Apsvarstykite šias lygtis:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Kiekviena iš aukščiau pateiktų lygčių yra lygtis su dviem kintamaisiais. Taškų aibė koordinačių plokštumoje, kurių koordinatės paverčia lygtį teisinga skaitine lygybe, vadinama lygties grafikas dviejuose nežinomuosiuose.

Lygties brėžimas dviem kintamaisiais

Lygtys su dviem kintamaisiais turi daugybę grafikų. Pavyzdžiui, lygties 2*x + 3*y = 15 grafikas bus tiesė, lygties x 2 + y 2 = 4 grafikas bus apskritimas, kurio spindulys 2, lygties y* grafikas. x = 1 bus hiperbolė ir kt.

Ištisos lygtys su dviem kintamaisiais taip pat turi tokią sąvoką kaip laipsnis. Šis laipsnis nustatomas taip pat, kaip ir visai lygčiai su vienu kintamuoju. Norėdami tai padaryti, perkelkite lygtį į formą, kurioje kairioji pusė yra standartinės formos daugianario, o dešinė - nulis. Tai daroma lygiaverčių transformacijų būdu.

Grafinis lygčių sistemų sprendimo metodas

Išsiaiškinkime, kaip išspręsti lygčių sistemas, kurias sudarys dvi lygtys su dviem kintamaisiais. Panagrinėkime grafinį tokių sistemų sprendimo būdą.

1 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą:

(x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Sukurkime pirmosios ir antrosios lygčių grafikus toje pačioje koordinačių sistemoje. Pirmosios lygties grafikas bus apskritimas, kurio centras yra pradžioje ir spindulys 5. Antrosios lygties grafikas bus parabolė su šakomis žemyn.

Visi grafiko taškai atitiks savo lygtį. Turime rasti taškus, kurie patenkintų ir pirmąją, ir antrąją lygtis. Akivaizdu, kad tai bus taškai, kuriuose šie du grafikai susikerta.

Naudodamiesi savo piešiniu, randame apytiksles koordinačių, kuriose šie taškai susikerta, reikšmes. Gauname tokius rezultatus:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Tai reiškia, kad mūsų lygčių sistemoje yra keturi sprendiniai.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4, y4 ≈ -3.

Jei šias reikšmes pakeisime į mūsų sistemos lygtis, pamatysime, kad pirmasis ir trečiasis sprendiniai yra apytiksliai, o antrasis ir ketvirtasis yra tikslūs. Grafinis metodas dažnai naudojamas šaknų skaičiui ir apytikslėms jų riboms įvertinti. Sprendimai dažnai būna apytiksliai, o ne tikslūs.

Pradinis lygis

Lygčių, nelygybių, sistemų sprendimas naudojant funkcijų grafikus. Vaizdinis vadovas (2019 m.)

Daugelis užduočių, kurias esame įpratę skaičiuoti grynai algebriškai, gali būti išspręstos daug lengviau ir greičiau naudojant funkcijų grafikus. Jūs sakote "kaip taip?" ką nors nupiešti, o ką piešti? Patikėkite, kartais taip patogiau ir lengviau. Ar pradėsime? Pradėkime nuo lygčių!

Grafinis lygčių sprendimas

Grafinis tiesinių lygčių sprendimas

Kaip jau žinote, tiesinės lygties grafikas yra tiesi linija, taigi ir šio tipo pavadinimas. Tiesines lygtis gana lengva išspręsti algebriškai – visus nežinomuosius perkeliame į vieną lygties pusę, viską, ką žinome, į kitą ir voila! Radome šaknį. Dabar aš jums parodysiu, kaip tai padaryti grafiškai.

Taigi jūs turite lygtį:

Kaip tai išspręsti?
1 variantas, o labiausiai paplitęs yra perkelti nežinomus į vieną pusę, o žinomus į kitą, gauname:

Dabar statykime. ką gavai?

Kaip manote, kokia yra mūsų lygties šaknis? Tiesa, grafikų susikirtimo taško koordinatė yra:

Mūsų atsakymas yra

Tai yra visa grafinio sprendimo išmintis. Kaip galite lengvai patikrinti, mūsų lygties šaknis yra skaičius!

Kaip sakiau aukščiau, tai yra labiausiai paplitęs variantas, artimas algebriniam sprendimui, tačiau galite jį išspręsti kitu būdu. Norėdami apsvarstyti alternatyvų sprendimą, grįžkime prie mūsų lygties:

Šį kartą nieko nejudinsime iš vienos pusės į kitą, o tiesiogiai sudarysime grafikus, nes jie dabar egzistuoja:

Pastatytas? pažiūrėsim!

Koks sprendimas šį kartą? Teisingai. Tas pats - grafikų susikirtimo taško koordinatė:

Ir vėlgi, mūsų atsakymas yra.

Kaip matote, tiesinėmis lygtimis viskas yra labai paprasta. Atėjo laikas pažvelgti į kažką sudėtingesnio... Pavyzdžiui, grafinis kvadratinių lygčių sprendimas.

Grafinis kvadratinių lygčių sprendimas

Taigi, dabar pradėkime spręsti kvadratinę lygtį. Tarkime, kad reikia rasti šios lygties šaknis:

Žinoma, dabar galima pradėti skaičiuoti per diskriminantą, arba pagal Vietos teoremą, bet daugelis žmonių iš nervų daro klaidų daugindami ar kvadratuodami, ypač jei pavyzdys yra su dideliais skaičiais, ir, kaip žinia, laimėjote. 'neturėti skaičiuoklės egzaminui... Todėl spręsdami šią lygtį pabandykime šiek tiek atsipalaiduoti ir piešti.

Šios lygties sprendimus galima rasti grafiškai įvairiais būdais. Pažvelkime į skirtingas parinktis ir galėsite pasirinkti, kuri iš jų jums labiausiai patinka.

1 būdas. Tiesiogiai

Mes tiesiog sukuriame parabolę naudodami šią lygtį:

Norėdami tai padaryti greitai, duosiu jums nedidelę užuominą: Konstrukciją patogu pradėti nustatant parabolės viršūnę.Šios formulės padės nustatyti parabolės viršūnės koordinates:

Jūs pasakysite: „Stop! Formulė labai panaši į diskriminanto radimo formulę“, taip, taip, ir tai yra didžiulis trūkumas „tiesiogiai“ sukonstruojant parabolę, kad būtų galima rasti jos šaknis. Tačiau suskaičiuokime iki galo, o tada parodysiu, kaip tai padaryti daug (daug!) lengviau!

Ar skaičiavai? Kokias koordinates gavai parabolės viršūnei? Išsiaiškinkime tai kartu:

Lygiai toks pat atsakymas? Gerai padaryta! Ir dabar jau žinome viršūnės koordinates, bet norint sukonstruoti parabolę reikia daugiau... taškų. Kaip manote, kiek minimalių taškų mums reikia? Teisingai,.

Jūs žinote, kad parabolė yra simetriška savo viršūnei, pavyzdžiui:

Atitinkamai mums reikia dar dviejų taškų kairėje arba dešinėje parabolės šakoje, o ateityje šiuos taškus simetriškai atspindėsime priešingoje pusėje:

Grįžkime prie savo parabolės. Mūsų atveju, taškas. Mums reikia dar dviejų taškų, kad galėtume paimti teigiamus, ar galime paimti neigiamus? Kurie taškai jums patogesni? Man patogiau dirbti su teigiamais, todėl skaičiuosiu ir.

Dabar turime tris taškus, galime lengvai sukurti savo parabolę, atspindėdami paskutinius du taškus, palyginti su jos viršūne:

Kaip manote, koks yra lygties sprendimas? Teisingai, taškai, kuriuose, tai yra, ir. Nes.

Ir jei taip sakome, tai reiškia, kad jis taip pat turi būti lygus, arba.

Tiesiog? Su jumis baigėme spręsti lygtį sudėtingu grafiniu būdu, kitaip bus daugiau!

Žinoma, galite patikrinti mūsų atsakymą algebriškai – šaknis galite apskaičiuoti naudodami Vietos teoremą arba Diskriminantą. ką gavai? Tas pats? Matai! Dabar pažvelkime į labai paprastą grafinį sprendimą, aš tikiu, kad jis jums tikrai patiks!

2 būdas. Padalinta į kelias funkcijas

Paimkime tą pačią lygtį: , bet parašysime šiek tiek kitaip, būtent:

Ar galime parašyti taip? Galime, nes transformacija lygiavertė. Pažiūrėkime toliau.

Sukurkime dvi funkcijas atskirai:

1. - Grafas yra paprasta parabolė, kurią galite lengvai sudaryti net neapibrėždami viršūnės naudodami formules ir nesudarydami lentelės, kad nustatytumėte kitus taškus.
2. - grafikas yra tiesi linija, kurią galite lygiai taip pat lengvai sudaryti įvertinę reikšmes savo galvoje net nesinaudodami skaičiuokle.

Pastatytas? Palyginkime su tuo, ką turiu:

Kaip manote, kokios yra lygties šaknys šiuo atveju? Teisingai! Koordinatės, gautos susikirtus dviem grafikams, ty:

Atitinkamai, šios lygties sprendimas yra toks:

ka tu sakai? Sutikite, šis sprendimo būdas yra daug lengvesnis nei ankstesnis ir netgi lengviau nei ieškoti šaknų per diskriminantą! Jei taip, pabandykite išspręsti šią lygtį naudodami šį metodą:

ką gavai? Palyginkime savo grafikus:

Grafikai rodo, kad atsakymai yra tokie:

Ar susitvarkei? Gerai padaryta! Dabar pažvelkime į lygtis šiek tiek sudėtingiau, būtent, sprendžiame mišrias lygtis, tai yra lygtis, kuriose yra įvairių tipų funkcijų.

Mišrių lygčių grafinis sprendimas

Dabar pabandykime išspręsti šiuos klausimus:

Žinoma, galima viską suvesti į bendrą vardiklį, rasti gautos lygties šaknis, nepamirštant atsižvelgti į ODZ, bet vėlgi, kaip ir visais ankstesniais atvejais, bandysime tai išspręsti grafiškai.

Šį kartą sukurkime šiuos 2 grafikus:

1. - grafikas yra hiperbolė
2. - grafikas yra tiesi linija, kurią galite lengvai nubrėžti įvertinę reikšmes savo galvoje net nesinaudodami skaičiuokle.

Suprato? Dabar pradėkite statyti.

Štai ką aš gavau:

Žiūrėdami į šią nuotrauką, pasakykite man, kokios yra mūsų lygties šaknys?

Teisingai, ir. Štai patvirtinimas:

Pabandykite įjungti mūsų šaknis į lygtį. Ar pavyko?

Teisingai! Sutikite, tokias lygtis spręsti grafiškai – vienas malonumas!

Pabandykite grafiškai išspręsti lygtį patys:

Duosiu užuominą: dalį lygties perkelkite į dešinę, kad paprasčiausios funkcijos būtų iš abiejų pusių. Ar supratai užuominą? Imkitės veiksmų!

Dabar pažiūrėkime, ką gavote:

Atitinkamai:

1. - kubinė parabolė.
2. - įprasta tiesi linija.

Na, statykime:

Kaip jau seniai užsirašėte, šios lygties šaknis yra - .

Išnagrinėję tiek daug pavyzdžių, esu tikras, kad supratote, kaip lengva ir greita lygtis išspręsti grafiškai. Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip tokiu būdu išspręsti sistemas.

Grafinis sistemų sprendimas

Grafinis sistemų sprendimas iš esmės nesiskiria nuo grafinio lygčių sprendimo. Taip pat sudarysime du grafikus, o jų susikirtimo taškai bus šios sistemos šaknys. Vienas grafikas yra viena lygtis, antrasis grafikas yra kita lygtis. Viskas nepaprastai paprasta!

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko – tiesinių lygčių sistemų sprendimo.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas

Tarkime, kad turime tokią sistemą:

Pirma, transformuokime jį taip, kad kairėje būtų viskas, kas yra susiję, o dešinėje - viskas, su kuo susiję. Kitaip tariant, parašykime šias lygtis kaip funkciją mūsų įprasta forma:

Dabar mes tiesiog statome dvi tiesias linijas. Koks sprendimas mūsų atveju? Teisingai! Jų susikirtimo taškas! Ir čia reikia būti labai labai atsargiems! Pagalvok, kodėl? Duodu užuominą: turime reikalą su sistema: sistemoje yra tiek, tiek... Supratote?

Teisingai! Spręsdami sistemą turime žiūrėti į abi koordinates, o ne tik kaip spręsdami lygtis! Kitas svarbus dalykas – teisingai juos užrašyti ir nesupainioti, kur mes turime prasmę, o kur – prasmė! Ar užsirašėte? Dabar palyginkime viską iš eilės:

Ir atsakymai: ir. Atlikite patikrinimą – pakeiskite rastas šaknis į sistemą ir įsitikinkite, ar teisingai išsprendėme grafiškai?

Netiesinių lygčių sistemų sprendimas

Ką daryti, jei vietoj vienos tiesės turime kvadratinę lygtį? Viskas gerai! Jūs tiesiog pastatykite parabolę, o ne tiesią liniją! Netikite manimi? Pabandykite išspręsti šią sistemą:

Koks mūsų kitas žingsnis? Teisingai, užsirašykite, kad mums būtų patogu kurti grafikus:

O dabar viskas priklauso nuo smulkmenų – greitai sukurkite ir štai jūsų sprendimas! Mes statome:

Ar grafikai pasirodė vienodi? Dabar paveikslėlyje pažymėkite sistemos sprendinius ir teisingai surašykite nustatytus atsakymus!

Viską padarei? Palyginkite su mano užrašais:

Ar viskas gerai? Gerai padaryta! Tokio tipo užduotis jau atliekate kaip riešutus! Jei taip, pateiksime jums sudėtingesnę sistemą:

Ką mes darome? Teisingai! Rašome sistemą taip, kad ją būtų patogu kurti:

Duosiu jums nedidelę užuominą, nes sistema atrodo labai sudėtinga! Kurdami grafikus kurkite jų „daugiau“, o svarbiausia – nesistebėkite susikirtimo taškų skaičiumi.

Taigi, eime! Iškvėptas? Dabar pradėkite statyti!

Taigi kaip? Gražus? Kiek susikirtimo taškų gavote? Aš turiu tris! Palyginkime savo grafikus:

Taip pat? Dabar atidžiai užrašykite visus mūsų sistemos sprendimus:

Dabar dar kartą pažvelkite į sistemą:

Ar įsivaizduojate, kad tai išsprendėte vos per 15 minučių? Sutikite, matematika vis tiek paprasta, ypač žiūrėdamas į išraišką nebijai suklysti, o tiesiog imk ir išspręsk! Tu šaunuolis!

Grafinis nelygybių sprendimas

Grafinis tiesinių nelygybių sprendimas

Po paskutinio pavyzdžio galite padaryti bet ką! Dabar iškvėpkite – lyginant su ankstesniais skyriais, šis bus labai labai lengvas!

Pradėsime, kaip įprasta, nuo grafinio tiesinės nelygybės sprendimo. Pavyzdžiui, šis:

Pirmiausia atlikime paprasčiausias transformacijas – atidarykite tobulų kvadratų skliaustus ir pateikite panašius terminus:

Nelygybė nėra griežta, todėl ji neįtraukiama į intervalą, o sprendimas bus visi taškai, esantys dešinėje, nes daugiau, daugiau ir tt:

Atsakymas:

tai viskas! Lengvai? Išspręskime paprastą nelygybę su dviem kintamaisiais:

Nubraižykime funkciją koordinačių sistemoje.

Ar gavote tokį tvarkaraštį? Dabar atidžiai pažiūrėkime, kokią nelygybę turime? Mažiau? Tai reiškia, kad dažome viską, kas yra mūsų tiesios linijos kairėje. O jei būtų daugiau? Tai tiesa, tada nudažytume viską, kas yra į dešinę nuo mūsų tiesės. Tai paprasta.

Visi šios nelygybės sprendimai yra nuspalvinti oranžine spalva. Štai ir išspręsta nelygybė su dviem kintamaisiais. Tai reiškia, kad bet kurio taško koordinatės iš užtamsintos srities yra sprendiniai.

Kvadratinių nelygybių grafinis sprendimas

Dabar mes suprasime, kaip grafiškai išspręsti kvadratines nelygybes.

Tačiau prieš pradėdami dirbti, peržvelkime medžiagą apie kvadratinę funkciją.

Už ką atsakingas diskriminantas? Tai tiesa, dėl grafiko padėties ašies atžvilgiu (jei to neprisimenate, būtinai perskaitykite teoriją apie kvadratines funkcijas).

Bet kokiu atveju, čia yra nedidelis priminimas:

Dabar, kai atnaujinome visą atmintyje esančią medžiagą, imkimės darbo – išspręskite nelygybę grafiškai.

Iš karto pasakysiu, kad yra dvi problemos sprendimo galimybės.

1 variantas

Savo parabolę rašome kaip funkciją:

Naudodami formules nustatome parabolės viršūnės koordinates (lygiai tokias pačias, kaip ir sprendžiant kvadratines lygtis):

Ar skaičiavai? ką gavai?

Dabar paimkime dar du skirtingus taškus ir apskaičiuokime jiems:

Pradėkime statyti vieną parabolės atšaką:

Mes simetriškai atspindime savo taškus kitoje parabolės šakoje:

Dabar grįžkime prie savo nelygybės.

Mums reikia, kad jis būtų atitinkamai mažesnis už nulį:

Kadangi mūsų nelygybėje ženklas yra griežtai mažesnis nei, mes neįtraukiame galutinių taškų - „pramušti“.

Atsakymas:

Ilgas kelias, tiesa? Dabar parodysiu jums paprastesnę grafinio sprendimo versiją, naudodamas tos pačios nelygybės pavyzdį:

2 variantas

Grįžtame prie savo nelygybės ir pažymime mums reikalingus intervalus:

Sutikite, tai daug greičiau.

Dabar parašykime atsakymą:

Apsvarstykime kitą sprendimą, kuris supaprastina algebrinę dalį, tačiau svarbiausia – nesusipainioti.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Pabandykite patys išspręsti šią kvadratinę nelygybę bet kokiu jums patinkančiu būdu: .

Ar susitvarkei?

Pažiūrėkite, kaip pasirodė mano grafikas:

Atsakymas: .

Mišrių nelygybių grafinis sprendimas

Dabar pereikime prie sudėtingesnių nelygybių!

Kaip jums tai:

Tai baisu, ar ne? Sąžiningai, aš neįsivaizduoju, kaip tai išspręsti algebriškai... Bet tai nėra būtina. Grafiškai čia nėra nieko sudėtingo! Akys bijo, bet rankos daro!

Pirmas dalykas, nuo kurio pradėsime, yra sudaryti du grafikus:

Nerašysiu kiekvienos lentelės - esu tikras, kad galite tai puikiai padaryti patys (oho, yra tiek daug pavyzdžių, kuriuos reikia išspręsti!).

Ar nudažėte? Dabar sukurkite du grafikus.

Palyginkime savo piešinius?

Ar pas jus tas pats? Puiku! Dabar sutvarkykime susikirtimo taškus ir naudodami spalvą nustatykime, kuris grafikas teoriškai turėtų būti didesnis, tai yra. Pažiūrėkite, kas atsitiko pabaigoje:

Dabar pažiūrėkime, kur mūsų pasirinktas grafikas yra aukštesnis už grafiką? Nedvejodami imkite pieštuką ir pieškite šią sritį! Ji bus mūsų sudėtingos nelygybės sprendimas!

Kokiais intervalais išilgai ašies esame aukščiau? Teisingai,. Tai yra atsakymas!

Na, dabar galite tvarkyti bet kokią lygtį, bet kokią sistemą ir juo labiau bet kokią nelygybę!

TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Lygčių sprendimo naudojant funkcijų grafikus algoritmas:

1. Išreikškime tai per
2. Apibrėžkime funkcijos tipą
3. Sukurkime gautų funkcijų grafikus
4. Raskime grafikų susikirtimo taškus
5. Parašykime atsakymą teisingai (atsižvelgdami į ODZ ir nelygybės ženklus)
6. Patikrinkime atsakymą (pakeiskite šaknis į lygtį arba sistemą)

Daugiau informacijos apie funkcijų grafikų sudarymą rasite temoje "".

Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tikslai ir uždaviniai:

• tęsti darbą ugdant lygčių sistemų sprendimo grafiniu metodu įgūdžius;
• atlikti tyrimus ir padaryti išvadas apie dviejų tiesinių lygčių sistemos sprendinių skaičių;
• žaisdami ugdykite susidomėjimą šia tema.

PAMOKOS EIGA

1. Organizacinis momentas (Planavimo susirinkimas)– 2 min.

- Laba diena! Pradedame tradicinį planavimo susirinkimą. Džiaugiamės galėdami visus šiandien besilankiusius mūsų laboratorijoje (atstovauju svečiams). Mūsų laboratorija vadinasi: „Darbas su susidomėjimu ir malonumu“(rodoma 2 skaidrė). Pavadinimas yra mūsų darbo šūkis. „Kurkite, spręskite, mokykitės, pasiekite su susidomėjimu ir malonumu“ Mieli svečiai, pristatau jums mūsų laboratorijos vadovus (3 skaidrė).
Mūsų laboratorija užsiima mokslinių darbų studijomis, tyrimais, ekspertizėmis, kūrybinių projektų kūrimo darbais.
Šiandien mūsų diskusijos tema yra: „Tiesinių lygčių sistemų grafinis sprendimas“. (siūlau užrašyti pamokos temą)

Dienos programa:(4 skaidrė)

1. Planavimo susirinkimas
2. Išplėstinė akademinė taryba:

• Kalbos šia tema
• Leidimas dirbti

3. Ekspertizė
4. Tyrimai ir atradimai
5. Kūrybinis projektas
6. Pranešimas
7. Planavimas

2. Klausimai ir žodinis darbas (Išplėstinė akademinė taryba)– 10 min.

– Šiandien vyksta išplėstinė akademinė taryba, kurioje dalyvauja ne tik katedrų vadovai, bet ir visi mūsų komandos nariai. Laboratorija ką tik pradėjo dirbti tema: „Tiesinių lygčių sistemų grafinis sprendimas“. Turime stengtis pasiekti aukščiausių laimėjimų šiuo klausimu. Mūsų laboratorija turėtų būti garsi savo tyrimų šia tema kokybe. Kaip vyresnioji mokslo darbuotoja, linkiu visiems sėkmės!

Apie tyrimo rezultatus bus pranešta laboratorijos vedėjui.

Žodis pranešimui apie lygčių sistemų sprendimą... (šaukiu studentą prie lentos). Užduočiai duodu užduotį (1 kortelė).

O laborantė... (duodu savo pavardę) primins, kaip nubraižyti funkciją su moduliu. Duodu 2 kortelę.

1 kortelė(7 skaidrėje pateiktos užduoties sprendimas)

Išspręskite lygčių sistemą:

2 kortelė(užduoties sprendimas 9 skaidrėje)

Nubraižykite funkciją: y = | 1,5x – 3 |

Kol darbuotojai ruošiasi ataskaitai, patikrinsiu, kaip esate pasiruošę atlikti tyrimą. Kiekvienas iš jūsų turi gauti leidimą dirbti. (Skaičiavimą žodžiu pradedame užrašydami atsakymus į sąsiuvinį)

Leidimas dirbti(užduotys 5 ir 6 skaidrėse)

1) Išreikšti adresu per x:

3x + y = 4 (y = 4 - 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3 m – 1 = 0 (y = - 6x + 3)

2) Išspręskite lygtį:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) Duota lygčių sistema:

Kuri iš skaičių porų (– 1; 1) arba (1; – 1) yra šios lygčių sistemos sprendimas?

Atsakymas: (1; – 1)

Iš karto po kiekvieno žodinio skaičiavimo fragmento mokiniai keičiasi sąsiuviniais (to paties skyriaus šalia sėdi mokinys), skaidrėse pasirodo teisingi atsakymai; Inspektorius duoda pliusą arba minusą. Darbo pabaigoje skyrių vadovai suveda rezultatus į suvestinę lentelę (žr. žemiau); Kiekvienas pavyzdys vertas 1 taško (galima gauti 9 balus).
Surinkusiems 5 ir daugiau taškų leidžiama dirbti. Likusieji gauna sąlyginį priėmimą, t.y. privalės dirbti vadovaujant skyriaus vedėjui.

Lentelė (užpildo viršininkas)

(Staleliai išduodami prieš pamokos pradžią)

Gavę priėmimą prie lentos klausomės mokinių atsakymų. Už atsakymą mokinys gauna 9 balus, jei atsakymas pilnas (maksimalus priėmimo skaičius), 4 balus, jei atsakymas neišsamus. Taškai įrašomi į stulpelį „priėmimas“.
Jei sprendimas lentoje yra teisingas, 7 ir 9 skaidrės rodyti nereikia. Jei sprendimas teisingas, bet neaiškiai atliktas arba sprendimas neteisingas, tada skaidrės turi būti rodomos su paaiškinimais.
Aš visada rodau 8 skaidrę po mokinio atsakymo 1 kortelėje. Šioje skaidrėje pamokai svarbios išvados.

Sistemų grafinio sprendimo algoritmas:

• Išreikškite y reikšme x kiekvienoje sistemos lygtyje.
• Nubraižykite kiekvieną sistemos lygtį.
• Raskite grafikų susikirtimo taškų koordinates.
• Atlikite patikrinimą (atkreipiu mokinių dėmesį į tai, kad grafinis metodas dažniausiai duoda apytikslį sprendimą, bet jei grafikų sankirta pataiko į tašką su ištisomis koordinatėmis, galite patikrinti ir gauti tikslų atsakymą).
• Užsirašykite atsakymą.

3. Pratimai (egzaminas)– 5 min.

Vakar kai kurių darbuotojų darbe buvo padaryta šiurkščių klaidų. Šiandien jau esate kompetentingesnis grafinių sprendimų srityje. Kviečiame atlikti siūlomų sprendinių ekspertizę, t.y. rasti sprendimų klaidų. Rodoma 10 skaidrė.
Darbai vyksta skyriuose. (Užduočių su klaidomis fotokopijos pateikiamos prie kiekvieno stalo; kiekviename skyriuje darbuotojai turi rasti klaidas ir jas išryškinti arba ištaisyti; fotokopijas perduoti vyresniajam mokslo darbuotojui, t.y. dėstytojui). Radusiems ir ištaisiusiesiems klaidą viršininkas prideda 2 balus. Tada aptariame padarytas klaidas ir nurodome jas 10 skaidrėje.

1 klaida

Išspręskite lygčių sistemą:

Atsakymas: sprendimų nėra.

Mokiniai turi tęsti linijas tol, kol jos susikerta ir gauna atsakymą: (– 2; 1).

2 klaida.

Išspręskite lygčių sistemą:

Atsakymas: (1; 4).

Studentai turi rasti pirmosios lygties transformacijos klaidą ir ją ištaisyti baigtame brėžinyje. Gaukite kitą atsakymą: (2; 5).

4. Naujos medžiagos paaiškinimas (tyrimai ir atradimai)– 12 min.

Siūlau studentams tris sistemas išspręsti grafiškai. Kiekvienas mokinys savarankiškai sprendžia sąsiuvinyje. Konsultuotis gali tik tie, kurie turi sąlyginį leidimą.

Sprendimas

Nebraižant grafikų aišku, kad tiesės sutaps.

11 skaidrėje rodomas sistemos sprendimas; Tikimasi, kad studentams bus sunku užrašyti atsakymą 3 pavyzdyje. Padirbėję katedrose patikriname sprendimą (už teisingą viršininkas prideda 2 balus). Dabar atėjo laikas aptarti, kiek sprendinių gali turėti dviejų tiesinių lygčių sistema.
Mokiniai turi patys padaryti išvadas ir jas paaiškinti, išvardindami tiesių santykinės padėties plokštumoje atvejus (12 skaidrė).

5. Kūrybinis projektas (pratybos)– 12 min.

Užduotis duota skyriui. Kiekvienam laborantui viršininkas pagal sugebėjimus duoda po fragmentą jo pasirodymo.

Išspręskite lygčių sistemas grafiškai:

Atidarę skliaustus, mokiniai turėtų gauti sistemą:

Atidarius skliaustus, pirmoji lygtis atrodo taip: y = 2/3x + 4.

6. Ataskaita (užduoties atlikimo tikrinimas)– 2 min.

Atlikę kūrybinį projektą mokiniai atsiverčia sąsiuvinius. 13 skaidrėje parodysiu, kas turėjo atsitikti. Viršininkai paduoda stalą. Paskutinį stulpelį užpildo mokytojas ir pažymi (pažymėjimus mokiniams galima pranešti kitos pamokos metu). Projekte pirmosios sistemos sprendimas vertinamas trimis balais, o antrosios – keturiais.

7. Planavimas (apibendrinimas ir namų darbai)– 2 min.

Apibendrinkime savo darbą. Mes padarėme gerą darbą. Konkrečiai apie rezultatus kalbėsime rytoj planavimo posėdyje. Žinoma, visi be išimties laborantai įvaldė grafinį lygčių sistemų sprendimo būdą ir sužinojo, kiek sprendinių gali turėti sistema. Rytoj kiekvienas iš jūsų turės asmeninį projektą. Papildomam pasirengimui: 36 punktas; 647-649 (2); kartoti analitinius metodus sistemoms spręsti. 649(2) ir išspręskite analitiškai.

Mūsų darbą visą dieną prižiūrėjo laboratorijos direktorius Nouman Nou Manovich. Jis turi žodį. (Rodoma paskutinė skaidrė).

Apytikslė vertinimo skalė

Šioje pamokoje apžvelgsime dviejų lygčių sistemas dviem kintamaisiais. Pirmiausia pažvelkime į dviejų tiesinių lygčių sistemos grafinį sprendimą ir jų grafikų aibės specifiką. Toliau grafiniu metodu išspręsime kelias sistemas.

Tema: Lygčių sistemos

Pamoka: grafinis lygčių sistemos sprendimo metodas

Apsvarstykite sistemą

Skaičių pora, kuri vienu metu yra ir pirmosios, ir antrosios sistemos lygčių sprendinys, vadinama sprendžiant lygčių sistemą.

Išspręsti lygčių sistemą reiškia rasti visus jos sprendimus arba nustatyti, kad sprendinių nėra. Peržiūrėjome pagrindinių lygčių grafikus, pereikime prie sistemų svarstymo.

1 pavyzdys. Išspręskite sistemą

Sprendimas:

Tai tiesinės lygtys, kiekvienos iš jų grafikas yra tiesi linija. Pirmosios lygties grafikas eina per taškus (0; 1) ir (-1; 0). Antrosios lygties grafikas eina per taškus (0; -1) ir (-1; 0). Tiesės susikerta taške (-1; 0), tai yra lygčių sistemos sprendimas ( Ryžiai. 1).

Sistemos sprendimas yra skaičių pora. Pakeitę šią skaičių porą į kiekvieną lygtį, gauname teisingą lygybę.

Gavome unikalų linijinės sistemos sprendimą.

Prisiminkite, kad sprendžiant tiesinę sistemą galimi šie atvejai:

sistema turi unikalų sprendimą – linijos susikerta,

sistema neturi sprendimų – linijos lygiagrečios,

sistema turi be galo daug sprendinių – tiesės sutampa.

Mes nagrinėjome ypatingą sistemos atvejį, kai p(x; y) ir q(x; y) yra tiesinės x ir y išraiškos.

2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas:

Pirmosios lygties grafikas yra tiesė, antrosios lygties grafikas yra apskritimas. Sukurkime pirmąjį grafiką taškais (2 pav.).

Apskritimo centras yra taške O(0; 0), spindulys lygus 1.

Grafikai susikerta taške A(0; 1) ir taške B(-1; 0).

3 pavyzdys. Išspręskite sistemą grafiškai

Sprendimas: Sukurkime pirmosios lygties grafiką – tai apskritimas, kurio centras yra t.O(0; 0) ir spindulys 2. Antrosios lygties grafikas yra parabolė. Jis pasislenka į viršų 2, palyginti su pradžia, t.y. jo viršūnė yra taškas (0; 2) (3 pav.).

Grafikai turi vieną bendrą tašką – t.y. A(0; 2). Tai yra sistemos sprendimas. Prijunkite keletą skaičių į lygtį, kad patikrintume, ar ji teisinga.

4 pavyzdys. Išspręskite sistemą

Sprendimas: Sukonstruokime pirmosios lygties grafiką – tai apskritimas, kurio centras yra t.O(0; 0) ir spindulys 1 (4 pav.).

Nubraižykime funkciją Tai trūkinė linija (5 pav.).

Dabar perkelkime jį 1 žemyn išilgai oy ašies. Tai bus funkcijos grafikas

Abu grafikus patalpinkime į tą pačią koordinačių sistemą (6 pav.).

Gauname tris susikirtimo taškus - tašką A(1; 0), tašką B(-1; 0), tašką C(0; -1).

Mes pažvelgėme į grafinį sistemų sprendimo metodą. Jei galite nubraižyti kiekvienos lygties grafiką ir rasti susikirtimo taškų koordinates, tada šio metodo visiškai pakanka.

Tačiau dažnai grafinis metodas leidžia rasti tik apytikslį sistemos sprendimą arba atsakyti į klausimą apie sprendimų skaičių. Todėl reikalingi kiti metodai, tikslesni, ir mes juos nagrinėsime tolesnėse pamokose.

1. Mordkovichas A.G. ir kt. Algebra 9 klasė: Vadovėlis. Dėl bendrojo išsilavinimo Institucijos.- 4-asis leid. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: iliustr.

2. Mordkovichas A.G. ir kt. Algebra 9 kl.: Probleminė knyga bendrojo lavinimo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mišustina ir kt. - 4 leid. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr.

3. Makarychev Yu N. Algebra. 9 klasė: mokomoji. bendrojo lavinimo mokiniams. institucijos / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7-asis leidimas, red. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9 klasė. 16-asis leidimas - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12 leid., ištrintas. - M.: 2010. - 224 p.: iliustr.

6. Algebra. 9 klasė. 2 dalyse 2 dalis. Probleminė knyga bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mišustina ir kt. Red. A. G. Mordkovičius. – 12 leid., red. - M.: 2010.-223 p.: iliustr.

1. College.ru skyrius apie matematiką ().

2. Interneto projektas „Užduotys“ ().

3. Mokomasis portalas „SPRENDSIU vieningą valstybinį egzaminą“ ().

1. Mordkovichas A.G. ir kt. Algebra 9 kl.: Probleminė knyga bendrojo lavinimo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mišustina ir kt. - 4 leid. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr. 105, 107, 114, 115 Nr.