Tiesinės priklausomybės nustatymas. Vektorių sistemos tiesinė priklausomybė ir tiesinė nepriklausomybė

Šiame straipsnyje aptarsime:

• kas yra kolineariniai vektoriai;
• kokios yra vektorių kolineariškumo sąlygos;
• kokios yra kolinearinių vektorių savybės;
• kokia yra kolinearinių vektorių tiesinė priklausomybė.

Kolineariniai vektoriai yra vektoriai, kurie yra lygiagrečiai vienai linijai arba yra vienoje tiesėje.

1 pavyzdys

Vektorių kolineariškumo sąlygos

Du vektoriai yra kolineariniai, jei yra viena iš šių sąlygų:

• 1 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei yra toks skaičius λ, kad a = λ b;
• 2 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs su vienodais koordinačių santykiais:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei kryžminė sandauga ir nulinis vektorius yra lygūs:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

1 pastaba

2 sąlyga netaikoma, jei viena iš vektoriaus koordinačių lygi nuliui.

2 pastaba

3 sąlyga taikoma tik tiems vektoriams, kurie nurodyti erdvėje.

Vektorių kolineariškumo tyrimo uždavinių pavyzdžiai

Tiriame vektorių a = (1; 3) ir b = (2; 1) kolineariškumą.

Kaip išspręsti?

Šiuo atveju būtina naudoti 2-ąją kolinearumo sąlygą. Pateiktiems vektoriams tai atrodo taip:

Lygybė yra klaidinga. Iš to galime daryti išvadą, kad vektoriai a ir b yra nekolineariniai.

Atsakymas : a | | b

2 pavyzdys

Kokia vektoriaus a = (1; 2) ir b = (- 1; m) reikšmė yra būtina, kad vektoriai būtų kolinearūs?

Kaip išspręsti?

Naudojant antrąją kolineariškumo sąlygą, vektoriai bus kolineariniai, jei jų koordinatės yra proporcingos:

Tai rodo, kad m = -2.

Atsakymas: m = -2.

Vektorių sistemų tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės kriterijai

Vektorių sistema vektorių erdvėje yra tiesiškai priklausoma tik tada, jei vieną iš sistemos vektorių galima išreikšti likusiais šios sistemos vektoriais.

Įrodymas

Tegu sistema e 1 , e 2 , . . . , e n yra tiesiškai priklausomas. Parašykime šios sistemos tiesinę kombinaciją, lygią nuliniam vektoriui:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kurioje bent vienas iš derinių koeficientų nėra lygus nuliui.

Tegu a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Abi lygybės puses padalijame iš nulinio koeficiento:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Pažymime:

A k - 1 a m , kur m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Šiuo atveju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

arba e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iš to seka, kad vienas iš sistemos vektorių išreiškiamas per visus kitus sistemos vektorius. Ką ir reikėjo įrodyti (t.t.).

Tinkamumas

Tegul vienas iš vektorių yra tiesiškai išreikštas visais kitais sistemos vektoriais:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Perkeliame vektorių e k į dešinę šios lygybės pusę:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kadangi vektoriaus e k koeficientas lygus - 1 ≠ 0, gauname netrivialų nulio atvaizdavimą vektorių e 1, e 2, sistema. . . , e n , o tai savo ruožtu reiškia, kad ši vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma. Ką ir reikėjo įrodyti (t.t.).

Pasekmė:

• Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, kai nė vienas jos vektorius negali būti išreikštas visais kitais sistemos vektoriais.
• Vektorių sistema, kurioje yra nulinis vektorius arba du vienodi vektoriai, yra tiesiškai priklausoma.

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės

1. 2 ir 3 dimensijų vektoriams tenkinama ši sąlyga: du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. Du kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.
2. Trimačiams vektoriams tenkinama ši sąlyga: trys tiesiškai priklausomi vektoriai yra vienodi. (3 koplanariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi).
3. n matmenų vektoriams tenkinama tokia sąlyga: n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Problemų, susijusių su vektorių tiesine priklausomybe arba tiesine nepriklausomybe, sprendimo pavyzdžiai

Patikrinkime vektorių a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 tiesinį nepriklausomumą.

Sprendimas. Vektoriai yra tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmuo yra mažesnis už vektorių skaičių.

4 pavyzdys

Patikrinkime vektorių a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 tiesinę nepriklausomybę.

Sprendimas. Mes randame koeficientų reikšmes, kai tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorinę lygtį rašome tiesine forma:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Šią sistemą išsprendžiame Gauso metodu:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Iš 2-osios eilutės atimame 1-ąją, iš 3-osios - 1-ąją:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Iš 1-osios eilutės atimame 2-ąją, prie 3-osios pridedame 2-ąją:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iš sprendimo matyti, kad sistemoje yra daug sprendimų. Tai reiškia, kad yra nenulinis tokių skaičių x 1, x 2, x 3 reikšmių derinys, kurio tiesinis a, b, c derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Todėl vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomas.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pristatome mūsų tiesinės operacijos vektoriais leidžia sukurti įvairias išraiškas vektoriniai dydžiai ir transformuoti juos naudodami šioms operacijoms nustatytas savybes.

Remdamiesi duotu vektorių a 1, ..., a n rinkiniu, galite sukurti formos išraišką

kur a 1, ... ir n yra savavališki realieji skaičiai. Ši išraiška vadinama linijinis vektorių derinys a 1, ..., a n. Skaičiai α i, i = 1, n reiškia tiesinės kombinacijos koeficientai. Taip pat vadinamas vektorių rinkinys vektorių sistema.

Ryšium su įvestu vektorių linijinės kombinacijos samprata, iškyla vektorių rinkinio, kurį galima parašyti kaip tam tikros vektorių sistemos a 1, ..., a n linijinį derinį, apibūdinimo problema. Be to, kyla natūralūs klausimai apie sąlygas, kuriomis yra vektoriaus atvaizdavimas linijinio derinio pavidalu, ir apie tokio vaizdavimo unikalumą.

Apibrėžimas 2.1. Vektoriai a 1, ... ir n vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra aibė koeficientų α 1 , ... , α n, kad

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

ir bent vienas iš šių koeficientų yra lygus nuliui. Jei nurodytos koeficientų aibės nėra, tada iškviečiami vektoriai tiesiškai nepriklausomas.

Jei α 1 = ... = α n = 0, tada, akivaizdu, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Turėdami tai omenyje, galime pasakyti taip: vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai nepriklausomi, jei iš lygybės (2.2) išplaukia, kad visi koeficientai α 1 , ... , α n yra lygūs nuliui.

Toliau pateikta teorema paaiškina, kodėl nauja sąvoka vadinama terminu „priklausomybė“ (arba „nepriklausomybė“), ir pateikia paprastą tiesinės priklausomybės kriterijų.

2.1 teorema. Tam, kad vektoriai a 1, ... ir n, n > 1 būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad vienas iš jų būtų tiesinis kitų derinys.

◄ Būtinybė. Tarkime, kad vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai priklausomi. Pagal 2.1 tiesinės priklausomybės apibrėžimą, lygybėje (2.2) kairėje yra bent vienas nenulinis koeficientas, pavyzdžiui, α 1. Pirmąjį terminą palikę kairėje lygybės pusėje, likusius perkeliame į dešinę, keisdami jų ženklus, kaip įprasta. Padalinę gautą lygybę iš α 1, gauname

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. vektoriaus a 1 vaizdavimas kaip tiesinis likusių vektorių a 2, ..., a n derinys.

Tinkamumas. Tegu, pavyzdžiui, pirmasis vektorius a 1 gali būti pavaizduotas kaip tiesinė likusių vektorių kombinacija: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Perkeldami visus terminus iš dešinės pusės į kairę, gauname a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.y. vektorių a 1, ..., a n linijinis derinys su koeficientais α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, lygus nulinis vektorius.Šiame tiesiniame derinyje ne visi koeficientai yra lygūs nuliui. Pagal 2.1 apibrėžimą vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai priklausomi.

Tiesinės priklausomybės apibrėžimas ir kriterijus suformuluoti taip, kad reikštų dviejų ar daugiau vektorių buvimą. Tačiau galime kalbėti ir apie tiesinę vieno vektoriaus priklausomybę. Norėdami realizuoti šią galimybę, vietoj „vektoriai yra tiesiškai priklausomi“, turite pasakyti „vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma“. Nesunku suprasti, kad posakis „vieno vektoriaus sistema yra tiesiškai priklausoma“ reiškia, kad šis vienas vektorius yra lygus nuliui (tiesinėje kombinacijoje yra tik vienas koeficientas ir jis neturėtų būti lygus nuliui).

Tiesinės priklausomybės sąvoka turi paprastą geometrinį aiškinimą. Šie trys teiginiai paaiškina šį aiškinimą.

2.2 teorema. Du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie kolinearinis.

◄ Jei vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi, tai vienas iš jų, pavyzdžiui, a, išreiškiamas per kitą, t.y. a = λb tam tikram realiajam skaičiui λ. Pagal apibrėžimą 1.7 darbai vektoriai vienam skaičiui, vektoriai a ir b yra kolineariniai.

Tegul vektoriai a ir b yra kolinearūs. Jei jie abu yra lygūs nuliui, tai akivaizdu, kad jie yra tiesiškai priklausomi, nes bet koks tiesinis jų derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Tegul vienas iš šių vektorių nėra lygus 0, pavyzdžiui, vektorius b. λ pažymėkime vektorių ilgių santykį: λ = |a|/|b|. Kolineariniai vektoriai gali būti vienakryptis arba nukreipta priešingai. Pastaruoju atveju keičiame λ ženklą. Tada, patikrinę 1.7 apibrėžimą, įsitikiname, kad a = λb. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi.

Pastaba 2.1. Dviejų vektorių atveju, atsižvelgiant į tiesinės priklausomybės kriterijų, įrodyta teorema gali būti performuluojama taip: du vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai vienas iš jų vaizduojamas kaip kito sandauga skaičiumi. Tai patogus dviejų vektorių kolineariškumo kriterijus.

2.3 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra koplanarinis.

◄ Jeigu trys vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi, tai pagal 2.1 teoremą vienas iš jų, pavyzdžiui, a, yra tiesinė kitų kombinacija: a = βb + γс. Sujungkime vektorių b ir c pradžią taške A. Tada vektoriai βb, γс turės bendrą pradžią taške A ir išilgai pagal lygiagretainio taisyklę jų suma yra tie. vektorius a bus vektorius, kurio kilmė A ir pabaiga, kuri yra lygiagretainio, sudaryto iš komponentų vektorių, viršūnė. Taigi visi vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, ty lygiagrečiai.

Tegul vektoriai a, b, c yra lygiagrečiai. Jei vienas iš šių vektorių yra lygus nuliui, tai akivaizdu, kad tai bus tiesinis kitų vektorių derinys. Pakanka paimti visus tiesinės kombinacijos koeficientus, lygius nuliui. Todėl galime manyti, kad visi trys vektoriai nėra lygūs nuliui. Suderinamas prasidėjošių vektorių bendrame taške O. Tegul jų galai yra atitinkamai taškai A, B, C (2.1 pav.). Per tašką C brėžiame tieses, lygiagrečias tiesėms, einančioms per taškų poras O, A ir O, B. Susikirtimo taškus pažymėdami kaip A" ir B", gauname lygiagretainį OA"CB", todėl OC" = OA" + OB". Vektorius OA" ir nulinis vektorius a = OA yra kolinearūs, todėl pirmąjį iš jų galima gauti antrąjį padauginus iš tikrojo skaičiaus α:OA" = αOA. Panašiai, OB" = βOB, β ∈ R. Dėl to gauname, kad OC" = α OA. + βOB, ty vektorius c yra vektorių a ir b tiesinė kombinacija. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

2.4 teorema. Bet kurie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

◄ Įrodymą atliekame pagal tą pačią schemą, kaip ir 2.3 teoremoje. Apsvarstykite atsitiktinius keturis vektorius a, b, c ir d. Jei vienas iš keturių vektorių yra lygus nuliui arba tarp jų yra du kolineariniai vektoriai arba trys iš keturių vektorių yra vienodi, tai šie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Pavyzdžiui, jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, galime sudaryti jų tiesinę kombinaciją αa + βb = 0 su ne nuliniais koeficientais, o tada prie šio derinio pridėti likusius du vektorius, koeficientais laikant nulius. Gauname tiesinę keturių vektorių kombinaciją, lygią 0, kurioje yra nulinių koeficientų.

Taigi galime daryti prielaidą, kad tarp pasirinktų keturių vektorių nė vienas vektorius nėra lygus nuliui, nėra dviejų kolinearių ir nėra trijų lygiagrečių. Pasirinkime tašką O kaip jų bendrą pradžią. Tada vektorių a, b, c, d galai bus kai kurie taškai A, B, C, D (2.2 pav.). Per tašką D nubrėžiame tris plokštumas, lygiagrečias plokštumoms OBC, OCA, OAB, ir tegul A", B", C" yra šių plokštumų susikirtimo taškai su tiesėmis OA, OB, OS, atitinkamai. gretasienis OA" C "B" C" B"DA", o vektoriai a, b, c guli ant jo kraštinių, kylančių iš viršūnės O. Kadangi keturkampis OC"DC" yra lygiagretainis, tai OD = OC" + OC " Savo ruožtu atkarpa OC" yra lygiagretainis OA"C"B", taigi OC" = OA" + OB" ir OD = OA" + OB" + OC" .

Belieka pastebėti, kad vektorių poros OA ≠ 0 ir OA" , OB ≠ 0 ir OB" , OC ≠ 0 ir OC" yra kolinijinės, todėl galima parinkti koeficientus α, β, γ taip, kad OA" = αOA, OB" = βOB ir OC" = γOC. Galiausiai gauname OD = αOA + βOB + γOC. Vadinasi, OD vektorius išreiškiamas per kitus tris vektorius, o visi keturi vektoriai pagal 2.1 teoremą yra tiesiškai priklausomi.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Sprendimas. Ieškome bendro lygčių sistemos sprendimo

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauso metodas. Norėdami tai padaryti, šią homogeninę sistemą užrašome koordinatėmis:

Sistemos matrica

Leidžiama sistema turi tokią formą: (r A = 2, n= 3). Sistema yra bendradarbiaujanti ir neapibrėžta. Jo bendras sprendimas ( x 2 – laisvas kintamasis): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Pavyzdžiui, nulinio konkretaus sprendimo buvimas rodo, kad vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai priklausomas.

2 pavyzdys.

Sužinokite, ar tam tikra vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Sprendimas. Apsvarstykite vienalytę lygčių sistemą a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

arba išplėsta forma (pagal koordinates)

Sistema yra vienalytė. Jei jis nėra išsigimęs, tada jis turi unikalų sprendimą. Vienalytės sistemos atveju yra nulinis (trivialus) sprendimas. Tai reiškia, kad šiuo atveju vektorių sistema yra nepriklausoma. Jei sistema yra išsigimusi, tada ji turi nulinius sprendimus ir todėl yra priklausoma.

Mes patikriname, ar sistemoje nėra degeneracijos:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistema yra neišsigimusi, taigi ir vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai nepriklausomas.

Užduotys. Sužinokite, ar tam tikra vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Įrodykite, kad vektorių sistema bus tiesiškai priklausoma, jei joje yra:

a) du vienodi vektoriai;

b) du proporcingi vektoriai.

1 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Vektorių sistemą nurodys sistemos matrica, kurios stulpeliai susideda iš vektorių koordinačių.

.

Sprendimas. Tegul linijinis derinys lygus nuliui. Užrašę šią lygybę koordinatėmis, gauname tokią lygčių sistemą:

.

Tokia lygčių sistema vadinama trikampe. Ji turi tik vieną sprendimą . Todėl vektoriai tiesiškai nepriklausomas.

2 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

.

Sprendimas. Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (žr. 1 uždavinį). Įrodykime, kad vektorius yra tiesinis vektorių derinys . Vektorių plėtimosi koeficientai yra nustatomi iš lygčių sistemos

.

Ši sistema, kaip ir trikampė, turi unikalų sprendimą.

Todėl vektorių sistema tiesiškai priklausomas.

komentuoti. Vadinamos to paties tipo matricos kaip 1 uždavinyje trikampis o 2 uždavinyje – laiptuotas trikampis . Vektorių sistemos tiesinės priklausomybės klausimas lengvai išsprendžiamas, jei iš šių vektorių koordinačių sudaryta matrica yra žingsninė trikampė. Jei matrica neturi specialios formos, tada naudojant elementarios eilutės konversijos , išsaugant tiesinius ryšius tarp stulpelių, jį galima redukuoti į pakopinę trikampę formą.

Elementarios eilučių konversijos matricose (EPS) vadinamos šios matricos operacijos:

1) linijų pertvarkymas;

2) eilutę padauginus iš ne nulio skaičiaus;

3) kitos eilutės įtraukimas į eilutę, padaugintas iš savavališko skaičiaus.

3 užduotis. Raskite maksimalų tiesiškai nepriklausomą posistemį ir apskaičiuokite vektorių sistemos rangą

.

Sprendimas. Sumažinkime EPS sistemos matricą į žingsninę trikampę formą. Norėdami paaiškinti procedūrą, eilutę su transformuojamos matricos numeriu pažymime simboliu . Stulpelis po rodyklės nurodo veiksmus su konvertuojamos matricos eilutėmis, kuriuos reikia atlikti norint gauti naujos matricos eilutes.

.

Akivaizdu, kad pirmosios dvi gautos matricos stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi, trečiasis yra jų linijinis derinys, o ketvirtasis nepriklauso nuo pirmųjų dviejų. Vektoriai vadinami pagrindiniais. Jie sudaro maksimalų tiesiškai nepriklausomą sistemos posistemį , o sistemos rangas yra trys.

Pagrindas, koordinatės

4 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates geometrinių vektorių aibėje, kurių koordinatės tenkina sąlygą .

Sprendimas. Aibė yra plokštuma, einanti per pradžią. Savavališkas pagrindas plokštumoje susideda iš dviejų nekolinearinių vektorių. Pasirinkto pagrindo vektorių koordinatės nustatomos sprendžiant atitinkamą tiesinių lygčių sistemą.

Yra ir kitas būdas išspręsti šią problemą, kai galite rasti pagrindą naudodami koordinates.

Koordinatės erdvės nėra koordinatės plokštumoje, nes jos yra susijusios ryšiu ty jie nėra nepriklausomi. Nepriklausomi kintamieji ir (jie vadinami laisvaisiais) vienareikšmiškai apibrėžia vektorių plokštumoje, todėl juos galima pasirinkti kaip koordinates . Tada pagrindas susideda iš vektorių, esančių ir atitinkančių laisvųjų kintamųjų aibes Ir , tai yra.

5 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų erdvėje esančių vektorių, kurių nelyginės koordinatės yra lygios viena kitai, aibėje.

Sprendimas. Parinkime, kaip ir ankstesniame uždavinyje, koordinates erdvėje.

Nes , tada laisvieji kintamieji vienareikšmiškai nustato vektorių iš ir todėl yra koordinatės. Atitinkamas pagrindas susideda iš vektorių.

6 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų formos matricų aibėje , Kur – savavališki skaičiai.

Sprendimas. Kiekviena matrica iš unikaliai vaizduojama tokia forma:

Šis ryšys yra vektoriaus išplėtimas pagrindo atžvilgiu
su koordinatėmis .

7 užduotis. Raskite vektorių sistemos tiesinio korpuso matmenis ir pagrindą

.

Sprendimas. Naudodami EPS, transformuojame matricą iš sistemos vektorių koordinačių į žingsninę trikampę formą.

.

Stulpeliai paskutinės matricos yra tiesiškai nepriklausomos, o stulpeliai tiesiškai išreikštas per juos. Todėl vektoriai sudaryti pagrindą , Ir .

komentuoti. Pagrindas į pasirenkamas dviprasmiškai. Pavyzdžiui, vektoriai taip pat sudaro pagrindą .

Vektoriai, jų savybės ir veiksmai su jais

Vektoriai, veiksmai su vektoriais, tiesinė vektorinė erdvė.

Vektoriai yra riboto skaičiaus realiųjų skaičių sutvarkyta rinkinys.

Veiksmai: 1. Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus: lambda*vektorius x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Vektorių (priklausančių tai pačiai vektorių erdvei) sudėjimas vektorius x + vektorius y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektorius 0=(0,0…0)---n E n – n matmenų (tiesinės erdvės) vektorius x + vektorius 0 = vektorius x

Teorema. Kad n vektorių sistema, n matmenų tiesinė erdvė, būtų tiesiškai priklausoma, būtina ir pakanka, kad vienas iš vektorių būtų tiesinis kitų vektorių derinys.

Teorema. Bet kuri n+ 1-ųjų n-matės tiesinės reiškinių erdvės vektorių aibė. tiesiškai priklausomas.

Vektorių sudėjimas, vektorių dauginimas iš skaičių. Vektorių atėmimas.

Dviejų vektorių suma yra vektorius, nukreiptas nuo vektoriaus pradžios iki vektoriaus pabaigos, su sąlyga, kad pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga. Jei vektoriai pateikiami jų plėtiniais bazinių vienetų vektoriuose, tai sudėjus vektorius, pridedamos atitinkamos jų koordinatės.

Panagrinėkime tai naudodami Dekarto koordinačių sistemos pavyzdį. Leiskite

Parodykime tai

Iš 3 paveikslo aišku, kad

Bet kurio baigtinio skaičiaus vektorių sumą galima rasti naudojant daugiakampio taisyklę (4 pav.): norint sudaryti baigtinio vektorių skaičiaus sumą, pakanka sujungti kiekvieno sekančio vektoriaus pradžią su ankstesnio vektoriaus pabaiga. ir sukurti vektorių, jungiantį pirmojo vektoriaus pradžią su paskutinio pabaiga.

Vektorių sudėjimo operacijos ypatybės:

Šiose išraiškose m, n yra skaičiai.

Skirtumas tarp vektorių vadinamas vektoriumi.

Taigi vektorių atėmimo operacija pakeičiama sudėjimo operacija

Vektorius, kurio pradžia yra pradžioje ir pabaiga taške A (x1, y1, z1), vadinamas taško A spindulio vektoriumi ir žymimas paprastai. Kadangi jo koordinatės sutampa su taško A koordinatėmis, jo išplėtimas vienetiniais vektoriais turi formą

Vektorius, kuris prasideda taške A(x1, y1, z1) ir baigiasi taške B(x2, y2, z2), gali būti parašytas kaip

čia r 2 yra taško B spindulio vektorius; r 1 - taško A spindulio vektorius.

Todėl vektoriaus išplėtimas vienetiniais vektoriais turi formą

Jo ilgis lygus atstumui tarp taškų A ir B

PAdauginimas

Taigi plokštumos uždavinio atveju vektoriaus sandauga iš a = (ax; ay) iš skaičiaus b randama pagal formulę

a b = (ax b; ay b)

1 pavyzdys. Raskite vektoriaus a = (1; 2) sandaugą iš 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Taigi, esant erdvinei problemai, vektoriaus a = (ax; ay; az) sandauga iš skaičiaus b randama pagal formulę

a b = (ax b; ay b; az b)

1 pavyzdys. Raskite vektoriaus a = (1; 2; -5) sandaugą iš 2.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Taškinė vektorių sandauga ir kur yra kampas tarp vektorių ir ; jei bet kuri, tada

Iš skaliarinio sandaugos apibrėžimo matyti, kad

kur, pavyzdžiui, yra vektoriaus projekcijos į vektoriaus kryptį dydis.

Skaliarinis kvadrato vektorius:

Taškinio produkto savybės:

Taškinis produktas koordinatėse

Jeigu Tai

Kampas tarp vektorių

Kampas tarp vektorių – kampas tarp šių vektorių krypčių (mažiausias kampas).

Kryžminė sandauga (dviejų vektorių kryžminė sandauga.) – tai pseudovektorius, statmenas plokštumai, sudarytas iš dviejų veiksnių, kuris yra dvejetainės operacijos „vektoriaus dauginimas“ per vektorius trimatėje euklidinėje erdvėje rezultatas. Produktas nėra nei komutacinis, nei asociatyvus (jis yra antikomutacinis) ir skiriasi nuo vektorių taškinės sandaugos. Daugelyje inžinerijos ir fizikos problemų reikia mokėti sukurti vektorių, statmeną dviem esamiems – vektorinė sandauga suteikia tokią galimybę. Kryžminė sandauga naudinga vektorių statmenumui „matuoti“ – dviejų vektorių kryžminės sandaugos ilgis lygus jų ilgių sandaugai, jei jie statmeni, ir sumažėja iki nulio, jei vektoriai lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Kryžminė sandauga apibrėžiama tik trimatėje ir septyniamatėje erdvėje. Vektorinės sandaugos, kaip ir skaliarinės sandaugos, rezultatas priklauso nuo Euklido erdvės metrikos.

Skirtingai nuo skaliarinių sandaugų vektorių apskaičiavimo iš koordinačių trimatėje stačiakampėje koordinačių sistemoje formulės, kryžminės sandaugos formulė priklauso nuo stačiakampės koordinačių sistemos orientacijos arba, kitaip tariant, nuo jos „chiralumo“.

Vektorių kolineariškumas.

Du nuliniai (nelygūs 0) vektoriai vadinami kolineariniais, jei jie yra lygiagrečiose tiesėse arba toje pačioje tiesėje. Priimtinas, bet nerekomenduojamas sinonimas yra „lygiagretūs“ vektoriai. Kolineariniai vektoriai gali būti nukreipti identiškai („bendrakrypčiai“) arba priešingai (pastaruoju atveju jie kartais vadinami „antikolineariniais“ arba „antilygiagrečiais“).

Mišrus vektorių sandauga( a, b, c)- vektoriaus a skaliarinė sandauga ir vektorių b ir c vektorinė sandauga:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

kartais jis vadinamas vektorių trigubu tašku sandauga, matyt, todėl, kad rezultatas yra skaliarinis (tiksliau pseudoskaliarinis).

Geometrinė reikšmė: mišrios sandaugos modulis yra skaitiniu būdu lygus vektorių suformuoto gretasienio tūriui (a, b, c) .

Savybės

Mišrus produktas yra simetriškas visų savo argumentų atžvilgiu: t.y. e. bet kurių dviejų veiksnių pertvarkymas pakeičia gaminio ženklą. Iš to išplaukia, kad mišrus sandauga dešinėje Dekarto koordinačių sistemoje (ortonormaliu pagrindu) yra lygus matricos, sudarytos iš vektorių, determinantui ir:

Mišrus sandauga kairiojoje Dekarto koordinačių sistemoje (ortonormaliu pagrindu) yra lygi matricos, sudarytos iš vektorių, determinantui ir paimtam su minuso ženklu:

Visų pirma,

Jei bet kurie du vektoriai yra lygiagretūs, tada su bet kuriuo trečiuoju vektoriumi jie sudaro mišrią sandaugą, lygią nuliui.

Jei trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi (tai yra lygiagrečiai, esantys toje pačioje plokštumoje), tada jų mišrus sandauga yra lygus nuliui.

Geometrinė reikšmė – Mišri sandauga absoliučia verte lygi gretasienio tūriui (žr. pav.), kurį sudaro vektoriai ir; ženklas priklauso nuo to, ar šis vektorių trigubas yra dešiniarankis ar kairiarankis.

Vektorių koplanarumas.

Trys vektoriai (ar daugiau) vadinami koplanariniais, jei jie, redukuoti iki bendros pradžios, yra toje pačioje plokštumoje

Bendraplaniškumo savybės

Jei bent vienas iš trijų vektorių yra lygus nuliui, tai trys vektoriai taip pat laikomi lygiagrečiais.

Trigubas vektorių, turinčių kolinearinių vektorių porą, yra koplanarinis.

Mišri koplaninių vektorių sandauga. Tai yra trijų vektorių koplanarumo kriterijus.

Bendraplaniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Tai taip pat yra koplanarumo kriterijus.

Trimatėje erdvėje 3 nevienaplaniai vektoriai sudaro pagrindą

Tiesiškai priklausomi ir tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

Tiesiškai priklausomos ir nepriklausomos vektorinės sistemos.Apibrėžimas. Vektorinė sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra bent viena netriviali tiesinė šių vektorių kombinacija, lygi nuliniam vektoriui. Priešingu atveju, t.y. jei tik trivialus tiesinis duotųjų vektorių derinys yra lygus nuliniam vektoriui, vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

Teorema (tiesinės priklausomybės kriterijus). Tam, kad vektorių sistema tiesinėje erdvėje būtų tiesiškai priklausoma, būtina ir pakanka, kad bent vienas iš šių vektorių būtų tiesinis kitų vektorių derinys.

1) Jei tarp vektorių yra bent vienas nulinis vektorius, tai visa vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma.

Tiesą sakant, jei, pavyzdžiui, , tai, darant prielaidą , turime netrivialią tiesinę kombinaciją .▲

2) Jei tarp vektorių kai kurie sudaro tiesiškai priklausomą sistemą, tai visa sistema yra tiesiškai priklausoma.

Iš tiesų, tegul vektoriai , yra tiesiškai priklausomi. Tai reiškia, kad yra netrivialus tiesinis derinys, lygus nuliniam vektoriui. Bet tada, darant prielaidą , taip pat gauname netrivialią tiesinę kombinaciją, lygią nuliniam vektoriui.

2. Pagrindas ir matmenys. Apibrėžimas. Tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema vektorinė erdvė vadinama pagrindušios erdvės, jei bet kurį vektorių iš galima pavaizduoti kaip šios sistemos vektorių tiesinę kombinaciją, t.y. kiekvienam vektoriui yra realieji skaičiai tokia lygybė galioja Ši lygybė vadinama vektoriaus skaidymas pagal pagrindą ir skaičius yra vadinami vektoriaus koordinatės pagrindo atžvilgiu(arba pagrinde) .

Teorema (dėl išplėtimo unikalumo pagrindo atžvilgiu). Kiekvienas erdvės vektorius gali būti išplėstas į pagrindą vieninteliu būdu, t.y. kiekvieno pagrindo vektoriaus koordinates nustatomi vienareikšmiškai.