Finansinių priemonių taikymas agropramoninio komplekso organizacijose. Šiškinas V., Kudryavtseva G.

Tiriant netiesines ribinių verčių problemas, apibūdinančias aplinkos taršos ir atkūrimo procesus, kartu su difuzija, adsorbcija ir cheminėmis reakcijomis atspindinčias Stefano tipo problemas su laisva riba ir šaltiniais, kurie labai priklauso nuo norimos koncentracijos lauko. palūkanų.

Netiesinės problemos su laisvomis ribomis aplinkos problemose leidžia apibūdinti faktiškai stebimą aplinkos taršos (rekreacijos) procesų lokalizaciją. Netiesiškumas čia atsiranda dėl turbulentinės difuzijos tenzoriaus K ir taršos nuotekų / priklausomybės nuo koncentracijos c. Pirmuoju atveju erdvinė lokalizacija pasiekiama dėl degeneracijos, kai esant c = O ir K = 0. Tačiau ji įvyksta tik tam tikru laiko momentu r, o z nėra.

Difuzijos procesų raida su reakcija, stabilizuojasi iki ribojančių stacionarių būsenų su aiškiai apibrėžta erdvine lokalizacija, gali būti aprašyta matematiniais modeliais su ypatinga kriauklių priklausomybe /(c). Pastarasis modeliuoja medžiagos suvartojimą dėl trupmeninės eilės cheminių reakcijų, kai /(c) = . Šiuo atveju, neatsižvelgiant į difuzijos koeficiento degeneraciją, yra terpės difuzijos sutrikimo vietos ir laiko erdvė. Bet kuriuo laiko momentu / lokalios difuzijos trikdžiai užima tam tikrą sritį 0(7), kurią iš anksto riboja anksčiau nežinomas laisvas paviršius Г(7). Koncentracijos laukas c(p, /) šiuo atveju yra difuzinė banga su priekiu Г(/), sklindanti per netrikdomą terpę, kur c = O.

Visiškai natūralu, kad šiuos kokybinius efektus galima gauti tik taikant netiesinį reakcijos procesų modeliavimo metodą.

Tačiau šis metodas yra susijęs su dideliais matematiniais sunkumais tiriant čia iškylančias netiesines problemas su laisvomis ribomis, kai reikia nustatyti funkcijų porą - koncentracijos lauką c(p,t) ir laisvąją ribą Г(/) = ( (p,t): c(p,t) = O). Tokios problemos, kaip jau minėta, priklauso sudėtingesnėms, mažai ištirtoms matematinės fizikos problemoms.

Žymiai mažiau tyrimų atlikta ribinių reikšmių problemoms su laisvomis ribomis dėl jų sudėtingumo, kuris yra susijęs tiek su jų netiesiškumu, tiek su tuo, kad joms reikia a priori patikslinti ieškomų laukų topologines charakteristikas. Tarp darbų, kuriuose nagrinėjamas tokių problemų sprendimas, pažymėtini A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy ir kt. Su tam tikrais apribojimais nurodytoms funkcijoms A.A. Berezovskio darbuose, E.S. Sabinina įrodė egzistavimo ir unikalumo teoremas ribinės reikšmės uždaviniui spręsti su laisvąja šilumos lygties riba.

Ne mažiau svarbus yra efektyvių metodų apytikriam šios klasės uždavinių sprendimui sukūrimas, kuris leis nustatyti pagrindinių proceso parametrų funkcines priklausomybes nuo įvesties duomenų, o tai leis apskaičiuoti ir numatyti proceso raidą. svarstoma.

Sparčiai tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, vis dažniau kuriami veiksmingi skaitmeniniai tokių problemų sprendimo metodai. Tai apima tiesių linijų metodą, projekcijos tinklelio metodą, sukurtą G. I. Marchuko, V. I. Pastaruoju metu sėkmingai naudojamas fiksuoto lauko metodas, kurio pagrindinė idėja yra ta, kad fiksuojama judanti riba ir joje nustatoma dalis žinomų ribinių sąlygų, išsprendžiama gauta ribinės reikšmės problema, o tada, naudojant likusios ribinės sąlygos ir gautas sprendimas, randama nauja, tikslesnė padėtis laisvoji riba ir tt Laisvosios ribos radimo problema redukuojama iki vėlesnio keleto klasikinių įprastų diferencialinių lygčių ribinių reikšmių uždavinių sprendimo.

Kadangi problemos su laisvomis ribomis nėra iki galo ištirtos, o jų sprendimas yra susijęs su dideliais sunkumais, jų tyrimas ir sprendimas reikalauja naujų idėjų, panaudoti visą konstruktyvių netiesinės analizės metodų arsenalą, šiuolaikinius matematinės fizikos pasiekimus, skaičiavimo matematika ir šiuolaikinės skaičiavimo technologijos galimybės. Teoriškai tokioms problemoms tebėra aktualūs sprendimų egzistavimo, unikalumo, pozityvumo, stabilizavimo ir erdvėlaikio lokalizavimo klausimai.

Disertacinis darbas skirtas formuluoti naujas problemas su laisvomis ribomis, kurios modeliuoja pernešimo ir sklaidos procesus su teršiančių medžiagų reakcija aplinkos problemose, jų kokybiniam tyrimui ir, daugiausia, konstruktyvių metodų, leidžiančių sukonstruoti apytikslius tokių problemų sprendimus, sukūrimui. problemų.

Pirmame skyriuje pateikiamas bendras difuzijos problemų aprašymas aktyviose terpėse, ty terpėse, kuriose nuotekos labai priklauso nuo koncentracijos. Nurodomi fiziškai pagrįsti srautų apribojimai, pagal kuriuos problema redukuojama iki šios problemos su laisvomis ribomis kvazilinijinei parabolinei lygčiai: с, = div(K(p, t, с) grade) - div(cu) - f ( с)+ w Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) cm c) laipsnis, n)+ac = accp S(t), c)gradc,n) = 0 ant Г if) , kur K(p,t,c) yra turbulentinės difuzijos tenzorius; ü – terpės greičio vektorius, c(p,t) – terpės koncentracija.

Didelis dėmesys pirmame skyriuje skiriamas pradinių ribinių reikšmių uždavinių formulavimui koncentracijos lygmens paviršiams kryptingų difuzijos procesų atveju, kai yra vienas su vienu atitikimas tarp koncentracijos ir vienos iš erdvinių koordinačių. Monotoninė c(x,y,z,t) priklausomybė nuo z leidžia paversti diferencialinę lygtį, pradines ir ribines uždavinio sąlygas koncentracijos laukui į diferencialinę lygtį ir atitinkamas papildomas sąlygas jos laukui. lygūs paviršiai - z = z(x,y,c, t). Tai pasiekiama diferencijuojant atvirkštines funkcijas, išsprendžiant žinomo paviršiaus S lygtį: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) ir nuskaitant tapatybę atgal su (x) ,y,zs, t)=c(x,y,t). Tada c diferencialinė lygtis (1) paverčiama lygtimi z- Az=zt-f (c)zc, kur

2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k- . zc dz

Pereinant nuo nepriklausomų kintamųjų x, y, z prie nepriklausomų kintamųjų x>y, c, fizinė sritis Q(i) transformuojama į nefizinę sritį Qc(/), ribojama plokštumos dalimi c = 0, į kurį pereina laisvasis paviršius Г, o laisvas bendruoju atveju – nežinomas paviršius c=c(x,y,t), į kurį eina žinomas paviršius S(t).

Priešingai nei tiesioginės problemos operatorius divKgrad ■, atvirkštinės problemos operatorius A iš esmės yra netiesinis. Darbe įrodomas kvadratinės formos e+rf+yf-latf-lßrt, atitinkančios operatorių A, pozityvumas ir taip nustatomas jos elipsiškumas, leidžiantis nagrinėti jos ribinių reikšmių uždavinių formuluotes. Integruodami dalimis, gavome pirmosios Greeno formulės analogą operatoriui A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

Mes svarstome problemą su laisvąja koncentracijos lauko riba c = c(x,y,z,1), kai Dirichlet sąlyga div(Kgradc) - c, = /(c) - Re g c(P,0) = c0 nurodytas paviršiuje (P), ReShto), c = (p(p,0, ReB^), ¿>0, (2)

ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp

Šiuo atveju perėjimas lygaus paviršiaus atžvilgiu r = r(x,y,c^) leido atsikratyti laisvo paviršiaus c=c(x,y,?), nes jį visiškai lemia Dirichlet. sąlyga c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O- Dėl to ši pradinės-ribinės reikšmės problema stipriai netiesiniam paraboliniam operatoriui^ - - per laike- kintantis, bet jau žinomas domenas C2c(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,cePc(O), z(x, y,c,t) = zs (x, y, c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t) )=-co, x,y&D(t), t> 0.

Čia taip pat nagrinėjame problemos (3) sprendimo unikalumo klausimą. Remiantis gautu pirmosios Greeno formulės analogu operatoriui A, atsižvelgiant į ribines sąlygas po elementariųjų, bet gana sudėtingų transformacijų naudojant Youngo nelygybę, nustatomas operatoriaus A monotoniškumas uždavinio sprendiniuose zx ir z2.

Lg2 – Ar1)(r2 –)(bcc1us1c< 0 . (4)

Kita vertus, naudojant diferencialinę lygtį, ribines ir pradines sąlygas, parodoma, kad

Gautas prieštaravimas įrodo unikalumo teoremą, skirtą Dirichlet uždavinio sprendimui koncentracijos lygių paviršiams c(x,y,t)

1 teorema. Jei šaltinio funkcija w yra const, grimzlės funkcija f(c) didėja monotoniškai ir /(0) = 0, tai Dirichlet uždavinio (2) sprendimas lygiems paviršiams yra teigiamas ir unikalus.

Trečioje pirmojo skyriaus pastraipoje aptariamas difuzijos procesų, lydimų adsorbcijos ir cheminių reakcijų, kokybinis poveikis. Šių efektų negalima apibūdinti remiantis tiesine teorija. Jei pastarajame sklidimo greitis yra begalinis ir todėl nėra erdvinės lokalizacijos, tai nagrinėjami netiesiniai difuzijos modeliai su reakcija su turbulentinės difuzijos koeficiento K ir nuotekų tankio funkcinėmis priklausomybėmis (cheminių reakcijų kinetika). ) / dėl darbe nustatytos koncentracijos c, leidžia apibūdinti faktiškai pastebėtus baigtinio sklidimo greičio , erdvinės lokalizacijos ir stabilizavimo efektus per baigtinį teršalų laiką (rekreaciją). Darbe nustatyta, kad išvardytus efektus galima apibūdinti naudojant siūlomus modelius, jei yra netinkamas integralas su w 1

K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

Stacionarus uždavinys be koordinačių formos yra div(K(c)grade) = f(c) Q\P (0< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 ant 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) grade,п) = 0 ant Г s (с = 0) = dQ. P D,

JJJ/(c)dv + cds = q. a s

Pusiau kaimynystėje su taško Pe Г eQ, perėjimas prie pusiau koordinatinės žymėjimo formos leido gauti Koši uždavinį drj

K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) in co rj<0

8) dc = 0, K(c)~ = 0,77 = 0,

OT] čia m] yra koordinatė, išmatuota išilgai normaliosios Γ taške P, o kitos dvi Dekarto koordinatės m1, m2 yra Γ liestinės plokštumoje taške P. Kadangi co galime daryti prielaidą, kad c(m1, m2 , r/) silpnai priklauso nuo tangentinių koordinačių, tai yra c (mx, m2,1]) = c(t]), tada c(m]) nustatyti iš (8) Koši uždavinio drj drj f(c) ), seka TJ< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj

Buvo gautas tikslus problemos sprendimas (9)

77(s)= perdaryti 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема

2 teorema. Būtina sąlyga, kad egzistuotų nagrinėjamų nelokalių problemų su laisvomis ribomis erdviškai lokalizuotas sprendimas, yra netinkamo integralo (b) egzistavimas.

Be to, buvo įrodyta, kad sąlyga (6) yra būtina ir pakankama 1, kad egzistuotų šios vienos dimensijos stacionarios problemos, turinčios laisvą ribą r(c), 0 erdviškai lokalizuotas sprendimas.

00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g tai yra, tai vyksta

3 teorema. Jei funkcija /(c) tenkina sąlygas f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 teigiamas nelokalinės ribinės reikšmės problemos (11) sprendimas egzistuoja ir yra unikalus.

Čia taip pat svarstome praktikai labai svarbius aplinkos rekreacijos ribotu laiku klausimus. V. V. Kalašnikovo ir A. A. Samarskio darbuose, naudojant palyginimo teoremas, ši problema yra sumažinta iki diferencinės nelygybės.< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.

Tuo pačiu metu poilsio laiko sąmata w

T<]. ск х)

Priešingai nei šie metodai, darbe buvo bandoma gauti tikslesnius įverčius, kuriuose būtų atsižvelgta į pradinį koncentracijos co (x) pasiskirstymą ir jos nešiklį „(0). Tam panaudojant darbe gautus apriorinius įverčius, sprendinio Ж kvadratinei normai buvo rasta diferencinė nelygybė.

13), iš kurio seka tikslesnis T t įvertinimas<

1+ /?>(())], kur c yra lygties šaknis

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

Antrasis skyrius skirtas pasyvių priemaišų pernešimo ir sklaidos procesų modeliavimo sluoksniuotoje terpėje klausimams. Pradinis taškas yra (1) uždavinys, kai /(c) = 0 ir Dirichlet ribinė sąlyga arba nelokalinė sąlyga c, = (I\(K(p,G,c)%gais)-0 c(p,0) = c0(p) 0(0),

C(P>*) = φ(р,0 įjungta arba = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 ant Г(Г) ).

Nagrinėjamos vienmatės turbulentinės difuzijos problemos, atsižvelgiant į difuzijos koeficiento priklausomybę nuo mastelio, laiko ir koncentracijos. Jie reprezentuoja vietines ir nelokalines kvazilinijinės ds lygties problemas

1 d dt g"-1 dg p-\

K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3,

16) čia K(r,t,c) = K0(p(t)rmck; Birkhoffas formoje c(r,t) = f(t)B(T1), tj = r7t P>0,

17) kur funkcijos ir parametras p nustatomi kintamųjų atskyrimo procese (16). Dėl to B(t]) at] ir atvaizdavimui buvo gauta įprasta diferencialinė lygtis

Оn+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, oh

Dviem savavališkos konstantos C ( - C, = ir

С1 = ^Ур lygtis (18) leidžia gauti tikslius sprendimus priklausomai nuo vienos savavališkos konstantos. Pastarąjį galima nustatyti įvykdžius tam tikras papildomas sąlygas. Dirichlet ribinės sąlygos c(0,0 = B0[f^)]"n/p (20) atveju gaunamas tikslus erdvėje lokalizuotas sprendimas, kai k > 0, m< 2:

2-t Gf\h;

L/k 0<г <гф(/),

Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, o tikslus nelokalizuotas sprendimas k atveju<0, т <2:

1/k 0< г < 00.

22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.

Čia φ(1) = \(p(r)yt; φ(/) = [^(O]^ o

Jei k -» 0, iš gautų sprendinių seka tiesinės užduoties с(r,0 = ВйШт-т) exp[- /(1 - m)2k0f(1)\ sprendimas, kuris transformuojamas f(1) = 1 ir m = 0 į pagrindinį difuzijos lygties sprendinį.

Taip pat buvo gauti tikslūs tirpalai momentinių arba nuolat veikiančių koncentruotų šaltinių atveju, kai papildoma nelokalinė formos ribinė sąlyga

23) čia o)n yra vienetinės sferos plotas (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).

Rasti tikslūs (21) formos k >0 sprendimai reiškia difuzinę bangą, sklindančią per netrikdomą terpę baigtiniu greičiu. Prie k< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

Nagrinėjamos difuzijos iš nuolat veikiančių taškinių ir tiesinių šaltinių judančioje terpėje problemos, kai koncentracijai nustatyti naudojama kvazitiesinė lygtis.

Vdivc = -^S(r),

24) kur K(g,x,s) = K0k(x)gtsk, 8(g) yra Dirako delta funkcija, O yra šaltinio galia. Koordinatės x interpretavimas kaip laikas/ čia taip pat leido gauti tikslius dalinius nelokalinės formos (21) r 2/(2+2 k) 2 o, 1 uždavinio sprendimus.

2С2 (2 + 2к)К0 к

Sprendimas (25) iš esmės leidžia apibūdinti difuzijos trikdžių erdvinę lokalizaciją. Šiuo atveju nustatoma difuzinės bangos priekis, atskiriant regionus su nuline ir nenuline koncentracija. Jei k -» 0, tai reiškia gerai žinomą Robertso sprendimą, kuris, tačiau, neleidžia apibūdinti erdvinės lokalizacijos.

Trečiasis disertacijos skyrius skirtas specifinėms difuzijos problemoms su reakcija stratifikuotoje oro aplinkoje tirti, kuri yra tokia vienmatė problema su laisva riba uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, jų = 0, x = s(t), t > 0.

Remiantis Rothe metodu, buvo atliktas skaitinis-analitinis uždavinio (26) įgyvendinimas, kuris leido gauti tokį septynių skaitmenų uždavinio aproksimaciją įprastų diferencialinių lygčių ribinių reikšmių uždavinių sistemos pavidalu. iki apytikslės reikšmės u(x) = u(x,1k) ir 5 =) V u(x)-u(x^k1): V u"-m~xy = y - m~1 u, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.

Sprendimas (27) redukuojamas į Volterra tipo netiesines integralines lygtis ir netiesinę lygtį, kai x = 0 5 u(x) ~ 4m [i/r-^--* s/r + k^tek -¿g n V l/g l/g

0 < X < 5, к(р.

Atliekant skaitinius skaičiavimus, sprendimo sistema (28), naudojant baigtinių matmenų aproksimaciją, yra sumažinta iki netiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimų, atsižvelgiant į mazgų vertes ir. = u(x)) ir i-.

Čia taip pat nagrinėjamos laisvųjų ribų problemos taršos ir atmosferos savaiminio išsivalymo taškiniais šaltiniais problemoje. Nesant adsorbuojančio paviršiaus 5(0 (tie&3 = 0) plokščių, cilindrinių ar taškinių taršos šaltinių atveju, kai koncentracija priklauso nuo vienos erdvinės koordinatės – atstumo iki šaltinio ir laiko, paprasčiausias vienmatis gaunama nelokalinė problema su laisva riba

-- = /(s), 00, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 00; ai

1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^

(29), (30) uždavinio sprendimas buvo sudarytas Rothe metodu, derinant su netiesinių integralinių lygčių metodu.

Transformavus priklausomus ir nepriklausomus kintamuosius, nelokali problema su laisva riba apie taškinį šaltinį sumažinama iki kanoninės formos

5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Pmg + = d(r), m > 0, turinti tik vieną funkciją, apibrėžiančią funkciją d(r).

Tam tikrais atvejais gaunami tikslūs atitinkamų nelokalinių stacionarių problemų su laisva riba Emdeno-Fowlerio lygčiai su 12 ir 1 l.

2 = х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

Visų pirma, kada /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, kur* = (Зз)1/3.

Kartu su Rothe metodu, derinant su netiesinių integralinių lygčių metodu, nestacionarios problemos (32) sprendimas konstruojamas ekvivalentinio tiesinimo metodu. Šis metodas iš esmės naudoja stacionarios problemos sprendimo konstravimą. Dėl to problema redukuojama į Cauchy problemą įprastoje diferencialinėje lygtyje, kurios sprendimą galima gauti vienu iš apytikslių metodų, pavyzdžiui, Runge-Kutta metodu.

Gynimui pateikiami šie rezultatai:

Spatiotemporal lokalizacijos kokybinio poveikio tyrimas;

Būtinų sąlygų erdvinei lokalizacijai iki ribojančių stacionarių būsenų sudarymas;

Teorema apie uždavinio su laisvąja riba sprendinio unikalumą esant Dirichlet sąlygoms ant žinomo paviršiaus;

Tikslių erdviškai lokalizuotų išsigimusių kvazilinijinių parabolinių lygčių dalinių sprendinių šeimų gavimas atskyrus kintamuosius;

Veiksmingų vienmačių nestacionarių lokalinių ir nelokalinių problemų su laisvomis ribomis sprendimo metodų sukūrimas remiantis Rothe metodo taikymu kartu su integralinių lygčių metodu;

Tikslių, erdviškai lokalizuotų sprendimų gavimas stacionarioms difuzijos problemoms su reakcija.

Pagrindinius disertacinio darbo rezultatus galima suformuluoti taip.

1. Ištirti kokybiškai nauji erdvinės-laikinės lokalizacijos efektai.

2. Sukurtos būtinos sąlygos erdvinei lokalizacijai ir stabilizavimui iki ribojančių stacionarių būsenų.

3. Įrodyta teorema apie uždavinio sprendimo su laisvąja riba unikalumą esant Dirichlet sąlygoms ant žinomo paviršiaus.

4. Taikant kintamųjų atskyrimo metodą, gautos tikslios išsigimusių kvazilinijinių parabolinių lygčių dalinių sprendinių šeimos.

5. Sukurti efektyvūs vienmačių stacionarių uždavinių su laisvomis ribomis apytikriam sprendimui metodai, pagrįsti Rothe metodo taikymu kartu su netiesinių integralinių lygčių metodu.

6. Gauti tikslūs erdvėje lokalizuoti stacionarių difuzijos su reakcija problemų sprendimai.

Remiantis variaciniu metodu derinant su Rothe metodu, netiesinių integralinių lygčių metodu, sukurti efektyvūs sprendimo metodai, kuriant skaitinių skaičiavimų kompiuteriu algoritmus ir programas bei apytikslius vienmačių nestacionarių lokalinių sprendinių. ir gautos nelokalinės problemos su laisvomis ribomis, leidžiančios apibūdinti erdvinę lokalizaciją taršos problemose ir sluoksniuotos vandens bei oro aplinkos savaiminis apsivalymas.

Disertacinio darbo rezultatai gali būti panaudoti formuluojant ir sprendžiant įvairias šiuolaikinės gamtos mokslo, ypač metalurgijos ir kriomedicinos, problemas.

IŠVADA

1. Arseninas V.Ya. Matematinės fizikos ir specialiųjų funkcijų ribinės reikšmės uždaviniai. -M.: NaukaD 984.-384s.

2. Akhromeeva T. S., Kurdumovas S. P., Malineckis G. G., Samarsky A.A. Dviejų komponentų išsklaidymo sistemos šalia bifurkacijos taško // Matematinis modeliavimas. Procesai netiesinėse terpėse. -M.: Nauka, 1986. -S. 7-60.

3. Bazaliy B.V. Apie vieną dviejų fazių Stefano problemos sprendimo egzistavimo įrodymą // Matematinė analizė ir tikimybių teorija. -Kijevas: Ukrainos TSR mokslų akademijos Matematikos institutas, 1978.-P. 7-11.

4. Bazaliy B.V., Shelepov V.Yu. Variacijos metodai mišrioje šiluminės pusiausvyros su laisva riba problema //Matematinės fizikos ribinės reikšmės uždaviniai. -Kijevas: Ukrainos TSR mokslų akademijos Matematikos institutas, 1978. P. 39-58.

5. Barenblat G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. Nestacionaraus skysčių ir dujų filtravimo teorija. M.: Nauka, 1972.-277 p.

6. Beliajevas V.I. Dėl ryšio tarp sieros vandenilio pasiskirstymo Juodojoje jūroje ir vertikalaus jos vandenų perdavimo/Yukeanalogiya.-1980.-14, Issue Z.-S. 34-38.

7. Berezoeska L.M., Doguchaeva S.M. Problema su utėlių riba koncentracijos lauko paviršiaus lygiui problemose! toli nuo namų//Crajov1 užduotys! gyvenimiškoms p!auklėms.-Vip. 1(17).-Kshv: 1n-t matematika HAH Ukrash, 1998. P. 38-43.

8. Berezovka L.M., Doguchaeva S.M. D1r1hle problema koncentracijos lauko paviršiui // Matematikos metodai mokslo ir technikos pažangoje. -Kshv: 1n-t Matematika HAH Ukrash, 1996. P. 9-14.

9. Berezovskaja BĮ. M., Dokuchaeva S.M. Erdvinis lokalizavimas ir stabilizavimas difuzijos procesuose su reakcija //Dopovts HAH Dekoracija.-1998.-Nr. 2.-S. 7-10.

10. Yu Berezovskis A.A. Paskaitos apie netiesines ribines matematinės fizikos problemas. V. 2 dalys - Kijevas: Naukovos Dūma, 1976.- 1 dalis. 252s.

11. M. Berezovskis A.A. Laidžios ir spinduliuotės šilumos perdavimo plonuose cilindriniuose apvalkaluose netiesinės integralinės lygtys//Diferencialinės lygtys su dalinėmis išvestinėmis taikomuose uždaviniuose. Kijevas, 1982. - P. 3-14.

12. Berezovskis A.A. Klasikinės ir specialiosios Stefano problemų formuluotės // Nestacionarios Stefano problemos. Kijevas, 1988. - P. 3-20. - (Prepr./AN Ukrainos TSR. Matematikos institutas; 88.49).

13. Berezovskis A.A., Boguslavskis S.G. Juodosios jūros hidrologijos klausimai //Išsamūs Juodosios jūros okeanografiniai tyrimai. Kijevas: Naukova Dumka, 1980. - P. 136-162.

14. Berezovskis A.A., Boguslavsky S./"Šilumos ir masės perdavimo problemos sprendžiant dabartines Juodosios jūros problemas. Kijevas, 1984. - 56 p. (Prepr. /AS of the Ukrainian SSR. Matematikos institutas; 84.49).

15. Berezovskis M.A., Dogučajeva S.M. Ateivių vidurio užteršto savaiminio apsivalymo matematinis modelis //Vyunik Kshvskogo Ushversitetu. -Vip 1.- 1998.-S. 13-16.

16. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asimptotiniai metodai netiesinių virpesių teorijoje. M.: Nauka, 1974. - 501 p.

17. N.L. skambutis, priemaišų dispersija atmosferos ribiniame sluoksnyje. L.: Gidrometeoizdat, 1974. - 192 p. 21. Budok B.M., Samarsky A.A., Tichonov A.N. Matematinės fizikos uždavinių rinkinys. M.: Nauka, 1972. - 687 p.

18. Vainberg M. M. Variacinis metodas ir monotoninių operatorių metodas. M.: Nauka, 1972.-415 p.

19. Vladimirovas V.S. Matematinės fizikos lygtys. M.: Nauka, 1976. 512 p.

20. Galaktionovas V.A., Kurdiumovas S.P., Michailovas A.P., Samarskis A.A. Šilumos lokalizavimas netiesinėse terpėse // Skirt. Lygtys. 1981. – Laida. 42. -S. 138-145.31 Danilyuk I.I. Apie Stefano problemą//Uspekhi Mat. Sci. 1985. - 10. - Laida. 5(245)-S. 133-185.

21. Danilyuk I., Kashkakha V.E. Apie vieną netiesinę Ritz sistemą. //Dok. Ukrainos TSR mokslų akademija. Siera. 1973. - Nr. 40. - 870-873 p.

22. KommersantDoguchaeva S.M. Laisvosios ribinės problemos aplinkos problemose // Netiesinės ribinės vertės problemos Math. fizika ir jų pritaikymas. Kijevas: Ukrainos matematikos institutas HAH, 1995. - 87-91 p.

23. Dogučajeva Svetlana M. Berezovskis Arnoldas A. Dujų, dūmų ir kitų rūšių taršos sklaidos, skilimo ir sorbcijos matematiniai modeliai neramioje atmosferoje //Internat. Konf. Netiesinis skirtumas / lygtys? Kijevas, 1995 m. rugpjūčio 21-27 d., p. 187.

24. KommersantDoguchaeva S.M. Degeneruotos parabolinės lygties ribinės vertės uždavinių sprendimų erdvinė lokalizacija aplinkos uždavinyje // Netiesinės ribinės vertės problemos Math. fizika ir jų pritaikymas. -Kijevas: Ukrainos matematikos institutas HAH, 1996. P. 100-104.

25. BbDoguchaeva S.M. Vienmatė Koši problema koncentracijos lauko lygiems paviršiams //Netiesinių parabolinių lygčių problemos su laisvomis ribomis ir nelokalinės problemos. Kijevas: Ukrainos matematikos institutas HAH, 1996. - 27-30 p.

26. Kommersant.Doguchaeva S.M. Degeneruotos parabolinės lygties ribinės vertės uždavinių sprendimų erdvinė lokalizacija aplinkos uždavinyje // Netiesinės ribinės vertės problemos Math. fizika ir jų pritaikymas. -Kijevas: Ukrainos matematikos institutas HAH, 1996. P. 100-104.

27. Doguchaeva S. M. Problemos su laisvomis ribomis išsigimusios parabolinės lygties aplinkos problemoje // Dopovda HAH Decoration. 1997. - Nr. 12. - 21-24 p.

28. Kalašnikovas A. S. Apie trikdžių sklidimo pobūdį netiesinio šilumos laidumo su absorbcija problemomis // Mat. užrašai. 1974. - 14, Nr. 4. - 891-905 p. (56)

29. Kalašnikovas A.S. Kai kurie antros eilės netiesinių išsigimusių parabolinių lygčių kokybinės teorijos klausimai // Uspekhi Mat. Sci. 1987. - 42, 2 numeris (254). - 135-164 p.

30. Kalašnikovas A. S. Apie „reakcijos-difuzijos“ tipo sistemų klasę // Seminaro, pavadinto vardu, medžiaga. I.G. Petrovskis. 1989. – Laida. 11. - 78-88 p.

31. Kalašnikovas A.S. Dėl pustiesinių parabolinių lygčių ir sistemų sprendinių atramų momentinio sutankinimo sąlygų // Mat. užrašai. 1990. - 47, Nr. 1. - 74-78 p.

32. Ab. Kalašnikovas A. S. Apie mišinių sklaidą esant ilgalaikiam veikimui // Žurnalas. Comput. matematika ir matematika fizika. M., 1991. - 31, Nr.4. - S. 424436.

33. Kamenomostskaya S. L. Apie Stefano problemą // Mat. kolekcija. 1961. -53, Nr.4, -S. 488-514.

34. Kamke E. Paprastųjų diferencialinių lygčių vadovas - M.: Nauka, 1976. 576 p.

35. Ladyženskaja O.A., Solonnikovas V.A., Uraltseva N.N. Parabolinio tipo tiesinės ir kvazilinijinės lygtys. M.: Nauka, 1967. - 736 p. (78)

36. Ladyzhenskaya O.A., Uraltseva N.N. Elipsinio tipo tiesinės ir kvazilinijinės lygtys. M.: Nauka, 1964. - 736 p.

37. Lykovas A.B. Šilumos laidumo teorija. M.: Aukščiau. mokykla, 1967. 599 p.

38. Martinson L.K. Apie baigtinį šiluminių trikdžių plitimo greitį terpėse su pastoviais šilumos laidumo koeficientais // Žurnalas. Comput. matematika. ir mat. fizika. M., 1976. - 16, Nr.6. - 1233-1241 p.

39. Marčukas G.M., Agoškovas V.I. Supažindinimas su projekcinio tinklo metodais. -M.: Nauka, 1981. -416 p.

40. Mitropolsky Yu.A., Berezovskis A.A. Stefano problemos su ribojančia stacionaria būsena specialiojoje elektrometalurgijoje, kriochirurgijoje ir jūrų fizikoje // Mat. fizika ir nelinija. Mechanika. 1987. – Laida. 7. - 50-60 p.

41. Mitropolsky Yu.A., Berezovsky A.A., Shkhanukov M.H. Erdvinė ir laiko lokalizacija problemose su laisvomis ribomis antros eilės netiesinei lygčiai //Ukr. mat. žurnalas 1996. - 48, Nr.2 - S. 202211.

42. Mitropolsky Yu A., Shkhanukov M.Kh., Berezovskis A.A. Apie nelokalią parabolinės lygties problemą //Ukr. mat. žurnalas 1995. -47, Nr.11.- P. 790-800.

43. Ozmidovas R.V. Horizontali turbulencija ir audringi mainai vandenyne. M.: Nauka, 1968. - 196 p.

44. Ozmidovas R.V. Kai kurie priemaišų sklaidos jūroje tyrimo rezultatai // Okeanologija. 1969. - 9. - Nr.1. - P. 82-86.66 .Okubo A.A. Turbulentinės difuzijos jūroje teorinių modelių apžvalga. -Okeanogr. Soc. Japonija, 1962, p. 38-44.

45. Oleinik O.A. Apie vieną bendrosios Stefano problemos sprendimo būdą // Dokl. SSRS mokslų akademija. Ser. A. 1960. – Nr.5. - 1054-1058 p.

46. ​​Oleinik O.A. Apie Stefano problemą //Pirmoji vasaros matematikos mokykla. T.2. Kijevas: Nauk, Dumka, 1964. - P. 183-203.

47. Roberts O. F. Teorinis dūmų sklaidymas audringoje atmosferoje. Proc. Roy., Londonas, Ser. A., v. 104.1923 m. - P.640-654.

48. Yu.Sabinina E.S. Apie vieną netiesinių išsigimusių parabolinių lygčių klasę // Dokl. SSRS. 1962. - 143, Nr.4. - 494-797 p.

49. Kh.Sabinina E.S. Vienoje kvazilinijinių parabolinių lygčių klasėje, kurios nėra išsprendžiamos atsižvelgiant į laiko išvestinę // Sibirskas. mat. žurnalas 1965. - 6, Nr. - 1074-1100 p.

50. Samara A.A. Šilumos lokalizavimas netiesinėse terpėse // Uspekhi Mat. Sci. 1982. - 37, Nr. 4 - 1084-1088 p.

51. Samara A.A. Skaitinių metodų įvadas. M.: Nauka, 1986. - 288 p.

52. A. Samarsky A.A., Kurdyumov S.P., Galaktionov V.A. Matematinis modeliavimas. Procesai nonlin. aplinkos M.: Nauka, 1986. - 309 p.

53. Sansone G. Paprastosios diferencialinės lygtys. M.:IL, 1954.-416 p.

54. Stefan J. Uber dietheorie der veisbildung, insbesondere über die eisbildung im polarmere //Sitzber. Wien. Akad. Nat. naturw., Bd. 98, IIa, 1889. P.965-983

55. Sutton O.G. Mikrometeorologija. Nauja. Jorkas-Torontas-Londonas. 1953. 333p.1 % Friedmanas A. Parabolinio tipo dalinės diferencialinės lygtys. -M.: Mir, 1968.-427 p.

56. Friedman A. Variaciniai principai uždaviniuose su laisvomis ribomis. M.: Nauka, 1990. -536 p.