Trikampio apibrėžimas, sutampantys trikampiai, trikampių rūšys. Problemos su įvairių tipų trikampiais

Šiandien vykstame į Geometrijos šalį, kur susipažinsime su įvairių tipų trikampiais.

Apsvarstykite geometrines figūras ir raskite tarp jų „papildomą“ (1 pav.).

Ryžiai. 1. Pavyzdžiui, iliustracija

Matome, kad figūros Nr. 1, 2, 3, 5 yra keturkampiai. Kiekvienas iš jų turi savo pavadinimą (2 pav.).

Ryžiai. 2. Keturkampiai

Tai reiškia, kad „papildoma“ figūra yra trikampis (3 pav.).

Ryžiai. 3. Pavyzdžiui, iliustracija

Trikampis yra figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.

Taškai vadinami trikampio viršūnes, segmentai – jo vakarėliams. Susiformuoja trikampio kraštinės Trikampio viršūnėse yra trys kampai.

Pagrindinės trikampio savybės yra trys šonai ir trys kampai. Pagal kampo dydį trikampiai yra aštrus, stačiakampis ir bukas.

Trikampis vadinamas smailiuoju, jei visi trys jo kampai yra smailieji, tai yra mažesni nei 90° (4 pav.).

Ryžiai. 4. Smailus trikampis

Trikampis vadinamas stačiakampiu, jei vienas jo kampas yra 90° (5 pav.).

Ryžiai. 5. Statusis trikampis

Trikampis vadinamas buku, jei vienas jo kampas yra bukas, tai yra didesnis nei 90° (6 pav.).

Ryžiai. 6. Bukas trikampis

Remiantis lygių kraštinių skaičiumi, trikampiai yra lygiakraščiai, lygiašoniai, skalės.

Lygiašonis trikampis yra tas, kurio dvi kraštinės lygios (7 pav.).

Ryžiai. 7. Lygiašonis trikampis

Šios pusės vadinamos šoninis, trečioji šalis – pagrindu. Lygiašonio trikampio pagrindo kampai yra lygūs.

Yra lygiašonių trikampių ūmus ir bukas(8 pav.) .

Ryžiai. 8. Smailieji ir bukieji lygiašoniai trikampiai

Lygiakraščiu trikampiu laikomas tas, kurio visos trys kraštinės lygios (9 pav.).

Ryžiai. 9. Lygiakraštis trikampis

Lygiakraščiame trikampyje visi kampai lygūs. Lygiakraščiai trikampiai Visada smailaus kampo.

Skaleninis trikampis yra toks, kurio visos trys kraštinės yra skirtingo ilgio (10 pav.).

Ryžiai. 10. Skaleninis trikampis

Atlikite užduotį. Paskirstykite šiuos trikampius į tris grupes (11 pav.).

Ryžiai. 11. Užduoties iliustracija

Pirma, paskirstykime pagal kampų dydį.

Smailūs trikampiai: Nr.1, Nr.3.

Statieji trikampiai: Nr. 2, Nr. 6.

Bukieji trikampiai: Nr. 4, Nr. 5.

Tuos pačius trikampius paskirstysime į grupes pagal lygių kraštinių skaičių.

Skaleniniai trikampiai: Nr.4, Nr.6.

Lygiašoniai trikampiai: Nr.2, Nr.3, Nr.5.

Lygiakraštis trikampis: Nr. 1.

Pažiūrėkite į paveikslėlius.

Pagalvokite, iš kokio vielos gabalo buvo pagamintas kiekvienas trikampis (12 pav.).

Ryžiai. 12. Užduoties iliustracija

Galite galvoti taip.

Pirmasis vielos gabalas padalintas į tris lygias dalis, todėl iš jo galite padaryti lygiakraštį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas trečias.

Antrasis vielos gabalas padalintas į tris skirtingas dalis, todėl iš jo galima padaryti skaleninį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas pirmiausia.

Trečias vielos gabalas padalintas į tris dalis, kur dvi dalys yra vienodo ilgio, tai reiškia, kad iš jo galima padaryti lygiašonį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas antras.

Šiandien klasėje sužinojome apie įvairių tipų trikampius.

Nuorodos

M.I. Moreau, M.A. Bantova ir kt.: vadovėlis. 3 klasė: 2 dalyse, 1 dalis. - M.: „Švietimas“, 2012 m.
M.I. Moreau, M.A. Bantova ir kt.: vadovėlis. 3 klasė: 2 dalyse, 2 dalis. - M.: „Švietimas“, 2012 m.
M.I. Moro. Matematikos pamokos: Metodinės rekomendacijos mokytojams. 3 klasė. - M.: Švietimas, 2012 m.
Reguliavimo dokumentas. Mokymosi rezultatų stebėjimas ir vertinimas. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
„Rusijos mokykla“: programos pradinei mokyklai. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
S.I. Volkova. Matematika: Testinis darbas. 3 klasė. - M.: Švietimas, 2012 m.
V.N. Rudnickaja. Testai. - M.: „Egzaminas“, 2012 m.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Namų darbai

1. Užbaikite frazes.

a) Trikampis yra figūra, sudaryta iš ..., kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir ..., jungiantys šiuos taškus poromis.

b) Taškai vadinami … , segmentai – jo … . Trikampio kraštinės susidaro trikampio viršūnėse ….

c) Pagal kampo dydį trikampiai yra ... , ... , ... .

d) Remiantis lygių kraštinių skaičiumi, trikampiai yra ... , ... , ... .

2. Pieškite

a) stačiakampis trikampis;

b) smailus trikampis;

c) bukas trikampis;

d) lygiakraštis trikampis;

e) skalės trikampis;

e) lygiašonis trikampis.

3. Pamokos tema sukurkite užduotį draugams.

Paprasčiausias daugiakampis, kuris mokomas mokykloje, yra trikampis. Tai labiau suprantama studentams ir susiduriama su mažiau sunkumų. Nepaisant to, kad yra įvairių tipų trikampių, kurie turi ypatingų savybių.

Kokia forma vadinama trikampiu?

Sudaryta iš trijų taškų ir atkarpų. Pirmosios vadinamos viršūnėmis, antrosios – šoninėmis. Be to, visi trys segmentai turi būti sujungti taip, kad tarp jų susidarytų kampai. Iš čia ir kilo „trikampio“ figūros pavadinimas.

Vardų skirtumai kampuose

Kadangi jie gali būti smailūs, buki ir tiesūs, trikampių tipai nustatomi pagal šiuos pavadinimus. Atitinkamai yra trys tokių figūrų grupės.

Pirma. Jei visi trikampio kampai yra smailieji, tada jis bus vadinamas smailiu. Viskas logiška.

Antra. Vienas iš kampų yra bukas, o tai reiškia, kad trikampis yra bukas. Tai negali būti paprasčiau.

Trečia. Yra kampas, lygus 90 laipsnių, kuris vadinamas stačiu kampu. Trikampis tampa stačiakampis.

Vardų skirtumai šonuose

Priklausomai nuo kraštinių savybių, išskiriami šie trikampių tipai:

bendras atvejis yra skalė, kurioje visos kraštinės yra savavališko ilgio;

lygiašoniai, kurių dvi kraštinės turi vienodas skaitines reikšmes;

lygiakraštis, visų jo kraštinių ilgiai yra vienodi.

Jei problema nenurodo konkretaus trikampio tipo, turite nupiešti savavališką trikampį. Kurių visi kampai yra aštrūs, o šonai yra skirtingo ilgio.

Visiems trikampiams bendros savybės

Jei sudėsite visus trikampio kampus, gausite skaičių, lygų 180º. Ir nesvarbu, koks jis tipas. Ši taisyklė galioja visada.
Bet kurios trikampio kraštinės skaitinė vertė yra mažesnė nei kitų dviejų kartu sudėjus. Be to, tai didesnis nei jų skirtumas.
Kiekvienas išorinis kampas turi reikšmę, kuri gaunama pridedant du vidinius kampus, kurie nėra šalia jo. Be to, jis visada yra didesnis nei vidinis, esantis šalia jo.
Mažiausias kampas visada yra priešais mažesnę trikampio kraštinę. Ir atvirkščiai, jei pusė yra didelė, tada kampas bus didžiausias.

Šios savybės galioja visada, nesvarbu, kokie trikampių tipai nagrinėjami uždaviniuose. Visa kita išplaukia iš specifinių savybių.

Lygiašonio trikampio savybės

Kampai, esantys greta pagrindo, yra lygūs.
Aukštis, nubrėžtas prie pagrindo, taip pat yra mediana ir pusiausvyra.
Trikampio šoninėse kraštinėse pastatyti aukščiai, medianos ir pusiausvyros yra atitinkamai vienodi.

Lygiakraščio trikampio savybės

Jei yra toks skaičius, tada visos šiek tiek aukščiau aprašytos savybės bus teisingos. Nes lygiakraštis visada bus lygiakraštis. Bet ne atvirkščiai, lygiakraštis trikampis nebūtinai bus lygiakraštis.

Visi jo kampai yra lygūs vienas kitam ir jų vertė yra 60º.
Bet kuri lygiakraščio trikampio mediana yra jo aukštis ir pusiausvyra. Be to, jie visi yra lygūs vienas kitam. Norint nustatyti jų vertes, yra formulė, kurią sudaro kraštinės sandauga ir kvadratinė šaknis iš 3, padalyta iš 2.

Stačiojo trikampio savybės

Du aštrūs kampai sudaro 90º.
Hipotenuzės ilgis visada yra didesnis nei bet kurios kojos.
Į hipotenuzę nubrėžtos medianos skaitinė reikšmė yra lygi jos pusei.
Koja lygi tokiai pačiai vertei, jei ji yra priešais 30º kampą.
Aukštis, nubrėžtas iš viršūnės, kurios vertė yra 90º, turi tam tikrą matematinę priklausomybę nuo kojų: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Čia: a, b - kojos, n - aukštis.

Problemos su įvairių tipų trikampiais

Nr. 1. Duotas lygiašonis trikampis. Jo perimetras yra žinomas ir lygus 90 cm. Turime išsiaiškinti jo puses. Kaip papildoma sąlyga: šoninė pusė 1,2 karto mažesnė už pagrindą.

Perimetro vertė tiesiogiai priklauso nuo kiekių, kuriuos reikia rasti. Visų trijų kraštinių suma duos 90 cm Dabar reikia prisiminti trikampio ženklą, pagal kurį jis yra lygiašonis. Tai yra, abi pusės yra lygios. Galite sukurti lygtį su dviem nežinomaisiais: 2a + b = 90. Čia a yra kraštinė, b yra pagrindas.

Dabar atėjo laikas papildomai sąlygai. Po jos gaunama antroji lygtis: b = 1.2a. Šią išraišką galite pakeisti pirmuoju. Pasirodo: 2a + 1.2a = 90. Po transformacijų: 3.2a = 90. Vadinasi, a = 28.125 (cm). Dabar lengva išsiaiškinti pagrindą. Tai geriausia padaryti iš antrosios sąlygos: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Norėdami patikrinti, galite pridėti tris reikšmes: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). tai tiesa.

Atsakymas: trikampio kraštinės yra 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nr. 2. Lygiakraščio trikampio kraštinė yra 12 cm. Turite apskaičiuoti jo aukštį.

Sprendimas. Norint rasti atsakymą, pakanka grįžti į momentą, kai buvo aprašytos trikampio savybės. Tai formulė lygiakraščio trikampio aukščiui, medianai ir pusiausvyrai rasti.

n = a * √3 / 2, kur n yra aukštis, o a yra kraštinė.

Pakeitimas ir skaičiavimas duoda tokį rezultatą: n = 6 √3 (cm).

Šios formulės įsiminti nereikia. Pakanka prisiminti, kad aukštis padalija trikampį į du stačiakampius. Be to, pasirodo, kad tai koja, o joje esanti hipotenuzė yra pradinės pusės pusė, antroji koja yra pusė žinomos pusės. Dabar reikia užsirašyti Pitagoro teoremą ir išvesti aukščio formulę.

Atsakymas: aukštis 6√3 cm.

Nr. 3. Duotas MKR yra trikampis, kuriame kampas K sudaro 90 laipsnių. Kraštinės MR ir KR yra lygios atitinkamai 30 ir 15 cm. Turime išsiaiškinti kampo P reikšmę.

Sprendimas. Jei padarysite piešinį, paaiškės, kad MR yra hipotenuzė. Be to, jis yra dvigubai didesnis už KR šoną. Vėlgi reikia kreiptis į savybes. Vienas iš jų yra susijęs su kampais. Iš to aišku, kad KMR kampas yra 30º. Tai reiškia, kad norimas kampas P bus lygus 60º. Tai išplaukia iš kitos savybės, kuri teigia, kad dviejų smailiųjų kampų suma turi būti lygi 90º.

Atsakymas: kampas P yra 60º.

Nr. 4. Turime rasti visus lygiašonio trikampio kampus. Yra žinoma, kad išorinis kampas nuo kampo prie pagrindo yra 110º.

Sprendimas. Kadangi nurodytas tik išorinis kampas, tai reikia naudoti. Jis sudaro neišskleistą kampą su vidiniu. Tai reiškia, kad iš viso jie suteiks 180º. Tai yra, kampas prie trikampio pagrindo bus lygus 70º. Kadangi jis yra lygiašonis, antrasis kampas turi tokią pačią reikšmę. Belieka apskaičiuoti trečiąjį kampą. Pagal visiems trikampiams būdingą savybę, kampų suma yra 180º. Tai reiškia, kad trečiasis bus apibrėžtas kaip 180º - 70º - 70º = 40º.

Atsakymas: kampai yra 70º, 70º, 40º.

Nr. 5. Yra žinoma, kad lygiašonio trikampio kampas prieš pagrindą yra 90º. Ant pagrindo yra pažymėtas taškas. Atkarpa, jungianti jį su stačiu kampu, padalija ją santykiu 1 su 4. Reikia išsiaiškinti visus mažesniojo trikampio kampus.

Sprendimas. Iš karto galima nustatyti vieną iš kampų. Kadangi trikampis yra stačiakampis ir lygiašonis, tie, kurie yra jo pagrinde, bus 45º, ty 90º/2.

Antrasis iš jų padės rasti sąlygoje žinomą ryšį. Kadangi jis lygus nuo 1 iki 4, tai dalys, į kurias jis padalintas, yra tik 5. Tai reiškia, kad norint sužinoti mažesnį trikampio kampą reikia 90º/5 = 18º. Belieka išsiaiškinti trečiąjį. Norėdami tai padaryti, turite atimti 45º ir 18º iš 180º (visų trikampio kampų sumos). Skaičiavimai yra paprasti, ir jūs gaunate: 117º.

Šiandien vykstame į Geometrijos šalį, kur susipažinsime su įvairių tipų trikampiais.

Apsvarstykite geometrines figūras ir raskite tarp jų „papildomą“ (1 pav.).

Ryžiai. 1. Pavyzdžiui, iliustracija

Matome, kad figūros Nr. 1, 2, 3, 5 yra keturkampiai. Kiekvienas iš jų turi savo pavadinimą (2 pav.).

Ryžiai. 2. Keturkampiai

Tai reiškia, kad „papildoma“ figūra yra trikampis (3 pav.).

Ryžiai. 3. Pavyzdžiui, iliustracija

Trikampis yra figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.

Taškai vadinami trikampio viršūnes, segmentai – jo vakarėliams. Susiformuoja trikampio kraštinės Trikampio viršūnėse yra trys kampai.

Pagrindinės trikampio savybės yra trys šonai ir trys kampai. Pagal kampo dydį trikampiai yra aštrus, stačiakampis ir bukas.

Trikampis vadinamas smailiuoju, jei visi trys jo kampai yra smailieji, tai yra mažesni nei 90° (4 pav.).

Ryžiai. 4. Smailus trikampis

Trikampis vadinamas stačiakampiu, jei vienas jo kampas yra 90° (5 pav.).

Ryžiai. 5. Statusis trikampis

Trikampis vadinamas buku, jei vienas jo kampas yra bukas, tai yra didesnis nei 90° (6 pav.).

Ryžiai. 6. Bukas trikampis

Remiantis lygių kraštinių skaičiumi, trikampiai yra lygiakraščiai, lygiašoniai, skalės.

Lygiašonis trikampis yra tas, kurio dvi kraštinės lygios (7 pav.).

Ryžiai. 7. Lygiašonis trikampis

Šios pusės vadinamos šoninis, trečioji šalis – pagrindu. Lygiašonio trikampio pagrindo kampai yra lygūs.

Yra lygiašonių trikampių ūmus ir bukas(8 pav.) .

Ryžiai. 8. Smailieji ir bukieji lygiašoniai trikampiai

Lygiakraščiu trikampiu laikomas tas, kurio visos trys kraštinės lygios (9 pav.).

Ryžiai. 9. Lygiakraštis trikampis

Lygiakraščiame trikampyje visi kampai lygūs. Lygiakraščiai trikampiai Visada smailaus kampo.

Skaleninis trikampis yra toks, kurio visos trys kraštinės yra skirtingo ilgio (10 pav.).

Ryžiai. 10. Skaleninis trikampis

Atlikite užduotį. Paskirstykite šiuos trikampius į tris grupes (11 pav.).

Ryžiai. 11. Užduoties iliustracija

Pirma, paskirstykime pagal kampų dydį.

Smailūs trikampiai: Nr.1, Nr.3.

Statieji trikampiai: Nr. 2, Nr. 6.

Bukieji trikampiai: Nr. 4, Nr. 5.

Tuos pačius trikampius paskirstysime į grupes pagal lygių kraštinių skaičių.

Skaleniniai trikampiai: Nr.4, Nr.6.

Lygiašoniai trikampiai: Nr.2, Nr.3, Nr.5.

Lygiakraštis trikampis: Nr. 1.

Pažiūrėkite į paveikslėlius.

Pagalvokite, iš kokio vielos gabalo buvo pagamintas kiekvienas trikampis (12 pav.).

Ryžiai. 12. Užduoties iliustracija

Galite galvoti taip.

Pirmasis vielos gabalas padalintas į tris lygias dalis, todėl iš jo galite padaryti lygiakraštį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas trečias.

Antrasis vielos gabalas padalintas į tris skirtingas dalis, todėl iš jo galima padaryti skaleninį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas pirmiausia.

Trečias vielos gabalas padalintas į tris dalis, kur dvi dalys yra vienodo ilgio, tai reiškia, kad iš jo galima padaryti lygiašonį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas antras.

Šiandien klasėje sužinojome apie įvairių tipų trikampius.

Nuorodos

M.I. Moreau, M.A. Bantova ir kt.: vadovėlis. 3 klasė: 2 dalyse, 1 dalis. - M.: „Švietimas“, 2012 m.
M.I. Moreau, M.A. Bantova ir kt.: vadovėlis. 3 klasė: 2 dalyse, 2 dalis. - M.: „Švietimas“, 2012 m.
M.I. Moro. Matematikos pamokos: Metodinės rekomendacijos mokytojams. 3 klasė. - M.: Švietimas, 2012 m.
Reguliavimo dokumentas. Mokymosi rezultatų stebėjimas ir vertinimas. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
„Rusijos mokykla“: programos pradinei mokyklai. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
S.I. Volkova. Matematika: Testinis darbas. 3 klasė. - M.: Švietimas, 2012 m.
V.N. Rudnickaja. Testai. - M.: „Egzaminas“, 2012 m.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Namų darbai

1. Užbaikite frazes.

a) Trikampis yra figūra, sudaryta iš ..., kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir ..., jungiantys šiuos taškus poromis.

b) Taškai vadinami … , segmentai – jo … . Trikampio kraštinės susidaro trikampio viršūnėse ….

c) Pagal kampo dydį trikampiai yra ... , ... , ... .

d) Remiantis lygių kraštinių skaičiumi, trikampiai yra ... , ... , ... .

2. Pieškite

a) stačiakampis trikampis;

b) smailus trikampis;

c) bukas trikampis;

d) lygiakraštis trikampis;

e) skalės trikampis;

e) lygiašonis trikampis.

3. Pamokos tema sukurkite užduotį draugams.

Trikampiai

Trikampis yra figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis. Taškai vadinami viršūnės trikampis, o atkarpos yra jo vakarėliams.

Trikampių tipai

Trikampis vadinamas lygiašonis, jei abi jo kraštinės lygios. Šios lygios pusės vadinamos šonai, o trečioji šalis vadinama pagrindu trikampis.

Vadinamas trikampis, kurio visos kraštinės lygios lygiakraštis arba teisinga.

Trikampis vadinamas stačiakampis, jei jis turi stačią kampą, tada yra 90° kampas. Stačiojo trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuzė, kitos dvi pusės vadinamos kojos.

Trikampis vadinamas smailaus kampo, jei visi trys jo kampai yra smailūs, tai yra mažesni nei 90°.

Trikampis vadinamas bukas, jei vienas iš jo kampų yra bukas, tai yra didesnis nei 90°.

Pagrindinės trikampio linijos

Mediana

Mediana trikampio atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešingos šio trikampio kraštinės viduriu.

Trikampio medianų savybės

Mediana padalija trikampį į du vienodo ploto trikampius.

Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną iš jų dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas svorio centras trikampis.

Visas trikampis pagal jo medianas padalintas į šešis vienodus trikampius.

Bisektorius

Kampo bisektorius yra spindulys, kuris sklinda iš viršaus, eina tarp jo kraštų ir dalija tam tikrą kampą. Trikampio bisektorius vadinama trikampio kampo, jungiančio viršūnę su tašku, esančiu priešingoje šio trikampio pusėje, bisektorine atkarpa.

Trikampių bisektorių savybės

Aukštis

Aukštis trikampis yra statmuo, nubrėžtas iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga šio trikampio kraštinė.

Trikampio aukščių savybės

IN stačiakampis trikampis aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija jį į du trikampius, panašus originalus.

IN aštrus trikampis nuo jo nukirsti du jo aukščiai panašus trikampiai.

Mediana statmena

Tiesi linija, einanti per jai statmenos atkarpos vidurį, vadinama statmenas bisektoriusį segmentą .

Trikampio statmenų pusiausvyros savybės

Kiekvienas atkarpos statmens pusiaukampio taškas yra vienodu atstumu nuo tos atkarpos galų. Taip pat yra atvirkščiai: kiekvienas taškas, esantis vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant jai statmenos pusės.

Į trikampio kraštines nubrėžtų statmenų bisektorių susikirtimo taškas yra centras šio trikampio apskritimas.

Vidurinė linija

Vidurinė trikampio linija vadinama atkarpa, jungiančia jos dviejų kraštinių vidurio taškus.

Trikampio vidurio linijos savybė

Trikampio vidurio linija lygiagreti vienai iš jo kraštinių ir lygi pusei tos kraštinės.

Formulės ir santykiai

Trikampių lygybės ženklai

Du trikampiai yra lygūs, jei jie yra lygūs:

dvi pusės ir kampas tarp jų;

du kampai ir šalia jų esanti pusė;

tris puses.

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

Du stačiakampis trikampis yra lygūs, jei jie yra atitinkamai lygūs:

hipotenuzė ir smailus kampas;

koja ir priešingas kampas;

koja ir gretimas kampas;

du koja;

hipotenuzė Ir koja.

Trikampių panašumas

Du trikampiai panašus jei viena iš šių sąlygų, vadinama panašumo požymiai:

du vieno trikampio kampai yra lygūs dviem kito trikampio kampams;

dvi vieno trikampio kraštinės yra proporcingos kito trikampio dviem kraštinėms, o šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs;

vieno trikampio trys kraštinės yra atitinkamai proporcingos kito trikampio trims kraštinėms.

Panašiuose trikampiuose atitinkamos linijos ( aukščių, medianos, bisektorius ir tt) yra proporcingi.

Sinusų teorema

Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams, o proporcingumo koeficientas lygus skersmuo apibrėžtas trikampio apskritimas:

Kosinuso teorema

Trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, atėmus dvigubą šių kraštinių sandaugą ir kampo tarp jų kosinusą:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Trikampio ploto formules

Nemokamas trikampis

a, b, c -šonai; - kampas tarp šonų a Ir b;- pusperimetras; R- apibrėžto apskritimo spindulys; r-įbrėžto apskritimo spindulys; S- kvadratas; h a - aukštis ištrauktas į šoną a.

Standartiniai pavadinimai

Trikampis su viršūnėmis A, B Ir Cžymimas kaip (žr. pav.). Trikampis turi tris kraštines:

Trikampio kraštinių ilgiai žymimi mažosiomis lotyniškomis raidėmis (a, b, c):

Trikampis turi šiuos kampus:

Kampų reikšmės atitinkamose viršūnėse tradiciškai žymimos graikiškomis raidėmis (α, β, γ).

Trikampių lygybės ženklai

Trikampis Euklido plokštumoje gali būti vienareikšmiškai nustatytas (iki kongruencijos) iš šių pagrindinių elementų tripletų:

a, b, γ (dviejų kraštų lygybė ir kampas tarp jų);
a, β, γ (lygybė šone ir du gretimi kampai);
a, b, c (lygybė iš trijų pusių).

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

išilgai kojos ir hipotenuzės;
ant dviejų kojų;
išilgai kojos ir ūmaus kampo;
išilgai hipotenuzės ir smailiojo kampo.

Kai kurie trikampio taškai yra „suporuoti“. Pavyzdžiui, yra du taškai, iš kurių visos pusės matomos arba 60° kampu, arba 120° kampu. Jie vadinami Torricelli taškai. Taip pat yra du taškai, kurių projekcijos į šonus yra taisyklingo trikampio viršūnėse. tai - Apolonijaus taškai. Taškai ir panašiai vadinami Brocard taškai.

Tiesioginis

Bet kuriame trikampyje svorio centras, ortocentras ir apskritimo centras yra toje pačioje tiesėje, vadinamoje Eulerio linija.

Tiesi linija, einanti per apskritimo centrą ir Lemoine tašką, vadinama Brocard ašis. Ant jo guli Apolonijaus taškai. Torricelli taškai ir Lemoine taškai taip pat yra toje pačioje linijoje. Trikampio kampų išorinių pusių pagrindai yra toje pačioje tiesėje, vadinamoje išorinių bisektorių ašis. Tiesių, kuriose yra stačiakampio kraštinės, susikirtimo taškai su linijomis, kuriose yra trikampio kraštinės, taip pat yra toje pačioje tiesėje. Ši linija vadinama ortocentrinė ašis, jis yra statmenas Eulerio tiesei.

Jei paimsime tašką ant trikampio apskritimo, tai jo projekcijos į trikampio kraštines bus toje pačioje tiesėje, vadinamoje Simsonas tiesusšį tašką. Diametraliai priešingų taškų Simsono linijos yra statmenos.

Trikampiai

Vadinamas trikampis, kurio pagrinduose yra viršūnių, nubrėžtų per nurodytą tašką ceviano trikampisšį tašką.
Vadinamas trikampis, kurio viršūnės yra tam tikro taško projekcijose į šonus velėna arba pedalo trikampisšį tašką.
Trikampis, kurio viršūnės yra antruosiuose tiesių, nubrėžtų per viršūnes, ir nurodyto taško su apibrėžtuoju apskritimu susikirtimo taškuose, vadinamas apskritimo trikampis. Apskritiminis trikampis panašus į velėninį trikampį.

Apskritimai

Įrašytas apskritimas- apskritimas, liečiantis visas tris trikampio kraštines. Ji vienintelė. Įbrėžto apskritimo centras vadinamas centre.
Apskritimas- apskritimas, einantis per visas tris trikampio viršūnes. Apribotas ratas taip pat yra unikalus.
Apskritimas- apskritimas, liečiantis vieną trikampio kraštinę, ir kitų dviejų kraštinių tęsinys. Trikampyje yra trys tokie apskritimai. Jų radikalus centras yra įbrėžto vidurinio trikampio apskritimo centras, vadinamas Spikerio mintis.

Trikampio trijų kraštinių vidurio taškai, jo trijų aukščių pagrindai ir trijų atkarpų, jungiančių trikampio viršūnes su ortocentru, vidurio taškai yra viename apskritime, vadinamame devynių taškų apskritimas arba Eulerio ratas. Devynių taškų apskritimo centras yra ant Eilerio linijos. Devynių taškų apskritimas liečia įbrėžtą apskritimą ir tris apskritimus. Lietimo taškas tarp įbrėžto apskritimo ir devynių taškų apskritimo vadinamas Feuerbacho taškas. Jei iš kiekvienos viršūnės tiesiame į išorę nuo trikampio tiesių linijų, turinčių kraštines, ortezes, kurių ilgis lygus priešingoms kraštinėms, tada gauti šeši taškai yra tame pačiame apskritime - Conway ratas. Į bet kurį trikampį galima įrašyti tris apskritimus taip, kad kiekvienas iš jų liestų dvi trikampio kraštines ir du kitus apskritimus. Tokie apskritimai vadinami Malfatti apskritimai. Šešių trikampių, į kuriuos trikampis padalintas medianomis, apibrėžtųjų apskritimų centrai yra viename apskritime, kuris vadinamas Lamuno perimetras.

Trikampis turi tris apskritimus, kurie liečia dvi trikampio kraštines ir apskritimą. Tokie apskritimai vadinami pusiau užrašytas arba Verrier apskritimai. Atkarpos, jungiančios Verrier apskritimų liesties taškus su apskritimu, susikerta viename taške, vadinamame Verrier mintis. Jis tarnauja kaip homotetijos centras, kuris apskritimą paverčia įbrėžtu apskritimu. Verrier apskritimų ir kraštinių sąlyčio taškai yra tiesioje linijoje, kuri eina per įbrėžto apskritimo centrą.

Atkarpos, jungiančios įbrėžto apskritimo liesties taškus su viršūnėmis, susikerta viename taške, vadinamame Gergonne taškas, o atkarpos, jungiančios viršūnes su išorinių apskritimų liesties taškais, yra Nagel taškas.

Elipsės, parabolės ir hiperbolės

Įrašytas kūgis (elipsė) ir jo žvalgiklis

Į trikampį galima įrašyti begalinį skaičių kūgių (elipsių, parabolių ar hiperbolių). Jei į trikampį įrašysime savavališką kūgį ir liestinės taškus sujungsime su priešingomis viršūnėmis, tada gautos tiesės susikirs viename taške, vadinamame perspektyva gultai. Bet kuriame plokštumos taške, kuris nėra ant šono ar jo tęsinio, šiame taške yra įbrėžtas kūgis su perspektoriumi.

Aprašyta Šteinerio elipsė ir pro jos židinius einantys ceviai

Galite įbrėžti elipsę į trikampį, kuris liečiasi su šonais viduryje. Tokia elipsė vadinama užrašyta Steinerio elipsė(jo perspektyva bus trikampio centroidas). Apibūdinta elipsė, liečianti tieses, einasi per viršūnes lygiagrečiai kraštams, vadinama aprašyta Steinerio elipsės. Jei trikampį transformuosime į taisyklingą trikampį naudodami afininę transformaciją („kreipą“), tada jo įrašyta ir apibrėžta Steinerio elipsė pavirs įbrėžtu ir apibrėžtu apskritimu. Per aprašytos Šteinerio elipsės židinius (Skutino taškai) nubrėžtos Ševjano linijos yra lygios (Skutino teorema). Iš visų aprašytų elipsių aprašytoji Šteinerio elipsė turi mažiausią plotą, o iš visų užrašytų elipsių – didžiausią plotą.

Brokaro elipsė ir jos žvalgytojas – Lemoine taškas

Vadinama elipsė su židiniais Brokaro taškuose Brocard elipsė. Jo perspektyva yra Lemoine taškas.

Įbrėžtos parabolės savybės

Kieperto parabolė

Įrašytų parabolių perspektyvos guli ant aprašytos Steinerio elipsės. Įbrėžtos parabolės židinys yra ant apskritimo, o kryptis eina per ortocentrą. Parabolė, įrašyta į trikampį ir kurios kryptis yra Eulerio kryptis, vadinama Kieperto parabolė. Jo perspektorius yra ketvirtasis apibrėžtojo apskritimo ir apibrėžtosios Šteinerio elipsės susikirtimo taškas, vadinamas Steinerio taškas.

Kieperto hiperbolė

Jei aprašyta hiperbolė eina per aukščių susikirtimo tašką, tada ji yra lygiakraštė (tai yra, jos asimptotės yra statmenos). Lygiakraščio hiperbolės asimptotų susikirtimo taškas yra devynių taškų apskritime.

Transformacijos

Jei tiesės, einančios per viršūnes ir kurį nors tašką, esantį ne šonuose, ir jų plėtiniai atsispindi atitinkamų bisektorių atžvilgiu, tai jų vaizdai taip pat susikirs viename taške, kuris vadinamas izogoniškai konjuguotas originalus (jei taškas buvo ant apibrėžto apskritimo, tada gautos linijos bus lygiagrečios). Daugelis žymių taškų porų yra izogoniškai susijungusios: apskritimo centras ir ortocentras, centroidas ir Lemoine taškas, Brokaro taškai. Apolonijaus taškai yra izogoniškai konjuguoti su Torricelli taškais, o įbrėžto apskritimo centras yra izogoniškai susietas su savimi. Veikiant izogoninei konjugacijai, tiesios linijos virsta apibrėžtaisiais kūgiais, o apibrėžtosios kūgiai – tiesiomis linijomis. Taigi Kieperto hiperbolė ir Brokaro ašis, Jenzabeko hiperbolė ir Eilerio tiesė, Feuerbacho hiperbolė ir įbrėžtųjų bei apibrėžtųjų apskritimų centrų linija yra izogoniškai konjuguotos. Lygiakampių konjuguotų taškų trikampių apskritimai sutampa. Įrašytų elipsių židiniai yra izogoniškai susijungę.

Jei vietoj simetrinio ceviano imsime cevianą, kurio pagrindas yra taip nutolęs nuo šono vidurio, kaip ir pradinio pagrindas, tai tokie cevianai taip pat susikirs viename taške. Gauta transformacija vadinama izotominė konjugacija. Jis taip pat paverčia tiesias linijas į aprašytus kūgius. Gergonne ir Nagel taškai yra izotomiškai konjuguoti. Afininių transformacijų metu izotomiškai konjuguoti taškai paverčiami izotomiškai konjuguotais taškais. Naudojant izotominę konjugaciją, aprašyta Steinerio elipsė pateks į be galo tolimą tiesią liniją.

Jei atkarpose, kurias trikampio kraštinės atskiria nuo apibrėžto apskritimo, įbrėžiame apskritimus, liečiančius per tam tikrą tašką nubrėžtų cevijų pagrindų kraštines, ir tada šių apskritimų liestinės taškus sujungiame su apibrėžtuoju apskritimu su priešingumu. viršūnių, tada tokios tiesės susikirs viename taške. Pavadinama plokštumos transformacija, atitinkanti pradinį tašką su gautuoju izocirkuliacinė transformacija. Izogoninių ir izotominių konjugatų sudėtis yra izocirkuliarinės transformacijos su savimi sudėtis. Ši kompozicija yra projekcinė transformacija, kurios metu trikampio kraštinės paliekamos vietoje, o išorinių bisektorių ašis paverčiama tiesia linija begalybėje.

Jei pratęsime tam tikro taško Chevian trikampio kraštines ir paimsime jų susikirtimo taškus su atitinkamomis kraštinėmis, tada susikirtimo taškai bus vienoje tiesėje, vadinamoje trilinijinis poliarinis pradžios taškas. Ortocentrinė ašis yra trilinijinė ortocentro poliarinė; įbrėžto apskritimo centro tritiesė poliarinė yra išorinių bisektorių ašis. Taškų, esančių ant apibrėžto kūgio, tritiesiai poliai susikerta viename taške (apibrėžtajam apskritimui tai yra Lemoine taškas, apibrėžtajai Steinerio elipsei - centroidas). Izogoninės (arba izotominės) konjugacijos ir tritiesės poliarinės konjugacijos sudėtis yra dvilypumo transformacija (jei taškas, kuris yra izogoniškai (izotomiškai) konjugatas su tašku, yra ant taško tritiesės poliarinės linijos, tai taško trilinijinis poliarinis yra izogoniškai (izotomiškai) konjugatas su tašku yra ant taško tritiesės poliarinės linijos).

Kubeliai

Santykiai trikampyje

Pastaba:Šiame skyriuje, , , yra trijų trikampio kraštinių ilgiai, ir , yra kampai, esantys atitinkamai priešais šias tris puses (priešingi kampai).

Trikampio nelygybė

Neišsigimusio trikampio dviejų kraštinių ilgių suma yra didesnė už trečiosios kraštinės ilgį, išsigimusiame trikampyje ji yra lygi. Kitaip tariant, trikampio kraštinių ilgiai yra susieti su šiomis nelygybėmis:

Trikampio nelygybė yra viena iš metrikos aksiomų.

Trikampio kampo sumos teorema

Sinusų teorema

čia R yra apskritimo, apibrėžiamo aplink trikampį, spindulys. Iš teoremos išplaukia, kad jei a< b < c, то α < β < γ.

Kosinuso teorema

Tangento teorema

Kiti santykiai

Metriniai santykiai trikampyje pateikiami:

Trikampių sprendimas

Nežinomų trikampio kraštinių ir kampų apskaičiavimas pagal žinomus istoriškai buvo vadinamas „sprendžiančiais trikampiais“. Naudojamos aukščiau pateiktos bendrosios trigonometrinės teoremos.

Trikampio plotas

Ypatingi atvejai Žymėjimas

Sričiai galioja šios nelygybės:

Trikampio ploto erdvėje apskaičiavimas naudojant vektorius

Tegul trikampio viršūnės yra taškuose , , .

Įveskime ploto vektorių. Šio vektoriaus ilgis lygus trikampio plotui ir nukreiptas į trikampio plokštumą:

Leiskite mums nustatyti , Kur , , yra trikampio projekcijos į koordinačių plokštumas. Tuo pačiu metu

ir panašiai

Trikampio plotas yra.

Alternatyva yra apskaičiuoti kraštinių ilgius (naudojant Pitagoro teoremą) ir tada naudojant Herono formulę.

Trikampio teoremos

Desargueso teorema: jei du trikampiai yra perspektyviniai (tiesės, einančios per atitinkamas trikampių viršūnes, susikerta viename taške), tai jų atitinkamos kraštinės susikerta toje pačioje tiesėje.

Sonda teorema: jei du trikampiai yra perspektyvūs ir ortologiniai (statmenys nubrėžti iš vieno trikampio viršūnių į kraštines, esančias priešingas atitinkamoms trikampio viršūnėms, ir atvirkščiai), tai abu ortologijos centrai (šių statmenų susikirtimo taškai) ir centras perspektyvos yra toje pačioje tiesėje, statmenoje perspektyvos ašiai (tiesė iš Desargueso teoremos).