11. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo funkcija.

Iki šiol mes svarstėme atsitiktinius dydžius, kurių galimas reikšmes lėmė vienas skaičius. Tokie dydžiai vadinami vienmačiais. Pavyzdžiui, taškų, kuriuos galima gauti metant kauliuką, skaičius yra atskiras vienmatis dydis; atstumas nuo ginklo iki sviedinio kritimo vietos yra ištisinis vienmatis atsitiktinis dydis.

Be vienmačių atsitiktinių dydžių, jie tiria dydžius, kurių galimas reikšmes lemia du, trys, ..., n skaičiai. Tokie dydžiai vadinami atitinkamai dvimačiais, trimačiais, ..., n-mačiais. Dvimatį žymėsime (X,Y). atsitiktinis kintamasis. Kiekvienas iš dydžių X ir Y vadinamas komponentu: abu dydžiai X ir Y, vertinti vienu metu, sudaro dviejų atsitiktinių dydžių sistemą.

Panašiai n matmenų dydis gali būti laikomas n atsitiktine sistema

kiekiai Pavyzdžiui, bet kuris taškas XOY koordinačių plokštumoje gali būti vertinamas kaip dvimatis atsitiktinis dydis su X ir Y komponentais (koordinatėmis); bet koks taškas trimatė erdvė- Kaip

trimatis atsitiktinis dydis su komponentais X, Y ir Z. Yra diskretieji (šių dydžių komponentai yra diskretieji) ir tolydieji (šių dydžių komponentai yra tolydieji) daugiamačiai atsitiktiniai dydžiai.

Apsvarstykite dvimatį atsitiktinį kintamąjį (X, Y) (nesvarbu, ar jis yra diskretus, ar tęstinis). Tegul (x,y) yra realiųjų skaičių pora. Įvykio tikimybė, kad X įgis reikšmę, mažesnę už x, o tuo pačiu Y įgis mažesnę nei y reikšmę, bus žymima F(x,y). Jei x ir y pasikeis, tai, paprastai kalbant, pasikeis ir F(x,y), t.y. F(x,y) yra x ir y funkcija.

Paskirstymo funkcija dvimatis atsitiktinis kintamasis (X,Y) yra funkcija F(x,y), kuri kiekvienai skaičių porai x, y nustato tikimybę, kad X įgis reikšmę, mažesnę nei x, o tuo pačiu metu Y imsis reikšmė mažesnė už y: F(x, y) = P(X

Geometriškai ši lygybė gali būti aiškinama taip: F(x,y) yra tikimybė, kad atsitiktinis taškas (X,Y) pateks į begalinį kvadrantą, kurio viršūnė (x, y) yra kairėje ir žemiau šios viršūnės. .

Dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos savybės

1 nuosavybė. Pasiskirstymo funkcijos reikšmės tenkina dvigubą nelygybę 0 ≤ F(x, y) ≤ 1.

Įrodymas. Savybė išplaukia iš pasiskirstymo funkcijos kaip tikimybės apibrėžimo: tikimybė visada yra neneigiamas skaičius, neviršijantis vieneto.

2 nuosavybė. F(x,y) yra nemažėjanti kiekvieno argumento funkcija, t.y.

F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y), jei x2> x1 ;

F(x ,y2) ≥ F(x ,y1), jei y2>y1.

Įrodymas. Įrodykime, kad F(x,y) yra nemažėjanti funkcija argumento x atžvilgiu. Įvykis, kai komponentas X įgis mažesnę nei x2 reikšmę ir tuo pačiu Y komponentas< y, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) X reikšmė bus mažesnė už x1 ir tuo pačiu Y< y с вероятностью P(X< x1,Y

2) X įgis reikšmę, tenkinančią nelygybę x1 ≤ X< x2 , и при этом Y

Pagal sudėjimo teoremą,

P(X< x2, Y

P(X< x2, Y

F(x2,y) – F(x1,y) = P(x1≤X< x2, Y

Todėl bet kokia tikimybė yra neneigiamas skaičius

F(x2 ,y) – F(x1 ,y) ≥ 0 arba F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y),

Q.E.D.

Savybė tampa aiškiai aiški, jei panaudojame pasiskirstymo funkcijos geometrinę interpretaciją kaip atsitiktinio taško patekimo į begalinį kvadrantą su viršūne (x;y) tikimybę. Kai x didėja, dešinė šio kvadranto riba pasislenka į dešinę; o smūgio tikimybė

Atsitiktinis taškas į naują kvadrantą akivaizdžiai negali būti sumažintas. Panašiai įrodyta, kad F(x,y) yra nemažėjanti funkcija

argumentas y.

3 nuosavybė. Yra ribojančių santykių:

1) F(-∞ , y) = 0, 2) F(x, -∞) = 0,

3) F(-∞, -∞) = 0, 4) F(∞, ∞) = 1.

Įrodymas

1) F(-∞ , y) yra įvykio X tikimybė< -∞ и Y < y; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие X < -∞), следовательно, вероятность этого события равна нулю. Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при x→-∞ правая граница бесконечного квадранта неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2) Y įvykis< -∞ невозможно, поэтому F(x, -∞) = 0.

3) X įvykis< -∞ невозможно, поэтому F(-∞ , -∞) = 0.

4) X įvykis< ∞ и Y < ∞ достоверно, следовательно, вероятность этого

įvykiai F(∞ , ∞) = 1.

Savybė tampa aiškiai aiški, jei atsižvelgsime į tai, kad x→∞ ir y→∞ begalinis kvadrantas virsta visa plokštuma xOy, todėl atsitiktinio taško (X;Y) atsiradimas šioje plokštumoje yra patikimas įvykis. .

4 nuosavybė

a) Kai y = ∞, sistemos pasiskirstymo funkcija tampa komponento X pasiskirstymo funkcija:

F(x, ∞) = F1(x).

b) Esant x = ∞, sistemos pasiskirstymo funkcija tampa Y komponento pasiskirstymo funkcija:

F(∞, y) = F2(y).

Įrodymas.

a) Nuo įvykio Y< ∞ достоверно, то F(x, ∞) определяет вероятность события X < x, т.е. представляет собой функцию распределения составляющей X.

b) Įrodymas panašus.

glaudžiai susijęs su binominiu skirstiniu. Prisiminkite (§ 2.5), kad jei Bernoulli formulėje

P n (k )= C n k p k (1− p )n − k

fiksuojame k reikšmę ir pradedame nukreipti eksperimentų skaičių į begalybę, o tikimybę p į nulį, be to, kad jų sandauga liktų lygi pastoviam skaičiui λ (np = λ), tada turėsime:

Ryšys (3.17) rodo, kad perėjus į aukščiau aprašytą ribą, dvinario skirstinio lentelė (3.15) pereina į Puasono skirstinio lentelę (3.16). Taigi Puasono skirstinys yra dvinario skirstinio riba aukščiau nurodytomis sąlygomis. Atkreipkite dėmesį, kad ši Puasono skirstinio savybė – išreikšti dvinarį skirstinį su dideliu eksperimentų skaičiumi ir maža įvykio tikimybe – siejama su jai dažnai naudojamu pavadinimu: retų įvykių dėsnis.

§ 3.5. Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sistemos

Iki šiol atsitiktinius dydžius svarstydavome atskirai vienas nuo kito, neliesdami jų santykių klausimo. Tačiau praktinėse problemose dažnai pasitaiko situacijų, kai tam tikrus atsitiktinius dydžius tenka tirti kartu. Tokiais atvejais kalbama apie kelių atsitiktinių dydžių sistemą. Tiksliau: atsitiktiniai dydžiai sudaro sistemą, jei yra apibrėžti toje pačioje elementariųjų įvykių erdvėje Ω.

Dviejų atsitiktinių dydžių sistema (X,Y) gali būti interpretuojama kaip atsitiktinis taškas plokštumoje, trijų atsitiktinių dydžių sistema (X,Y,Z) – kaip atsitiktinis taškas trimatėje erdvėje. Daugiausia apsiribosime dvimačiu atveju.

Intuityvus požiūris į dviejų atsitiktinių dydžių sistemos koncepciją yra susijęs su patirties idėja, kurios rezultatas yra skaičių pora X, Y. Kadangi eksperimento rezultatas suvokiamas kaip atsitiktinis įvykis, skaičių X ir Y reikšmių iš anksto numatyti neįmanoma (kartojant eksperimentą jos netikėtai pasikeičia). Pateikime kelis pavyzdžius.

3.7 pavyzdys. Kauliukai metami du kartus. X pažymėkime taškų skaičių pirmame metime, o Y – taškų skaičių antrame. Pora (X ,Y ) bus dviejų atsitiktinių dydžių sistema.

3.8 pavyzdys. Iš tam tikros auditorijos atsitiktinai atrenkamas vienas mokinys X – jo ūgis (tarkime, centimetrais), Y – jo svoris (kilogramais);

3.9 pavyzdys. Tam tikrame žemės ūkio regione atsitiktinai parenkamas 1 hektaro ploto kviečių sėjos sklypas.

3.10 pavyzdys. Lyginami matematikos ir rusų kalbos rašto darbai, X – matematikos darbo pažymys, Y – už darbą rusų kalba.

Tokių pavyzdžių sąrašą lengva tęsti.

§ 3.6. Nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai

1°. Bendrosios pastabos. Pavyzdžiai. Nagrinėjant dviejų atsitiktinių dydžių (X,Y) sistemą, reikia turėti omenyje, kad sistemos savybes ne visada išsemia pačių kintamųjų X ir Y savybės. Kitaip tariant, jei mes viską žinome apie dydį X ir viską apie Y, tai nereiškia, kad žinome viską apie sistemą (X, Y). Faktas yra tas, kad tarp dydžių X ir Y gali būti priklausomybė, ir neatsižvelgiant į šią priklausomybę neįmanoma sukurti sistemos (X,Y) pasiskirstymo dėsnio.

Priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių realiomis sąlygomis gali būti skirtinga. Kai kuriais atvejais jis pasirodo toks stiprus, kad žinodami, kokią reikšmę gavo X, galite tiksliai nurodyti Y reikšmę. Vartodami tradicinę terminologiją, galime teigti, kad šiais atvejais priklausomybė tarp X ir Y funkcinis(Tačiau dar reikia patikslinti atsitiktinio dydžio funkcijos sąvoką; pastaroji bus pateikta § 3.7). Gamtoje ir technikoje nuolat susiduriame su tokios priklausomybės pavyzdžiais.

Kartu galime nurodyti ir kitokio pobūdžio pavyzdžius – kai priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių egzistuoja, bet nėra griežtai apibrėžto funkcinio pobūdžio. Tokie pavyzdžiai ypač būdingi tokioms mokslo ir praktikos sritims, kaip žemės ūkio technologijos, biologija, medicina, ekonomika ir kt., kur reiškinių raida, kaip taisyklė, priklauso nuo daugelio sunkiai įvertinamų veiksnių. Yra žinoma, kad, pavyzdžiui, gausūs krituliai kviečių nokimo laikotarpiu padidina derlių; tačiau tai nereiškia, kad ryšys tarp kritulių kiekio X ir derliaus Y (tarkime, iš 1 ha) yra funkcinis; Be kritulių, derlingumui įtakos turi ir kiti veiksniai: dirvožemio tipas, įterptų trąšų kiekis, saulėtų dienų skaičius ir kt. Tokiais atvejais, kai vienos vertės pokytis kitą veikia tik statistiškai, vidutiniškai įprasta kalbėti apie tikimybinis ryšys tarp kiekių. Dar nepateikdami tikslių apibrėžimų, pažvelkime į keletą pavyzdžių. Jie iliustruoja skirtingus atsitiktinių dydžių priklausomybės laipsnius – nuo ​​stiprios, beveik funkcinės priklausomybės iki praktinės nepriklausomybės.

3.11 pavyzdys. Tegu X yra atsitiktinai parinkto suaugusio žmogaus ūgis (tarkim, centimetrais), o Y – jo svoris (kilogramais). Ryšys tarp ūgio ir svorio yra labai stiprus, jis netgi gali būti laikomas funkciniu. Formulė, kuri apytiksliai išreiškia šią priklausomybę, paprastai rašoma:

Y (kg) = X (cm) – 100.

3.12 pavyzdys. X – atsitiktinai miške parinkto medžio aukštis, Y – jo pagrindo skersmuo. Ir čia priklausomybė turėtų būti pripažinta stipria, nors ir ne tokiu mastu, kaip ankstesniame pavyzdyje.

3.13 pavyzdys. Atsitiktinai iš netaisyklingos formos akmenų krūvos parenkamas vienas akmuo. Tegu X yra jo masė, o Y – didžiausias ilgis. Ryšys tarp X ir Y yra grynai tikimybinis.

3.14 pavyzdys. X – atsitiktinai parinkto suaugusio žmogaus ūgis, Y – jo amžius. Stebėjimai rodo, kad šie dydžiai yra praktiškai nepriklausomi.

2°. Atsitiktinių dydžių nepriklausomumo nustatymas. Kol kas palikime klausimą nuošalyje

kokiais skaičiais galima išreikšti priklausomybės laipsnį tarp dydžių X ir Y. Apsiribokime griežtu atsitiktinių dydžių nepriklausomumo apibrėžimu.

Apibrėžimas . Tegu pateikta sistema (X, Y). Sakysime, kad dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, jei

įvykiai X A ir Y B yra nepriklausomi, kur A ir B yra bet kurios dvi atkarpos [a1, a2] ir [b1, b2].

Kitaip tariant, lygybė galioja

čia x i yra bet kokia galima dydžio X reikšmė, o y j yra bet kokia galima dydžio Y vertė. Iš tiesų, iš (3.18) tai akivaizdžiai seka (3.19). Patikrinkime tai ir atvirkščiai iš (3.19)

seka (3.18).

Tegul sistema (X,Y) apibūdinama lentele

Įdėkime A = [a 1,a 2],B = [b 1,b 2]. Tada

p ij = P (X = x i )P (Y = y j ) (i ,j = 1, 2, ...) (užrašyta lygybė yra būtent sąlyga (3.19)). Iš čia

tie. dydžiai X ir Y yra nepriklausomi.

§ 3.7. Atsitiktinio dydžio funkcija. Veiksmai su atsitiktiniais dydžiais

Tegu X yra atsitiktinis dydis. Dažnai reikia atsižvelgti į formos atsitiktinius kintamuosius:

kur g (x) yra duotoji skaitinė funkcija. Kokia yra įrašo (3.20) reikšmė, t.y., sąvoka

atsitiktinio dydžio funkcija?

Tarkime, kad eksperimento rezultatas įvyko įvykis

X = x

y., X reikšmė įgavo reikšmę . Tada pagal apibrėžimą manome, kad šiame eksperimente dydis Y įgavo g (x) reikšmę. Akivaizdu, kad diskrečiam atsitiktiniam dydžiui toks susitarimas visiškai nulemia naują atsitiktinį kintamąjį Y. Kalbant apie nuolatinį atsitiktinį kintamąjį, šis teiginys yra teisingas.

3.1 pasiūlymas. Jei g(x) yra nuolatinė funkcija, tai santykis (3.20) nustato atsitiktinį dydį Y.

Įrodymas. Naudosime sąlygą (3.2), kuri yra lygiavertė atsitiktinio dydžio apibrėžimui. Taigi turime patikrinti, ar bet kuriai atvirai aibei U skaičių eilutėje yra elementarių įvykių rinkinys, kuriam

Tačiau pagal apibrėžimą (3.2) sąlyga (3.22) apibrėžtų elementariųjų įvykių rinkinys yra įvykis. Todėl sąlyga (3.21) lemia įvykį, kurį ir reikėjo įrodyti.

Bet kuriai funkcijai (3.20) atsitiktinis dydis

Y = g(X) ,

kaip ir X, turi savo paskirstymo dėsnį. Kas tai per įstatymas? Apsiribokime nagrinėdami atvejį, kai atsitiktinis dydis X yra diskrečiojo tipo. Tegu skirstymo dėsnį X ​​pateikia lentelė (3.11). Pagal apibrėžimą atsitiktinio dydžio Y pasiskirstymo dėsnį pateikia (3.23) lentelė, kurioje

Pirmąją (3.11) eilutę pakeitėme atitinkamomis funkcijos g (x) reikšmėmis, o antrąją eilutę palikome nepakeistą.

Jei tarp Y verčių yra vienodos reikšmės, turite sujungti atitinkamus stulpelius į vieną stulpelį, pridėdami atitinkamas tikimybes.

3.15 pavyzdys. Tegul atsitiktinis dydis X yra pateiktas pasiskirstymo dėsniu:

Raskite atsitiktinio dydžio Y =X 2 pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas. Norėdami rasti pasiskirstymo dėsnį Y = X 2, visas reikšmes padalome kvadratu ir gauname tokią lentelę

Labai dažnai atsitiktinių dydžių X ir Y, kurie sudaro sistemą, atveju reikia atsižvelgti į jų sumą ir sandaugą. Kadangi tokių ir panašių operacijų su atsitiktiniais dydžiais pasiskirstymo dėsnis apibrėžiamas panašiai, manysime, kad nagrinėjame atsitiktinį kintamąjį

Z =g(X,Y),

kur g (x,y) yra kokia nors skaitmeninė funkcija.

kurių prasmė skaitytojui žinoma. Didumas

Z = g(X, Y)

taip pat bus diskretiškas. Galimos jo reikšmės bus skaičiai z 11 = g (x 1,y 1), z 12 = g (x 1,y 2), ....

Pažvelkime į du atvejus.

1. Visi skaičiai z ij yra skirtingi. Tada įvykisZ =z ij, t.y.

g (X ,Y ) = z ij ,

įvyksta tik tada, kai įvykiai X = x i ir Y = y j įvyksta vienu metu, todėl jo tikimybė bus lygi

P(X= xi , Y= yj ) = pij . 1 ,Y = y 2 ) ir (X = x 3 , Y = y 5 ),

todėl jo tikimybė bus

р 12+ р 35.

Apibendrinant galime pasakyti, kad bus išreikštas reikšmės g (X,Y) pasiskirstymo dėsnis

lentelė (3.25), kurioje stulpeliai su vienodomis reikšmėmis z ij turėtų būti sujungti į vieną, sudedant juose esančias tikimybes p ij.

3.16 pavyzdys. Tegu atsitiktinių dydžių sistemos (X,Y) pasiskirstymo dėsnį duoda lentelė. Raskite jų produkto pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas. Skaičiai z ij šiuo atveju bus

Diskretaus dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis gali būti pateiktas lentelės pavidalu (1.2 lentelė), kuri apibūdina visų atsitiktinių dydžių verčių ir atitinkamų tikimybių visumą:

Be to, visų tikimybių suma, taip pat visos nesuderinamų įvykių grupės tikimybių suma yra lygi vienetui.

1.2 lentelė

Naudojant dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, kiekvienam į sistemą įtrauktam atsitiktiniam dydžiui galima sukonstruoti pasiskirstymo dėsnius.

1.3 lentelė

SV platinimo serija X:

Sąlyginio platinimo dėsnis atsitiktinis kintamasis X su sąlyga, kad atsitiktinis dydis Y=y 0 yra galimų reikšmių rinkinys X kartu su sąlyginėmis tikimybėmis . Skaičiuodami šias tikimybes, turite naudoti sąlyginės tikimybės formulę:

.

Dvimačio SV matematinė lūkestis(X, Y ) vadinama dviejų matematinių lūkesčių rinkiniu. M[X]ir M[ Y], apibrėžta lygybėmis:

,

SV sistemos dispersija(X, Y) vadinama dviejų dispersijų aibe D[X]Ir D[Y], apibrėžta lygybėmis:

, ,

, ,

8 pavyzdys. Pateikta dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo lentelė ( X;Y) (1.5 lentelė).

1.5 lentelė

1.7 lentelė

a) Apskaičiuokite skaitines charakteristikas:

b) Atsitiktinių dydžių sandaugos skaitines charakteristikas randame padauginę jų reikšmes iš atitinkamų tikimybių:

Norėdami rasti sąlyginį matematinį lūkestį, pirmiausia turite rasti atsitiktinio dydžio sąlyginį pasiskirstymą Y su sąlyga, kad X= 0. Dviejų kintamųjų skirstymo lentelei ( X; Y) visas pirmojoje eilutėje esančias tikimybes padalinkite iš . Gauname sąlyginę paskirstymo lentelę Y:

Dabar suraskime sąlyginį matematinį lūkestį:

2 SKYRIUS. MATEMATINĖ STATISTIKA

Savarankiškas darbas pagal paskaitų kursą

Šio tipo darbas apima savarankišką (neprivaloma) šių temų studiją:

1. Pasitikėjimo intervalai normaliojo skirstinio su žinomu σ matematiniam lūkesčiui įvertinti.

2. Matavimo tikslumo įvertinimas.

3. Tikimybės (binominio skirstinio) įvertinimas pagal santykinį dažnį.

4. Pasiskirstymo parametrų taškinio įvertinimo momentų metodas.

5. Didžiausios tikimybės metodas.

6. Kitos variacijų serijos charakteristikos.

7. Paprasčiausi kreivinės koreliacijos atvejai.

8. Daugialypės koreliacijos samprata.

9. Dviejų normalių populiacijų dispersijų palyginimas.

10. Hipotezės apie imties koreliacijos koeficiento reikšmingumą tikrinimas.

Visas išvardytas temas galima rasti gairių pabaigoje pateiktoje literatūroje.

Viena iš pasirinktų temų reikėtų sudaryti pagalbinį paskaitos konspektą, kurį patartina iliustruoti savarankiškai sprendžiama užduotimi.

Savarankiškas darbas atliekant praktines užduotis

Šio tipo darbams, remiantis eksperimentiniais duomenimis, siūloma sukurti tiesinės regresijos modelį.

Sukūrus technologinio proceso ar kito fizikinio reiškinio matematinį modelį, tyrėjui atsiveria galimybė numatyti procesų rezultatus, kai įvykdomos tam tikros sąlygos, tirti kritines situacijas, numatyti gaminio kokybę ir pan.

Atliekant regresijos modelio sudarymo užduotį, būtina pademonstruoti matematinės statistikos terminų supratimą, analizuoti ir remiantis gautais skaičiavimo rezultatais daryti išvadas. Įgyvendinant šį darbą siekiama susisteminti ir pritaikyti žinias, gautas studijuojant temą „Matematinė statistika“.

Apsvarstykime galimybę sukurti tiesinės regresijos modelį remiantis eksperimentiniais duomenimis.

Pavyzdys. Eksperimento metu gauti šie statistiniai duomenys (2.1 lentelė):

2.1 lentelė

Pateiktame pavyzdyje atlikite šias užduotis.

1) Pateikite imtį atsitiktinių dydžių intervalinės statistinės eilutės forma X Ir Y.

2) Atsitiktiniam dydžiui X sukurti dažnio daugiakampį ir histogramą. Raskite empirinio skirstinio funkciją ir nubraižykite ją.

3) Raskite atsitiktinių dydžių imties skaitines charakteristikas (imties vidurkį, nešališką imties dispersiją, nešališką standartinį nuokrypį). X Ir Y.

4) Sudarykite matematinių lūkesčių ir dispersijos pasikliovimo intervalus atsitiktiniam dydžiui X su pasitikėjimo tikimybe β=0,95.

5) Patikrinkite hipotezę apie normalųjį atsitiktinio dydžio pasiskirstymą X.

6) Atlikti koreliacinę analizę.

7) Sukurkite tiesinės regresijos modelį.

Sprendimas. Mėginio dydis yra n=42.

1. Norėdami pavaizduoti imtį intervalų statistinių eilučių pavidalu, nustatome kiekvieno atsitiktinio dydžio intervalų ilgį.

Atsitiktiniam dydžiui X didžiausia reikšmė – 16,25, mažiausia – 8,35. Raskime intervalo ilgį pagal X:

Pasirinkite h x=1.2. Gauname septynis intervalus. Nuo mažiausios reikšmės 8,35 pereikime šiek tiek į kairę, todėl pirmąjį intervalą pradėsime nuo 8,3 reikšmės. Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio pataikymo dažnį X Xįgauna tokią formą (2.2 lentelė):

2.2 lentelė

Atsitiktiniam dydžiui Y didžiausia reikšmė yra 13,0, mažiausia – 1,49. Raskime intervalo ilgį pagal Y:

Pasirinkite h m=1.8. Gauname septynis intervalus. Nuo mažiausios reikšmės 1,49 pereikime šiek tiek į kairę, todėl pirmąjį intervalą pradėsime nuo 1,5 reikšmės. Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio pataikymo dažnį Y kiekviename intervale ir sutinkame, kad ribos reikšmė bus įtraukta į didesnį intervalą. Intervalinės statistinės eilutės, skirtos Yįgauna tokią formą (2.3 lentelė):

2.3 lentelė

2. Sukurti atsitiktinio dydžio dažnio daugiakampį X, raskime kiekvieno intervalo vidutinį ir santykinį dažnį (2.4 lentelė).

2.4 lentelė

2.1 pav. išilgai abscisių ašies pažymime intervalų vidurio taškus x i, išilgai ordinatės – santykiniai dažniai.

Kurdami pasiskirstymo histogramą pažymime intervalų ribas išilgai abscisių ašies, o santykinius dažnius padaliname iš intervalo ilgio pagal ordinačių ašį (2.2 pav.).

Empirinę paskirstymo funkciją randame naudodami formulę:

.

Norint rasti duotosios empirinės skirstinio funkcijos reikšmę X, pakanka suskaičiuoti eksperimentų, kuriuose reikšmė X paėmė vertę, mažesnę nei X, ir padalinkite iš bendro atliktų eksperimentų skaičiaus n.

Nubraižykime empirinio skirstinio funkciją (2.3 pav.).

3. X naudojame lentelę (2.5).

2.5 lentelė

Imties vidurkio formulėje ketvirtame stulpelyje pakeičiame sumą (2.5 lentelė):

Nešališkos imties dispersijos formulėje penktajame stulpelyje pakeičiame sumą (2.5 lentelė):

Apskaičiuoti skaitinių charakteristikų įverčius Y naudojame lentelę (2.6).

2.6 lentelė

Imties vidurkio formulėje ketvirtame stulpelyje pakeičiame sumą (2.6 lentelė):

Nešališkos imties dispersijos formulėje penktajame stulpelyje pakeičiame sumą (2.6 lentelė):

Nešališkas imties standartinis nuokrypis:

4. Sukurkime matematinių lūkesčių ir dispersijos pasikliovimo intervalus atsitiktiniam dydžiui X su pasikliovimo tikimybe β=0,95.

Naudodamiesi priedų 4 lentele, randame Stjudento statistikos reikšmę pasikliovimo tikimybei β=0,95 ir laisvės laipsnių skaičiui. k=42-1=41:

Pusė pasikliautinojo intervalo ilgio:

Gautas vertes pakeičiame į matematinio lūkesčio pasikliautinojo intervalo formulę:

Dispersijos pasikliautinajam intervalui nustatyti, naudodamiesi priedų 3 lentele, rasime χ 2 statistikos reikšmę reikšmingumo lygiui α=1–β=1–0,95=0,05 ir laisvės laipsnių skaičių. k=42-1=41:

Rastas χ 2 statistikos reikšmes pakeiskime dispersijos pasikliautinojo intervalo formule:

Taigi tikrosios matematinio lūkesčio vertės M(x) ir dispersija D(x) patenka į gautus intervalus su tikimybe β=0,95.

5. Patikrinkime hipotezę apie normalųjį atsitiktinio dydžio pasiskirstymą X naudojant Pearsono kriterijų.

Dažnio daugiakampio grafikas ir histograma (išoriškai panaši į Gauso kreivę) rodo, kad populiacija laikosi normalaus pasiskirstymo dėsnio.

Pateikiame pagrindinę hipotezę:

H 0: populiacija vadovaujasi normalaus pasiskirstymo dėsniu.

Tada alternatyvi hipotezė įgauna tokią formą:

H 1: paskirstymo dėsnis nėra normalus.

Nustatome reikšmingumo lygį α=0,05.

Išplėsdami pirmojo ir paskutinio intervalo ribas (2.3 lentelė), visų skaičiavimų rezultatus apibendriname 2.7 lentelėje.

2.7 lentelė

Intervalų ribos	Dažnis
–∞ – 9,5		0,0618		0,022
9,5 – 10,7	0,11440
10,7 – 11,9		0,1983	8,3286	0,335
11,9 – 13,1		0,2396	10,0632	0,423
13,1 – 14,3		0,2218	9,9356	0,082
14,3 – 15,5		0,0986		0,018
15,5 – +∞	0,0654
Suma		1,0062	1,0000	0,88

2.7 lentelės ketvirtame stulpelyje pateikiami teorinių tikimybių skaičiavimo rezultatai, gauti darant prielaidą, kad atsitiktinis dydis atitinka normalaus skirstinio dėsnį, pagal formulę:

Laplaso funkcijos reikšmes galima rasti priedo 2 lentelėje.

Raskime tikimybę patekti į kiekvieną intervalą:

Pirmųjų dviejų intervalų ir paskutinių dviejų teorinis dažnis yra mažesnis nei 5, todėl juos sujungiame antrajame ir ketvirtame stulpelyje (2.7 lentelė).

Penktasis stulpelis (2.7 lentelė) yra skaičiavimų, naudojant formulę, rezultatas:

Neturėtume pamiršti, kad pirmieji du ir paskutiniai du intervalai yra sujungti.

Taigi penktojo stulpelio suma (2.7 lentelė) yra apskaičiuota kriterijaus reikšmė:

Kadangi po sujungimo lieka 5 intervalai ( l= 5), o iš imties buvo nustatyti dviejų parametrų įverčiai, t.y. r=2, tada laisvės laipsnių skaičius yra lygus Naudodami priedo 3 lentelę, randame statistikos reikšmę p=1–α=0,95 ir k= 2:

Palyginę gautas reikšmes, matome, kad

todėl normaliojo skirstinio hipotezė neatmetama.

6. Norėdami atlikti koreliacijos analizę pagal imties duomenis, sukursime koreliacijos lentelę (2.8 lentelė):

2.8 lentelė

Naudodami 3 dalyje gautus skaitinių charakteristikų įverčius, randame imties koreliacijos momentą, naudodami formulę:

Pirmiausia apskaičiuokime sumą:

Imties koreliacijos koeficientą randame naudodami formulę:

Pažymėtina, kad imties koreliacijos koeficiento absoliučia verte artumas vienetui yra rimtas argumentas linijinės regresijos modelio pasirinkimo naudai.

7. Sukurkime tiesinės regresijos modelį.

Remiantis mažiausių kvadratų metodu, buvo gautas tiesinis ryšys Y iš X:

Pakeičiame 3 dalyje gautus skaitinių charakteristikų įverčius:

Supaprastinus išraišką, galiausiai gauname pavyzdinę tiesinės regresijos lygtį:

Taip pat galite sudaryti priklausomybės lygtį X iš Y:

Pakeiskime anksčiau gautus skaitinių charakteristikų įverčius:

Sukonstruokime abi tieses koreliacijos lauke (2.4 pav.). Tiesios linijos susikerta taške . Kampas tarp tiesių linijų, vadinamųjų „žirklių“, pasirodė esantis aštrus, o tai visiškai atitinka gautą imties koreliacijos koeficiento vertę.

Gautas regresijos modelis leidžia numatyti atsitiktinio dydžio reikšmę Y iš X, ir atvirkščiai.

Klausimai savikontrolei

1. Pateikite Bernulio schemos įgyvendinamumo sąlygas?

2. Kokiais atvejais Bernulio formulė pakeičiama apytikslėmis formulėmis

3. Pagrindiniai skirstinių tipai ir jų skaitinės charakteristikos.

4. Kokie yra pagrindiniai matematinės statistikos uždaviniai?

5. Koks yra atrankos metodo principas?

6. Variacijos eilučių samprata, dažnis ir santykinis dažnis.

7. Statistinio atrankos skirstinio ir empirinio pasiskirstymo funkcijos samprata.

8. Apibūdinti statistinių skirstinių grafinio atvaizdavimo metodus.

9. Kokios pasiskirstymo charakteristikos naudojamos matematinėje statistikoje. Pateikite jų naudojimo pavyzdžių ir kontekstą.

10. Nurodykite statistinių įverčių savybes. Kurie iš jų turi žinomus imties pasiskirstymo ypatumus.

11. Intervalinių įverčių tikslumo ir patikimumo samprata.

12. Statistinės hipotezės samprata. Pateikite pagrindinius statistinių hipotezių tipus.

13.Suformuluokite pagrindinį statistinės hipotezės tikrinimo algoritmą.

14. Kokių tipų kritines sritis žinote?

15. Pirmos ir antros rūšies klaidos. Būdai, kaip sumažinti klaidos tikimybę.

16. Statistinės ir koreliacinės priklausomybės samprata.

17. Pagrindiniai koreliacijos teorijos uždaviniai.

18. Imties regresijos koeficientas ir jo savybės.

Nuorodos

1. Bolševas L.N., Smirnovas N.V. Matematinės statistikos lentelės. M.: Nauka, 1983 m.

2. Ventzel E.S. Tikimybių teorija. − M.: Aukštesnis. mokykla, 1998. − 578 p.

3. Ventzel, E.S., Ovcharov, L.A. Tikimybių teorija ir jos inžineriniai pritaikymai. -M.: Nauka, 1988. - 480 p.

4. Ventzel, E.S. Tikimybių teorija: vadovėlis universitetams / E.S. Wenzel - 6th ed., stereotipas. 1999. - 400 p.

5. Gmurman, V.E. Tikimybių teorija ir matematinė statistika: vadovėlis. vadovas universitetams/V.E. Gmurmanas – 9-asis leidimas. stereotipas., - M.: Aukštoji mokykla, 2003. - 479 p.

6. Gmurmanas, V.E. Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos uždavinių sprendimo vadovas: Vadovėlis. vadovas / V.E. Gmurmanas – 5 leid. stereotipas., - M.: Aukštoji mokykla, 1999. - 400 p.

7. Kolde Y.K. Seminaras apie tikimybių teoriją ir matematinę statistiką. -M.: Aukštoji mokykla, 1991. - 157 p.

8. Kolmogorovas A.N., Žurbenko I.G., Prochorovas A.V. Įvadas į tikimybių teoriją. -M.: Mokslas. Pagrindinė fizinės ir matematinės literatūros redakcija, 1982. - 160 p.

9. Rašytiniai, D.T. Paskaitų konspektai apie tikimybių teoriją ir matematinę statistiką. – M.: Iris-press, 2006. – 288 p. – (Aukštasis išsilavinimas).

10. Četyrkinas E.M., Kalikhmanas I.L. Tikimybė ir statistika. -M.: Finansai ir statistika, 1982.- 319 p.

11. Čistjakovas V.P. Tikimybių teorijos kursas. − M.: Nauka, 1982 m.

PARAIŠKOS

1 lentelė

Standartizuotos normaliojo pasiskirstymo tankio funkcijos reikšmės N(0,1)

2 lentelė

Funkcijos reikšmė

Atsitiktinių dydžių sistemos samprata

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo funkcija

1. Apibrėžimas

   Atsitiktinių dydžių sistemos skirstinio funkcijos savybės

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo tankis

1. Apibrėžimas

   Geometrinis ir „mechaninis“ dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo tankio aiškinimas

   Sistemos pasiskirstymo tankio savybės

Į sistemą įtrauktų atskirų dydžių pasiskirstymo dėsniai. Sąlyginiai skirstymo dėsniai

1. Apibrėžimai

   Pasiskirstymo dėsnių daugybos teorema

Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai

1. Apibrėžimas nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos. Koreliacijos momentas.

1. Koreliacijos koeficientas

Ar nesusijusių atsitiktinių dydžių sąvoka yra lygiavertė nepriklausomumo sąvokai?

Savavališko skaičiaus atsitiktinių dydžių sistema

Atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo funkcijos samprata n tolydžios sistemos pasiskirstymo tankio nustatymas

atsitiktiniai dydžiai

Kelių atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Praktiškai taikant tikimybių teoriją, dažnai susiduriama su problemomis, kai eksperimento rezultatas aprašomas ne vienu atsitiktiniu dydžiu, o dviem ar daugiau atsitiktinių dydžių, sudarančių kompleksą ar sistemą. Pavyzdžiui, sviedinio smūgio tašką lemia ne vienas atsitiktinis dydis, o du: abscisė ir ordinatė – ir gali būti laikomas dviejų atsitiktinių dydžių kompleksu. Panašiai nuotolinio sviedinio sprogimo tašką lemia trijų atsitiktinių dydžių kompleksas. Šaudant šūvių grupę smūgio taškų plokštumoje aibė gali būti laikoma atsitiktinių dydžių kompleksu arba sistema: smūgio taškų abscisėmis ir ordinatėmis. Skeveldrai, susidariusiam sviediniui plyšus, būdinga daugybė atsitiktinių dydžių: svoris, dydis, pradinis greitis, skrydžio kryptis ir kt. Sutikime, kad žymime kelių atsitiktinių dydžių sistemą.

Kelių atsitiktinių dydžių sistemos savybės neapsiriboja atskirų ją sudarančių kintamųjų savybėmis: be to, jos apima ir tarpusavio ryšius (priklausomybes) tarp atsitiktinių dydžių.

Svarstant klausimus, susijusius su atsitiktinių dydžių sistemomis, patogu naudotis geometrine sistemos interpretacija. Pavyzdžiui, dviejų atsitiktinių dydžių sistema gali būti pavaizduota kaip atsitiktinis taškas plokštumoje su koordinatėmis ir (1.1 pav.). Panašiai trijų atsitiktinių dydžių sistema gali būti pavaizduota atsitiktiniu tašku trimatėje erdvėje. Dažnai patogu kalbėti apie atsitiktinių dydžių sistemą kaip apie „atsitiktinį tašką matavimo erdvėje“. Nepaisant to, kad pastarasis aiškinimas neturi tiesioginio aiškumo, jo vartojimas suteikia tam tikros naudos dėl bendros terminijos ir žymėjimo supaprastinimo.

Dažnai atsitiktinių dydžių sistemos geometrinei interpretacijai vietoj atsitiktinio taško vaizdo naudojamas atsitiktinio vektoriaus vaizdas. Dviejų atsitiktinių dydžių sistema laikoma atsitiktiniu vektoriumi plokštumoje, kurio komponentai išilgai ašių reiškia atsitiktinius dydžius (1.2 pav.). Trijų atsitiktinių dydžių sistema trimatėje erdvėje pavaizduota atsitiktiniu vektoriumi, o atsitiktinių dydžių sistema – atsitiktiniu vektoriumi matmenų erdvėje. Šiuo atveju atsitiktinių skaičių sistemų teorija laikoma atsitiktinių vektorių teorija.

1.1 pav.

1.2 pav

Nagrinėdami atsitiktinių dydžių sistemas, atsižvelgsime ir į išsamias, baigtines tikimybines charakteristikas – pasiskirstymo dėsnius, ir nepilnas – skaitines charakteristikas.

Pristatymą pradedame nuo paprasčiausio dviejų atsitiktinių dydžių sistemos atvejo.

Dažnai tiriant atsitiktinius reiškinius tenka susidurti ne su vienu atsitiktiniu dydžiu, o su dviem, trim ar daugiau. Bendras baigtinio atsitiktinių dydžių skaičiaus tyrimas veda į atsitiktinių dydžių sistemą. Štai keletas atsitiktinių kintamųjų sistemų pavyzdžių:

• 1. Daugkartinio naudojimo erdvėlaivio Space Shuttle nusileidimo taškas apibūdinamas trijų atsitiktinių dydžių sistema: platuma (av), ilguma (A,), aukštis (H).
• 2. Atsitiktinai atrinkto studento akademiniai rezultatai apibūdinami atsitiktinių dydžių sistema – pažymiais, dedami į diplomo priedą.

Sutvarkytas atsitiktinių dydžių rinkinys >,

pateikta elementariųjų įvykių erdvėje, vadinama n atsitiktinių dydžių sistema. Patogu jį laikyti atsitiktinio vektoriaus koordinatėmis n-matėje erdvėje. n atsitiktinių dydžių sistema yra elementaraus įvykio funkcija, t.y.

Kiekvienas elementarus įvykis yra susietas su n realių skaičių – reikšmėmis, kurias priima atsitiktiniai dydžiai (X, X 2, ..., XJ eksperimento rezultatas).

Atsitiktiniai dydžiai (X 1? X 2, ..., X), įtraukti į sistemą, gali būti diskretieji ir nediskretieji (nuolatiniai ir mišrūs). Visi pagrindiniai vieno atsitiktinio dydžio sąvokos apibrėžimai jiems taikomi praktiškai be pokyčių.

Panagrinėkime dviejų atsitiktinių dydžių (X;Y) sistemą. Jo pagrindinės sąvokos lengvai apibendrinamos didesnio komponentų skaičiaus atveju. Dviejų atsitiktinių dydžių (X;Y) sistema gali būti pavaizduota atsitiktiniu tašku OXY plokštumoje (2.18 pav.) arba atsitiktiniu vektoriumi (2.19 pav.).

Išsami atsitiktinių dydžių sistemos savybė yra jos pasiskirstymo dėsnis, kuris turi įvairių formų:

• paskirstymo matrica;
• paskirstymo funkcija;
• pasiskirstymo tankis.

Dviejų atsitiktinių dydžių (X,Y) sistemos diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X pasiskirstymo serijos analogas yra pasiskirstymo matrica – stačiakampė lentelė, kurioje

tikimybės yra išdėstytos

Įvykis yra įvykių rezultatas (X = x d)

Ir (Y = y).

Dviejų diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo matrica yra tokia:

Atkreipkite dėmesį, kad

Fig. 2.20 paveiksle parodytas dvimačio diskrečiojo atsitiktinio dydžio (X, Y) pasiskirstymo grafikas.

Žinant dvimačio diskretinio atsitiktinio dydžio (X,Y) pasiskirstymo matricą, galima nustatyti kiekvieno komponento pasiskirstymo eilutę (atvirkščiai paprastai neįmanoma).

Reikalingos formulės atrodo taip:

Universaliausia dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skirstinio dėsnio formulė yra pasiskirstymo funkcija, kurią mes žymime F(x, y).

Dviejų atsitiktinių dydžių (X,Y) pasiskirstymo funkcija yra nelygybės X x ir Y y bendro išsipildymo tikimybė, t.y.

Geometriškai F(x, y) interpretuojama kaip tikimybė, kad atsitiktinis taškas (X, Y) pateks į begalinį kvadratą, kurio viršūnė yra taške ( x, y), kuris yra kairėje ir po juo (2.21 pav.).

Atminkite, kad viršutinės ir dešiniosios kvadrato kraštinės neįtrauktos.

Jei pateikiama dviejų diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo matrica (2.49), tai dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija nustatoma pagal formulę:

Pateiksime kai kurias dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos savybes.

1. Paskirstymo funkcijos reikšmių rinkinys F(x, y) priklauso segmentui t.y.

2. Paskirstymo funkcija F(x, y) yra nemažėjanti abiejų jos argumentų funkcija, t.y.

3. Jeigu bent vienas iš skirstymo funkcijos argumentų F(x, y) pasisuka į -oo, tada paskirstymo funkcija virsta nuliu, t.y.

• 4. Jei abu skirstymo funkcijos argumentai F(x, y) pasukite į +oo, tada jis tampa lygus vienetui, ty F(+oo, +oo) = 1.
• 5. Jei vienas iš skirstinio funkcijos argumentų pasisuka į +oo, tai dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo funkcija tampa atsitiktinio dydžio, atitinkančio kitą argumentą, pasiskirstymo funkcija, t.y.

Kur F x (x) ir F 2 (y) - atsitiktinių dydžių X ir Y pasiskirstymo funkcijos atitinkamai.

6. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo funkcija F(x, y) paliekamas tęstinis kiekvieno jos argumento atžvilgiu, t.y.

Paskirstymo funkcijos žinojimas F(x, y), galite rasti tikimybę pataikyti į atsitiktinį tašką ( X, Y) į stačiakampį G, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims, apribotos abscisėmis a, b ir ordinatės c ir d, kai kairioji ir apatinė ribos įtraukiamos į G, bet dešinės ir viršutinės ribos neįtrauktos (2.22 pav.).

Jei paskirstymo funkcija F(x, y) yra tęstinis ir diferencijuojamas kiekvieno iš argumentų atžvilgiu, tada dviejų atsitiktinių dydžių (X, Y) sistema yra tolydi, o šios sistemos komponentai yra tęstiniai atsitiktiniai dydžiai.

Ištisiniams dvimačiams atsitiktiniams dydžiams pasiskirstymo tankio (arba bendro pasiskirstymo tankio) sąvoka įvedama kaip pasiskirstymo dėsnis. f(x, y), kuri yra antroji skirstymo funkcijos mišri dalinė išvestinė, t.y.

Pasiskirstymo tankis f(x, y) vaizduoja tam tikrą paviršių, kuris vadinamas paskirstymo paviršiumi (2.23 pav.).

Pasiskirstymo tankis f(x, y) turi šias savybes:

• 1) pasiskirstymo tankis yra neneigiama funkcija, t.y. f(x, y) > 0;
• 2) pasiskirstymo paviršiaus ir Oxy plokštumos ribojamas tūris lygus vienetui, t.y.

3) atsitiktinio taško (X, Y) patekimo į sritį G tikimybė nustatoma pagal formulę

4) dviejų atsitiktinių dydžių (X, Y) sistemos pasiskirstymo funkcija išreiškiama per bendrą pasiskirstymo tankį taip:

Kaip ir vieno atsitiktinio dydžio atveju, mes pristatome tikimybės elemento sąvoką dviejų nuolatinių atsitiktinių dydžių sistemai: f(x, y)dxdy.

Iki be galo mažų aukštesnių laipsnių, tikimybės elementas f(x, y)dxdy yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis taškas (X, Y) pateks į elementarų stačiakampį su matmenimis dx ir dy, greta taško (x, y)(2.24 pav.).

Ši tikimybė apytiksliai lygi elementaraus gretasienio su aukščiu tūriui f(x, y), kuris remiasi į šį stačiakampį.

Dvimačio nuolatinio atsitiktinio dydžio vienmačių komponentų X ir Y pasiskirstymo tankiai randami naudojant formules

Žinant dvimačio nuolatinio atsitiktinio dydžio bendrą pasiskirstymo tankį/(x, y), galite rasti kiekvieno jo komponento paskirstymo funkciją:

Jei žinomi atsitiktinių dydžių X ir Y, kurie yra įtraukiami į sistemą (X, Y) pasiskirstymo dėsniai, tai nustatyti sistemos pasiskirstymo dėsnį galima tik tada, kai atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi. Du atsitiktiniai dydžiai X ir Y bus nepriklausomi tik tuo atveju, jei kiekvieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias reikšmes turi kitas. Priešingu atveju X ir Y reikšmės priklausys.

Pateikiame be įrodymų dviejų atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlygas.

2.2 teorema. Kad du diskretieji atsitiktiniai dydžiai X ir Y, sudarantys sistemą (X, Y), būtų nepriklausomi, būtina ir pakanka lygybės

jei Vi = 1, n Ir j = 1, T.

2.3 teorema. Tam, kad į sistemą (X, Y) įtraukti atsitiktiniai dydžiai X ir Y būtų nepriklausomi, būtina ir pakanka, kad sistemos skirstymo funkcija būtų lygi jos komponentų pasiskirstymo funkcijų sandaugai, t.y.

2.4 teorema. Kad į sistemą (X, Y) įtraukti ištisiniai atsitiktiniai dydžiai X ir Y būtų nepriklausomi, būtina ir pakanka lygybės

tai yra sistemos (X, Y) jungtinis pasiskirstymo tankis turi būti lygus jos komponentų pasiskirstymo tankių sandaugai.

Tuo atveju, kai sistemą sudarantys atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi, jų priklausomybei apibūdinti įvedamos sąlyginių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnių sąvokos.

Šiame vadove nepaliesime sąlyginių platinimo dėsnių. Norintieji gali su jais susipažinti, pvz.

Kaip ir vienas atsitiktinis dydis X, taip ir dviejų atsitiktinių dydžių sistema (X, Y) gali būti nurodyta skaitinėmis charakteristikomis. Paprastai naudojami įvairių užsakymų pradiniai ir centriniai momentai.

Pradinis užsakymo momentas (Kam + s) dviejų atsitiktinių dydžių sistemos (X ir Y) vadinama matematine sandaugos lūkesčiu. X kįjungta taip, t.y.

Centrinis tvarkos momentas (Kam+ s) dviejų atsitiktinių dydžių (X, Y) sistemos vadinama matematine lūkesčiu

darbai X k ant U®, t.y.

kur centruojami atsitiktiniai

kiekiai.

Prisiminkime, kad pradinių ir centrinių momentų tvarka yra jos indeksų suma, t.y. (Kam+ s).

Pateiksime pradinių ir centrinių momentų radimo formules.

Dviejų diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sistemai turime
Leiskite jums tai priminti

Dviejų nuolatinių atsitiktinių dydžių sistemai gauname

Praktikoje dažniausiai naudojami pirmojo ir antrojo užsakymų pradiniai ir centriniai momentai.

Yra du pradiniai pirmojo užsakymo momentai:

Tai yra atsitiktinių dydžių X ir Y matematiniai lūkesčiai.

Taškas su koordinatėmis ( M[X], M[Y]) OXY plokštumoje – būdinga atsitiktinio taško padėčiai (X, Y), ty jo plitimas vyksta aplink tašką (M[X, M[Y]).

Abu pirmos eilės centriniai momentai lygūs nuliui, t.y.

Yra trys antrojo užsakymo pradiniai momentai:

Akimirka a 11 dažnai randama programose. Iš (2.66) ir (2.68) išraiškų apskaičiuojamos formulės:

Dviejų diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sistemai

Dviejų nuolatinių atsitiktinių dydžių sistemai

Yra trys pagrindiniai antrosios eilės momentai:

Pirmieji du momentai formulėse (2.74) yra dispersijos. Ir akimirka { vadinamas kovariacija, arba atsitiktinių dydžių sistemos (X,Y) koreliacijos momentu. Jai įvedamas specialus žymėjimas K = K xy. Iš (2.67) ir (2.69) reiškinių apskaičiuojamos formulės:

Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sistemai

Ištisinių atsitiktinių dydžių sistemoms

Centriniai momentai gali būti išreikšti pradiniais momentais ir atvirkščiai. Todėl kovariacija dažnai išreiškiama pradiniais momentais.

tai yra, dviejų atsitiktinių dydžių sistemos kovariacija yra lygi matematiniam jų sandaugos lūkesčiui atėmus jų matematinių lūkesčių sandaugą.

Štai keletas kovariacijos savybių:

1. Kovariacija yra simetriška, t.y., sukeitus indeksus, ji nekinta:

2. Atsitiktinio dydžio dispersija yra jo kovariacija su pačiu savimi, t.y.

3. Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tada kovariacija lygi nuliui:

Koreliacijos momento matmuo yra lygus atsitiktinių dydžių X ir Y matmenų sandaugai. Patogiau naudoti bedimensinį koeficientą, apibūdinantį tik priklausomybę tarp atsitiktinių dydžių X ir Y. Todėl kovariacija dalijama standartinių nuokrypių a[X] x a[Y] sandauga ir gaunamas koreliacijos koeficientas:

Šis koeficientas apibūdina atsitiktinių dydžių X ir Y priklausomybės laipsnį, o ne bet kokią, o tik tiesinę. Bet kokiems dviem atsitiktiniams dydžiams X ir Y galioja ši nelygybė:

Jeigu g xy= 0, tada tarp atsitiktinių dydžių X ir Y nėra tiesinio ryšio ir jie vadinami nekoreliuojančiais. Jeigu g xy F 0, tada atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami koreliuojančiais.

Kuo r arčiau ±1, tuo artimesnis tiesinis ryšys tarp atsitiktinių dydžių X ir Y. Jei r = ±1, tai tarp atsitiktinių dydžių X ir Y yra standus funkcinis tiesinis formos ryšys.

Iš atsitiktinių dydžių X ir Y nepriklausomumo išplaukia, kad jie nekoreliuoja. Tačiau bendruoju atveju nėra atvirkščiai, t.y. jei g xy= 0, tai tik rodo, kad tarp atsitiktinių dydžių nėra tiesinio ryšio. Juos gali sieti kreivinis ryšys.

Pažvelkime į konkretų pavyzdį.

2.5 pavyzdys

Pateikta dviejų diskrečiųjų atsitiktinių dydžių (X,Y) sistemos pasiskirstymo matrica.

Raskite skaitines sistemos charakteristikas (X,Y): M[X], M[Y], D[X], D[Y], st[X], a[Y], K)