Diskretinio atsitiktinio dydžio x pasiskirstymas pateikiamas lentele. Hipergeometrinio skirstinio dėsnis

Apibrėžimas 2.3. Atsitiktinis dydis, žymimas X, vadinamas diskrečiu, jeigu jis įgauna baigtinę arba skaičiuojamą reikšmių rinkinį, t.y. aibė – baigtinė arba skaičiuojama aibė.

Panagrinėkime diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžius.

1. Dvi monetos metamos vieną kartą. Šio eksperimento emblemų skaičius yra atsitiktinis dydis X. Jo galimos reikšmės yra 0,1,2, t.y. – baigtinis rinkinys.

2. Užfiksuojamas greitosios pagalbos iškvietimų skaičius per tam tikrą laikotarpį. Atsitiktinis kintamasis X– skambučių skaičius. Jo galimos reikšmės yra 0, 1, 2, 3, ..., t.y. =(0,1,2,3,...) yra skaičiuojama aibė.

3. Grupėje yra 25 mokiniai. Tam tikrą dieną fiksuojamas į pamoką atėjusių mokinių skaičius – atsitiktinis dydis X. Galimos jo reikšmės: 0, 1, 2, 3, ...,25 t.y. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Nors visi 25 žmonės 3 pavyzdyje negali praleisti pamokų, atsitiktinis kintamasis X gali priimti šią vertę. Tai reiškia, kad atsitiktinio dydžio reikšmės turi skirtingas tikimybes.

Panagrinėkime matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio modelį.

Tegul atliekamas atsitiktinis eksperimentas, atitinkantis baigtinę arba skaičiuojamą elementariųjų įvykių erdvę. Panagrinėkime šios erdvės atvaizdavimą realiųjų skaičių aibėje, t.y. kiekvienam elementariajam įvykiui priskirkime tam tikrą realųjį skaičių , . Skaičių aibė gali būti baigtinė arba skaičiuojama, t.y. arba

Poaibių sistema, apimanti bet kurį poaibį, įskaitant ir vienataškį, sudaro skaitinės aibės ( – baigtinė arba skaičiuojama) -algebrą.

Kadangi bet koks elementarus įvykis yra susijęs su tam tikromis tikimybėmis p i(jei viskas baigtinio), ir , tada kiekviena atsitiktinio dydžio reikšmė gali būti susieta su tam tikra tikimybe p i, toks kad .

Leiskite X yra savavališkas realusis skaičius. Pažymėkime R X (x) tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X paėmė vertę, lygią X, t.y. P X (x) = P (X = x). Tada funkcija R X (x) gali priimti teigiamas reikšmes tik toms vertėms X, kurie priklauso baigtinei arba skaičiuojamai aibei , o visoms kitoms reikšmėms šios vertės tikimybė P X (x) = 0.

Taigi, mes apibrėžėme reikšmių rinkinį -algebra kaip bet kokių poaibių sistemą ir kiekvienam įvykiui ( X = x) palygino tikimybę bet kokiam, t.y. sukonstravo tikimybių erdvę.

Pavyzdžiui, eksperimento, kurį sudaro simetriškos monetos metimas du kartus, elementariųjų įvykių erdvė susideda iš keturių elementarių įvykių: , kur

Kai moneta buvo išmesta du kartus, pasirodė dvi uodegos; monetą išmetus du kartus, nukrito du herbai;

Ant pirmojo monetos metimo iškilo maiša, o antroje – herbas;

Ant pirmojo monetos metimo iškilo herbas, o antroje – maiša.

Tegul atsitiktinis dydis X– grotelių iškritimų skaičius. Jis apibrėžiamas ir jo reikšmių rinkinys . Visi galimi poaibiai, įskaitant ir vienataškius, sudaro algebrą, t.y. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Įvykio tikimybė ( X=x i}, і = 1,2,3, mes jį apibrėžiame kaip įvykio, kuris yra jo prototipas, tikimybę:

Taigi elementariuose įvykiuose ( X = xi) nustatykite skaitinę funkciją R X, Taigi .

Apibrėžimas 2.4. Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra skaičių porų rinkinys (x i, р i), kur x i yra galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, o р i yra tikimybės, su kuriomis jis gauna šias reikšmes, ir .

Paprasčiausias diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio nustatymo būdas yra lentelė, kurioje pateikiamos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir atitinkamos tikimybės:

Tokia lentelė vadinama paskirstymo serija. Kad platinimo serija būtų vizualesnė, ji pavaizduota grafiškai: ašyje Oi taškais x i ir nubrėžkite iš jų ilgio statmenis p i. Gauti taškai sujungiami ir gaunamas daugiakampis, kuris yra viena iš skirstinio dėsnio formų (2.1 pav.).

Taigi, norėdami nurodyti diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį, turite nurodyti jo reikšmes ir atitinkamas tikimybes.

2.2 pavyzdys. Aparato grynųjų pinigų lizdas suveikia kiekvieną kartą, kai su tikimybe įdedama moneta r. Kai jis suveikia, monetos nenukrenta. Leiskite X– monetų, kurias reikia įmesti prieš suveikiant automato grynųjų pinigų lizdą, skaičius. Sukurkite diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo seką X.

Sprendimas. Galimos atsitiktinio dydžio reikšmės X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Raskime šių verčių tikimybes: 1 p– tikimybę, kad pinigų imtuvas veiks pirmą kartą jį nuleidus, ir p 1 = p; 2 p. – tikimybė, kad bus atlikti du bandymai. Tam reikia, kad: 1) pinigų gavėjas neveiktų iš pirmo karto; 2) antruoju bandymu pavyko. Šio įvykio tikimybė yra (1–р)р. Taip pat ir taip toliau, . Paskirstymo diapazonas Xįgaus formą

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybės r k sudaryti geometrinę progresiją su vardikliu: 1–p=q, q<1, todėl šis tikimybių skirstinys vadinamas geometrinis.

Darykime prielaidą, kad buvo sukurtas matematinis modelis eksperimentas, aprašytas diskrečiu atsitiktiniu dydžiu X, ir apsvarstykite galimybę apskaičiuoti savavališkų įvykių tikimybę.

Tegul savavališkame įvykyje yra baigtinis arba skaičiuojamas reikšmių rinkinys x i: A= {x 1, x 2,..., x i, ...) .Įvykis A gali būti pavaizduota kaip nesuderinamų įvykių sąjunga formos: . Tada, naudojant Kolmogorovo aksiomą 3 , gauname

kadangi įvykių pasireiškimo tikimybes nustatėme lygias įvykių, kurie yra jų prototipai, atsiradimo tikimybėms. Tai reiškia, kad bet kokio įvykio tikimybė , , galima apskaičiuoti naudojant formulę, nes šis įvykis gali būti pavaizduotas įvykių sąjungos pavidalu, kur .

Tada paskirstymo funkcija F(x) = Р(–<Х<х) randama pagal formulę. Iš to išplaukia, kad diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X yra nenutrūkstamas ir didėja šuoliais, t. y. tai žingsninė funkcija (2.2 pav.):

Jei aibė baigtinė, tai terminų skaičius formulėje yra baigtinis, o jei skaičiuojama, tai terminų skaičius yra skaičiuojamas.

2.3 pavyzdys. Techninis įrenginys susideda iš dviejų elementų, kurie veikia nepriklausomai vienas nuo kito. Pirmojo elemento gedimo tikimybė per laiką T yra 0,2, o antrojo elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Atsitiktinis kintamasis X– nepavykusių elementų skaičius per laiką T. Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją ir nubraižykite jos grafiką.

Sprendimas. Eksperimento, susidedančio iš dviejų techninio įrenginio elementų patikimumo tyrimo, elementariųjų įvykių erdvę lemia keturi elementarūs įvykiai , , , : – abu elementai veikia; – pirmasis elementas veikia, antrasis sugedęs; – pirmasis elementas sugedęs, antrasis veikia; – abu elementai yra sugedę. Kiekvienas elementarus įvykis gali būti išreikštas elementariais erdvių įvykiais Ir , kur – veikia pirmasis elementas; – sugedo pirmasis elementas; – veikia antrasis elementas; – sugedo antrasis elementas. Tada ir kadangi techninio prietaiso elementai veikia nepriklausomai vienas nuo kito, tada

8. Kokia tikimybė, kad diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui?

Kaip žinoma, atsitiktinis kintamasis vadinamas kintamu dydžiu, kuris, priklausomai nuo atvejo, gali įgyti tam tikras reikšmes. Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis (X, Y, Z), o jų reikšmės – atitinkamomis mažosiomis raidėmis (x, y, z). Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į nenutrūkstamus (diskretuosius) ir tęstinius.

Diskretus atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kuris ima tik baigtinę arba begalinę (skaičiuojamą) reikšmių rinkinį su tam tikromis nulinėmis tikimybėmis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra funkcija, jungianti atsitiktinio dydžio reikšmes su atitinkamomis tikimybėmis. Paskirstymo dėsnį galima nurodyti vienu iš šių būdų.

1 . Paskirstymo dėsnį galima pateikti pagal lentelę:

kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) naudojant pasiskirstymo funkcija F(x) , kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x) = P(X< x).

Funkcijos F(x) savybės

3 . Paskirstymo dėsnį galima nurodyti grafiškai – pasiskirstymo daugiakampis (daugiakampis) (žr. 3 uždavinį).

Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti kai kurias problemas, nebūtina žinoti paskirstymo dėsnio. Kai kuriais atvejais pakanka žinoti vieną ar kelis skaičius, atspindinčius svarbiausias skirstymo dėsnio ypatybes. Tai gali būti skaičius, turintis atsitiktinio dydžio „vidutinę reikšmę“, arba skaičius, rodantis vidutinį atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės vertės dydį.

Tokio tipo skaičiai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis. :

• Pagrindinės skaitinės diskretinio atsitiktinio dydžio charakteristikos Matematinis lūkestis (vidutinė reikšmė) diskretinio atsitiktinio dydžio.
  M(X)=Σ x i p i
• Binominiam skirstiniui M(X)=np, Puasono skirstiniui M(X)=λ Sklaida diskrečiųjų atsitiktinių dydžių D(X)=M2 arba D(X) = M(X 2)− 2
  . Skirtumas X–M(X) vadinamas atsitiktinio dydžio nuokrypiu nuo jo matematinio lūkesčio.
• Dvinominiam skirstiniui D(X)=npq, Puasono skirstiniui D(X)=λ Standartinis nuokrypis (standartinis nuokrypis).

σ(X)=√D(X)

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis“

Buvo išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimės 500 rublių, 10 laimės 100 rublių, 20 laimės 50 rublių, 50 laimės 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X – laimėjimai už bilietą – tikimybių pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas. Atsižvelgiant į problemos sąlygas, galimos šios atsitiktinio dydžio X reikšmės: 0, 10, 50, 100 ir 500.

Bilietų skaičius be laimėjimo yra 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Panašiai randame ir visas kitas tikimybes: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Pateikiame gautą dėsnį lentelės pavidalu:

Raskime matematinę reikšmės X lūkesčius: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3 užduotis.

Prietaisas susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų.

Sprendimas. 1. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė viename eksperimente yra 0,1. Sudarykite vieno eksperimento nepavykusių elementų skaičiaus pasiskirstymo dėsnį, sukonstruokite skirstinio daugiakampį. Raskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Diskretus atsitiktinis kintamasis X = (nepavykusių elementų skaičius viename eksperimente) turi tokias galimas reikšmes: x 1 =0 (nė vienas įrenginio elementas nepavyko), x 2 =1 (vienas elementas nepavyko), x 3 =2 ( du elementai nepavyko ) ir x 4 =3 (trijų elementų nepavyko). Elementų gedimai nepriklauso vienas nuo kito, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra vienoda, todėl taikytina Bernulio formulė
. Atsižvelgiant į tai, kad pagal sąlygą n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, nustatome reikšmių tikimybes:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;

Patikrinkite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Taigi norimas X dvinario skirstinio dėsnis turi tokią formą:

3. Galimas x i reikšmes nubraižome išilgai abscisių ašies, o atitinkamas tikimybes p i išilgai ordinačių ašies. Sukonstruokime taškus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Šiuos taškus sujungę tiesių linijų atkarpomis, gauname norimą skirstymo daugiakampį.

jei x > 3 bus F(x) = 1, nes renginys patikimas.

4. Funkcijos F(x) grafikas
Binominiam skirstiniui X:
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartinis nuokrypis σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Galime išskirti dažniausiai pasitaikančius diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnius:

• Binominio skirstymo dėsnis
• Poisson platinimo dėsnis
• Geometrinio pasiskirstymo dėsnis
• Hipergeometrinio skirstinio dėsnis

Pateiktiems diskrečiųjų atsitiktinių dydžių skirstiniams jų reikšmių tikimybių, taip pat skaitinių charakteristikų (matematinių lūkesčių, dispersijos ir kt.) skaičiavimas atliekamas naudojant tam tikras „formules“. Todėl labai svarbu žinoti šių tipų skirstinius ir jų pagrindines savybes.

1. Binominio skirstinio dėsnis.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui $X$ taikomas dvinario tikimybių skirstymo dėsnis, jei jis įgyja reikšmes $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ su tikimybėmis $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Tiesą sakant, atsitiktinis kintamasis $X$ yra įvykio $A$ atvejų skaičius $n$ nepriklausomuose bandymuose. Atsitiktinio dydžio $X$ tikimybių pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \taškai & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(masyvas)$

Tokio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra $M\left(X\right)=np$, dispersija yra $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Pavyzdys . Šeima augina du vaikus. Darant prielaidą, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės lygi $0,5$, raskite atsitiktinio dydžio $\xi$ – berniukų skaičiaus šeimoje pasiskirstymo dėsnį.

Tegul atsitiktinis dydis $\xi $ yra berniukų skaičius šeimoje. Reikšmės, kurias gali užimti $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Šių reikšmių tikimybes galima rasti naudojant formulę $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kur $n =2$ – nepriklausomų bandymų skaičius, $p=0,5$ – įvykio, kuris įvyks $n$ bandymų serijoje, tikimybė. Mes gauname:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25 $

Tada atsitiktinio dydžio $\xi $ pasiskirstymo dėsnis yra reikšmių $0,\ 1,\ 2$ ir jų tikimybių atitikimas, tai yra:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) ir 0,25 ir 0,5 ir 0,25 \\
\hline
\end(masyvas)$

Pasiskirstymo dėsnio tikimybių suma turi būti lygi $1$, tai yra $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 USD.

Laukimas $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, dispersija $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standartinis nuokrypis $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\apie 0.707 $.

2. Puasono pasiskirstymo dėsnis.

Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti tik neneigiamas sveikųjų skaičių reikšmes $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ su tikimybėmis $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

komentuoti. Šio skirstinio ypatumas yra tas, kad remiantis eksperimentiniais duomenimis randame įverčius $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, jei gauti įverčiai yra arti vienas kito, tai turime priežastis teigti, kad atsitiktiniam dydžiui taikomas Puasono skirstinio įstatymas.

Pavyzdys . Atsitiktinių dydžių, kuriems taikomas Puasono skirstymo įstatymas, pavyzdžiai gali būti: automobilių, kuriuos rytoj aptarnaus degalinė, skaičius; pagamintų gaminių nekokybiškų elementų skaičius.

Pavyzdys . Gamykla į bazę išsiuntė 500 USD produktų. Tikimybė, kad gaminys bus sugadintas gabenant, yra 0,002 USD. Raskite atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį, lygų sugadintų gaminių skaičiui; kas yra $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.

Tegul diskretinis atsitiktinis kintamasis $X$ yra sugadintų gaminių skaičius. Tokiam atsitiktiniam dydžiui taikomas Puasono skirstinio dėsnis su parametru $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Reikšmių tikimybės yra lygios $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(masyvas)$

Tokio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija yra lygūs vienas kitam ir yra lygūs parametrui $\lambda $, tai yra $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ lambda = 1 USD.

3. Geometrinio skirstinio dėsnis.

Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti tik natūralias reikšmes $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ su tikimybėmis $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ dešinėje)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, tada jie sako, kad tokiam atsitiktiniam dydžiui $X$ galioja geometrinis tikimybių skirstinio dėsnis. Tiesą sakant, geometrinis skirstinys yra Bernoulli testas iki pirmosios sėkmės.

Pavyzdys . Atsitiktinių dydžių, turinčių geometrinį pasiskirstymą, pavyzdžiai gali būti: šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį; prietaiso bandymų skaičius iki pirmojo gedimo; monetų metimų skaičius, kol pasirodys pirmoji galvutė ir kt.

Atsitiktinio dydžio, kuriam priklauso geometrinis pasiskirstymas, matematinė prognozė ir dispersija yra atitinkamai lygios $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ 2 USD.

Pavyzdys . Žuvies judėjimo kelyje į neršto vietą yra 4$ užraktas. Tikimybė, kad žuvys praeis pro kiekvieną vartą, yra $p=3/5$. Sukurkite atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo seką – žuvies praplaukusių spynų skaičių prieš pirmąjį sulaikymą prie šliuzo. Raskite $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$.

Tegul atsitiktinis dydis $X$ yra žuvies perleistų spynų skaičius prieš pirmąjį sulaikymą prie šliuzo. Tokiam atsitiktiniam dydžiui galioja geometrinis tikimybių skirstinio dėsnis. Reikšmės, kurias gali gauti atsitiktinis kintamasis $X: $ 1, 2, 3, 4. Šių reikšmių tikimybės apskaičiuojamos naudojant formulę: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kur: $ p=2/5$ - tikimybė, kad žuvis bus sulaikyta per šliuzą, $q=1-p=3/5$ - tikimybė, kad žuvis praeis pro šliuzą, $k=1,\ 2, \ 3, \ 4 USD.

$P\left(X=1\right)=((2)\virš (5))\ctaškas (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ virš (5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24 $;

$P\left(X=3\right)=((2)\virš (5))\ctaškas (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ virš (5))\cdot ((9)\virš (25))=((18)\virš (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\virš (5))\ctaškas (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\virš (5))\dešinėn))^4=((27)\virš (125))=0,216.$

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i ir 1 ir 2 ir 3 ir 4 \\
\hline
P\kairė(X_i\dešinė) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(masyvas)$

Matematiniai lūkesčiai:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Sklaida:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1–2 176\dešinė))^2+0,24\cdot (\kairė(2–2176\dešinė))^2+0,144\cdot (\kairė(3–2176\dešinė))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2176\right))^2\apie 1.377.$

Standartinis nuokrypis:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\apytiksliai 1173.$

4. Hipergeometrinio skirstinio dėsnis.

Jei $N$ objektai, tarp kurių $m$ objektai turi nurodytą savybę. $n$ objektai yra atsitiktinai nuskaitomi be grąžinimo, tarp kurių buvo $k$ objektų, turinčių nurodytą savybę. Hipergeometrinis skirstinys leidžia įvertinti tikimybę, kad imtyje esantys objektai tiksliai $k$ turi tam tikrą savybę. Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra objektų imtyje, turinčių tam tikrą savybę, skaičius. Tada atsitiktinio dydžio $X$ reikšmių tikimybės:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

komentuoti. Excel $f_x$ funkcijos vedlio statistinė funkcija HYPERGEOMET leidžia nustatyti tikimybę, kad tam tikras skaičius testų bus sėkmingas.

$f_x\to$ statistiniai$\iki $ HIPERGEOMETA$\iki $ Gerai. Pasirodys dialogo langas, kurį turėsite užpildyti. Stulpelyje Sėkmių_pavyzdyje_skaičius nurodykite reikšmę $k$. mėginio_dydis lygus $n$. Stulpelyje Sėkmės_kartu_skaičius nurodykite reikšmę $m$. populiacijos_dydis lygus $N$.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ matematinė prognozė ir dispersija, kuriai taikomas geometrinio skirstymo dėsnis, yra atitinkamai lygios $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Pavyzdys . Banko kredito skyriuje dirba 5 aukštąjį finansinį išsilavinimą turintys ir 3 aukštąjį teisinį išsilavinimą turintys specialistai. Banko vadovybė nusprendė siųsti 3 specialistus kvalifikacijos kėlimui, juos atrinkdama atsitiktine tvarka.

a) sudaryti aukštąjį finansinį išsilavinimą turinčių specialistų, kuriuos galima siųsti tobulinti savo įgūdžius, paskirstymo seriją;

b) Raskite šio skirstinio skaitines charakteristikas.

Tegul atsitiktinis dydis $X$ yra aukštąjį finansinį išsilavinimą turinčių specialistų skaičius tarp trijų pasirinktų. Reikšmės, kurias gali užimti $X: 0,\1,\2,\3$. Šis atsitiktinis dydis $X$ yra paskirstytas pagal hipergeometrinį pasiskirstymą su šiais parametrais: $N=8$ – populiacijos dydis, $m=5$ – sėkmingų populiacijos skaičius, $n=3$ – imties dydis, $ k=0,\ 1, \2,\3$ – sėkmingų imties skaičius. Tada tikimybes $P\left(X=k\right)$ galima apskaičiuoti naudojant formulę: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ virš C_( N)^(n) ) $. Turime:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\apytiksliai 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\virš (56))\apytiksliai 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\virš (28))\apytiksliai 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\apytiksliai 0,179.$

Tada atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo eilutė:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i ir 0 ir 1 ir 2 ir 3 \\
\hline
p_i ir 0,018 ir 0,268 ir 0,536 ir 0,179 \\
\hline
\end(masyvas)$

Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio $X$ skaitines charakteristikas naudodami bendras hipergeometrinio skirstinio formules.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\kairė(X\dešinė)=((nm\kairė(1-((m)\virš (N))\dešinė)\kairė(1-((n)\virš (N))\dešinė)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\dešinė))\virš (8-1))=((225)\virš (448))\apytiksliai 0,502 $

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\apytiksliai 0,7085.$

1 apibrėžimas

Atsitiktinis kintamasis $X$ vadinamas diskrečiu (nepertraukiamu), jei jo reikšmių rinkinys yra begalinis arba baigtinis, bet skaičiuojamas.

Kitaip tariant, dydis vadinamas diskrečiu, jei jo reikšmes galima sunumeruoti.

Atsitiktinis dydis gali būti apibūdintas naudojant pasiskirstymo dėsnį.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, kurios pirmoje eilutėje nurodomos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės didėjančia tvarka, o antroje eilutėje yra atitinkamos jų tikimybės. vertės:

1 pav.

kur $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Ši lentelė yra netoli diskretinio atsitiktinio dydžio skirstinio.

Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių aibė yra begalinė, tai eilutė $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ susilieja ir jos suma bus lygi $1$.

Grafiškai galima pavaizduoti diskretiškojo atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį, kuriam (stačiakampėje) koordinačių sistemoje sukonstruojama trūkinė linija, kuri nuosekliai jungia taškus su koordinatėmis $(xi;pi), i=1,2, . .. n$. Linija, kurią gavome, vadinama paskirstymo daugiakampis.

2 pav.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį taip pat galima pavaizduoti analitiškai (naudojant formulę):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Operacijos su diskrečiomis tikimybėmis

Sprendžiant daugelį tikimybių teorijos uždavinių, reikia atlikti operacijas, kai diskrečiųjį atsitiktinį dydį dauginant iš konstantos, sudedant du atsitiktinius dydžius, padauginant, pakeičiant laipsniu. Tokiais atvejais būtina laikytis šių atsitiktinių atskirų kiekių taisyklių:

3 apibrėžimas

Daugyba Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ konstanta $K$ yra diskrečiųjų atsitiktinių dydžių $Y=KX,$, kuris nustatomas pagal lygybes: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

4 apibrėžimas

Iškviečiami du atsitiktiniai dydžiai $x$ ir $y$ nepriklausomas, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes įgijo antrasis dydis.

5 apibrėžimas

Suma du nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami atsitiktiniu dydžiu $Z=X+Y,$ nustatomas lygybėmis: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

6 apibrėžimas

Daugyba du nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami atsitiktiniu dydžiu $Z=XY,$ nustatoma pagal lygybes: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Atsižvelkime į tai, kad kai kurie produktai $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ gali būti lygūs vienas kitam. Šiuo atveju sandaugos pridėjimo tikimybė yra lygi atitinkamų tikimybių sumai.

Pavyzdžiui, jei $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $, tikimybė $x_2y_3$ (arba to paties $x_5y_7$) bus lygi $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Tai, kas išdėstyta pirmiau, taip pat taikoma sumai. Jei $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, tada $x_1+\ y_2$ (arba to paties $x_4+\ y_6$) tikimybė bus lygi $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Atsitiktinius dydžius $X$ ir $Y$ nurodo skirstymo dėsniai:

3 pav.

Kur $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Tada sumos $X+Y$ pasiskirstymo dėsnis turės formą

4 pav.

Ir produkto $XY$ pasiskirstymo dėsnis turės formą

5 pav.

Paskirstymo funkcija

Išsamų atsitiktinio dydžio aprašymą taip pat pateikia pasiskirstymo funkcija.

Geometriškai pasiskirstymo funkcija paaiškinama kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgaus reikšmę, kurią skaičių eilutėje vaizduoja taškas, esantis kairėje nuo taško $x$.

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Atsitiktiniai kintamieji“.

Užduotis 1 . Į loteriją išleista 100 bilietų. Ištrauktas vienas 50 USD laimėjimas. ir dešimt laimėjimų po 10 USD. Raskite reikšmės X pasiskirstymo dėsnį – galimų laimėjimų kainą.

Sprendimas. Galimos X reikšmės: x 1 = 0; x 2 = 10 ir x 3 = 50. Kadangi „tušti“ bilietai yra 89, tai p 1 = 0,89, tikimybė laimėti 10 USD. (10 bilietų) – p 2 = 0,10 ir laimėti 50 USD -p 3 = 0,01. Taigi:

Lengva valdyti: .

Užduotis 2. Tikimybė, kad pirkėjas iš anksto perskaitė prekės reklamą, yra 0,6 (p=0,6). Atrankinė reklamos kokybės kontrolė atliekama apklausiant pirkėjus prieš pirmąjį iš anksto išstudijuotąjį reklamą. Sudarykite apklaustų pirkėjų skaičiaus paskirstymo eilutę.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas p = 0,6. Nuo: q=1 -p = 0,4. Pakeitę šias reikšmes, gauname: ir sudaryti paskirstymo seriją:

Užduotis 3. Kompiuteris susideda iš trijų savarankiškai veikiančių elementų: sisteminio bloko, monitoriaus ir klaviatūros. Padidėjus įtampai vieną kartą, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Remdamiesi Bernulio paskirstymu, parenkite sugedusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį per tinklo galios viršįtampią.

Sprendimas. Pasvarstykime Bernulli paskirstymas(arba binominis): tikimybė, kad n testus, įvykis A pasirodys tiksliai k vieną kartą: , arba:

IN Grįžkime prie užduoties.

Galimos X reikšmės (gedimų skaičius):

x 0 =0 – nė vienas elementas nepavyko;

x 1 =1 – vieno elemento gedimas;

x 2 =2 – dviejų elementų gedimas;

x 3 =3 – visų elementų gedimas.

Kadangi pagal sąlygą p = 0,1, tai q = 1 – p = 0,9. Naudodami Bernulio formulę gauname

, ,

, .

Valdymas:.

Todėl reikalingas platinimo įstatymas:

4 problema. Pagaminta 5000 šovinių. Tikimybė, kad viena kasetė yra sugedusi . Kokia tikimybė, kad visoje partijoje bus lygiai 3 sugedusios kasetės?

Sprendimas. Taikoma Puasono pasiskirstymas: Šis skirstinys naudojamas norint nustatyti tikimybę, kad labai didelė

bandymų (masių testų) skaičius, kiekviename iš kurių įvykio A tikimybė yra labai maža, įvykis A įvyks k kartų: , Kur.

Čia n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Randame , tada norimą tikimybę: .

5 problema. Šaudant iki pirmo smūgio su pataikymo tikimybe p = 0,6 šaudant, reikia rasti tikimybę, kad pataikymas įvyks trečiuoju šūviu.

Sprendimas. Taikykime geometrinį skirstinį: atliksime nepriklausomus bandymus, kurių kiekviename įvykyje A yra tikimybė, kad įvyks p (o neįvyks q = 1 – p). Testas baigiasi, kai tik įvyksta įvykis A.

Tokiomis sąlygomis tikimybė, kad įvykis A įvyks k-tajame bandyme, nustatoma pagal formulę: . Čia p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Todėl .

6 problema. Pateikiame atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį:

Raskite matematinį lūkestį.

Sprendimas. .

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė.

7 problema. Raskite atsitiktinio dydžio X dispersiją pagal šį skirstymo dėsnį:

Sprendimas. Čia .

X vertės kvadrato paskirstymo dėsnis 2 :

Būtinas nuokrypis: .

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio nuokrypio (dispersijos) matą nuo jo matematinio lūkesčio.

8 problema. Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas skirstiniu:

Raskite jo skaitines charakteristikas.

Sprendimas: m, m 2 ,

M 2 , m.

Apie atsitiktinį dydį X galime pasakyti: jo matematinė lūkestis yra 6,4 m, o dispersija 13,04 m 2 , arba – jo matematinė prognozė yra 6,4 m su m nuokrypiu. Antroji formuluotė akivaizdžiai aiškesnė.

Užduotis 9. Atsitiktinis kintamasis X pateikta paskirstymo funkcija:
.

Raskite tikimybę, kad atlikus testą reikšmė X įgis intervale esančią reikšmę .

Sprendimas. Tikimybė, kad X paims reikšmę iš tam tikro intervalo, lygi integralinės funkcijos prieaugiui šiame intervale, t.y. . Mūsų atveju ir todėl

.

Užduotis 10. Diskretus atsitiktinis dydis X paskirstymo įstatymas:

Raskite paskirstymo funkciją F(x ) ir nubrėžkite jį.

Sprendimas. Kadangi paskirstymo funkcija,

Už , Tai

adresu ;

adresu ;

adresu ;

adresu ;

Atitinkama diagrama:

11 problema. Nuolatinis atsitiktinis dydis X pateikiama pagal diferencinio paskirstymo funkciją: .

Raskite pataikymo tikimybę X per intervalą

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad tai yra ypatingas eksponentinės paskirstymo įstatymo atvejis.

Naudokime formulę: .

Užduotis 12. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas, nurodytas skirstymo dėsniu: