Raskite atkarpą dalijančio taško m koordinates. Segmento padalijimas šiame santykyje

Tegu nurodyta nukreipta atkarpa AB; jie sako, kad tai yra esmė

Šios tiesės M dalija atkarpą AB santykiu, lygiu X, kur yra savavališkas realusis skaičius, jei

Kai taškas M yra tarp taškų A ir B (ty atkarpos viduje

AB), tada vektoriai AM ir MB nukreipti ta pačia kryptimi (2 pav.), o santykis (1) yra teigiamas.

Kai taškas M yra už atkarpos ribų

AB, tada vektoriai AM ir MB nukreipti priešingomis kryptimis (3 pav.) ir santykis (1) yra neigiamas.

Pažiūrėkime, kaip pasikeičia santykis (1), kai taškas M eina per visą tiesę. Kai taškas M sutampa su tašku A, tada santykis (1) lygus nuliui; jei tada taškas M eina per atkarpą AB kryptimi nuo A iki B, tai santykis (1) nuolat didėja ir tampa savavališkai didelis, kai taškas M artėja prie B. Kai , tada trupmena (1) praranda reikšmę, nes jos vardiklis virsta nuliniu vektoriumi. Toliau taškui judant tiesia linija ta pačia kryptimi (3 pav., a į dešinę nuo B), santykis (1) tampa neigiamas, o jei Z yra pakankamai arti B, tai šis santykis turi savavališkai didelė absoliuti vertė.

Nuo tada (pagal 4 punkto 8 teiginį) turime

Kai taškas M, visą laiką judėdamas ta pačia kryptimi (mūsų 3 pav. a iš kairės į dešinę), eina tiesiai į begalybę, tada trupmena linkusi į nulį (nes jo skaitiklis išlieka pastovus, o vardiklis didėja neribotai) , todėl santykis , - linkęs į -1.

Dabar M eis į „kairę“ iš dviejų pustiesių, į kurias taškas A padalija tiesę (ty į pustiesę, kurioje nėra atkarpos AB). Jei šiuo atveju taškas M yra pakankamai toli nuo taško A, tai , vėlgi, yra savavališkai mažas ir todėl formulėje santykis savavališkai mažai skiriasi nuo -1. Taškui M artėjant prie taško A iš kairės (3 pav., b), santykis (I), nors ir išlieka neigiamas, absoliučia verte nuolat mažėja ir galiausiai tampa lygus nuliui, kai taškas M grįžta į tašką A.

Atkreipkite dėmesį, kad jokiame taške M padėtis tiesėje nėra lygus -1. Tiesą sakant, santykis yra neigiamas tik tada, kai taškas M yra už atkarpos AB ribų. Bet šiuo atveju segmentai AM ir MB niekada nėra lygūs, t.y.

Dabar tiesėje bus sukurta koordinačių sistema, o O yra šios sistemos pradžia. Taško A koordinates per tašką B pažymėkime , o kintamąjį tašką M - . Tada

Tam tikro taško C, kuris tam tikru santykiu padalija tam tikrą atkarpą AB, koordinates galima atlikti naudojant formules:

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),

čia (xA; yA) ir (xB; yB) yra duotosios atkarpos AB galų koordinatės; skaičius λ = AC/CB – santykis, kuriuo atkarpa AB dalinama iš taško C, turinčio koordinates (xC; yC).

Jei atkarpa AB padalinta per pusę iš taško C, tada skaičius λ = 1 ir xC bei yC formulės yra tokios formos:

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.

Reikia turėti omenyje, kad uždaviniuose λ yra atkarpų ilgių santykis, todėl į šį santykį įtraukti skaičiai nėra pačių atkarpų ilgiai tam tikrame matavimo vienete. Pavyzdžiui, AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.

1. Ieškokite tam tikros atkarpos vidurio koordinačių, naudodami nurodytas jo galų koordinates

1 pavyzdys.

Taškai A(-2; 3) ir B(6; -9) yra atkarpos AB galai. Raskite tašką C, kuris yra atkarpos AB vidurio taškas.

Sprendimas.

Problemos teiginys teigia, kad xA = -2; xB = 6; yA = 3 ir yB = -9. Turime rasti C(xC; yC).

Taikydami formules xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, gauname:

xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.

Taigi taškas C, kuris yra atkarpos AB vidurys, turi koordinates (-2; 3) (1 pav.).
2. Tam tikro atkarpos pabaigos koordinačių skaičiavimas, žinant jo vidurio ir kito galo koordinates.

2 pavyzdys.

Vienas atkarpos AB galas yra taškas A, kurio koordinatės (-3; -5), o vidurio taškas yra taškas C(3; -2). Apskaičiuokite atkarpos antrojo galo - taško B koordinates.

Sprendimas.

Pagal uždavinio sąlygas paaiškėja, kad xA = -3; yA = -5; xC = 3 ir yC = -2.

Pakeitę šias reikšmes į formules xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, gauname:

3 = (-3 + xB)/2 ir

2 = (-5 + uV)/2.

Išsprendę pirmąją xB lygtį, o antrąją – yB, randame: xB = 9 ir yB = 1, paaiškėja, kad norimas taškas B bus nurodytas koordinatėmis (9; 1) (2 pav.).

3. Tam tikro trikampio viršūnių koordinačių skaičiavimas iš nurodytų jo kraštinių vidurio taškų koordinačių.

3 pavyzdys.

Trikampio ABC kraštinių vidurio taškai yra taškai D(1; 3), E(-1; -2) ir F(4; -1). Raskite šio trikampio viršūnių A, B ir C koordinates.

Sprendimas.

Tegul taškas D yra kraštinės AB vidurio taškas, taškas E yra BC vidurio taškas, o taškas F yra kraštinės AC vidurio taškas (3 pav.). Turite rasti taškus A, B ir C.

Trikampio viršūnes pažymime A(xA; yA), B(xB; yB) ir C(xC; yC) ir žinodami taškų D, E ir F koordinates, pagal formules xC = (xA + xB )/2, yC = (yA + уВ)/2 gauname:

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,

(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.

Sumažinkime lygtis į visą jų formą:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.

Išsprendę sistemas gauname:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.

Taškai A(6; 4), B(-4; 2) ir C(2; -6) yra būtinos trikampio viršūnės.

4. Taškų, skiriančių atkarpą tam tikru santykiu, koordinačių skaičiavimas pagal nurodytas šios atkarpos galų koordinates.

4 pavyzdys.

Atkarpa AB padalinta iš taško C santykiu 3:5 (skaičiuojant nuo taško A iki taško B). Atkarpos AB galai yra taškai A(2; 3) ir B(10; 11). Raskite tašką C.

Sprendimas.

Problemos teiginys teigia, kad xA = 2; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. Raskite C(xC; yC) (4 pav.).

naudodamiesi formulėmis xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) gauname:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 ir yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Taigi, turime C( 5; 6).

Patikrinkime: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.

komentuoti. Uždavinio sąlygos rodo, kad atkarpos padalijimas atliekamas tam tikru santykiu nuo taško A iki taško B. Jei tai nebūtų nurodyta, uždavinys turėtų du sprendimus. Antrasis sprendimas: padalinti atkarpą iš taško B į tašką A.

5 pavyzdys.

Tam tikra atkarpa AB padalinta santykiu 2:3:5 (skaičiuojant nuo taško A iki taško B), jos galai yra taškai su koordinatėmis A (-11; 1) ir B (9; 11). Raskite šio segmento padalijimo taškus.

Sprendimas.

Atkarpos nuo A iki B padalijimo taškus pažymėkime C ir D. Problemos teiginys teigia, kad
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Raskite C(xC; yC) ir D(xD; yD), jei AC: CD: DB = 2:3:5.

Taškas C dalija atkarpą AB santykiu λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.

Naudodami formules xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) gauname:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 ir yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

Taigi C(-7; 3).

Taškas D yra atkarpos AB vidurio taškas. Taikydami formules xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2, gauname:

xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. Tai reiškia, kad D turi koordinates (-1; 6).

5. Taškų, skiriančių atkarpą, koordinačių skaičiavimas, jei pateiktos šios atkarpos galų koordinatės ir dalių, į kurias ši atkarpa padalinta, skaičius.

6 pavyzdys.

Atkarpos galai yra taškai A(-8; -5) ir B(10; 4). Raskite taškus C ir D, kurie padalija šią atkarpą į tris lygias dalis.

Sprendimas.

Iš uždavinio sąlygų žinoma, kad xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 ir n = 3. Raskite C(xC; yC) ir D(xD; yD) (5 pav.).

Raskime tašką C. Jis atkarpą AB padalija santykiu λ = 1/2. Dalijame iš taško A į tašką B. Naudodami formules xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) gauname:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 ir yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Taigi, C(-2; -2).

Segmento CB padalijimas atliekamas santykiu 1: 1, todėl naudojame formules

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. Taigi, D(4; 1).

Padalinimo taškai C(-2; -2) ir D(4; 1).

Pastaba: Tašką D galima rasti atkarpą AB padalijus santykiu 2:1. Tokiu atveju vėl reikės taikyti formules xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) + λyB) / (1 + λ).

7 pavyzdys.

Taškai A(5; -6) ir B(-5; 9) yra atkarpos galai. Raskite taškus, kurie duotąją atkarpą padalins į penkias lygias dalis.

Sprendimas.

Tegul vienas po kito einantys padalijimo taškai nuo A iki B yra C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) ir F(xF; yF). Uždavinio sąlygos sako, kad xA = 5; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 ir n = 5.

Naudodami formules xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) randame tašką C. Jis padalija atkarpą AB santykiu λ = 1/4:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 ir yС = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, mes gaukite, kad taškas C turi koordinates (3; -3).

Atkarpa AB dalijama iš taško D santykiu 2:3 (t.y. λ = 2/3), todėl:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 ir yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, taigi D (1; 0).

Raskime tašką E. Jis padalija atkarpą AB santykiu λ = 2/3:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 ir yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Taigi Taigi E(-1; 3).

Taškas F padalija atkarpą AB santykiu λ = 4/1, todėl:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 ir yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

Padalinimo taškai C(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) ir F(-3; 6).

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti segmentų padalijimo problemą?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Jei taškas M(x;y) yra tiesėje, einančioje per du nurodytus taškus M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2), o santykis λ = M 1 M/MM 2 yra duota, kuriame taške M dalija atkarpą M 1 M 2, tada taško M koordinates

nustatomos formulėmis

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

Jei taškas M yra atkarpos M 1 M 2 vidurio taškas, tada jo koordinatės nustatomos pagal formules

x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2

86. Duoti vienarūšio strypo galai A(3; -5) ir 6(-1; 1). Nustatykite jo svorio centro koordinates.

87. Vienalyčio strypo svorio centras yra taške M(1; 4), vienas jo galų yra taške P(-2; 2). Nustatykite kito šio strypo galo Q taško koordinates

88. Duotos trikampio A(1; -3), 6(3; -5) ir C(-5; 7) viršūnės. Nustatykite jo kraštinių vidurio taškus.

89. Duoti du taškai A(3; - 1) ir B(2; 1). Apibrėžkite:

1) taško M koordinatės, simetriškos taškui A taško B atžvilgiu;

2) taško N koordinatės, simetriškos taškui B taško A atžvilgiu.

90. Taškai M(2; -1), N(-1; 4) ir P(-2; 2) yra trikampio kraštinių vidurio taškai. Nustatykite jo viršūnes.

91. Duotos trys lygiagretainio A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3) viršūnės. Nustatykite ketvirtąją viršūnę D, priešingą B.

92. Duotos dvi gretimos lygiagretainio A(-3; 5), B(1; 7) viršūnės ir jo įstrižainių susikirtimo taškas M(1; 1). Nustatykite dar dvi viršūnes.

93. Duotos trys lygiagretainio ABCD viršūnės A(2; 3), 6(4; -1) ir C(0; 5). Raskite jos ketvirtąją viršūnę D.

94. Duotos trikampio A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2) viršūnės. Nustatykite jo vidurio ilgį, nubrėžtą iš viršūnės B.

95. Atkarpa, kurią riboja taškai A (1;-3) ir B(4; 3), padalinta į tris lygias dalis. Nustatykite padalijimo taškų koordinates.

96. Duotos trikampio A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) viršūnės. Raskite jos vidinio kampo viršūnėje B susikirtimo tašką su kraštine AC.

97. Duotos trikampio A(3; -5), B(-3; 3) ir C(-1; -2) viršūnės. Nustatykite jo vidinio kampo puskampio ilgį viršūnėje A.

98. Duotos trikampio A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) viršūnės. Raskite susikirtimo tašką su jos išorinio kampo pusės BC kraštinės tęsiniu viršūnėje A.

99. Duotos trikampio A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2) viršūnės. Nustatykite jo išorinio kampo puskampio ilgį viršūnėje B.

100. Duoti trys taškai A(1; -1), B(3; 3) ir C(4; 5), esantys toje pačioje tiesėje. Nustatykite santykį λ, kuriuo kiekvienas iš jų padalija atkarpą, kurią riboja kiti du.

101. Nustatykite atkarpos, kuri taškais P(2; 2) ir Q (1; 5) padalinta į tris lygias dalis, galų A ir B koordinates.

102. Tiesė eina per taškus M 1 (-12; -13) ir M 2 (- 2; -5). Raskite šioje tiesėje tašką, kurio abscisė yra 3.

103. Tiesė eina per taškus M(2; -3) ir N(-6; 5). Šioje tiesėje raskite tašką, kurio ordinatė yra -5.

104. Tiesė eina per taškus A(7; -3) ir B(23;. -6). Raskite šios linijos susikirtimo tašką su abscisių ašimi.

105. Tiesė eina per taškus A(5; 2) ir B(-4; -7). Raskite šios tiesės susikirtimo tašką su ordinačių ašimi.

106. Duotos keturkampio A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) ir D(5; 8) viršūnės. Nustatykite santykį, kuriuo jo įstrižainė AC dalija įstrižainę BD.

107. Duotos keturkampio A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) ir D(6; 10) viršūnės. Nustatykite jo įstrižainių AC ir BD susikirtimo tašką.

108. Duotos vienalytės trikampės plokštės A(x 1 ; y 1), B(x 2 ; y 2) ir C(x 3 ; y 3) viršūnės. Nustatykite jo svorio centro koordinates,

Pastaba. Svorio centras yra medianų susikirtimo taške.

109. Trikampio medianų susikirtimo taškas M yra abscisių ašyje, dvi jo viršūnės yra taškai A(2; -3) ir B(-5; 1), trečioji viršūnė C yra ordinačių ašyje . Nustatykite taškų M ir C koordinates.

110. Duotos vienalytės trikampės plokštės A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ir C(x 3; y 3) viršūnės. Jei sujungsite jo kraštinių vidurio taškus, susidaro nauja vienalytė trikampė plokštė. Įrodykite, kad abiejų plokščių svorio centrai sutampa.

Pastaba. Naudokite 108 uždavinio rezultatą.

111. Vienalytė plokštė turi kvadrato formą, kurios kraštinė lygi 12, kurioje padarytas kvadratinis pjūvis, tiesios pjūvio linijos eina per kvadrato centrą, ašis

koordinatės nukreiptos išilgai plokštės kraštų (4 pav.). Nustatykite šios plokštės svorio centrą.

112. Vienalytė plokštė yra stačiakampio, kurio kraštinės lygios a ir b, formos, kurioje padaryta stačiakampė išpjova; pjovimo linijos eina per centrą, koordinačių ašys nukreiptos išilgai plokštės kraštų (5 pav.). Nustatykite šios plokštės svorio centrą.

113. Vienalytė plokštė turi kvadrato, kurio kraštinė lygi 2a, formą, iš kurios išpjautas trikampis; pjovimo linija jungia dviejų gretimų kraštinių vidurio taškus, koordinačių ašys nukreiptos išilgai plokštės kraštų (6 pav.). Nustatykite plokštės svorio centrą.

114. Šiuose taškuose A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ir C(x 3; y 3) masės m, n ir p sukoncentruotos. Nustatykite šios trijų masių sistemos svorio centro koordinates.

115. Taškai A (4; 2), B (7; -2) ir C (1; 6) yra trikampio, pagaminto iš vienodos vielos, viršūnės. Nustatykite šio trikampio svorio centrą.

Tegul taškai M 1, M 2, M 3 yra toje pačioje tiesėje. Jie sako, kad taškas M padalija atkarpą M 1 M 2 santykyje λ(λ≠-1), jei .
Tegul žinomos taškų M 1 ir M 2 koordinatės, palyginti su kokia nors koordinačių sistema: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), tada koordinatės taškas M(x, y, z ) tos pačios koordinačių sistemos atžvilgiu randamas naudojant formules:
Jei taškas M yra atkarpos M 1 M 2 viduryje, tai , tai yra, λ=1, o formulės (*) bus tokios formos:

(**)

Norėdami išspręsti problemą, naudokite šią skaičiuoklę:

1. Taškai nurodomi dviem koordinatėmis: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
2. Taškai nurodomi trimis koordinatėmis: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).

1 pavyzdys. Trikampis apibrėžiamas jo viršūnių koordinatėmis A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3). Raskite D(x, y, z) koordinates – jos medianų susikirtimo taškus.

2 pavyzdys. Atkarpa AB dalinama iš taško C(4,1) santykiu λ=1/4, skaičiuojant nuo taško A. Raskite A koordinates, jei B(8,5).
Sprendimas. Taikydami formules (*), gauname:
, iš kur randame x=3, y=0.

3 pavyzdys. Atkarpa AB padalinta į tris lygias dalis taškais C(3, -1) ir D(1,4). Raskite atkarpos galų koordinates.
Sprendimas. Pažymime A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). Taškas C yra atkarpos AD vidurys, todėl naudodamiesi formulėmis (**) randame: iš kur x 1 = 5, y 1 = -6. Taško B koordinatės randamos panašiai: x 2 = -1, y 2 = 9.

Kai yra sąlygos padalyti atkarpą tam tikru santykiu, reikia mokėti nustatyti taško, kuris tarnauja kaip skyriklis, koordinates. Išveskime formulę, kaip rasti šias koordinates, iškeldami uždavinį plokštumoje.

Pradiniai duomenys: pateikta stačiakampė koordinačių sistema O x y ir joje esantys du nesutampantys taškai su nurodytomis koordinatėmis A (x A, y A) ir B (x B, y B). Taip pat duotas taškas C, dalijantis atkarpą A B λ atžvilgiu (kažkoks teigiamas realusis skaičius). Būtina nustatyti taško C koordinates: x C ir y C.

Prieš pradėdami spręsti problemą, šiek tiek atskleisime pateiktos sąlygos reikšmę: „taškas C, dalijantis atkarpą A B λ atžvilgiu“. Pirma, ši išraiška rodo, kad taškas C yra atkarpoje A B (ty tarp taškų A ir B). Antra, aišku, kad pagal pateiktą sąlygą atkarpų A C ir C B ilgių santykis lygus λ. Tie. lygybė yra tiesa:

Šiuo atveju taškas A yra atkarpos pradžia, taškas B – atkarpos pabaiga. Jei būtų duota, kad taškas C dalija atkarpą BA A tam tikru santykiu, tada lygybė būtų teisinga: .

Na, visiškai akivaizdus faktas yra tas, kad jei λ = 1, tai taškas C yra atkarpos A B vidurio taškas.

Išspręskime uždavinį naudodami vektorius. Atkarpoje A B savavališkai pavaizduokime taškus A, B ir C tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje. Pagal uždavinio sąlygas taškas C padalija atkarpą A B λ atžvilgiu.

Taško spindulio vektoriaus koordinatės lygios taško koordinatėms, tada lygybės teisingos: O A → = (x A, y A) ir O B → = (x B, y B).

Nustatykime vektoriaus koordinates: jos bus lygios taško C koordinatėms, kurias reikia rasti pagal uždavinio sąlygas.

Naudodami vektorių sudėjimo operaciją rašome lygybes: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

Pagal uždavinio sąlygas taškas C padalija atkarpą A B λ atžvilgiu, t.y. lygybė A C = λ · C B yra teisinga.

Vektoriai A C → ir C B → yra toje pačioje tiesėje ir yra vienakrypčiai. λ > 0 pagal uždavinio sąlygas, tada pagal vektoriaus padauginimo iš skaičiaus operaciją gauname: A C → = λ · C B → .

Transformuokime išraišką pakeisdami į ją: C B → = O B → - O C → .

A C → = λ · (O B → - O C →) .

Lygybę O C → = O A → + A C → perrašome į O C → = O A → + λ · (O B → - O C →).

Naudojant vektorių operacijų savybes, iš paskutinės lygybės seka: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .

Dabar tereikia tiesiogiai apskaičiuoti vektoriaus O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → koordinates.

Atlikime reikiamus veiksmus vektoriais O A → ir O B →.

O A → = (x A, y A) ir O B → = (x B, y B), tada O A → + λ · O B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).

Taigi, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .

Apibendrinant: taško C, dalijančio atkarpą A B tam tikru santykiu λ, koordinatės nustatomos pagal formules: x C = x A + λ · x B 1 + λ ir y C = y A + λ · y B 1 + λ .

Taško, dalijančio atkarpą tam tikru santykiu erdvėje, koordinačių nustatymas

Pradiniai duomenys: stačiakampė koordinačių sistema O x y z, taškai su nurodytomis koordinatėmis A (x A, y A, z A) ir B (x B, y B, z B).

Taškas C padalija atkarpą A B λ atžvilgiu. Būtina nustatyti taško C koordinates.

Naudodami tuos pačius argumentus, kaip ir aukščiau nurodytu atveju lėktuve, gauname lygybę:

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)

Vektoriai ir yra taškų A ir B spindulio vektoriai, o tai reiškia:

O A → = (x A , y A , z A) ir O B → = (x B , y B , z B) , todėl

O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)

Taigi taškas C, dalijantis atkarpą A B erdvėje tam tikru santykiu λ, turi koordinates: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)

Pažvelkime į teoriją naudodami konkrečius pavyzdžius.

1 pavyzdys

Pradiniai duomenys: taškas C dalija atkarpą A B santykiu nuo penkių iki trijų. Taškų A ir B koordinates pateikia A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4).

Sprendimas

Pagal uždavinio sąlygas λ = 5 3. Taikykime aukščiau pateiktas formules ir gaukime:

x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

Atsakymas: C (- 3 2, 13 8, - 5 2)

2 pavyzdys

Pradiniai duomenys: reikia nustatyti trikampio A B C svorio centro koordinates.

Pateiktos jo viršūnių koordinatės: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)

Sprendimas

Yra žinoma, kad bet kurio trikampio svorio centras yra jo medianų susikirtimo taškas (tebūnie tai taškas M). Kiekviena iš medianų yra padalinta iš taško M santykiu 2 su 1, skaičiuojant nuo viršūnės. Remdamiesi tuo, rasime atsakymą į pateiktą klausimą.

Tarkime, kad A D yra trikampio A B C mediana. Taškas M yra medianų susikirtimo taškas, turi koordinates M (x M, y M, z M) ir yra trikampio svorio centras. M, kaip medianų susikirtimo taškas, atkarpą A D dalija santykiu 2 su 1, t.y. λ = 2.

Raskime taško D koordinates. Kadangi A D yra mediana, tai taškas D yra atkarpos B C vidurys. Tada, naudodamiesi atkarpos vidurio koordinačių nustatymo formule, gauname:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

Apskaičiuokime taško M koordinates:

x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

Atsakymas: (1 3, 0, 7 3)

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter