x paskambino

1.2.3. Sutrumpintų daugybos tapatybių naudojimas

Pavyzdys. koeficientas x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Polinomo faktorinavimas naudojant jo šaknis

Teorema. Tegul daugianario P x šaknis x 1 . Tada šis daugianomas gali būti padalytas taip: P x x x 1 S x , kur S x yra koks nors daugianomas, kurio laipsnis yra vienu mažesnis

reikšmės pakaitomis į P x išraišką Gauname, kad kai x 2 jūs-.

išraiška pasisuks į 0, tai yra, P 2 0, o tai reiškia, kad x 2 yra kelių šaknis

narys. Padalinkite daugianarį P x iš x 2 .

X 3 3 x 2 10 x 24
x 32 x 2	24 10 x	x2x12
	24 10 x

12x2412x24

P x x 2 x 2 x 12 x 2 x 2 3 x 4 x 12 x 2 x 3 4 x 3

x2x3x4

1.3. Viso kvadrato pasirinkimas

Viso kvadrato parinkimo metodas pagrįstas formulių naudojimu: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Viso kvadrato išskyrimas yra tapatybės transformacija, kurioje tam tikras trinaris yra pavaizduotas kaip a b 2 dvinario ir tam tikros skaitinės arba abėcėlinės išraiškos kvadrato suma arba skirtumas.

Kvadratinis trinaris kintamojo atžvilgiu suteikia formos išraišką

ax 2 bx c , kur a , b ir c yra pateikti skaičiai, o a 0 .

Kvadratinę trinarį ax 2 bx c paverskime taip.

x2:

koeficientas

Tada išraišką b x pavaizduojame kaip 2b x (du kartus sandauga

x ):a x

Prie skliausteliuose esančios išraiškos pridedame ir iš jos atimame skaičių

kuris yra skaičiaus kvadratas

Rezultate gauname:

Pastebėjus dabar

Mes gauname

4a 2

Pavyzdys. Pasirinkite visą kvadratą.

2x12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2x2 2x115

2x127.

4 ir 2,

1.4. Polinomai keliuose kintamuosiuose

Kelių kintamųjų daugianarius, kaip ir vieno kintamojo, galima sudėti, padauginti ir pakelti iki natūralios laipsnio.

Svarbi kelių kintamųjų polinomo tapatumo transformacija yra faktorizacija. Čia naudojami tokie faktorizavimo metodai kaip bendro veiksnio išdėstymas iš skliaustų, grupavimas, naudojant sutrumpintus daugybos tapatumus, išskiriant visą kvadratą ir įvedant pagalbinius kintamuosius.

1. Padalinkite daugianario P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 koeficientą.

2 x 5128 x 2 m 32 x 2 x 364 y 32 x 2 x 4 y x 24 x 16 y 2.

2. Koeficientas P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Taikykime grupavimo metodą

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x 3 y

4 x 3 y5 x z.

3. Koeficientas P x ,y x 4 4y 4 . Pasirinkime visą kvadratą:

x 4 m 4 x 44 x 2 m 24 y 24 x 2 m 2 x 22 y 2 2 4 x 2 m 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Laipsnio su bet kuriuo racionaliuoju rodikliu savybės

Laipsnis su bet kuriuo racionaliuoju rodikliu turi šias savybes:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1	ar 1


		br 1

kur a 0; b 0; r 1; r 2 yra savavališki racionalieji skaičiai.

1. Padauginkite iš 8

x 3 12 x 7.

24x23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Faktorizuoti

2x3

1.6. Pratimai atlikti savarankiškai

1. Atlikite veiksmus naudodami sutrumpintas daugybos formules. 1) a 52;

2) 3 a 72;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3;

	3 y 3;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Apskaičiuokite naudodami sutrumpintus daugybos tapatumus:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Įrodykite tapatybes:

1). x 2 13 3 x 2 x 12 6 x 1 11 x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Padalinkite šiuos daugianario koeficientus:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2;

10) 4 t 2 20 tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72 p 4 q 7 81 p 5 q 6;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15 p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 28 y 2 2;

19) 1000 t 3 27 t 6.

5. Apskaičiuokite paprasčiausiu būdu:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Raskite daugianario dalinį ir liekaną P x pagal daugianarįQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x 6 1; Q x x 4 4 x 2 .

7. Įrodykite, kad daugianario x 2 2x 2 neturi tikrų šaknų.

8. Raskite daugianario šaknis:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3 x 2 5 x 15.

9. faktorius:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6 x 2 11 x 6.

10. Išspręskite lygtis, išskirdami visą kvadratą:

1) x 2 2 x 3 0;

2) x 2 13 x 30 0 .

11. Raskite posakių reikšmes:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Apskaičiuokite:

16 0,25

Internetinis skaičiuotuvas.
Dvinalio kvadrato išskyrimas ir kvadratinio trinalio faktorius.

Ši matematikos programa skiria kvadratinį binomį nuo kvadratinio trinalio, t.y. atlieka transformaciją kaip:
$ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+p)^2+q $ ir faktorizuoja kvadratinį trinarį: $ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+n)(x+m) $

Tie. problemos susiveda ieškant skaičių $p, q$ ir $n, m$

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą.

Ši programa gali praversti bendrojo lavinimo mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą.

O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakils.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio trinalio įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės
Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.

Pavyzdžiui: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ ir kt.
Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai.

Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis gali būti atskirta nuo visos dalies tašku arba kableliu.

Pavyzdžiui, dešimtaines trupmenas galite įvesti taip: 2,5x – 3,5x^2
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.

Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas. /
Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: &
Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu:
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5x +1/7x^2

Rezultatas: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$ Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus
. Šiuo atveju, sprendžiant, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.

Pavyzdžiui: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Išsamaus sprendimo pavyzdys Dvinalio kvadrato išskyrimas. $$ ax^2+bx+c \rowrrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Atsakymas: $$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizavimas.
2 $\kairė(x^2+x-2 \dešinė) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ $$ ax^2+bx+c \rowrrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$$$2x^2+2x-4 = 2 \kairė(x -1 \dešinė) \kairė(x +2 \dešinė) $$

Nuspręskite

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas JavaScript.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palaukite sek...

Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Dvinalio kvadrato išskyrimas nuo kvadratinio trinalio

Jei kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c pavaizduotas kaip a(x+p) 2 +q, kur p ir q yra tikrieji skaičiai, tada sakome, kad nuo kvadratinis trinaris, dvinario kvadratas yra paryškintas.

Iš trinalio 2x 2 +12x+14 išskiriame dvinario kvadratą.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite 6x kaip 2*3*x sandaugą, tada pridėkite ir atimkite 3 2. Mes gauname:
$2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Tai. Mes ištraukite kvadratinį binomį iš kvadratinio trinalio, ir parodė, kad:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadratinio trinalio koeficientas

Jei kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c pavaizduotas forma a(x+n)(x+m), kur n ir m yra tikrieji skaičiai, tada sakoma, kad operacija atlikta kvadratinio trinalio faktorizacija.

Parodykime pavyzdžiu, kaip ši transformacija atliekama.

Paskaičiuokime kvadratinį trinarį 2x 2 +4x-6.

Išimkime koeficientą a iš skliaustų, t.y. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Transformuokime išraišką skliausteliuose.
Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite 2x kaip skirtumą 3x-1x, o -3 kaip -1*3. Mes gauname:
$$ = 2(x^2+3 \ctaškas x -1 \ctaškas x -1 \ctaškas 3) = 2(x(x+3)-1 \ctaškas (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Tai. Mes koeficientas kvadratinis trinomas, ir parodė, kad:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinio trinalio faktorius galimas tik tada, kai kvadratinė lygtis, atitinkanti šį trinalį, turi šaknis.
Tie. mūsų atveju galima koeficientuoti trinarį 2x 2 +4x-6, jei kvadratinė lygtis 2x 2 +4x-6 =0 turi šaknis. Faktorizacijos procese nustatėme, kad lygtis 2x 2 + 4x-6 = 0 turi dvi šaknis 1 ir -3, nes su šiomis reikšmėmis lygtis 2(x-1)(x+3)=0 virsta tikrąja lygybe.

Knygos (vadovėliai) Vieningo valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino testų tezės internete Žaidimai, galvosūkiai Funkcijų grafikų braižymas Rusų kalbos rašybos žodynas Jaunimo žargono žodynas Rusijos mokyklų katalogas Rusijos vidurinių mokyklų katalogas Rusijos universitetų katalogas Sąrašas užduočių

Kaip jau minėjau, integraliniame skaičiavime nėra patogios trupmenos integravimo formulės. Ir todėl yra liūdna tendencija: kuo sudėtingesnė trupmena, tuo sunkiau rasti jos integralą. Šiuo atžvilgiu jūs turite griebtis įvairių gudrybių, apie kurias dabar papasakosiu. Pasiruošę skaitytojai gali iš karto pasinaudoti turinys:

Paprastųjų trupmenų diferencialo ženklo sumavimo būdas

Dirbtinio skaitiklio konvertavimo metodas

1 pavyzdys

Beje, nagrinėjamą integralą galima išspręsti ir pakeitus kintamojo metodą, žymint , tačiau sprendinio rašymas užtruks daug ilgiau.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Reikėtų pažymėti, kad kintamojo pakeitimo metodas čia nebeveiks.

Dėmesio, svarbu! 1, 2 pavyzdžiai yra tipiški ir dažnai pasitaiko. Visų pirma, tokie integralai dažnai atsiranda sprendžiant kitus integralus, ypač integruojant neracionalias funkcijas (šaknis).

Nagrinėjama technika veikia ir byloje jei didžiausias skaitiklio laipsnis yra didesnis už aukščiausią vardiklio laipsnį.

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.

Mes pradedame pasirinkti skaitiklį.

Skaitiklio pasirinkimo algoritmas yra maždaug toks:

1) Skaitiklyje man reikia sutvarkyti , bet ten . Ką daryti? Dedu jį į skliaustus ir padauginu iš: .

2) Dabar bandau atidaryti šiuos skliaustus, kas atsitiks? . Hmm... tai geriau, bet iš pradžių skaitiklyje nėra dviejų. Ką daryti? Reikia padauginti iš:

3) Dar kartą atidarau skliaustus: . Ir štai pirmoji sėkmė! Tai pasirodė teisingai! Tačiau problema ta, kad atsirado papildomas terminas. Ką daryti? Kad išraiška nepasikeistų, tą patį turiu pridėti prie savo konstrukcijos:
. Gyvenimas tapo lengvesnis. Ar galima vėl tvarkyti skaitiklyje?

4) Tai įmanoma. Pabandykime: . Atidarykite antrojo termino skliaustus:
. Atsiprašome, bet ankstesniame žingsnyje iš tikrųjų turėjau , o ne . Ką daryti? Antrąjį terminą reikia padauginti iš:

5) Vėlgi, norėdamas patikrinti, atidarau skliaustus antrajame termine:
. Dabar tai normalu: gauta iš galutinės 3 punkto konstrukcijos! Bet vėl yra mažas „bet“, atsirado papildomas terminas, o tai reiškia, kad turiu papildyti savo posakį:

Jei viskas padaryta teisingai, tada atidarę visus skliaustus turėtume gauti pradinį integrando skaitiklį. Mes tikriname:
Gaubtas.

Taigi:

Paruošta. Paskutiniame termine naudojau funkcijos įtraukimo į diferencialą metodą.

Jei rasime atsakymo išvestinę ir sumažinsime išraišką iki bendro vardiklio, tai gausime būtent pirminę integrando funkciją. Nagrinėjamas išskaidymo į sumą metodas yra ne kas kita, kaip atvirkštinis veiksmas, kai išraiška sujungiama į bendrą vardiklį.

Tokiuose pavyzdžiuose skaitiklio pasirinkimo algoritmą geriausia atlikti juodraščio forma. Su tam tikrais įgūdžiais tai veiks protiškai. Prisimenu rekordinį atvejį, kai atlikau atranką į 11 laipsnį, o skaitiklio išplėtimas užėmė beveik dvi Verdo eilutes.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Paprastųjų trupmenų diferencialo ženklo sumavimo būdas

Pereikime prie kito trupmenų tipo.
, , , (koeficientai ir nėra lygūs nuliui).

Tiesą sakant, pamokoje jau buvo paminėti keli atvejai su arcsinusu ir arctangentu Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje. Tokie pavyzdžiai išspręsti pridedant funkciją po diferencialiniu ženklu ir toliau integruojant naudojant lentelę. Čia yra tipiškesni pavyzdžiai su ilgais ir dideliais logaritmais:

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Čia patartina pasiimti integralų lentelę ir pažiūrėti, kokios formulės ir Kaip vyksta transformacija. Atkreipkite dėmesį kaip ir kodėlŠiuose pavyzdžiuose esantys kvadratai yra paryškinti. Visų pirma, 6 pavyzdyje pirmiausia turime pavaizduoti vardiklį formoje , tada pažymėkite jį po diferencialiniu ženklu. Ir visa tai reikia padaryti norint naudoti standartinę lentelės formulę .

Kam žiūrėti, pabandykite patys išspręsti 7, 8 pavyzdžius, juolab kad jie gana trumpi:

7 pavyzdys

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Jei ir jums pavyksta patikrinti šiuos pavyzdžius, tada didelė pagarba – jūsų diferenciacijos įgūdžiai puikūs.

Viso kvadrato pasirinkimo metodas

Formos integralai (koeficientai ir nėra lygūs nuliui) išsprendžiami pilnas kvadrato ištraukimo metodas, kuris jau pasirodė pamokoje Geometrinės grafikų transformacijos.

Tiesą sakant, tokie integralai redukuojasi iki vieno iš keturių lentelių integralų, kuriuos ką tik žiūrėjome. Ir tai pasiekiama naudojant pažįstamas sutrumpintas daugybos formules:

Formulės taikomos būtent šia kryptimi, tai yra, metodo idėja yra dirbtinai organizuoti išraiškas arba vardiklyje, o tada jas atitinkamai konvertuoti į bet kurią.

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra paprasčiausias pavyzdys, kuriame su terminu – vieneto koeficientas(o ne koks nors skaičius ar minusas).

Pažiūrėkime į vardiklį, čia viskas aiškiai priklauso nuo atsitiktinumo. Pradėkime vardiklio konvertavimą:

Akivaizdu, kad reikia pridėti 4. Ir, kad išraiška nepasikeistų, atimkite tuos pačius keturis:

Dabar galite taikyti formulę:

Baigus konvertuoti VISADA Patartina atlikti atvirkštinį judesį: viskas gerai, klaidų nėra.

Galutinis nagrinėjamo pavyzdžio dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Paruošta. „Laisvosios“ kompleksinės funkcijos įtraukimas po diferencialo ženklu: , iš esmės gali būti nepaisomas

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, atsakymas yra pamokos pabaigoje

11 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Ką daryti, kai priešais minusas? Tokiu atveju turime išimti minusą iš skliaustų ir išdėstyti terminus tokia tvarka, kokia mums reikia: . Pastovus(šiuo atveju „du“) nelieskite!

Dabar skliausteliuose pridedame vieną. Analizuodami išraišką, darome išvadą, kad turime pridėti vieną už skliaustų:

Čia gauname formulę, taikome:

VISADA Mes patikriname juodraštį:
, ką ir reikėjo patikrinti.

Švarus pavyzdys atrodo maždaug taip:

Užduotį apsunkina

12 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Čia terminas nebėra vieneto koeficientas, o „penki“.

(1) Jei yra konstanta at, tada iš karto išimame ją iš skliaustų.

(2) Apskritai visada geriau šią konstantą perkelti už integralo, kad ji netrukdytų.

(3) Akivaizdu, kad viskas priklausys nuo formulės. Turime suprasti terminą, būtent, gauti „du“

(4) Taip, . Tai reiškia, kad mes pridedame prie išraiškos ir atimame tą pačią trupmeną.

(5) Dabar pasirinkite visą kvadratą. Bendruoju atveju taip pat reikia apskaičiuoti , bet čia yra ilgo logaritmo formulė , ir nėra prasmės atlikti veiksmą, paaiškės toliau.

(6) Tiesą sakant, mes galime pritaikyti formulę , tik vietoj „X“ turime , o tai nepaneigia lentelės integralo galiojimo. Griežtai tariant, vienas žingsnis buvo praleistas - prieš integruojant funkcija turėjo būti įtraukta į diferencialinį ženklą: , tačiau, kaip jau ne kartą esu pastebėjęs, tai dažnai nepaisoma.

(7) Atsakyme po šaknimi patartina išplėsti visus skliaustus atgal:

Sunku? Tai nėra pati sunkiausia integralinio skaičiavimo dalis. Nors nagrinėjami pavyzdžiai nėra tiek sudėtingi, kiek reikalauja gerų skaičiavimo metodų.

13 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Vardiklyje yra integralai su šaknimis, kurie, naudojant pakaitalą, redukuojami iki tokio tipo integralų, apie kuriuos galite perskaityti straipsnyje Sudėtingi integralai, bet jis skirtas labai pasiruošusiems studentams.