Atstumas

nuo taško iki linijos

Atstumas tarp lygiagrečių linijų

Geometrija, 7 klasė

Prie L.S. Atanasyano vadovėlio

aukščiausios kategorijos matematikos mokytoja

savivaldybės švietimo įstaiga „Upšinskajos pagrindinė vidurinė mokykla“

Mari El Respublikos Oršos rajonas

Statmens ilgis nubrėžtas iš taško į liniją, paskambino atstumas nuo šio taško iki tiesioginis.

AN ⏊ A

M є a, M skiriasi nuo N

Statmenas , nubrėžtas nuo taško iki linijos, mažiau bet koks linkęs , nubrėžtas nuo to paties taško iki šios linijos.

AM – linkęs, nubrėžtas iš taško A į tiesę a

AN AM

AN - linkęs

AN AN

AN AK

AK - linkęs

Atstumas nuo taško iki linijos

M

Atstumas nuo taško M iki tiesės c yra...

N

Atstumas nuo taško N iki tiesės c yra...

Su

Atstumas nuo taško K iki tiesės c yra...

K

Atstumas nuo taško F iki tiesės c yra...

F

Atstumas nuo taško iki linijos

AN ⏊ A

AN= 5,2 cm

VK ⏊ A

VK= 2,8 cm

Teorema.

Visi kiekvienos iš dviejų lygiagrečių tiesių taškai yra vienodu atstumu nuo kitos tiesės

Duota: a ǁ b

A є a, B є a,

Įrodykite: atstumai nuo taškų A ir B iki tiesės a yra lygūs.

AN ⏊ b, BK ⏊ b,

Įrodykite: AH = BK

Δ ANK = ΔVKA(Kodėl?)

Iš trikampių lygybės išplaukia AN = BK

Atstumas nuo vienos iš lygiagrečių tiesių savavališko taško iki kitos linijos vadinamas atstumu tarp šių linijų.

Atvirkštinė teorema.

Visi plokštumos taškai, esantys vienoje tam tikros tiesės pusėje ir vienodu atstumu nuo jos, yra tiesėje, lygiagrečioje duotajai tiesei.

AN ⏊ b, BK ⏊ b,

АH = BK

Įrodykite: AB ǁ b

Δ ANK = ΔKVA(Kodėl?)

Iš trikampių lygybės išplaukia … , bet tai yra susidarę vidiniai skersiniai kampai … , reiškia AB ǁ NK

Koks atstumas tarp eilučių b ir c, jei atstumas tarp eilučių A ir b lygus 4, o tarp eilučių A ir c lygus 5?

A ǁ b ǁ c

Koks yra atstumas tarp eilučių b ir a, jei atstumas tarp tiesių b ir c yra 7, o tarp eilučių A ir c lygus 2?

Koks atstumas tarp eilučių A ir c, jei atstumas tarp eilučių b ir c yra 10, ir tarp eilučių b Ir a lygu 6?

Kokia yra visų plokštumos taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo dviejų nurodytų lygiagrečių tiesių, aibė?

A ǁ b

Atsakymas: tiesė, lygiagreti šioms linijoms ir esanti vienodais atstumais nuo jų.

Kokia yra visų plokštumos taškų, esančių tam tikru atstumu nuo tam tikros tiesės, aibė?

Atsakymas: Dvi linijos, lygiagrečios nurodytai linijai ir esančios tam tikru atstumu priešingose ​​jos pusėse.

Šiame straipsnyje, naudojant Vieningo valstybinio egzamino problemos C2 sprendimo pavyzdį, analizuojamas radimo metodas koordinačių metodu. Prisiminkite, kad tiesios linijos yra iškreiptos, jei jos nėra toje pačioje plokštumoje. Visų pirma, jei viena tiesė yra plokštumoje, o antroji linija kerta šią plokštumą taške, kuris nėra pirmoje tiesėje, tada tokios linijos susikerta (žr. pav.).

Norėdami rasti atstumai tarp susikirtimo linijų būtina:

1. Per vieną iš susikertančių tiesių nubrėžkite plokštumą, lygiagrečią kitai susikertančiajai linijai.
2. Nuleiskite statmeną iš bet kurio antrosios linijos taško į gautą plokštumą. Šio statmens ilgis bus reikalingas atstumas tarp linijų.

Išsamiau paanalizuokime šį algoritmą naudodamiesi uždavinio C2 sprendimo pavyzdžiu iš Vieningo valstybinio matematikos egzamino.

Atstumas tarp eilučių erdvėje

Užduotis. Vienetiniame kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Raskite atstumą tarp eilučių B.A. 1 ir D.B. 1 .

Ryžiai. 1. Piešimas užduočiai

Sprendimas. Per kubo įstrižainės vidurį D.B. 1 (taškas O) nubrėžkite tiesę, lygiagrečią tiesei A 1 B. Šios linijos susikirtimo su briaunomis taškai B.C. Ir A 1 D 1 atitinkamai žymimas N Ir M. Tiesiai MN guli plokštumoje MNB 1 ir lygiagrečiai linijai A 1 B, kuris slypi ne šioje plotmėje. Tai reiškia, kad tiesi linija A 1 B lygiagrečiai plokštumai MNB 1 remiantis tiesės ir plokštumos lygiagretumu (2 pav.).

Ryžiai. 2. Reikalingas atstumas tarp susikertančių tiesių yra lygus atstumui nuo bet kurio pasirinktos linijos taško iki pavaizduotos plokštumos

Dabar mes ieškome atstumo nuo tam tikro linijos taško A 1 Bį lėktuvą MNB 1. Šis atstumas pagal apibrėžimą bus reikalingas atstumas tarp susikirtimo linijų.

Norėdami rasti šį atstumą, naudosime koordinačių metodą. Įveskime stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą, kad jos pradžia sutaptų su tašku B, ašimi X buvo nukreiptas palei kraštą B.A., ašis Y- palei kraštą B.C., ašis Z- palei kraštą BB 1 (3 pav.).

Ryžiai. 3. Pasirenkame stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą, kaip parodyta paveikslėlyje

Plokštumos lygties radimas MNB 1 šioje koordinačių sistemoje. Norėdami tai padaryti, pirmiausia nustatome taškų koordinates M, N Ir B 1: Gautas koordinates pakeičiame į bendrąją tiesės lygtį ir gauname tokią lygčių sistemą:

Iš antrosios sistemos lygties gauname iš trečiosios, po kurios iš pirmosios gauname gautas reikšmes pakeiskite į bendrąją tiesės lygtį:

Atkreipiame dėmesį, kad kitu atveju lėktuvas MNB 1 praeitų per ištaką. Padalinkite abi šios lygties puses iš ir gausime:

Atstumas nuo taško iki plokštumos nustatomas pagal formulę.

Naudodami šį internetinį skaičiuotuvą galite rasti atstumą tarp linijų erdvėje. Pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais. Norėdami apskaičiuoti atstumą tarp eilučių erdvėje, nustatykite linijų lygties tipą („kanoninė“ arba „parametrinė“), langeliuose įveskite linijų lygčių koeficientus ir spustelėkite mygtuką „Spręsti“.

×

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Atstumas tarp linijų erdvėje – teorija, pavyzdžiai ir sprendimai

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Oxyz L 1 ir L 2:

,

(2)

Kur M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − taškai, esantys ant tiesių L 1 ir L 2, a q 1 ={m 1 , p 1 , l 1) ir q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 ) – tiesių krypties vektoriai L 1 ir L 2, atitinkamai.

Tiesės (1) ir (2) erdvėje gali sutapti, būti lygiagrečios, susikerta arba susikerta. Jei linijos erdvėje susikerta arba sutampa, tada atstumas tarp jų lygus nuliui. Apsvarstysime du atvejus. Pirmasis yra tas, kad linijos yra lygiagrečios, o antrasis yra tai, kad linijos susikerta. Likusieji yra įprasti atvejai. Jei skaičiuodami atstumą tarp lygiagrečių tiesių gauname atstumą, lygų nuliui, tai reiškia, kad šios linijos sutampa. Jei atstumas tarp susikertančių tiesių lygus nuliui, tai šios linijos susikerta.

1. Atstumas tarp lygiagrečių tiesių erdvėje

Panagrinėkime du atstumo tarp linijų skaičiavimo būdus.

1 būdas. Iš taško M 1 tiesiai L 1 nupieškite plokštumą α , statmena linijai L 2. Rasti tašką M 3 (x 3 , y 3 , y 3) plokštumos sankirtos α ir tiesiai L 3. Iš esmės randame taško projekciją M 1 tiesiai L 2. Kaip rasti taško projekciją tiesėje, žiūrėkite. Toliau apskaičiuojame atstumą tarp taškų M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Tiesiai L 2 eina per tašką M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Pakeičiančios vertybes m 2 , p 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 iš (5) gauname:

Raskime tiesės susikirtimo tašką L 2 ir lėktuvas α , tam sudarome parametrinę tiesės lygtį L 2 .

Norėdami rasti linijos susikirtimo tašką L 2 ir lėktuvas α , pakeiskite kintamųjų reikšmes x, y, z nuo (7) iki (6):

Pakeičiant gautą vertę t(7) gauname tiesės susikirtimo tašką L 2 ir lėktuvas α :

Belieka rasti atstumą tarp taškų M 1 ir M 3:

L 1 ir L 2 lygu d=7.2506.

2 būdas. Raskite atstumą tarp eilučių L 1 ir L 2 ((1) ir (2) lygtys). Pirmiausia patikriname linijų lygiagretumą L 1 ir L 2. Jeigu tiesių krypties vektoriai L 1 ir L 2 yra kolineariniai, t.y. jei yra toks skaičius λ, kad lygybė q 1 =λ q 2, tada tiesiai L 1 ir L 2 yra lygiagrečiai.

Šis atstumo tarp lygiagrečių vektorių skaičiavimo metodas pagrįstas vektorių vektorinės sandaugos koncepcija. Yra žinoma, kad vektorių ir vektorinės sandaugos norma q 1 parodytas lygiagretainio, kurį sudaro šie vektoriai, plotas (2 pav.). Kai žinote lygiagretainio plotą, galite rasti lygiagretainio viršūnę d, dalijant plotą iš pagrindo q 1 lygiagretainis.

q 1:

.

Atstumas tarp eilučių L 1 ir L 2 lygu:

,

2 pavyzdys. Išspręskime 1 pavyzdį naudodami 2 metodą. Raskite atstumą tarp eilučių

Tiesiai L 2 eina per tašką M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) ir turi krypties vektorių

Vektoriai q 1 ir q 2 yra kolineariniai. Todėl tiesiai L 1 ir L 2 yra lygiagrečiai. Norėdami apskaičiuoti atstumą tarp lygiagrečių linijų, naudojame vektorių sandaugą.

Sukurkime vektorių =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Apskaičiuokime vektorių ir vektorinę sandaugą q 1. Norėdami tai padaryti, sukuriame 3 × 3 matricą, kurios pirmoji eilutė yra baziniai vektoriai i, j, k, o likusios linijos užpildytos vektorių ir elementais q 1:

Taigi vektorių ir vektorinės sandaugos rezultatas q 1 bus vektorius:

Atsakymas: atstumas tarp eilučių L 1 ir L 2 lygu d=7.25061.

2. Atstumas tarp susikertančių linijų erdvėje

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Oxyz ir tebūnie šioje koordinačių sistemoje nurodytos tiesės L 1 ir L 2 ((1) ir (2) lygtys).

Leiskite tiesiai L 1 ir L 2 nėra lygiagrečios (lygiagrečias linijas aptarėme ankstesnėje pastraipoje). Norėdami rasti atstumą tarp eilučių L 1 ir L 2 reikia sukurti lygiagrečias plokštumas α 1 ir α 2, kad jis būtų tiesus L 1 gulėjo lėktuve α 1 tiesiai L 2 – lėktuve α 2. Tada atstumas tarp eilučių L 1 ir L 2 yra lygus atstumui tarp plokštumų L 1 ir L 2 (3 pav.).

Kur n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − plokštumos normalusis vektorius α 1. Kad lėktuvas α 1 pravažiavo tiesia linija L 1, normalus vektorius n 1 turi būti statmenas krypties vektoriui q 1 tiesiai L 1, t.y. šių vektorių skaliarinė sandauga turi būti lygi nuliui:

Tiesinių lygčių sistemos (27)−(29) sprendimas su trimis lygtimis ir keturiais nežinomaisiais A 1 , B 1 , C 1 , D 1, ir pakeičiant į lygtį

Lėktuvai α 1 ir α 2 yra lygiagretūs, todėl gauti normalieji vektoriai n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) ir n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) šios plokštumos yra kolinijinės. Jei šie vektoriai nėra lygūs, galime padauginti (31) iš tam tikro skaičiaus, kad gautas normalusis vektorius n 2 sutapo su (30) lygties normaliuoju vektoriumi.

Tada atstumas tarp lygiagrečių plokštumų apskaičiuojamas pagal formulę:

(33)

Sprendimas. Tiesiai L 1 eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ir turi krypties vektorių q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Tiesiai L 2 eina per tašką M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) ir turi krypties vektorių q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Pastatykime lėktuvą α 1, einantis per liniją L 1, lygiagreti tiesia linija L 2 .

Nuo lėktuvo α 1 eina per liniją L 1, tada jis taip pat eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ir normalusis vektorius n 1 ={m 1 , p 1 , l 1) lėktuvas α 1 statmenai krypties vektoriui q 1 tiesiai L 1. Tada plokštumos lygtis turi tenkinti sąlygą:

Nuo lėktuvo α 1 turi būti lygiagreti linijai L 2, tada turi būti įvykdyta ši sąlyga:

Pavaizduokime šias lygtis matricos forma:

(40)

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą (40) atžvilgiu A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Ši video pamoka bus naudinga norintiems savarankiškai studijuoti temą „Atstumas nuo taško iki linijos. Atstumas tarp lygiagrečių linijų“. Pamokos metu išmoksite apskaičiuoti atstumą nuo taško iki linijos. Tada mokytojas pateiks atstumo tarp lygiagrečių linijų apibrėžimą.

Šioje pamokoje susipažinsime su koncepcija "atstumas" apskritai. Šią sąvoką taip pat nurodome skaičiavimo atveju atstumai tarp dviejų taškų, taško ir tiesės, lygiagrečių tiesių

Pažiūrėkime į 1 paveikslą. Jame pavaizduoti 2 taškai A ir B. Atstumas tarp dviejų taškų A ir B yra atkarpa, kurios galai yra duotuose taškuose, tai yra atkarpa AB

Ryžiai. 1. AB – atstumas tarp taškų

Pastebėtina, kad atstumas negali būti laikomas kreive ar lūžta linija, jungiančia du taškus. Atstumas– tai trumpiausias kelias iš vieno taško į kitą. Būtent atkarpa AB yra mažiausia iš visų galimų linijų, jungiančių taškus A ir B

Apsvarstykite 2 paveikslą, kuriame pavaizduota tiesi linija A, ir taškas A, kuris nepriklauso šiai tiesei. Atstumas nuo taško A į tiesią liniją bus statmenos AN ilgis.

Ryžiai. 2. AN – atstumas tarp taško ir tiesės

Svarbu pažymėti, kad AN yra trumpiausias atstumas, nes trikampyje AMN ši atkarpa yra atkarpa, o kita savavališka atkarpa, jungianti tašką A ir liniją. A(šiuo atveju tai AM) bus hipotenuzė. Kaip žinote, koja visada yra mažesnė už hipotenuzą

Atstumo žymėjimas:

Pasvarstykime lygiagrečios linijos a ir b parodyta 3 paveiksle

Ryžiai. 3. Lygiagrečios tiesės a ir b

Užfiksuokime du taškus tiesioje linijoje a ir numeskite statmenas nuo jų į lygiagrečią tiesę b. Įrodykime, kad jei

Įrodinėjimo patogumui nubrėžkime segmentą AM. Panagrinėkime gautus trikampius AVM ir ANM. Nuo , ir tada . Taip pat,. Šie stačiakampiai trikampiai () turi bendrą AM kraštinę. Tai yra hipotenuzė abiejuose trikampiuose. Kampai AMN ir AMB yra vidiniai kryžminiai kampai su lygiagrečiomis tiesiomis AB ir NM linijomis bei skenanti AM. Pagal gerai žinomą turtą, .

Iš viso to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad . Iš trikampių lygybės išplaukia, kad AN = BM

Taigi, mes įrodėme, kad 3 paveiksle atkarpos AN ir BM yra lygios. Tai reiškia, kad atstumas tarp lygiagrečių linijų yra jų bendro statmens ilgis, o statmens pasirinkimas gali būti savavališkas. Taigi,

Taip pat yra priešingai: taškų, esančių vienodu atstumu nuo tam tikros tiesės, rinkinys sudaro tiesę, lygiagrečią duotajai.

Įtvirtinkime savo žinias ir išspręskime keletą problemų

1 pavyzdys: 272 uždavinys iš vadovėlio “Geometrija 7-9”. Autorius - Atanasyan L.S.

Lygiakraščiame trikampyje ABC nubrėžta pusiausvyra AD. Atstumas nuo taško D iki tiesės AC yra 6 cm. Raskite atstumą nuo taško A iki tiesės BC

Ryžiai. 4. Brėžinys, pavyzdžiui, 1

Sprendimas:

Lygiakraštis trikampis yra trikampis, turintis tris lygias kraštines (taigi ir tris vienodus kampus, ty kiekvienas 60 0). Lygiakraštis trikampis yra ypatingas lygiašonio trikampio atvejis, todėl visos lygiašoniam trikampiui būdingos savybės galioja ir lygiašoniam trikampiui. Todėl AD yra ne tik pusiausvyra, bet ir aukštis, todėl AD ⊥BC

Kadangi atstumas nuo taško D iki tiesės AC yra statmens, nubrėžto nuo taško D iki tiesės AC, ilgis, tai DH yra šis atstumas. Apsvarstykite trikampį IR. Jame kampas H = 90 0, nes DH yra statmenas AC (pagal atstumą nuo taško iki tiesės). Be to, šiame trikampyje kojelė DH yra priešais kampą, todėl AD = (cm) (Pagal savybę)

Atstumas nuo taško A iki tiesės BC yra statmens, nuleistos ant tiesės BC, ilgis. Pagal įrodytą AD ⊥BC, tai reiškia .

Atsakymas: 12 cm.

2 pavyzdys: 277 uždavinys iš vadovėlio “Geometrija 7-9”. Autorius - Atanasyan L.S.

Atstumas tarp lygiagrečių tiesių a ir b yra 3 cm, o atstumas tarp lygiagrečių tiesių a ir c yra 5 cm. Raskite atstumą tarp lygiagrečių tiesių b ir c

Sprendimas:

Ryžiai. 5. Pavyzdžiui, 2 brėžinys (pirmas atvejis)

Nuo tada = 5 - 3 = 2 (cm).

Tačiau šis atsakymas yra neišsamus. Yra dar viena galimybė tiesioms linijoms nustatyti plokštumoje:

Ryžiai. 6. Pavyzdžiui, 2 brėžinys (antras atvejis)

Šiuo atveju.

1. Vieningas skaitmeninių švietimo išteklių rinkinys ().
2. Matematikos dėstytojas ().

1. Nr 280, 283. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. redagavo Tikhonovas A. N. Geometrijos 7-9 klasės. M.: Nušvitimas. 2010 m
2. Stačiojo trikampio SKE hipotenuzės CE ir kojos CK suma yra 31 cm, o jų skirtumas yra 3 cm. Raskite atstumą nuo viršūnės C iki tiesės KE
3. Remiantis lygiašonio trikampio ABC AB, imamas taškas M, vienodu atstumu nuo šoninių kraštinių. Įrodykite, kad CM yra trikampio ABC aukštis
4. Įrodykite, kad visi plokštumos taškai, esantys vienoje duotosios tiesės pusėje ir vienodu atstumu nuo jos, yra lygiagrečioje duotajai tiesei

Pamokos metmenys

Trikampio kampo sumos teorema

1. Pilnas vardas: Sayfetdinova Gulnara Vasilevna

2. Darbo vieta: Tatarstano Respublikos Tukajevskio rajono savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga "Knyazevskaya vidurinė mokykla"

3. Pareigybės pavadinimas: matematikos mokytojas

4. Prekė: geometrija

5. Klasė: 7 klasė

6. Pamokos tema: Atstumas nuo taško iki linijos. Atstumas tarp lygiagrečių linijų.

7. Pagrindinė pamoka: Geometrija.7-9 kl.: vadovėlis ugdymo įstaigoms / aut. L.S. Atanasjanas, V.F. Butuzovas,

S.B. Kadomtsevas ir kt., 2010 m

8. Tikslai:

Veiklos tikslas: sudaryti sąlygas savarankiškai formuluoti ir įrodyti įstrižų ir statmenų, nukritusių iš taško į tiesę, savybių teoremą apie lygiagrečių tiesių taškų vienodumą; organizuoti mokinių veiklą naujoms žinioms ir veiklos metodams suvokti, suvokti ir iš pradžių įtvirtinti.

Ugdymo tikslas:

Tema:

spręsdami uždavinius taikyti atstumo nuo taško iki tiesės, atstumo tarp tiesių sąvokas

Metasubject:

Reguliuojantis UUD:

Kognityvinis UUD:

Komunikacinis UUD:

Asmeninis UUD:

10. Mokymo metodai: probleminis, tyrimas.
11.Švietėjiškos veiklos organizavimo formos: priekinės, grupinės, porinės, individualios, mokymo struktūros.

12.Įranga, techninės sąlygos:

Kompiuteris, projektorius, ekranas, internetas, programinė įranga: Microsoft Power Point, klasėje – 4 žmonės prie stalo.

13.Pamokos trukmė: 45 min

14.Pamokos planas

aš . Organizacinis momentas.

II . Žinių atnaujinimas.

III . Pamokos tikslo nustatymas . Naujos medžiagos įvedimas.

VI. Apibendrinant. Atspindys.

aš . Organizacinis momentas.

Tikslas: mokinių paruošimas darbui, dėmesio aktyvinimas greitam įtraukimui į veiklą.

Mokytojas : Sveiki, vaikinai? kaip tu jautiesi? Pakelkime jį ir pradėkime pamoką su šypsena! Nusišypsokime savo partnerio veidui! Nusišypsokime savo partnerio pečiams!

II . Žinių atnaujinimas.

Mokytojas : Jau šešis mėnesius studijuojate naują geometrijos dalyką ir tikriausiai žinote, kas yra teorema. Kokius įrodinėjimo būdus žinote?

Galimi mokinių atsakymai: Metodas prieštaravimu, konstruktyvusis metodas, įrodinėjimo būdas remiantis aksiomomis ir anksčiau įrodytomis teoremomis (skaidr. Nr. 2).

Mokytojas: Vaikinai, kokios asociacijos jums kelia žodį atstumas?

Galimi mokinių atsakymai: Atstumas tarp miestų, atstumas tarp stulpų, atstumas nuo kažko iki kažko (3 skaidrė).

Mokytojas: Koks atstumas tarp dviejų taškų?

Galimi mokinių atsakymai: Skyriaus ilgis (skaidr. numeris 4).

Mokytojas: 1 dalyje padarykite įrašą technologiniame žemėlapyje

Mokytojas: Atminkite, kad geometrijoje atstumas reiškia trumpiausią atstumą. Technologiniame žemėlapyje padarykite įrašą 2 dalyje

Mokytojas: Ką galima pasakyti apie tiesės AN ir tiesės a santykinę padėtį?

Mokytojas: Kaip vadinamos šios linijos?

Mokytojas: A Koks yra segmento AN pavadinimas?

Mokytojas: Atminkite: statmenas yra atkarpa. Technologiniame žemėlapyje padarykite įrašą 3 dalyje.

III. Pamokos tikslo nustatymas.Naujos medžiagos įvedimas.

Mokytojas: Praktinė užduotis:

Esame lauke, per lauką eina kelias. Nubraižykite matematinį situacijos modelį. Turime eiti į kelią. Nubraižykite trajektoriją (skaidr. Nr. 6).

Mokytojas: Kaip galima apibrėžti šią trajektoriją matematine kalba? Galimi mokinių atsakymai: Statmenas

Mokytojas: Kodėl gi ne? –

Pabandykite suteikti jam pavadinimą (7 skaidrės numeris).

Galimi mokinių atsakymai: Pasviręs.

Mokytojas: Kiek pasvirusių linijų galima nubrėžti iš šio taško?

Galimi mokinių atsakymai: Daug.

(7 skaidrės numeris).

Mokytojas: Taigi manote, kad trumpiausias kelias yra statmenas? Įrodyk.

Mokytojas: Dabar įrodykite, kad bet kuri pasvirusi linija yra didesnė už statmeną.

Ką matome paveikslėlyje?

Galimi mokinių atsakymai: stačiakampis trikampis (skaidr. Nr. 8).

Mokytojas: Kokie yra statmenų ir įstrižų pavadinimai šiame trikampyje? Galimi mokinių atsakymai: koja ir hipotenuzė.

Mokytojas: Kodėl hipotenuzė yra didesnė už koją?

Galimi mokinių atsakymai: Priešingai didesniam kampui yra didesnė pusė. Didžiausias stačiojo trikampio kampas yra stačiakampis. Priešais jį yra hipotenuzė.

Mokytojas. Ką dar galite pavadinti segmentu AC? O jeigu grįšime prie užduoties turinio?

Galimi mokinių atsakymai: Atstumas nuo taško iki linijos .

Mokytojas: Suformuluokite apibrėžimą: „Atstumas nuo taško iki tiesės yra... (statmens, nubrėžto nuo šio taško iki tiesės, ilgis)“ (skaidr. Nr. 9). Padarykite įrašą technologiniame žemėlapyje 4 dalyje.

Mokytojas: Praktinė užduotis.

Raskite atstumą nuo taško B iki tiesių A D IrDC naudojant piešimo trikampį ir liniuotę (skaidr. Nr. 10 technologinio žemėlapio taškas).

Mokytojas: Praktinė užduotis. Sukurkite dvi lygiagrečias tieses a ir b. Tiesėje a pažymėkite tašką A. Nuleiskite statmeną iš taško A į tiesę b. Padėkite tašką B ties statmens pagrindu.

Ką galite pasakyti apie AB segmentą? (11 skaidrė).

Jis yra statmenas tiesei a ir tiesei b.

Mokytojas: Todėl jis vadinamas bendruoju statmenu (skaidr. Nr. 13). Technologiniame žemėlapyje padarykite įrašą 5 punkte

Mokytojas: Technologiniame žemėlapyje padarykite įrašą 6 punkte

Mokytojas: Užduotis. Linoleumą reikia kloti ant grindų ilgame koridoriuje. Yra žinoma, kad dvi priešingos sienos yra lygiagrečios. Viename koridoriaus gale buvo nubrėžtas bendras statmenas, kurio ilgis pasirodė 4 m Ar verta dar kartą tikrinti bendrųjų statmenų ilgius kitose koridoriaus vietose? (skaidr. numeris 14).

Galimi mokinių atsakymai: Nereikia, jų ilgis taip pat bus lygus 4.

Mokytojas: Įrodyk. Bet pirmiausia nupieškite matematinį šios situacijos modelį. Norėdami įrodyti, paryškinkite kas žinoma ir ką reikia įrodyti.

Kaip geometrijoje paprastai įrodoma atkarpų ir kampų lygybė?

Galimi mokinių atsakymai: Per trikampių, turinčių šiuos segmentus ir kampus, lygybę. Sugalvokite konstrukciją, kuri leistų mums įrodyti šių trikampių lygybę.

Struktūra VienišasApvalusRobinas:

2. Keturi mokiniai komandoje atsako vieną kartą.

Mokytojas: Įrodykite lygybę atkarpas AB ir CD per trikampių lygybę . Iškabų lentoje užrašykite tris trikampio lygybės testo sąlygas.

1.Mokytojas užduoda klausimą ir duoda laiko pagalvoti

Studentai atlieka papildomas konstrukcijas, įrodo trikampių lygybę, padaro išvadą apie atkarpų AB ir CD lygybę (skaidr. Nr. 15-17).

Mokytojas: Segmentai AB ir CD yra lygūs. Ką galima pasakyti apie taškus A ir C tiesės BD atžvilgiu?

Galimi mokinių atsakymai: Jie yra vienodu atstumu. Jie yra vienodu atstumu (skaidr. numeris 18).

Mokytojas: Ar ši nuosavybė tinka kokiems nors balams?

Galimi mokinių atsakymai: Taip

Mokytojas: Pabandykime suformuluoti šią savybę. Iš ko susideda turto deklaracija?

Galimi mokinių atsakymai: Iš sąlygos ir išvados (skaidr. Nr. 19,20).

Galimi mokinių atsakymai: Jei taškai yra vienoje iš lygiagrečių tiesių, tada jie yra vienodu atstumu nuo antrosios linijos.

Mokytojas: Redaguokite šią savybę be jungtukų: if, then (skaidrės numeris 21).

Galimi mokinių atsakymai: Taškai, esantys vienoje iš lygiagrečių tiesių, yra vienodu atstumu nuo antrosios linijos.

Mąstykite ir rašykite „Round Robin“ struktūra:

1.Mokytojas užduoda klausimą ir duoda laiko pagalvoti

2. Mokiniai pagalvoja ir surašo atsakymą ant savo popieriaus lapo

3. Mokiniai pakaitomis skaito savo atsakymą nuo popieriaus lapo.

Mokytojas: Kuris teiginys vadinamas atvirkštiniu?

Galimi mokinių atsakymai: Jei sąlyga ir išvada yra sukeisti.

Mokytojas: Suformuluokite priešingą teiginį (skaidrės numeris 22).

Galimi mokinių atsakymai: Jei taškai, esantys vienoje iš dviejų tiesių, yra vienodu atstumu nuo antrosios tiesės, tada linijos yra lygiagrečios.

Mokytojas: Technologiniame žemėlapyje padarykite įrašą 7,8 punktuose.

Mokytojas: Ar įmanoma apibrėžti tokią sąvoką kaip atstumą tarp lygiagrečių linijų?

Galimi mokinių atsakymai: Taip

Mokytojas: Ką galima pavadinti atstumu tarp lygiagrečių tiesių

Galimi mokinių atsakymai: Bendrojo statmens ilgis. Technologiniame žemėlapyje padarykite įrašą 5 punkte.

IV. Teoremos taikymas, vykdymaspraktinis darbas.

Mokytojas: Praktinis darbas. Raskite juostelės plotį.

Kokia matematinė sąvoka yra juostos plotis?

Mokytojas: Kur dar šios teoremos naudojamos praktiniame gyvenime?

VI. Apibendrinant. Atspindys.

Mokytojas: Su kokiomis naujomis sąvokomis susipažinote?

Ko išmokote pamokoje?

Kur gyvenime tai pritaikysime?

(skaidr. Nr. 26-28)

Mokytojas: Technologiniame žemėlapyje padarykite įrašą 9 punkte

Namų darbas Nr.276.279 – atvirkštinės teoremos įrodymas.

Pamokos savianalizė

Tikslai:

Veiklos tikslas: sudaryti sąlygas savarankiškai suformuluoti ir įrodyti pasvirusios ir statmenos, nukritusios iš taško į tiesę, savybes, sudaryti sąlygas įrodyti teoremą apie lygiagrečių tiesių taškų vienodumą; organizuoti mokinių veiklą naujoms žinioms ir veiklos metodams suvokti, suvokti ir iš pradžių įtvirtinti.

Ugdymo tikslas: išsiugdyti žinias, kad statmuo yra mažesnis už bet kurį nuolydį, nubrėžtą nuo vieno taško iki tiesės, visi kiekvienos iš dviejų lygiagrečių tiesių taškai yra vienodu atstumu nuo kitos tiesės.

Tema: studentas turės galimybę išmokti:

taikykite teoremą sprendžiant praktines problemas

analizuoti, lyginti, apibendrinti, daryti išvadas sprendžiant praktines problemas.

Metasubject:

Reguliuojantis UUD:

gebėjimas savarankiškai kelti tikslus, parinkti ir kurti ugdymo matematinių uždavinių sprendimo algoritmus;

gebėjimas planuoti ir vykdyti veiklą, nukreiptą į tyrimo problemų sprendimą.

Kognityvinis UUD:

• • gebėjimas nustatyti priežasties ir pasekmės ryšius, kurti loginius samprotavimus, išvadas, išvadas;

  • gebėjimas kelti hipotezes sprendžiant ugdymo problemas ir suprasti būtinybę jas tikrinti; gebėjimas naudoti indukcinius ir dedukcinius samprotavimo metodus, įžvelgti skirtingas problemų sprendimo strategijas;

  • formuoti pirmines idėjas apie matematikos, kaip universalios mokslo kalbos, reiškinių ir procesų modeliavimo priemonės, idėjas ir metodus;

  • gebėjimas suprasti ir naudoti brėžinius bei brėžinius iliustracijai, interpretacijai, argumentacijai.

Komunikacinis UUD:

• gebėjimas organizuoti ugdomąjį bendradarbiavimą ir bendrą veiklą su mokytoju ir mokiniais, nustatyti tikslus, paskirstyti dalyvių funkcijas ir vaidmenis, bendruosius darbo būdus;

• gebėjimas dirbti grupėje: rasti bendrą sprendimą ir spręsti konfliktus, remiantis pozicijų derinimu ir atsižvelgiant į interesus, išklausant partnerį, formuluojant, argumentuojant ir ginant savo nuomonę.

Asmeninis UUD:

• komunikacinės kompetencijos formavimas bendraujant ir bendradarbiaujant bendroje edukacinėje ir mokslinėje veikloje;

  ugdyti gebėjimą aiškiai, tiksliai, kompetentingai reikšti savo mintis žodžiu ir raštu, suprasti užduoties prasmę, argumentuoti, pateikti pavyzdžių ir kontrapavyzdžių;

  kritinio mąstymo ugdymas, gebėjimas atpažinti logiškai neteisingus teiginius, atskirti hipotezę nuo fakto;

  ugdyti kūrybinį mąstymą, iniciatyvumą, išradingumą ir aktyvumą sprendžiant geometrinius uždavinius.

Pamokos fragmento struktūra atitiko tipą – pamoka apie naujų žinių atradimą. Atsižvelgiant į medžiagos tikslus ir turinį, pamoka buvo suskirstyta į šiuos etapus:

aš . Organizacinis momentas.

II . Žinių atnaujinimas.

III . Pamokos tikslo nustatymas . Naujos medžiagos įvedimas.

IV. Teoremos taikymas, praktinio darbo įgyvendinimas.

VI. Apibendrinant.

Buvo laikomasi visų struktūrinių pamokos elementų. Ugdymo proceso organizavimas grindžiamas veiklos metodu.

Pirmojo etapo tikslasMokinius buvo lengva greitai integruoti į verslo ritmą.

Antrame etape atnaujintos žinios, reikalingos darbui su nauja medžiaga.

Trečiajame etapeSiekiant apibrėžti atstumo nuo taško iki linijos sąvokas, pasvirusiosios linijos sąvoka patraukė vaikus į praktinę veiklą su paieškos elementais. Pirmiausia intuityviu lygiu studentai iškėlė hipotezę, tada savarankiškai įrodė statmens ir įstrižo, nubrėžto iš vieno taško į tiesę, savybę.

Apskritai praktines užduotis atlikau visos pamokos metu, taip pat ir per pirminį konsolidavimą. Jie padeda pritraukti mokinius į savarankišką pažintinę veiklą, sprendžia kompetencijomis grįsto požiūrio į mokymąsi problemas.

Teoremai apie lygiagrečių tiesių taškų vienodumą suformuluoti ir įrodyti panaudojau probleminę užduotį, kuri padėjo suformuluoti hipotezę apie nagrinėjamų objektų savybes ir vėliau ieškoti pateiktos prielaidos pagrįstumo įrodymų. pirmyn.

Organizuodamas teoremos, o vėliau ir atvirkštinės teoremos formulavimo darbą, pasiekiau savo tiksląpirminių idėjų apie matematikos, kaip universalios mokslo kalbos, reiškinių ir procesų modeliavimo priemonės, idėjas ir metodus kūrimas.

Mokomoji ir pažintinė veikla buvo organizuojama frontaliniu, individualiu ir grupiniu darbu. Ši organizacija leido kiekvieną mokinį įtraukti į aktyvią veiklą siekiant tikslo. Mokiniai bendradarbiavo tarpusavyje, teikė savitarpio pagalbą.

Laikas, manau, buvo paskirstytas racionaliai. Per trumpą laiką pavyko supažindinti su atstumo nuo taško iki tiesės, pasvirosios, atstumo tarp lygiagrečių tiesių sąvokomis, suformuluoti ir įrodyti dvi teoremas, apsvarstyti teoremos pritaikymą praktikoje. .

Aiškumo dėlei per pamoką panaudojau pristatymą. Demonstracijai panaudojau specialią programą, skirtą įstrižinės ir statmenos ilgiui palyginti, kurioje geometrinės figūros atgyja. Pamokos metu naudojau mokinių darbus signalinėje lentoje, kuri sprendžia lygiaverčio mokinių dalyvavimo pamokoje, medžiagos mokymosi kontrolės problemas ir, žinoma, aktyvina mokinį pamokoje.

Mokiniai pamokos metu buvo aktyvūs, man pavyko juos įtraukti į tiriamąją veiklą, kūrybinę veiklą, konstruktyviu teoremos įrodinėjimo metodu, formuluojant teoremą.

Pamokos pabaigoje mokiniai patys suformulavo temą.

Atspindys