupmenas, reikia

1. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį.

2. Sumažinkite vienodus veiksnius.

Tačiau moksleiviai dažnai daro klaidą „sumažindami“ ne veiksnius, o terminus. Pavyzdžiui, yra mėgėjų, kurie „sumažina“ trupmenas ir gauna rezultatą, o tai, žinoma, netiesa.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1. Sumažinti dalį:

1. Padalinkime skaitiklį faktorių naudodami sumos kvadrato formulę, o vardiklį naudodami kvadratų skirtumo formulę

2. Skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš

2. Sumažinti dalį:

1. Suskaidykime skaitiklį faktoriais. Kadangi skaitiklyje yra keturi terminai, naudojame grupavimą.

2. Vardiklį suskaidykime faktoriais. Taip pat galime naudoti grupavimą.

3. Užrašykite gautą trupmeną ir sumažinkime tuos pačius veiksnius:

Algebrinių trupmenų dauginimas.

Dauginant algebrines trupmenas, skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį – iš vardiklio.

Svarbu! Nereikia skubėti dauginti trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Po to, kai skaitiklyje užrašome trupmenų skaitiklių sandaugą ir vardiklyje esančių vardiklių sandaugą, turime apskaičiuoti kiekvieną veiksnį ir sumažinti trupmeną.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

3. Supaprastinkite išraišką:

1. Parašykime trupmenų sandaugą: skaitiklyje skaitiklių sandaugą, o vardiklyje vardklių sandaugą:

2. Suskaidykime kiekvieną skliaustą:

Dabar turime sumažinti tuos pačius veiksnius. Atkreipkite dėmesį, kad išraiškos ir skiriasi tik ženklu: o padalijus pirmąją išraišką iš antrosios gauname -1.

Taigi,

Algebrines trupmenas skirstome pagal šią taisyklę:

Tai yra Norint padalyti iš trupmenos, reikia padauginti iš „apverstos“.

Matome, kad dalijant trupmenas reikia dauginti ir Daugyba galiausiai sumažinama trupmenomis.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

4. Supaprastinkite išraišką:

Šis straipsnis tęsia algebrinių trupmenų konvertavimo temą: apsvarstykite tokį veiksmą kaip algebrinių trupmenų mažinimą. Apibrėžkime patį terminą, suformuluokime redukcijos taisyklę ir panagrinėkime praktinius pavyzdžius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebrinės trupmenos mažinimo reikšmė

Medžiagoje apie paprastąsias trupmenas nagrinėjome jo sumažinimą. Mes apibrėžėme trupmenos mažinimą kaip jos skaitiklio ir vardiklio padalijimą iš bendro koeficiento.

Algebrinės trupmenos sumažinimas yra panaši operacija.

1 apibrėžimas

Algebrinės trupmenos sumažinimas yra jo skaitiklio ir vardiklio padalijimas iš bendro koeficiento. Šiuo atveju, priešingai nei paprastosios trupmenos redukcija (bendrasis vardiklis gali būti tik skaičius), bendras algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio koeficientas gali būti daugianomas, ypač mononomas arba skaičius.

Pavyzdžiui, algebrinė trupmena 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 gali būti sumažinta skaičiumi 3, todėl gaunama: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Tą pačią trupmeną galime sumažinti kintamuoju x, ir tai suteiks mums išraišką 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Taip pat galima tam tikrą trupmeną sumažinti monomialu 3 x arba bet kuris iš daugianario x + 2 m, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y arba 3 x 2 + 6 x y.

Galutinis algebrinės trupmenos mažinimo tikslas yra paprastesnės formos trupmena, geriausiu atveju neredukuojama trupmena.

Ar visos algebrinės trupmenos turi būti redukuojamos?

Vėlgi, iš įprastų frakcijų medžiagų žinome, kad yra redukuojamų ir neredukuojamų frakcijų. Neredukuojamos trupmenos yra trupmenos, kurios neturi bendrų skaitiklio ir vardiklio faktorių, išskyrus 1.

Tas pats yra ir su algebrinėmis trupmenomis: jų skaitiklis ir vardiklis gali turėti bendrų faktorių arba ne. Bendrų veiksnių buvimas leidžia supaprastinti pradinę frakciją redukuojant. Kai nėra bendrų veiksnių, tam tikros trupmenos optimizuoti redukciniu metodu neįmanoma.

Apskritai, atsižvelgiant į frakcijos tipą, gana sunku suprasti, ar ją galima sumažinti. Žinoma, kai kuriais atvejais bendras veiksnys tarp skaitiklio ir vardiklio yra akivaizdus. Pavyzdžiui, algebrinėje trupmenoje 3 x 2 3 y visiškai aišku, kad bendras koeficientas yra skaičius 3.

Trupmenoje - x · y 5 · x · y · z 3 taip pat iš karto suprantame, kad ją galima sumažinti x, y, arba x · y. Ir vis dėlto daug dažniau pasitaiko algebrinių trupmenų pavyzdžių, kai skaitiklio ir vardiklio bendras veiksnys nėra taip lengvai įžiūrimas, o dar dažniau jo tiesiog nėra.

Pavyzdžiui, trupmeną x 3 - 1 x 2 - 1 galime sumažinti x - 1, o nurodyto bendro koeficiento įraše nėra. Tačiau trupmenos x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 negalima sumažinti, nes skaitiklis ir vardiklis neturi bendro koeficiento.

Taigi algebrinės trupmenos redukuojamumo nustatymo klausimas nėra toks paprastas, ir dažnai lengviau dirbti su tam tikros formos trupmena, nei bandyti išsiaiškinti, ar ji redukuojama. Šiuo atveju vyksta tokios transformacijos, kurios tam tikrais atvejais leidžia nustatyti bendrą skaitiklio ir vardiklio koeficientą arba padaryti išvadą apie trupmenos neredukuojamumą. Mes išsamiai išnagrinėsime šią problemą kitoje straipsnio pastraipoje.

Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė

Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė susideda iš dviejų nuoseklių veiksmų:

• rasti bendrus skaitiklio ir vardiklio veiksnius;
• jei tokių randama, frakcijos mažinimo veiksmas atliekamas tiesiogiai.

Patogiausias būdas rasti bendruosius vardiklius yra apskaičiuoti polinomus, esančius tam tikros algebrinės trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Tai leidžia iš karto aiškiai matyti bendrų veiksnių buvimą ar nebuvimą.

Pats algebrinės trupmenos mažinimo veiksmas yra pagrįstas pagrindine algebrinės trupmenos savybe, išreikšta lygybe neapibrėžta, kur a, b, c yra kai kurie daugianariai, o b ir c yra ne nulis. Pirmiausia reikia sumažinti trupmeną iki formos a · c b · c, kurioje iš karto pastebime bendrą veiksnį c. Antras žingsnis – atlikti sumažinimą, t.y. perėjimas į a b formos trupmeną.

Tipiški pavyzdžiai

Nepaisant tam tikro akivaizdumo, išsiaiškinkime ypatingą atvejį, kai algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra lygūs. Panašios trupmenos yra identiškos 1 visame šios trupmenos kintamųjų ODZ:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Kadangi paprastosios trupmenos yra ypatingas algebrinių trupmenų atvejis, prisiminkime, kaip jos redukuojamos. Natūralūs skaičiai, įrašyti į skaitiklį ir vardiklį, įtraukiami į pirminius veiksnius, tada bendrieji veiksniai atšaukiami (jei yra).

Pavyzdžiui, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Paprastų identiškų faktorių sandaugą galima užrašyti kaip laipsnius, o trupmenos mažinimo procese panaudoti laipsnių dalijimo identiškomis bazėmis savybę. Tada aukščiau pateiktas sprendimas būtų toks:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(skaitiklis ir vardiklis padalintas iš bendro koeficiento 2 2 3). Arba aiškumo dėlei, remdamiesi daugybos ir padalijimo savybėmis, sprendiniui suteikiame tokią formą:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Pagal analogiją atliekamas algebrinių trupmenų redukavimas, kuriame skaitiklis ir vardiklis turi monomius su sveikųjų skaičių koeficientais.

1 pavyzdys

Duota algebrinė trupmena - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Galima parašyti tam tikros trupmenos skaitiklį ir vardiklį kaip paprastų veiksnių ir kintamųjų sandaugą, o tada atlikti redukciją:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Tačiau racionalesnis būdas būtų rašyti sprendimą kaip išraišką su galiomis:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Atsakymas:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kai algebrinės trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra trupmeniniai skaitiniai koeficientai, galimi du tolesnių veiksmų būdai: arba padalinti šiuos trupmeninius koeficientus atskirai, arba pirmiausia atsikratyti trupmeninių koeficientų, skaitiklį ir vardiklį padauginus iš kokio nors natūraliojo skaičiaus. Paskutinė transformacija atliekama dėl pagrindinės algebrinės trupmenos savybės (apie tai galite perskaityti straipsnyje „Algebrinės trupmenos sumažinimas iki naujo vardiklio“).

2 pavyzdys

Pateikta trupmena yra 2 5 x 0, 3 x 3. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Sumažinti trupmeną galima taip:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Pabandykime problemą išspręsti kitaip, pirmiausia atsikratę trupmeninių koeficientų – skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš šių koeficientų vardiklių mažiausio bendro kartotinio, t.y. LCM (5, 10) = 10. Tada gauname:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.

Atsakymas: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kai sumažiname bendrąsias algebrines trupmenas, kuriose skaitikliai ir vardikliai gali būti vienanariai arba daugianariai, gali kilti problema, kai bendras veiksnys ne visada matomas iš karto. Arba, be to, jis tiesiog neegzistuoja. Tada, norint nustatyti bendrą koeficientą arba užfiksuoti jo nebuvimo faktą, į faktorių įtraukiamas algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis.

3 pavyzdys

Pateikiama racionalioji trupmena 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Išskaidykime daugianario skaitiklį ir vardiklį. Išdėkime jį iš skliaustų:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Matome, kad skliausteliuose esanti išraiška gali būti konvertuojama naudojant sutrumpintas daugybos formules:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Aiškiai matyti, kad trupmeną galima sumažinti bendru koeficientu b 2 (a + 7). Sumažinkime:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Parašykime trumpą sprendimą be paaiškinimo kaip lygybių grandinę:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Atsakymas: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Pasitaiko, kad bendrus veiksnius slepia skaitiniai koeficientai. Tada, mažinant trupmenas, optimalu skliausteliuose dėti didesnių skaitiklio ir vardiklio laipsnių skaitinius veiksnius.

4 pavyzdys

Duota algebrinė trupmena 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Jei įmanoma, būtina jį sumažinti.

Sprendimas

Iš pirmo žvilgsnio skaitiklis ir vardiklis neturi bendro vardiklio. Tačiau pabandykime konvertuoti duotąją trupmeną. Iš skaitiklio išimkime koeficientą x:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Dabar galite pamatyti tam tikrą panašumą tarp išraiškos skliausteliuose ir išraiškos vardiklyje dėl x 2 y . Išimkime šių daugianario didesniųjų laipsnių skaitinius koeficientus:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Dabar matomas bendras veiksnys, atliekame sumažinimą:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Atsakymas: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Pabrėžkime, kad racionaliųjų trupmenų mažinimo įgūdis priklauso nuo gebėjimo koeficientuoti daugianario.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter