Jie sako, kad yra nepriklausomi (ir) vienodai paskirstyti, jei kiekvienas iš jų turi tokį patį pasiskirstymą kaip ir kiti, o visi dydžiai visumoje yra nepriklausomi. Frazė „nepriklausoma vienodai paskirstyta“ dažnai trumpinama kaip i.i.d.(iš anglų kalbos nepriklausomi ir vienodai paskirstyti ), kartais – „n.o.r“.
Programos
Prielaida, kad atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę, plačiai naudojami tikimybių teorijoje ir statistikoje, nes leidžia labai supaprastinti teorinius skaičiavimus ir įrodyti įdomius rezultatus.
Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos teoremų – centrinės ribos teorema – teigia, kad jeigu yra nepriklausomų identiškai pasiskirstytų atsitiktinių dydžių seka, tai, kadangi jie linkę į begalybę, jų vidurkio – atsitiktinių dydžių pasiskirstymas konverguoja į normalųjį skirstinį.
Statistikoje paprastai daroma prielaida, kad statistinė imtis yra i.i.d. kokio nors atsitiktinio dydžio realizacijas (tokia imtis vadinama paprastas).
Wikimedia fondas.
- 2010 m.
- T.y.
Intel 8048
Pažiūrėkite, kas yra „Nepriklausomi identiškai paskirstyti atsitiktiniai kintamieji“ kituose žodynuose: Lošėjo griuvėsių problema – Žaidėjo žlugimo problema yra problema iš tikimybių teorijos srities. išsamiai aptarta rusų matematikas
A. N. Shiryaev monografijoje „Tikimybė“ ... Vikipedija Tvarus paskirstymas
- tikimybių teorijoje tai yra skirstinys, kurį galima gauti kaip nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų pasiskirstymo ribą. Turinys 1 Apibrėžimas 2 Pastabos ... Vikipedija Levy-Khinchin formulė stabiliam pasiskirstymui - Stabilus skirstinys tikimybių teorijoje yra skirstinys, kurį galima gauti kaip nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų pasiskirstymo ribą. Turinys 1 Apibrėžimas 2 Pastabos 3 Savybės stabilūs paskirstymai
... Vikipedija Be galo dalomas skirstinys
Cramer-Lundberg modelis- Kramer Lundberg modelis matematinis modelis, kuri leidžia įvertinti draudimo bendrovės žlugimo rizikas. Taikant šį modelį daroma prielaida, kad draudimo įmokos gaunamos vienodai, pagal tarifą nuo sąlyginio piniginių vienetų vienetui... ... Vikipedija
Levy-Chinchin formulė be galo dalijamam skirstymui- Tikimybių teorijoje be galo dalomas skirstinys yra toks atsitiktinio dydžio skirstinys, kurį galima pavaizduoti kaip savavališką nepriklausomų, vienodai paskirstytų terminų skaičių. Turinys 1 Apibrėžimas 2 ... ... Vikipedija
Cramer modelis– Šis straipsnis turėtų būti wikifikuotas. Formatuokite jį pagal straipsnio formatavimo taisykles. Cramer Lundberg modelis yra matematinis modelis, leidžiantis įvertinti draudimo bendrovės bankroto rizikas... Vikipedija
Priėmimo statistinė kontrolė- visuma statistiniais metodais masinių gaminių kontrolę, siekiant nustatyti jų atitiktį nurodytiems reikalavimams. P.S. j. veiksminga priemonė užtikrinti gerą masinių produktų kokybę. P.S. iki. Didžioji sovietinė enciklopedija
Multinominis skirstymas- Daugianaris (polinominis) skirstinys tikimybių teorijoje yra apibendrinimas binominis skirstinys tuo atveju nepriklausomi testai atsitiktinis eksperimentas su keliais galimais rezultatais. Apibrėžimas Leisti nepriklausomam... ... Vikipedija
Polinominis skirstinys- Daugianaris (polinominis) skirstinys tikimybių teorijoje yra dvinario skirstinio apibendrinimas nepriklausomiems atsitiktinio eksperimento testams su keliais galimais rezultatais. Apibrėžimas: Tegul nepriklausomas yra vienodas... ... Vikipedija
Aukščiau nagrinėjome klausimą, kaip rasti PDF statistiškai nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumai. Šiame skyriuje dar kartą pažvelgsime į sumą statistiškai nepriklausomi kiekiai, tačiau mūsų požiūris bus kitoks ir nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių dalinių PDF rinkmenų sumoje. Visų pirma, tarkime, kad sumos nariai yra statistiškai nepriklausomi ir identiškai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, kurių kiekvienas turi ribotą vidurkį ir ribinę dispersiją.
Leisti apibrėžti kaip normalizuotą sumą, vadinamą imties vidurkiu
Pirmiausia nustatysime viršutines uodegos tikimybės ribas, o tada įrodysime labai svarbią teoremą, kuri nustato PDF ribą, kai ji linkusi į begalybę.
Su (2.1.187) apibrėžtu atsitiktiniu dydžiu dažnai susiduriama vertinant atsitiktinio dydžio vidurkį per daugybę stebėjimų, . Kitaip tariant, gali būti laikomas nepriklausomu imties realizavimu iš skirstinio ir yra vidurkio įvertinimas.
Matematinis lūkestis yra
.
Skirtumas yra
Jei laikysime jį vidurkio įvertinimu, pamatysime, kad jo matematinė prognozė yra lygi , o jo sklaida mažėja didėjant imties dydžiui. Jei jis didėja be apribojimų, dispersija linkusi į nulį. Parametrų įvertinimas (in tokiu atveju), kuri tenkina sąlygas tikėtina vertė siekia tikroji prasmė parametras, o dispersija yra griežtai lygi nuliui, vadinamas nuosekliu įvertinimu.
Atsitiktinio dydžio uodegos tikimybę galima įvertinti iš viršaus, naudojant skyriuje pateiktas ribas. 2.1.5. Čebyševo nelygybė atžvilgiu turi formą
,
. (2.1.188)
Riboje kai , iš (2.1.188) išplaukia
. (2.1.189)
Vadinasi, tikimybė, kad vidurkio įvertis skiriasi nuo tikrosios vertės daugiau nei , linksta į nulį, jei jis auga be apribojimų. Ši nuostata yra įstatymo forma dideli skaičiai. Kadangi viršutinė riba į nulį konverguoja gana lėtai, t.y. atvirkščiai. vadinama išraiška (2.1.188). silpnas didelių skaičių dėsnis.
Jei taikysime Černoffo ribą atsitiktiniam dydžiui, kuris turi eksponentinę priklausomybę nuo , tada gausime griežtą viršutinę vienos uodegos tikimybės ribą. Laikantis procedūros, nurodytos skyriuje. 2.1.5, nustatome, kad uodegos tikimybę lemia išraiška
kur ir. Tačiau yra statistiškai nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę. Vadinasi,
kur yra vienas iš kiekių. Parametras , kuris suteikia tiksliausią viršutinę ribą, gaunamas diferencijuojant (2.1.191) ir išvestinę prilyginant nuliui. Tai veda prie lygties
(2.1.192)
Sprendimą (2.1.192) pažymėkime . Tada viršutinės uodegos tikimybės riba yra
,
. (2.1.193)
Panašiai pamatysime, kad apatinė uodegos tikimybė turi ribą
,
. (2.1.194)
2.1.7 pavyzdys. Tegu , yra statistiškai nepriklausomų atsitiktinių dydžių serija, apibrėžta taip:
Norime apibrėžti griežtą viršutinę tikimybės, kad suma yra didesnė už nulį, ribą. Nuo , suma turės neigiama prasmė matematiniam lūkesčiui (vidurkiui), todėl ieškosime viršutinės uodegos tikimybės. Nes (2.1.193) turime
, (2.1.195)
kur yra lygties sprendinys
Vadinasi,
. (2.1.197)
Todėl (2.1.195) esančios ribos gauname
Mes tai matome viršutinis limitas mažėja eksponentiškai su , kaip ir tikėtasi. Priešingai, pagal Čebyševo ribą, uodegos tikimybė mažėja atvirkščiai proporcingai .
Centrinis ribos teorema. Šiame skyriuje nagrinėjame itin naudingą teoremą, susijusią su atsitiktinių dydžių sumos IDF riboje, kai sumos narių skaičius didėja neribotai. Yra keletas šios teoremos versijų. Įrodykime teoremą tuo atveju, kai atsitiktiniai suminiai kintamieji , , yra statistiškai nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę, kiekvienas iš jų turi ribotą vidurkį ir ribotą dispersiją.
Patogumui apibrėžiame normalizuotą atsitiktinį kintamąjį
Taigi jis turi nulinį vidurkį ir vieneto dispersiją.
Dabar leisk
Kadangi kiekviena sumos suma turi nulinį vidurkį ir vieneto dispersiją, vertė, normalizuota (faktoriumi ), turi nulinį vidurkį ir vieneto dispersiją. Norime apibrėžti FMI ribą, kai .
Charakteristinė funkcija yra lygi
, (2.1.200).
,
arba lygiaverčiai
. (2.1.206)
Bet tai tik tiek būdinga funkcija Gauso atsitiktinis dydis su nuliniu vidurkiu ir vieneto dispersija. Taip mes turime svarbus rezultatas; Statistiškai nepriklausomų ir identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių su ribotu vidurkiu ir dispersija sumos PDF artėja prie Gauso ties . Šis rezultatas žinomas kaip centrinės ribos teorema.
Nors manėme, kad atsitiktiniai dydžiai sumoje yra pasiskirstę vienodai, šią prielaidą galima sušvelninti, jei sumuojamų atsitiktinių dydžių savybėms vis dar taikomi tam tikri papildomi apribojimai. Yra vienas teoremos variantas, pavyzdžiui, kai atsisakoma identiško atsitiktinių dydžių pasiskirstymo prielaidos, o trečiajam sumos atsitiktinių dydžių absoliučiam momentui taikoma sąlyga. Norėdami aptarti šią ir kitas centrinės ribos teoremos versijas, skaitytojas remiasi Cramer (1946).
Jau žinoma, kad pagal platinimo dėsnį galima rasti skaitinės charakteristikos atsitiktinis kintamasis. Iš to išplaukia, kad jei keli atsitiktiniai dydžiai turi vienodus skirstinius, tai jų skaitinės charakteristikos yra vienodos.
Pasvarstykime n vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , …,Xn, kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas.
Nagrinėjamų atsitiktinių dydžių aritmetinį vidurkį pažymėkime taip:
.
Šios trys nuostatos nustato ryšį tarp skaitinių aritmetinio vidurkio charakteristikų ir atitinkamų kiekvieno atskiro dydžio charakteristikų.
1. Vidurkio matematinis lūkestis aritmetinis vienas bendrai paskirstyti vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai yra lygūs kiekvienos iš reikšmių matematiniams lūkesčiams:
Įrodymas. Naudojant matematinio lūkesčio savybes ( pastovus veiksnys gali būti paimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas; matematinis sumos lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai), turime
Atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno dydžio matematinė lūkestis pagal sąlygą yra lygus A, mes gauname
.
2. Aritmetinio vidurkio sklaida n identiškai pasiskirstę vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai n kartų mažesnė dispersija D kiekvienas kiekis:
Įrodymas. Pasinaudoję dispersijos savybėmis (pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu; nepriklausomų dydžių sumos sklaida lygi dėmenų dispersijų sumai), gauname
Atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno kiekio sklaida pagal sąlygą yra lygi D, mes gauname
.
3. Vidutinis standartinis nuokrypis aritmetinis vidurkis n identiškai pasiskirstę vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai yra kartų mažesni už kiekvienos reikšmės standartinį nuokrypį:
Įrodymas. Nuo tada standartinis nuokrypis yra lygus
.
Bendra išvada iš (7.3) ir (7.4) formulių: prisimindami, kad dispersija ir standartinis nuokrypis yra atsitiktinio dydžio sklaidos matai, darome išvadą, kad pakanka aritmetinio vidurkio didelis skaičius vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai turi žymiai mažesnę sklaidą nei kiekvienas atskiras kintamasis.
Paaiškinkime pavyzdžiu šios išvados reikšmę praktikai.
Pavyzdys. Paprastai kai kuriuos išmatuoti fizinis kiekis atlikite kelis matavimus, tada suraskite gautų skaičių aritmetinį vidurkį, kuris imamas kaip apytikslė išmatuotos vertės reikšmė. Darant prielaidą, kad matavimai atliekami tomis pačiomis sąlygomis, įrodykite:
a) aritmetinis vidurkis duoda patikimesnį rezultatą nei atskiri matavimai;
b) padidėjus matavimų skaičiui, didėja šio rezultato patikimumas.
Sprendimas. a) Yra žinoma, kad atskiri matavimai suteikia skirtingas išmatuoto kiekio vertes. Kiekvieno matavimo rezultatas priklauso nuo daugelio atsitiktinių priežasčių (temperatūros pokyčių, prietaiso svyravimų ir kt.), į kurias iš anksto visiškai neatsižvelgiama.
Dėl šios priežasties turime teisę apsvarstyti galimus rezultatus n individualūs matavimai kaip atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , …,Xn(indeksas rodo matavimo numerį). Šie dydžiai turi tą patį tikimybių pasiskirstymą (matavimai atliekami tuo pačiu metodu ir tais pačiais instrumentais), todėl ir skaitinės charakteristikos yra vienodos; be to, jie yra vienas nuo kito nepriklausomi (kiekvieno atskiro matavimo rezultatas nepriklauso nuo kitų matavimų).
Kaip parodyta, tokių dydžių aritmetinis vidurkis turi mažesnę sklaidą nei kiekvienas atskiras dydis. Kitaip tariant, aritmetinis vidurkis pasirodo esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės vertės nei atskiro matavimo rezultatas. Tai reiškia, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis duoda patikimesnį rezultatą nei vienas matavimas.
b) Žinoma, kad didėjant atskirų atsitiktinių dydžių skaičiui, mažėja aritmetinio vidurkio sklaida. Tai reiškia, kad didėjant matavimų skaičiui, kelių matavimų aritmetinis vidurkis vis mažiau skiriasi nuo tikrosios išmatuotos vertės vertės. Tačiau padidinus matavimų skaičių gaunamas patikimesnis rezultatas.
Pavyzdžiui, jei atskiro matavimo standartinis nuokrypis yra s = 6 m, ir visa tai padaryta n= 36 matavimai, tada šių matavimų aritmetinio vidurkio standartinis nuokrypis yra tik 1 m.
.
Akivaizdu, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis, kaip ir buvo galima tikėtis, pasirodė esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės nei atskiro matavimo rezultatas.
Tegul žinomi kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai. Kaip rasti šių dydžių sumos standartinį nuokrypį? Atsakymą į šį klausimą duoda tokia teorema.
Teorema. Sumos standartinis nuokrypis baigtinis skaičius vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai yra lygūs kvadratinė šaknis nuo šių dydžių standartinių nuokrypių kvadratų sumos“.
Įrodymas. Pažymėkime pagal X nagrinėjamų tarpusavyje nepriklausomų dydžių suma:
Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi terminų dispersijų sumai (žr. § 5, 1 išvada), todėl
arba pagaliau
Identiškai pasiskirstę vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai
Jau žinoma, kad pagal pasiskirstymo dėsnį galima rasti atsitiktinio dydžio skaitines charakteristikas. Iš to išplaukia, kad jei keli atsitiktiniai dydžiai turi vienodus skirstinius, tai jų skaitinės charakteristikos yra vienodos.
Pasvarstykime P vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X prieš X v ..., Xfi, kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje.
Nagrinėjamų atsitiktinių dydžių aritmetinį vidurkį pažymėkime X:
Šios trys nuostatos nustato ryšį tarp skaitinių aritmetinio vidurkio charakteristikų X ir atitinkamas kiekvieno atskiro dydžio charakteristikas.
1. Identiškai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio matematinis lūkestis yra lygus kiekvieno iš kintamųjų matematiniam tikėjimui a:
Įrodymas. Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis (pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo; matematinė sumos lūkesčiai lygi terminų matematinių lūkesčių sumai), gauname
Atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno dydžio matematinė lūkestis pagal sąlygą yra lygus A, mes gauname
2. n vienodai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio dispersija yra n kartų mažesnė už kiekvieno kintamojo dispersiją D:
Įrodymas. Pasinaudoję dispersijos savybėmis (pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu; nepriklausomų dydžių sumos sklaida lygi dėmenų dispersijų sumai), gauname
§ 9. Identiškai pasiskirstę vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai 97
Atsižvelgdami į tai, kad kiekvieno dydžio dispersija pagal sąlygą yra lygi D, gauname
3. Standartinis nuokrypis nuo n vienodai pasiskirstyto viena nuo kitos nepriklausomos atsitiktinės aritmetinio vidurkio
vertės yra 4n kartus mažesnės už kiekvienos vertės standartinį nuokrypį a:
Įrodymas. Nes D(X) = D/n tada standartinis nuokrypis X lygus
Bendra išvada iš (*) ir (**) formulių: prisimindami, kad dispersija ir standartinis nuokrypis yra atsitiktinio dydžio sklaidos matai, darome išvadą, kad pakankamai didelio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis turi
žymiai mažiau sklaidos nei kiekviena atskira vertė.
Paaiškinkime pavyzdžiu šios išvados reikšmę praktikai.
Pavyzdys. Paprastai tam tikram fizikiniam dydžiui išmatuoti atliekami keli matavimai, tada randamas gautų skaičių aritmetinis vidurkis, kuris imamas apytiksle išmatuoto dydžio reikšme. Darant prielaidą, kad matavimai atliekami tomis pačiomis sąlygomis, įrodykite:
- a) aritmetinis vidurkis duoda patikimesnį rezultatą nei atskiri matavimai;
- b) padidėjus matavimų skaičiui, didėja šio rezultato patikimumas.
Sprendimas, a) Yra žinoma, kad atskiri matavimai duoda nevienodas išmatuoto dydžio vertes. Kiekvieno matavimo rezultatas priklauso nuo daugelio atsitiktinių priežasčių (temperatūros pokyčių, prietaiso svyravimų ir kt.), į kurias iš anksto visiškai atsižvelgti negalima.
Todėl mes turime teisę apsvarstyti galimus rezultatus P individualūs matavimai kaip atsitiktiniai dydžiai X prieš X 2,..., X p(indeksas rodo matavimo numerį). Šie kiekiai turi vienodas paskirstymas tikimybės (matavimai atliekami naudojant tą pačią metodiką ir tuos pačius instrumentus), taigi ir tos pačios skaitinės charakteristikos; be to, jie yra vienas nuo kito nepriklausomi (kiekvieno atskiro matavimo rezultatas nepriklauso nuo kitų matavimų).
Jau žinome, kad tokių dydžių aritmetinis vidurkis turi mažesnę dispersiją nei kiekvienas atskiras dydis. Kitaip tariant, aritmetinis vidurkis pasirodo esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės vertės nei atskiro matavimo rezultatas. Tai reiškia, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis duoda didesnį atvejo rezultatą nei vienas matavimas.
b) Jau žinome, kad didėjant atskirų atsitiktinių dydžių skaičiui, aritmetinio vidurkio sklaida mažėja. Tai reiškia, kad didėjant matavimų skaičiui, kelių matavimų aritmetinis vidurkis vis mažiau skiriasi nuo tikrosios išmatuotos vertės vertės. Taigi, padidinus matavimų skaičių, gaunamas patikimesnis rezultatas.
Pavyzdžiui, jei atskiro matavimo standartinis nuokrypis yra a = 6 m, o bendras P= 36 matavimai, tada šių matavimų aritmetinio vidurkio standartinis nuokrypis yra tik 1 m.
Matome, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis, kaip ir buvo galima tikėtis, pasirodė esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės nei atskiro matavimo rezultatas.
