Tikriausiai visi žino, kas yra parabolė. Tačiau toliau apžvelgsime, kaip teisingai ir kompetentingai jį naudoti sprendžiant įvairias praktines problemas.
Pirmiausia apibūdinkime pagrindines sąvokas, kurias algebra ir geometrija suteikia šiam terminui. Panagrinėkime visus galimus šio grafiko tipus.
Išsiaiškinkime visas pagrindines šios funkcijos savybes. Supraskime kreivės konstravimo (geometrijos) pagrindus. Sužinokime, kaip rasti šio tipo grafiko aukščiausias ir kitas pagrindines reikšmes.
Išsiaiškinkime: kaip teisingai sukonstruoti norimą kreivę naudojant lygtį, į ką reikia atkreipti dėmesį. Pažvelkime į pagrindinį šios unikalios vertybės praktinį pritaikymą žmogaus gyvenime.
Kas yra parabolė ir kaip ji atrodo?
Algebra: šis terminas reiškia kvadratinės funkcijos grafiką.
Geometrija: tai antros eilės kreivė, turinti keletą specifinių savybių:
Kanoninė parabolės lygtis
Paveiksle pavaizduota stačiakampė koordinačių sistema (XOY), ekstremumas, funkcijos šakų kryptis, brėžiama išilgai abscisių ašies.
Kanoninė lygtis yra tokia:
y 2 = 2 * p * x,
kur koeficientas p yra parabolės (AF) židinio parametras.
Algebroje jis bus parašytas kitaip:
y = a x 2 + b x + c (atpažįstamas modelis: y = x 2).
Kvadratinės funkcijos savybės ir grafikas
Funkcija turi simetrijos ašį ir centrą (ekstremumą). Apibrėžimo sritis yra visos abscisių ašies reikšmės.
Funkcijos reikšmių diapazonas – (-∞, M) arba (M, +∞) priklauso nuo kreivės šakų krypties. Parametras M čia reiškia funkcijos reikšmę eilutės viršuje.
Kaip nustatyti, kur nukreiptos parabolės šakos
Norėdami iš išraiškos rasti tokio tipo kreivės kryptį, turite nustatyti ženklą prieš pirmąjį algebrinės išraiškos parametrą. Jei a ˃ 0, tada jie nukreipti į viršų. Jei yra atvirkščiai, žemyn.
Kaip rasti parabolės viršūnę naudojant formulę
Ekstremo radimas yra pagrindinis žingsnis sprendžiant daugelį praktinių problemų. Žinoma, galite atidaryti specialius internetinius skaičiuotuvus, tačiau geriau tai padaryti patys.
Kaip tai nustatyti? Yra speciali formulė. Kai b nelygus 0, turime ieškoti šio taško koordinačių.
Formulės viršūnei rasti:
- x 0 = -b / (2 * a);
- y 0 = y (x 0).
Pavyzdys.
Yra funkcija y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Raskime šios funkcijos viršūnes.
Tokiai eilutei:
- x = -16 / (2 * 4) = -2;
- y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
Gauname viršūnės koordinates (-2, -41).
Parabolės poslinkis
Klasikinis atvejis, kai kvadratinėje funkcijoje y = a x 2 + b x + c antrasis ir trečiasis parametrai lygūs 0, o = 1 – viršūnė yra taške (0; 0).
Judėjimą išilgai abscisių arba ordinačių ašių lemia atitinkamai b ir c parametrų pasikeitimai. Linija plokštumoje bus paslinkta tiksliai tiek vienetų, kiek parametro vertė.
Pavyzdys.
Turime: b = 2, c = 3.
Tai reiškia, kad klasikinė kreivės forma pasislinks 2 vienetais išilgai abscisių ašies ir 3 išilgai ordinačių ašies.
Kaip sukurti parabolę naudojant kvadratinę lygtį
Svarbu, kad moksleiviai išmoktų teisingai nupiešti parabolę pagal pateiktus parametrus.
Analizuodami išraiškas ir lygtis, galite pamatyti šiuos dalykus:
- Norimos tiesės susikirtimo taškas su ordinačių vektoriumi turės reikšmę, lygią c.
- Visi grafiko taškai (išilgai x ašies) bus simetriški pagrindinio funkcijos ekstremumo atžvilgiu.
Be to, susikirtimo taškus su OX galima rasti žinant tokios funkcijos diskriminantą (D):
D = (b 2 - 4 * a * c).
Norėdami tai padaryti, išraišką turite prilyginti nuliui.
Parabolės šaknų buvimas priklauso nuo rezultato:
- D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
- D = 0, tada x 1, 2 = -b / (2 * a);
- D ˂ 0, tada nėra susikirtimo taškų su vektoriumi OX.
Gauname parabolės konstravimo algoritmą:
- nustatyti šakų kryptį;
- rasti viršūnės koordinates;
- rasti sankirtą su ordinačių ašimi;
- raskite sankirtą su x ašimi.
1 pavyzdys.
Duota funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Būtina sukonstruoti parabolę. Mes laikomės algoritmo:
- a = 1, todėl šakos nukreiptos į viršų;
- ekstremalios koordinatės: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- kertasi su ordinačių ašimi, kai vertė y = 4;
- raskime diskriminantą: D = 25 - 16 = 9;
- Ieškau šaknų:
- X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
- X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).
2 pavyzdys.
Funkcijai y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 reikia sukurti parabolę. Mes veikiame pagal pateiktą algoritmą:
- a = 3, todėl šakos nukreiptos į viršų;
- ekstremalios koordinatės: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- susikirs su y ašimi reikšme y = -1;
- Raskime diskriminantą: D = 4 + 12 = 16. Taigi šaknys yra:
- X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
- X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).
Naudodami gautus taškus galite sukonstruoti parabolę.
Kryptis, ekscentriškumas, parabolės židinys
Remiantis kanonine lygtimi, F židinys turi koordinates (p/2, 0).
Tiesi linija AB yra kryptis (tam tikro ilgio parabolės styga). Jo lygtis: x = -p/2.
Ekscentriškumas (pastovi) = 1.
Išvada
Apžvelgėme temą, kurią mokiniai mokosi vidurinėje mokykloje. Dabar žinote, žvelgdami į kvadratinę parabolės funkciją, kaip rasti jos viršūnę, į kurią pusę bus nukreiptos šakos, ar yra poslinkis išilgai ašių, ir, turėdami konstravimo algoritmą, galite nubraižyti jos grafiką.
Siūlau likusiems skaitytojams gerokai išplėsti savo mokyklines žinias apie paraboles ir hiperboles. Hiperbolė ir parabolė – ar tai paprasti? ...Negaliu laukti =)
Hiperbolė ir jos kanoninė lygtis
Bendra medžiagos pateikimo struktūra bus panaši į ankstesnę pastraipą. Pradėkime nuo bendros hiperbolės sampratos ir jos konstravimo užduoties.
Kanoninė hiperbolės lygtis turi formą , kur yra teigiami realieji skaičiai. Atkreipkite dėmesį, kad, skirtingai nei elipsė, sąlyga čia netaikoma, tai yra, „a“ reikšmė gali būti mažesnė už „be“ reikšmę.
Turiu pasakyti, visai netikėtai... „mokyklinės“ hiperbolės lygtis nė iš tolo neprimena kanoninio žymėjimo. Tačiau šios paslapties dar teks mūsų palaukti, bet kol kas laužykime galvą ir prisiminkime, kokių būdingų bruožų turi aptariama kreivė? Paskleiskime ją savo vaizduotės ekrane funkcijos grafikas ….
Hiperbolė turi dvi simetriškas šakas.
Nebloga pažanga! Bet kuri hiperbolė turi šias savybes, o dabar su nuoširdžiu susižavėjimu žiūrėsime į šios linijos iškirptę:
4 pavyzdys
Sukurkite hiperbolę, pateiktą pagal lygtį
Sprendimas: pirmame žingsnyje šią lygtį perkeliame į kanoninę formą. Prisiminkite standartinę procedūrą. Dešinėje turite gauti „vieną“, todėl abi pradinės lygties puses padaliname iš 20: 
Čia galite sumažinti abi frakcijas, tačiau optimaliau daryti kiekvieną iš jų trijų aukštų:
Ir tik po to atlikite sumažinimą:
Vardikliuose pasirinkite kvadratus:
Kodėl transformacijas geriau atlikti tokiu būdu? Juk kairėje pusėje esančias frakcijas galima iš karto sumažinti ir gauti. Faktas yra tas, kad nagrinėjamame pavyzdyje mums šiek tiek pasisekė: skaičius 20 dalijasi ir iš 4, ir iš 5. Bendru atveju toks skaičius neveikia. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygtį. Čia su dalinamumu viskas liūdniau ir be triaukštės trupmenos nebeįmanoma: 
Taigi, panaudokime savo darbo vaisius – kanoninę lygtį:
Kaip sukurti hiperbolę?
Yra du hiperbolės konstravimo būdai – geometrinis ir algebrinis.
Žvelgiant iš praktinės pusės, piešimas kompasu... net sakyčiau utopiškas, todėl daug labiau apsimoka eilinį kartą į pagalbą pasitelkti paprastus skaičiavimus.
Patartina laikytis šio algoritmo, pirmiausia baigtas brėžinys, tada komentarai:
Praktikoje dažnai susiduriama su sukimosi savavališku kampu ir lygiagrečiu hiperbolės vertimu deriniu. Ši situacija aptariama klasėje 2 eilės eilutės lygties redukavimas į kanoninę formą.
Parabolė ir jos kanoninė lygtis
Baigta! Ji yra ta. Pasiruošę atskleisti daugybę paslapčių. Kanoninė parabolės lygtis turi formą , kur yra tikrasis skaičius. Nesunku pastebėti, kad standartinėje padėtyje parabolė „guli ant šono“, o jos viršūnė yra ištakoje. Šiuo atveju funkcija nurodo viršutinę šios eilutės šaką, o funkcija – apatinę. Akivaizdu, kad parabolė yra simetriška ašies atžvilgiu. Tiesą sakant, kam nerimauti:
6 pavyzdys
Sukurkite parabolę
Sprendimas: viršūnė žinoma, suraskime papildomų taškų. Lygtis 
nustato viršutinį parabolės lanką, lygtis – apatinį lanką.
Norėdami sutrumpinti skaičiavimų įrašymą, atliksime skaičiavimus „vienu teptuku“: 
Kompaktiško įrašymo rezultatai gali būti apibendrinti lentelėje.
Prieš atlikdami elementarų taškinį piešinį, suformuluokime griežtą
parabolės apibrėžimas:
Parabolė yra visų plokštumos taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo tam tikro taško ir tam tikros tiesės, kuri nekerta taško, aibė.
Taškas vadinamas sutelkti dėmesį parabolės, tiesi linija - direktorė (parašyta vienu „es“) parabolės. Kanoninės lygties pastovioji „pe“ vadinama židinio parametras, kuris yra lygus atstumui nuo židinio iki krypties. Šiuo atveju. Šiuo atveju židinys turi koordinates, o kryptis pateikiama lygtimi.
Mūsų pavyzdyje: 
Parabolės apibrėžimą suprasti dar paprasčiau nei elipsės ir hiperbolės apibrėžimus. Bet kuriame parabolės taške atkarpos ilgis (atstumas nuo židinio iki taško) yra lygus statmenos ilgiui (atstumas nuo taško iki krypties):
Sveikiname! Daugelis iš jūsų šiandien padarė tikrą atradimą. Pasirodo, hiperbolė ir parabolė visai nėra „įprastų“ funkcijų grafikai, o turi ryškią geometrinę kilmę.
Akivaizdu, kad padidėjus židinio parametrui, grafiko šakos „kels“ aukštyn ir žemyn, be galo arti ašies. Kai „pe“ reikšmė mažėja, jie pradės spausti ir ištempti išilgai ašies
Bet kurios parabolės ekscentriškumas yra lygus vienybei:
Parabolės sukimasis ir lygiagretus vertimas
Parabolė yra viena iš labiausiai paplitusių matematikos eilučių, todėl ją kurti teks tikrai dažnai. Todėl atkreipkite ypatingą dėmesį į paskutinę pamokos pastraipą, kurioje aptarsiu tipinius šios kreivės vietos variantus.
! Pastaba : kaip ir ankstesnių kreivių atveju, teisingiau kalbėti apie sukimąsi ir lygiagretų koordinačių ašių vertimą, tačiau autorius apsiribos supaprastinta pristatymo versija, kad skaitytojas turėtų pagrindinį supratimą apie šias transformacijas.
Parabolė yra begalinė kreivė, susidedanti iš taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo nurodytos tiesės, vadinamos parabolės kryptis, ir nurodyto taško, parabolės židinio. Parabolė yra kūgio pjūvis, tai yra, ji reiškia plokštumos ir apskrito kūgio sankirtą.
Apskritai matematinė parabolės lygtis yra tokia: y=ax^2+bx+c, kur a nėra lygus nuliui, b atspindi funkcijos grafiko horizontalų poslinkį nuo pradžios, o c yra vertikali funkcijos grafiko poslinkis kilmės atžvilgiu. Be to, jei a>0, tai braižant grafiką jie bus nukreipti į viršų, o jei parabolės savybės
Parabolė yra antros eilės kreivė, kurios simetrijos ašis eina per parabolės židinį ir statmena parabolės krypčiai.
Parabolė turi ypatingą optinę savybę, kurią sudaro lygiagrečių jos simetrijos ašiai į parabolę nukreiptų šviesos spindulių fokusavimas parabolės viršūnėje ir šviesos pluošto, nukreipto į parabolės viršūnę, fokusavimas į lygiagrečius šviesos spindulius. ta pati ašis.
Jei atspindėsite parabolę bet kurios liestinės atžvilgiu, tada parabolės vaizdas atsiras jos kryptyje. Visos parabolės yra panašios viena į kitą, tai yra, kiekviename dviejuose vienos parabolės taškuose A ir B yra taškai A1 ir B1, kuriems teiginys |A1,B1| = |A,B|*k, kur k yra panašumo koeficientas, kuris skaitine verte visada yra didesnis už nulį.
Parabolės pasireiškimas gyvenime
Kai kurie kosminiai kūnai, tokie kaip kometos ar asteroidai, dideliu greičiu prasilenkiantys šalia didelių kosminių objektų, turi parabolės formos trajektoriją. Ši mažų kosminių kūnų savybė naudojama erdvėlaivių gravitaciniuose manevruose.
Būsimiems kosmonautams apmokyti specialūs orlaivių skrydžiai vykdomi žemėje pagal parabolinę trajektoriją ir taip pasiekiamas nesvarumo efektas žemės gravitaciniame lauke.
Kasdieniame gyvenime parabolių galima rasti įvairiuose šviestuvuose. Taip yra dėl optinių parabolės savybių. Vienas iš naujausių parabolės panaudojimo būdų, paremtas jos šviesos spindulių fokusavimo ir defokusavimo savybėmis, yra saulės baterijos, kurios vis dažniau įtraukiamos į energijos tiekimo sektorių pietiniuose Rusijos regionuose.
Parabolė yra plokštumos taškų, kurie yra vienodai nutolę nuo nurodyto taško F ir tiesės d, kuri nekerta tam tikro taško, vieta. Šis geometrinis apibrėžimas išreiškia režisūrinė parabolės nuosavybė.
Režisūrinė parabolės nuosavybė
Taškas F vadinamas parabolės židiniu, linija d yra parabolės kryptis, statmens, nuleistos nuo židinio iki krypties, vidurio taškas O yra parabolės viršūnė, atstumas p nuo židinio iki krypties. yra parabolės parametras, o atstumas \frac(p)(2) nuo parabolės viršūnės iki jos židinio yra židinio nuotolis (3.45a pav.). Tiesė, statmena krypčiai ir einanti per židinį, vadinama parabolės ašimi (parabolės židinio ašimi). Atkarpa FM, jungianti savavališką parabolės tašką M su jo židiniu, vadinama taško M židinio spinduliu. Atkarpa, jungianti du parabolės taškus, vadinama parabolės styga.
Savavališkam parabolės taškui atstumo iki židinio ir atstumo iki krypties santykis yra lygus vienetui. Palyginę , ir parabolių direktorijų ypatybes, darome tokią išvadą parabolės ekscentriškumas pagal apibrėžimą lygus vienetui (e=1).
Geometrinis parabolės apibrėžimas, išreiškiantis jo direktorijos savybę, yra lygiavertis jo analitiniam apibrėžimui – tiesei, apibrėžtai kanonine parabolės lygtimi:
Išties, įveskime stačiakampę koordinačių sistemą (3.45 pav., b). Koordinačių sistemos pradžia laikome parabolės viršūnę O; abscisių ašimi laikykime tiesę, einančią per židinį, statmeną krypčiai (teigiama kryptis joje yra nuo taško O iki taško F); Ordinačių ašimi laikykime tiesę, statmeną abscisių ašiai, einančią per parabolės viršūnę (kryptis ordinačių ašyje parenkama taip, kad stačiakampė koordinačių sistema Oxy būtų teisinga).
Sukurkime parabolės lygtį, naudodami jos geometrinį apibrėžimą, kuris išreiškia parabolės krypties savybę. Pasirinktoje koordinačių sistemoje nustatome židinio koordinates F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) ir krypties lygtis x=-\frac(p)(2) . Savavališkam taškui M(x,y), priklausančiam parabolei, turime:
FM=MM_d,
Kur M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- taško M(x,y) stačiakampė projekcija į kryptį. Šią lygtį užrašome koordinačių forma:
\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Abi lygties puses padalijame kvadratu: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Pateikdami panašias sąlygas, gauname kanoninė parabolės lygtis
y^2=2\cdot p\cdot x, tie. pasirinkta koordinačių sistema yra kanoninė.
Atlikdami samprotavimus atvirkštine tvarka, galime parodyti, kad visi taškai, kurių koordinatės tenkina (3.51) lygtį, ir tik jie priklauso taškų lokusui, vadinamam parabole. Taigi, analitinis parabolės apibrėžimas yra lygiavertis jos geometriniam apibrėžimui, kuris išreiškia parabolės direktyvinę savybę.
Parabolės lygtis polinėje koordinačių sistemoje
Parabolės lygtis polinėje koordinačių sistemoje Fr\varphi (3.45 pav., c) turi formą
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kur p yra parabolės parametras, o e = 1 yra jos ekscentriškumas.
Tiesą sakant, poliarinės koordinačių sistemos poliu pasirenkame parabolės židinį F, o poliarine ašimi - spindulį, kurio pradžia taške F, statmeną krypčiai ir jos nekertantį (3.45 pav., c). . Tada savavališkam taškui M(r,\varphi), priklausančiam parabolei, pagal geometrinį parabolės apibrėžimą (krypties savybę) gauname MM_d=r. Nes MM_d=p+r\cos\varphi, gauname parabolės lygtį koordinačių forma:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. Atkreipkite dėmesį, kad poliarinėse koordinatėse elipsės, hiperbolės ir parabolės lygtys sutampa, tačiau apibūdinkite skirtingas tieses, nes jos skiriasi ekscentriškumu (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 už ).
Geometrinė parametro reikšmė parabolės lygtyje
Paaiškinkime geometrinė parametro reikšmė p kanoninėje parabolės lygtyje. Pakeitę x=\frac(p)(2) į lygtį (3.51), gauname y^2=p^2, t.y. y=\pm p . Todėl parametras p yra pusė parabolės stygos, einančios per jos židinį statmenai parabolės ašiai, ilgio.
Parabolės židinio parametras, taip pat elipsei ir hiperbolei, vadinama puse stygos, einančios per jos židinį statmenai židinio ašiai, ilgio (žr. 3.45 pav., c). Iš parabolės lygties polinėmis koordinatėmis ties \varphi=\frac(\pi)(2) gauname r=p, t.y. parabolės parametras sutampa su jos židinio parametru.
Pastabos 3.11.
1. Parabolės parametras p apibūdina jos formą. Kuo p didesnis, tuo platesnės parabolės šakos, tuo p arčiau nulio, tuo siauresnės parabolės šakos (3.46 pav.).
2. Lygtis y^2=-2px (kai p>0) apibrėžia parabolę, kuri yra į kairę nuo ordinačių ašies (3.47 pav.,a). Ši lygtis sumažinama iki kanoninės, pakeitus x ašies kryptį (3.37). Fig. 3.47,a rodo duotąją koordinačių sistemą Oxy ir kanoninę Ox"y".
3. Lygtis (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 apibrėžia parabolę su viršūne O"(x_0,y_0), kurios ašis lygiagreti abscisių ašiai (3.47 pav.,6). Ši lygtis, naudojant lygiagretųjį vertimą, redukuojama į kanoninę (3.36).
Lygtis (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, taip pat apibrėžia parabolę su viršūne O"(x_0,y_0), kurios ašis lygiagreti ordinačių ašiai (3.47 pav., c). Ši lygtis redukuojama iki kanoninės naudojant lygiagretųjį vertimą (3.36) ir pervadinant koordinačių ašys (3.38) 3.47,b,c pav. pavaizduotos pateiktos koordinačių sistemos Oxy ir kanoninės koordinačių sistemos Ox"y".
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 yra parabolė su viršūne taške O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), kurios ašis lygiagreti ordinačių ašiai, parabolės šakos nukreiptos aukštyn (jeigu a>0) arba žemyn (a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftright rodyklė \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,
kuri redukuojama iki kanoninės formos (y")^2=2px" , kur p=\left|\frac(1)(2a)\right|, naudojant pakaitalą y"=x+\frac(b)(2a) Ir x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).
Ženklas pasirenkamas taip, kad sutaptų su pirmaujančio koeficiento a ženklu. Šis pakeitimas atitinka kompoziciją: lygiagretus perkėlimas (3.36) su x_0=-\frac(b)(2a) Ir y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), pervardijant koordinačių ašis (3.38), o a atveju<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ir a<0 соответственно.
5. Kanoninės koordinačių sistemos x ašis yra parabolės simetrijos ašis, nes kintamąjį y pakeitus -y lygtis (3.51) nekeičiama. Kitaip tariant, taško M(x,y), priklausančio parabolei, koordinatės ir taško M"(x,-y) koordinatės, simetriškos taškui M x ašies atžvilgiu, atitinka lygtį. (3.S1) vadinamos kanoninės koordinačių sistemos ašys pagrindinės parabolės ašys.
3.22 pavyzdys.
Nubraižykite parabolę y^2=2x kanoninėje koordinačių sistemoje Oxy. Raskite židinio parametrą, židinio koordinates ir krypties lygtį. Sprendimas. Konstruojame parabolę, atsižvelgdami į jos simetriją abscisių ašies atžvilgiu (3.49 pav.). Jei reikia, nustatykite kai kurių parabolės taškų koordinates. Pavyzdžiui, pakeitę x=2 į parabolės lygtį, gauname y^2=4~\Leftright arrow~y=\pm2
. Vadinasi, taškai su koordinatėmis (2;2),\,(2;-2) priklauso parabolei. Palyginę pateiktą lygtį su kanonine (3.S1), nustatome židinio parametrą: p=1. Fokusavimo koordinatės x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 , t.y. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right)
. Sudarome krypties lygtį x=-\frac(p)(2) , t.y. x=-\frac(1)(2) .
1. Režisūros ypatybę galima naudoti kaip vieną elipsės, hiperbolės, parabolės apibrėžimą (žr. 3.50 pav.): geometrinis taškų lokusas plokštumoje, kurių kiekvieno atstumo iki duoto taško F (fokusas) ir atstumo iki nurodytos tiesės d (krypties), nekertančios tam tikro taško, santykis yra pastovus ir lygus ekscentriškumui e, vadinamas:
a) jei 0\leqslant e<1 ;
b) jei e>1;
c) parabolė, jei e=1.
2. Elipsė, hiperbolė ir parabolė gaunamos kaip plokštumos apskrito kūgio atkarpose ir todėl vadinamos kūginės sekcijos. Ši savybė taip pat gali būti naudojama kaip geometrinis elipsės, hiperbolės ir parabolės apibrėžimas.
3. Įprastos elipsės, hiperbolės ir parabolės savybės bisektorinė nuosavybė jų liestinės. Pagal liestinėį tiesę tam tikrame taške K suprantama kaip ribinė sekanto KM padėtis, kai taškas M, likęs nagrinėjamoje tiesėje, krypsta į tašką K. Vadinama tiesė, statmena tiesės liestinei ir einanti per liesties tašką normalusį šią eilutę.
Elipsės, hiperbolės ir parabolės liestinių (ir normaliųjų) bisektorinė savybė formuluojama taip: elipsės arba hiperbolės liestinė (normalioji) sudaro lygius kampus su liestinės taško židinio spinduliais(3.51 pav., a, b); parabolės liestinė (normalioji) sudaro lygius kampus su liečiamojo taško židinio spinduliu ir statmenu, nuleistu nuo jo į kryptį(3.51 pav., c). Kitaip tariant, elipsės liestinė taške K yra trikampio F_1KF_2 išorinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra trikampio vidinio kampo F_1KF_2 pusiausvyra); hiperbolės liestinė yra trikampio F_1KF_2 vidinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra išorinio kampo pusiausvyra); parabolės liestinė yra trikampio FKK_d vidinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra išorinio kampo pusiausvyra). Parabolės liestinės bisektorinė savybė gali būti suformuluota taip pat, kaip elipsės ir hiperbolės atveju, jei manome, kad parabolė turi antrąjį židinį taške begalybėje.
4. Iš bisektorinių savybių išplaukia elipsės, hiperbolės ir parabolės optinės savybės, paaiškinantis fizinę termino „fokusas“ reikšmę. Įsivaizduokime paviršius, susidariusius sukant elipsę, hiperbolę ar parabolę aplink židinio ašį. Jei ant šių paviršių padengiama atspindinti danga, gaunami elipsiniai, hiperboliniai ir paraboliniai veidrodžiai. Pagal optikos dėsnį šviesos spindulio kritimo į veidrodį kampas yra lygus atspindžio kampui, t.y. krintantys ir atsispindėję spinduliai sudaro lygius kampus su normaliu paviršiumi, o abu spinduliai ir sukimosi ašis yra toje pačioje plokštumoje. Iš čia gauname šias savybes:
– jeigu šviesos šaltinis yra viename iš elipsinio veidrodžio židinių, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai surenkami kitame židinyje (3.52 pav., a);
– jeigu šviesos šaltinis yra viename iš hiperbolinio veidrodžio židinių, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai išsiskirsto taip, lyg būtų iš kito židinio (3.52 pav., b);
– jeigu šviesos šaltinis yra parabolinio veidrodžio židinyje, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai eina lygiagrečiai židinio ašiai (3.52 pav., c).
5. Diametrinė savybė elipsė, hiperbolė ir parabolė gali būti formuluojamos taip:
– elipsės (hiperbolės) lygiagrečių stygų vidurio taškai yra vienoje tiesėje, einančioje per elipsės centrą (hiperbolė);
– parabolės lygiagrečių stygų vidurio taškai yra tiesioje, kolinearinėje parabolės simetrijos ašyje.
Visų lygiagrečių elipsės stygų (hiperbolės, parabolės) vidurio taškų geometrinis lokusas vadinamas elipsės skersmuo (hiperbolė, parabolė), susieti su šiais akordais.
Tai yra skersmens apibrėžimas siaurąja prasme (žr. 2.8 pavyzdį). Anksčiau skersmens apibrėžimas buvo pateiktas plačiąja prasme, kur elipsės, hiperbolės, parabolės ir kitų antrosios eilės linijų skersmuo yra tiesi linija, kurioje yra visų lygiagrečių stygų vidurio taškai. Siaurąja prasme elipsės skersmuo yra bet kokia styga, einanti per jos centrą (3.53 pav., a); hiperbolės skersmuo – bet kuri tiesė, einanti per hiperbolės centrą (išskyrus asimptotes), arba tokios tiesės dalis (3.53,6 pav.); Parabolės skersmuo – tai bet koks spindulys, sklindantis iš tam tikro parabolės taško ir kolineriškas simetrijos ašiai (3.53 pav., c).
Du skersmenys, kurių kiekvienas padalija visas stygas lygiagrečiai kitam skersmeniui, vadinami konjugatu. 3.53 pav. paryškintomis linijomis pavaizduoti elipsės, hiperbolės ir parabolės konjuguoti skersmenys.
Elipsės liestinė (hiperbolė, parabolė) taške K gali būti apibrėžta kaip lygiagrečių sekantų M_1M_2 ribinė padėtis, kai taškai M_1 ir M_2, likę nagrinėjamoje tiesėje, linkę į tašką K. Iš šio apibrėžimo matyti, kad liestinė, lygiagreti stygoms, eina per skersmens konjugato galą su šiomis stygomis.
6. Elipsė, hiperbolė ir parabolė, be pirmiau nurodytų, turi daugybę geometrinių savybių ir fizinių pritaikymų. Pavyzdžiui, 3.50 pav. galima pavaizduoti kosminių objektų, esančių netoli svorio centro F, trajektorijas.
