Grafikų vieta. Pamoka „Tiesinių funkcijų grafikų santykinis išdėstymas“

Medžiagos aprašymas: Siūlau jums matematikos pamokos 7 klasės mokiniams santrauką tema „Tiesinių funkcijų grafikų santykinis išdėstymas“. Ši medžiaga bus naudinga vidurinio lygio matematikos mokytojams. Pamokos metu vyrauja grupinis darbas.

Matematikos pamokos konspektai, 7 kl.

Pamokos tema: Santykinis tiesinių funkcijų grafikų išdėstymas.

Pamokos tipas: pamoka apie naujos temos mokymąsi.

Pamokos tikslas: Tiesinių funkcijų grafikų santykinės padėties sampratos formavimas ir galimybė nustatyti jų santykinę padėtį pagal funkcijų išvaizdą.

Užduotys:

1. Mokomasis: žinių apie tiesinės funkcijos savybes įtvirtinimas, gilinimas ir plėtimas;

2. Vystomasis: gebėjimas apibendrinti, nustatyti priežasties ir pasekmės ryšius, logiškai samprotauti ir daryti išvadas;

3. Ugdomasis: atsakingo požiūrio į mokymąsi, mokinių pasirengimo ir gebėjimų saviugdai bei saviugdos formavimas, grindžiamas mokymosi motyvacija ir žiniomis; bendradarbiavimas su bendraamžiais.

Įranga: kortelės individualiam mokinių darbui, kompiuteris su multimedijos projektoriumi, ekranas.

Pamokos struktūra ir eiga

aš. Apsisprendimas edukacinei veiklai

Kokią rimtą temą pradėjome dirbti ankstesnėse pamokose?

Ko mes išmokome iki šiol?

(Kiekvienas mokinys ant stalo turi įsivertinimo lapą, o kortelėje – individualių užduočių variantą).

Vaikinai, nepamirškite įvertinti savęs skirtinguose pamokos etapuose, o jei turite laisvą minutę, atlikite užduotis individualioje kortelėje.

II. Žinių atnaujinimas ir įrašymo sunkumai.

Klasė suskirstyta į dvi grupes. Pirmoji grupė su mokytoju dirba žodžiu, o kita – naudodama individualias korteles.

Darbas žodžiu.

1 užduotis. Raskite: y(-1), y(0), y(-1,2), jei y=5x+6

2 užduotis. Kuriai argumento reikšmei funkcijos y=3x-4 reikšmė lygi 5?

Užduotis 3. Kurios funkcijos grafikas pavaizduotas paveiksle?

Užduotis 3. Kurioje tiesėje yra funkcijos y=-5x grafikas?

4 užduotis. Ar funkcija didėja ar mažėja?

Nurodykite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę [ -2;1]

Kokiomis x reikšmėmis funkcija įgyja teigiamas (neigiamas) reikšmes?

Pirmosios grupės „mokiniai“ save vertina savikontrolės lape.

Antroji grupė dirba naudodama individualias korteles.

Kortelė 1. Raskite funkcijos y=0,5x+2,75 grafikui priklausantį tašką, kurio abscisės ir ordinatės yra priešingi skaičiai.

2 kortelė. Naudodami formulę apibrėžkite tiesinę funkciją, kurios grafikas eina per pradinę vietą ir tašką M(-2,5, 4). Raskite šio grafiko susikirtimo tašką tiese 3x-2y-16=0.

Mokytojas įvertina rezultatą.

III. Naujos medžiagos mokymasis.

Klasė suskirstyta į 6 grupes. Kiekviena grupė gauna užduotį: sukonstruoti tiesinių funkcijų grafikus vienoje koordinačių sistemoje ir nustatyti grafikų išsidėstymo priklausomybę nuo koeficientų k ir m.

1) y = 2x; y = 2x-4; y=2x+3;

2) y=-3x; y = -3x+2; y = -3x-1;

3) y = 7x-3; y=½·14x-3; y = 7x-1,5,2;

4) y=x+3; y = 2x-1; y = -2x-2;

5) y=2x+3; y=x+3; y=-x+3;

6) y=0,5x+8; y=½ x+8;y=0,5x+3,2:0,4.

Kiekvienos grupės atstovas ateina prie lentos ir paruoštoje iš 6 koordinačių plokštumų nubraižo funkcijų grafikus. Suformuluoja grupės išvestą taisyklę. Vyksta diskusija ir sudaroma gauto modelio lentelė. Darbo įvertinimas šiame etape.

Tiesinės funkcijos y=k1x+m1 y=k2x+m2

IV. Pirminis konsolidavimas.

Sprendimas Nr.10.4(a,b), 10.6(a,b), 10.8(a,b), 10.16(a,b) pagal A.G.Mordkovičiaus vadovėlį.

Užduotis atliekama grupėmis.

Kokiomis parametro a reikšmėmis yra šių funkcijų grafikai:

1) atlikti 1, 2, 3, 6 susikertančias grupes

a) y=2ax+3, y=5x-2;

b) y=(2a-1)x, y=(4a+3)x+2a;

2) lygiagrečiai atlikti 3, 4, 5, 6 grupes

a) y=3ax+5, y=6x-2;

b) y=(3-a)x+1, y=(a-1)x+5;

3) atlikti 1, 2, 4, 5 grupių rungtynes

a) y=2ax+7, y=4x+7;

b) y=(5a-3)x+2a-1, y=2ax+5-4a.

Atlikę darbą mokiniai patikrina atsakymus, ištaiso klaidas, analizuoja jų atsiradimo priežastis. Darbo įvertinimas.

V. Veiklos refleksija pamokoje.

Ko naujo išmokote pamokoje?

Ar mūsų tikslas buvo pasiektas?

Kokios žinios mums buvo naudingos atliekant užduotis klasėje?

Kaip galite įvertinti savo darbą?

Perteikite savo požiūrį į pamoką naudodami „elipsės signalus“. Įvertinkite pasitenkinimo savimi, savo grupe laipsnį ir bendrą atlikto darbo turinį, sudėliodami atitinkamus taškus dešimtbalėje sistemoje ant trijų ašių

V. Namų darbai § 10, Nr.10.2

Kūrybinė užduotis grupėse.

Kur atsiranda linijinis ryšys

a) biologija (1 ir 2 grupės);

b) literatūra (6 ir 3 grupės);

c) fizika (4 ir 5 grupės)?

Literatūra: Algebra. 7 klasė. 2 val. Vadovėlis ir probleminė knyga bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A.G. Mordkovich – 13 leid., pataisyta – M.: Mnemosyne, 2009 m.

Pamokoje naudojami įvairūs mokymo metodai:

Dalinė paieška;

Mėginio patikrinimas;

Dalinis tyrimas;

Iš dalies problemiška.

Todėl manau, kad daugelis gali remtis mano medžiaga kaip savo pamokos pagrindu.

Peržiūrėkite dokumento turinį
„Atviros pamokos algebros 7 klasė tema „Tiesinių funkcijų grafikų santykinis išdėstymas“ santrauka“

PLANAS – PAMOKOS SANTRAUKA

PAMOKOS STRUKTŪRA:

Organizacinis momentas (1 min.).

Pagrindinių žinių atnaujinimas (6 min.)

Temos formulavimas. Mokymosi tikslų nustatymas (1 min.)

Naujos medžiagos mokymasis (15 min.)

Kūno kultūros užsiėmimas (2 min.)

Pirminis konsolidavimas (10 min.)

Atspindys (2 min.)

Namų darbai (1 min.)

Pamokos santrauka (2 min.)

Reikalinga techninė įranga: nešiojamas kompiuteris, multimedijos projektorius, kompiuteriai studentams

Pamokos struktūra ir eiga:

1 programa:

Priedas Nr. 2:

Pamokos tikslas: Šioje pamokoje susipažinsite su įvairiais tiesinių funkcijų grafikų santykinių padėčių atvejais ir išmoksite juos atpažinti.

Kaip galima išdėstyti tiesinių funkcijų grafikus?

Jūs jau žinote, kad tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija.

Kokia galėtų būti dviejų tiesių linijų vieta plokštumoje?

• Jie gali susikirsti, tai yra, turėti vieną bendrą tašką.
• Jie gali būti lygiagrečiai, tai yra, gali neturėti bendrų taškų.
• Jie gali sutapti, tai yra turėti be galo daug bendrų dalykų.

Apibrėžkime kiekvieno iš šių atvejų sąlygas.

Pradėkime nuo paskutinio atvejo: dviejų tiesinių funkcijų grafikai sutampa. Akivaizdu, kad tuo atveju, kai tiesinė funkcija pateikiama lygtimi y = kx + b, akivaizdi šių funkcijų grafikų sutapimo sąlyga bus koeficientų sutapimas k Ir b.

Akivaizdu, kad jei abiejų funkcijų lygtys parašytos tokia forma, nesunku nustatyti jų grafikų sutapimą. Tačiau tuo atveju, kai viena iš funkcijų arba kiekviena funkcija rašoma skirtingai, reikia transformuoti išraiškas.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 pavyzdys.

Pateikiamos trys funkcijos:

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2)
(2) y = 3x 2 – 3(x + 2)(x – 3) – 25
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x(x+ 2)

Sužinokite, kurie iš jų turi tokius pačius tvarkaraščius.

Sprendimas:

1. Pirmiausia išsiaiškinkime kiekvienos funkcijos apibrėžimo apimtį.

Kadangi nė viena funkcija neapima trupmenų su vardikliais, turinčiais kintamąjį, kiekvienos iš jų sritis yra bet koks skaičius.

2. Transformuokime kiekvieną iš funkcijų.

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2) = 2x + 3 – 5x – 10 = –3x –7
(2) y = 3x 2 – 3(x – 2)(x+ 3) – 25 = 3 x 2 – 3 ( x 2 – 2x + 3x – 6) = 3x 2 – 3x 2 – 3x + 18 – 25 = –3x –7
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x(x + 2) = 2x 2 + 3x – 2x 2 – 4x = –x

Dėl transformacijų gavome, kad pirmosios ir antrosios funkcijų išraiškos sutampa. Tai reiškia, kad funkcijų (1) ir (2) grafikai sutampa.

Dabar apsvarstykite tiesinių funkcijų grafikų lygiagretumo situaciją.

Norėdami tai padaryti, pažvelkime į pavyzdį.

2 pavyzdys.

Išsiaiškinkite tiesinių funkcijų grafikų santykinę padėtį y = –2x+ 3 ir y = –2x – 1.

Suraskime keletą taškų, priklausančių šių funkcijų grafikams, poras atitinkamoms argumento reikšmėms ir įveskite šiuos taškus į lentelę:

Matyti, kad kiekviename taške funkcijos reikšmė y = –2x– 1 yra 4 vienetais mažesnė už funkcijos reikšmę y = –2x+ 3. Tai reiškia, kad kiekvienas funkcijos grafiko taškas y = –2x+ 3 su koordinatėmis ( x 0; y 0) atitinka tašką su koordinatėmis ( x 0; y 0– 4) funkcinė grafika y = –2x– 1, tai yra, visa tiesė pasislenka žemyn 4 vienetais. Taigi funkcijos grafikas y = –2x– 1 yra tiesus, lygiagrečiai funkcijų grafikas y = –2x+ 3 (žr. 1 pav.).

Taigi funkcijų grafikų lygiagretumo sąlyga:

y = k 1 x + b 1 Ir y = k 2 x + b 2 yra: k 1 = k 2 Ir b 1 ≠ b 2.

Norėdami išsamiau išnagrinėti linijų lygiagretumo klausimą, dirbkite su vaizdo pamokomis.

"Lygiagrečios tiesės lygtis"

"Lygiagrečios linijos".

Tais atvejais, kai k 1 ≠ k 2 tiesinių funkcijų grafikai y = k 1 x + b 1 Ir y = k 2 x + b 2 nėra lygiagrečios ir nesutampa. Jie susikerta viename taške.

Dabar dirbkite su medžiaga iš elektroninių švietimo išteklių (EER) "" (teorinė medžiaga) ir "" (praktinės užduotys).

Panagrinėkime specialų tiesinių funkcijų grafikų susikirtimo atvejį – jų statmenumą – ir išsiaiškinkime, kokia sąlyga turi būti įvykdyta, kad funkcijų grafikai būtų y = k 1 x + b 1 Ir y = k 2 x + b 2 buvo statmenos.

Linijų statmenumo sąlyga yra šios sąlygos įvykdymas: k 1 ∙ k 2 = –1, tai yra, eilučių kampiniai koeficientai turi būti abipusiai skaičiai su priešingais ženklais.

Atkreipkite dėmesį, kad su šio fakto įrodymu susipažinsite vėliau, 9 klasėje.

Apsvarstykite problemų, susijusių su linijų statmenumu, sprendimo pavyzdžius dirbant su vaizdo pamokų medžiaga.

"Statmenos linijos".

„2 statmenos linijos“.

Problemų sprendimas

Prieš pereidami prie problemų sprendimo, perskaitykite vaizdo įrašus.

"Lygiagrečios linijos 2".

"Lygiagrečios linijos 3".

1 pavyzdys.

Raskite funkcijų grafikų bendrųjų taškų koordinates.

A) y = 2x – 3(x+ 2) ir y = 5x + 6

Sprendimas:

Išsiaiškinkime, kaip išdėstyti funkcijų grafikai. Norėdami tai padaryti, pakeičiame pirmąją funkciją:

y = 2x – 3(x + 2) = 2x – 3x – 6 = –x – 6

Turime funkcijų y = –x– 6 ir y = 5x+ 6. Kadangi šių funkcijų kampiniai koeficientai nėra lygūs skaičiai, funkcijų grafikai susikerta viename taške ( x 0; y 0).

Norint rasti bendrą tašką, reikia rasti tokią skaičių porą ( x 0; y 0), pakeitus pirmąją ir antrąją lygtis, bus gautos teisingos skaitinės lygybės. Arba, samprotaujant kitaip, grafikų ordinatės turi būti vienodos su vienodomis abscisių reikšmėmis.

Tai yra, jums reikia išspręsti lygtį: - x 0 – 6 = 5x 0+ 6, o tada rastą reikšmę pakeiskite viena iš lygčių, kad surastumėte ordinačių reikšmę.

Išspręsdami lygtį, gauname: –12 = 6 x 0 arba –2 = x 0 Tada y 0 = –4. Taigi funkcijų grafikų susikirtimo taško koordinatės y = –x– 6 ir y = 5x+ 6 yra taškas (–2; –4).

Grafinė iliustracija parodyta 2 pav.

b) y = –2x + 3(x– 4) + 8 ir y = 5x – 4(x – 1)

Sprendimas:

Transformuokime šias funkcijas:

y = –2x + 3(x – 4) + 8 = –2x + 3x – 12 + 8 = x – 4
y = 5x – 4(x – 1) = 5x – 4x + 4 = x + 4

Kadangi šių funkcijų kampiniai koeficientai sutampa, o laisvieji koeficientai yra skirtingi, tai funkcijų grafikai bus lygiagretūs, tai yra, grafikai neturi bendrų taškų.

Grafinė iliustracija parodyta 3 paveiksle.

V) y = –2x – 3(x– 1) ir y = –5x + 3

Sprendimas:

Paverskime pirmąją funkciją:

y = –2x – 3(x – 1) = –2x – 3x + 3 = –5x + 3

Šiuo atveju funkcijų lygtys yra vienodos, vadinasi, funkcijų grafikai sutampa. Todėl šie grafikai turi be galo daug bendrų taškų.

2 pavyzdys.

Įrodykite, kad funkcijos (1) grafikas y = 6x + 3(1 – 3x) visada yra virš funkcijos (2) grafiko y = –x – 2(x + 2).

Sprendimas:

Transformuokime šias funkcijas.

Šioje pamokoje prisiminsime viską, ką sužinojome apie tiesines funkcijas ir apsvarstysime įvairius jų grafikų išdėstymo variantus, prisiminsime parametrų savybes ir apsvarstysime jų įtaką funkcijos grafikui.

Tema:Linijinė funkcija

Pamoka:Santykinis tiesinių funkcijų grafikų išdėstymas

Prisiminkite, kad formos funkcija vadinama tiesine:

x - nepriklausomas kintamasis, argumentas;

y – priklausomas kintamasis, funkcija;

k ir m yra kai kurie skaičiai, parametrai, jie vienu metu negali būti lygūs nuliui.

Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija.

Svarbu suprasti parametrų k ir m reikšmę ir ką jie veikia.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Sukurkime šių funkcijų grafikus. Kiekvienas iš jų. Pirmas, antras, trečias. Prisiminkite, kad parametrai k ir m nustatomi iš standartinės tiesinės lygties formos, parametras yra tiesės susikirtimo su y ašimi taško ordinatės. Be to, atkreipkite dėmesį, kad koeficientas yra atsakingas už tiesės polinkio kampą į teigiamą x ašies kryptį, be to, jei jis yra teigiamas, funkcija padidės, o jei neigiama, ji sumažės. Koeficientas vadinamas nuolydžiu.

Antrosios funkcijos lentelė;

Trečiosios funkcijos lentelė;

Akivaizdu, kad visos sudarytos tiesės yra lygiagrečios, nes jų kampiniai koeficientai yra vienodi. Funkcijos skiriasi tik m reikšme.

Padarykime išvadą. Pateikiamos dvi savavališkos tiesinės funkcijos:

Ir

Jei bet tada duotosios tiesės yra lygiagrečios.

Jei ir tada pateiktos linijos sutampa.

Tiesinių funkcijų grafikų santykinės padėties ir jų parametrų savybių tyrimas yra tiesinių lygčių sistemų tyrimo pagrindas. Turime atsiminti, kad jei tiesės lygiagrečios, tai sistema neturės sprendinių, o jei tiesės sutampa, tai sistema turės begalinį sprendinių skaičių.

Apsvarstykime užduotis.

2 pavyzdys - nustatykite parametrų k ir m požymius pagal pateiktą funkcijos grafiką:

Tiesė kerta y ašį savo teigiamu spinduliu, o tai reiškia, kad m turi pliuso ženklą, kampas tarp tiesės ir teigiamos x ašies krypties yra ūminis, funkcija didėja, o tai reiškia, kad k ženklas taip pat yra pliusas.

Tiesė kerta y ašį teigiamu spinduliu, o tai reiškia, kad m turi pliuso ženklą, kampas tarp tiesės ir teigiamos x ašies krypties yra bukas, funkcija mažėja, o tai reiškia, kad k ženklas yra minusas .

Tiesė kerta y ašį neigiamu spinduliu, o tai reiškia, kad m turi minuso ženklą, kampas tarp tiesės ir teigiamos x ašies krypties yra ūminis, funkcija didėja, o tai reiškia, kad k ženklas yra pliusas .

Tiesė kerta y ašį savo neigiamu spinduliu, o tai reiškia, kad m turi minuso ženklą, kampas tarp tiesės ir teigiamos x ašies krypties yra bukas, funkcija mažėja, o tai reiškia, kad k ženklas yra taip pat minusas.

Panagrinėkime atvejį, kai kampiniai koeficientai nėra lygūs. Pažiūrėkime į pavyzdį:

3 pavyzdys – grafiškai raskite linijų susikirtimo tašką:

Abi funkcijos turi grafiką – tiesę.

Pirmosios funkcijos kampinis koeficientas, antroji funkcija, reiškia, kad tiesės nėra lygiagrečios ir nesutampa, vadinasi, jos turi susikirtimo tašką ir unikalų.

Sukurkime lenteles braižymui:

Antrosios funkcijos lentelė;

Akivaizdu, kad linijos susikerta taške (2; 1)

Patikrinkime rezultatą į kiekvieną funkciją pakeisdami gautas koordinates.

§ 1 Abipusis tiesinių funkcijų grafikų išdėstymas

Iš geometrijos kurso žinome, kad 2 tiesės plokštumoje gali sutapti, t.y. turi be galo daug bendrų taškų; susikerta, t.y. turi vieną bendrą tašką arba nesikerta, t.y. neturi vieno bendro taško. Tokios linijos vadinamos lygiagrečiomis.

Tiesinė funkcija yra y = khx + m formos lygybė. Koeficientas k vadinamas nuolydžiu. Jis yra „atsakingas“ už tiesios linijos pasvirimo kampą, palyginti su teigiama x ašies kryptimi. Jei k > 0, tai pasvirimo kampas yra ūminis (kaip 1 pav.), jei k< 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).

Dabar pažiūrėkime į 3 paveikslą. Jame pavaizduotos 2 tiesės, apibrėžtos lygtimis y = k1 + m1 ir y = k2 + m2. Tarkime, k1 = k2. Tai reiškia, kad tiesios linijos pasvirimo kampai yra vienodi. Tai yra atitinkami kampai, o tai reiškia, kad mums pateiktos tiesės yra lygiagrečios pagal lygiagrečių tiesių kriterijų.

Taigi, jei 2 tiesinės funkcijos turi tą patį nuolydį, tada jų grafikai bus lygiagretūs. Jei kampiniai koeficientai nėra lygūs, grafikai susikirs.

Pavyzdžiui, duotos tiesinės funkcijos, apibrėžtos formulėmis y = 2x - 1 ir y = 2x + 3. Kaip jų grafikai išsidėstys plokštumoje vienas kito atžvilgiu? Kadangi pirmosios funkcijos nuolydis k1 = 2, o antrosios funkcijos nuolydis k2 = 2, grafikai bus lygiagretūs.

Arba kita pora: y = x - 3 ir y = 2x + 3. Pirmosios funkcijos koeficientas k1 = 1, o antrosios funkcijos koeficientas k2 = 2. Tai nelygūs koeficientai, todėl šių funkcijų grafikai susikirs. O kokiu atveju tiesios linijos sutaps?

Norėdami atsakyti, pirmiausia turite atsakyti į kitą klausimą: už ką „atsako“ koeficientas m? Pažiūrėkime į paveikslą, kuriame pavaizduoti trijų funkcijų grafikai:

y = x, y = x + 3 ir y = x - 2.

Visos trys funkcijos turi kampinį koeficientą k= 1, t.y. grafikai lygiagretūs. Bet atkreipkite dėmesį: funkcijos y = x grafikas eina per pradžią, čia m = 0. Funkcijos y = x + 3 grafikas gaunamas y = x grafiką paslinkus 3 vienetais aukštyn, kaip parodyta koeficientas m = 3.

Funkcijos y = x - 2 grafikas gaunamas paslinkus grafiką y = x 2 vienetais žemyn, kaip rodo koeficientas m = -2. Kitaip tariant, koeficientas m yra atsakingas už lygiagretų grafiko y = kx vertimą pradžios atžvilgiu m vienetais išilgai y ašies.

Dabar galime atsakyti į pateiktą klausimą. 2 tiesės sutaps, jei jų kampiniai koeficientai yra vienodi, o koeficientas m1 yra lygus koeficientui m2.

§ 2 Trumpa pamokos temos santrauka

Tiesinių funkcijų grafikai vienas kito atžvilgiu plokštumoje gali būti lygiagrečiai, jei kampiniai koeficientai k1 ir k2 yra lygūs, o koeficientai m1 ir m2 skirtingi. Jie gali susikirsti tuo atveju, kai kampiniai koeficientai k1 ir k2 nėra lygūs. Ir jie taip pat gali sutapti, jei kampiniai koeficientai k1 ir k2 yra lygūs, o koeficientai m1 ir m2 taip pat lygūs. Funkcijos y = khx grafikas eina per koordinačių pradžią, nes koeficientas m = 0, o funkcijos y = khx + m grafikas eina per tašką (0; m).

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7 klasė iš 2 dalių, 1 dalis, Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms / A.G. Mordkovičius. – 10 leid., pataisyta – Maskva, „Mnemosyne“, 2007 m
2. Mordkovich A.G., Algebra 7 klasė iš 2 dalių, 2 dalis, Užduočių knygelė ugdymo įstaigoms / [A.G. Mordkovičius ir kiti]; redagavo A.G. Mordkovičius - 10-asis leidimas, pataisytas - Maskva, „Mnemosyne“, 2007 m.
3. JOS. Tulčinskaja, Algebra 7 klasė. „Blitz“ apklausa: vadovas bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams, 4 leidimas, pataisytas ir išplėstas, Maskva, „Mnemosyne“, 2008 m.
4. Aleksandrova L.A., Algebra 7 klasė. Naujos formos teminiai kontroliniai darbai bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams, redagavo A.G. Mordkovičius, Maskva, „Mnemosyne“, 2011 m
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7 klasė. Savarankiški darbai bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams, redagavo A.G. Mordkovičius - 6-asis leidimas, stereotipinis, Maskva, „Mnemosyne“, 2010 m.