Logaritminė diferenciacija
Elementariųjų funkcijų dariniai
Pagrindinės diferenciacijos taisyklės
Funkcinis diferencialas
Pagrindinė tiesinė funkcijos prieaugio dalis A D x nustatant funkcijos diferencialumą
D f=f(x)- f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
vadinamas funkcijos diferencialu f(x) taške x 0 ir žymimas
df(x 0)=f¢(x 0) D x=A D x.
Skirtumas priklauso nuo taško x 0 ir nuo prieaugio D x. Ant D x tuo pat metu jie žiūri į jį kaip į nepriklausomą kintamąjį, taigi kiekviename taške diferencialas yra tiesinė prieaugio D funkcija x.
Jei laikysime funkcija f(x)=x, tada gauname dx= D x,dy=Adx. Tai atitinka Leibnizo užrašus
Geometrinis diferencialo kaip liestinės ordinatės prieaugio aiškinimas.
Ryžiai. 4.3
1) f= konst , f¢= 0,df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Pasekmė. (plg(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢ = c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)
4) f=u/v, v(x 0)¹0 ir išvestinė egzistuoja, tada f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .
Trumpumui pažymėsime u=u(x), u 0 =u(x 0), tada
Perėjimas prie ribos ties D x® 0 gauname reikiamą lygybę.
5) Sudėtingos funkcijos išvestinė.
Teorema. Jei yra f¢(x 0), g¢(x 0)ir x 0 =g(t 0), paskui kažkokioje kaimynystėje t 0 yra apibrėžta kompleksinė funkcija f(g(t)), jis skiriasi taške t 0 Ir
Įrodymas.
f(x)- f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).
f(g(t))- f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)- g(t 0))+ a( g(t))(g(t)- g(t 0)).
Abi šios lygybės puses padalinkime iš ( t - t 0) ir eikime prie ribos ties t®t 0 .
6) Atvirkštinės funkcijos išvestinės apskaičiavimas.
Teorema. Tegul f yra nuolatinis ir griežtai monotoniškas[a, b]. Leiskite taške x 0 Î( a, b)yra f¢(x 0)¹ 0 , tada atvirkštinė funkcija x=f -1 (y)turi taške y 0 išvestinė lygi
Įrodymas. Mes skaičiuojame f tada griežtai monotoniškai didėja f -1 (y) yra nuolatinis, monotoniškai didėja [ f(a),f(b)]. Padėkime y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,
y - y 0 =D y. Dėl atvirkštinės funkcijos tęstinumo D y®0 Þ D x®0, turime
Perėję prie ribos, gauname reikiamą lygybę.
7) Lyginės funkcijos išvestinė nelyginė, nelyginės – lyginė.
Tikrai, jei x® - x 0 , Tai - x® x 0 , Štai kodėl
Lyginei funkcijai nelyginei funkcijai
1) f= const, f¢(x)=0.
2) f(x)=x, f¢(x)=1.
3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,
4) f(x)=a x ,(a x)¢ = a x ln a.
5) ln a.
6) f(x)=ln x,
Pasekmė. (lyginės funkcijos išvestinė yra nelyginė)
7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .
8) (nuodėmė x)¢= cos x,
9) (cos x)¢=- nuodėmė x,(cos x)¢= (nuodėmė ( x+ p/2)) ¢= cos ( x+ p/2)=-nuodėmė x.
10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.
11) (ctg x)¢= -1/nuodėmė 2 x.
16) š x, sk x.
f(x),, iš kurio išplaukia, kad f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .
Tą pačią formulę galima gauti skirtingai f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.
Pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos išvestinę f=x x .
=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).
Geometrinė taškų vieta plokštumoje
vadinsime tai funkcijos grafiku, pateikta parametriškai. Jie taip pat kalba apie parametrinį funkcijos specifikaciją.
1 pastaba. Jeigu x, y tęstinis už [a, b] Ir x(t) griežtai monotoniškas segmente (pavyzdžiui, griežtai monotoniškai didėja), tada [ a, b], a=x a) , b=x b) apibrėžta funkcija f(x)=y(t(x)), kur t(x) – funkcija atvirkštinė x(t). Šios funkcijos grafikas sutampa su funkcijos grafiku
Jei apibrėžimo sritis parametriškai duota funkcija gali būti suskirstyta į baigtinį skaičių atkarpų ,k= 1,2,...,n, ant kiekvieno iš jų yra funkcija x(t) yra griežtai monotoniška, tada parametriškai apibrėžta funkcija suskaidoma į baigtinį įprastų funkcijų skaičių fk(x)=y(t -1 (x)) su domenais [ x(a k), x(b k)] sekcijų didinimui x(t) ir su domenais [ x(b k), x(a k)] mažėjančių funkcijų sritims x(t). Taip gautos funkcijos vadinamos parametriškai apibrėžtos funkcijos vienareikšmėmis šakomis.
Paveiksle parodytas parametriškai apibrėžtos funkcijos grafikas
Su pasirinkta parametrizacija apibrėžimo sritis yra padalintas į penkias griežto monotoniškumo funkcijas sin(2 t), tiksliai: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , ir, atitinkamai, grafikas bus padalintas į penkias vienareikšmiškas šakas, atitinkančias šias dalis.
Ryžiai. 4.4
Ryžiai. 4.5
Galite pasirinkti skirtingą tos pačios geometrinės taškų vietos parametravimą
Tokiu atveju bus tik keturios tokios šakos. Jie atitiks griežtos monotonijos sritis tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funkcijas nuodėmė (2 t).
Ryžiai. 4.6
Keturios funkcijos sin monotoniškumo sekcijos (2 t) ilgoje atkarpoje.
Ryžiai. 4.7
Abiejų grafikų pavaizdavimas viename paveiksle leidžia apytiksliai pavaizduoti parametriškai nurodytos funkcijos grafiką, naudojant abiejų funkcijų monotoniškumo sritis.
Kaip pavyzdį apsvarstykite pirmąją atkarpą atitinkančią šaką tÎ . Šio skyriaus pabaigoje funkcija x= nuodėmė (2 t) ima vertes -1 ir 1 , todėl ši šaka bus apibrėžta [-1,1] . Po to reikia pažvelgti į antrosios funkcijos monotonijos sritis y= cos ( t), ji turi dvi monotonijos dalys . Tai leidžia teigti, kad pirmoji šaka turi dvi monotoniškumo dalis. Suradę grafiko galinius taškus, galite juos sujungti tiesiomis linijomis, kad parodytumėte grafiko monotoniškumo pobūdį. Tai padarę su kiekviena šaka, gauname vienareikšmių grafiko šakų monotoniškumo sritis (paveiksle jos paryškintos raudonai)
Ryžiai. 4.8
Pirmoji vienvertė šaka f 1 (x)=y(t(x)) , atitinkantis svetainę bus nustatyta xО[-1,1] . Pirmoji vienvertė šaka tÎ , xО[-1,1].
Visos kitos trys šakos taip pat turės apibrėžimo sritį [-1,1] .
Ryžiai. 4.9
Antroji šaka tÎ xО[-1,1].
Ryžiai. 4.10
Trečia šaka tÎ xО[-1,1]
Ryžiai. 4.11
Ketvirta šaka tÎ xО[-1,1]
Ryžiai. 4.12
komentuoti 2. Ta pati funkcija gali turėti skirtingus parametrinius nustatymus. Skirtumai gali būti susiję su abiem funkcijomis x(t), y(t) , ir apibrėžimo sritis šias funkcijas.
Skirtingų tos pačios funkcijos parametrinių priskyrimų pavyzdys
Ir tО[-1, 1] .
3 pastaba. Jei x,y yra ištisiniai , x(t)- griežtai monotoniškas segmente ir yra dariniai y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, tada yra f¢(x 0)= .
Tikrai,.
Paskutinis teiginys taip pat taikomas vienareikšmėms parametriškai apibrėžtos funkcijos šakoms.
4.2 Aukštesnių pavedimų išvestinės finansinės priemonės ir skirtumai
Aukštesni išvestiniai ir diferencialai. Parametriškai nurodytų funkcijų diferencijavimas. Leibnizo formulė.
Tegul funkcija nurodoma parametriniu būdu:
(1)
kur yra koks nors kintamasis, vadinamas parametru. Ir tegul funkcijos turi išvestines tam tikra kintamojo verte.
(2)
Be to, funkcija taip pat turi atvirkštinę funkciją tam tikroje taško kaimynystėje.
;
.
Tada funkcija (1) taške turi išvestinę, kuri parametrine forma nustatoma pagal formules:
Čia ir yra funkcijų išvestiniai ir kintamojo (parametro) atžvilgiu.
Jie dažnai rašomi taip:
.
Tada sistemą (2) galima parašyti taip:
.
Įrodymas
.
Pagal sąlygą funkcija turi atvirkštinę funkciją. Pažymėkime kaip
Tada pradinė funkcija gali būti pavaizduota kaip sudėtinga funkcija:
Raskime jo išvestinę naudodamiesi sudėtingų ir atvirkštinių funkcijų diferencijavimo taisyklėmis:
.
Taisyklė pasitvirtino.
.
Įrodymas antruoju būdu
.
Raskime išvestinę antruoju būdu, remdamiesi funkcijos išvestinės apibrėžimu taške:
Supažindinsime su užrašu:
;
;
;
.
Tada ankstesnė formulė įgauna tokią formą:
.
Pasinaudokime tuo, kad funkcija taško kaimynystėje turi atvirkštinę funkciją.
.
Pagal sąlygą funkcija turi atvirkštinę funkciją. Pažymėkime kaip
Įveskime tokį užrašą:
Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš:
(1)
adresu , . Tada
(2)
Aukštesnės eilės išvestinės priemonės
.
Norint rasti aukštesnio laipsnio išvestinius, diferencijavimą reikia atlikti kelis kartus. Tarkime, kad reikia rasti parametriškai apibrėžtos funkcijos antros eilės išvestinę, kurios forma:
(3)
Naudodami (2) formulę randame pirmąją išvestinę, kuri taip pat nustatoma parametriškai:
Dabar išreikškime rezultatą per funkcijas ir .
.
Norėdami tai padaryti, pakeiskime ir pritaikykime išvestinės trupmenos formulę:
.
Tada
Iš čia gauname antrąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Jis taip pat pateikiamas parametrine forma. Atkreipkite dėmesį, kad pirmoji eilutė taip pat gali būti parašyta taip:
Tęsdami procesą, galite gauti funkcijų išvestinius iš trečiosios ir aukštesnės eilės kintamojo.
;
.
Atkreipkite dėmesį, kad mes neturime įvesti išvestinės žymos.
Galite parašyti taip:
1 pavyzdys
Raskite parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinę:
Sprendimas
;
.
Mes randame išvestines .
.
Iš darinių lentelės randame:
.
Iš darinių lentelės randame:
Mes taikome:
.
čia .
Reikalinga išvestinė priemonė:
Atsakymas
1 pavyzdys
2 pavyzdys
.
Raskite parametru išreikštos funkcijos išvestinę:
.
Išplėskime skliaustus naudodami galios funkcijų ir šaknų formules:
.
Išvestinio radimas:
.
čia .
Išvestinės radimas.
Norėdami tai padaryti, įvedame kintamąjį ir taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.
1 pavyzdys
Randame norimą išvestinę:
3 pavyzdys
Raskite 1 pavyzdyje parametriškai apibrėžtos funkcijos antros ir trečios eilės išvestines:
1 pavyzdyje radome pirmos eilės išvestinę:
.
Leiskite mums pristatyti pavadinimą.
.
Tada funkcija yra išvestinė .
.
Jis nurodomas parametriškai:
Norėdami rasti antrąją išvestinę , turime rasti pirmąją išvestinę .
Atskirkime pagal.
.
1 pavyzdyje radome išvestinę:
.
Antros eilės išvestinė vertė yra lygi pirmos eilės išvestinei:
.
Taigi, mes radome antros eilės išvestinę parametrinės formos atžvilgiu:
Dabar randame trečiosios eilės išvestinę. Leiskite mums pristatyti pavadinimą.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
čia .
Tada turime rasti pirmosios eilės funkcijos išvestinę, kuri nurodoma parametriniu būdu:
Rasti išvestinę .
Norėdami tai padaryti, perrašome jį lygiaverte forma:
Nuo t Trečiosios eilės išvestinė pagal yra lygi pirmos eilės išvestinei, atsižvelgiant į: x komentuoti Nereikia įvesti kintamųjų ir , kurie yra atitinkamai ir išvestiniai. Tada galite parašyti taip: Parametriniame vaizde antros eilės išvestinė turi tokią formą: t Trečios eilės išvestinė. Apsvarstykite galimybę apibrėžti tiesę plokštumoje, kurioje kintamieji x, y yra trečiojo kintamojo t (vadinamo parametru) funkcijos: (Kiekvienai vertei nuo tam tikro intervalo tam tikros reikšmės atitinka Ir y, a , todėl tam tikras plokštumos taškas M (x, y). Kada.
Jei funkcijos x = φ(t) atvirkštinė t = Ф(x), tai šią išraišką pakeitus lygtimi y = g(t), gauname y = g(Ф(x)), kuri nurodo y kaip funkcija x. Šiuo atveju sakome, kad lygtys (2.2) apibrėžia funkciją y parametriškai.
1 pavyzdys. Leiskite M(x,y)– savavališkas taškas spindulio apskritime R ir sutelktas į ištaką. Leiskite t– kampas tarp ašių Jautis ir spindulys OM(žr. 2.3 pav.). Tada Kiekvienai vertei yra išreikšti per t:
Lygtys (2.3) yra parametrinės apskritimo lygtys. Iš (2.3) lygčių išskirsime parametrą t. Norėdami tai padaryti, kiekvieną lygtį padėkite į kvadratą ir sudėkite, gausime: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) arba x 2 + y 2 = R 2 – apskritimo lygtis Dekarto raštu. koordinačių sistema. Ji apibrėžia dvi funkcijas: Kiekviena iš šių funkcijų yra pateikta parametrinėmis lygtimis (2.3), bet pirmajai funkcijai ir antrajai funkcijai.
2 pavyzdys. Parametrinės lygtys
apibrėžkite elipsę su pusiau ašimis a, b(2.4 pav.). Parametrų neįtraukimas iš lygčių t, gauname kanoninę elipsės lygtį:
3 pavyzdys. Cikloidas – tai tiesė, kurią apibūdina taškas, esantis ant apskritimo, jeigu šis apskritimas rieda neslysdamas tiesia linija (2.5 pav.). Pateikiame cikloidų parametrines lygtis. Tegul riedėjimo apskritimo spindulys yra a, taškas M, apibūdinantis cikloidą, judėjimo pradžioje sutapo su koordinačių kilme. 
Nustatykime koordinates x, y taškai M apskritimui pasisukus kampu t
(2.5 pav.), t = ÐMCB. Lanko ilgis M.B. lygus atkarpos ilgiui O.B. kadangi apskritimas rieda neslysdamas, todėl
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – kaina).
Taigi gaunamos cikloidų parametrinės lygtys:
Keičiant parametrą t nuo 0 iki 2π apskritimas sukasi vieną apsisukimą, o taškas M apibūdina vieną cikloido lanką. (2.5) lygtys pateikia y kaip funkcija x. Nors funkcija x = a(t – sint) turi atvirkštinę funkciją, tačiau ji nėra išreikšta elementariomis funkcijomis, todėl funkcija y = f(x) nėra išreikštas elementariomis funkcijomis.
Panagrinėkime funkcijos, parametriškai apibrėžtos lygtimis (2.2), diferenciaciją. Funkcija x = φ(t) tam tikrame pokyčio intervale t turi atvirkštinę funkciją t = Ф(x), Tada y = g(Ф(x)). Leiskite x = φ(t), y = g(t) turi darinius ir x"t≠0. Pagal sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę y"x=y"t × t"x. Remiantis atvirkštinės funkcijos diferencijavimo taisykle, todėl:
Gauta formulė (2.6) leidžia rasti parametriškai nurodytos funkcijos išvestinę.
4 pavyzdys. Tegul funkcija y, priklausomai nuo x, nurodomas parametriškai:
Sprendimas. 
.
5 pavyzdys. Raskite nuolydį k cikloido liestinė taške M 0, atitinkančiame parametro reikšmę.
Sprendimas. Iš cikloidinių lygčių: y" t = asint, x" t = a(1 – kaina),Štai kodėl 
Liestinės nuolydis taške M0 lygi vertei ties t 0 = π/4:
DIFERENCINĖ FUNKCIJA
Tegul funkcija yra taške x 0 turi išvestinę. Pagal apibrėžimą: 
todėl pagal ribos savybes (1.8 p.), kur a– be galo mažas at Δx → 0. Iš čia
Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)
Kadangi Δx → 0, antrasis lygybės narys (2.7) yra aukštesnės eilės begalinis dydis, palyginti su 
, todėl Δy ir f " (x 0) × Δx yra lygiaverčiai, be galo maži (jei f "(x 0) ≠ 0).
Taigi funkcijos Δy prieaugis susideda iš dviejų narių, iš kurių pirmasis f "(x 0) × Δx yra pagrindinė dalis prieaugis Δy, tiesinis Δx atžvilgiu (f "(x 0)≠ 0).
Diferencialinis funkcija f(x) taške x 0 vadinama pagrindine funkcijos prieaugio dalimi ir žymima: dy arba df(x0). Vadinasi,
df (x0) =f "(x0) × Δx. (2.8)
1 pavyzdys. Raskite funkcijos skirtumą dy ir funkcijos Δy prieaugis funkcijai y = x 2, kai:
1) savavališkas x ir Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.
Sprendimas
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Jei x 0 = 20, Δx = 0,1, tai Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.
Lygybę (2.7) parašykime tokia forma:
Δy = dy + a × Δx. (2.9)
Prieaugis Δy skiriasi nuo diferencialo dy iki begalinio aukštesnio laipsnio, palyginti su Δx, todėl apytiksliuose skaičiavimuose naudojama apytikslė lygybė Δy ≈ dy, jei Δx yra pakankamai mažas.
Atsižvelgiant į tai, kad Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), gauname apytikslę formulę:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
2 pavyzdys. Apskaičiuokite apytiksliai.
Sprendimas. Apsvarstykite:
Naudodami (2.10) formulę gauname:
Taigi, ≈ 2,025.
Panagrinėkime geometrinę diferencialo reikšmę df(x 0)(2.6 pav.). 
Nubrėžkime funkcijos y = f(x) grafiko liestinę taške M 0 (x0, f(x 0)), tegul φ yra kampas tarp liestinės KM0 ir Ox ašies, tada f"( x 0) = tanφ Iš ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). Bet PN yra liestinės ordinatės prieaugis, kai x keičiasi iš x 0 į x 0 + Δx.
Vadinasi, funkcijos f(x) diferencialas taške x 0 yra lygus liestinės ordinatės prieaugiui.
Raskime funkcijos skirtumą
y = x. Kadangi (x)" = 1, tai dx = 1×Δx = Δx. Laikysime, kad nepriklausomo kintamojo x diferencialas yra lygus jo prieaugiui, ty dx = Δx.
Jei x yra savavališkas skaičius, tai iš lygybės (2.8) gauname df(x) = f "(x)dx, iš kur 
.
Taigi funkcijos y = f(x) išvestinė yra lygi jos diferencialo ir argumento diferencialo santykiui.
Panagrinėkime funkcijos diferencialo savybes.
Jei u(x), v(x) yra diferencijuojamos funkcijos, galioja šios formulės:
Šioms formulėms įrodyti naudojamos išvestinės funkcijos sumos, sandaugos ir koeficiento formulės. Įrodykime, pavyzdžiui, formulę (2.12):
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u × v" + u"×v)Δx = u × v"Δx + u"Δx×v = u × dv + v × du.
Panagrinėkime kompleksinės funkcijos diferencialą: y = f(x), x = φ(t), t.y. y = f(φ(t)).
Tada dy = y" t dt, bet y" t = y" x × x" t, taigi dy = y" x x" t dt. Atsižvelgiant į
kad x" t = dx, gauname dy = y" x dx =f "(x)dx.
Taigi, kompleksinės funkcijos diferencialas y = f(x), kur x =φ(t), turi formą dy = f "(x)dx, kaip ir tuo atveju, kai x yra nepriklausomas kintamasis. Ši savybė yra vadinamas diferencialo formos nekintamumas A.
Iki šiol mes svarstėme plokštumos linijų lygtis, kurios tiesiogiai jungia dabartines šių linijų taškų koordinates. Tačiau dažnai naudojamas kitas linijos apibrėžimo būdas, kai dabartinės koordinatės laikomos trečiojo kintamojo funkcijomis.
Tegu pateiktos dvi kintamojo funkcijos
laikomos tomis pačiomis t reikšmėmis. Tada bet kuri iš šių t reikšmių atitinka tam tikrą reikšmę ir tam tikrą y reikšmę, taigi ir tam tikrą tašką. Kai kintamasis t eina per visas reikšmes iš funkcijų apibrėžimo srities (73), taškas plokštumoje apibūdina tam tikrą tiesę C, lygtys (73) vadinamos šios eilutės parametrinėmis lygtimis, o kintamasis vadinamas parametras.
Tarkime, kad funkcija turi atvirkštinę funkciją Pakeitę šią funkciją į antrąją (73) lygtį, gauname lygtį
išreiškiant y kaip funkciją
Sutikime, kad ši funkcija parametriškai pateikiama lygtimis (73). Perėjimas nuo šių lygčių prie (74) lygties vadinamas parametrų pašalinimu. Svarstant parametriškai apibrėžtas funkcijas, parametro neįtraukti ne tik nebūtina, bet ir ne visada praktiškai įmanoma.
Daugeliu atvejų daug patogiau, atsižvelgiant į skirtingas parametro reikšmes, tada apskaičiuoti atitinkamas argumento ir funkcijos y reikšmes naudojant formules (73).
Pažiūrėkime į pavyzdžius.
Pavyzdys 1. Tegul yra savavališkas taškas apskritime, kurio centras yra ištakoje, o spindulys R. Šio taško Dekarto koordinatės x ir y išreiškiamos per jo polinį spindulį ir poliarinį kampą, kurį čia žymime t, taip ( žr. I skyriaus 3 dalies 3 pastraipą):
Lygtys (75) vadinamos parametrinėmis apskritimo lygtimis. Juose esantis parametras yra polinis kampas, kuris kinta nuo 0 iki .
Jei lygtys (75) yra padalytos į kvadratą ir sudedamos, tada dėl tapatumo parametras pašalinamas ir gaunama apskritimo lygtis Dekarto koordinačių sistemoje, kuri apibrėžia dvi elementarias funkcijas:
Kiekviena iš šių funkcijų parametriškai nurodoma lygtimis (75), tačiau šių funkcijų parametrų diapazonai yra skirtingi. Pirmajam iš jų; Šios funkcijos grafikas yra viršutinis puslankis. Antrosios funkcijos grafikas yra apatinis puslankis.
2 pavyzdys. Kartu apsvarstykite elipsę
ir apskritimas, kurio centras yra ištakoje ir spindulys a (138 pav.).
Su kiekvienu elipsės tašku M susiejame apskritimo tašką N, kurio abscisė yra tokia pati kaip taško M ir yra su juo toje pačioje Ox ašies pusėje. Taško N, taigi ir taško M, padėtį visiškai lemia taško poliarinis kampas t Šiuo atveju jų bendrajai abscisei gauname tokią išraišką: x = a. Ordinates taške M randame iš elipsės lygties:
Ženklas pasirinktas todėl, kad taško M ir taško N ordinatės turi turėti vienodus ženklus.
Taigi elipsei gaunamos šios parametrinės lygtys:
Čia parametras t kinta nuo 0 iki .
Pavyzdys 3. Apsvarstykite apskritimą, kurio centras yra taške a) ir spindulys a, kuris akivaizdžiai liečia x ašį pradžioje (139 pav.). Tarkime, kad šis apskritimas rieda neslysdamas išilgai x ašies. Tada apskritimo taškas M, kuris pradiniu momentu sutapo su koordinačių pradžia, apibūdina tiesę, vadinamą cikloidu.
Išveskime cikloidų parametrines lygtis, laikydamos apskritimo sukimosi kampą parametru t kaip parametrą t, kai jo fiksuotasis taškas juda iš padėties O į padėtį M. Tada taško M koordinatėms ir y gauname šios išraiškos:
Dėl to, kad apskritimas rieda išilgai ašies neslysdamas, atkarpos OB ilgis lygus lanko BM ilgiui. Kadangi lanko ilgis BM lygus spindulio a ir centrinio kampo t sandaugai, tada . Štai kodėl. Tačiau todėl,
Šios lygtys yra cikloidų parametrinės lygtys. Kai parametras t pasikeis iš 0 į apskritimą, padarys vieną pilną apsisukimą. Taškas M apibūdins vieną cikloido lanką.
Išskyrus parametrą t čia susidaro sudėtingos išraiškos ir tai praktiškai nepraktiška.
Mechanikoje ypač dažnai naudojamas parametrinis linijų apibrėžimas, o parametro vaidmenį atlieka laikas.
4 pavyzdys. Nustatykime sviedinio, paleisto iš pabūklo pradiniu greičiu kampu a į horizontalę, trajektoriją. Mes nepaisome oro pasipriešinimo ir sviedinio matmenų, laikydami jį materialiu tašku.
Pasirinkime koordinačių sistemą. Koordinačių pradžią laikykime sviedinio išvykimo tašką nuo snukio. Nukreipkime Ox ašį horizontaliai, o Oy ašį vertikaliai, pastatydami jas vienoje plokštumoje su ginklo vamzdžiu. Jei nebūtų gravitacijos jėgos, tada sviedinys judėtų tiesia linija, sudarydamas kampą a su Ox ašimi ir pagal laiką t būtų nuskridęs atstumą t sviedinio koordinatės būtų atitinkamai lygios: . Dėl gravitacijos sviedinys šiuo momentu turi vertikaliai nusileisti tam tikru dydžiu, todėl iš tikrųjų sviedinio koordinatės nustatomos pagal formules:
Šiose lygtyse yra pastovūs dydžiai. Pasikeitus t, pasikeis ir sviedinio trajektorijos taško koordinatės. Lygtys yra sviedinio trajektorijos parametrinės lygtys, kuriose parametras yra laikas
Išreiškiant iš pirmosios lygties ir pakeičiant ją į
antroji lygtis, gauname sviedinio trajektorijos lygtį formoje Tai parabolės lygtis.
