Taškai pažymėti vieneto apskritime. Kaip atsiminti taškus vieneto apskritime

Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti prie bendros nuomonės apie paradoksų esmę... į klausimo tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai; ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.

Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėjęs, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje taikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti: „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Tačiau tai nėra visiškas problemos sprendimas. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (žinoma, vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės ). Noriu atkreipti ypatingą dėmesį į tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.

2018 m. liepos 4 d., trečiadienis

Vikipedijoje labai gerai aprašyti rinkinio ir kelių rinkinių skirtumai. Pažiūrėsim.

Kaip matote, „rinkinyje negali būti dviejų identiškų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiškų elementų, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdiškos logikos. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kurie neturi intelekto iš žodžio „visiškai“. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.

Kadaise tiltą statę inžinieriai, bandydami tiltą, buvo valtyje po tiltu. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.

Kad ir kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš esu namuose“, tiksliau, „matematika tiria abstrakčias sąvokas“, yra viena virkštelė, neatskiriamai susiejanti jas su tikrove. Ši virkštelė yra pinigai. Taikykime matematinių aibių teoriją patiems matematikams.

Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, išduodame atlyginimus. Taigi matematikas ateina pas mus už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada paimame vieną sąskaitą iš kiekvienos krūvos ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Paaiškinkime matematikui, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.

Visų pirma, pasiteisins deputatų logika: „Tai gali būti taikoma kitiems, bet ne man! Tada jie pradės mus raminti, kad to paties nominalo banknotai turi skirtingus vekselių numerius, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi tais pačiais elementais. Gerai, skaičiuokime atlyginimus monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės pašėlusiai prisiminti fiziką: skirtingos monetos turi skirtingą kiekį nešvarumų, kiekvienos monetos kristalų struktūra ir atomų išsidėstymas savitas...

Ir dabar man kyla įdomiausias klausimas: kur yra ta riba, už kurios multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo nemeluoja.

Pažiūrėk čia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotai yra vienodi – tai reiškia, kad turime multiset. Bet jei pažiūrėtume į tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys yra ir rinkinys, ir kelių rinkinys. Kuris teisingas? O štai matematikas-šamanas-aštrininkas iš rankovės išsitraukia kozirių tūzą ir pradeda pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.

Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai veikia su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „neįsivaizduojamų kaip viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.

2018 m. kovo 18 d., sekmadienis

Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet štai kodėl jie yra šamanai, mokyti savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.

Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kuriais rašome skaičius, o matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti lengvai.

Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad surastume tam tikro skaičiaus skaitmenų sumą. Taigi, turėkime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.

1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į grafinį skaičiaus simbolį. Tai nėra matematinė operacija.

2. Vieną gautą paveikslėlį supjaustome į kelias nuotraukas, kuriose yra atskiri skaičiai. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.

3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.

4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai matematika.

Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai šamanų „kirpimo ir siuvimo kursai“, kuriuos naudoja matematikai. Bet tai dar ne viskas.

Matematiniu požiūriu nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje rašome skaičių. Taigi skirtingose ​​skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma bus skirtinga. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. Turėdamas didelį skaičių 12345, nenoriu suklaidinti galvos, panagrinėkime skaičių 26 iš straipsnio apie. Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nežiūrėsime į kiekvieną žingsnį po mikroskopu, mes jau tai padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.

Kaip matote, skirtingose ​​skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tas pats, kaip jei nustatytumėte stačiakampio plotą metrais ir centimetrais, gautumėte visiškai skirtingus rezultatus.

Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas už tai, kad. Klausimas matematikams: kaip matematikoje yra įvardijamas tai, kas nėra skaičius? O matematikams nieko nėra, išskyrus skaičius? Galiu tai leisti šamanams, bet ne mokslininkams. Realybė yra ne tik skaičiai.

Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais, juos palyginus, duoda skirtingus rezultatus, tai tai neturi nieko bendra su matematika.

Kas yra tikroji matematika? Tai yra tada, kai matematinės operacijos rezultatas nepriklauso nuo skaičiaus dydžio, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas atlieka šį veiksmą.

O! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta sielų nedefiliniam šventumui joms kylant į dangų tirti! Halo viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?

Moteriška... Aureole viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriškos lyties.

Jei toks dizaino meno kūrinys prieš akis blyksteli kelis kartus per dieną,

Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:

Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiančio žmogaus (viena nuotrauka) (kelių paveikslėlių kompozicija: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnių žymėjimas). Ir nemanau, kad ši mergina yra kvailė, kuri neišmano fizikos. Ji tiesiog turi stiprų grafinių vaizdų suvokimo stereotipą. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.

1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktaine tvarka. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, skaičių ir raidę automatiškai suvokia kaip vieną grafinį simbolį.

Tikiuosi, kad jau perskaitėte apie skaičių apskritimą ir žinote, kodėl jis vadinamas skaičių apskritimu, kur yra koordinačių pradžia ir kuri pusė yra teigiama kryptis. Jei ne, tada bėk! Nebent, žinoma, rasite taškų skaičių apskritime.

Žymime skaičius \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2)\)

Kaip žinote iš ankstesnio straipsnio, skaičių apskritimo spindulys yra \(1\). Tai reiškia, kad apskritimas yra lygus \(2π\) (apskaičiuojama pagal formulę \(l=2πR\)). Atsižvelgdami į tai, skaičių apskritime pažymime \(2π\). Norėdami pažymėti šį skaičių, turime eiti iš \(0\) išilgai skaičių apskritimo, atstumas lygus \(2π\) teigiama kryptimi, o kadangi apskritimo ilgis yra \(2π\), jis pasirodo, padarysime pilną revoliuciją. Tai reiškia, kad skaičius \(2π\) ir \(0\) atitinka tą patį tašką. Nesijaudinkite, kelios vieno taško reikšmės yra normalios skaičių apskritimui.

Dabar skaičių apskritime pažymėkime skaičių \(π\). \(π\) yra pusė \(2π\). Taigi, norėdami pažymėti šį skaičių ir atitinkamą tašką, turite eiti pusę apskritimo nuo \(0\) teigiama kryptimi.

Pažymime tašką \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) yra pusė \(π\), todėl norėdami pažymėti šį skaičių, turite eiti iš \(0\) teigiama kryptimi atstumu, lygiu pusei \( π\), tai yra ketvirčio apskritimas.

Pažymėkime apskritimo taškus \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Judame tuo pačiu atstumu kaip ir praeitą kartą, bet neigiama kryptimi.

Įdėkime \(-π\). Norėdami tai padaryti, nueisime pusę apskritimo neigiama kryptimi.

Dabar pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį. Ant apskritimo pažymėkime skaičių \(\frac(3π)(2)\). Norėdami tai padaryti, trupmeną \(\frac(3)(2)\) išverčiame į \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), t.y. e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Tai reiškia, kad nuo \(0\) reikia eiti teigiama kryptimi pusės apskritimo ir dar ketvirtadalio atstumu.

1 užduotis. Skaičių apskritime pažymėkite taškus \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\).

Žymime skaičius \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Aukščiau radome reikšmes skaičių apskritimo susikirtimo taškuose su \(x\) ir \(y\) ašimis. Dabar nustatykime tarpinių taškų padėtį. Pirmiausia nubrėžkime taškus \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ir \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) yra pusė \(\frac(π)(2)\) (ty \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , taigi atstumas \(\frac(π)(4)\) yra pusė ketvirčio apskritimo.

\(\frac(π)(4)\) yra trečdalis \(π\) (kitaip tariant, \(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), taigi atstumas \ (\frac(π)(3)\) yra puslankio trečdalis.

\(\frac(π)(6)\) yra pusė \(\frac(π)(3)\) (juk \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)), taigi atstumas \(\frac(π)(6)\) yra pusė atstumo \(\frac(π)(3)\) .

Štai kaip jie yra vienas kito atžvilgiu:

komentaras: Taškų, kurių reikšmė \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) (4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) geriau tiesiog atsiminti. Be jų skaičių ratas, kaip ir kompiuteris be monitoriaus, lyg ir naudingas dalykas, tačiau itin nepatogus naudoti.

Dabar pažymėkime apskritimo tašką \(\frac(7π)(6)\), kad tai padarytume, atliksime šias transformacijas: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . Iš to matome, kad nuo nulio teigiama kryptimi turime nuvažiuoti atstumą \(π\), o tada kitą \(\frac(π)(6)\) .

Pažymėkite apskritimo tašką \(-\)\(\frac(4π)(3)\). Transformuoti: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Tai reiškia, kad nuo \(0\) reikia eiti neigiama kryptimi atstumą \(π\) ir taip pat \(\frac(π)(3)\) .

Nubraižykime tašką \(\frac(7π)(4)\) , tam transformuosime \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . Tai reiškia, kad norint įdėti tašką su reikšme \(\frac(7π)(4)\) , reikia pereiti nuo taško, kurio reikšmė \(2π\) į neigiamą pusę \(\frac (π)(4)\) .

2 užduotis. Pažymėkite taškus \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) skaičių apskritimas (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Žymime skaičius \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

Parašykime \(10π\) forma \(5 \cdot 2π\). Prisimename, kad \(2π\) yra atstumas, lygus apskritimo ilgiui, todėl norint pažymėti tašką \(10π\), reikia pereiti nuo nulio iki atstumo, lygaus \(5\) apskritimams. Nesunku atspėti, kad vėl atsidursime taške \(0\), tereikia padaryti penkis apsisukimus.

Iš šio pavyzdžio galime daryti išvadą:

Skaičiai, kurių skirtumas yra \(2πn\), kur \(n∈Z\) (ty \(n\) yra bet koks sveikas skaičius) atitinka tą patį tašką.

Tai yra, norėdami įdėti skaičių, kurio reikšmė didesnė nei \(2π\) (arba mažesnė nei \(-2π\)), iš jo reikia išgauti lyginį skaičių \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) ir išmeskite. Taigi iš skaičių, kurie neturi įtakos taško padėčiai, pašalinsime „tuščius apsisukimus“.

Dar viena išvada:

Taškas, kurį atitinka \(0\), taip pat atitinka visus lyginius dydžius \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Dabar ratui pritaikykime \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), o tai reiškia, kad \(-3π\) ir \(–π\) yra toje pačioje apskritimo vietoje (nes skiriasi „tuščiu posūkiu“ \(-2π) \)).

Beje, ten bus ir visi nelyginiai \(π\).

Taškas, kurį atitinka \(π\), taip pat atitinka visus nelyginius dydžius \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Dabar pažymėkime skaičių \(\frac(7π)(2)\) . Kaip įprasta, transformuojame: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Išmetame du pi ir paaiškėja, kad norint pažymėti skaičių \(\frac(7π)(2)\), reikia pereiti nuo nulio teigiama kryptimi iki atstumo, lygaus \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (t.y. pusė apskritimo ir dar vienas ketvirtis).

Mokydamiesi trigonometrijos mokykloje kiekvienas mokinys susiduria su labai įdomia „skaičių apskritimo“ sąvoka. Tai, kaip mokinys vėliau išmoks trigonometrijos, priklauso nuo mokyklos mokytojo gebėjimo paaiškinti, kas tai yra ir kodėl ji reikalinga. Deja, ne kiekvienas mokytojas gali aiškiai paaiškinti šią medžiagą. Dėl to daugelis mokinių yra sutrikę net dėl ​​to, kaip pažymėti taškų skaičių apskritime. Jei perskaitysite šį straipsnį iki galo, sužinosite, kaip tai padaryti be jokių problemų.

Taigi pradėkime. Nubraižykime apskritimą, kurio spindulys lygus 1. Pažymėkime „dešinįjį“ šio apskritimo tašką raide O:

Sveikiname, ką tik nupiešėte vieneto apskritimą. Kadangi šio apskritimo spindulys yra 1, jo ilgis yra .

Kiekvienas realusis skaičius gali būti susietas su trajektorijos ilgiu išilgai skaičiaus apskritimo nuo taško O. Judėjimo kryptis prieš laikrodžio rodyklę laikoma teigiama kryptimi. Neigiamas – pagal laikrodžio rodyklę:

Taškų vieta skaičių apskritime

Kaip jau pažymėjome, skaičių apskritimo (vieneto apskritimo) ilgis yra lygus . Kur tada bus šio apskritimo numeris? Aišku, iš esmės O prieš laikrodžio rodyklę reikia nueiti pusę apskritimo ilgio, ir atsidursime norimame taške. Pažymėkime tai raide B:

Atkreipkite dėmesį, kad tą patį tašką galima pasiekti einant puslankiu neigiama kryptimi. Tada skaičių pavaizduotume vieneto apskritime. Tai yra, skaičiai atitinka tą patį tašką.

Be to, tas pats taškas taip pat atitinka skaičius , , , ir apskritai begalinę skaičių aibę, kurią galima parašyti forma , kur , tai yra, priklauso sveikųjų skaičių aibei. Visa tai, nes iš taško B galite atlikti „aplink pasaulį“ kelionę bet kuria kryptimi (pridėti arba atimti perimetrą) ir patekti į tą patį tašką. Gauname svarbią išvadą, kurią reikia suprasti ir atsiminti.

Kiekvienas skaičius atitinka vieną skaičių apskritimo tašką. Bet kiekvienas skaičių apskritimo taškas atitinka begalinį skaičių skaičių.

Dabar viršutinį skaičių apskritimo puslankį padalinkime į vienodo ilgio lankus pagal tašką C. Nesunku pastebėti, kad lanko ilgis O.C. lygus . Dabar atidėkime nuo taško C tokio pat ilgio lankas prieš laikrodžio rodyklę. Dėl to prieisime prie esmės B. Rezultatas yra gana laukiamas, nes . Vėl nutieskime šį lanką ta pačia kryptimi, bet dabar iš taško B. Dėl to prieisime prie esmės D, kuris jau atitiks skaičių:

Dar kartą atkreipkite dėmesį, kad šis taškas atitinka ne tik skaičių, bet ir, pavyzdžiui, skaičių, nes šį tašką galima pasiekti tolstant nuo taško O ketvirčio apskritimas pagal laikrodžio rodyklę (neigiama kryptimi).

Ir apskritai dar kartą pažymime, kad šis taškas atitinka be galo daug skaičių, kuriuos galima parašyti forma . Bet jie taip pat gali būti parašyti forma . Arba, jei norite, forma . Visi šie įrašai yra visiškai lygiaverčiai ir juos galima gauti vienas iš kito.

Dabar padalinkime lanką į O.C. pusė taško M. Dabar išsiaiškinkite, koks yra lanko ilgis OM? Teisingai, pusė lanko O.C.. tai yra . Kokius skaičius atitinka taškas? M ant skaičių apskritimo? Esu tikras, kad dabar jūs suprasite, kad šiuos skaičius galima parašyti kaip .

Bet tai galima padaryti kitaip. Paimkim. Tada mes tai gauname . Tai yra, šie skaičiai gali būti parašyti formoje . Tą patį rezultatą galima gauti naudojant skaičių apskritimą. Kaip jau sakiau, abu įrašai yra lygiaverčiai ir juos galima gauti vienas iš kito.

Dabar galite lengvai pateikti skaičių, kuriuos atitinka taškai, pavyzdį N, P Ir K ant skaičių apskritimo. Pavyzdžiui, skaičiai ir:

Dažnai tai yra minimalūs teigiami skaičiai, kurie nurodo atitinkamus skaičių apskritimo taškus. Nors tai visai nebūtina, taškas N, kaip jau žinote, atitinka begalinį skaičių kitų skaičių. Įskaitant, pavyzdžiui, numerį.

Jei sulaužysite lanką O.C.į tris vienodus lankus su taškais S Ir L, tai esmė tokia S bus tarp taškų O Ir L, tada lanko ilgis OS bus lygus , ir lanko ilgis OL bus lygus . Naudodamiesi žiniomis, kurias įgijote ankstesnėje pamokos dalyje, galite lengvai išsiaiškinti, kaip pasirodė likę skaičių apskritimo taškai:

Skaičiai, kurie nėra skaičių apskritimo π kartotiniai

Dabar užduokime sau klausimą: kur skaičių eilutėje pažymėti tašką, atitinkantį skaičių 1? Norėdami tai padaryti, turite pradėti nuo „teisingiojo“ vieneto apskritimo taško O nubraižyti lanką, kurio ilgis būtų lygus 1. Galime tik apytiksliai nurodyti norimo taško vietą. Tęskime taip.

Koordinatės x taškai, esantys ant apskritimo, yra lygūs cos(θ) ir koordinatėms y atitinka sin(θ), kur θ yra kampo dydis.

• Jei jums sunku prisiminti šią taisyklę, tiesiog atminkite, kad poroje (cos; sin) „sinusas yra paskutinis“.
• Šią taisyklę galima išvesti atsižvelgiant į stačiuosius trikampius ir šių trigonometrinių funkcijų apibrėžimą (kampo sinusas lygus priešingos kraštinės ilgio, o gretimos kraštinės kosinuso ir hipotenuzės santykiui).

Jei į koordinačių plokštumą įdėsite vieneto numerio apskritimą, galėsite rasti jo taškų koordinates. Skaičių apskritimas išdėstytas taip, kad jo centras sutaptų su plokštumos pradžia, ty tašku O (0; 0).

Paprastai ant vieneto skaičiaus apskritimo yra pažymėti taškai, atitinkantys apskritimo pradžią

• ketvirčiai – 0 arba 2π, π/2, π, (2π)/3,
• viduriniai ketvirčiai – π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• trečdaliai ketvirčių – π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinačių plokštumoje, ant kurios yra aukščiau nurodyta vieneto apskritimo vieta, galite rasti koordinates, atitinkančias šiuos apskritimo taškus.

Kvartalų galų koordinates labai lengva rasti. Apskritimo taške 0 x koordinatė lygi 1, o y koordinatė lygi 0. Galime pažymėti kaip A (0) = A (1; 0).

Pirmojo ketvirčio pabaiga bus teigiama y ašyje. Todėl B (π/2) = B (0; 1).

Antrojo ketvirčio pabaiga yra neigiamoje pusašyje: C (π) = C (-1; 0).

Trečiojo ketvirčio pabaiga: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Bet kaip rasti ketvirčių vidurio taškų koordinates? Norėdami tai padaryti, sukurkite stačiakampį trikampį. Jo hipotenuzė yra atkarpa nuo apskritimo centro (arba pradžios) iki ketvirčio apskritimo vidurio. Tai yra apskritimo spindulys. Kadangi apskritimas yra vienetas, hipotenuzė lygi 1. Tada nubrėžkite statmeną iš apskritimo taško į bet kurią ašį. Tegul jis yra link x ašies. Rezultatas yra stačiakampis trikampis, kurio kojų ilgiai yra apskritimo taško x ir y koordinatės.

Ketvirtadalis apskritimo yra 90º. Ir pusė ketvirtadalio yra 45º. Kadangi hipotenuzė nubrėžta iki kvadranto vidurio, kampas tarp hipotenuzės ir kojos, besitęsiančios nuo pradžios, yra 45º. Bet bet kurio trikampio kampų suma yra 180º. Todėl kampas tarp hipotenuzės ir kitos kojos taip pat išlieka 45º. Dėl to susidaro lygiašonis stačiakampis trikampis.

Iš Pitagoro teoremos gauname lygtį x 2 + y 2 = 1 2. Kadangi x = y ir 1 2 = 1, lygtis supaprastėja iki x 2 + x 2 = 1. Ją išsprendę gauname x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Taigi taško koordinatės M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Kitų ketvirčių vidurio taškų koordinatėse pasikeis tik ženklai, o reikšmių moduliai išliks tokie patys, nes stačiakampis trikampis bus tik apverstas. Mes gauname:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Nustatant apskritimo ketvirčių trečiųjų dalių koordinates, statomas ir stačiakampis trikampis. Jei paimsime tašką π/6 ir nubrėžsime statmeną x ašiai, kampas tarp hipotenuzės ir kojos, esančios ant x ašies, bus 30º. Yra žinoma, kad koja, esanti priešais 30º kampą, yra lygi pusei hipotenuzės. Tai reiškia, kad radome y koordinatę, ji lygi ½.

Žinodami hipotenuzės ir vienos kojos ilgius, naudodamiesi Pitagoro teorema, randame kitą koją:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 – ¼ = ¾
x = √3/2

Taigi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Pirmojo ketvirčio antrojo trečdalio taškui (π/3) y ašiai geriau nubrėžti statmeną ašiai. Tada kampas taške taip pat bus 30º. Čia x koordinatė bus lygi ½, o y atitinkamai √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Kituose trečiojo ketvirčio taškuose pasikeis koordinačių reikšmių ženklai ir tvarka. Visi taškai, esantys arčiau x ašies, turės modulio x koordinatės reikšmę, lygią √3/2. Tie taškai, kurie yra arčiau y ašies, turės modulio y reikšmę, lygią √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)