Raskite kūno tūrį, gautą sukant nurodytas linijas. Revoliucijos kūno tūris

Pamokos tipas: kombinuotas.

Pamokos tikslas: išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius naudojant integralus.

Užduotys:

įtvirtinti gebėjimą atpažinti kreivines trapecijas iš daugybės geometrinių figūrų ir ugdyti kreivinių trapecijos plotų skaičiavimo įgūdžius;
susipažinti su trimatės figūros samprata;
išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius;
skatinti loginio mąstymo, kompetentingos matematinės kalbos ugdymą, tikslumą konstruojant brėžinius;
ugdyti susidomėjimą dalyku, operuoti matematinėmis sąvokomis ir vaizdiniais, ugdyti valią, savarankiškumą ir atkaklumą siekiant galutinio rezultato.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas.

Linkėjimai nuo grupės. Perduokite mokiniams pamokos tikslus.

Atspindys. Rami melodija.

– Šiandienos pamoką norėčiau pradėti palyginimu. „Gyveno kartą išmintingas žmogus, kuris žinojo viską. Vienas žmogus norėjo įrodyti, kad išminčius ne viską žino. Laikydamas rankose drugelį, jis paklausė: „Pasakyk man, šalavijas, kuris drugelis yra mano rankose: miręs ar gyvas? Ir pats galvoja: „Jei gyvasis sakys: aš ją užmušiu, mirusioji sakys: aš ją paleisiu“. Išminčius, pagalvojęs, atsakė: „Viskas tavo rankose“. (Pristatymas.Skaidrė)

– Todėl šiandien dirbkime vaisingai, pasisemkime naujų žinių, o įgytus įgūdžius ir gebėjimus pritaikysime būsimame gyvenime ir praktinėje veikloje. „Viskas tavo rankose“.

II. Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas.

– Prisiminkime pagrindinius anksčiau išnagrinėtos medžiagos dalykus. Norėdami tai padaryti, atlikime užduotį „Pašalinkite nereikalingą žodį“.(Skaidr.)

(Studentas eina į ID. naudoja trintuką, kad pašalintų papildomą žodį.)

- Teisingai "Diferencialas". Pabandykite likusius žodžius pavadinti vienu bendru žodžiu. (Integrinis skaičiavimas.)

– Prisiminkime pagrindinius etapus ir sąvokas, susijusias su integraliniu skaičiavimu.

„Matematinė grupė“.

Pratimai. Atkurkite spragas. (Mokinys išeina ir rašikliu rašo reikiamus žodžius.)

– Vėliau išgirsime santrauką apie integralų taikymą.

Darbas sąsiuviniuose.

– Niutono-Leibnizo formulę išvedė anglų fizikas Izaokas Niutonas (1643–1727) ir vokiečių filosofas Gotfrydas Leibnicas (1646–1716). Ir tai nenuostabu, nes matematika yra kalba, kuria kalba pati gamta.

– Panagrinėkime, kaip ši formulė naudojama sprendžiant praktines problemas.

1 pavyzdys: Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: Sukurkime funkcijų grafikus koordinačių plokštumoje . Pasirinkime figūros sritį, kurią reikia rasti.

III. Naujos medžiagos mokymasis.

– Atkreipkite dėmesį į ekraną. Kas pavaizduota pirmoje nuotraukoje? (skaidr.) (Paveikslėlyje parodyta plokščia figūra.)

– Kas pavaizduota antroje nuotraukoje? Ar ši figūra plokščia? (skaidr.) (Paveikslėlyje pavaizduota trimatė figūra.)

– Kosmose, žemėje ir kasdienybėje susiduriame ne tik su plokščiomis figūromis, bet ir trimatėmis, tačiau kaip apskaičiuoti tokių kūnų tūrį? Pavyzdžiui, planetos, kometos, meteorito ir kt.

– Apie tūrį žmonės galvoja ir statydami namus, ir pildami vandenį iš vieno indo į kitą. Turėjo atsirasti apimčių skaičiavimo taisyklės ir metodai, kiek jie buvo tikslūs ir pagrįsti, yra kitas dalykas.

Studento žinutė. (Tyurina Vera.)

1612 metai buvo labai vaisingi Austrijos miesto Linco, kuriame gyveno žymus astronomas Johannesas Kepleris, gyventojams, ypač vynuogėms. Žmonės ruošė vyno statines ir norėjo sužinoti, kaip praktiškai nustatyti jų tūrį. (2 skaidrė)

– Taigi, svarstyti Keplerio darbai davė pradžią visam tyrinėjimų srautui, kurio kulminacija buvo paskutiniame XVII amžiaus ketvirtyje. dizainas I. Niutono ir G. V. darbuose. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo Leibnicas. Nuo to laiko kintamųjų matematika užėmė pirmaujančią vietą matematinių žinių sistemoje.

– Šiandien jūs ir aš užsiimsime tokia praktine veikla, todėl

Mūsų pamokos tema: „Susisukimo kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“. (skaidr.)

– Revoliucijos kūno apibrėžimą sužinosite atlikę šią užduotį.

„Labirintas“.

Labirintas (graikiškas žodis) reiškia ėjimą po žeme. Labirintas yra sudėtingas takų, praėjimų ir tarpusavyje jungiančių patalpų tinklas.

Tačiau apibrėžimas buvo „sulaužytas“, palikdamas įkalčius strėlių pavidalu.

Pratimai. Raskite išeitį iš painios situacijos ir užsirašykite apibrėžimą.

Skaidrė. „Žemėlapio instrukcija“ Tūrių skaičiavimas.

Naudodami apibrėžtą integralą galite apskaičiuoti konkretaus kūno, ypač besisukančio, tūrį.

Apsisukimo kūnas yra kūnas, gautas sukant lenktą trapeciją aplink savo pagrindą (1, 2 pav.)

Sukimosi kūno tūris apskaičiuojamas naudojant vieną iš formulių:

1. aplink OX ašį.

2. , jei kreivosios trapecijos sukimasis aplink operacinės stiprintuvo ašį.

Kiekvienas mokinys gauna mokymo kortelę. Mokytojas pabrėžia pagrindinius dalykus.

– Mokytojas paaiškina lentoje pateiktų pavyzdžių sprendimus.

Panagrinėkime ištrauką iš garsiosios A. S. Puškino pasakos „Pasaka apie carą Saltaną, jo sūnų, šlovingą ir galingą herojų princą Guidoną Saltanovičių ir gražiąją princesę Gulbę“ (4 skaidrė):

…..
Ir atnešė girtas pasiuntinys
Tą pačią dieną užsakymas yra toks:
„Karalius įsako savo bojarams,
Negaišdamas laiko,
Ir karalienė ir palikuonys
Slapta mesti į vandens bedugnę.
Nėra ką veikti: bojarai,
Nerimas dėl suvereno
Ir jaunajai karalienei,
Į jos miegamąjį atėjo minia.
Jie paskelbė karaliaus valią -
Ji ir jos sūnus turi blogą dalį,
Garsiai skaitome dekretą,
Ir karalienė tą pačią valandą
Jie įkišo mane į statinę su sūnumi,
Jie dervos ir nuvažiavo
Ir jie įleido mane į okijaną -
Taip įsakė caras Saltanas.

Koks turi būti statinės tūris, kad joje tilptų karalienė ir jos sūnus?

– Apsvarstykite šias užduotis

1. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ordinačių ašį kreivinės trapecijos, apribotos linijomis: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Atsakymas: 1163 cm 3 .

Raskite kūno tūrį, gautą sukant parabolinę trapeciją aplink abscisių ašį y = , x = 4, y = 0.

IV. Naujos medžiagos konsolidavimas

2 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukant žiedlapį aplink x ašį y = x 2, y 2 = x.

Sukurkime funkcijos grafikus. y = x 2, y 2 = x. Tvarkaraštis y2 = x konvertuoti į formą y= .

Turime V = V 1 – V 2 Apskaičiuokime kiekvienos funkcijos garsumą

– Dabar pažiūrėkime į radijo stoties Maskvoje bokštą Šabolovkoje, pastatytą pagal nuostabaus rusų inžinieriaus, garbės akademiko V. G. Šuchovo projektą. Jį sudaro dalys – sukimosi hiperboloidai. Be to, kiekvienas iš jų pagamintas iš tiesių metalinių strypų, jungiančių gretimus apskritimus (8, 9 pav.).

- Apsvarstykime problemą.

Raskite kūno tūrį, gautą sukant hiperbolės lankus aplink savo įsivaizduojamą ašį, kaip parodyta Fig. 8, kur

kubas vienetų

Grupinės užduotys. Mokiniai traukia burtus su užduotimis, piešia piešinius ant vatmano popieriaus, o vienas iš grupės atstovų gina darbą.

1-oji grupė.

Pataikyk! Pataikyk! Dar vienas smūgis!
Kamuolys įskrenda į vartus - BALL!
Ir tai yra arbūzo rutulys
Žalias, apvalus, skanus.
Pažiūrėk geriau – koks kamuolys!
Jis sudarytas tik iš apskritimų.
Arbūzą supjaustykite apskritimais
Ir paragaukite jų.

Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie ribotos funkcijos OX ašį

Klaida! Žymė neapibrėžta.

– Prašau pasakyti, kur mes sutinkame šią figūrą?

Namas. užduotis 1 grupei. CILINDRAS (skaidr.) .

"Cilindras - kas tai?" – paklausiau tėčio.
Tėvas nusijuokė: cilindras yra kepurė.
Norėdami turėti teisingą idėją,
Cilindras, tarkime, yra skardinė.
Garlaivio vamzdis - cilindras,
Vamzdis ir ant mūsų stogo,

Visi vamzdžiai yra panašūs į cilindrą.
Ir aš pateikiau tokį pavyzdį -
Mano mylimas kaleidoskopas,
Tu negali atitraukti nuo jo akių,
Ir taip pat atrodo kaip cilindras.

- Pratimai. Namų darbas: nubraižykite funkciją ir apskaičiuokite garsumą.

2-oji grupė. KŪGIS (skaidr.).

Mama pasakė: Ir dabar
Mano istorija bus apie kūgį.
Žvaigždžių stebėtojas aukšta skrybėle
Skaičiuoja žvaigždes ištisus metus.
KŪGIO – žvaigždžių stebėtojo kepurė.
Toks jis yra. Suprato? Tai viskas.
Mama stovėjo prie stalo,
Supyliau aliejų į butelius.
- Kur yra piltuvas? Nėra piltuvo.
Ieškok. Nestovėk nuošalyje.
- Mama, aš nenusileidžiu.
Papasakok daugiau apie kūgį.
– Piltuvėlis yra laistytuvo kūgio formos.
Nagi, greitai surask ją man.
Aš negalėjau rasti piltuvo
Bet mama padarė maišelį,
Apvyniojau kartoną aplink pirštą
Ir ji mikliai pritvirtino segtuku.
Aliejus teka, mama džiaugiasi,
Kūgis išėjo kaip tik.

Pratimai. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink abscisių ašį

Namas. užduotis II grupei. PIRAMIDĖ(skaidr.).

Pamačiau paveikslėlį. Šiame paveikslėlyje
Smėlio dykumoje yra PIRAMIDĖ.
Viskas piramidėje yra nepaprasta,
Jame slypi kažkokia paslaptis ir paslaptis.
Ir Spasskaya bokštas Raudonojoje aikštėje
Tai puikiai pažįstama tiek vaikams, tiek suaugusiems.
Jei pažvelgsi į bokštą, jis atrodo įprastas,
Kas ant jo? Piramidė!

Pratimai. Namų darbas: nubraižykite funkciją ir apskaičiuokite piramidės tūrį

– Įvairių kūnų tūrius skaičiavome pagal pagrindinę kūnų tūrių formulę naudodami integralą.

Tai dar vienas patvirtinimas, kad apibrėžtasis integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas.

- Na, dabar šiek tiek pailsėkime.

Surask porą.

Skamba matematinė domino melodija.

„Kelias, kurio aš pats ieškojau, niekada nebus pamirštas...“

Tiriamasis darbas. Integralo taikymas ekonomikoje ir technologijoje.

Testai stipriems mokiniams ir matematinis futbolas.

Matematikos simuliatorius.

2. Visų duotosios funkcijos antidarinių aibė vadinama

A) neapibrėžtas integralas,

B) funkcija,

B) diferenciacija.

7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, apribotos linijomis, abscisių ašį:

D/Z. Apskaičiuokite sukimosi kūnų tūrius.

Atspindys.

Refleksijos priėmimas formoje sinchvinas(penkios eilutės).

1 eilutė – temos pavadinimas (vienas daiktavardis).

2 eilutė – temos aprašymas dviem žodžiais, dviem būdvardžiais.

3 eilutė – veiksmo šioje temoje aprašymas trimis žodžiais.

4 eilutė yra keturių žodžių frazė, parodanti požiūrį į temą (visas sakinys).

5 eilutė yra sinonimas, pakartojantis temos esmę.

Apimtis.
Neabejotina integrali, integruojama funkcija.
Statome, sukame, skaičiuojame.
Kūnas, gautas sukant išlenktą trapeciją (aplink jos pagrindą).
Sukimosi kūnas (tūrinis geometrinis kūnas).

Išvada (skaidr.).

Apibrėžtas integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas, kuris yra nepakeičiamas indėlis sprendžiant praktines problemas.
Tema „Integralus“ aiškiai parodo matematikos ir fizikos, biologijos, ekonomikos ir technologijų ryšį.
Šiuolaikinio mokslo raida neįsivaizduojama be integralo naudojimo. Šiuo atžvilgiu būtina pradėti mokytis vidurinio specializuoto išsilavinimo!

Įvertinimas. (Su komentarais.)

Didysis Omaras Khayyamas - matematikas, poetas, filosofas. Jis skatina mus būti savo likimo šeimininkais. Pasiklausykime ištraukos iš jo kūrinio:

Sakysite, šis gyvenimas yra viena akimirka.
Įvertinkite tai, semkitės iš to įkvėpimo.
Kaip išleisi, taip ir praeis.
Nepamiršk: ji yra tavo kūrinys.

Tema: „Apsisukimo kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“

Pamokos tipas: sujungti.

Pamokos tikslas: išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius naudojant integralus.

Užduotys:

įtvirtinti gebėjimą atpažinti kreivines trapecijas iš daugybės geometrinių figūrų ir ugdyti kreivinių trapecijos plotų skaičiavimo įgūdžius;

susipažinti su trimatės figūros samprata;

išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius;

skatinti loginio mąstymo, kompetentingos matematinės kalbos ugdymą, tikslumą konstruojant brėžinius;

ugdyti susidomėjimą dalyku, operuoti matematinėmis sąvokomis ir vaizdiniais, ugdyti valią, savarankiškumą ir atkaklumą siekiant galutinio rezultato.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas.

Linkėjimai nuo grupės. Perduokite mokiniams pamokos tikslus.

Šiandienos pamoką norėčiau pradėti palyginimu. „Gyveno kartą išmintingas žmogus, kuris žinojo viską. Vienas žmogus norėjo įrodyti, kad išminčius ne viską žino. Laikydamas rankose drugelį, jis paklausė: „Pasakyk man, šalavijas, kuris drugelis yra mano rankose: miręs ar gyvas? Ir jis galvoja: „Jei gyvasis pasakys, aš ją užmušiu, jei miręs sakys, aš ją paleisiu“. Išminčius, pagalvojęs, atsakė: „Viskas tavo rankose“.

Todėl dirbkime vaisingai šiandien, įgykime naujų žinių, o įgytus įgūdžius ir gebėjimus pritaikysime būsimame gyvenime ir praktinėje veikloje „Viskas tavo rankose“.

II. Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas.

Prisiminkime pagrindinius anksčiau išnagrinėtos medžiagos dalykus. Norėdami tai padaryti, atlikime užduotį „Pašalinkite papildomą žodį“.

(Mokiniai pasako papildomą žodį.)

Teisingai "Diferencialas". Pabandykite likusius žodžius pavadinti vienu bendru žodžiu. (Integrinis skaičiavimas.)

Prisiminkime pagrindinius etapus ir sąvokas, susijusias su integraliniu skaičiavimu.

Pratimai. Atkurkite spragas. (Mokinys išeina ir su žymekliu užrašo reikiamus žodžius.)

Darbas sąsiuviniuose.

Niutono-Leibnizo formulę išvedė anglų fizikas Izaokas Niutonas (1643-1727) ir vokiečių filosofas Gotfrydas Leibnicas (1646-1716). Ir tai nenuostabu, nes matematika yra kalba, kuria kalba pati gamta.

Panagrinėkime, kaip ši formulė naudojama sprendžiant praktines problemas.

1 pavyzdys: Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: Sukurkime funkcijų grafikus koordinačių plokštumoje . Pasirinkime figūros sritį, kurią reikia rasti.

III. Naujos medžiagos mokymasis.

Atkreipkite dėmesį į ekraną. Kas pavaizduota pirmoje nuotraukoje? (Paveikslėlyje parodyta plokščia figūra.)

Kas pavaizduota antroje nuotraukoje? Ar ši figūra plokščia? (Paveikslėlyje pavaizduota trimatė figūra.)

Kosmose, žemėje ir kasdieniame gyvenime susiduriame ne tik su plokščiomis figūromis, bet ir su trimatėmis, tačiau kaip apskaičiuoti tokių kūnų tūrį? Pavyzdžiui: planetos tūris, kometos, meteorito ir kt.

Apie tūrį žmonės galvoja ir statydami namus, ir pildami vandenį iš vieno indo į kitą. Turėjo atsirasti apimčių skaičiavimo taisyklės ir metodai, kiek jie buvo tikslūs ir pagrįsti, yra kitas dalykas.

Taigi svarstomi Keplerio darbai žymėjo viso tyrimų srauto, kurio kulminacija buvo paskutiniame XVII amžiaus ketvirtyje, pradžią. dizainas I. Niutono ir G. V. darbuose. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo Leibnicas. Nuo to laiko kintamųjų matematika užėmė pirmaujančią vietą matematinių žinių sistemoje.

Šiandien jūs ir aš užsiimsime tokia praktine veikla, todėl

Mūsų pamokos tema: „Susisukimo kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“.

Sužinosite apie revoliucijos kūno apibrėžimą, atlikdami šią užduotį.

„Labirintas“.

Pratimai. Raskite išeitį iš painios situacijos ir užsirašykite apibrėžimą.

IVTūrių skaičiavimas.

Naudodami apibrėžtą integralą galite apskaičiuoti konkretaus kūno, ypač besisukančio, tūrį.

Apsisukimo kūnas yra kūnas, gautas sukant lenktą trapeciją aplink savo pagrindą (1, 2 pav.)

Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas naudojant vieną iš formulių:

1. aplink OX ašį.

2. , jei kreivosios trapecijos sukimasis aplink operacinės stiprintuvo ašį.

Mokiniai surašo pagrindines formules į sąsiuvinį.

Mokytojas paaiškina lentoje pateiktų pavyzdžių sprendimus.

1. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink linijinės trapecijos, ribojamos linijomis, ordinačių ašį: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Sprendimas.

Atsakymas: 1163 cm3.

2. Raskite kūno tūrį, gautą sukant parabolinę trapeciją aplink x ašį y = , x = 4, y = 0.

Sprendimas.

V. Matematikos simuliatorius.

2. Visų duotosios funkcijos antidarinių aibė vadinama

A) neapibrėžtas integralas,

B) funkcija,

B) diferenciacija.

7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, apribotos linijomis, abscisių ašį:

D/Z. Naujos medžiagos konsolidavimas

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukant žiedlapį aplink x ašį y = x2, y2 = x.

Sukurkime funkcijos grafikus. y = x2, y2 = x. Paverskime grafiką y2 = x į formą y = .

Turime V = V1 - V2 Apskaičiuokime kiekvienos funkcijos tūrį:

Išvada:

Apibrėžiamasis integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas, nepakeičiamas sprendžiant praktines problemas.

Tema „Integralus“ aiškiai parodo matematikos ir fizikos, biologijos, ekonomikos ir technologijų ryšį.

Šiuolaikinio mokslo raida neįsivaizduojama be integralo naudojimo. Šiuo atžvilgiu būtina pradėti mokytis vidurinio specializuoto išsilavinimo!

VI. Įvertinimas.(Su komentarais.)

Didysis Omaras Khayyamas - matematikas, poetas, filosofas. Jis skatina mus būti savo likimo šeimininkais. Pasiklausykime ištraukos iš jo kūrinio:

Sakote, šis gyvenimas yra viena akimirka.
Įvertinkite tai, semkitės iš to įkvėpimo.
Kaip išleisi, taip ir praeis.
Nepamiršk: ji yra tavo kūrinys.

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos ribas „a“ ir „būti“.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – funkcija formulėje kvadratu: , taigi revoliucijos kūno tūris visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, ribojamą linijomis , ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, kurią riboja linijos , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį .

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva apjuosta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo sukimosi kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, kurias knygoje pastebėjo Perelmanas (ne tas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, atvirkščiai, atrodo per mažas tūris.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, parašyta jo dar 1950 metais, labai gerai lavina, kaip humoristas sakė, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad viskas vyksta juostoje, kitaip tariant, pateikiamos praktiškai paruoštos integracijos ribos. Taip pat pabandykite teisingai nubraižyti trigonometrinių funkcijų grafikus, jei argumentas padalintas iš dviejų: tada grafikai ištempiami du kartus išilgai ašies. Pabandykite surasti bent 3-4 taškus pagal trigonometrines lenteles ir tiksliau užbaigti piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Sukimosi susidariusio kūno tūrio apskaičiavimas
plokščia figūra aplink ašį

Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Apskaičiuojant ordinačių ašį besisukančio kūno tūrį taip pat gana dažnas svečias bandomajame darbe. Pakeliui bus svarstoma figūros ploto radimo problema antrasis metodas – integracija pagal ašį, tai leis ne tik patobulinti savo įgūdžius, bet ir išmokys rasti pelningiausią sprendimo kelią. Čia taip pat yra praktinė gyvenimo prasmė! Kaip su šypsena prisiminė mano matematikos mokymo metodų mokytoja, daugelis abiturientų jai padėkojo žodžiais: „Jūsų dalykas mums labai padėjo, dabar esame efektyvūs vadovai ir optimaliai valdome personalą“. Naudodamasis proga taip pat reiškiu jai didelį dėkingumą, juolab kad įgytas žinias naudoju pagal paskirtį =).

5 pavyzdys

Pateikta plokščia figūra, apribota linijų , , .

1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.
2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia Būtinai skaityk pirmą!

Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.

1) Padarykime piešinį:

Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.

Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu, apie kurį buvo kalbama klasėje Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma:
- segmente ;
- segmente.

Štai kodėl:

Kodėl įprastas sprendimas šiuo atveju yra blogas? Pirma, gavome du integralus. Antra, integralai yra šaknys, o integralų šaknys nėra dovana, be to, galite susipainioti keisdami integracijos ribas. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra žudantys, bet praktiškai viskas gali būti daug liūdniau, aš tiesiog pasirinkau „geresnes“ problemai.

Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perjungimas į atvirkštines funkcijas ir integravimas išilgai ašies.

Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:

To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:

Tai lengviau su tiesia linija:

Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Šiuo atveju atkarpoje tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę: . Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba: turi būti nustatytos integravimo ribos išilgai ašies griežtai iš apačios į viršų!

Vietos radimas:

Todėl segmente:

Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku, kodėl.

Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:

Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija buvo atlikta teisingai.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidariusį šiai figūrai sukantis aplink ašį.

Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:

Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.

Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .

Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir pažymime ją gauto sukimosi kūno tūriu.

Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.

Sukimosi kūno tūriui rasti naudojame formulę:

Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.

Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau , o ne pirmiausia pakelti integrandą į 4 laipsnį.

Atsakymas:

Tačiau ne liguistas drugelis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tą pačią plokščią figūrą pasuksite aplink ašį, natūraliai gausite visiškai kitokį sukimosi kūną, kitokio tūrio.

6 pavyzdys

Duota plokščia figūra, apribota linijomis ir ašimi.

1) Eikite į atvirkštines funkcijas ir raskite plokštumos figūros plotą, kurį riboja šios linijos, integruodami per kintamąjį.
2) Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Kaip ir sprendžiant srities radimo problemą, jums reikia užtikrintų piešimo įgūdžių - tai beveik svarbiausias dalykas (nes patys integralai dažnai bus lengvi). Naudodami mokomąją medžiagą ir geometrines grafikų transformacijas galite įvaldyti kompetentingas ir greitas grafikų sudarymo technikas. Bet, tiesą sakant, apie piešinių svarbą jau ne kartą kalbėjau klasėje.

Apskritai integraliniame skaičiavime yra daug įdomių pritaikymų, naudojant apibrėžtą integralą, galite apskaičiuoti figūros plotą, sukimosi kūno tūrį, lanko ilgį, sukimosi paviršiaus plotą ir daug daugiau; daugiau. Taigi bus smagu, būkite optimistiški!

Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Pristatė? ... Įdomu, kas ką pristatė... =))) Jo plotą jau radome. Be to, šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:

– aplink abscisių ašį;
– aplink ordinačių ašį.

Šiame straipsnyje bus nagrinėjami abu atvejai. Antrasis sukimo būdas yra ypač įdomus, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Kaip premiją grįšiu figūros ploto radimo problema, ir aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antruoju būdu - išilgai ašies. Tai ne tiek premija, kiek medžiaga puikiai tinka temai.

Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

plokščia figūra aplink ašį

1 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, plokštumoje būtina sukurti figūrą, ribojamą tiesių , ir nepamirškite, kad lygtis nurodo ašį. Kaip efektyviau ir greičiau užbaigti piešinį, rasite puslapiuose Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės Ir Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Tai yra kinų priminimas, ir šiuo metu aš daugiau nesigilinsiu.

Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra yra nuspalvinta mėlyna spalva. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, bet aš tingiu ką nors paaiškinti žinyne, todėl judame toliau.

Kaip apskaičiuoti besisukančio kūno tūrį?

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos ribas „a“ ir „būti“.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – integrandas formulėje yra kvadratas: , taigi integralas visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, ribojamą linijomis , ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį .

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva apjuosta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo sukimosi kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, ką knygoje pastebėjo Perelmanas (kitas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, atvirkščiai, atrodo per mažas tūris.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, išleista dar 1950 m., labai gerai lavina, kaip sakė humoristas, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad visi atvejai pasitaiko juostoje, kitaip tariant, iš tikrųjų pateikiamos paruoštos integracijos ribos. Teisingai nubraižykite trigonometrinių funkcijų grafikus, priminsiu pamokos medžiagą apie tai grafikų geometrinės transformacijos: jei argumentas yra padalintas iš dviejų: , tada grafikai ištempiami du kartus išilgai ašies. Patartina rasti bent 3-4 balus pagal trigonometrines lenteles kad tiksliau užbaigtumėte piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Sukimosi susidariusio kūno tūrio apskaičiavimas
plokščia figūra aplink ašį

Rekomenduoju visiems, net visiškiems manekenams. Be to, antroje pastraipoje išmokta medžiaga suteiks neįkainojamos pagalbos skaičiuojant dvigubus integralus.

5 pavyzdys

Pateikta plokščia figūra, apribota linijų , , .

1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.
2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia Būtinai skaityk pirmą!

Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.

1) Padarykime piešinį:

Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.

Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.

Štai kodėl:

Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perjungimas į atvirkštines funkcijas ir integravimas išilgai ašies.

Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:

To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:

Tai lengviau su tiesia linija:

! Pastaba: Turėtų būti nustatytos integravimo išilgai ašies ribos griežtai iš apačios į viršų!

Vietos radimas:

Todėl segmente:

Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku, kodėl.

Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:

Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija buvo atlikta teisingai.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidariusį šiai figūrai sukantis aplink ašį.

Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:

Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.

Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .

Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir pažymime ją gauto sukimosi kūno tūriu.

Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.

Sukimosi kūno tūriui rasti naudojame formulę:

Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.

Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau , o ne pirmiausia pakelti integrandą į 4 laipsnį.

Atsakymas:

Tačiau ne liguistas drugelis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tą pačią plokščią figūrą pasuksite aplink ašį, natūraliai gausite visiškai kitokį sukimosi kūną, kitokio tūrio.

6 pavyzdys

Duota plokščia figūra, apribota linijomis ir ašimi.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Besidomintieji taip pat gali rasti figūros plotą „įprastu“ būdu, taip patikrindami 1). Bet jei, kartoju, suksite plokščią figūrą aplink ašį, gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu tūriu, beje, teisingą atsakymą (taip pat ir tiems, kurie mėgsta spręsti problemas).

Išsamus dviejų siūlomų užduoties punktų sprendimas yra pamokos pabaigoje.

Taip, ir nepamirškite pakreipti galvos į dešinę, kad suprastumėte sukimosi kūnus ir integracijos ribas!

I. Sukimosi kūnų tūriai. Preliminariai išstudijuokite XII skyriaus 197, 198 pastraipas iš G. M. Fikhtengoltso vadovėlio * Išsamiai išanalizuokite 198 pastraipoje pateiktus pavyzdžius.

508. Apskaičiuokite kūno, susidariusio sukant elipsę aplink Ox ašį, tūrį.

Taigi,