Trigonometrinės funkcijos- Čia nukreipiamas „nuodėmės“ prašymas; taip pat žr. kitas reikšmes. Užklausa „sec“ nukreipiama čia; taip pat žr. kitas reikšmes. „Sine“ užklausa nukreipiama čia; žr. ir kitas reikšmes... Vikipedija
Tan
Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Kosinusas- Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Kotangentas- Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Sekantas- Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Trigonometrijos istorija- Geodeziniai matavimai (XVII a.) ... Vikipedija
Pusės kampo formulės liestinė- Trigonometrijoje pusės kampo formulės tangentas susieja pusės kampo liestinę su viso kampo trigonometrinėmis funkcijomis: Šios formulės variantai yra tokie... Vikipedija
Trigonometrija- (iš graikų kalbos τρίγονο (trikampis) ir graikų μετρειν (matas), tai yra trikampių matavimas) matematikos šaka, kurioje tiriamos trigonometrinės funkcijos ir jų pritaikymas geometrijai. Šis terminas pirmą kartą pasirodė 1595 m. kaip... ... Vikipedija
Trikampių sprendimas- (lot. solutio triangulorum) istorinis terminas, reiškiantis pagrindinės trigonometrinės problemos sprendimą: pasitelkus žinomus duomenis apie trikampį (kraštines, kampus ir kt.) rasti likusias jo charakteristikas. Trikampis gali būti... ... Vikipedijoje
Knygos
- Stalų komplektas. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 17 lentelių + metodika, . Lentelės spausdinamos ant storo spausdinto kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm.
- Rinkinyje yra brošiūra su mokymo gairėmis mokytojams.
Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime. Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra lygybės, kurios nustato ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ir leidžia rasti bet kurią iš šių trigonometrinių funkcijų per žinomą kitą.
Iškart išvardinkime pagrindines trigonometrines tapatybes, kurias analizuosime šiame straipsnyje. Surašykime jas į lentelę, o žemiau pateiksime šių formulių išvestį ir pateiksime reikiamus paaiškinimus.
Puslapio naršymas.
Ryšys tarp vieno kampo sinuso ir kosinuso
Kartais jie kalba ne apie pagrindines trigonometrines tapatybes, išvardytas aukščiau esančioje lentelėje, o apie vieną vienintelį pagrindinė trigonometrinė tapatybė malonus 
. Šio fakto paaiškinimas yra gana paprastas: lygybės gaunamos iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, padalijus abi jos dalis iš ir atitinkamai, ir lygybes 
Ir 
išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Apie tai plačiau pakalbėsime tolesnėse pastraipose.
Tai yra, ypač domina lygybė, kuriai buvo suteiktas pagrindinės trigonometrinės tapatybės pavadinimas.
Prieš įrodydami pagrindinį trigonometrinį tapatumą, pateikiame jo formuluotę: vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra identiškai lygi vienetui. Dabar įrodykime.
Pagrindinė trigonometrinė tapatybė labai dažnai naudojama, kai trigonometrinių išraiškų konvertavimas. Tai leidžia vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų sumą pakeisti vienu. Ne mažiau dažnai pagrindinė trigonometrinė tapatybė naudojama atvirkštine tvarka: vienetas pakeičiamas bet kurio kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma.
Tangentas ir kotangentas per sinusą ir kosinusą
Tapatybės, jungiančios liestinę ir kotangentą su vieno matymo kampo sinusu ir kosinusu ir 
iš karto išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Iš tiesų, pagal apibrėžimą sinusas yra y ordinatė, kosinusas yra x abscisė, liestinė yra ordinatės ir abscisės santykis, tai yra, 
, o kotangentas yra abscisių ir ordinačių santykis, ty 
.
Dėl tokio tapatybių akivaizdumo ir Tangentas ir kotangentas dažnai apibrėžiami ne per abscisių ir ordinačių santykį, o per sinuso ir kosinuso santykį. Taigi kampo liestinė yra sinuso ir šio kampo kosinuso santykis, o kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis.
Baigiant šią pastraipą, reikia pažymėti, kad tapatybės ir vyksta visiems kampams, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę. Taigi formulė galioja bet kuriai , išskyrus (kitaip vardiklis turės nulį, o dalybos iš nulio neapibrėžėme), o formulė - visiems , skiriasi nuo , kur z yra bet kuris .
Ryšys tarp liestinės ir kotangento
Dar akivaizdesnė trigonometrinė tapatybė nei ankstesnės dvi yra tapatybė, jungianti vieno formos kampo liestinę ir kotangentą . Akivaizdu, kad jis galioja bet kokiems kampams, išskyrus , kitaip nei liestinė, nei kotangentas nėra apibrėžti.
Formulės įrodymas labai paprasta. Pagal apibrėžimą ir iš kur 
. Įrodinėjimas galėjo būti atliktas kiek kitaip. Kadangi , Tai 
.
Taigi, to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra .
Tai paskutinė ir svarbiausia pamoka, reikalinga B11 problemoms spręsti. Mes jau žinome, kaip paversti kampus iš radiano į laipsnio matą (žr. pamoką „Kampo radianas ir laipsnio matas“), taip pat žinome, kaip nustatyti trigonometrinės funkcijos ženklą, sutelkiant dėmesį į koordinačių ketvirčius ( žr. pamoką „Trigonometrinių funkcijų ženklai“).
Belieka apskaičiuoti pačios funkcijos reikšmę – tą patį skaičių, kuris parašytas atsakyme. Čia į pagalbą ateina pagrindinė trigonometrinė tapatybė.
Pagrindinė trigonometrinė tapatybė. Bet kuriam kampui α yra teisingas šis teiginys:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Ši formulė susieja vieno kampo sinusus ir kosinusus. Dabar, žinodami sinusą, galime nesunkiai rasti kosinusą – ir atvirkščiai. Pakanka paimti kvadratinę šaknį:
Atkreipkite dėmesį į ženklą „±“ prieš šaknis. Faktas yra tas, kad iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės neaišku, kas buvo pradinis sinusas ir kosinusas: teigiamas ar neigiamas. Juk kvadratas yra lygi funkcija, kuri „sudegina“ visus minusus (jei tokių buvo).
Štai kodėl visose B11 uždaviniuose, kurie randami vieningame valstybiniame matematikos egzamine, būtinai yra papildomų sąlygų, kurios padeda atsikratyti neapibrėžtumo ženklais. Paprastai tai yra koordinačių ketvirčio, pagal kurį galima nustatyti ženklą, nuoroda.
Dėmesingas skaitytojas tikriausiai paklaus: „O kaip su tangentu ir kotangentu? Iš aukščiau pateiktų formulių šių funkcijų tiesiogiai apskaičiuoti neįmanoma. Tačiau yra svarbių pasekmių iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, kurioje jau yra liestinės ir kotangentai. Būtent:
Svarbi išvada: bet kurio kampo α atveju pagrindinė trigonometrinė tapatybė gali būti perrašyta taip:
Šios lygtys nesunkiai išvedamos iš pagrindinės tapatybės – pakanka abi puses padalinti iš cos 2 α (kad gautume liestinę) arba iš sin 2 α (kad gautume kotangentą).
Pažvelkime į visa tai su konkrečiais pavyzdžiais. Žemiau pateikiamos tikrosios B11 problemos, paimtos iš 2012 m. Vieningo valstybinio matematikos egzamino bandomųjų versijų.
Mes žinome kosinusą, bet nežinome sinuso. Pagrindinė trigonometrinė tapatybė („gryna“ forma) jungia tik šias funkcijas, todėl su ja dirbsime. Turime:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
Norint išspręsti problemą, belieka rasti sinuso ženklą. Kadangi kampas α ∈ (π /2; π ), tai laipsniu mastu jis rašomas taip: α ∈ (90°; 180°).
Vadinasi, kampas α yra antrajame koordinačių ketvirtyje – visi ten esantys sinusai yra teigiami. Todėl sin α = 0,1.
Taigi, mes žinome sinusą, bet turime rasti kosinusą. Abi šios funkcijos yra pagrindinėje trigonometrinėje tapatybėje. Pakeiskime:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Belieka išsiaiškinti ženklą prieš trupmeną. Ką pasirinkti: pliusą ar minusą? Pagal sąlygą kampas α priklauso intervalui (π 3π /2). Kampus iš radianinių matų paverskime laipsniais – gauname: α ∈ (180°; 270°).
Akivaizdu, kad tai III koordinačių ketvirtis, kur visi kosinusai yra neigiami. Todėl cos α = −0,5.
Užduotis. Raskite tan α, jei žinoma:
Tangentas ir kosinusas yra susiję su lygtimi, išplaukiančia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės:
Gauname: tan α = ±3. Liestinės ženklas nustatomas pagal kampą α. Yra žinoma, kad α ∈ (3π /2; 2π ). Kampus iš radianinių matų paverskime laipsniais – gausime α ∈ (270°; 360°).
Akivaizdu, kad tai IV koordinačių ketvirtis, kur visos liestinės yra neigiamos. Todėl tan α = −3.
Užduotis. Raskite cos α, jei žinoma:
Vėlgi sinusas žinomas, o kosinusas – nežinomas. Užrašykime pagrindinę trigonometrinę tapatybę:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Ženklas nustatomas pagal kampą. Turime: α ∈ (3π /2; 2π ). Kampus perverskime iš laipsnių į radianus: α ∈ (270°; 360°) – IV koordinačių ketvirtis, ten esantys kosinusai yra teigiami. Todėl cos α = 0,6.
Užduotis. Raskite sin α, jei žinoma:
Užrašykime formulę, kuri išplaukia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės ir tiesiogiai jungia sinusą ir kotangentą:
Iš čia gauname, kad nuodėmė 2 α = 1/25, t.y. sin α = ±1/5 = ±0,2. Yra žinoma, kad kampas α ∈ (0; π /2). Laipsnio mastu tai rašoma taip: α ∈ (0°; 90°) - I koordinačių ketvirtis.
Taigi kampas yra I koordinačių kvadrante – ten visos trigonometrinės funkcijos yra teigiamos, taigi sin α = 0,2.
Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Tegul kažkam brangi anglų kalba, Kai kam svarbi chemija, Be matematikos, mums visiems Bet nei čia, nei ten Mums lygtys kaip eilėraščiai Ir sinusai palaiko dvasią Mums kosinusai kaip dainos, O trigonometrijos formulės Glostyti mūsų ausys!
Pamokos tema: „Pagrindinės trigonometrinės tapatybės. Problemų sprendimas“. Žinoti: Gebėti: Pamokos tikslas:
ŽINAU! GALIU! AŠ SPRENDIM! aš
Kaip vadinamas vienetinis ratas? x y α R
Kokios vienetinio spindulio sukimosi kryptys žinomos? x y α R
Kokiais vienetais matuojamas vienetinio spindulio sukimosi kampas? x y α R
Kas yra vieno radiano kampas? Kiek apytiksliai laipsnių turi 1 radiano kampas? x y α R
Suformuluokite taisykles, kaip konvertuoti iš kampo laipsnio į radianinį matą ir atvirkščiai.
Suformuluokite taisykles, kaip konvertuoti iš kampo laipsnio į radianinį matą ir atvirkščiai. 30 0 π 45 0 π 2 2 π
Kokias trigonometrines funkcijas žinote?
Kokias trigonometrines funkcijas žinote? Kas lemia trigonometrinių funkcijų reikšmę?
Kuris ketvirčio kampas yra kampas α, jei: α =15° α =190° α =100°
Kuris ketvirčio kampas yra kampas α, jei: α =-20° α = -110° α =289°
Darbas grupėse Darbo grupėje taisyklės: Grupė kartu diskutuoja ir sprendžia, iškelia idėjas arba jas paneigia. Kiekvienas grupės narys turi dirbti pagal savo galimybes. Dirbdami elkitės su kolegomis pagarbiai: priimdami ar atmesdami idėją, darykite tai mandagiai. Atminkite, kad kiekvienas turi teisę klysti. Atminkite, kad grupės sėkmė priklauso nuo to, kaip kiekvienas demonstruoja savo stipriąsias puses.
Grupinis darbas
0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Trigonometrinių funkcijų verčių lentelė
1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 iki K 8 L 9 iki ir M 10 per ir N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Vertinimo kriterijai: 10 užduočių - pažymys „5“. 8-9 užduotys – balas „4“. 5-7 užduotys – balas „3“. 1-4 užduotys – balas „2“. Nustatykite atitikimą tarp kairės ir dešinės tapatybės pusių.
1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 per A 8 K 9 per ir H 10 per ir D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Vertinimo kriterijai: 10 užduočių - pažymys „5“. 8-9 užduotys – balas „4“. 5-7 užduotys – balas „3“. 1-4 užduotys – balas „2“. Nustatykite atitikimą tarp kairiosios ir dešiniosios tapatybės dalių.
Pagrindinė trigonometrinė tapatybė „trigonometrinis vienetas“
Pagrindinė trigonometrinė tapatybė „trigonometrinis vienetas“ Kosinuso kvadratas Labai džiugu. Brolis Sine Square ateina pas jį! Kai jie susitiks, ratas nustebs: Išeis visa šeima, Tai yra, vienetas!
1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) esant α =90° 3. 1- sin 2 40 0 4 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1) (1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α ir s t P iki 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Gaukite matematiko, kurio knygoje pirmą kartą pasirodo terminas „trigonometrija“, vardą. 1 2 3 4 5 6 7 8 P i t i c k u s 2-2 cos (-60 0)
Pitiscus
Al-Batuni Al-Khwarizmi
Bhaskara Nasireddinas Tusi
Leonardas Eileris
Atsižvelgdami į trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite kitos funkcijos reikšmę Ketvirtis Duota: Rasti: Sprendimas: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα
Atsižvelgdami į trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite kitos funkcijos reikšmę Ketvirtis Duota: Rasti: Sprendimas: I sinα= 0,6
Atsižvelgdami į trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite kitos funkcijos reikšmę Ketvirtis Duota: Rasti: Sprendimas: II cosα= sinα = =
Atsižvelgdami į trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite kitos funkcijos reikšmę Ketvirtis Duota: Rasti: Sprendimas: III tgα= ctgα ctgα = = =
Atsižvelgdami į trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite kitos funkcijos reikšmę Ketvirtis Duota: Rasti: Sprendimas: IV cosα = tgα tgα = = = = = =
Trigonometrijos taikymas žmogaus gyvenime.
Namų darbas Pranešimas: „Trigonometrija žmogaus gyvenime“ Nr.304 111 p
y=sinx Ačiū už pamoką!
1 sin 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 nuodėmė 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 nuodėmė (- 140°) 13 sin 7 cos 300 °) 14 tg Nustatykite išraiškos ženklą - - - - - - + + + + + + + +
Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos
Pristatyme pateikiami pagrindinių mokyklinio matematikos kurso uždavinių sprendimai, kaip rasti visų tipų atstumus ir kampus erdvėje naudojant algoritmą, leidžiantį jį naudoti tiek studijuojant...
Pamokos pristatymas: "Kampas tarp plokštumų. Uždavinio sprendimas įvairiais būdais"
Šis pristatymas gali būti naudojamas aiškumo dėlei revizijos pamokose, ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui sprendžiant C-2 tipo uždavinius....
