1. Užduotis.
Kokiomis parametrų reikšmėmis a lygtis ( a - 1)x 2 + 2x + a- Ar 1 = 0 turi tiksliai vieną šaknį?
1. Sprendimas.
At a= 1 lygtis yra 2 x= 0 ir akivaizdžiai turi vieną šaknį x= 0. Jei a 1, tada ši lygtis yra kvadratinė ir turi vieną šaknį toms parametrų reikšmėms, kurioms esant kvadratinio trinalio diskriminantas yra lygus nuliui. Prilyginę diskriminantą nuliui, gauname parametro lygtį a
4a 2 - 8a= 0, iš kur a= 0 arba a = 2.
1. Atsakymas: lygtis turi vieną šaknį ties a O (0; 1; 2).
2. Užduotis.
Raskite visas parametrų reikšmes a, kurio lygtis turi dvi skirtingas šaknis x 2 +4kirvis+8a+3 = 0.
2. Sprendimas.
Lygtis x 2 +4kirvis+8a+3 = 0 turi dvi skirtingas šaknis tada ir tik tada D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Gauname (sumažinus bendrą koeficientą 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, iš kur
2. Atsakymas:
| a O (-Ґ ; 1 – | Ts 7 2 |
) IR (1 + | Ts 7 2 |
; Ґ ). |
3. Užduotis.
Yra žinoma, kad
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Nubraižykite funkciją f 1 (x) adresu a = 1.
b) Kokia verte a funkcijų grafikai f 1 (x) Ir f 2 (x) turi vieną bendrą dalyką?
3. Sprendimas.
3.a. Transformuokime f 1 (x) taip
Šios funkcijos grafikas ties a= 1 parodyta paveikslėlyje dešinėje.
3.b. Iš karto atkreipkime dėmesį į tai, kad funkcijų grafikai y =
kx+b Ir y = kirvis 2 +bx+c
(a Nr. 0) susikerta viename taške tada ir tik tada, kai kvadratinė lygtis kx+b =
kirvis 2 +bx+c turi vieną šaknį. Rodinio naudojimas f 1 iš 3.a, sulyginkime lygties diskriminantą a = 6x-x 2-6 iki nulio. Iš lygties 36-24-4 a= 0 gauname a= 3. Tą patį padarykite su 2 lygtimi x-a = 6x-x 2 -6 rasime a= 2. Nesunku patikrinti, ar šios parametrų reikšmės atitinka problemos sąlygas. Atsakymas: a= 2 arba a = 3.
4. Užduotis.
Raskite visas vertes a, kuriai nelygybės sprendinių aibė x 2 -2kirvis-3a i 0 yra segmentas .
4. Sprendimas.
Pirmoji parabolės viršūnės koordinatė f(x) =
x 2 -2kirvis-3a lygus x 0 =
a. Iš kvadratinės funkcijos savybių sąlyga f(x) i 0 segmente yra lygus trijų sistemų rinkiniui
turi lygiai du sprendimus?
5. Sprendimas.
Perrašykime šią lygtį į formą x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Tai kvadratinė lygtis, ji turi lygiai du sprendinius, jei jos diskriminantas yra griežtai didesnis už nulį. Apskaičiuojant diskriminantą, matome, kad sąlyga, kad būtų lygiai dvi šaknys, yra nelygybės išsipildymas a 2 +a-6 > 0. Išspręsdami nelygybę, randame a < -3 или a> 2. Akivaizdu, kad pirmoji iš nelygybių neturi natūraliųjų skaičių sprendinių, o mažiausias natūralusis antrojo sprendinys yra skaičius 3.
5. Atsakymas: 3.
6. Problema (10 klavišų)
Raskite visas vertes a, kuriai funkcijos grafikas arba, po akivaizdžių transformacijų, a-2 = |
2-a| . Paskutinė lygtis yra lygiavertė nelygybei a aš 2.
6. Atsakymas: a O \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]). $
Sujungiame atsakymus ir gauname reikiamą rinkinį: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Atsakymas.$a\in(-\infty;-3)\cup$.
Kokioms parametro $a$ reikšmėms nelygybė $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ neturi sprendinių?
Sprendimas
- Jei $a = 0$, tai ši nelygybė išsigimsta į nelygybę $5 \leqslant 0$, kuri neturi sprendinių. Todėl reikšmė $a = 0$ atitinka uždavinio sąlygas.
- Jei $a > 0$, tai kvadratinio trinalio grafikas kairėje nelygybės pusėje yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų. Apskaičiuokime $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Nelygybė neturi sprendinių, jei parabolė yra virš x ašies, tai yra, kai kvadratinis trinaris neturi šaknų ($ D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Jei $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Atsakymas.$a \in \left$ yra tarp šaknų, todėl turi būti dvi šaknys (tai reiškia $a\ne 0$). Jei parabolės $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ šakos nukreiptos aukštyn, tai $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ ir $y(1) > 0$.
I atvejis. Tegul $a > 0$. Tada
$\left\( \begin(masyvas)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(masyvas) \dešinė. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(masyvas) \right.\quad \Leftright arrow \quad a>3. $
Tai yra, šiuo atveju pasirodo, kad tinka visi $a > 3$.
II atvejis. Tegul $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(masyvas)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Tai yra, šiuo atveju paaiškėja, kad visi $a yra tinkami< -1$.
Atsakymas.$a\in (-\infty ;-1)\puodelis (3;+\infty)$
Raskite visas parametro $a$ reikšmes, kurių kiekvienai lygčių sistema
$ \begin(atvejai) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(atvejai) $
turi lygiai du sprendimus.
Sprendimas
Iš pirmojo atimkite antrąjį: $(x-y)^2 = 1$. Tada
$ \left[\begin(masyvas)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(masyvas)\right. \quad \Rodyklė į kairę \keturkampis \kairė[\begin(masyvas)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(masyvas)\dešinė. $
Pakeitę gautas išraiškas į antrąją sistemos lygtį, gauname dvi kvadratines lygtis: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ ir $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Kiekvieno iš jų diskriminantas yra $D = 16a-4$.
Atkreipkite dėmesį, kad negali atsitikti taip, kad pirmosios kvadratinės lygties šaknų pora sutaptų su antrosios kvadratinės lygties šaknų pora, nes pirmosios šaknų suma yra $-1 $, o antrosios - 1 .
Tai reiškia, kad kiekviena iš šių lygčių turi turėti vieną šaknį, tada pradinė sistema turės du sprendinius. Tai yra, $ D = 16a - 4 = 0 $.
Atsakymas.$a=\dfrac(1)(4)$
Raskite visas parametro $a$ reikšmes, kurių kiekvienos lygtis $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ turi dvi šaknis.
Sprendimas
Perrašykime lygtį taip:
9 USD|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
Apsvarstykite funkciją $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
Kai $x\geqslant 3$, pirmasis modulis išplečiamas pliuso ženklu, o funkcija yra tokia: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Akivaizdu, kad bet kokiu modulių išplėtimu gaunama tiesinė funkcija su koeficientu $k\geqslant 5-3-1=1>0$, tai yra, ši funkcija per tam tikrą intervalą didėja neribotai.
Dabar panagrinėkime intervalą $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Taigi, gavome, kad $x=3$ yra mažiausias šios funkcijos taškas. Tai reiškia, kad tam, kad pradinė lygtis turėtų du sprendinius, funkcijos reikšmė minimaliame taške turi būti mažesnė už nulį. Tai reiškia, kad galioja ši nelygybė: $ f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftright rodyklė \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Leftright arrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Atsakymas.$a \in (-24; 18)$ Kokioms parametro $a$ reikšmėms lygtis $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ turi unikalią šaknį? Pakeiskime: $t = 5^x > 0$. Tada pradinė lygtis įgauna kvadratinės lygties formą: $t^2-3t+a-1 =0$. Pradinė lygtis turės vieną šaknį, jei ši lygtis turi vieną teigiamą šaknį arba dvi šaknis, iš kurių viena yra teigiama, o kita neigiama. Lygties diskriminantas yra: $D = 13-4a$. Ši lygtis turės vieną šaknį, jei gautas diskriminantas bus lygus nuliui, ty $a = \dfrac(13)(4)$. Šiuo atveju šaknis $t=\dfrac(3)(2) > 0$, todėl ši $a$ reikšmė tinka. Jei yra dvi šaknys, iš kurių viena yra teigiama, o kita yra neteigiama, tada $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ ir $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ . Tai yra $a\in(-\infty;1]$ Atsakymas.$a\in(-\infty;1]\puodelis\kairė\(\dfrac(13)(4)\right\)$ Raskite visas parametro $a$ reikšmes, kurioms sistema skirta $ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(atvejai) $ turi lygiai du sprendimus. Transformuokime sistemą į tokią formą: $ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(atvejai)$ Kadangi parametras $a$ yra logaritmo bazėje, jam taikomi tokie apribojimai: $a>0$, $a \ne 1$. Kadangi kintamasis $y$ yra logaritmo argumentas, tai $y > 0$. Sujungę abi sistemos lygtis, pereiname prie lygties: $\log_a y = y^2$. Priklausomai nuo to, kokias reikšmes įgyja parametras $a$, galimi du atvejai: Atsakymas.$a\in(0;1)$ Panagrinėkime atvejį, kai $a > 1$. Kadangi didelėms absoliučioms $t$ reikšmėms funkcijos $f(t) = a^t$ grafikas yra virš tiesės $g(t) = t$, tai vienintelis bendras taškas gali būti tik taškas liečiamumo. Tegul $t_0$ yra liesties taškas. Šiuo metu išvestinė iš $f(t) = a^t$ yra lygi vienybei (liestinės kampo liestinė), be to, abiejų funkcijų reikšmės sutampa, tai yra, sistema vyksta: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(atvejai) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(atvejai) $ Iš kur $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftright arrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ Tuo pačiu metu tiesioginės ir eksponentinės funkcijos akivaizdžiai neturi kitų bendrų taškų. Atsakymas.$a \in (0;1] \puodelis \kairė\(e^(e^(-1))\dešinė\)$Sprendimas
Sprendimas
