Tiesė, einanti per tašką K(x 0 ; y 0) ir lygiagreti tiesei y = kx + a, randama pagal formulę:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Kur k yra linijos nuolydis.

Alternatyvi formulė:
Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1 ; y 1) ir lygiagreti tiesei Ax+By+C=0, pavaizduota lygtimi

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

2 pavyzdys. Parašykite tiesės, lygiagrečios tiesei 2x + 5y = 0, lygtį ir kartu su koordinačių ašimis sudaro trikampį, kurio plotas lygus 5.
Sprendimas . Kadangi tiesės lygiagrečios, norimos tiesės lygtis yra 2x + 5y + C = 0. Stačiojo trikampio plotas, kur a ir b yra jo kojos. Raskime norimos tiesės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis:
;
.
Taigi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Pakeiskime jį į ploto formulę: . Gauname du sprendinius: 2x + 5y + 10 = 0 ir 2x + 5y – 10 = 0.

3 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką (-2; 5) ir lygiagrečios tiesei 5x-7y-4=0, lygtį.
Sprendimas. Šią tiesią liniją galima pavaizduoti lygtimi y = 5/7 x – 4/7 (čia a = 5/7). Norimos tiesės lygtis yra y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), t.y. 7(y-5)=5(x+2) arba 5x-7y+45=0 .

4 pavyzdys. Išsprendę 3 pavyzdį (A=5, B=-7) naudodami formulę (2), randame 5(x+2)-7(y-5)=0.

5 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką (-2;5) ir lygiagrečios tiesei 7x+10=0, lygtį.
Sprendimas. Čia A = 7, B = 0. (2) formulė duoda 7(x+2)=0, t.y. x+2=0. Formulė (1) netaikoma, nes šios lygties negalima išspręsti y atžvilgiu (ši tiesė lygiagreti ordinačių ašiai).

Bendroji tiesės lygtis:

Ypatingi bendrosios tiesės lygties atvejai:

a) Jei C= 0, (2) lygtis turės formą

Ax + Autorius = 0,

o šios lygties apibrėžta tiesė eina per pradžios tašką, nes pradžios koordinatės yra x = 0, y= 0 tenkina šią lygtį.

b) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) B= 0, tada lygtis įgauna formą

Ax + SU= 0 arba .

Lygtyje nėra kintamojo y, o šia lygtimi apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Oy.

c) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) A= 0, tada ši lygtis įgis tokią formą

Autorius + SU= 0 arba ;

lygtyje nėra kintamojo x, o jo apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Jautis.

Reikėtų prisiminti: jei tiesė yra lygiagreti tam tikrai koordinačių ašiai, tada jos lygtyje nėra termino, turinčio tokio paties pavadinimo koordinatę kaip ši ašis.

d) Kada C= 0 ir A= 0 lygtis (2) įgauna formą Autorius= 0 arba y = 0.

Tai yra ašies lygtis Jautis.

d) Kada C= 0 ir B= 0 lygtis (2) bus parašyta forma Ax= 0 arba x = 0.

Tai yra ašies lygtis Oy.

Santykinė linijų padėtis plokštumoje. Kampas tarp tiesių plokštumoje. Lygiagrečių linijų sąlyga. Linijų statmenumo sąlyga.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektoriai S 1 ir S 2 vadinami jų linijų kreiptuvais.

Kampas tarp tiesių l 1 ir l 2 nustatomas pagal kampą tarp krypties vektorių.
1 teorema: kampo tarp l 1 ir l 2 cos = cos(l 1 ; l 2) =

2 teorema: Kad 2 eilutės būtų lygios, būtina ir pakanka:

3 teorema: Kad 2 tiesios linijos būtų statmenos, būtina ir pakanka:

L 1 l 2 – A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Bendrosios plokštumos lygtis ir jos specialieji atvejai. Plokštumos atkarpomis lygtis.

Bendroji plokštumos lygtis:

Ax + By + Cz + D = 0

Ypatingi atvejai:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – plokštuma eina per pradžios tašką

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plokštuma || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plokštuma || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plokštuma || JAUTIS

5. A=0 ir D=0 By+Cz = 0 – plokštuma eina per OX

6. B=0 ir D=0 Ax+Cz = 0 – plokštuma eina per OY

7. C=0 ir D=0 Ax+By = 0 – plokštuma eina per OZ

Santykinė plokštumų ir tiesių padėtis erdvėje:

1. Kampas tarp tiesių erdvėje yra kampas tarp jų krypties vektorių.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. Kampas tarp plokštumų nustatomas per kampą tarp jų normaliųjų vektorių.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Kampo tarp tiesės ir plokštumos kosinusą galima rasti per kampo tarp tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliojo vektoriaus sin.

4. 2 tiesūs || erdvėje, kai jų || vektoriniai kreiptuvai

5. 2 lėktuvai || kada || normalūs vektoriai

6. Panašiai įvedamos tiesių ir plokštumų statmenumo sąvokos.

Klausimas Nr.14

Įvairių tipų tiesės lygtis plokštumoje (tiesės lygtis atkarpose, su kampo koeficientu ir kt.)

Tiesios linijos atkarpomis lygtis:
Tarkime, kad bendrojoje tiesės lygtyje:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – tiesė eina per pradžią.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis:

Bet kuri tiesi linija, kuri nėra lygi op-amp ašiai (B ne = 0), gali būti užrašoma kitoje eilutėje. forma:

k = tanα α – kampas tarp tiesės ir teigiamai nukreiptos linijos OX

b – tiesės susikirtimo taškas su operatyvinio stiprintuvo ašimi

Dokumentas:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Tiesios linijos lygtis, pagrįsta dviem taškais:

Klausimas Nr.16

Baigtinė funkcijos riba taške ir x→∞

Pabaigos riba ties x0:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) riba x→x 0, jei bet kuriam E > 0 yra b > 0, kad esant x ≠x 0, tenkinanti nelygybę |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Riba žymima: = A

Pabaigos riba taške +∞:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) riba x → + ∞ , jei bet kuriam E > 0 yra C > 0, kad x > C nelygybė |f(x) - A|< Е

Riba žymima: = A

Pabaigos riba taške -∞:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) for riba x→-∞, jei dėl kokių nors E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Kanoninės tiesės erdvėje lygtys yra lygtys, apibrėžiančios tiesę, einančią per nurodytą tašką kolineariai krypties vektoriui.

Tegu duotas taškas ir krypties vektorius. Savavališkas taškas yra tiesėje l tik jei vektoriai ir yra kolineariniai, t.y., jiems tenkinama sąlyga:

.

Aukščiau pateiktos lygtys yra kanoninės tiesės lygtys.

Skaičiai m , n Ir p yra krypties vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis. Kadangi vektorius yra ne nulis, tada visi skaičiai m , n Ir p vienu metu negali būti lygus nuliui. Tačiau vienas ar du iš jų gali pasirodyti lygūs nuliui. Pavyzdžiui, analitinėje geometrijoje leidžiamas šis įrašas:

,

o tai reiškia, kad vektoriaus projekcijos ašyje Oy Ir Ozas yra lygūs nuliui. Todėl ir vektorius, ir tiesė, apibrėžta kanoninėmis lygtimis, yra statmenos ašims Oy Ir Ozas t.y. lėktuvai yOz .

1 pavyzdys. Parašykite lygtis tiesei, esančioje statmenai plokštumai ir einančios per šios plokštumos susikirtimo su ašimi tašką Ozas .

Sprendimas. Raskime šios plokštumos susikirtimo tašką su ašimi Ozas. Kadangi bet kuris taškas, esantis ant ašies Ozas, turi koordinates, tada, darant prielaidą, kad pateiktoje plokštumos lygtyje x = y = 0, gauname 4 z- 8 = 0 arba z= 2. Todėl šios plokštumos susikirtimo taškas su ašimi Ozas turi koordinates (0; 0; 2) . Kadangi norima tiesė yra statmena plokštumai, ji lygiagreti jos normaliajam vektoriui. Todėl tiesės krypties vektorius gali būti normalusis vektorius duotas lėktuvas.

Dabar užrašykite reikiamas tiesės, einančios per tašką, lygtis A= (0; 0; 2) vektoriaus kryptimi:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtys

Tiesią liniją galima apibrėžti dviem taškais, esančiais ant jos Ir Šiuo atveju tiesės nukreipiantis vektorius gali būti vektorius . Tada kanoninės linijos lygtys įgauna formą

.

Aukščiau pateiktos lygtys nustato tiesę, einančią per du nurodytus taškus.

2 pavyzdys. Parašykite lygtį tiesės erdvėje, einančios per taškus ir .

Sprendimas. Užrašykime reikiamas tiesės lygtis tokia forma, kokia pateikta teorinėje nuorodoje:

.

Kadangi , Tada norima tiesi linija yra statmena ašiai Oy .

Tiesi kaip plokštumų susikirtimo linija

Tiesė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija, t.y. kaip taškų rinkinys, atitinkantis dviejų tiesinių lygčių sistemą.

Sistemos lygtys dar vadinamos bendrosiomis tiesės erdvėje lygtimis.

3 pavyzdys. Sudarykite kanonines tiesės lygtis erdvėje, pateiktą bendromis lygtimis

Sprendimas. Norėdami parašyti kanonines tiesės lygtis arba, kas yra tas pats, tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis, turite rasti bet kurių dviejų tiesės taškų koordinates. Pavyzdžiui, jie gali būti tiesės susikirtimo taškai su bet kuriomis dviem koordinačių plokštumomis yOz Ir xOz .

Tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas yOz turi abscisę x= 0. Todėl šioje lygčių sistemoje darant prielaidą x= 0, gauname sistemą su dviem kintamaisiais:

Jos sprendimas y = 2 , z= 6 kartu su x= 0 apibrėžia tašką A(0; 2; 6) norima eilutė. Tada darant prielaidą, kad pateiktoje lygčių sistemoje y= 0, gauname sistemą

Jos sprendimas x = -2 , z= 0 kartu su y= 0 apibrėžia tašką B(-2; 0; 0) tiesės susikirtimas su plokštuma xOz .

Dabar užrašykime tiesės, einančios per taškus, lygtis A(0; 2; 6) ir B (-2; 0; 0) :

,

arba padalijus vardiklius iš -2:

,

Tiesės lygtis plokštumoje.
Krypties vektorius yra tiesus. Normalus vektorius

Tiesi linija plokštumoje yra viena iš paprasčiausių geometrinių figūrų, jums pažįstama iš pradinės mokyklos, ir šiandien mes išmoksime su ja elgtis naudodamiesi analitinės geometrijos metodais. Norėdami įvaldyti medžiagą, turite mokėti nutiesti tiesią liniją; žinoti, kokia lygtis apibrėžia tiesią liniją, ypač tiesią, einančią per koordinačių pradžią ir lygiagrečias koordinačių ašims. Šią informaciją galite rasti vadove Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės, sukūriau jį Mathanui, bet skyrius apie tiesinę funkciją pasirodė labai sėkmingas ir išsamus. Todėl, mieli arbatinukai, pirmiausia pasišildykite ten. Be to, jūs turite turėti pagrindinių žinių apie vektoriai, kitaip medžiagos supratimas bus nepilnas.

Šioje pamokoje apžvelgsime būdus, kaip galite sukurti tiesios linijos lygtį plokštumoje. Rekomenduoju neapleisti praktinių pavyzdžių (net jei tai atrodo labai paprasta), nes pateiksiu jiems elementarių ir svarbių faktų, techninių technikų, kurių prireiks ateityje, taip pat ir kitose aukštosios matematikos dalyse.

• Kaip parašyti tiesės lygtį su kampo koeficientu?
• kaip?
• Kaip rasti krypties vektorių naudojant bendrąją tiesės lygtį?
• Kaip parašyti tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtį?

ir pradedame:

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis

Yra vadinama gerai žinoma „mokyklinė“ tiesės lygties forma tiesės su nuolydžiu lygtis. Pavyzdžiui, jei tiesė nurodyta lygtimi, tai jos nuolydis yra: . Panagrinėkime geometrinę šio koeficiento reikšmę ir kaip jo vertė veikia linijos vietą:

Geometrijos kurse tai įrodyta tiesės nuolydis lygus kampo liestinė tarp teigiamos ašies kryptiesir ši linija: , o kampas „atsuka“ prieš laikrodžio rodyklę.

Kad brėžinys nebūtų netvarkingas, kampus nubrėžiau tik dviem tiesioms linijoms. Panagrinėkime „raudoną“ liniją ir jos nuolydį. Pagal tai, kas išdėstyta pirmiau: („alfa“ kampas pažymėtas žaliu lanku). „Mėlynos“ tiesios linijos su kampo koeficientu lygybė yra teisinga („beta“ kampas rodomas rudu lanku). Ir jei kampo liestinė žinoma, tada, jei reikia, ją lengva rasti ir pats kampas naudojant atvirkštinę funkciją – arctangentas. Kaip sakoma, trigonometrinė lentelė arba mikroskaičiuotuvas rankose. Taigi, kampinis koeficientas apibūdina tiesės polinkio į abscisių ašį laipsnį.

Galimi šie atvejai:

1) Jei nuolydis neigiamas: tada linija, grubiai tariant, eina iš viršaus į apačią. Pavyzdžiai yra "mėlynos" ir "avietės" tiesios linijos brėžinyje.

2) Jei nuolydis teigiamas: tada linija eina iš apačios į viršų. Pavyzdžiai - „juodos“ ir „raudonos“ tiesios linijos brėžinyje.

3) Jei nuolydis lygus nuliui: , tada lygtis įgauna formą , o atitinkama tiesė yra lygiagreti ašiai. Pavyzdys yra "geltona" tiesi linija.

4) tiesių šeimai, lygiagrečiai ašiai (brėžinyje nėra pavyzdžio, išskyrus pačią ašį), kampo koeficientas neegzistuoja (90 laipsnių liestinė neapibrėžta).

Kuo didesnis nuolydžio koeficientas absoliučia verte, tuo statesnis tiesiosios linijos grafikas..

Pavyzdžiui, apsvarstykite dvi tiesias linijas. Todėl čia tiesi linija turi didesnį nuolydį. Priminsiu, kad modulis leidžia ignoruoti ženklą, mus tik domina absoliučios vertės kampiniai koeficientai.

Savo ruožtu tiesi linija yra statesnė nei tiesi .

Ir atvirkščiai: kuo mažesnis nuolydžio koeficientas absoliučia verte, tuo plokštesnė tiesi.

Tiesioms linijoms nelygybė yra teisinga, todėl tiesi linija yra plokštesnė. Vaikiška čiuožykla, kad nesusidarytumėte sumušimų ir nelygumų.

Kodėl tai būtina?

Pratęskite kankinimą Žinodami aukščiau išvardintus faktus, galite iš karto pamatyti savo klaidas, ypač klaidas kuriant grafikus - jei brėžinyje pasirodo „akivaizdžiai kažkas negerai“. Patartina, kad jūs iš karto buvo aišku, kad, pavyzdžiui, tiesė yra labai stati ir eina iš apačios į viršų, o tiesė labai plokščia, prispausta prie ašies ir eina iš viršaus į apačią.

Geometriniuose uždaviniuose dažnai atsiranda kelios tiesios linijos, todėl patogu jas kažkaip pažymėti.

Pavadinimai: tiesios linijos žymimos mažomis lotyniškomis raidėmis: . Populiarus pasirinkimas yra juos žymėti ta pačia raide su natūraliais indeksais. Pavyzdžiui, penkios eilutės, kurias ką tik žiūrėjome, gali būti pažymėtos .

Kadangi bet kurią tiesią liniją vienareikšmiškai lemia du taškai, ją galima žymėti šiais taškais: ir tt Pavadinimas aiškiai reiškia, kad taškai priklauso linijai.

Atėjo laikas šiek tiek sušilti:

Kaip parašyti tiesės lygtį su kampo koeficientu?

Jei žinomas tam tikrai tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės kampinis koeficientas, tai šios tiesės lygtis išreiškiama formule:

1 pavyzdys

Parašykite tiesės su nuolydžiu lygtį, jei žinoma, kad taškas priklauso duotai tiesei.

Sprendimas: Sudarykime tiesės lygtį naudodami formulę . Šiuo atveju:

Atsakymas:

Apžiūra daroma paprastai. Pirmiausia žiūrime į gautą lygtį ir įsitikiname, kad mūsų nuolydis yra vietoje. Antra, taško koordinatės turi tenkinti šią lygtį. Įtraukime juos į lygtį:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad taškas tenkina gautą lygtį.

Išvada: lygtis rasta teisingai.

Sudėtingesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

2 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį, jei žinoma, kad jos polinkio kampas teigiamai ašies kryptimi yra , o taškas priklauso šiai tiesei.

Jei turite kokių nors sunkumų, dar kartą perskaitykite teorinę medžiagą. Tiksliau, praktiškiau, praleidžiu daugybę įrodymų.

Nuskambėjo paskutinis skambutis, baigėsi diplomų įteikimo šventė, o už gimtosios mokyklos vartų mūsų laukia pati analitinė geometrija. Anekdotai baigėsi... O gal jie tik prasideda =)

Nostalgiškai mojuojame rašikliu pažįstamam ir susipažįstame su bendra tiesės lygtimi. Kadangi analitinėje geometrijoje naudojama būtent tai:

Bendroji tiesės lygtis turi formą: , kur keli skaičiai. Tuo pačiu ir koeficientai vienu metu nėra lygūs nuliui, nes lygtis praranda prasmę.

Apsirengkime kostiumu ir susiekime lygtį su nuolydžio koeficientu. Pirmiausia perkelkime visus terminus į kairę pusę:

Pirmoje vietoje turi būti terminas su „X“:

Iš esmės lygtis jau turi formą , tačiau pagal matematinio etiketo taisykles pirmojo nario koeficientas (šiuo atveju) turi būti teigiamas. Keičiasi ženklai:

Prisiminkite šią techninę savybę! Pirmąjį koeficientą (dažniausiai) darome teigiamą!

Analitinėje geometrijoje tiesės lygtis beveik visada bus pateikta bendra forma. Na, o prireikus jį galima lengvai redukuoti iki „mokyklos“ formos su kampiniu koeficientu (išskyrus tieses, lygiagrečias ordinačių ašiai).

Paklauskime savęs, ką pakankamai mokate statyti tiesią liniją? Du taškai. Bet daugiau apie šį vaikystės įvykį, dabar laikosi strėlių taisyklės. Kiekviena tiesi linija turi labai specifinį nuolydį, prie kurio lengva „prisitaikyti“. vektorius.

Vektorius, kuris yra lygiagretus tiesei, vadinamas tos tiesės krypties vektoriumi. Akivaizdu, kad bet kuri tiesi linija turi be galo daug krypties vektorių, ir visi jie bus kolineariniai (bendrakrypčiai ar ne - nesvarbu).

Krypties vektorių pažymėsiu taip: .

Tačiau vieno vektoriaus neužtenka tiesei sukurti, vektorius yra laisvas ir nesusietas su jokiu plokštumos tašku. Todėl papildomai būtina žinoti tam tikrą tašką, kuris priklauso linijai.

Kaip parašyti tiesės lygtį naudojant tašką ir krypties vektorių?

Jei žinomas tam tikras tiesei priklausantis taškas ir šios linijos krypties vektorius, tada šios tiesės lygtį galima sudaryti naudojant formulę:

Kartais tai vadinama kanoninė tiesės lygtis .

Ką daryti kada viena iš koordinačių yra lygus nuliui, mes suprasime toliau pateiktuose praktiniuose pavyzdžiuose. Beje, atkreipkite dėmesį - abu iš karto koordinatės negali būti lygios nuliui, nes nulinis vektorius nenurodo konkrečios krypties.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Sprendimas: Sudarykime tiesės lygtį naudodami formulę. Šiuo atveju:

Naudodamiesi proporcijų savybėmis, atsikratome trupmenų:

Ir mes pateikiame lygtį į bendrą formą:

Atsakymas:

Paprastai tokiuose pavyzdžiuose piešti nereikia, tačiau siekiant suprasti:

Brėžinyje matome pradinį tašką, pradinį krypties vektorių (jis gali būti braižytas iš bet kurio plokštumos taško) ir sukonstruotą tiesę. Beje, daugeliu atvejų patogiausia tiesiąją liniją konstruoti naudojant lygtį su kampiniu koeficientu. Mūsų lygtį nesunku konvertuoti į formą ir lengvai pasirinkti kitą tašką tiesei sukurti.

Kaip pažymėta pastraipos pradžioje, tiesi linija turi begalinį krypties vektorių skaičių ir visi jie yra kolineariniai. Pavyzdžiui, aš nupiešiau tris tokius vektorius: . Kad ir kokią krypties vektorių pasirinktume, rezultatas visada bus ta pati tiesios linijos lygtis.

Sukurkime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Proporcijos sprendimas:

Padalinkite abi puses iš –2 ir gaukite pažįstamą lygtį:

Besidomintys vektorius gali išbandyti lygiai taip pat arba bet kuris kitas kolinearinis vektorius.

Dabar išspręskime atvirkštinę problemą:

Kaip rasti krypties vektorių naudojant bendrąją tiesės lygtį?

Labai paprasta:

Jei tiesė stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiama bendra lygtimi, tai vektorius yra šios tiesės krypties vektorius.

Tiesių linijų krypties vektorių radimo pavyzdžiai:

Teiginys leidžia mums rasti tik vieną krypties vektorių iš begalinio skaičiaus, bet mums nereikia daugiau. Nors kai kuriais atvejais patartina sumažinti krypties vektorių koordinates:

Taigi lygtis nurodo tiesę, kuri yra lygiagreti ašiai, o gauto krypties vektoriaus koordinatės patogiai padalinamos iš –2, kaip krypties vektorius gaunamas tiksliai bazinis vektorius. Logiška.

Lygiai taip pat lygtis nurodo tiesę, lygiagrečią ašiai, o vektoriaus koordinates padalijus iš 5, kaip krypties vektorių gauname vienetinį vektorių.

Dabar padarykime tai patikrinimas 3 pavyzdys. Pavyzdys pakilo, todėl primenu, kad jame mes sudarėme tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Pirmiausia, naudodamiesi tiesės lygtimi rekonstruojame jos krypties vektorių: – viskas gerai, gavome pradinį vektorių (kai kuriais atvejais rezultatas gali būti kolinearinis vektorius pirminiam, ir tai paprastai nesunku pastebėti pagal atitinkamų koordinačių proporcingumą).

Antra, taško koordinatės turi tenkinti lygtį. Mes juos pakeičiame į lygtį:

Gauta teisinga lygybė, kuo labai džiaugiamės.

Išvada: Užduotis atlikta teisingai.

4 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje. Labai patartina patikrinti naudojant ką tik aptartą algoritmą. Stenkitės visada (jei įmanoma) patikrinti juodraštį. Kvaila daryti klaidas ten, kur jų galima 100% išvengti.

Jei viena iš krypties vektoriaus koordinačių yra lygi nuliui, atlikite labai paprastai:

5 pavyzdys

Sprendimas: Formulė netinkama, nes vardiklis dešinėje yra nulis. Yra išeitis! Naudodamiesi proporcijų savybėmis, formulę perrašome į formą, o likusią dalį riedame gilia provėža:

Atsakymas:

Apžiūra:

1) Atkurkite tiesės nukreipimo vektorių:
– gautas vektorius yra kolinearinis pradiniam krypties vektoriui.

2) Pakeiskite taško koordinates į lygtį:

Gaunama teisinga lygybė

Išvada: teisingai atlikta užduotis

Kyla klausimas, kam sukti galvą dėl formulės, jei yra universali versija, kuri tiks bet kokiu atveju? Yra dvi priežastys. Pirma, formulė yra trupmenos forma daug geriau atsimena. Ir antra, universalios formulės trūkumas yra tas žymiai padidėja rizika susipainioti pakeičiant koordinates.

6 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Grįžkime prie dviejų visur paplitusių dalykų:

Kaip parašyti tiesės lygtį naudojant du taškus?

Jei žinomi du taškai, tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis gali būti sudaryta naudojant formulę:

Tiesą sakant, tai yra formulės tipas ir štai kodėl: jei žinomi du taškai, vektorius bus nurodytos linijos krypties vektorius. Klasėje Manekenų vektoriai svarstėme paprasčiausią uždavinį – kaip rasti vektoriaus koordinates iš dviejų taškų. Pagal šią problemą krypties vektoriaus koordinatės yra šios:

Pastaba : taškus galima „sukeisti“ ir naudoti formulę . Toks sprendimas bus lygiavertis.

7 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami du taškus .

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Sujungus vardiklius:

Ir sumaišyk kaladę:

Dabar pats laikas atsikratyti trupmeninių skaičių. Tokiu atveju turite padauginti abi puses iš 6:

Atidarykite skliaustus ir prisiminkite lygtį:

Atsakymas:

Apžiūra akivaizdu – pradinių taškų koordinatės turi tenkinti gautą lygtį:

1) Pakeiskite taško koordinates:

Tikra lygybė.

2) Pakeiskite taško koordinates:

Tikra lygybė.

Išvada: tiesės lygtis parašyta teisingai.

Jeigu bent vienas iš taškų netenkina lygties, ieškokite klaidos.

Verta paminėti, kad grafinis patikrinimas šiuo atveju yra sudėtingas, nes nutiesti tiesią liniją ir pamatyti, ar taškai priklauso jai , ne taip paprasta.

Pažymėsiu dar keletą techninių sprendimo aspektų. Galbūt šioje problemoje pelningiau naudoti veidrodinę formulę ir tuose pačiuose taškuose sudaryti lygtį:

Mažiau frakcijų. Jei norite, sprendimą galite atlikti iki galo, rezultatas turėtų būti ta pati lygtis.

Antras dalykas – pažvelgti į galutinį atsakymą ir išsiaiškinti, ar jį galima dar labiau supaprastinti? Pavyzdžiui, jei gaunate lygtį , patartina ją sumažinti dviem: – lygtis apibrėžs tą pačią tiesę. Tačiau tai jau yra pokalbio tema santykinė linijų padėtis.

Gavęs atsakymą 7 pavyzdyje tik tuo atveju patikrinau, ar VISI lygties koeficientai dalijasi iš 2, 3 ar 7. Nors dažniausiai tokie sumažinimai daromi sprendimo metu.

8 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per taškus, lygtį .

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, kuris leis geriau suprasti ir praktikuoti skaičiavimo būdus.

Panašiai kaip ir ankstesnėje pastraipoje: jei formulėje vienas iš vardiklių (krypties vektoriaus koordinatė) tampa nuliu, tada perrašome į formą . Vėlgi, atkreipkite dėmesį, kaip ji atrodo nejaukiai ir sutrikusi. Nematau prasmės pateikti praktinių pavyzdžių, nes šią problemą jau iš tikrųjų išsprendėme (žr. Nr. 5, 6).

Tiesioginis normalus vektorius (normalus vektorius)

Kas yra normalu? Paprastais žodžiais tariant, normalus yra statmenas. Tai yra, normalusis linijos vektorius yra statmenas nurodytai tiesei. Akivaizdu, kad bet kuri tiesė turi begalinį jų skaičių (taip pat ir krypties vektorių), o visi normalūs tiesės vektoriai bus kolineariniai (bendrakrypčiai ar ne, nesvarbu).

Susitvarkyti su jais bus dar lengviau nei su orientaciniais vektoriais:

Jei tiesė yra pateikta bendra lygtimi stačiakampėje koordinačių sistemoje, tai vektorius yra normalusis šios tiesės vektorius.

Jei krypties vektoriaus koordinates reikia atsargiai „ištraukti“ iš lygties, tai normalaus vektoriaus koordinates galima tiesiog „pašalinti“.

Normalusis vektorius visada yra statmenas tiesės krypties vektoriui. Patikrinkite šių vektorių ortogonalumą naudodami taškinis produktas:

Pateiksiu pavyzdžius su tomis pačiomis lygtimis kaip ir krypties vektoriui:

Ar galima sudaryti tiesės, duotos vieno taško ir normaliojo vektoriaus, lygtį? Jaučiu tai savo žarnyne, tai įmanoma. Jei žinomas normalus vektorius, tada pačios tiesės kryptis yra aiškiai apibrėžta - tai yra „standžia konstrukcija“, kurios kampas yra 90 laipsnių.

Kaip parašyti tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtį?

Jei žinomas tam tikras tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės normalusis vektorius, tada šios tiesės lygtis išreiškiama formule:

Čia viskas pavyko be trupmenų ir kitų netikėtumų. Tai yra mūsų normalus vektorius. Mylėk jį. Ir pagarba =)

9 pavyzdys

Parašykite tiesės su tašku ir normaliuoju vektoriumi lygtį. Raskite linijos krypties vektorių.

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Gauta bendroji linijos lygtis, patikrinkime:

1) „Pašalinkite“ normalaus vektoriaus koordinates iš lygties: – taip, iš tiesų, pirminis vektorius buvo gautas iš sąlygos (arba turėtų būti gautas kolinearinis vektorius).

2) Patikrinkime, ar taškas tenkina lygtį:

Tikra lygybė.

Įsitikinus, kad lygtis sudaryta teisingai, atliksime antrąją, lengvesnę užduoties dalį. Išimame tiesės nukreipimo vektorių:

Atsakymas:

Brėžinyje situacija atrodo taip:

Mokymo tikslais panaši užduotis sprendžiant savarankiškai:

10 pavyzdys

Parašykite tiesės su tašku ir normaliuoju vektoriumi lygtį. Raskite linijos krypties vektorių.

Paskutinė pamokos dalis bus skirta retesniems, bet ir svarbiems plokštumos tiesės lygčių tipams.

Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Parametrinės formos tiesės lygtis

Tiesių linijų lygtis segmentuose turi formą , kur yra nulinės konstantos. Kai kurių tipų lygtys negali būti pavaizduotos šia forma, pavyzdžiui, tiesioginis proporcingumas (nes laisvasis narys yra lygus nuliui ir nėra galimybės gauti vieneto dešinėje).

Tai, vaizdžiai tariant, yra „techninio“ lygties tipas. Dažna užduotis yra pavaizduoti bendrąją linijos lygtį kaip linijos lygtį atkarpomis. Kaip tai patogu? Tiesės lygtis atkarpomis leidžia greitai rasti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, o tai gali būti labai svarbu kai kuriuose aukštosios matematikos uždaviniuose.

Raskime tiesės susikirtimo su ašimi tašką. Iš naujo nustatome „y“ į nulį, o lygtis įgauna formą . Norimas taškas gaunamas automatiškai: .

Tas pats su ašimi – taškas, kuriame tiesė kerta ordinačių ašį.

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Per bet kurį tašką galima nubrėžti begalinį skaičių tiesių.

Per bet kuriuos du nesutampančius taškus galima nubrėžti vieną tiesią liniją.

Dvi besiskiriančios plokštumos tiesės arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:

• linijos susikerta;

• linijos lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija— pirmos eilės algebrinė kreivė: tiesė Dekarto koordinačių sistemoje

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

ir pastovus A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B Ir SU Galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- per pradžią eina tiesi linija

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = C = 0, A ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

. A = C = 0, B ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją

pradines sąlygas.

Tiesės iš taško ir normaliojo vektoriaus lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C

Į gautą išraišką pakeisime duoto taško A koordinates Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Ir M2 (x 2, y 2, z 2), Tada tiesės lygtis,

einantis per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Įjungta

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

Jeigu x 1 ≠ x 2 Ir x = x 1, Jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydis tiesioginis.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:

Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.

Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 veda prie:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį

tiesė per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą

Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos eilutės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti šias sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 gauname C/A = -3, t.y. reikalinga lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tada dalijant iš -С gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi O A b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė Oi.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalioji tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ*C< 0.

r- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,

A φ - kampas, kurį sudaro šis statmenas su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys. Pateikiama bendroji linijos lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalinga parašyti įvairių tipų lygtis

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi segmentuose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp tiesių plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos

Jeigu k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 Ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lygiagrečiai, kai koeficientai yra proporcingi

A 1 = λA, B 1 = λB. Jei taip pat С 1 = λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei skiriamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžiamas kaip:

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- iš taško nukritusio statmens pagrindas M už duotą

tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M Ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 Ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis

duota tiesi linija. Jei transformuosime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.