Šiandien pamokoje išmoksime rasti sąlyginis arba, kaip jie dar vadinami, santykiniai kraštutinumai kelių kintamųjų funkcijas, ir, visų pirma, kalbėsime, žinoma, apie sąlyginius kraštutinumus dviejų funkcijų Ir trys kintamieji, kurios aptinkamos daugumoje teminių problemų.
Ką šiuo metu reikia žinoti ir mokėti? Nepaisant to, kad šis straipsnis yra „temos pakraštyje“, norint sėkmingai įsisavinti medžiagą, nereikia daug. Šiuo metu turėtumėte žinoti pagrindinius dalykus erdvės paviršiai, sugebėti rasti daliniai dariniai (bent jau vidutiniu lygiu) ir, kaip reikalauja negailestinga logika, suprasti besąlyginiai kraštutinumai. Tačiau net jei turite žemą pasiruošimo lygį, neskubėkite išvykti – visas trūkstamas žinias/gūdžius tikrai galima „pasirinkti pakeliui“, ir be jokių kankinimų valandų.
Pirma, išanalizuokime pačią koncepciją ir tuo pačiu greitai pakartokime dažniausiai pasitaikančias paviršiai. Taigi, kas yra sąlyginis ekstremumas? ...Logika čia ne mažiau negailestinga =) Sąlyginis funkcijos ekstremumas yra ekstremumas įprastine to žodžio prasme, kuris pasiekiamas įvykdžius tam tikrą sąlygą (ar sąlygas).
Įsivaizduokite savavališką „įstrižą“ lėktuvas V Dekarto sistema. Nėra ekstremumasčia nėra jo pėdsako. Bet tai kol kas. Pasvarstykime elipsinis cilindras, dėl paprastumo - begalinis apvalus „vamzdis“, lygiagretus ašiai. Akivaizdu, kad šis „vamzdis“ „iškirps“ iš mūsų lėktuvo elipsė, dėl to jo viršutiniame taške bus maksimumas, o apatiniame – minimumas. Kitaip tariant, funkcija, apibrėžianti plokštumą, pasiekia kraštutinumą atsižvelgiant į tai kad jį kirto duotas apskritas cilindras. Tiksliai "suteikta"! Kitas elipsinis cilindras, kertantis šią plokštumą, beveik neabejotinai sukurs skirtingas minimalias ir didžiausias vertes.
Jei tai nėra labai aiški, situaciją galima imituoti tikroviškai (nors atvirkštine tvarka): paimk kirvį, išeik į lauką ir nukirsk... ne, Greenpeace tau vėliau neatleis - geriau nutekamojo vamzdį nupjauti šlifuokliu =). Sąlyginis minimumas ir sąlyginis maksimumas priklausys nuo to, kokiame aukštyje ir po kokiu (nehorizontalus) pjūvis padarytas kampu.
Atėjo laikas aprengti skaičiavimus matematiškais drabužiais. Pasvarstykime elipsinis paraboloidas, kuris turi absoliutus minimumas taške. Dabar suraskime ekstremumą atsižvelgiant į tai. Tai lėktuvas lygiagrečiai ašiai, o tai reiškia, kad jis „išsikerta“ iš paraboloido parabolė. Šios parabolės viršus bus sąlyginis minimumas. Be to, plokštuma neperžengia koordinačių pradžios, todėl taškas liks nesvarbus. Nepateikei nuotraukos? Nedelsdami sekime nuorodas! Prireiks dar daug daug kartų.
Klausimas: kaip rasti šį sąlyginį ekstremumą? Paprasčiausias būdas išspręsti yra naudoti lygtį (kuri vadinama - sąlyga arba ryšio lygtis) išreikškite, pavyzdžiui: – ir pakeiskite ją funkcija: 
Rezultatas yra vieno kintamojo funkcija, apibrėžianti parabolę, kurios viršūnė „apskaičiuojama“ užmerkus akis. Raskime kritinius taškus:
– kritinis taškas.
Kitas lengviausias dalykas yra antra pakankama ekstremumo sąlyga:
Visų pirma: tai reiškia, kad funkcija pasiekia minimumą taške . Galima skaičiuoti tiesiogiai: , bet eisime akademiškesniu keliu. Raskime „žaidimo“ koordinates:
,
užsirašykite sąlyginį minimalų tašką, įsitikinkite, kad jis tikrai yra plokštumoje (tenkina sukabinimo lygtį):
ir apskaičiuokite funkcijos sąlyginį minimumą:
atsižvelgiant į tai („priedas“ būtinas!!!).
Nagrinėjamas metodas be jokios abejonės gali būti naudojamas praktiškai, tačiau jis turi nemažai trūkumų. Pirma, problemos geometrija ne visada aiški, ir, antra, dažnai nepelninga išreikšti „x“ arba „y“ iš ryšio lygties. (jei iš viso galima ką nors išreikšti). O dabar mes apsvarstysime universalų sąlyginio ekstremumo nustatymo metodą, vadinamą Lagranžo daugiklio metodas:
1 pavyzdys
Raskite funkcijos sąlyginį kraštutinumą su nurodyta ryšio su argumentais lygtimi.
Ar atpažįstate paviršius? ;-) ...malonu matyti jusu linksmus veidus =)
Beje, iš šios problemos formulavimo tampa aišku, kodėl sąlyga vadinama ryšio lygtis– funkcijų argumentai prijungtas papildoma sąlyga, tai yra, rasti ekstremumo taškai būtinai turi priklausyti apskritam cilindrui.
Sprendimas: pirmame žingsnyje reikia pateikti ryšio lygtį formoje ir sudaryti Lagrange funkcija:
, kur yra vadinamasis Lagranžo daugiklis.
Mūsų atveju ir:
Sąlyginių ekstremalių radimo algoritmas yra labai panašus į „įprasto“ radimo schemą. kraštutinumai. Raskime daliniai dariniai Lagrange funkcijos, o „lambda“ turėtų būti traktuojama kaip konstanta:
Sudarykime ir išspręskime šią sistemą: 
Standartiškai raizginys išardomas:
nuo pirmosios lygties, kurią išreiškiame 
;
iš antrosios lygties išreiškiame 
.
Pakeiskime ryšius į lygtį ir atlikime supaprastinimus: 
Dėl to gauname du stacionarius taškus. Jei , tai: 
jei , tada: 
Nesunku pastebėti, kad abiejų taškų koordinatės tenkina lygtį 
. Kruopštūs žmonės taip pat gali atlikti pilną patikrinimą: tam reikia pakeisti 
į pirmąją ir antrąją sistemos lygtis, o tada tą patį padarykite su aibe 
. Viskas turi „susijungti“.
Patikrinkime pakankamos ekstremalios sąlygos įvykdymą rastiems stacionariems taškams. Aptarsiu tris šios problemos sprendimo būdus:
1) Pirmasis metodas yra geometrinis pagrindimas.
Apskaičiuokime funkcijos reikšmes stacionariuose taškuose:
Toliau užrašome maždaug tokio turinio frazę: apskrito cilindro plokštumos pjūvis yra elipsė, kurios viršutinėje viršūnėje pasiekiamas maksimumas, o apatinėje – minimumas. Taigi didesnė reikšmė yra sąlyginis maksimumas, o mažesnė – sąlyginis minimumas.
Jei įmanoma, geriau naudoti šį metodą – jis paprastas, o šį sprendimą skaičiuoja mokytojai (didelis pliusas yra tai, kad supratote geometrinę problemos prasmę). Tačiau, kaip jau minėta, ne visada aišku, kas su kuo susikerta ir kur, tada gelbsti analitinis patikrinimas:
2) Antrasis metodas pagrįstas antros eilės diferencialinių ženklų naudojimu. Jei paaiškėja, kad stacionariame taške, tada funkcija ten pasiekia maksimumą, o jei pasiekia, tada pasiekia minimumą.
Raskime antros eilės daliniai išvestiniai:
ir sukurkite šį skirtumą:
Kada , tai reiškia , kad funkcija pasiekia maksimumą taške ;
, o tai reiškia, kad funkcija taške pasiekia minimumą 
.
Nagrinėjamas metodas yra labai geras, tačiau turi trūkumą, kad kai kuriais atvejais beveik neįmanoma nustatyti 2-ojo diferencialo ženklo (paprastai tai atsitinka, jei ir (arba) yra skirtingų ženklų). Ir tada „sunkioji artilerija“ ateina į pagalbą:
3) Atskirkime ryšio lygtį „X“ ir „Y“: 
ir sudaryti toliau nurodytus dalykus simetriškas matrica:
Jei stacionariame taške, tada funkcija pasiekia ten ( demesio!) minimumas, jei – tada maksimalus.
Parašykime reikšmės matricą ir atitinkamą tašką: 
Paskaičiuokime determinantas:
, taigi funkcija turi maksimumą taške .
Taip pat dėl vertės ir taško: 
Taigi funkcija taške turi minimumą.
Atsakymas: atsižvelgiant į tai:
Išsamiai išanalizavęs medžiagą, aš tiesiog negaliu pasiūlyti jums keletą tipiškų užduočių savęs patikrinimui:
2 pavyzdys
Raskite funkcijos sąlyginį ekstremumą, jei jos argumentai yra susiję lygtimi
3 pavyzdys
Raskite funkcijos ekstremalą atsižvelgiant į sąlygą
Ir vėl primygtinai rekomenduoju suprasti geometrinę užduočių esmę, ypač paskutiniame pavyzdyje, kur analitinis pakankamos būklės patikrinimas nėra dovana. Prisimink ką 2 eilės tvarka nustato lygtį, ir ką paviršiusši linija generuoja erdvėje. Išanalizuokite, pagal kurią kreivę cilindras kirs plokštumą ir kur šioje kreivėje bus minimumas, o kur maksimumas.
Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.
Nagrinėjama problema plačiai naudojama įvairiose srityse, ypač – toli nenueisime – geometrijoje. Išspręskime visų mėgstamą problemą dėl pusės litro butelio (žr. 7 straipsnio pavyzdįEkstremalūs iššūkiai ) antras būdas:
4 pavyzdys
Kokie turi būti cilindrinės skardinės išmatavimai, kad skardinei pagaminti būtų sunaudota mažiausiai medžiagos, jei skardinės tūris lygus
Sprendimas: apsvarstykite kintamą pagrindo spindulį, kintamą aukštį ir sudarykite viso skardinės paviršiaus ploto funkciją: 
(dviejų dangtelių plotas + šoninio paviršiaus plotas)
Lagranžo daugiklio metodas.
Lagranžo daugiklio metodas yra vienas iš metodų, leidžiančių išspręsti netiesinio programavimo problemas.
Netiesinis programavimas yra matematinio programavimo šaka, tirianti ekstremalių problemų sprendimo metodus su netiesine tikslo funkcija ir galimų sprendimų sritimi, apibrėžta netiesiniais apribojimais. Ekonomikoje tai atitinka tai, kad rezultatai (efektyvumas) didėja arba mažėja neproporcingai išteklių naudojimo masto (arba, kas yra tas pats – gamybos masto) pokyčiams: pavyzdžiui, dėl gamybos sąnaudų pasiskirstymo įmonės į kintamąsias ir pusiau pastoviąsias; dėl prekių paklausos prisotinimo, kai kiekvieną paskesnį vienetą parduoti sunkiau nei ankstesnį ir pan.
Netiesinio programavimo problema keliama kaip tam tikros tikslo funkcijos optimumo radimo problema
F(x 1 ,…x n), F (x) → maks
kai tenkinamos sąlygos
g j (x 1,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0
Kur x-reikiamų kintamųjų vektorius;
F (x) -objektyvi funkcija;
g (x) - apribojimo funkcija (nuolat diferencijuojama);
b - apribojimo konstantų vektorius.
Netiesinio programavimo problemos sprendimas (pasaulinis maksimumas arba minimumas) gali priklausyti arba leistinos aibės ribai, arba vidui.
Skirtingai nuo linijinio programavimo uždavinio, netiesinio programavimo uždavinyje optimalumas nebūtinai yra apribojimais apibrėžtos srities ribose. Kitaip tariant, užduotis yra pasirinkti tokias neneigiamas kintamųjų reikšmes, atsižvelgiant į apribojimų sistemą nelygybių pavidalu, pagal kurią pasiekiamas tam tikros funkcijos maksimumas (arba minimumas). Šiuo atveju nenurodomos nei tikslo funkcijos, nei nelygybių formos. Gali būti įvairių atvejų: tikslo funkcija yra netiesinė, bet apribojimai yra tiesiniai; tikslo funkcija yra tiesinė, o apribojimai (bent vienas iš jų) yra netiesiniai; ir tikslo funkcija, ir apribojimai yra netiesiniai.
Netiesinio programavimo problema randama gamtos moksluose, inžinerijoje, ekonomikoje, matematikoje, verslo santykiuose ir vyriausybėje.
Pavyzdžiui, netiesinis programavimas yra susijęs su pagrindine ekonomine problema. Taigi ribotų išteklių paskirstymo problemoje arba efektyvumas, arba, jei tiriamas vartotojas, suvartojimas maksimizuojamas, esant apribojimams, išreiškiantiems išteklių trūkumo sąlygas. Esant tokiai bendrai formuluotei, matematinė problemos formuluotė gali būti neįmanoma, tačiau konkrečiose programose visų funkcijų kiekybinę formą galima nustatyti tiesiogiai. Pavyzdžiui, pramonės įmonė gamina plastikinius gaminius. Gamybos efektyvumas čia matuojamas pelnu, o suvaržymai interpretuojami kaip turima darbo jėga, gamybos plotas, įrangos našumas ir kt.
Ekonominio efektyvumo metodas taip pat tinka netiesinio programavimo schemai. Šis metodas buvo sukurtas naudoti priimant sprendimus vyriausybėje. Bendra efektyvumo funkcija yra gerovė. Čia iškyla dvi netiesinio programavimo problemos: pirmoji – maksimizuoti efektą esant ribotoms išlaidoms, antroji – sumažinti išlaidas, su sąlyga, kad poveikis viršija tam tikrą minimalų lygį. Ši problema paprastai gerai sumodeliuojama naudojant netiesinį programavimą.
Netiesinio programavimo problemos sprendimo rezultatai yra naudingi priimant vyriausybės sprendimus. Gautas sprendimas, žinoma, yra rekomenduojamas, todėl prieš priimant galutinį sprendimą būtina išnagrinėti netiesinio programavimo problemos prielaidas ir tikslumą.
Netiesinės problemos yra sudėtingos, jos dažnai yra supaprastintos. Tam paprastai daroma prielaida, kad tam tikroje srityje tikslo funkcija didėja arba mažėja proporcingai nepriklausomų kintamųjų pokyčiui. Šis metodas vadinamas dalinių tiesinių aproksimacijų metodu, tačiau jis taikomas tik tam tikroms netiesinėms problemoms.
Netiesinės problemos tam tikromis sąlygomis sprendžiamos naudojant Lagranžo funkciją: suradus jos balno tašką, taip randamas problemos sprendimas. Tarp mokslinių tyrimų skaičiavimo algoritmų gradiento metodai užima didelę vietą. Universalaus metodo netiesinėms problemoms spręsti nėra ir, matyt, gali nebūti, nes jos yra labai įvairios. Ypač sunkiai išsprendžiamos multiekstreminės problemos.
Vienas iš metodų, leidžiančių netiesinio programavimo problemą redukuoti iki lygčių sistemos sprendimo, yra Lagranžo neapibrėžtų daugiklių metodas.
Naudojant Lagranžo daugiklio metodą, iš esmės nustatomos būtinos sąlygos, leidžiančios nustatyti optimalius taškus optimizavimo problemose su lygybės apribojimais. Šiuo atveju suvaržyta problema paverčiama lygiaverte besąlyginio optimizavimo problema, kuri apima kai kuriuos nežinomus parametrus, vadinamus Lagranžo daugikliais.
Lagranžo daugiklio metodas susideda iš problemų, susijusių su sąlyginiu kraštutinumu, sumažinimu į problemas, susijusias su pagalbinės funkcijos besąlyginiu kraštutinumu - vadinamuoju. Lagranžo funkcijos.
Funkcijos ekstremumo problemai f(x 1, x 2,..., x n) sąlygomis (apribojimo lygtys) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, Lagrange funkcija turi formą
L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,… λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Daugikliai λ 1 , λ 2 , ..., λm paskambino Lagranžo daugikliai.
Jei vertybės x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm lygčių sprendinių, apsprendžiančių Lagranžo funkcijos stacionariuosius taškus, esmė, būtent diferencijuojamoms funkcijoms yra lygčių sistemos sprendiniai
tada, remiantis gana bendromis prielaidomis, x 1 , x 2 , ..., x n pateikia funkcijos f ekstremumą.
Apsvarstykite n kintamųjų funkcijos sumažinimo problemą, kuriai taikomas vienas apribojimas lygybės forma:
Sumažinti f(x 1, x 2… x n) (1)
pagal apribojimus h 1 (x 1, x 2… x n) = 0 (2)
Taikant Lagranžo daugiklio metodą, ši problema paverčiama tokia neapribota optimizavimo problema:
sumažinti L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
kur funkcija L(x;λ) vadinama Lagranžo funkcija,
λ yra nežinoma konstanta, kuri vadinama Lagranžo daugikliu. λ ženklui nėra jokių reikalavimų.
Tegul, esant nurodytai reikšmei λ=λ 0, besąlyginis funkcijos L(x,λ) minimumas x atžvilgiu pasiekiamas taške x=x 0 ir x 0 tenkina lygtį h 1 (x 0)=0 . Tada, kaip nesunku suprasti, x 0 sumažina (1), atsižvelgiant į (2), nes visoms x reikšmėms, atitinkančioms (2), h 1 (x) = 0 ir L(x, λ) = min f(x).
Žinoma, reikia pasirinkti reikšmę λ=λ 0, kad besąlyginio minimumo taško x 0 koordinatė tenkintų lygybę (2). Tai galima padaryti, jei laikant λ kintamuoju, funkcijos (3) besąlyginį minimumą randame funkcijos λ pavidalu ir pasirenkame λ reikšmę, kuriai esant tenkinama (2) lygybė. Paaiškinkime tai konkrečiu pavyzdžiu.
Sumažinkite f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
pagal apribojimą h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
Atitinkama neapribota optimizavimo problema parašyta taip:
sumažinti L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Sprendimas. Prilyginę du gradiento L komponentus nuliui, gauname
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Norėdami patikrinti, ar stacionarus taškas x° atitinka minimumą, apskaičiuojame funkcijos L(x;u) Heso matricos elementus, laikomus x funkcija,
kuris pasirodo esąs teigiamas konkretus.
Tai reiškia, kad L(x,u) yra išgaubta x funkcija. Vadinasi, koordinatės x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 nustato globalų minimumą. Optimali λ reikšmė randama pakeičiant reikšmes x 1 0 ir x 2 0 į lygtį 2x 1 + x 2 =2, iš kurios 2λ+λ/2=2 arba λ 0 =4/5. Taigi sąlyginis minimumas pasiekiamas esant x 1 0 =4/5 ir x 2 0 =2/5 ir yra lygus min f(x) = 4/5.
Spręsdami uždavinį iš pavyzdžio, L(x;λ) laikėme dviejų kintamųjų x 1 ir x 2 funkcija ir, be to, darėme prielaidą, kad parametro λ reikšmė parinkta taip, kad apribojimas būtų patenkintas. Jei sistemos sprendimas
J = 1,2,3,…,n
λ negalima gauti aiškių funkcijų pavidalu, tada x ir λ reikšmės randamos sprendžiant šią sistemą, susidedančią iš n+1 lygčių su n+1 nežinomaisiais:
J = 1, 2, 3, …, n., h 1 (x) = 0
Norėdami rasti visus galimus tam tikros sistemos sprendimus, galite naudoti skaitmeninės paieškos metodus (pavyzdžiui, Niutono metodą). Kiekvienam iš sprendinių () turėtume apskaičiuoti funkcijos L Heseno matricos elementus, laikomus x funkcija, ir išsiaiškinti, ar ši matrica yra teigiama apibrėžtoji (vietinis minimumas) ar neigiamas apibrėžtasis (vietinis maksimumas). ).
Lagranžo daugiklio metodas gali būti išplėstas tuo atveju, kai problema turi keletą apribojimų lygybių pavidalu. Apsvarstykite bendrą problemą, kurios reikia
Sumažinti f(x)
esant apribojimams h k =0, k=1, 2, ..., K.
Lagrange funkcija yra tokia:
Čia λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagranžo daugikliai, t.y. nežinomi parametrai, kurių reikšmes reikia nustatyti. L dalines išvestines x atžvilgiu prilyginus nuliui, gauname tokią n lygčių su n nežinomųjų sistemą:
Jei sunku rasti aukščiau pateiktos sistemos sprendimą vektoriaus λ funkcijų pavidalu, galite išplėsti sistemą įtraukdami apribojimus lygybių pavidalu
Išplėstinės sistemos, susidedančios iš n + K lygčių su n + K nežinomųjų, sprendimas nustato funkcijos L stacionarųjį tašką. Tada įgyvendinama minimumo ar maksimumo tikrinimo procedūra, kuri atliekama remiantis skaičiavimais. funkcijos L Heso matricos elementai, laikomi x funkcija, panašiai kaip buvo daroma uždavinio su vienu apribojimu atveju. Kai kurioms problemoms išplėstinė n+K lygčių sistema su n+K nežinomaisiais gali neturėti sprendimų, o Lagranžo daugiklio metodas pasirodo netinkamas. Tačiau reikia pažymėti, kad tokios užduotys praktikoje yra gana retos.
Panagrinėkime specialų bendrosios netiesinio programavimo problemos atvejį, darant prielaidą, kad apribojimų sistemoje yra tik lygtys, nėra sąlygų kintamųjų neneigiamumui ir ir ir yra tolydžios funkcijos kartu su jų dalinėmis išvestinėmis. Todėl išsprendę (7) lygčių sistemą gauname visus taškus, kuriuose funkcija (6) gali turėti kraštutines reikšmes.
Lagranžo daugiklio metodo algoritmas
1. Sudarykite Lagrange funkciją.
2. Raskite Lagranžo funkcijos dalines išvestines kintamųjų x J ,λ i atžvilgiu ir prilyginkite jas nuliui.
3. Išsprendžiame lygčių sistemą (7), randame taškus, kuriuose uždavinio tikslinė funkcija gali turėti ekstremumą.
4. Tarp taškų, įtartinų ekstremumui, randame tuos, kuriuose pasiekiamas ekstremumas, ir šiuose taškuose apskaičiuojame funkcijos (6) reikšmes.
Pavyzdys.
Pradiniai duomenys: Pagal gamybos planą įmonei reikia pagaminti 180 gaminių. Šie gaminiai gali būti gaminami dviem technologiniais būdais. Gaminant x 1 gaminius 1-uoju būdu, sąnaudos yra 4x 1 +x 1 2 rubliai, o gaminant x 2 gaminius 2-uoju būdu - 8x 2 +x 2 2 rubliai. Nustatykite, kiek gaminių turi būti pagaminta naudojant kiekvieną metodą, kad gamybos sąnaudos būtų minimalios.
Nurodytos problemos tikslo funkcija turi formą
® min esant sąlygoms x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Sudarykite Lagrange funkciją
.
2.
Apskaičiuojame dalines išvestines x 1, x 2, λ atžvilgiu ir prilyginame jas nuliui: 
3.
Išspręsdami gautą lygčių sistemą, randame x 1 =91,x 2 =89
4. Tikslinėje funkcijoje x 2 =180-x 1 pakeitę, gauname vieno kintamojo funkciją, būtent f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
Apskaičiuojame arba 4x 1 -364=0 ,
iš kur turime x 1 * = 91, x 2 * = 89.
Atsakymas: Pirmuoju metodu pagamintų gaminių skaičius yra x 1 =91, antruoju būdu x 2 =89, o tikslo funkcijos reikšmė yra 17 278 rubliai.
Metodo aprašymas
Kur. Loginis pagrindas
Šis Lagranžo daugiklio metodo pagrindimas nėra griežtas jo įrodymas. Jame pateikiami euristiniai svarstymai, padedantys suprasti geometrinę metodo reikšmę.
Dvimatis korpusas
Lygio linijos ir kreivė.
Tegul reikia rasti dviejų kintamųjų kokios nors funkcijos ekstremalumą esant lygties nurodytai sąlygai 
. Darysime prielaidą, kad visos funkcijos yra nuolat diferencijuojamos, ir ši lygtis nusako lygią kreivę S lėktuve. Tada problema susilpnėja iki funkcijos ekstremumo suradimo f ant kreivės S. Taip pat manysime S nepraeina per taškus, kur gradientas f virsta 0.
Plokštumoje nubrėžkime funkcijų lygio linijas f(tai yra kreivės). Iš geometrinių svarstymų aišku, kad funkcijos ekstremumas f ant kreivės S gali būti tik taškai, kuriuose liestinės S ir atitinkama lygio linija sutampa. Iš tiesų, jei kreivė S kerta lygio liniją f taške skersai (tai yra tam tikru kampu, kuris nėra nulis), tada juda išilgai kreivės S iš taško galime patekti į didesnę reikšmę atitinkančias lygio linijas f, ir mažiau. Todėl toks taškas negali būti kraštutiniu tašku.
Taigi būtina ekstremumo sąlyga mūsų atveju bus liestinių sutapimas. Norėdami parašyti jį analitine forma, atkreipkite dėmesį, kad tai atitinka funkcijų gradientų lygiagretumą f ir ψ tam tikrame taške, nes gradiento vektorius yra statmenas lygio linijos liestinei. Ši sąlyga išreiškiama tokia forma:
kur λ yra nulinis skaičius, kuris yra Lagranžo daugiklis.
Dabar pasvarstykime Lagrange funkcija, priklausomai nuo ir λ:
Būtina jo ekstremumo sąlyga yra ta, kad gradientas yra lygus nuliui. Pagal diferenciacijos taisykles rašoma formoje
Gavome sistemą, kurios pirmosios dvi lygtys yra lygiavertės būtinai lokalaus ekstremumo sąlygai (1), o trečioji lygi lygčiai . Iš jo galite rasti. Be to, kadangi kitaip funkcijos gradientas f dingsta taške 
, o tai prieštarauja mūsų prielaidoms. Pažymėtina, kad tokiu būdu rasti taškai gali būti ne pageidaujami sąlyginio ekstremumo taškai – svarstoma sąlyga būtina, bet nepakankama. Sąlyginio ekstremumo radimas naudojant pagalbinę funkciją L ir sudaro Lagranžo daugiklio metodo, čia taikomo paprasčiausiam dviejų kintamųjų atvejui, pagrindą. Pasirodo, minėtus samprotavimus galima apibendrinti savavališko skaičiaus kintamųjų ir lygčių, apibrėžiančių sąlygas, atveju.
Remiantis Lagranžo daugiklio metodu, galima įrodyti kai kurias pakankamas sąlyginio ekstremumo sąlygas, kurioms reikia išanalizuoti antrąsias Lagranžo funkcijos išvestines.
Taikymas
- Lagranžo daugiklio metodas naudojamas netiesinio programavimo problemoms spręsti, kurios kyla daugelyje sričių (pavyzdžiui, ekonomikoje).
- Pagrindinis būdas išspręsti garso ir vaizdo duomenų kodavimo kokybės optimizavimo tam tikru vidutiniu bitų dažniu problemą (iškraipymų optimizavimas - angl. Greitio iškraipymo optimizavimas).
Taip pat žr
Nuorodos
- Zorichas V.A. Matematinė analizė. 1 dalis. – red. 2-oji, rev. ir papildomas - M.: FAZIS, 1997 m.
Wikimedia fondas.
2010 m.
Pažiūrėkite, kas yra „Lagrange Multipliers“ kituose žodynuose: Lagranžo daugikliai - papildomi veiksniai, transformuojantys ekstremalios išgaubto programavimo (ypač tiesinio programavimo) uždavinio objektyvią funkciją, sprendžiant ją vienu iš klasikinių metodų, daugiklių sprendimo metodą... ...
Ekonomikos ir matematikos žodynas Lagranžo daugikliai - Papildomi veiksniai, transformuojantys ekstremalaus išgaubto programavimo uždavinio (ypač tiesinio programavimo) objektyviąją funkciją, sprendžiant ją vienu iš klasikinių metodų, daugiklių sprendimo metodu (Lagranžo metodas).
Techninis vertėjo vadovas Mechanika. 1) 1-osios rūšies Lagranžo lygtys, mechaninio judėjimo diferencialinės lygtys. sistemos, kurios pateiktos projekcijose į stačiakampes koordinačių ašis ir kuriose yra vadinamosios. Lagranžo daugikliai. J. Lagrange'as gavo 1788 m. Holonominei sistemai, ... ...
Fizinė enciklopedija Mechanika 2 eilės paprastosios diferencialinės lygtys, apibūdinančios mechaninių judesius. sistemos veikiamos joms taikomų jėgų. L.u. nustatytas J. Lago diapazonas dviem formomis: L. u. 1-oji rūšis arba lygtys Dekarto koordinatėmis su... ...
1) hidromechanikoje skysčio (dujų) judėjimo lygtis Lagrando kintamaisiais, kurie yra terpės koordinatės. Gavo prancūzų kalbą mokslininkas J. Lagranžas (apie 1780 m.). Iš L. u. terpės judėjimo dėsnis nustatomas priklausomybių forma... ... Mechanika. 1) 1-osios rūšies Lagranžo lygtys, mechaninio judėjimo diferencialinės lygtys. sistemos, kurios pateiktos projekcijose į stačiakampes koordinačių ašis ir kuriose yra vadinamosios. Lagranžo daugikliai. J. Lagrange'as gavo 1788 m. Holonominei sistemai, ... ...
Lagranžo daugiklio metodas – funkcijos f(x) sąlyginio ekstremumo radimo metodas, kur, atsižvelgiant į m apribojimus, i svyruoja nuo vieno iki m. Turinys 1 Metodo aprašymas ... Vikipedija
Funkcija, naudojama sprendžiant daugelio kintamųjų ir funkcinių funkcijų sąlyginio ekstremumo problemas. Padedant L. f. užrašomos būtinos optimalumo sąlygos uždaviniuose ant sąlyginio ekstremumo. Šiuo atveju nebūtina išreikšti tik kintamuosius... Mechanika 2 eilės paprastosios diferencialinės lygtys, apibūdinančios mechaninių judesius. sistemos veikiamos joms taikomų jėgų. L.u. nustatytas J. Lago diapazonas dviem formomis: L. u. 1-oji rūšis arba lygtys Dekarto koordinatėmis su... ...
Sąlyginio ekstremumo problemų sprendimo metodas; L.M.M. susideda iš šių problemų sumažinimo iki problemų, susijusių su besąlyginiu pagalbinės funkcijos kraštutinumu, vadinamuoju. Lagranžo funkcijos. Funkcijos f (x1, x2,..., xn) ekstremumo uždaviniui... ...
Kintamieji, kurių pagalba konstruojama Lagranžo funkcija tiriant problemas esant sąlyginiam ekstremumui. Linijinių metodų ir Lagranžo funkcijos naudojimas leidžia vienodai gauti reikiamas optimalumo sąlygas problemose, susijusiose su sąlyginiu ekstremumu... Mechanika 2 eilės paprastosios diferencialinės lygtys, apibūdinančios mechaninių judesius. sistemos veikiamos joms taikomų jėgų. L.u. nustatytas J. Lago diapazonas dviem formomis: L. u. 1-oji rūšis arba lygtys Dekarto koordinatėmis su... ...
1) hidromechanikoje skystos terpės judėjimo lygtys, parašytos Lagranžo kintamaisiais, kurie yra terpės dalelių koordinatės. Iš L. u. terpės dalelių judėjimo dėsnis nustatomas koordinačių priklausomybių nuo laiko forma, o iš jų... ... Didžioji sovietinė enciklopedija
|
Lagranžo metodas─ yra suvaržytos optimizavimo problemos sprendimo metodas, kai apribojimai, užrašyti kaip numanomos funkcijos, sujungiami su tiksline funkcija naujos lygties forma, vadinama Lagranžas.
Panagrinėkime specialų bendrosios netiesinio programavimo problemos atvejį:
Pateikta netiesinių lygčių sistema (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Raskite mažiausią (arba didžiausią) funkcijos reikšmę (2)
(2) f (x1,x2,…,xn),
jei nėra sąlygų, kad kintamieji būtų neneigiami, o f(x1,x2,…,xn) ir gi(x1,x2,…,xn) yra tolydžios funkcijos kartu su jų dalinėmis išvestinėmis.
Norėdami rasti šios problemos sprendimą, galite taikyti šį metodą: 1. Įveskite kintamųjų rinkinį λ1, λ2,..., λm, vadinamą Lagranžo daugikliais, sudarykite Lagranžo funkciją (3).
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Raskite Lagranžo funkcijos dalines išvestines kintamųjų xi ir λi atžvilgiu ir prilyginkite jas nuliui.
3. Spręsdami lygčių sistemą, jie randa taškus, kuriuose uždavinio tikslinė funkcija gali turėti ekstremumą.
4. Tarp taškų, kurie yra įtartini, o ne ekstremumas, suraskite tuos, kuriuose pasiekiamas ekstremumas, ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes šiuose taškuose .
4. Palyginkite gautas funkcijos f reikšmes ir pasirinkite geriausią.
Pagal gamybos planą įmonei reikia pagaminti 180 gaminių. Šie gaminiai gali būti gaminami dviem technologiniais būdais. Gaminant x1 gaminius I metodu, sąnaudos yra 4*x1+x1^2 rubliai, o gaminant x2 gaminius II būdu – 8*x2+x2^2 rubliai. Nustatykite, kiek gaminių turi būti pagaminta naudojant kiekvieną metodą, kad bendros gamybos sąnaudos būtų minimalios.
Sprendimas: Matematinė uždavinio formuluotė susideda iš dviejų kintamųjų mažiausios funkcijos reikšmės nustatymo:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, jei x1 +x2 = 180.
Sudarykime Lagrange funkciją:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Apskaičiuokime jo dalines išvestines x1, x2, λ atžvilgiu ir prilyginkime jas 0:
Perkelkime λ į dešiniąsias pirmųjų dviejų lygčių puses ir sulyginkime jų kairiąsias puses, gausime 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 arba x1 − x2 = 2.
Išspręsdami paskutinę lygtį kartu su lygtimi x1 + x2 = 180, randame x1 = 91, x2 = 89, tai yra, gavome sprendinį, kuris tenkina sąlygas:
Raskime tikslo funkcijos f reikšmę šioms kintamųjų reikšmėms:
F(x1, x2) = 17278
Šis taškas yra įtartinas kraštutiniam taškui. Naudojant antrąsias dalines išvestines, galime parodyti, kad taške (91.89) funkcija f turi minimumą.
LAGRANGE METODAS
Kvadratinės formos sumažinimo iki kvadratų sumos metodas, kurį 1759 m. nurodė J. Lagranžas. Tegul tai duota
iš kintamųjų x 0 , x 1 ,..., x p.
su koeficientais iš lauko k charakteristikos Šią formą būtina perkelti į kanoninę. protas
naudojant neišsigimusią tiesinę kintamųjų transformaciją. L. m susideda iš šių. Galime daryti prielaidą, kad ne visi (1) formos koeficientai yra lygūs nuliui.
Todėl galimi du atvejai. 1) Kai kuriems g,
įstrižainė Tada kur formoje f 1 (x) nėra kintamojo x g . 
2) Jei viskas
Bet
Tai kur formoje f 2 (x) nėra dviejų kintamųjų x g Ir x h .
Formos po kvadratiniais ženklais (4) yra tiesiškai nepriklausomos. Taikant (3) ir (4) formos transformacijas, forma (1) po baigtinio žingsnių skaičiaus sumažinama iki tiesiškai nepriklausomų tiesinių formų kvadratų sumos. Naudojant dalines išvestines formules (3) ir (4) galima užrašyti formoje Lit. : G a n t m a k h e r F. R., Matricų teorija, 2 leidimas, M., 1966; K u r o sh A. G., Aukštosios algebros kursas, 11 leid., M., 1975; Aleksandrovas P. S., Analitinės geometrijos paskaitos..., M., 1968 m.
I. V. Proskuryakovas. Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija
.
I. M. Vinogradovas.- Lagranžo metodas yra būdas išspręsti daugybę matematinio programavimo uždavinių klasių, ieškant Lagranžo funkcijos balno taško (x*, λ*), kuris pasiekiamas šios funkcijos dalines išvestines lyginant su nuliu. ... ... - papildomi veiksniai, transformuojantys ekstremalios išgaubto programavimo (ypač tiesinio programavimo) uždavinio objektyvią funkciją, sprendžiant ją vienu iš klasikinių metodų, daugiklių sprendimo metodą... ...
I. M. Vinogradovas.- Metodas, leidžiantis išspręsti daugybę matematinio programavimo uždavinių klasių, ieškant Lagranžo funkcijos balno taško (x*, ?*), kuris pasiekiamas šios funkcijos dalines išvestines xi ir?i atžvilgiu prilyginus nuliui. . Žiūrėkite Lagrangianą. )
