Eksponentinių lygčių ir nelygybių parinkimas ir sprendimas. Eksponentinių lygčių sistemų sprendimas

Eksponentinės lygtys ir nelygybės yra tos, kurių eksponente yra nežinomasis.

Sprendžiant eksponentines lygtis dažnai reikia išspręsti lygtį a x = a b, kur a > 0, a ≠ 1, x yra nežinomas. Ši lygtis turi vieną šaknį x = b, nes teisinga ši teorema:

Teorema. Jei a > 0, a ≠ 1 ir a x 1 = a x 2, tai x 1 = x 2.

Pagrįskime svarstytą teiginį.

Tarkime, kad lygybė x 1 = x 2 negalioja, t.y. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponentinė funkcija y = a x didėja ir todėl turi būti tenkinama nelygybė a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Abiem atvejais gavome prieštaravimą sąlygai a x 1 = a x 2.

Panagrinėkime keletą problemų.

Išspręskite lygtį 4 ∙ 2 x = 1.

Sprendimas.

Parašykime lygtį forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, iš kurios gauname x + 2 = 0, t.y. x = -2.

Atsakymas. x = -2.

Išspręskite lygtį 2 3x ∙ 3 x = 576.

Sprendimas.

Kadangi 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, lygtį galima parašyti kaip 8 x ∙ 3 x = 24 2 arba 24 x = 24 2.

Iš čia gauname x = 2.

Atsakymas. x = 2.

Išspręskite lygtį 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Sprendimas.

Iš kairėje pusėje esančių skliaustų paėmę bendrą koeficientą 3 x - 2, gauname 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

iš kur 3 x - 2 = 1, t.y. x – 2 = 0, x = 2.

Atsakymas. x = 2.

Išspręskite lygtį 3 x = 7 x.

Sprendimas.

Kadangi 7 x ≠ 0, lygtį galima parašyti kaip 3 x /7 x = 1, iš kur (3/7) x = 1, x = 0.

Atsakymas. x = 0.

Išspręskite lygtį 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Sprendimas.

Pakeitus 3 x = a, ši lygtis sumažinama iki kvadratinės lygties a 2 – 4a – 45 = 0.

Išspręsdami šią lygtį, randame jos šaknis: a 1 = 9 ir 2 = -5, iš kur 3 x = 9, 3 x = -5.

Lygtis 3 x = 9 turi šaknį 2, o lygtis 3 x = -5 neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija negali turėti neigiamų verčių.

Atsakymas. x = 2.

Sprendžiant eksponentines nelygybes dažnai reikia išspręsti nelygybes a x > a b arba a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Pažvelkime į kai kurias problemas.

Išspręskite nelygybę 3 x< 81.

Sprendimas.

Nelygybę parašykime forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tada funkcija y = 3 x didėja.

Todėl už x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Taigi, ties x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Atsakymas. X< 4.

Išspręskite nelygybę 16 x +4 x – 2 > 0.

Sprendimas.

Pažymime 4 x = t, tada gausime kvadratinę nelygybę t2 + t – 2 > 0.

Ši nelygybė galioja t< -2 и при t > 1.

Kadangi t = 4 x, gauname dvi nelygybes 4 x< -2, 4 х > 1.

Pirmoji nelygybė neturi sprendinių, nes 4 x > 0 visiems x € R.

Antrąją nelygybę rašome forma 4 x > 4 0, iš kur x > 0.

Atsakymas. x > 0.

Grafiškai išspręskite lygtį (1/3) x = x – 2/3.

Sprendimas.

1) Sudarykime funkcijų y = (1/3) x ir y = x – 2/3 grafikus.

2) Remdamiesi savo paveikslu, galime daryti išvadą, kad nagrinėjamų funkcijų grafikai susikerta taške su abscise x ≈ 1. Patikrinus įrodoma, kad

x = 1 yra šios lygties šaknis:

(1/3) 1 = 1/3 ir 1 – 2/3 = 1/3.

Kitaip tariant, mes radome vieną iš lygties šaknų.

3) Raskime kitas šaknis arba įrodykime, kad jų nėra. Funkcija (1/3) x mažėja, o funkcija y = x – 2/3 didėja. Todėl, kai x > 1, pirmosios funkcijos reikšmės yra mažesnės nei 1/3, o antrosios - daugiau nei 1/3; ties x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ir x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Atsakymas. x = 1.

Atkreipkite dėmesį, kad iš šios problemos sprendimo išplaukia, kad nelygybė (1/3) x > x – 2/3 tenkinama x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Pamoka ir pranešimas tema: „Eksponentinės lygtys ir eksponentinės nelygybės“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 11 klasei
Interaktyvus vadovas 9–11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvus vadovas 10–11 klasėms „Logaritmai“

Eksponentinių lygčių apibrėžimas

Apibrėžimas. Formos lygtys: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kur $a>0$, $a≠1$ vadinamos eksponentinėmis lygtimis.

Prisimindami teoremas, kurias studijavome temoje „Eksponentinė funkcija“, galime pristatyti naują teoremą:
Teorema. Eksponentinė lygtis $a^(f(x))=a^(g(x))$, kur $a>0$, $a≠1$ atitinka lygtį $f(x)=g(x) $.

Eksponentinių lygčių pavyzdžiai

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Tada mūsų lygtis gali būti perrašyta: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x = 0 $.
Atsakymas: $x=0$.

C) Pradinė lygtis atitinka lygtį: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ir $x_2=-3$.
Atsakymas: $x_1=6$ ir $x_2=-3$.

Pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Sprendimas:
Atlikime eilę veiksmų nuosekliai ir priveskime abi lygties puses į tas pačias bazes.
Kairėje pusėje atlikime keletą operacijų:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pereikime į dešinę pusę:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 USD*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Pradinė lygtis yra lygiavertė lygčiai:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x = 0 $.
Atsakymas: $x=0$.

Pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Sprendimas:
Perrašykime savo lygtį: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Pakeiskime kintamuosius, tegul $a=3^x$.
Naujuose kintamuosiuose lygtis bus tokia: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ir $a_2=3$.
Atlikime atvirkštinį kintamųjų keitimą: $3^x=-12$ ir $3^x=3$.
Paskutinėje pamokoje sužinojome, kad eksponentinės išraiškos gali turėti tik teigiamas reikšmes, atsiminkite grafiką. Tai reiškia, kad pirmoji lygtis neturi sprendinių, antroji lygtis turi vieną sprendinį: $x=1$.
Atsakymas: $x=1$.

Priminsime, kaip išspręsti eksponentines lygtis:
1. Grafinis metodas. Abi lygties puses pavaizduojame funkcijų pavidalu ir sudarome jų grafikus, randame grafikų susikirtimo taškus. (Šį metodą naudojome paskutinėje pamokoje).
2. Rodiklių lygybės principas. Principas grindžiamas tuo, kad dvi išraiškos su vienodomis bazėmis yra lygios tada ir tik tada, kai šių bazių laipsniai (rodikliai) yra lygūs. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Kintamasis pakeitimo būdas.Šis metodas turėtų būti naudojamas, jei lygtis, pakeičiant kintamuosius, supaprastina savo formą ir yra daug lengviau išsprendžiama.

Pavyzdys.
Išspręskite lygčių sistemą: $\begin (atvejai) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (atvejai)$.
Sprendimas.
Panagrinėkime abi sistemos lygtis atskirai:
27 USD^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Apsvarstykite antrąją lygtį:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Naudokime kintamųjų keitimo metodą, tegul $y=2^(x+y)$.
Tada lygtis bus tokia:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ir $y_2=-3$.
Pereikime prie pradinių kintamųjų, iš pirmosios lygties gauname $x+y=2$. Antroji lygtis neturi sprendinių. Tada mūsų pradinė lygčių sistema yra lygiavertė sistemai: $\begin (atvejai) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (atvejai)$.
Iš pirmosios lygties atimkite antrąją, gausime: $\begin (atvejai) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (atvejai)$.
$\begin (atvejai) y=-1, \\ x=3. \end (atvejai)$.
Atsakymas: $(3;-1)$.

Eksponentinės nelygybės

Teorema. Jei $a>1$, tai eksponentinė nelygybė $a^(f(x))>a^(g(x))$ lygi nelygybei $f(x)>g(x)$.
Jei 0 USD a^(g(x))$ yra lygiavertė nelygybei $f(x)

Pavyzdys.
Išspręskite nelygybes:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Sprendimas.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Mūsų nelygybė prilygsta nelygybei:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Mūsų lygtyje bazė yra tada, kai laipsnis yra mažesnis už 1, tada Keičiant nelygybę ekvivalentiška, reikia pakeisti ženklą.
$2x-4>2$.
$x>3 $.

C) Mūsų nelygybė yra lygiavertė nelygybei:
x^2+6x≥4x+15$.
x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0 $.
Naudokime intervalo sprendimo metodą:
Atsakymas: $(-∞;-5]U \ \

Atsakymas: $(-4,6)$.

2 pavyzdys