Instrukcijos

Vakarėliai o kampai laikomi pagrindiniais elementais A. Trikampis yra visiškai apibrėžtas bet kuriuo iš šių pagrindinių elementų: arba trys kraštinės, arba viena kraštinė ir du kampai, arba dvi kraštinės ir kampas tarp jų. Už egzistavimą trikampis pateiktos iš trijų kraštinių a, b, c, tai būtina ir pakanka nelygybėms, vadinamoms nelygybėmis, patenkinti trikampis:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Statyti trikampis iš trijų pusių a, b, c iš atkarpos CB = a taško C kompasu reikia nubrėžti b spindulio apskritimą. Tada tuo pačiu būdu iš taško B nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys lygus kraštinei c. Jų susikirtimo taškas A yra trečioji norimos viršūnė trikampis ABC, kur AB=c, CB=a, CA=b - pusės trikampis. Problema turi , jei kraštinės a, b, c tenkina nelygybes trikampis nurodyta 1 veiksme.

Tokiu būdu sukonstruota S sritis trikampis ABC su žinomomis kraštinėmis a, b, c apskaičiuojamas pagal Herono formulę:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kur a, b, c yra kraštinės trikampis, p – pusperimetras.
p = (a+b+c)/2

Jei trikampis yra lygiakraštis, tai yra, visos jo kraštinės yra lygios (a=b=c). Plotas trikampis apskaičiuojamas pagal formulę:
S=(a^2 v3)/4

Jei trikampis yra stačiakampis, tai yra, vienas iš jo kampų yra lygus 90°, o jį sudarančios kraštinės yra kojos, trečioji kraštinė yra hipotenuzė. Šiuo atveju kvadratas lygus kojų sandaugai, padalytai iš dviejų.
S=ab/2

Norėdami rasti kvadratas trikampis, galite naudoti vieną iš daugelio formulių. Pasirinkite formulę atsižvelgdami į tai, kokie duomenys jau žinomi.

Jums reikės

trikampio ploto nustatymo formulių išmanymas

Instrukcijos

Jei žinote vienos iš kraštų dydį ir aukščio, nuleisto į šią pusę nuo priešingo kampo, vertę, galite rasti plotą naudodami šiuos metodus: S = a*h/2, kur S yra plotas trikampio a yra viena iš trikampio kraštinių, o h - aukštis, į kraštinę a.

Yra žinomas trikampio ploto nustatymo metodas, jei žinomos trys jo kraštinės. Tai Herono formulė. Siekiant supaprastinti jo įrašymą, įvedama tarpinė reikšmė - pusperimetras: p = (a+b+c)/2, kur a, b, c - . Tada Herono formulė yra tokia: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponencija.

Tarkime, kad žinote vieną iš trikampio kraštinių ir tris kampus. Tada nesunku rasti trikampio plotą: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kur β yra kampas, priešingas kraštinei a, o α ir γ yra kampai, esantys šalia kraštinės.

Video tema

Atkreipkite dėmesį

Bendriausia formulė, tinkanti visais atvejais, yra Herono formulė.

Šaltiniai:

3 patarimas: kaip rasti trikampio plotą pagal tris puses

Trikampio ploto radimas yra viena iš labiausiai paplitusių mokyklos planimetrijos problemų. Norint nustatyti bet kurio trikampio plotą, pakanka žinoti tris trikampio kraštines. Ypatingais lygiašonių trikampių atvejais pakanka žinoti atitinkamai dviejų ir vienos kraštinių ilgius.

Jums reikės

trikampių kraštinių ilgiai, Herono formulė, kosinuso teorema

Instrukcijos

Trikampio ploto Herono formulė yra tokia: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jei parašytume pusperimetrą p, gautume: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Galite išvesti trikampio ploto formulę iš svarstymų, pavyzdžiui, taikydami kosinuso teoremą.

Pagal kosinuso teoremą AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Naudojant įvestus žymėjimus, juos taip pat galima parašyti tokia forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Vadinasi, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Trikampio plotas taip pat randamas pagal formulę S = a*c*sin(ABC)/2, naudojant dvi kraštines ir kampą tarp jų. Kampo ABC sinusas gali būti išreikštas per jį naudojant pagrindinę trigonometrinę tapatybę: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Pakeičiant sinusą į ploto formulę ir jį užrašant , galite pasiekti trikampio ABC ploto formulę.

Video tema

Norint atlikti remonto darbus, gali tekti išmatuoti kvadratas sienos Taip lengviau apskaičiuoti reikiamą dažų ar tapetų kiekį. Matavimui geriausia naudoti matavimo juostą arba matavimo juostą. Matavimai turėtų būti atliekami po sienos buvo išlyginti.

Jums reikės

- ruletė;
- kopėčios.

Instrukcijos

Suskaičiuoti kvadratas sienos, turite žinoti tikslų lubų aukštį, taip pat išmatuoti ilgį išilgai grindų. Tai daroma taip: paimkite centimetrą ir padėkite jį ant grindjuostės. Paprastai centimetro neužtenka visam ilgiui, todėl pritvirtinkite jį kampe, tada atsukite iki maksimalaus ilgio. Šiuo metu pažymėkite pieštuku, užrašykite gautą rezultatą ir atlikite tolesnius matavimus tuo pačiu būdu, pradedant nuo paskutinio matavimo taško.

Standartinės lubos yra 2 metrai 80 centimetrų, 3 metrai ir 3 metrai 20 centimetrų, priklausomai nuo namo. Jei namas buvo pastatytas iki 50-ųjų, greičiausiai tikrasis aukštis yra šiek tiek mažesnis nei nurodyta. Jei skaičiuojate kvadratas remonto darbams, tada nedidelė pasiūla nepakenks – apsvarstykite pagal standartą. Jei vis tiek reikia žinoti tikrąjį ūgį, išmatuokite. Principas panašus į ilgio matavimą, tačiau jums reikės kopėčių.

Padauginkite gautus rodiklius - tai yra kvadratas tavo sienos. Tiesa, dažant ar dažymui reikia atimti kvadratas durų ir langų angos. Norėdami tai padaryti, padėkite centimetrą išilgai angos. Jei kalbame apie duris, kurias vėliau ketinate keisti, tada nuimkite durų staktą, atsižvelgdami tik į kvadratas tiesiai į pačią angą. Lango plotas skaičiuojamas išilgai jo rėmo perimetro. Po to kvadratas apskaičiuojant langą ir duris, atimkite rezultatą iš bendro kambario ploto.

Atkreipkite dėmesį, kad kambario ilgį ir plotį matuoja du žmonės, todėl lengviau pritvirtinti centimetrą ar matavimo juostą ir atitinkamai gauti tikslesnį rezultatą. Kelis kartus atlikite tą patį matavimą, kad įsitikintumėte, jog gauti skaičiai yra tikslūs.

Video tema

Rasti trikampio tūrį yra tikrai nebanali užduotis. Faktas yra tas, kad trikampis yra dvimatė figūra, t.y. jis yra visiškai vienoje plokštumoje, o tai reiškia, kad jis tiesiog neturi tūrio. Žinoma, jūs negalite rasti to, ko nėra. Bet nepasiduokime! Galime sutikti su tokia prielaida: dvimatės figūros tūris yra jos plotas. Ieškosime trikampio ploto.

Jums reikės

popieriaus lapas, pieštukas, liniuotė, skaičiuotuvas

Instrukcijos

Pieškite ant popieriaus lapo naudodami liniuotę ir pieštuką. Atidžiai ištyrę trikampį galite įsitikinti, kad jame tikrai nėra trikampio, nes jis nupieštas plokštumoje. Pažymėkite trikampio kraštines: tegul viena kraštinė yra „a“, kita – „b“, o trečioji – „c“. Pažymėkite trikampio viršūnes raidėmis "A", "B" ir "C".

Išmatuokite bet kurią trikampio kraštinę liniuote ir užrašykite rezultatą. Po to atkurkite statmeną išmatuotai pusei iš priešingos viršūnės, toks statmuo bus trikampio aukštis. Paveiksle pavaizduotu atveju statmenas "h" atkuriamas į "c" pusę nuo viršūnės "A". Išmatuokite gautą aukštį liniuote ir užrašykite matavimo rezultatą.

Jums gali būti sunku atkurti tikslų statmeną. Tokiu atveju turėtumėte naudoti kitą formulę. Išmatuokite visas trikampio kraštines liniuote. Po to apskaičiuokite trikampio "p" pusperimetrą, pridėdami gautus kraštinių ilgius ir padalydami jų sumą per pusę. Turėdami pusperimetro vertę, galite naudoti Herono formulę. Norėdami tai padaryti, turite paimti kvadratinę šaknį iš šių: p(p-a)(p-b)(p-c).

Gavote reikiamą trikampio plotą. Trikampio tūrio nustatymo problema nebuvo išspręsta, tačiau, kaip minėta aukščiau, tūrio nėra. Galite rasti tūrį, kuris iš esmės yra trikampis trimačiame pasaulyje. Jei įsivaizduosime, kad mūsų pradinis trikampis tapo trimate piramide, tada tokios piramidės tūris bus jos pagrindo ilgio sandauga su gauto trikampio plotu.

Atkreipkite dėmesį

Kuo kruopščiau matuosite, tuo tikslesni jūsų skaičiavimai.

Šaltiniai:

Skaičiuoklė „Viskas prie visko“ – pamatinių verčių portalas
trikampio apimtis 2019 m

Trys taškai, vienareikšmiškai apibrėžiantys trikampį Dekarto koordinačių sistemoje, yra jo viršūnės. Žinodami jų padėtį kiekvienos koordinačių ašies atžvilgiu, galite apskaičiuoti bet kokius šios plokščios figūros parametrus, įskaitant tuos, kuriuos riboja jos perimetras. kvadratas. Tai galima padaryti keliais būdais.

Instrukcijos

Norėdami apskaičiuoti plotą, naudokite Herono formulę trikampis. Tai apima trijų figūros pusių matmenis, todėl skaičiavimus pradėkite nuo . Kiekvienos kraštinės ilgis turi būti lygus jos projekcijų į koordinačių ašis ilgių kvadratų sumos šaknei. Jei pažymime koordinates A(X1,Y1,Z₁), B(X2,Y2,Z2) ir C(X3,Y3,Z3), jų kraštinių ilgiai gali būti išreikšti taip: AB = √((X₁- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Norėdami supaprastinti skaičiavimus, įveskite pagalbinį kintamąjį - pusiau perimetrą (P). Iš to, kad tai yra pusė visų kraštinių ilgių sumos: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y₂)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Internete galite rasti daugiau nei 10 formulių, skirtų trikampio plotui apskaičiuoti. Tačiau yra nemažai sudėtingų pavyzdžių, kai pagal priskyrimo sąlygas žinoma tik viena trikampio kraštinė ir kampai arba apibrėžto ar įbrėžto apskritimo spindulys ir dar viena charakteristika. Tokiais atvejais negalima taikyti paprastos formulės.

Žemiau pateiktos formulės išspręs 95 procentus problemų, kuriose reikia rasti trikampio plotą.
Pereikime prie bendrų sričių formulių svarstymo.
Apsvarstykite žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotą trikampį

Paveiksle ir toliau pateiktose formulėse pateikiami klasikiniai visų jo charakteristikų pavadinimai.
a,b,c – trikampio kraštinės,
R – apibrėžto apskritimo spindulys,
r – įbrėžto apskritimo spindulys,
h[b],h[a],h[c] – aukščiai nubrėžti pagal kraštines a,b,c.
alfa, beta, hama – kampai šalia viršūnių.

Pagrindinės trikampio ploto formulės

1. Plotas lygus pusei trikampio kraštinės ir į šią kraštinę nuleisto aukščio sandaugos. Formulių kalba šis apibrėžimas gali būti parašytas taip

Taigi, jei žinoma kraštinė ir aukštis, kiekvienas mokinys ras plotą.
Beje, iš šios formulės galima išvesti vieną naudingą ryšį tarp aukščių

2. Jei atsižvelgsime į tai, kad trikampio aukštis per gretimą kraštinę išreiškiamas priklausomybe

Tada po pirmosios srities formulės seka antrosios to paties tipo

Atidžiai pažiūrėkite į formules – jas lengva įsiminti, nes darbas apima dvi puses ir kampą tarp jų. Jei teisingai pažymime trikampio kraštines ir kampus (kaip aukščiau esančiame paveikslėlyje), gausime dvi kraštines a, b o kampas sujungtas su trečiuoju Su (hamma).

3. Trikampio kampų santykis yra teisingas

Priklausomybė leidžia skaičiuojant naudoti šias trikampio ploto formules:

Šios priklausomybės pavyzdžiai yra labai reti, tačiau turite atsiminti, kad yra tokia formulė.

4. Jei žinomi šoniniai ir du gretimi kampai, tai plotas randamas pagal formulę

5. Ploto formulė pagal kraštinę ir gretimų kampų kotangentą yra tokia

Pertvarkydami indeksus galite gauti priklausomybę nuo kitų šalių.

6. Žemiau pateikta ploto formulė naudojama uždaviniuose, kai trikampio viršūnės plokštumoje nurodytos koordinatėmis. Šiuo atveju plotas yra lygus pusei determinanto, paimto modulo.

7. Garnio formulė naudojami pavyzdžiuose su žinomomis trikampio kraštinėmis.
Pirmiausia raskite trikampio pusperimetrą

Ir tada pagal formulę nustatykite plotą

arba

Jis gana dažnai naudojamas skaičiuotuvų programų kode.

8. Jei žinomi visi trikampio aukščiai, tai plotas nustatomas pagal formulę

Sunku apskaičiuoti skaičiuotuvu, bet MathCad, Mathematica, Maple paketuose plotas yra „laikas du“.

9. Šiose formulėse naudojami žinomi įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spinduliai.

Visų pirma, jei žinomi trikampio spindulys ir kraštinės arba jo perimetras, tada plotas apskaičiuojamas pagal formulę

10. Pavyzdžiuose, kur nurodytos apibrėžto apskritimo kraštinės ir spindulys arba skersmuo, plotas randamas naudojant formulę

11. Ši formulė nustato trikampio plotą pagal trikampio kraštinę ir kampus.

Ir galiausiai – ypatingi atvejai:
Stačiojo trikampio plotas kurių kojos a ir b lygios pusei jų sandaugos

Lygiakraščio (taisyklingo) trikampio ploto formulė=

= viena ketvirtoji kraštinės kvadrato ir trijų šaknies sandaugos.

Trikampio plotas - formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai

Žemiau yra savavališko trikampio ploto nustatymo formulės kurie tinka bet kokio trikampio plotui rasti, nepaisant jo savybių, kampų ar dydžių. Formulės pateikiamos paveikslėlio pavidalu su jų taikymo paaiškinimais arba teisingumo pagrindimu. Taip pat atskirame paveikslėlyje parodytas raidžių simbolių formulėse ir grafinių simbolių brėžinyje atitikimas.

Pastaba . Jei trikampis turi specialių savybių (lygiašonis, stačiakampis, lygiakraštis), galite naudoti toliau pateiktas formules, taip pat papildomas specialias formules, kurios galioja tik trikampiams, turintiems šias savybes:

"Liaukiašo trikampio ploto formulė"

Trikampio ploto formulės

Formulių paaiškinimai:
a, b, c- trikampio, kurio plotą norime rasti, kraštinių ilgiai
r- į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys
R- aplink trikampį apibrėžto apskritimo spindulys
h- trikampio aukštis nuleistas į šoną
p- trikampio pusiau perimetras, 1/2 jo kraštinių sumos (perimetras)
α - kampas, priešingas trikampio kraštinei a
β - kampas, priešingas trikampio kraštinei b
γ - kampas, priešingas trikampio kraštinei c
h a, h b , h c- trikampio aukštis nuleistas į a, b, c puses

Atkreipkite dėmesį, kad pateiktos žymos atitinka aukščiau pateiktą paveikslą, todėl sprendžiant realią geometrijos problemą jums bus vizualiai lengviau pakeisti teisingas reikšmes tinkamose formulės vietose.

Trikampio plotas yra pusės trikampio aukščio ir kraštinės, kuria šis aukštis nuleistas, ilgio sandaugos(Formulė 1). Šios formulės teisingumą galima suprasti logiškai. Nuleistas iki pagrindo aukštis savavališką trikampį padalins į du stačiakampius. Jei kiekvieną iš jų pastatysite į stačiakampį, kurio matmenys b ir h, tada akivaizdu, kad šių trikampių plotas bus lygus tiksliai pusei stačiakampio ploto (Spr = bh)
Trikampio plotas yra pusė jo abiejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos(2 formulė) (žr. problemos sprendimo pavyzdį naudojant šią formulę žemiau). Nors atrodo, kad jis skiriasi nuo ankstesnio, jį galima lengvai paversti juo. Jei aukštį nuo kampo B sumažintume į kraštinę b, tai išeitų, kad kraštinės a ir kampo γ sinuso sandauga pagal stačiakampio sinuso savybes yra lygi trikampio aukščiui, kurį nubrėžėme. , kuri suteikia mums ankstesnę formulę
Galima rasti savavališko trikampio plotą per dirbti pusė apskritimo spindulio, įrašyto į jį visų jo kraštinių ilgių suma(3 formulė), paprasčiausiai tariant, reikia padauginti trikampio pusiau perimetrą iš įrašyto apskritimo spindulio (tai lengviau atsiminti)
Savavališko trikampio plotą galima rasti padalijus visų jo kraštinių sandaugą iš 4 aplink jį apibrėžto apskritimo spindulių (4 formulė)
5 formulė randa trikampio plotą per jo kraštinių ilgį ir pusperimetrą (pusė visų jo kraštinių sumos)
Garnio formulė(6) yra tos pačios formulės atvaizdas nenaudojant pusperimetro sąvokos, tik per kraštinių ilgius
Savavališko trikampio plotas yra lygus trikampio kraštinės kvadrato ir kampų, esančių šalia šios kraštinės, sinusų sandaugai, padalytai iš kampo, priešingo šiai kraštinei, dvigubo sinuso (7 formulė)
Savavališko trikampio plotą galima rasti kaip dviejų apskritimo kvadratų, apribotų jį kiekvieno jo kampo sinusais, sandauga. (Formulė 8)
Jei žinomos vienos kraštinės ilgis ir dviejų gretimų kampų reikšmės, tada trikampio plotą galima rasti kaip šios kraštinės kvadratą, padalijus iš šių kampų dvigubos kotangentų sumos (9 formulė).
Jei žinomas tik kiekvieno trikampio aukščių ilgis (10 formulė), tada tokio trikampio plotas yra atvirkščiai proporcingas šių aukščių ilgiams, kaip pagal Herono formulę
11 formulė leidžia apskaičiuoti trikampio plotas, pagrįstas jo viršūnių koordinatėmis, kurios nurodytos kaip (x;y) reikšmės kiekvienai viršūnei. Atkreipkite dėmesį, kad gauta reikšmė turi būti paimta modulio, nes atskirų (ar net visų) viršūnių koordinatės gali būti neigiamų verčių srityje

Pastaba. Toliau pateikiami geometrijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, norint rasti trikampio plotą. Jei reikia išspręsti geometrijos uždavinį, kuris čia nėra panašus, parašykite apie tai forume. Sprendimuose vietoj simbolio "kvadratinės šaknies" galima naudoti funkciją sqrt(), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o skliausteliuose nurodoma radicand išraiška.Kartais paprastiems radikaliems posakiams galima naudoti simbolį √

Užduotis. Raskite plotą, nurodytą dviejose pusėse, ir kampą tarp jų

Trikampio kraštinės yra 5 ir 6 cm Kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Raskite trikampio plotą.

Sprendimas.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formulę numeris du iš teorinės pamokos dalies.
Trikampio plotą galima rasti per dviejų kraštinių ilgius ir kampo tarp jų sinusą ir bus lygus
S=1/2 ab sin γ

Kadangi turime visus sprendimui reikalingus duomenis (pagal formulę), formulėje galime pakeisti tik uždavinio sąlygų reikšmes:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje rasime ir į išraišką pakeisime sinuso reikšmę 60 laipsnių. Jis bus lygus trijų kartų du šaknims.
S = 15 √3 / 2

Atsakymas: 7,5 √3 (atsižvelgiant į mokytojo reikalavimus, tikriausiai galite palikti 15 √3/2)

Užduotis. Raskite lygiakraščio trikampio plotą

Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 3 cm, plotą.

Sprendimas.

Trikampio plotą galima rasti naudojant Herono formulę:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Kadangi a = b = c, lygiakraščio trikampio ploto formulė yra tokia:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Atsakymas: 9 √3 / 4.

Užduotis. Keičiant šonų ilgį, keičiamas plotas

Kiek kartų padidės trikampio plotas, jei kraštinės padidinamos 4 kartus?

Sprendimas.

Kadangi trikampio kraštinių matmenys mums nežinomi, norėdami išspręsti problemą, manysime, kad kraštinių ilgiai yra atitinkamai lygūs savavališkiems skaičiams a, b, c. Tada, norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, rasime nurodyto trikampio plotą, o tada – trikampio, kurio kraštinės keturis kartus didesnės, plotą. Šių trikampių plotų santykis suteiks mums atsakymą į problemą.

Žemiau pateikiame tekstinį problemos sprendimo paaiškinimą žingsnis po žingsnio. Tačiau pačioje pabaigoje tas pats sprendimas pateikiamas patogesne grafine forma. Tie, kurie domisi, gali iš karto pereiti prie sprendimų.

Norėdami išspręsti, naudojame Herono formulę (žr. aukščiau teorinėje pamokos dalyje). Tai atrodo taip:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. pirmąją paveikslėlio eilutę žemiau)

Savavališko trikampio kraštinių ilgiai nurodomi kintamaisiais a, b, c.
Jei kraštinės padidinamos 4 kartus, tada naujo trikampio c plotas bus:

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(žr. antrą eilutę paveikslėlyje žemiau)

Kaip matote, 4 yra bendras veiksnys, kurį galima ištraukti iš skliaustų iš visų keturių išraiškų pagal bendrąsias matematikos taisykles.
Tada

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - trečioje paveikslo eilutėje
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ketvirta eilutė

Skaičiaus 256 kvadratinė šaknis puikiai išgauta, todėl išimkime ją iš po šaknies
S 2 = 16 * 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kvadratiniai plotai ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. žemiau esančios nuotraukos penktąją eilutę)

Norėdami atsakyti į užduotą klausimą, tereikia padalyti gauto trikampio plotą iš pradinio ploto.
Plotų santykius nustatykime dalijant išraiškas vieną iš kitos ir sumažinant gautą trupmeną.

Kaip galbūt prisimenate iš savo mokyklos geometrijos mokymo programos, trikampis yra figūra, sudaryta iš trijų atkarpų, sujungtų trimis taškais, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Trikampis sudaro tris kampus, taigi ir figūros pavadinimas. Apibrėžimas gali skirtis. Trikampis taip pat gali būti vadinamas daugiakampiu su trimis kampais, atsakymas taip pat bus teisingas. Trikampiai skirstomi pagal lygių kraštinių skaičių ir kampų dydį paveiksluose. Taigi trikampiai skiriami kaip lygiašoniai, lygiakraščiai ir skalės, taip pat atitinkamai stačiakampiai, smailūs ir bukūs.

Yra daug formulių trikampio plotui apskaičiuoti. Pasirinkite, kaip rasti trikampio plotą, t.y. Kokią formulę naudoti, priklauso nuo jūsų. Tačiau verta atkreipti dėmesį tik į kai kuriuos žymėjimus, kurie naudojami daugelyje formulių apskaičiuojant trikampio plotą. Taigi, atsiminkite:

S yra trikampio plotas,

a, b, c yra trikampio kraštinės,

h yra trikampio aukštis,

R yra apibrėžto apskritimo spindulys,

p yra pusiau perimetras.

Štai pagrindiniai užrašai, kurie gali būti naudingi, jei visiškai pamiršote geometrijos kursą. Žemiau pateikiamos labiausiai suprantamos ir nesudėtingos nežinomos ir paslaptingos trikampio srities apskaičiavimo parinktys. Tai nesunku ir pravers tiek jūsų buities reikmėms, tiek padedant vaikams. Prisiminkime, kaip kuo lengviau apskaičiuoti trikampio plotą:

Mūsų atveju trikampio plotas yra: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kv. cm. Atminkite, kad plotas matuojamas kvadratiniais centimetrais (kvcm).

Statusis trikampis ir jo plotas.

Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas kampas yra lygus 90 laipsnių (todėl vadinamas dešiniuoju). Statųjį kampą sudaro dvi statmenos linijos (trikampio atveju dvi statmenos atkarpos). Stačiame trikampyje gali būti tik vienas stačiakampis, nes... bet kurio vieno trikampio visų kampų suma lygi 180 laipsnių. Pasirodo, 2 kiti kampai turėtų padalyti likusius 90 laipsnių, pavyzdžiui, 70 ir 20, 45 ir 45 ir tt. Taigi, atsimenate pagrindinį dalyką, belieka išsiaiškinti, kaip rasti stačiojo trikampio plotą. Įsivaizduokime, kad prieš mus yra toks stačiakampis trikampis ir reikia rasti jo plotą S.

1. Paprasčiausias būdas nustatyti stačiakampio trikampio plotą apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Mūsų atveju dešiniojo trikampio plotas yra: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kv. cm.

Iš esmės nebereikia tikrinti trikampio ploto kitais būdais, nes Tik šis pravers ir pravers kasdieniame gyvenime. Tačiau taip pat yra galimybių išmatuoti trikampio plotą smailiais kampais.

2. Taikant kitus skaičiavimo metodus, turite turėti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelę. Spręskite patys, čia yra keletas stačiakampio trikampio ploto, kurį vis dar galima naudoti, skaičiavimo parinktys:

Nusprendėme naudoti pirmąją formulę ir su nedideliais dėmėmis (nubraižėme ją sąsiuvinyje ir panaudojome seną liniuotę ir matuoklį), bet gavome teisingą skaičiavimą:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Gavome tokius rezultatus: 3,6=3,7, bet atsižvelgiant į ląstelių poslinkį, šį niuansą galime atleisti.

Lygiašonis trikampis ir jo plotas.

Jei susiduriate su užduotimi apskaičiuoti lygiašonio trikampio formulę, paprasčiausias būdas yra naudoti pagrindinę ir tai, kas laikoma klasikine trikampio ploto formule.

Bet pirmiausia, prieš surasdami lygiašonio trikampio plotą, išsiaiškinkime, kokia tai figūra. Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės yra vienodo ilgio. Šios dvi pusės vadinamos šoninėmis, trečioji – pagrindu. Nepainiokite lygiašonio trikampio su lygiašoniu trikampiu, t.y. taisyklingas trikampis, kurio visos trys kraštinės lygios. Tokiame trikampyje nėra ypatingų tendencijų kampams, tiksliau jų dydžiui. Tačiau lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs, bet skiriasi nuo kampo tarp lygių kraštinių. Taigi, jūs jau žinote pirmąją ir pagrindinę formulę, belieka išsiaiškinti, kokios kitos lygiašonio trikampio ploto nustatymo formulės:

Norėdami nustatyti trikampio plotą, galite naudoti skirtingas formules. Iš visų metodų lengviausias ir dažniausiai naudojamas aukštį padauginti iš pagrindo ilgio ir padalyti rezultatą iš dviejų. Tačiau šis metodas toli gražu nėra vienintelis. Žemiau galite perskaityti, kaip rasti trikampio plotą naudojant skirtingas formules.

Atskirai apžvelgsime būdus, kaip apskaičiuoti konkrečių tipų trikampių - stačiakampių, lygiašonių ir lygiašonių - plotą. Prie kiekvienos formulės pateikiame trumpą paaiškinimą, kuris padės suprasti jos esmę.

Universalūs trikampio ploto nustatymo metodai

Toliau pateiktose formulėse naudojamas specialus žymėjimas. Mes iššifruosime kiekvieną iš jų:

a, b, c – mūsų nagrinėjamos figūros trijų kraštinių ilgiai;
r yra apskritimo, kurį galima įrašyti į mūsų trikampį, spindulys;
R yra apskritimo, kurį galima apibūdinti aplink jį, spindulys;
α – kampo, sudaryto iš kraštinių b ir c, dydis;
β – kampo tarp a ir c dydis;
γ – kampo, sudaryto iš kraštinių a ir b, dydis;
h yra mūsų trikampio aukštis, nuleistas nuo kampo α į kraštinę a;
p – pusė kraštinių a, b ir c sumos.

Logiškai aišku, kodėl tokiu būdu galite rasti trikampio plotą. Trikampis gali būti lengvai sudarytas į lygiagretainį, kuriame viena trikampio kraštinė veiks kaip įstrižainė. Lygiagretainio plotas randamas vienos iš jo kraštinių ilgį padauginus iš į ją nubrėžto aukščio vertės. Įstrižainė padalija šį sąlyginį lygiagretainį į 2 vienodus trikampius. Todėl visiškai akivaizdu, kad mūsų pradinio trikampio plotas turi būti lygus pusei šio pagalbinio lygiagretainio ploto.

S=½ a b sin γ

Pagal šią formulę trikampio plotas randamas padauginus jo dviejų kraštinių, tai yra a ir b, ilgius iš jų suformuoto kampo sinuso. Ši formulė logiškai išvesta iš ankstesnės. Jei aukštį nuo kampo β sumažiname į kraštinę b, tai pagal stačiojo trikampio savybes, kraštinės a ilgį padauginus iš kampo γ sinuso, gauname trikampio aukštį, tai yra h. .

Nagrinėjamos figūros plotas randamas padauginus pusę apskritimo, kurį galima įrašyti į jį, spindulio iš jo perimetro. Kitaip tariant, randame minėto apskritimo pusperimetro ir spindulio sandaugą.

S= a b c/4R

Pagal šią formulę mums reikalingą reikšmę galime rasti figūros kraštinių sandaugą padalijus iš 4 aplink ją aprašyto apskritimo spindulių.

Šios formulės yra universalios, nes leidžia nustatyti bet kurio trikampio plotą (skalė, lygiašonis, lygiakraštis, stačiakampis). Tai galima padaryti naudojant sudėtingesnius skaičiavimus, kurių mes išsamiai nenagrinėsime.

Tam tikromis savybėmis pasižyminčių trikampių plotai

Kaip rasti stačiojo trikampio plotą? Šios figūros ypatumas yra tas, kad dvi jos pusės yra vienu metu jos aukščiai. Jei a ir b yra kojos, o c tampa hipotenuze, tada randame tokią sritį:

Kaip rasti lygiašonio trikampio plotą? Jis turi dvi puses, kurių ilgis yra a, ir vieną kraštą, kurio ilgis yra b. Vadinasi, jos plotą galima nustatyti kraštinės a kvadrato sandaugą iš kampo γ sinuso padalijus iš 2.

Kaip rasti lygiakraščio trikampio plotą? Jame visų kraštinių ilgis lygus a, o visų kampų dydis lygus α. Jo aukštis lygus pusei kraštinės a ilgio ir kvadratinės šaknies iš 3 sandaugos. Norėdami rasti taisyklingo trikampio plotą, turite padauginti kraštinės a kvadratą iš kvadratinės šaknies iš 3 ir padalyti iš 4.