Dešimtainiai skaičiai, pvz., 0,2; 1,05; 3.017 ir kt. kaip išgirsta, taip ir rašoma. Nulinis taškas du, gauname trupmeną. Vienas taškas penkias šimtąsias dalis, gauname trupmeną. Tritaškis septyniolika tūkstantųjų, gauname trupmeną. Skaičiai prieš dešimtainį tašką yra visa trupmenos dalis. Skaičius po kablelio yra būsimos trupmenos skaitiklis. Jei po kablelio yra vienaženklis skaičius, vardiklis bus 10, jei yra dviženklis skaičius - 100, triženklis skaičius - 1000 ir t.t. Kai kurias gautas frakcijas galima sumažinti. Mūsų pavyzdžiuose

Trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Tai yra priešinga ankstesnei transformacijai. Kokia yra dešimtainės trupmenos charakteristika? Jo vardiklis visada yra 10, arba 100, arba 1000, arba 10000 ir pan. Jei jūsų bendroji trupmena turi šį vardiklį, nėra jokių problemų. Pavyzdžiui, arba

Jei trupmena yra, pavyzdžiui, . Tokiu atveju reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę ir vardiklį paversti į 10 arba 100, arba 1000... Mūsų pavyzdyje skaitiklį ir vardiklį padauginus iš 4, gauname trupmeną, kuri gali būti parašytas dešimtainiu skaičiumi 0,12.

Kai kurias trupmenas lengviau padalyti nei paversti vardiklį. Pavyzdžiui,

Kai kurių trupmenų negalima konvertuoti į dešimtaines!
Pavyzdžiui,

Mišrios trupmenos pavertimas netinkama trupmena

Pavyzdžiui, mišrią frakciją galima lengvai konvertuoti į netinkamą frakciją. Norėdami tai padaryti, turite padauginti visą dalį iš vardiklio (apačioje) ir pridėti ją su skaitikliu (viršuje), palikdami vardiklį (apačią). Tai yra

Konvertuodami mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną, galite atsiminti, kad galite naudoti frakcijų pridėjimą

Netinkamos trupmenos konvertavimas į mišrią trupmeną (visos dalies paryškinimas)

Netinkama trupmena gali būti konvertuojama į mišrią trupmeną, paryškinant visą dalį. Pažiūrėkime į pavyzdį. Mes nustatome, kiek sveikųjų skaičių kartų „3“ telpa į „23“. Arba skaičiuotuvu padalykite 23 iš 3, visas skaičius iki kablelio yra norimas. Tai yra "7". Toliau nustatome būsimos trupmenos skaitiklį: gautą „7“ padauginame iš vardiklio „3“ ir atimame rezultatą iš skaitiklio „23“. Tarsi rasime priedą, kuris lieka iš skaitiklio „23“, jei pašalinsime didžiausią skaičių „3“. Vardiklį paliekame nepakeistą. Viskas padaryta, užrašykite rezultatą

Nuo mokyklos algebros kurso pereiname prie specifikos. Šiame straipsnyje mes išsamiai išnagrinėsime specialų racionalių išraiškų tipą - racionalios trupmenos, taip pat apsvarstykite, kokia charakteristika yra identiška racionaliųjų trupmenų perskaičiavimai vykti.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad racionaliosios trupmenos ta prasme, kuria jas apibrėžiame toliau, kai kuriuose algebros vadovėliuose vadinamos algebrinėmis trupmenomis. Tai yra, šiame straipsnyje suprasime, kad racionalios ir algebrinės trupmenos reiškia tą patį.

Kaip įprasta, pradėkime nuo apibrėžimo ir pavyzdžių. Toliau kalbėsime apie racionaliosios trupmenos perkėlimą į naują vardiklį ir trupmenos narių ženklų keitimą. Po to pažiūrėsime, kaip sumažinti trupmenas. Galiausiai pažiūrėkime, kaip pateikti racionaliąją trupmeną kelių trupmenų sumą. Visą informaciją pateiksime su pavyzdžiais ir išsamiais sprendimų aprašymais.

Puslapio naršymas.

Racionaliųjų trupmenų apibrėžimas ir pavyzdžiai

Racionaliosios trupmenos tiriamos 8 klasės algebros pamokose. Naudosime racionaliosios trupmenos apibrėžimą, kurį 8 klasei pateikia Yu N. Makarychev ir kt.

Šis apibrėžimas nenurodo, ar racionaliosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio daugianariai turi būti standartinės formos daugianariai, ar ne. Todėl manysime, kad racionaliųjų trupmenų žymėjimuose gali būti ir standartinių, ir nestandartinių polinomų.

Štai keletas racionaliųjų trupmenų pavyzdžiai. Taigi, x/8 ir - racionalios trupmenos. Ir trupmenomis ir neatitinka pateikto racionaliosios trupmenos apibrėžimo, nes pirmajame iš jų skaitiklyje nėra daugianario, o antrajame ir skaitiklyje, ir vardiklyje yra išraiškų, kurios nėra daugianario.

Racionaliosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio konvertavimas

Bet kurios trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra savarankiškos matematinės išraiškos racionaliųjų trupmenų atveju, tai yra daugianariai, mononomai ir skaičiai; Todėl identiškas transformacijas galima atlikti su racionaliosios trupmenos skaitikliu ir vardikliu, kaip ir su bet kuria išraiška. Kitaip tariant, išraiška racionaliosios trupmenos skaitiklyje gali būti pakeista identiška išraiška, kaip ir vardiklis.

Galite atlikti identiškas transformacijas racionaliosios trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Pavyzdžiui, skaitiklyje galite grupuoti ir sumažinti panašius terminus, o vardiklyje kelių skaičių sandaugą galite pakeisti jos reikšme. O kadangi racionaliosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra polinomai, tai su jais galima atlikti daugianariams būdingas transformacijas, pavyzdžiui, redukciją į standartinę formą arba atvaizdavimą sandaugos forma.

Kad būtų aiškumo, panagrinėkime kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Konvertuoti racionaliąją trupmeną kad skaitiklyje būtų standartinės formos daugianario, o vardiklyje – daugianario sandauga.

Sprendimas.

Racionaliųjų trupmenų sumažinimas iki naujo vardiklio daugiausia naudojamas racionaliųjų trupmenų pridėjimui ir atėmimui.

Ženklų keitimas prieš trupmeną, taip pat jos skaitiklyje ir vardiklyje

Pagrindine trupmenos savybe galima pakeisti trupmenos narių ženklus. Iš tiesų, racionalios trupmenos skaitiklio ir vardiklio padauginimas iš -1 prilygsta jų ženklų keitimui, o rezultatas yra trupmena, identiška duotajai. Šią transformaciją tenka naudoti gana dažnai dirbant su racionaliosiomis trupmenomis.

Taigi, jei vienu metu pakeisite trupmenos skaitiklio ir vardiklio ženklus, gausite trupmeną, lygią pradinei. Į šį teiginį atsako lygybė.

Pateikime pavyzdį. Racionaliąją trupmeną galima pakeisti identiškai lygia dalimi su pakeistais formos skaitiklio ir vardiklio ženklais.

Su trupmenomis galite atlikti kitą identišką transformaciją, kurioje pasikeičia arba skaitiklio, arba vardiklio ženklas. Nurodykime atitinkamą taisyklę. Jei trupmenos ženklą pakeisite kartu su skaitiklio ar vardiklio ženklu, gausite trupmeną, kuri yra identiška pradinei. Rašytinis pareiškimas atitinka lygybes ir .

Įrodyti šias lygybes nėra sunku. Įrodymas pagrįstas skaičių daugybos savybėmis. Įrodykime pirmąjį iš jų: . Naudojant panašias transformacijas, įrodoma lygybė.

Pavyzdžiui, trupmeną galima pakeisti išraiška arba.

Norėdami užbaigti šį klausimą, pateikiame dar dvi naudingas lygybes ir . Tai yra, jei pakeisite tik skaitiklio arba tik vardiklio ženklą, trupmena pakeis savo ženklą. Pavyzdžiui, Ir .

Svarstomos transformacijos, leidžiančios pakeisti trupmenos narių ženklą, dažnai naudojamos transformuojant trupmenines racionaliąsias išraiškas.

Racionaliųjų trupmenų mažinimas

Ši racionaliųjų trupmenų transformacija, vadinama racionaliųjų trupmenų redukcija, yra pagrįsta ta pačia pagrindine trupmenos savybe. Ši transformacija atitinka lygybę , kur a, b ir c yra kai kurie daugianariai, o b ir c yra ne nulis.

Iš aukščiau pateiktos lygybės tampa aišku, kad racionaliosios trupmenos sumažinimas reiškia, kad jos skaitiklyje ir vardiklyje atsisakoma bendro veiksnio.

Pavyzdys.

Atšaukti racionaliąją trupmeną.

Sprendimas.

Iš karto matomas bendras faktorius 2, juo sumažinkime (rašant patogu nubraukti bendruosius veiksnius, kuriais mažinami). Turime . Kadangi x 2 =x·x ir y 7 =y 3 ·y 4 (jei reikia, žr.), aišku, kad x yra bendras gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio koeficientas, kaip ir y 3. Sumažinkime pagal šiuos veiksnius: . Tai užbaigia sumažinimą.

Aukščiau mes atlikome racionaliųjų frakcijų mažinimą nuosekliai. Arba buvo galima sumažinti sumažinimą vienu žingsniu, iškart sumažinant frakciją 2 x y 3. Šiuo atveju sprendimas atrodytų taip: .

Atsakymas:

Mažinant racionaliąsias trupmenas, pagrindinė problema yra ta, kad ne visada matomas bendras skaitiklio ir vardiklio veiksnys. Be to, jis ne visada egzistuoja. Norint rasti bendrą veiksnį arba patikrinti jo nebuvimą, reikia įskaičiuoti racionaliosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Jei nėra bendro koeficiento, tada pradinės racionalios frakcijos nereikia mažinti, kitaip redukuojama.

Mažinant racionalias trupmenas gali atsirasti įvairių niuansų. Pagrindinės subtilybės aptariamos straipsnyje mažinant algebrines trupmenas naudojant pavyzdžius ir išsamiai.

Baigdami pokalbį apie racionaliųjų trupmenų mažinimą, pastebime, kad ši transformacija yra identiška, o pagrindinis sunkumas ją įgyvendinant yra daugianario faktoriaus skaitiklyje ir vardikliuose.

Racionaliosios trupmenos vaizdavimas trupmenų suma

Gana specifinis, bet kai kuriais atvejais labai naudingas yra racionaliosios trupmenos transformacija, kurią sudaro kelių trupmenų suma arba visos išraiškos ir trupmenos suma.

Racionalioji trupmena, kurios skaitiklyje yra daugianaris, vaizduojantis kelių vienanarių sumą, visada gali būti užrašoma kaip trupmenų su tais pačiais vardikliais suma, kurios skaitikliuose yra atitinkami vienanaliai. Pavyzdžiui, . Šis vaizdavimas paaiškinamas algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykle.

Apskritai, bet kuri racionali trupmena gali būti pavaizduota kaip trupmenų suma įvairiais būdais. Pavyzdžiui, trupmena a/b gali būti pavaizduota kaip dviejų trupmenų suma – savavališka trupmena c/d ir trupmena, lygi skirtumui tarp trupmenų a/b ir c/d. Šis teiginys yra teisingas, nes galioja lygybė . Pavyzdžiui, racionalioji trupmena gali būti pavaizduota kaip trupmenų suma įvairiais būdais: Įsivaizduokime pradinę trupmeną kaip sveikojo skaičiaus išraiškos ir trupmenos sumą. Padalinę skaitiklį iš vardiklio su stulpeliu, gauname lygybę . Išraiškos n 3 +4 reikšmė bet kuriam sveikajam skaičiui n yra sveikasis skaičius. Ir trupmenos reikšmė yra sveikas skaičius tada ir tik tada, kai jos vardiklis yra 1, −1, 3 arba −3. Šios reikšmės atitinka reikšmes n=3, n=1, n=5 ir n=-1.

Atsakymas:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Nuorodos.

Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. – 13 leid., red. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“ operacija.

Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išreiškimas yra koeficientas).

Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška nėra faktorinuota (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami tai sustiprinti, patys išspręskite kelis pavyzdžius:

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

1. Tikiuosi iš karto nepuolei kirpti ir? Vis tiek nepakako „sumažinti“ vienetų, tokių kaip:

Pirmas žingsnis turėtų būti faktorizavimas:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų mažinimas iki bendro vardiklio.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra pažįstama operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius.

Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra santykinai pirminiai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo kažko paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir su paprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius:

Dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

Atsakymai:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

· pirmiausia nustatome bendruosius veiksnius;

· tada po vieną išrašome visus bendrus veiksnius;

· ir padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskirstome į pagrindinius veiksnius:

Pabrėžkime bendrus veiksnius:

Dabar po vieną išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkite prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

· koeficientas vardiklius;

· nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius;

· vieną kartą užrašyti visus bendruosius veiksnius;

· padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Taigi, eilės tvarka:

1) suskaičiuokite vardiklius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrėžtų) veiksnių:

Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji - iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui:.

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingais rodikliais. Bendras vardiklis bus:

iki laipsnio

iki laipsnio.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur neparašyta, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . ko išmokai?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Kai sumažinate trupmenas iki bendro vardiklio, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet iš ko reikia padauginti, kad gautum?

Taigi padauginkite iš. Ir padauginkite iš:

Išraiškas, kurių negalima suskaidyti į faktorius, vadinsime elementariais veiksniais.

Pavyzdžiui, - tai elementarus veiksnys. - Tas pats. Bet ne: jis gali būti faktorinuojamas.

O kaip su išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarieji veiksniai, į kuriuos išskaidote išraišką raidėmis, yra paprastų veiksnių, į kuriuos skaidote skaičius, analogas. Ir su jais elgsimės lygiai taip pat.

Matome, kad abu vardikliai turi daugiklį. Jis eis į bendrą vardiklį iki laipsnio (prisimeni kodėl?).

Koeficientas yra elementarus ir jie neturi bendro koeficiento, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš padaugindami šiuos vardiklius paniškai, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Jie abu atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, išskaidykime vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažvelgsi, jie panašūs... Ir tai tiesa:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar priveskime jį prie bendro vardiklio:

Supratai? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

Čia turime prisiminti dar vieną dalyką - kubelių skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklyje nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip: .

A yra vadinamasis nepilnas sumos kvadratas: antrasis narys jame yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų dviguba sandauga. Dalinis sumos kvadratas yra vienas iš veiksnių, didinančių kubelių skirtumą:

Ką daryti, jei jau yra trys frakcijos?

Taip, tas pats! Pirmiausia įsitikinkime, kad maksimalus faktorių skaičius vardikliuose yra vienodas:

Atkreipkite dėmesį: jei pakeičiate ženklus viename skliaustelyje, ženklas prieš trupmeną pasikeičia į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antrajame skliauste, ženklas prieš trupmeną vėl pasikeičia į priešingą. Dėl to jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.

Išrašome visą pirmąjį vardiklį į bendrą vardiklį, o tada pridedame prie jo visus dar neparašytus veiksnius, nuo antrojo, o tada iš trečiojo (ir taip toliau, jei yra daugiau trupmenų). Tai yra, viskas pasirodo taip:

Hmm... Aišku, ką daryti su trupmenomis. Bet kaip su dviem?

Tai paprasta: jūs žinote, kaip sudėti trupmenas, tiesa? Taigi, turime padaryti, kad du taptų trupmena! Prisiminkime: trupmena yra padalijimo operacija (skaitiklis dalijamas iš vardiklio, jei pamiršote). Ir nėra nieko lengviau, kaip padalyti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, o pavirs trupmena:

Kaip tik tai, ko tau reikia!

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaitinės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Atsiminkite, skaičiuodami šio posakio reikšmę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, leiskite man jums priminti.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu yra keli daugybos ir dalybos darbai, juos galima atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: išraiška skliausteliuose vertinama be eilės!

Jei kelis skliaustus padauginame arba padalijame vienas iš kito, pirmiausia apskaičiuojame kiekvieno skliausto išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti apskaičiuojant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Ką gi, išsiaiškinome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos procedūra yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška raidėmis?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinių operacijų reikia atlikti algebrines, tai yra, ankstesniame skyriuje aprašytus veiksmus: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai tai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai faktorinizavimui reikia naudoti I arba tiesiog skliausteliuose išdėlioti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirma, supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma dar labiau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų dauginimas: kas gali būti paprasčiau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Na, tai viskas. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Sprendimas:

Pirmiausia nustatykime veiksmų tvarką.

Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, taigi vietoj dviejų trupmenų gausime vieną.

Tada padalysime trupmenas. Na, pridėkime rezultatą su paskutine trupmena.

Sunumeruosiu veiksmus schematiškai:

Dabar parodysiu procesą, nuspalvindamas dabartinį veiksmą raudonai:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kur panašių atsirastų mūsų šalyje, patartina nedelsiant juos iškelti.

2. Tas pats galioja ir mažinant trupmenas: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis taikoma trupmenoms, kurias pridedate arba atimate: jei dabar jų vardikliai yra tokie patys, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir kas buvo pažadėta pačioje pradžioje:

Atsakymai:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, manykite, kad įvaldėte temą.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIŠŲ KONVERTAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

Atveža panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
faktorizavimas: bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų, jo taikymas ir pan.
Dalies sumažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, o tai nekeičia trupmenos reikšmės.
1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
2) jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, juos galima perbraukti.
SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!
Trupmenų pridėjimas ir atėmimas:
;
Trupmenų dauginimas ir dalijimas:
;

Algebrinių išraiškų supaprastinimas yra vienas iš pagrindinių algebros mokymosi aspektų ir yra labai naudingas įgūdis visiems matematikams. Supaprastinimas leidžia sumažinti sudėtingą arba ilgą išraišką iki paprastos išraiškos, su kuria lengva dirbti. Pagrindiniai supaprastinimo įgūdžiai yra geri net tiems, kurie nėra entuziastingi matematikos. Laikydamiesi kelių paprastų taisyklių, galite supaprastinti daugelį dažniausiai naudojamų algebrinių išraiškų tipų, neturėdami jokių specialių matematinių žinių.

Žingsniai

Svarbūs apibrėžimai

Panašūs nariai . Tai nariai su tos pačios eilės kintamuoju, nariai su tais pačiais kintamaisiais arba laisvieji nariai (nariai, kuriuose kintamojo nėra). Kitaip tariant, panašūs terminai apima tą patį kintamąjį tokiu pat laipsniu, apima kelis tuos pačius kintamuosius arba visai neapima kintamojo. Terminų tvarka išraiškoje neturi reikšmės.
- Pavyzdžiui, 3x 2 ir 4x 2 yra panašūs terminai, nes juose yra antros eilės (antrosios laipsnio) kintamasis "x". Tačiau x ir x2 nėra panašūs terminai, nes juose yra skirtingų eilių kintamasis „x“ (pirmasis ir antrasis). Taip pat -3yx ir 5xz nėra panašūs terminai, nes juose yra skirtingi kintamieji.
Faktorizavimas . Tai yra skaičių, kurių sandauga veda į pradinį skaičių, radimas. Bet koks pradinis skaičius gali turėti keletą veiksnių. Pavyzdžiui, skaičius 12 gali būti įtrauktas į šias faktorių serijas: 1 × 12, 2 × 6 ir 3 × 4, todėl galime sakyti, kad skaičiai 1, 2, 3, 4, 6 ir 12 yra faktoriai. skaičius 12. Veiksniai yra tokie patys kaip faktoriai , tai yra skaičiai, iš kurių padalytas pradinis skaičius.
- Pavyzdžiui, jei norite apskaičiuoti skaičių 20, parašykite jį taip: 4×5.
- Atkreipkite dėmesį, kad atliekant faktoringą atsižvelgiama į kintamąjį. Pavyzdžiui, 20x = 4 (5x).
- Pirminiai skaičiai negali būti įskaitomi, nes jie dalijasi tik iš savęs ir iš 1.
Prisiminkite ir laikykitės operacijų tvarkos, kad išvengtumėte klaidų.
- Skliausteliuose
- Laipsnis
- Daugyba
- Padalinys
- Papildymas
- Atimtis
Panašių narių atvedimas
1. Užsirašykite išraišką. Paprastas algebrines išraiškas (tos, kuriose nėra trupmenų, šaknų ir pan.) galima išspręsti (supaprastinti) vos keliais žingsniais.
  - Pavyzdžiui, supaprastinkite išraišką 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Apibrėžkite panašius terminus (terminus su tos pačios eilės kintamuoju, terminus su tais pačiais kintamaisiais arba laisvuosius terminus).
  - Raskite panašių terminų šioje išraiškoje. Sąvokose 2x ir 4x yra tos pačios eilės kintamasis (pirmasis). Be to, 1 ir -3 yra laisvieji terminai (neturi kintamųjų). Taigi šioje išraiškoje terminai 2x ir 4x yra panašūs, ir nariai 1 ir -3 taip pat yra panašūs.
3. Pateikite panašias sąlygas. Tai reiškia, kad juos reikia pridėti arba atimti ir supaprastinti išraišką.
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Perrašykite išraišką atsižvelgdami į duotus terminus. Gausite paprastą išraišką su mažiau terminų. Naujoji išraiška yra lygi pradinei.
  - Mūsų pavyzdyje: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, tai yra, pradinė išraiška yra supaprastinta ir su ja lengviau dirbti.
5. Atsivesdami panašius narius vadovaukitės veiksmų tvarka. Mūsų pavyzdyje buvo lengva pateikti panašias sąlygas. Tačiau sudėtingų posakių atveju, kai terminai yra skliausteliuose ir yra trupmenos bei šaknys, tokius terminus pateikti nėra taip paprasta. Tokiais atvejais laikykitės operacijų tvarkos.
  - Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Čia būtų klaida iš karto apibrėžti 3x ir 2x kaip panašius terminus ir juos duoti, nes pirmiausia reikia atidaryti skliaustus. Todėl operacijas atlikite pagal jų tvarką.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Dabar, kai reiškinyje yra tik sudėties ir atimties operacijos, galite pateikti panašius terminus.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Daugiklio išėmimas iš skliaustų
1. Rasti didžiausias bendras daliklis(GCD) visų išraiškos koeficientų. GCD yra didžiausias skaičius, iš kurio padalyti visi išraiškos koeficientai.
  - Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį 9x 2 + 27x - 3. Šiuo atveju GCD = 3, nes bet kuris šios išraiškos koeficientas dalijasi iš 3.
2. Padalinkite kiekvieną išraiškos terminą iš gcd. Gautuose terminuose bus mažesni koeficientai nei pradinėje išraiškoje.
  - Mūsų pavyzdyje kiekvieną išraiškos terminą padalinkite iš 3.
    - 9x2/3 = 3x2
    - 27x/3 = 9x
    - -3/3 = -1
    - Rezultatas buvo išraiška 3x 2 + 9x - 1. Tai nelygu pradinei išraiškai.
3. Parašykite pradinę išraišką kaip lygią gcd ir gautos išraiškos sandaugai. Tai yra, gautą išraišką įdėkite į skliaustus ir išimkite gcd iš skliaustų.
  - Mūsų pavyzdyje: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)
4. Trupmeninių išraiškų supaprastinimas, koeficientą išskiriant skliausteliuose. Kodėl daugiklį tiesiog išdėlioti skliausteliuose, kaip buvo padaryta anksčiau? Tada išmokite supaprastinti sudėtingas išraiškas, pvz., trupmenines išraiškas. Šiuo atveju koeficiento iškėlimas iš skliaustų gali padėti atsikratyti trupmenos (nuo vardiklio).
  - Pavyzdžiui, apsvarstykite trupmeninę išraišką (9x 2 + 27x - 3)/3. Norėdami supaprastinti šią išraišką, naudokite faktoringą.
    - Įdėkite koeficientą 3 iš skliaustų (kaip ir anksčiau): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Atkreipkite dėmesį, kad dabar yra 3 ir skaitiklyje, ir vardiklyje
    - Kadangi bet kuri trupmena, kurios vardiklyje yra skaičius 1, yra tiesiog lygi skaitikliui, pradinė trupmeninė išraiška supaprastinama taip: 3x 2 + 9x - 1.
Papildomi supaprastinimo metodai
1. Trupmenų išraiškų supaprastinimas. Kaip minėta aukščiau, jei ir skaitiklis, ir vardiklis turi tuos pačius terminus (ar net tas pačias išraiškas), juos galima sumažinti. Norėdami tai padaryti, turite išimti bendrą skaitiklio arba vardiklio koeficientą arba skaitiklį ir vardiklį. Arba galite padalyti kiekvieną skaitiklio terminą iš vardiklio ir taip supaprastinti išraišką.
  - Pavyzdžiui, apsvarstykite trupmeninę išraišką (5x 2 + 10x + 20)/10. Čia tiesiog padalinkite kiekvieną skaitiklio terminą iš vardiklio (10). Tačiau atkreipkite dėmesį, kad terminas 5x2 nėra tolygiai dalijamas iš 10 (nes 5 yra mažesnis nei 10).
    - Taigi parašykite supaprastintą išraišką taip: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.
2. Radikalių posakių supaprastinimas. Išraiškos po šaknies ženklu vadinamos radikaliomis išraiškomis. Juos galima supaprastinti suskaidžius į atitinkamus veiksnius ir vėliau pašalinus vieną veiksnį iš po šaknies.
  - Pažvelkime į paprastą pavyzdį: √(90). Skaičius 90 gali būti suskirstytas į šiuos veiksnius: 9 ir 10, o iš 9 galime paimti kvadratinę šaknį (3) ir paimti 3 iš po šaknies.
    - √(90)
    - √ (9 × 10)
    - √ (9) × √ (10)
    - 3 × √ (10)
    - 3√(10)
3. Posakių supaprastinimas su galiomis. Kai kuriose išraiškose yra terminų daugybos arba padalijimo su galiomis operacijos. Dauginant terminus su ta pačia baze, pridedamos jų galios; dalijant narius su tuo pačiu pagrindu, jų laipsniai atimami.
  - Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Daugybos atveju laipsnius pridėkite, o dalybos atveju - atimkite.
    - 6 x 3 x 8 x 4 + (x 17 / x 15)
    - (6 × 8) × 3 + 4 + (x 17–15)
    - 48x7 + x 2
  - Toliau paaiškinamos terminų dauginimo ir dalybos su galiomis taisyklės.
    - Terminų dauginimas iš galių prilygsta terminų dauginimui iš savęs. Pavyzdžiui, kadangi x 3 = x × x × x ir x 5 = x × x × x × x × x, tada x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), arba x 8 .
    - Taip pat terminų padalijimas laipsniais yra lygus terminų dalijimui iš savęs. x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Kadangi panašius terminus, esančius tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje, galima sumažinti, dviejų „x“ arba x 2 sandauga lieka skaitiklyje.

Trupmenos

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Vidurinėje mokykloje trupmenos nėra daug nepatogumų. Kol kas. Kol nesusidursite su galiomis su racionaliais rodikliais ir logaritmais. O ten... Paspaudžiate ir spaudžiate skaičiuotuvą ir rodomas visas kai kurių skaičių ekranas. Galvoti reikia kaip trečioje klasėje.

Pagaliau išsiaiškinkime trupmenas! Na, kiek galima juose susipainioti!? Be to, viskas paprasta ir logiška. Taigi, kokios yra trupmenų rūšys?

Trupmenų rūšys. Transformacijos.

Yra trijų tipų trupmenos.

1. Paprastosios trupmenos , Pavyzdžiui:

Kartais vietoj horizontalios linijos dedamas pasvirasis brūkšnys: 1/2, 3/4, 19/5, gerai ir pan. Čia mes dažnai vartosime šią rašybą. Skambinama aukščiausiu numeriu skaitiklis, apatinis - vardiklis. Jei nuolat painiojate šiuos pavadinimus (taip atsitinka...), pasakykite sau frazę: " Zzzzz prisimink! Zzzzz vardiklis – žiūrėk zzzzz oh!" Žiūrėkite, viskas bus zzzz prisiminta.)

Brūkšnys, horizontalus arba pasviręs, reiškia padalinys nuo viršutinio skaičiaus (skaitiklio) iki apatinio (vardiklio). Tai viskas! Vietoj brūkšnio visiškai įmanoma įdėti padalijimo ženklą - du taškus.

Kai įmanomas visiškas padalijimas, tai reikia padaryti. Taigi, vietoj trupmenos „32/8“ daug maloniau rašyti skaičių „4“. Tie. 32 tiesiog padalintas iš 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Aš net nekalbu apie trupmeną „4/1“. Kuris taip pat yra tik „4“. Ir jei jis nėra visiškai dalinamas, paliekame jį kaip trupmeną. Kartais reikia atlikti priešingą operaciją. Paverskite sveiką skaičių į trupmeną. Bet apie tai vėliau.

2. Dešimtainės , Pavyzdžiui:

Būtent šioje formoje turėsite užsirašyti atsakymus į užduotis „B“.

3. Mišrūs skaičiai , Pavyzdžiui:

Mišrūs skaičiai vidurinėje mokykloje praktiškai nenaudojami. Norint su jais dirbti, jie turi būti paversti įprastomis trupmenomis. Bet jūs tikrai turite sugebėti tai padaryti! Priešingu atveju jūs susidursite su tokiu numeriu problemoje ir sustingsite... Iš niekur. Bet mes prisiminsime šią procedūrą! Šiek tiek žemiau.

Pats universaliausias bendrosios trupmenos. Pradėkime nuo jų. Beje, jei trupmenoje yra visokių logaritmų, sinusų ir kitokių raidžių, tai nieko nekeičia. Ta prasme, kad viskas veiksmai su trupmenomis nesiskiria nuo veiksmų su paprastosiomis trupmenomis!

Pagrindinė trupmenos savybė.

Taigi, eime! Visų pirma, aš jus nustebinsiu. Visą trupmenų transformacijų įvairovę suteikia viena nuosavybė! Taip ir vadinasi pagrindinė trupmenos savybė. Prisiminkite: Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami (padalinami) iš to paties skaičiaus, trupmena nesikeičia. Tie:

Aišku, kad galima toliau rašyti, kol pamėlyna. Neleiskite sinusams ir logaritmams jūsų suklaidinti, mes su jais nagrinėsime toliau. Svarbiausia suprasti, kad visos šios įvairios išraiškos yra ta pati trupmena . 2/3.

Ar mums to reikia, visos šios transformacijos? Taip! Dabar pamatysite patys. Pirmiausia naudokime pagrindinę trupmenos savybę redukuojančios frakcijos. Atrodytų, elementarus dalykas. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus ir viskas! Neįmanoma suklysti! Bet... žmogus yra kurianti būtybė. Galite suklysti bet kur! Ypač jei reikia sumažinti ne trupmeną kaip 5/10, o trupmeninę išraišką su visokiomis raidėmis.

Kaip teisingai ir greitai sumažinti trupmenas neatliekant papildomo darbo, skaitykite specialiame 555 skyriuje.

Normalus mokinys nesivargina skaitiklio ir vardiklio dalyti iš to paties skaičiaus (arba išraiškos)! Jis tiesiog perbraukia viską, kas yra tas pats aukščiau ir apačioje! Čia slypi tipiška klaida, klaida, jei norite.

Pavyzdžiui, jums reikia supaprastinti išraišką:

Čia nėra apie ką galvoti, perbraukite raidę "a" viršuje ir "2" apačioje! Mes gauname:

Viskas teisinga. Bet jūs tikrai pasidalinote visi skaitiklis ir visi vardiklis yra "a". Jei esate įpratę tiesiog perbraukti, tada paskubėdami galite išbraukti „a“ posakyje

ir vėl gauk

Kas būtų kategoriška netiesa. Nes čia visi skaitiklis ant "a" jau yra nesidalina! Šios dalies sumažinti negalima. Beje, toks sumažinimas yra, hm... rimtas iššūkis mokytojui. Tai neatleista! Ar prisimeni? Mažinant reikia padalyti visi skaitiklis ir visi vardiklis!

Sumažinus trupmenas gyvenimas tampa daug lengvesnis. Kažkur gausite trupmeną, pavyzdžiui, 375/1000. Kaip aš galiu toliau dirbti su ja dabar? Be skaičiuotuvo? Padaugink, tarkim, pridėk, kvadratu!? O jei netingi, ir atsargiai sumažink jį penkiais, dar penkiais, ir net... kol trumpinama, trumpai tariant. Gaukime 3/8! Daug gražiau, tiesa?

Pagrindinė trupmenos savybė leidžia paprastąsias trupmenas konvertuoti į dešimtaines ir atvirkščiai be skaičiuotuvo! Tai svarbu vieningam valstybiniam egzaminui, tiesa?

Kaip konvertuoti trupmenas iš vienos rūšies į kitą.

Su dešimtainėmis trupmenomis viskas paprasta. Kaip girdima, taip ir parašyta! Tarkime, 0,25. Tai yra nulis dvidešimt penkių šimtųjų dalių. Taigi rašome: 25/100. Sumažiname (skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 25), gauname įprastą trupmeną: 1/4. Visi. Taip atsitinka, ir nieko nesumažėja. Kaip 0,3. Tai trys dešimtosios, t.y. 3/10.

Ką daryti, jei sveikieji skaičiai nėra nuliai? Viskas gerai. Užrašome visą trupmeną be jokių kablelių skaitiklyje, o vardiklyje – tai, kas išgirsta. Pavyzdžiui: 3.17. Tai yra trys taškai septyniolika šimtųjų dalių. Skaitiklyje rašome 317, o vardiklyje – 100 Gauname 317/100. Niekas nesumažėja, tai reiškia viską. Tai yra atsakymas. Elementaru, Vatsonai! Iš viso to, kas pasakyta, naudinga išvada: bet kuri dešimtainė trupmena gali būti konvertuojama į paprastąją trupmeną .

Tačiau kai kurie žmonės negali atlikti atvirkštinio konvertavimo iš paprasto į dešimtainį skaičių be skaičiuotuvo. Ir tai būtina! Kaip surašysite atsakymą į vieningą valstybinį egzaminą!? Atidžiai perskaitykite ir įvaldykite šį procesą.

Kokia yra dešimtainės trupmenos charakteristika? Jos vardiklis yra Visada kainuoja 10, 100, 1000, 10 000 ir pan. Jei jūsų bendroji trupmena turi šį vardiklį, nėra jokių problemų. Pavyzdžiui, 4/10 = 0,4. Arba 7/100 = 0,07. Arba 12/10 = 1,2. Ką daryti, jei „B“ skyriaus užduoties atsakymas buvo 1/2? Ką rašysime atsakydami? Reikalingi dešimtainiai...

Prisiminkime pagrindinė trupmenos savybė ! Matematika palankiai leidžia padauginti skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus. Bet ko, beje! Žinoma, išskyrus nulį. Taigi išnaudokime šią nuosavybę savo naudai! Iš ko galima padauginti vardiklį, t.y. 2, kad jis taptų 10, ar 100, arba 1000 (žinoma, kad mažesnis geriau...)? 5, aišku. Nedvejodami padauginkite vardiklį (tai yra mus būtina) iš 5. Bet tada skaitiklį taip pat reikia padauginti iš 5. Tai jau yra matematika reikalauja! Gauname 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Tai viskas.

Tačiau pasitaiko visokių vardiklių. Pavyzdžiui, galite susidurti su trupmena 3/16. Pabandykite ir sugalvokite, iš ko padauginti 16, kad gautumėte 100 ar 1000... Ar tai neveikia? Tada galite tiesiog padalinti 3 iš 16. Jei nėra skaičiuoklės, teks dalyti kampu, ant popieriaus lapo, kaip mokė pradinėje mokykloje. Gauname 0,1875.

Ir yra ir labai blogų vardiklių. Pavyzdžiui, nėra galimybės trupmenos 1/3 paversti geru dešimtainiu. Ir ant skaičiuotuvo, ir ant lapelio gauname 0,3333333... Tai reiškia, kad 1/3 yra tiksli dešimtainė trupmena neišversta. Tas pats kaip 1/7, 5/6 ir pan. Jų daug, neišverčiamų. Tai atveda mus prie kitos naudingos išvados. Ne kiekviena trupmena gali būti konvertuojama į dešimtainį skaičių !

Beje, tai yra naudinga informacija savęs patikrinimui. Skiltyje „B“ savo atsakyme turite užrašyti dešimtainę trupmeną. Ir jūs gavote, pavyzdžiui, 4/3. Ši trupmena nekonvertuojama į dešimtainę dalį. Tai reiškia, kad kažkur pakeliui padarėte klaidą! Grįžkite ir patikrinkite sprendimą.

Taigi, mes išsiaiškinome paprastas ir dešimtaines trupmenas. Belieka tik susitvarkyti su mišriais skaičiais. Norint dirbti su jais, jie turi būti paversti įprastomis trupmenomis. Kaip tai padaryti? Galite pagauti šeštoką ir jo paklausti. Tačiau šeštokas ne visada bus po ranka... Turėsite tai padaryti patys. Nesunku. Trupmeninės dalies vardiklį reikia padauginti iš visos dalies ir pridėti trupmeninės dalies skaitiklį. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. O vardiklis? Vardiklis išliks toks pat. Skamba sudėtingai, bet iš tikrųjų viskas paprasta. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tarkime, kad išsigandote išvydę problemos numerį:

Ramiai, be panikos, galvojame. Visa dalis yra 1. Vienetas. Trupmeninė dalis yra 3/7. Todėl trupmeninės dalies vardiklis yra 7. Šis vardiklis bus paprastosios trupmenos vardiklis. Skaičiuojame skaitiklį. 7 padauginame iš 1 (sveikoji dalis) ir pridedame 3 (trumposios dalies skaitiklis). Gauname 10. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. Tai viskas. Tai atrodo dar paprasčiau matematiškai:

Ar aišku? Tada užsitikrinkite savo sėkmę! Konvertuoti į paprastas trupmenas. Turėtumėte gauti 10/7, 7/2, 23/10 ir 21/4.

Atvirkštinis veiksmas – netinkamos trupmenos konvertavimas į mišrų skaičių – retai reikalingas vidurinėje mokykloje. Na, jei taip... O jei nesate vidurinėje mokykloje, galite pažvelgti į specialų 555 skyrių. Beje, ten sužinosite ir apie netinkamąsias trupmenas.

Na, tai praktiškai viskas. Jūs prisiminėte trupmenų tipus ir supratote Kaip perkelti juos iš vienos rūšies į kitą. Klausimas išlieka: Už ką tai padaryti? Kur ir kada pritaikyti šias gilias žinias?

atsakau. Bet koks pavyzdys pats savaime rodo būtinus veiksmus. Jei pavyzdyje paprastosios trupmenos, dešimtainės dalys ir net mišrūs skaičiai sumaišomi, viską paverčiame paprastosiomis trupmenomis. Tai visada galima padaryti. Na, o jei parašyta kažkas panašaus į 0,8 + 0,3, tai mes skaičiuojame taip, be jokio vertimo. Kodėl mums reikia papildomo darbo? Mes pasirenkame patogų sprendimą mus !

Jei užduotis yra visos po kablelio trupmenos, bet hm... kažkokios blogos, eikite į paprastas ir pabandykite! Žiūrėk, viskas susitvarkys. Pavyzdžiui, skaičių 0,125 turėsite paversti kvadratu. Tai nėra taip paprasta, jei nesate įpratę naudotis skaičiuokle! Reikia ne tik padauginti skaičius stulpelyje, bet ir pagalvoti, kur dėti kablelį! Tai tikrai neveiks jūsų galvoje! O kas, jei pereitume prie paprastosios trupmenos?

0,125 = 125/1000. Sumažiname 5 (pradedant). Gauname 25/200. Dar kartą iki 5. Gauname 5/40. O, vis dar mažėja! Grįžti į 5! Gauname 1/8. Mes lengvai jį kvadratu (galvoje!) ir gauname 1/64. Viskas!

Apibendrinkime šią pamoką.

1. Yra trijų tipų trupmenos. Bendrieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai.

2. Dešimtainės ir mišrūs skaičiai Visada galima konvertuoti į paprastąsias trupmenas. Atvirkštinis perkėlimas ne visada galima

3. Trupmenų tipo pasirinkimas darbui su užduotimi priklauso nuo pačios užduoties. Jei vienoje užduotyje yra skirtingų tipų trupmenos, patikimiausia yra pereiti prie įprastų trupmenų.

Dabar galite treniruotis. Pirmiausia konvertuokite šias dešimtaines trupmenas į įprastas trupmenas:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Turėtumėte gauti tokius atsakymus (netvarkoje!):

Užbaikime tai. Šioje pamokoje mes atnaujinome savo atmintį apie pagrindinius dalykus apie trupmenas. Tačiau būna, kad nėra ko ypatingai atsigaivinti...) Jei kas visiškai pamiršo, ar dar neįvaldė... Tada galite eiti į specialų 555 skyrių. Ten išsamiai aprašyti visi pagrindai. Daugelis staiga viską suprasti prasideda. Ir jie greitai išsprendžia trupmenas).