Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudojant trapecijos metodą?

Pirma, bendra formulė. Galbūt ne visiems iš karto bus aišku... taip, Karlssonas su jumis - praktiniai pavyzdžiai viską paaiškins! Ramiai. Tik ramybė.

Panagrinėkime apibrėžtąjį integralą , kur yra intervalo ištisinė funkcija. Padalinkime segmentą į lygus segmentai:
. Šiuo atveju akivaizdu: (apatinė integracijos riba) ir (viršutinė integracijos riba). Taškai taip pat vadinamas mazgai.

Tada galima apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą pagal trapecijos formulę:
, Kur:
– kiekvieno mažo segmento ilgis arba žingsnis;
– integrando reikšmės taškuose .

1 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami trapecijos formulę. Rezultatus suapvalinkite iki trijų skaičių po kablelio.

a) Integracijos segmento padalijimas į 3 dalis.
b) Integracijos segmento padalijimas į 5 dalis.

Sprendimas:
a) Ypač manekenams pirmą punktą susiejau su piešiniu, kuriame aiškiai parodytas metodo principas. Jei sunku, komentuodami pažiūrėkite į piešinį, štai dalis jo:

Pagal sąlygą integracinis segmentas turi būti padalintas į 3 dalis, t.
Apskaičiuokime kiekvieno skaidinio segmento ilgį: . Parametras, primenu, taip pat vadinamas žingsnis.

Kiek taškų (skirstinių mazgų) bus? bus dar vienas nei segmentų skaičius:

Taigi bendra trapecijos formulė sumažinama iki malonaus dydžio:

Skaičiavimams galite naudoti įprastą mikroskaičiuotuvą:

Atkreipkite dėmesį, pagal uždavinio sąlygas visi skaičiavimai turi būti suapvalinti iki 3 dešimtųjų.

Galiausiai:

Leiskite jums priminti, kad gauta vertė yra apytikslė ploto vertė (žr. paveikslėlį aukščiau).

b) Integravimo atkarpą padalinkime į 5 lygias dalis, t. Kodėl tai būtina? Kad „Phobos-Grunt“ nenukristų į vandenyną, padidindami segmentų skaičių, padidiname skaičiavimų tikslumą.

Jei , tada trapecijos formos formulė yra tokia:

Raskime skaidinio veiksmą:
, tai yra, kiekvieno tarpinio segmento ilgis yra 0,6.

Baigiant užduotį patogu visus skaičiavimus įforminti naudojant skaičiavimo lentelę:

Pirmoje eilutėje rašome „skaitiklis“

Manau, visi gali pamatyti, kaip susidaro antroji eilutė - pirmiausia užrašome apatinę integracijos ribą, likusios reikšmės gaunamos paeiliui pridedant žingsnį.

Manau, beveik visi suprato principą, pagal kurį užpildoma apatinė eilutė. Pavyzdžiui, jei , tada . Kaip sakoma, skaičiuok, netingėk.

Kaip rezultatas:

Na, išaiškinimas tikrai yra ir rimtas!
Jei 3 skirsnių segmentams, tai 5 segmentams. Taigi, bent jau su dideliu pasitikėjimu galime teigti.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami trapecijos formulę dviejų skaitmenų po kablelio tikslumu (iki 0,01).

Sprendimas: Beveik ta pati užduotis, bet šiek tiek kitokia formuluotė. Esminis skirtumas nuo 1 pavyzdžio yra tas, kad mes mes nežinome, KIEK segmentų turėtume padalinti integravimo segmentą, kad gautume du teisingus skaitmenis po kablelio? Kitaip tariant, mes nežinome reikšmės.

Yra speciali formulė, leidžianti nustatyti pertvarų segmentų skaičių, kad būtų garantuotas reikiamas tikslumas, tačiau praktikoje ją dažnai sunku pritaikyti. Todėl naudinga naudoti supaprastintą metodą.

Pirma, integracijos segmentas yra padalintas į keletą didelių segmentų, dažniausiai 2-3-4-5. Padalinkime, pavyzdžiui, integracijos segmentą į tas pačias 5 dalis. Formulė jau žinoma:

Ir žingsnis, žinoma, taip pat žinomas:

Tačiau kyla kitas klausimas: iki kokio skaitmens turėtų būti suapvalinti rezultatai? Sąlyga nieko nesako apie tai, kiek skaičių po kablelio reikia palikti. Bendra rekomendacija yra tokia: reikia pridėti 2-3 skaitmenis iki reikiamo tikslumo. Šiuo atveju reikalingas tikslumas yra 0,01. Pagal rekomendaciją po kablelio paliksime penkis ženklus po kablelio (galėjo būti ir keturi):

Kaip rezultatas:

Po pirminio rezultato – segmentų skaičius dvigubai. Tokiu atveju reikia padalyti į 10 segmentų. O kai segmentų daugėja, ateina šviesi mintis, kad kažkaip pavargau baksnoti pirštais į mikroskaičiuotuvą. Todėl dar kartą siūlau parsisiųsti ir pasinaudoti mano pusiau automatine skaičiuokle (nuoroda pamokos pradžioje).

Trapecijos formos formulė yra tokia:

Popierinėje versijoje įrašą galima saugiai perkelti į kitą eilutę.

Apskaičiuokime skaidinio žingsnį:

Apibendrinkime skaičiavimo rezultatus lentelėje:


Pabaigus sąsiuvinį, ilgą stalą pravartu paversti dviaukštiu.

Integralų skaičiavimas modeliuojant pasitaiko gana dažnai. Skaitiniai metodai dažniausiai naudojami imant neintegruojamus integralus iš gana sudėtingų funkcijų, kurios anksčiau buvo pateiktos lentelėse, arba integruojant lentelių funkcijas, o tai daug dažniau naudojama ekonominėse programose.

Skaitmeninės integracijos koncepcija.

Visi skaitiniai metodai pagrįsti tuo, kad integralas apytiksliai pakeičiamas paprastesniu (horizontali arba pasvirusi tiesė, 2-os, 3-osios ar aukštesnės eilės parabolė), iš kurio integralas lengvai paimamas. Dėl to integravimo formulės, vadinamos kvadratūra, gaunamos kaip svertinė integrando ordinačių suma atskiruose taškuose:

Kuo mažesniais intervalais atliekamas pakeitimas, tuo tiksliau apskaičiuojamas integralas. Todėl, siekiant pagerinti tikslumą, pradinis segmentas [a, b] yra padalintas į kelis vienodus arba nelygius intervalus, kiekviename iš kurių taikoma integravimo formulė, o tada pridedami rezultatai.

Daugeliu atvejų skaitinės integracijos paklaida nustatoma dvigubu integravimu: su pradiniu žingsniu (žingsnis nustatomas tolygiai padalijus atkarpą b-a iš atkarpų skaičiaus n\h=(b-a)/n)u su žingsniu padidintu 2 kartus. Integralų apskaičiuotų verčių skirtumas lemia paklaidą.

Įvairių metodų efektyvumo palyginimas atliekamas pagal daugianario laipsnį, kuris šiuo metodu integruojamas tiksliai, be klaidų. Kuo didesnis tokio daugianario laipsnis, tuo didesnis metodo tikslumas, tuo jis efektyvesnis.

Paprasčiausi metodai apima metodus stačiakampiai(kairėje ir dešinėje) ir trapecijos formos. Pirmuoju atveju integrandas pakeičiamas horizontalia tiese (y = c0) su ordinatės reikšme, t.y. funkcijos reikšmės yra atitinkamai sekcijos kairėje arba dešinėje, antruoju atveju - pasvirusi tiesi linija (y = c 1 x + c 0). Integravimo formulės, skirtos segmento [a, b] padalijimui į n dalių su vienodu žingsniu h, yra atitinkamai tokios formos:

Vienai integracijos sekcijai:

Už n integracijos sritys:

Nesunku pastebėti, kad stačiakampio metodu integralas gali būti apskaičiuojamas visiškai tiksliai tik tada, jei f(x) = Su(const), o trapecijos metodu - su f(x) linijinis arba dalinis tiesinis.

Fig. Palyginimui, 4 paveiksle pateikti stačiakampių su skirtingu sekcijų skaičiumi pavyzdžiai. Aiškiai matyti, kad visų stačiakampių plotas dešinėje figūroje mažiau skiriasi nuo ploto po kreive f(x), nei kairėje.

Ryžiai. 4. Kairiojo stačiakampio metodo iliustracija:

A- su 3 integravimo segmento skaidinio sekcijomis [a, b];

b- su 6 integravimo segmento skaidinio sekcijomis [a, b]

Stačiakampio metodas nerandamas praktinio pritaikymo dėl didelių klaidų, o tai taip pat matyti iš Fig. 4.

Fig. 5 paveiksle parodytas integralo apskaičiavimo trapecijos metodu pavyzdys. Palyginti su stačiakampio metodu, trapecijos metodas yra tikslesnis, nes trapecija pakeičia atitinkamą išlenktą trapeciją tiksliau nei stačiakampis. 5 pav.

Klaida R Integralo apskaičiavimas trapecijos metodu naudojant dvigubą skaičiavimą praktikoje gali būti nustatytas pagal tokį ryšį:

Kur aš n Ir I p/2- atitinkamai integralo reikšmė su skaidinių skaičiumi n Ir p/2. Taip pat yra analitinių išraiškų, skirtų klaidai nustatyti, tačiau jos reikalauja žinių apie antrąjį integrando išvestinį, todėl turi tik teorinę reikšmę. Naudojant dvigubą skaičiavimą, galima organizuoti automatinį integravimo žingsnio (t.y. skaidinių skaičiaus n) pasirinkimą, kad būtų užtikrinta duota integravimo klaida (nuoseklus žingsnio padvigubinimas ir klaidos valdymas).

Naudodami kairiojo stačiakampio metodą gauname:

Mes gauname naudodami tinkamą stačiakampio metodą:

Trapecijos metodu gauname:

Edukacinės užduotys:

• Didaktinis tikslas. Supažindinti mokinius su apytiksliai apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodais.
• Švietimo tikslas. Šios pamokos tema turi didelę praktinę ir edukacinę reikšmę. Paprasčiausias būdas priartėti prie skaitmeninės integracijos idėjos yra pasikliauti apibrėžtojo integralo apibrėžimu kaip integralinių sumų riba. Pavyzdžiui, jei paimsime bet kurią pakankamai mažą segmento [ a; b] ir sudaryti jam integralo sumą, tada jos reikšmę galima apytiksliai paimti kaip atitinkamo integralo reikšmę. Tuo pačiu metu svarbu greitai ir teisingai atlikti skaičiavimus naudojant kompiuterines technologijas.

Pagrindinės žinios ir įgūdžiai. Suprasti apytikslius apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodus naudojant stačiakampių ir trapecijos formules.

Kursų teikimas

• Dalomoji medžiaga. Kortelės-užduotys savarankiškam darbui.
• PSO. Multiprojektorius, PC, nešiojamieji kompiuteriai.
• PSO įranga. Pranešimai: „Išvestinių geometrinė reikšmė“, „Stačiakampių metodas“, „Trapecijos metodas“. (Pristatymus galite gauti iš autoriaus).
• Skaičiavimo įranga: PC, mikroskaičiuotuvai.
• Metodinės rekomendacijos

Pamokos tipas. Integruotas praktinis.

Mokinių pažintinės veiklos motyvavimas. Labai dažnai reikia skaičiuoti apibrėžtuosius integralus, kuriems neįmanoma rasti antidarinės. Šiuo atveju naudojami apytiksliai apibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodai. Kartais apytikslis metodas naudojamas ir „paimtiems“ integralams, jei skaičiavimas naudojant Niutono-Leibnizo formulę nėra racionalus. Apytikslio integralo skaičiavimo idėja yra ta, kad kreivė pakeičiama nauja kreive, kuri yra pakankamai „arti“ jos. Priklausomai nuo naujos kreivės pasirinkimo, gali būti naudojama vienokia ar kitokia apytikslė integravimo formulė.

Pamokos seka.

1. Stačiakampio formulė.
2. Trapecijos formulė.
3. Pratimų sprendimas.

Pamokos planas

1. Mokinių pagrindinių žinių kartojimas.

Pakartokite su mokiniais: pagrindinės integravimo formulės, tiriamų integravimo metodų esmė, geometrinė apibrėžtojo integralo reikšmė.

1. Dirba praktinius darbus.

Daugelio techninių problemų sprendimas yra susijęs su tam tikrų integralų skaičiavimu, kurių tiksli išraiška yra sudėtinga, reikalauja ilgų skaičiavimų ir ne visada pagrįsta praktikoje. Čia jų apytikslė vertė yra gana pakankama.

Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti plotą, apribotą tiesės, kurios lygtis nežinoma. Tokiu atveju šią eilutę galite pakeisti paprastesne, kurios lygtis yra žinoma. Tokiu būdu gautas kreivinės trapecijos plotas imamas kaip apytikslė norimo integralo vertė.

Paprasčiausias apytikslis metodas yra stačiakampis. Geometriškai apibrėžtojo integralo apskaičiavimo naudojant stačiakampio formulę metodo idėja yra ta, kad kreivinės trapecijos plotas ABCD pakeičiamas stačiakampių plotų suma, kurių viena kraštinė lygi , o kita - .

Susumavus stačiakampių plotus, parodančius lenktos trapecijos plotą su trūkumu [1 pav.], gauname formulę:

[1 pav.]

tada gauname formulę:

Jei perteklius

[2 pav.],

Tai

Vertybės y 0, y 1,..., y n rasti iš lygybių , k = 0, 1..., n.Šios formulės vadinamos stačiakampio formulės ir pateikti apytikslį rezultatą. Su padidėjimu n rezultatas tampa tikslesnis.

Taigi, norint rasti apytikslę integralo vertę, jums reikia:

Norėdami rasti skaičiavimo klaidą, turite naudoti formules:

1 pavyzdys. Apskaičiuokite naudodami stačiakampio formulę. Raskite absoliučią ir santykinę skaičiavimų paklaidas.

Padalinkime segmentą [ a, b] į kelias (pavyzdžiui, 6) lygias dalis. Tada a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

Pagal (1) formulę:

Norint apskaičiuoti santykinę skaičiavimų paklaidą, reikia rasti tikslią integralo reikšmę:

Skaičiavimai užtruko ilgai ir baigėsi gana grubus apvalinimas. Norėdami apskaičiuoti šį integralą su mažesniu aproksimavimu, galite naudoti kompiuterio technines galimybes.

Norėdami rasti apibrėžtą integralą naudodami stačiakampio metodą, turite įvesti integrando reikšmes f(x)į „Excel“ darbalapį diapazone X su duotu žingsniu X= 0,1.

1. Duomenų lentelės sudarymas (X Ir f(x)). X f(x). Argumentas, o langelyje B1 – žodis Funkcija2 2,1 ). Tada, pasirinkę langelių bloką A2:A3, naudodami automatinį užpildymą, gauname visas argumento reikšmes (nutempiame apatinį dešinįjį bloko kampą į langelį A32, iki vertės x=5).
2. Toliau įvedame integrando reikšmes. B2 langelyje turite užrašyti jo lygtį. Norėdami tai padaryti, perkelkite lentelės žymeklį į langelį B2 ir klaviatūra įveskite formulę =A2^2(su anglų kalbos klaviatūros išdėstymu). Paspauskite klavišą Įeikite. Ląstelėje pasirodo B2 4 . Dabar reikia nukopijuoti funkciją iš langelio B2.
   Naudodami automatinį pildymą, nukopijuokite šią formulę į diapazoną B2:B32.
3. Rezultatas turėtų būti duomenų lentelė integralui rasti. = 0,1*, Dabar langelyje B33 galima rasti apytikslę integralo reikšmę. Norėdami tai padaryti, įveskite formulę langelyje B33 tada iškvieskite funkcijų vedlį (įrankių juostoje spustelėdami mygtuką Įterpti funkciją (f(x)). (f(x)) Pasirodžiusiame dialogo lange Funkcijų vedlys – 1 veiksmas iš 2, kairėje lauko Kategorija pusėje pasirinkite Matematinė. Dešinėje Funkcijų lauke yra funkcija Sum. 37,955 ) .

Paspauskite mygtuką 39 Gerai.

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Pasirodo dialogo langas Sumos. Naudodami pelę į darbo lauką įveskite sumavimo diapazoną B2:B31. Paspauskite mygtuką B33 langelyje apytikslė ieškomo integralo reikšmė atsiranda su trūkumu ( X = 0,05.

Palyginus gautą apytikslę reikšmę su tikrąja integralo ( ), matyti, kad stačiakampio metodo aproksimacinė paklaida šiuo atveju yra lygi

2 pavyzdys.

Naudodami stačiakampio metodą, apskaičiuokite nurodytu žingsniu

Palyginus gautą apytikslę reikšmę su tikrąja integralo reikšme , matome, kad stačiakampio metodo aproksimacinė paklaida šiuo atveju yra lygi X = 0,1.

1. Trapecijos metodas paprastai suteikia tikslesnę integralo reikšmę nei stačiakampis metodas. Kreivoji trapecija pakeičiama kelių trapecijų suma ir apytikslė apibrėžtojo integralo reikšmė randama kaip trapecijos plotų suma
2. Duomenų lentelės sudarymas (X Ir f(x)).[3 pav.] X, o antrasis su atitinkamais rodikliais f(x). Norėdami tai padaryti, įveskite žodį langelyje A1 Argumentas, o langelyje B1 – žodis Funkcija. Pirmoji argumento reikšmė įvedama į langelį A2 - kairiąją diapazono sieną ( 0 ). Antroji argumento reikšmė įvedama į langelį A3 - kairioji diapazono riba ir konstravimo žingsnis ( 0,1 ). Tada pasirinkę langelių bloką A2:A3, naudodami automatinį užpildymą, gauname visas argumento reikšmes (nutempiame apatinį dešinįjį bloko kampą į langelį A33, iki vertės x=3,1).
3. Toliau įvedame integrando reikšmes. B2 langelyje reikia užrašyti jos lygtį (sinuso pavyzdyje). Norėdami tai padaryti, lentelės žymeklį reikia įdėti į langelį B2. Čia turėtų būti sinuso reikšmė, atitinkanti argumento reikšmę langelyje A2. Norėdami gauti sinuso reikšmę, naudosime specialią funkciją: įrankių juostoje spustelėkite mygtuką Įterpti funkciją f(x). Pasirodžiusiame dialogo lange Funkcijų vedlys – 1 veiksmas iš 2, kairėje lauko Kategorija pusėje pasirinkite Matematinė. Dešinėje Funkcijų lauke - funkcija NUODĖ (f(x)). Paspauskite mygtuką Dešinėje Funkcijų lauke - funkcija Pasirodo dialogo langas . Užvesdami pelės žymeklį ant pilko lango lauko, nuspaudę kairįjį mygtuką, perkelkite lauką į dešinę, kad atidarytumėte duomenų stulpelį ( A (f(x))). Sinuso argumento reikšmę nurodome spustelėdami langelį A2. Paspauskite mygtuką
4. B2 langelyje pasirodo 0. Dabar reikia nukopijuoti funkciją iš langelio B2. Naudodami automatinį pildymą, nukopijuokite šią formulę į diapazoną B2:B33. Rezultatas turėtų būti duomenų lentelė integralui rasti. Dabar langelyje B34 apytikslę integralo reikšmę galima rasti naudojant trapecijos metodą. Norėdami tai padaryti, įveskite formulę langelyje B34= 0,1*((B2+B33)/2+, Norėdami tai padaryti, įveskite formulę langelyje B33 tada iškvieskite funkcijų vedlį (įrankių juostoje spustelėdami mygtuką Įterpti funkciją (f(x)). Pasirodžiusiame dialogo lange Funkcijų vedlys – 1 veiksmas iš 2, kairėje lauko Kategorija pusėje pasirinkite Matematinė. Dešinėje Funkcijų lauke yra funkcija Sum. Paspauskite mygtuką Pasirodo dialogo langas Sumos. Į darbo lauką pele įveskite sumavimo diapazoną B3:B32. Paspauskite mygtuką Gerai (f(x)) ir vėl 1,997 ) .

Langelyje B34 apytikslė norimo integralo reikšmė atsiranda su trūkumu (

1. Palyginus gautą apytikslę reikšmę su tikrąja integralo reikšme, matyti, kad stačiakampio metodo aproksimacijos paklaida šiuo atveju yra gana priimtina praktikai.

Pratimų sprendimas.
Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą

Skaitiniai metodai yra gana didelė aukštosios matematikos dalis, o rimtuose vadovėliuose šia tema yra šimtai puslapių. Praktikoje bandomuosiuose darbuose kai kurias problemas tradiciškai siūloma išspręsti skaitiniais metodais, o viena iš dažniausiai pasitaikančių problemų yra apytikslis skaičiavimas. apibrėžtieji integralai. Šiame straipsnyje apžvelgsiu du apytiksliai apibrėžtojo integralo skaičiavimo būdus - trapecijos metodas Ir Simpsono metodas.

Ką reikia žinoti norint įvaldyti šiuos metodus? Galbūt tai skamba juokingai, bet jūs negalite priimti integralų. Ir net nesupranti, kas yra integralai. Iš techninių priemonių jums reikės mikroskaičiuotuvo. Taip, taip, mūsų laukia įprasti mokykliniai skaičiavimai. Dar geriau, atsisiųskite mano pusiau automatinį trapecijos metodo ir Simpsono metodo skaičiuotuvą. Skaičiuoklė parašyta „Excel“ programa ir sutrumpins užduočių sprendimo ir užbaigimo laiką dešimtimis kartų. „Excel“ manekenams pridedamas vaizdo įrašo vadovas! Beje, pirmasis vaizdo įrašas su mano balsu.

Pirmiausia paklauskime savęs, kam iš viso reikalingi apytiksliai skaičiavimai? Atrodo, kad galite rasti funkcijos antidarinį ir naudoti Niutono-Leibnizo formulę, apskaičiuodami tikslią apibrėžtojo integralo reikšmę. Norėdami atsakyti į klausimą, iš karto pažvelkime į demonstracinį pavyzdį su paveikslėliu.

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Viskas būtų gerai, bet šiame pavyzdyje integralas nėra paimtas - priešais jus yra nepaimtas integralas, vadinamasis. integralinis logaritmas. Ar šis integralas išvis egzistuoja? Brėžinyje pavaizduokime integrando funkcijos grafiką:

Viskas gerai. Atkarpoje integralas yra ištisinis, o apibrėžtasis integralas yra skaitiniu požiūriu lygus užtemdytam plotui. Yra tik viena klaida: integralo paimti negalima. Ir tokiais atvejais gelbsti skaitmeniniai metodai. Šiuo atveju problema iškyla dviem formuluotėmis:

1) Apytiksliai apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą , apvalinant rezultatą iki tam tikros dešimtosios dalies. Pavyzdžiui, iki dviejų skaitmenų po kablelio, iki trijų skaičių po kablelio ir pan. Tarkime, kad apytikslis atsakymas yra 5,347. Tiesą sakant, tai gali būti ne visai teisinga (tikrybėje, tarkime, tikslesnis atsakymas yra 5,343). Mūsų užduotis yra tik tai suapvalinti rezultatą iki trijų skaičių po kablelio.

2) Apytiksliai apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą, su tam tikru tikslumu. Pavyzdžiui, apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą 0,001 tikslumu. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad turime rasti apytikslę reikšmę modulo (vienaip ar kitaip) skiriasi nuo tiesos ne daugiau kaip 0,001.

Yra keli pagrindiniai metodai, kaip apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, kuris atsiranda problemose:

Integravimo segmentas yra padalintas į kelias dalis ir sukonstruota laiptuota figūra, kuri savo plotu yra artima norimam plotui:

Griežtai nevertinkite pagal brėžinius, tikslumas nėra idealus – jie tik padeda suprasti metodų esmę.

Idėja panaši. Integravimo segmentas yra padalintas į keletą tarpinių segmentų, o integravimo ir funkcijos metodų grafikas nutrūkusi linija eilutė:

Taigi mūsų plotas (mėlynas atspalvis) yra apytikslis trapecijos (raudona) plotų suma. Taigi metodo pavadinimas. Nesunku pastebėti, kad trapecijos metodas suteikia daug geresnį aproksimaciją nei stačiakampio metodas (su tuo pačiu skaičiumi skaidinių segmentų). Ir, žinoma, kuo daugiau mažesnių tarpinių segmentų atsižvelgsime, tuo didesnis bus tikslumas. Praktinėse užduotyse retkarčiais aptinkamas trapecijos metodas, o šiame straipsnyje bus aptariami keli pavyzdžiai.

Simpsono metodas (parabolės metodas). Tai pažangesnis metodas – integrando grafikas aproksimuojamas ne laužta linija, o mažomis parabolėmis. Mažų parabolių yra tiek, kiek tarpinių segmentų. Jei imsime tuos pačius tris segmentus, tai Simpsono metodas duos dar tikslesnį aproksimaciją nei stačiakampio metodas arba trapecijos metodas.

Nematau prasmės kurti brėžinį, nes vizualinis aproksimacija bus uždėta ant funkcijos grafiko (ankstesnės pastraipos laužyta linija - ir net tada ji beveik sutapo).

Apibrėžtinio integralo apskaičiavimo naudojant Simpsono formulę problema yra pati populiariausia užduotis praktikoje. O parabolės metodui bus skiriamas didelis dėmesys.

Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudojant trapecijos metodą?

Pirma, bendra formulė. Galbūt ne visiems iš karto bus aišku... taip, Karlssonas su jumis - praktiniai pavyzdžiai viską paaiškins! Ramiai. Tik ramybė.

Panagrinėkime apibrėžtąjį integralą , kur yra intervalo ištisinė funkcija. Padalinkime segmentą į lygus segmentai:
. Šiuo atveju akivaizdu: (apatinė integracijos riba) ir (viršutinė integracijos riba). Taškai taip pat vadinamas mazgai.

Tada galima apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą pagal trapecijos formulę:
, Kur:
žingsnis;
– integrando reikšmės taškuose .

1 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami trapecijos formulę. Rezultatus suapvalinkite iki trijų skaičių po kablelio.

a) Integracijos segmento padalijimas į 3 dalis.
b) Integracijos segmento padalijimas į 5 dalis.

Sprendimas:
a) Ypač manekenams pirmą punktą susiejau su piešiniu, kuriame aiškiai parodytas metodo principas. Jei sunku, komentuodami pažiūrėkite į piešinį, štai dalis jo:

Pagal sąlygą integracinis segmentas turi būti padalintas į 3 dalis, t.
Apskaičiuokime kiekvieno skaidinio segmento ilgį: . Parametras, primenu, taip pat vadinamas žingsnis.

Kiek taškų (skirstinių mazgų) bus? bus dar vienas nei segmentų skaičius:

Na, o bendroji trapecijos formulė sumažinama iki malonaus dydžio:

Skaičiavimams galite naudoti įprastą mikroskaičiuotuvą:

Atkreipkite dėmesį, pagal uždavinio sąlygas visi skaičiavimai turi būti suapvalinti iki 3 dešimtųjų.

Galiausiai:

Geometriniu požiūriu apskaičiavome trijų trapecijų plotų sumą (žr. paveikslėlį aukščiau).

b) Integravimo atkarpą padalinkime į 5 lygias dalis, t. Kodėl tai būtina? Kad „Phobos-Grunt“ nenukristų į vandenyną, padidindami segmentų skaičių, padidiname skaičiavimų tikslumą.

Jei , tada trapecijos formos formulė yra tokia:

Raskime skaidinio veiksmą:
, tai yra, kiekvieno tarpinio segmento ilgis yra 0,6.

Baigiant užduotį patogu visus skaičiavimus įforminti naudojant skaičiavimo lentelę:

Pirmoje eilutėje rašome „skaitiklis“

Manau, visi gali pamatyti, kaip susidaro antroji eilutė - pirmiausia užrašome apatinę integracijos ribą, likusios reikšmės gaunamos paeiliui pridedant žingsnį.

Manau, beveik visi suprato principą, pagal kurį užpildoma apatinė eilutė. Pavyzdžiui, jei , tada . Kaip sakoma, skaičiuok, netingėk.

Kaip rezultatas:

Na, išaiškinimas tikrai yra ir rimtas! Jei 3 skaidinio segmentų apytikslė vertė buvo, tada 5 segmentams . Taigi, bent jau su dideliu pasitikėjimu galime teigti.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami trapecijos formulę dviejų skaitmenų po kablelio tikslumu (iki 0,01).

Sprendimas: Beveik ta pati užduotis, bet šiek tiek kitokia formuluotė. Esminis skirtumas nuo 1 pavyzdžio yra tas, kad mes mes nežinome, KIEK segmentų turėtume padalinti integravimo segmentą, kad gautume du teisingus skaitmenis po kablelio? Kitaip tariant, mes nežinome reikšmės.

Yra speciali formulė, leidžianti nustatyti pertvarų segmentų skaičių, kad būtų garantuotas reikiamas tikslumas, tačiau praktikoje ją dažnai sunku pritaikyti. Todėl naudinga naudoti supaprastintą metodą.

Pirma, integracijos segmentas yra padalintas į keletą didelių segmentų, dažniausiai 2-3-4-5. Padalinkime, pavyzdžiui, integracijos segmentą į tas pačias 5 dalis. Formulė jau žinoma:

Ir žingsnis, žinoma, taip pat žinomas:

Tačiau kyla kitas klausimas: iki kokio skaitmens turėtų būti suapvalinti rezultatai? Sąlyga nieko nesako apie tai, kiek skaičių po kablelio reikia palikti. Bendra rekomendacija yra tokia: reikia pridėti 2-3 skaitmenis iki reikiamo tikslumo. Šiuo atveju reikalingas tikslumas yra 0,01. Pagal rekomendaciją po kablelio paliksime penkis ženklus po kablelio (galėjo būti ir keturi):

Kaip rezultatas:
, aproksimaciją pažymėkime .

Po pirminio rezultato – segmentų skaičius dvigubai. Tokiu atveju reikia padalyti į 10 segmentų. O kai segmentų daugėja, ateina šviesi mintis, kad kažkaip pavargau baksnoti pirštais į mikroskaičiuotuvą. Todėl dar kartą siūlau parsisiųsti ir pasinaudoti mano pusiau automatine skaičiuokle (nuoroda pamokos pradžioje).

Trapecijos formos formulė yra tokia:

Popierinėje versijoje įrašą galima saugiai perkelti į kitą eilutę.

Apskaičiuokime skaidinio žingsnį:

Apibendrinkime skaičiavimo rezultatus lentelėje:


Pabaigus į sąsiuvinį, pravartu ilgą stalą paversti dviejų aukštų stalu.

Kaip rezultatas:

Dabar apskaičiuokime aproksimacijų neatitikimą:

Čia mes naudojame modulio ženklą, nes mus domina absoliutus skirtumas, o ne kuris rezultatas didesnis, o kuris mažesnis.

Kalbant apie tolesnius veiksmus, aš asmeniškai praktikoje susidūriau su 2 sprendimais:

1) Pirmasis metodas yra „palyginimas tiesiai“. Nuo gauto paklaidos įvertinimo daugiau nei reikalaujamas tikslumas: , tada reikia dar kartą padvigubinti skaidinio segmentų skaičių iki ir apskaičiuoti . Naudodami „Excel“ skaičiuotuvą, per kelias sekundes galite gauti galutinį rezultatą: . Dabar dar kartą įvertiname klaidą: . Gautas balas mažiau nei reikalaujamas tikslumas: , todėl skaičiavimai baigti. Belieka paskutinį (tiksliausią) rezultatą suapvalinti iki dviejų skaičių po kablelio ir pateikti atsakymą.

2) Kitas, veiksmingesnis metodas pagrįstas vadinamųjų naudojimu Runge taisyklės, pagal kurią klystame vertindami apibrėžtąjį integralą ne daugiau kaip . Mūsų problema: taigi, nereikia skaičiuoti. Tačiau sprendimo greitis šiuo atveju kainavo tikslumą: . Nepaisant to, šis rezultatas yra priimtinas, nes mūsų „klaidos riba“ yra lygiai šimtoji dalis.

Ką rinktis? Sutelkite dėmesį į savo mokymo metodą arba mokytojo pageidavimus.

Atsakymas: tikslumas 0,01 (naudojant Runge taisyklę).

3 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami trapecijos formulę 0,001 tikslumu.

Čia vėl integralus integralas (beveik integralus kosinusas). Mėginio tirpale pirmasis žingsnis yra padalintas į 4 segmentus, tai yra. Visas sprendimas ir apytikslis galutinio dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudojant Simpsono formulę?

Jei šiame puslapyje ieškojote tik Simpsono metodo, primygtinai rekomenduoju pirmiausia perskaityti pamokos pradžią ir pažvelgti bent į pirmąjį pavyzdį. Dėl to, kad daugelis idėjų ir metodų bus panašūs į trapecijos metodą.

Vėlgi, pradėkime nuo bendros formulės
Panagrinėkime apibrėžtąjį integralą , kur yra intervalo ištisinė funkcija. Padalinkime segmentą į net kiekis lygus segmentai. Lyginis segmentų skaičius žymimas .

Praktiškai segmentai gali būti:
du:
keturi:
aštuoni:
dešimt:
dvidešimt:
Kitų variantų nepamenu.

Dėmesio! Skaičius suprantamas kaip VIENAS SKAIČIUS. tai yra TAI DRAUDŽIAMA sumažinti, pavyzdžiui, dviem, gauti . Įrašas tik reiškia, kad segmentų skaičius net. O apie jokius sumažinimus nėra kalbos

Taigi, mūsų skaidinys atrodo taip:

Terminai yra panašūs į trapecijos metodo terminus:
Taškai vadinami mazgai.

Simpsono formulė apytiksliai apibrėžiamajam integralui apskaičiuoti yra tokia forma:
, Kur:
– kiekvieno mažo segmento ilgis arba žingsnis;
– integrando reikšmės taškuose .

Detalizuodamas šią krūvą, išsamiau išanalizuosiu formulę:
– pirmosios ir paskutinės integrando reikšmių suma;
– terminų suma su net indeksai dauginami iš 2;
– terminų suma su nelyginis indeksai dauginami iš 4.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami Simpsono formulę 0,001 tikslumu. Pradėkite dalyti dviem segmentais

Integralas, beje, vėl netirpus.

Sprendimas: Iš karto atkreipiu jūsų dėmesį į užduoties tipą – būtina apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą su tam tikru tikslumu. Ką tai reiškia, jau buvo komentuota straipsnio pradžioje, taip pat naudojant konkrečius pavyzdžius ankstesnėje pastraipoje. Kaip ir naudojant trapecijos metodą, yra formulė, kuri iš karto leis nustatyti reikiamą segmentų skaičių („en“ reikšmę), kad būtų užtikrintas reikiamas tikslumas. Tiesa, teks rasti ketvirtą išvestinę ir išspręsti ekstremalią problemą. Tie, kurie suprato, ką turiu omenyje ir įvertino darbo kiekį, šypsojosi. Tačiau tai ne juokas, suradus ketvirtą tokios integrando funkcijos darinį, nebebus mega vėpla, o klinikinis psichopatas. Todėl praktikoje beveik visada naudojamas supaprastintas klaidų įvertinimo metodas.

Pradėkime spręsti. Jei turime du skaidinio segmentus, tada bus mazgų dar vienas: . Ir Simpsono formulė yra labai kompaktiška:

Apskaičiuokime skaidinio žingsnį:

Užpildykime skaičiavimo lentelę:

Leiskite dar kartą pakomentuoti, kaip pildoma lentelė:

Viršutinėje eilutėje rašome indeksų „skaitiklį“.

Antroje eilutėje pirmiausia įrašome apatinę integracijos ribą, o tada iš eilės pridedame žingsnį.

Trečioje eilutėje įvedame integrando reikšmes. Pavyzdžiui, jei , tada . Kiek skaičių po kablelio turėčiau palikti? Iš tiesų, sąlyga vėl nieko apie tai nesako. Principas toks pat kaip ir trapecijos metodu, žiūrime į reikiamą tikslumą: 0,001. Ir pridėkite papildomus 2–3 skaitmenis. Tai reiškia, kad reikia suapvalinti iki 5–6 skaitmenų po kablelio.

Kaip rezultatas:

Gautas pirminis rezultatas. Dabar dvigubai segmentų skaičius iki keturių: . Simpsono formulė šiam skaidiniui yra tokia:

Apskaičiuokime skaidinio žingsnį:

Užpildykime skaičiavimo lentelę:


Taigi:

Raskime absoliučią skirtumo tarp aproksimacijų vertę:

Runge'o taisyklė Simpsono metodui yra labai skani. Jei naudojant Vidutinio stačiakampio metodas o trapecijos metodui mums suteikiama trečdalis „atlaidumo“, o dabar – net penkioliktoji:
, o tikslumas čia daugiau nenukenčia:

Bet kad vaizdas būtų užbaigtas, pateiksiu ir „paprastą“ sprendimą, kur reikia žengti papildomą žingsnį: kadangi reikia didesnio tikslumo: , tada vėl reikia padvigubinti segmentų skaičių: .

Simpsono formulė auga šuoliais:

Apskaičiuokime žingsnį:

Ir dar kartą užpildykite skaičiavimo lentelę:

Taigi:

Atkreipkite dėmesį, kad čia patartina išsamiau apibūdinti skaičiavimus, nes Simpsono formulė yra gana sudėtinga, o jei tuoj pat trenksite:
, tada šis gėrimas atrodys kaip įsilaužimo darbas. O su detalesniu užrašu, mokytojas susidarys gerą įspūdį, kad gerą valandą sąžiningai ištrynėte mikroskaičiuoklės klavišus. Išsamūs „sunkių“ atvejų skaičiavimai pateikiami mano skaičiuoklėje.

Mes įvertiname klaidą:

Klaida yra mažesnė už reikalaujamą tikslumą: . Belieka paimti tiksliausią aproksimaciją, suapvalinti iki trijų skaičių po kablelio ir parašyti:

Atsakymas: tikslumu 0,001

5 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami Simpsono formulę 0,0001 tikslumu. Pradėkite dalyti dviem segmentais

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Apytikslis galutinio dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Paskutinėje pamokos dalyje apžvelgsime dar kelis įprastus pavyzdžius.

6 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę naudojant Simpsono formulę, padalijant integravimo segmentą į 10 dalių. Skaičiavimai turi būti atliekami trečiosios dešimtosios dalies tikslumu.

Šiandien susipažinsime su kitu skaitmeninės integracijos metodu – trapecijos metodu. Su jo pagalba mes apskaičiuosime apibrėžtuosius integralus tam tikru tikslumu. Straipsnyje apibūdinsime trapecijos metodo esmę, išanalizuosime, kaip išvedama formulė, palyginsime trapecijos metodą su stačiakampiu, užrašysime metodo absoliučiosios paklaidos įvertį. Kiekvieną skyrių iliustruosime pavyzdžiais, kad geriau suprastume medžiagą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tarkime, kad reikia apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ∫ a b f (x) d x , kurio integrandas y = f (x) yra tolydis intervale [ a ; b ]. Norėdami tai padaryti, padalinkite atkarpą [a; b ] į kelis vienodus h ilgio intervalus, kurių taškai a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Raskime skaidinio žingsnį: h = b - a n. Iš lygybės x i = a + i · h, i = 0, 1, nustatykime mazgus. . . , n.

Elementariosiose atkarpose nagrinėjame integrando funkciją x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . , n.

Kadangi n didėja be galo, visus atvejus sumažiname iki keturių paprasčiausių variantų:

Pasirinkime atkarpas x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n. Pakeiskime funkciją y = f (x) kiekviename iš grafikų tiesia atkarpa, kuri eina per taškus, kurių koordinatės x i - 1 ; f x i - 1 ir x i ; f x i . Pažymėkime juos mėlyna spalva paveikslėliuose.

Paimkime išraišką f (x i - 1) + f (x i) 2 · h kaip apytikslę integralo ∫ x i - 1 x i f (x) d x reikšmę. Tie. imkime ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Pažiūrėkime, kodėl mūsų tiriamas skaitmeninės integracijos metodas vadinamas trapecijos metodu. Norėdami tai padaryti, turime išsiaiškinti, ką geometriniu požiūriu reiškia parašyta apytikslė lygybė.

Norint apskaičiuoti trapecijos plotą, jos pagrindų pusę sumos reikia padauginti iš jos aukščio. Pirmuoju atveju išlenktos trapecijos plotas yra maždaug lygus trapecijos, kurios pagrindai f (x i - 1), f (x i) aukštis h. Ketvirtajame iš mūsų nagrinėjamų atvejų pateiktas integralas ∫ x i - 1 x f (x) d x yra maždaug lygus trapecijos plotui su bazėmis - f (x i - 1), - f (x i) ir aukščiu. h, kuri turi būti paimta su „-“ ženklu. Norint apskaičiuoti apytikslę apibrėžtojo integralo ∫ x i - 1 x i f (x) d x reikšmę antruoju ir trečiuoju nagrinėjamu atveju, reikia rasti skirtumą raudonos ir mėlynos srities plotuose, kuriuos pažymėjome išsiritęs paveikslėlyje žemiau.

Apibendrinkime. Trapecijos metodo esmė yra tokia: apibrėžtąjį integralą ∫ a b f (x) d x galime pavaizduoti kaip ∫ x i - 1 x i f (x) d x formos integralų sumą kiekviename elementariame segmente ir vėlesniame apytikriame pakeitime ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Trapecijos metodo formulė

Prisiminkime penktąją apibrėžtojo integralo savybę: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Norint gauti trapecijos metodo formulę, vietoj integralų ∫ x i - 1 x i f (x) d x reikia pakeisti jų apytiksles reikšmes: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (. x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

1 apibrėžimas

Trapecijos metodo formulė:∫ x i – 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n – 1 f (x i) + f (x n)

Trapecijos metodo absoliučios paklaidos įvertinimas

Įvertinkime absoliučią trapecijos metodo paklaidą taip:

2 apibrėžimas

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Grafinė trapecijos metodo iliustracija parodyta paveikslėlyje:

Skaičiavimo pavyzdžiai

Pažvelkime į trapecijos metodo panaudojimo apytiksliai apibrėžtųjų integralų skaičiavimui pavyzdžius. Ypatingą dėmesį skirsime dviejų tipų užduotims:

• apibrėžtojo integralo apskaičiavimas trapecijos metodu tam tikram atkarpos n skaidinio skaičiui;
• apytikslės apibrėžtojo integralo reikšmės radimas nurodytu tikslumu.

Esant tam tikram n, visi tarpiniai skaičiavimai turi būti atlikti pakankamai tiksliai. Skaičiavimų tikslumas turėtų būti didesnis, kuo didesnis n.

Jei apskaičiuojant tam tikrą integralą turime nurodytą tikslumą, visi tarpiniai skaičiavimai turi būti atliekami dviem ar daugiau dydžių kategorijų tiksliau. Pavyzdžiui, jei tikslumas nustatytas 0,01, tada atliekame tarpinius skaičiavimus 0,0001 arba 0,00001 tikslumu. Esant dideliam n, tarpiniai skaičiavimai turi būti atliekami dar didesniu tikslumu.

Pažvelkime į aukščiau pateiktą taisyklę su pavyzdžiu. Norėdami tai padaryti, palyginkite apibrėžtojo integralo reikšmes, apskaičiuotas naudojant Niutono-Leibnizo formulę ir gautas naudojant trapecijos metodą.

Taigi, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

1 pavyzdys

Naudodami trapecijos metodą, apskaičiuojame apibrėžtąjį integralą ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x, jei n lygus 10.

Sprendimas

Trapecijos metodo formulė yra ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Norint pritaikyti formulę, reikia apskaičiuoti žingsnį h pagal formulę h = b - a n, nustatyti mazgus x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, apskaičiuokite integrando funkcijos reikšmes f (x) = 7 x 2 + 1.

Atskyrimo žingsnis apskaičiuojamas taip: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5. Norint apskaičiuoti integrandą mazguose x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n imsime keturis skaitmenis po kablelio:

i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0, 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5, 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

Įveskime skaičiavimo rezultatus į lentelę:

Pakeiskime gautas reikšmes į trapecijos metodo formulę: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5,6 + 3,5 + 2,1538 + 1,4 + 0,9655 + 0,7 + 0,5283 + 0,4117 + 0,3294 + 0,2692 = 9,6117

Palyginkime savo rezultatus su rezultatais, apskaičiuotais pagal Niutono-Leibnizo formulę. Gautos reikšmės sutampa su šimtosiomis dalimis.

Atsakymas:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

2 pavyzdys

Naudodami trapecijos metodą, apskaičiuojame apibrėžtojo integralo reikšmę ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x 0,01 tikslumu.

Sprendimas

Pagal uždavinio sąlygą a = 1; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δn ≤ 0,01.

Raskime n, kuris lygus integravimo atkarpos skaidymo taškų skaičiui, naudodamiesi absoliučios paklaidos nelygybe δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Tai padarysime taip: rasime n reikšmes, kurioms nelygybė m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01. Atsižvelgiant į n, trapecijos formulė duos mums apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę tam tikru tikslumu.

Pirmiausia suraskime didžiausią funkcijos antrosios išvestinės modulio reikšmę intervale [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Antroji išvestinė funkcija yra kvadratinė parabolė f "" (x) = x 2 . Iš jo savybių žinome, kad jis yra teigiamas ir didėja intervale [1; 2]. Šiuo atžvilgiu m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Pateiktame pavyzdyje m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) pasirodė gana paprasta. Sudėtingais atvejais skaičiavimams atlikti galite naudoti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Apsvarstę šį pavyzdį, pateiksime alternatyvų metodą m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Gautą reikšmę pakeisime nelygybe m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01

4 (2–1) 3 12 n 2 ≤ 0,01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5,7735

Elementariųjų intervalų, į kuriuos padalyta integravimo atkarpa n, skaičius yra natūralusis skaičius. Skaičiavimo elgsenai imame n lygų šešiems. Ši n reikšmė leis pasiekti nurodytą trapecijos metodo tikslumą atliekant minimalius skaičiavimus.

Apskaičiuokime žingsnį: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Raskime mazgus x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , mes nustatome integrando reikšmes šiuose mazguose:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1,9833

Skaičiavimo rezultatus rašome lentelės pavidalu:

Gautus rezultatus pakeiskime trapecijos formule:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0,5266 + 0,6911 + 0,9052 + 1,1819 + 1,5359 + 1,9833 ≈ 1,0054

Norėdami palyginti, apskaičiuojame pradinį integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Kaip matote, mes pasiekėme gautą skaičiavimo tikslumą.

Atsakymas: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1,0054

Sudėtingos formos integrandams ne visada lengva rasti skaičių n iš nelygybės absoliučiai paklaidai įvertinti. Tokiu atveju bus tinkamas toks metodas.

Apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę, gautą naudojant trapecijos metodą n mazgams, pažymėkime kaip I n. Pasirinkime savavališką skaičių n. Naudodami trapecijos metodo formulę, apskaičiuojame pradinį vieno (n = 10) ir dvigubo (n = 20) mazgų skaičiaus integralą ir randame skirtumo tarp dviejų gautų apytikslių verčių absoliučią vertę I 20 - aš 10.

Jei absoliuti skirtumo tarp dviejų gautų apytikslių verčių vertė yra mažesnė už reikalaujamą tikslumą I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Jei absoliuti skirtumo tarp dviejų gautų apytikslių verčių vertė yra didesnė už reikalaujamą tikslumą, būtina pakartoti veiksmus su dvigubu mazgų skaičiumi (n = 40).

Šis metodas reikalauja daug skaičiavimų, todėl norint sutaupyti laiko, protinga naudoti kompiuterines technologijas.

Išspręskime problemą naudodami aukščiau pateiktą algoritmą. Taupydami laiką praleisime tarpinius skaičiavimus naudojant trapecijos metodą.

3 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ∫ 0 2 x e x d x trapecijos metodu 0,001 tikslumu.

Sprendimas

Paimkime n lygų 10 ir 20. Naudodami trapecijos formulę, gauname I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, todėl reikia atlikti tolesnius skaičiavimus.

Paimkime n lygų 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, todėl taip pat reikia tęsti skaičiavimus.

Paimkime n lygų 80: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8, 3901585 - 8, 3934656 = 0, 0033071 > 0, 001, todėl reikia dar kartą padvigubinti mazgų skaičių.

Paimkime n lygų 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8,3893317 - 8,3901585 = 0,0008268< 0 , 001

Apytikslę pradinio integralo reikšmę galima gauti suapvalinus I 160 = 8, 3893317 iki tūkstantųjų dalių: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

Palyginimui apskaičiuokime pradinį apibrėžtąjį integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Reikalingas tikslumas pasiektas.

Atsakymas: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Klaidos

Tarpiniai skaičiavimai apibrėžtojo integralo reikšmei nustatyti dažniausiai atliekami apytiksliai. Tai reiškia, kad n didėjant, pradeda kauptis skaičiavimo paklaida.

Palyginkime trapecijos metodo ir vidutinio stačiakampio metodo absoliučių paklaidų įverčius:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Stačiakampio metodas duotam n su tokiu pačiu skaičiavimo darbo kiekiu suteikia pusę paklaidos. Dėl to metodas yra tinkamesnis tais atvejais, kai yra žinomos funkcijos reikšmės elementariųjų segmentų viduriniuose segmentuose.

Tais atvejais, kai integruojamos funkcijos nurodytos ne analitiškai, o kaip reikšmių rinkinys mazguose, galime naudoti trapecijos metodą.

Jei palyginsime trapecijos metodo ir dešiniojo ir kairiojo stačiakampio metodo tikslumą, tada pirmasis metodas yra pranašesnis už antrąjį rezultato tikslumu.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter