Lygčių sistemos pavyzdžiai. Lengvų problemų sprendimas naudojant papildymo metodą

Šiame straipsnyje pateikta medžiaga skirta pirmajai pažinčiai su lygčių sistemomis. Čia supažindinsime su lygčių sistemos apibrėžimu ir jos sprendimais, taip pat apsvarstysime dažniausiai pasitaikančius lygčių sistemų tipus. Kaip įprasta, pateiksime aiškinamuosius pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Kas yra lygčių sistema?

Prie lygčių sistemos apibrėžimo eisime palaipsniui. Pirma, sakykime, kad patogu jį pateikti, nurodant du dalykus: pirma, įrašo tipą ir, antra, šiame įraše įterptą reikšmę. Pažvelkime į juos paeiliui, o tada apibendrinkite samprotavimus į lygčių sistemų apibrėžimą.

Tegul prieš mus jų būna keletas. Pavyzdžiui, paimkime dvi lygtis 2 x+y=−3 ir x=5. Parašykime juos vieną po kito, o kairėje pusėje sujunkite juos su garbanotu skliaustu:

Šio tipo įrašai, kurie yra kelios lygtys, išdėstytos stulpelyje ir sujungtos kairėje riestiniu skliaustu, yra lygčių sistemų įrašai.

Ką reiškia tokie įrašai? Jie apibrėžia visų tokių sistemos lygčių sprendinių rinkinį, kuris yra kiekvienos lygties sprendimas.

Nepakenktų tai apibūdinti kitais žodžiais. Tarkime, kad kai kurie pirmosios lygties sprendiniai yra visų kitų sistemos lygčių sprendiniai. Taigi sistemos įrašas tiesiog reiškia juos.

Dabar esame pasirengę tinkamai priimti lygčių sistemos apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Lygčių sistemos iškviesti įrašus, kurie yra lygtys, esančios viena po kitos, sujungtos kairėje riestiniu skliaustu ir žyminčių visų lygčių sprendinių rinkinį, kuris taip pat yra kiekvienos sistemos lygties sprendiniai.

Panašus apibrėžimas pateiktas ir vadovėlyje, tačiau ten jis pateiktas ne bendram atvejui, o dviem racionalioms lygtims su dviem kintamaisiais.

Pagrindiniai tipai

Akivaizdu, kad yra be galo daug skirtingų lygčių. Natūralu, kad taip pat yra begalinis skaičius lygčių sistemų, sudarytų naudojant jas. Todėl, kad būtų patogiau studijuoti ir dirbti su lygčių sistemomis, prasminga jas suskirstyti į grupes pagal panašias charakteristikas, o tada pereiti prie atskirų tipų lygčių sistemų svarstymo.

Pirmasis padalijimas rodo save pagal į sistemą įtrauktų lygčių skaičių. Jei yra dvi lygtys, tai galime sakyti, kad turime dviejų lygčių sistemą, jei yra trys, tai trijų lygčių sistemą ir t. Akivaizdu, kad nėra prasmės kalbėti apie vienos lygties sistemą, nes šiuo atveju iš esmės kalbame apie pačią lygtį, o ne su sistema.

Kitas padalijimas yra pagrįstas kintamųjų, dalyvaujančių rašant sistemos lygtis, skaičiumi. Jei yra vienas kintamasis, tai mes susiduriame su lygčių sistema su vienu kintamuoju (taip pat sakoma su vienu nežinomu), jei yra du, tai su lygčių sistema su dviem kintamaisiais (su dviem nežinomaisiais) ir tt. Pavyzdžiui, yra lygčių sistema su dviem kintamaisiais x ir y.

Tai reiškia visų skirtingų kintamųjų, įtrauktų į įrašymą, skaičių. Nebūtina, kad jie visi būtų įtraukti į kiekvienos lygties įrašą iš karto; Pavyzdžiui, yra lygčių sistema su trimis kintamaisiais x, y ir z. Pirmoje lygtyje kintamasis x yra aiškiai, o y ir z yra implicitiniai (galime manyti, kad šie kintamieji turi nulį), o antroje lygtyje yra x ir z, tačiau kintamasis y nėra aiškiai pateiktas. Kitaip tariant, pirmąją lygtį galima žiūrėti kaip , o antrasis – kaip x+0·y−3·z=0.

Trečias taškas, kuriuo lygčių sistemos skiriasi, yra pačių lygčių tipas.

Mokykloje lygčių sistemų studijos pradedamos nuo dviejų tiesinių lygčių sistemos dviejuose kintamuosiuose. Tai yra, tokios sistemos sudaro dvi tiesines lygtis. Štai keletas pavyzdžių: Ir . Jie mokosi darbo su lygčių sistemomis pagrindų.

Sprendžiant sudėtingesnes problemas taip pat galite susidurti su trijų tiesinių lygčių sistemomis su trimis nežinomaisiais.

Toliau 9 klasėje prie dviejų lygčių sistemų su dviem kintamaisiais pridedamos netiesinės lygtys, dažniausiai ištisos antrojo laipsnio lygtys, rečiau – aukštesniųjų laipsnių. Šios sistemos vadinamos netiesinių lygčių sistemomis, jei reikia, nurodomas lygčių ir nežinomųjų skaičius. Parodykime tokių netiesinių lygčių sistemų pavyzdžius: Ir .

Ir tada sistemose taip pat yra, pavyzdžiui, . Paprastai jos vadinamos tiesiog lygčių sistemomis, nenurodant, kurios lygtys. Čia verta paminėti, kad dažniausiai lygčių sistema tiesiog vadinama „lygčių sistema“, o paaiškinimai pridedami tik prireikus.

Vidurinėje mokykloje, studijuojant medžiagą, į sistemas įsiskverbia iracionalios, trigonometrinės, logaritminės ir eksponentinės lygtys: , , .

Jei pažvelgtume dar plačiau į pirmakursių universitetų programas, pagrindinis dėmesys skiriamas tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemų studijoms ir sprendimams, tai yra lygtims, kurių kairėje pusėje yra pirmojo laipsnio daugianariai. o dešiniosiose pusėse yra tam tikri skaičiai. Bet ten, skirtingai nei mokykloje, jie ima nebe dvi tiesines lygtis su dviem kintamaisiais, o savavališką skaičių lygčių su savavališku kintamųjų skaičiumi, kuris dažnai nesutampa su lygčių skaičiumi.

Koks yra lygčių sistemos sprendimas?

Sąvoka „lygčių sistemos sprendimas“ tiesiogiai reiškia lygčių sistemas. Mokykloje pateikiamas dviejų kintamųjų lygčių sistemos sprendimo apibrėžimas :

Apibrėžimas.

Lygčių sistemos su dviem kintamaisiais sprendimas vadinama šių kintamųjų verčių pora, kuri kiekvieną sistemos lygtį paverčia teisinga, kitaip tariant, yra kiekvienos sistemos lygties sprendimas.

Pavyzdžiui, kintamųjų reikšmių pora x=5, y=2 (ji gali būti parašyta kaip (5, 2)) yra lygčių sistemos sprendimas pagal apibrėžimą, nes sistemos lygtys, kai x= 5, į juos pakeičiami y=2, atitinkamai paverčiami teisingomis skaitinėmis lygybėmis 5+2=7 ir 5−2=3. Tačiau reikšmių pora x=3, y=0 nėra šios sistemos sprendimas, nes pakeičiant šias reikšmes į lygtis, pirmoji iš jų pavirs neteisinga lygybe 3+0=7.

Panašūs apibrėžimai gali būti suformuluoti sistemoms su vienu kintamuoju, taip pat sistemoms su trimis, keturiais ir pan. kintamieji.

Apibrėžimas.

Lygčių sistemos su vienu kintamuoju sprendimas bus kintamojo reikšmė, kuri yra visų sistemos lygčių šaknis, tai yra, visas lygtis paverčiant teisingomis skaitinėmis lygybėmis.

Pateikime pavyzdį. Apsvarstykite lygčių sistemą su vienu formos kintamuoju t . Skaičius −2 yra jo sprendimas, nes ir (−2) 2 =4, ir 5·(−2+2)=0 yra tikrosios skaitinės lygybės. Ir t=1 nėra sistemos sprendimas, nes pakeitus šią reikšmę gautos dvi neteisingos lygybės 1 2 =4 ir 5·(1+2)=0.

Apibrėžimas.

Sistemos sprendimas su trimis, keturiais ir kt. kintamieji vadinami trys, keturi ir t.t. kintamųjų reikšmės, paversdamos visas sistemos lygtis tikrosiomis lygybėmis.

Taigi pagal apibrėžimą kintamųjų x=1, y=2, z=0 reikšmių trigubas yra sistemos sprendimas , kadangi 2·1=2, 5·2=10 ir 1+2+0=3 yra tikrosios skaitinės lygybės. Ir (1, 0, 5) nėra šios sistemos sprendimas, nes pakeičiant šias kintamųjų reikšmes į sistemos lygtis, antroji iš jų virsta neteisinga lygybe 5·0=10, o trečia irgi 1+0+5=3.

Atkreipkite dėmesį, kad lygčių sistemos gali neturėti sprendinių, gali turėti baigtinį sprendinių skaičių, pavyzdžiui, vieną, du, ... arba gali turėti be galo daug sprendinių. Tai pamatysite, kai gilinsitės į temą.

Atsižvelgdami į lygčių sistemos apibrėžimus ir jų sprendinius, galime daryti išvadą, kad lygčių sistemos sprendinys yra visų jos lygčių sprendinių aibių sankirta.

Apibendrinant, pateikiame keletą susijusių apibrėžimų:

Apibrėžimas.

ne sąnarių, jei ji neturi sprendimų, kitaip sistema vadinama jungtis.

Apibrėžimas.

Lygčių sistema vadinama neapibrėžtas, jei jis turi be galo daug sprendinių ir tam tikras, jei jis turi baigtinį skaičių sprendinių arba jų visai neturi.

Šie terminai supažindinami, pavyzdžiui, vadovėlyje, tačiau mokykloje vartojami gana retai, jie dažniau girdimi aukštosiose mokyklose.

Nuorodos.

1. Algebra: vadovėlis 7 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 240 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 17 leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilinis lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ir kt. Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurošas. Aukštosios algebros kursas.
8. Iljinas V. A., Poznyak E. G. Analitinė geometrija: Vadovėlis: Universitetams. – 5-asis leidimas. – M.: Mokslas. Fizmatlit, 1999. – 224 p. – (Aukštosios matematikos ir matematinės fizikos kursas). – ISBN 5-02-015234 – X (3 leidimas)

Šioje pamokoje apžvelgsime tiesinių lygčių sistemos sprendimo būdus. Aukštosios matematikos kursuose tiesinių lygčių sistemas reikia spręsti tiek atskirų užduočių forma, pavyzdžiui, „Išspręskite sistemą Kramerio formulėmis“, tiek sprendžiant kitas problemas. Su tiesinių lygčių sistemomis tenka susidurti beveik visose aukštosios matematikos šakose.

Pirma, šiek tiek teorijos. Ką šiuo atveju reiškia matematinis žodis „linijinis“? Tai reiškia, kad sistemos lygtys Visiįtraukti kintamieji pirmame laipsnyje: be jokių įmantrių dalykų, pvz ir kt., kuriais džiaugiasi tik matematikos olimpiadų dalyviai.

Aukštojoje matematikoje kintamiesiems žymėti naudojamos ne tik iš vaikystės pažįstamos raidės.
Gana populiarus variantas yra kintamieji su indeksais: .
Arba pradinės lotyniškos abėcėlės raidės, mažos ir didelės:
Ne taip jau retai galima rasti graikiškų raidžių: – daugeliui žinomų kaip „alfa, beta, gama“. Taip pat rinkinys su indeksais, tarkime, su raide „mu“:

Vienų ar kitų raidžių rinkinio naudojimas priklauso nuo aukštosios matematikos skyriaus, kuriame susiduriame su tiesinių lygčių sistema. Taigi, pavyzdžiui, tiesinių lygčių sistemose, su kuriomis susiduriama sprendžiant integralus ir diferencialines lygtis, įprasta naudoti žymėjimą

Bet nesvarbu, kaip kintamieji būtų pažymėti, tiesinių lygčių sistemos sprendimo principai, metodai ir metodai nesikeičia. Taigi, jei susidūrėte su kažkuo baisu, pavyzdžiui, neskubėkite užversti problemos knygos iš baimės, juk vietoj jos galite nupiešti saulę, vietoje paukštį, o vietoj jo – veidą (mokytoją). Ir, kad ir kaip būtų juokinga, taip pat galima išspręsti tiesinių lygčių sistemą su šiais žymėjimais.

Jaučiu, kad straipsnis pasirodys gana ilgas, todėl mažas turinys. Taigi, nuoseklus „aprašymas“ bus toks:

– Tiesinių lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu („mokyklos metodas“);
– Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis;
– Sistemos sprendimas naudojant Cramerio formules;
– Sistemos sprendimas naudojant atvirkštinę matricą;
– Sistemos sprendimas Gauso metodu.

Su tiesinių lygčių sistemomis visi yra susipažinę iš mokyklinių matematikos kursų. Iš esmės mes pradedame nuo pasikartojimo.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu

Šis metodas taip pat gali būti vadinamas „mokykliniu metodu“ arba nežinomųjų pašalinimo metodu. Vaizdžiai tariant, jis taip pat gali būti vadinamas „nebaigtu Gauso metodu“.

1 pavyzdys

Čia mums pateikiama dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Atkreipkite dėmesį, kad laisvieji terminai (skaičiai 5 ir 7) yra kairėje lygties pusėje. Apskritai, nesvarbu, kur jie yra, kairėje ar dešinėje, tiesiog aukštosios matematikos uždaviniuose jie dažnai yra taip. Ir toks įrašymas neturėtų sukelti painiavos, jei reikia, sistema visada gali būti parašyta „kaip įprasta“: . Nepamirškite, kad perkeliant terminą iš dalies į kitą, reikia pakeisti jo ženklą.

Ką reiškia išspręsti tiesinių lygčių sistemą? Išspręsti lygčių sistemą reiškia rasti daugybę jos sprendinių. Sistemos sprendimas yra visų į ją įtrauktų kintamųjų reikšmių rinkinys, kuri KIEKVIENĄ sistemos lygtį paverčia tikra lygybe. Be to, sistema gali būti ne sąnarių (neturiu sprendimų).Nesidrovėkite, tai yra bendras apibrėžimas =) Turėsime tik vieną „x“ reikšmę ir vieną „y“ reikšmę, kurios tenkina kiekvieną c-we lygtį.

Yra grafinis sistemos sprendimo metodas, su kuriuo galite susipažinti klasėje. Paprasčiausios problemos su linija. Ten aš kalbėjau apie geometrine prasme dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos. Bet dabar tai algebros era ir skaičiai-skaičiai, veiksmai-veiksmai.

Nuspręskime: iš pirmosios lygties išreiškiame:
Gautą išraišką pakeičiame antrąja lygtimi:

Atidarome skliaustus, pridedame panašius terminus ir randame reikšmę:

Toliau prisimename, dėl ko šokome:
Mes jau žinome vertę, belieka rasti:

Atsakymas:

Kai BET KOKIA lygčių sistema buvo išspręsta bet kokiu būdu, primygtinai rekomenduoju patikrinti (žodžiu, juodraščiu arba skaičiuokle). Laimei, tai daroma lengvai ir greitai.

1) Rastą atsakymą pakeiskite pirmąja lygtimi:

– gaunama teisinga lygybė.

2) Rastą atsakymą pakeiskite antrąja lygtimi:

– gaunama teisinga lygybė.

Arba, paprasčiau tariant, „viskas susidėjo“

Nagrinėjamas sprendimo būdas nėra vienintelis, iš pirmos lygties buvo galima išreikšti , o ne .
Galite padaryti priešingai – išreikškite ką nors iš antrosios lygties ir pakeiskite ją pirmąja lygtimi. Beje, atkreipkite dėmesį, kad nepalankiausias iš keturių metodų yra išreikšti iš antrosios lygties:

Rezultatas yra trupmenos, bet kodėl? Yra racionalesnis sprendimas.

Tačiau kai kuriais atvejais jūs vis tiek negalite išsiversti be trupmenų. Šiuo atžvilgiu norėčiau atkreipti jūsų dėmesį, KAIP užsirašiau posakį. Ne taip: ir jokiu būdu ne taip: .

Jei aukštojoje matematikoje turite reikalų su trupmeniniais skaičiais, pabandykite atlikti visus skaičiavimus paprastomis netinkamomis trupmenomis.

Tiksliai, o ne arba!

Kablelis gali būti naudojamas tik kartais, ypač jei tai yra galutinis atsakymas į kokią nors problemą, ir su šiuo numeriu nereikia atlikti jokių papildomų veiksmų.

Daugelis skaitytojų tikriausiai pagalvojo: „Kodėl toks išsamus paaiškinimas kaip korekcijos klasė, viskas aišku“. Nieko panašaus, atrodo toks paprastas mokyklos pavyzdys, bet yra tiek daug LABAI svarbių išvadų! Štai dar vienas:

Turėtumėte stengtis bet kurią užduotį atlikti racionaliausiu būdu. Jau vien todėl, kad sutaupo laiko ir nervų, o taip pat sumažina tikimybę suklysti.

Jei aukštosios matematikos uždavinyje susidursite su dviejų tiesinių lygčių sistema su dviem nežinomaisiais, tada visada galite naudoti pakeitimo metodą (nebent būtų nurodyta, kad sistemą reikia išspręsti kitu metodu). kad esate niekšas ir sumažinsite savo pažymį už „mokyklos metodo“ naudojimą.
Be to, kai kuriais atvejais patartina naudoti pakeitimo metodą su didesniu kintamųjų skaičiumi.

2 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą

Panaši lygčių sistema dažnai susidaro naudojant vadinamąjį neapibrėžtųjų koeficientų metodą, kai randame trupmeninės racionalios funkcijos integralą. Aptariamą sistemą iš ten paėmiau aš.

Ieškant integralo, tikslas yra greitai rasti koeficientų reikšmes, o ne naudoti Cramerio formules, atvirkštinės matricos metodą ir kt. Todėl šiuo atveju pakeitimo metodas yra tinkamas.

Pateikus kokią nors lygčių sistemą, visų pirma norima išsiaiškinti, ar įmanoma ją kažkaip supaprastinti IŠ karto? Analizuodami sistemos lygtis, pastebime, kad antrąją sistemos lygtį galima padalyti iš 2, ką mes darome:

Nuoroda: matematinis ženklas reiškia „iš to seka“ ir dažnai naudojamas sprendžiant problemas.

Dabar išanalizuokime lygtis, kai kuriuos kintamuosius reikia išreikšti kitais. Kurią lygtį turėčiau pasirinkti? Tikriausiai jau atspėjote, kad lengviausias būdas šiam tikslui yra paimti pirmąją sistemos lygtį:

Čia, nesvarbu, kokį kintamąjį išreikšti, galima taip pat lengvai išreikšti arba .

Tada mes pakeičiame išraišką į antrąją ir trečiąją sistemos lygtis:

Atidarome skliaustus ir pateikiame panašius terminus:

Trečiąją lygtį padalinkite iš 2:

Iš antrosios lygties išreiškiame ir pakeičiame trečiąja lygtimi:

Beveik viskas yra paruošta, iš trečiosios lygties randame:
Iš antrosios lygties:
Iš pirmosios lygties:

Patikrinkite: Rastas kintamųjų reikšmes pakeiskite kiekvienos sistemos lygties kairėje pusėje:

1)
2)
3)

Gaunamos atitinkamos dešinės lygčių pusės, todėl sprendinys randamas teisingai.

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių su 4 nežinomaisiais sistemą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis

Sprendžiant tiesinių lygčių sistemas, reikia stengtis naudoti ne „mokyklinį metodą“, o sistemos lygčių terminų sudėjimo (atėmimo) metodą. Kodėl? Tai taupo laiką ir supaprastina skaičiavimus, tačiau dabar viskas taps aiškiau.

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą:

Naudojau tą pačią sistemą kaip ir pirmame pavyzdyje.
Analizuodami lygčių sistemą, pastebime, kad kintamojo koeficientai yra identiški dydžiu ir priešingi pagal ženklą (–1 ir 1). Esant tokiai situacijai, lygtis galima sudėti po terminą:

Veiksmai, pažymėti raudonai, atliekami PROTINIAI.
Kaip matote, sudėjus terminą po termino, praradome kintamąjį. Tai, tiesą sakant, yra kas metodo esmė – atsikratyti vieno iš kintamųjų.

Patikimesnis nei grafinis metodas, aptartas ankstesnėje pastraipoje.

Pakeitimo metodas

Šį metodą naudojome 7 klasėje tiesinių lygčių sistemoms spręsti. 7 klasėje sukurtas algoritmas yra gana tinkamas bet kurių dviejų lygčių (nebūtinai tiesinių) sistemoms spręsti su dviem kintamaisiais x ir y (žinoma, kintamieji gali būti žymimi ir kitomis raidėmis, kas nesvarbu). Tiesą sakant, šį algoritmą naudojome ankstesnėje pastraipoje, kai dviženklio skaičiaus problema atvedė į matematinį modelį, kuris yra lygčių sistema. Šią lygčių sistemą išsprendėme aukščiau naudodami pakeitimo metodą (žr. 1 pavyzdį iš § 4).

Algoritmas, kaip panaudoti pakeitimo metodą sprendžiant dviejų lygčių sistemą su dviem kintamaisiais x, y.

1. Iš vienos sistemos lygties išreikškite y reikšme x.
2. Vietoj y gautą išraišką pakeiskite kita sistemos lygtimi.
3. Išspręskite gautą x lygtį.
4. Pirmajame žingsnyje gautoje išraiškoje nuo y iki x pakeiskite kiekvieną trečiajame žingsnyje rastos lygties šaknį vietoj x.
5. Atsakymą parašykite reikšmių poromis (x; y), kurios buvo rastos atitinkamai trečiame ir ketvirtame žingsnyje.

4) Pakeiskite po vieną rastą y reikšmę į formulę x = 5 - 3. Jeigu tada
5) Duotos lygčių sistemos poros (2; 1) ir sprendiniai.

Atsakymas: (2; 1);

Algebrinis sudėjimo metodas

Šis metodas, kaip ir pakeitimo metodas, jums pažįstamas iš 7 klasės algebros kurso, kur jis buvo naudojamas tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Prisiminkime metodo esmę naudodami šį pavyzdį.

2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Visus pirmosios sistemos lygties narius padauginkime iš 3, o antrąją lygtį palikime nepakeistą:
Iš pirmosios lygties atimkite antrąją sistemos lygtį:

Algebriškai sudėjus dvi pirminės sistemos lygtis, buvo gauta lygtis, kuri buvo paprastesnė už pateiktos sistemos pirmąją ir antrąją lygtis. Šia paprastesne lygtimi turime teisę pakeisti bet kurią tam tikros sistemos lygtį, pavyzdžiui, antrąją. Tada pateikta lygčių sistema bus pakeista paprastesne sistema:

Šią sistemą galima išspręsti naudojant pakeitimo metodą. Iš antrosios lygties randame šią išraišką vietoj y į pirmąją sistemos lygtį

Belieka pakeisti rastas x reikšmes į formulę

Jei x = 2, tada

Taigi, mes radome du sistemos sprendimus:

Naujų kintamųjų įvedimo metodas

Su naujo kintamojo įvedimo metodu sprendžiant racionaliąsias lygtis su vienu kintamuoju susipažinote 8 klasės algebros kurse. Šio lygčių sistemų sprendimo metodo esmė yra ta pati, tačiau techniniu požiūriu yra keletas ypatybių, kurias aptarsime tolesniuose pavyzdžiuose.

3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Įveskime naują kintamąjį Tada pirmąją sistemos lygtį galima perrašyti paprastesne forma: Išspręskime šią lygtį kintamojo t atžvilgiu:

Abi šios reikšmės atitinka sąlygą ir todėl yra racionalios lygties su kintamuoju t šaknys. Bet tai reiškia, kur mes nustatome, kad x = 2y, arba
Taigi, naudojant naujo kintamojo įvedimo metodą, mums pavyko „susluoksniuoti“ pirmąją gana sudėtingos išvaizdos sistemos lygtį į dvi paprastesnes lygtis:

x = 2 y; y - 2x.

Kas toliau? Ir tada kiekviena iš dviejų gautų paprastų lygčių turi būti nagrinėjama paeiliui sistemoje su lygtimi x 2 - y 2 = 3, kurios mes dar neprisimename. Kitaip tariant, problema kyla sprendžiant dvi lygčių sistemas:

Turime rasti pirmosios, antrosios sistemos sprendimus ir į atsakymą įtraukti visas gautas verčių poras. Išspręskime pirmąją lygčių sistemą:

Pasinaudokime pakeitimo metodu, juolab kad čia jau viskas paruošta: vietoj x į antrąją sistemos lygtį pakeiskime išraišką 2y. Mes gauname

Kadangi x = 2y, atitinkamai randame x 1 = 2, x 2 = 2. Taigi gaunami du duotosios sistemos sprendiniai: (2; 1) ir (-2; -1). Išspręskime antrąją lygčių sistemą:

Vėl panaudokime pakeitimo metodą: raišką 2x vietoj y pakeiskime į antrąją sistemos lygtį. Mes gauname

Ši lygtis neturi šaknų, o tai reiškia, kad lygčių sistema neturi sprendinių. Taigi į atsakymą reikia įtraukti tik pirmosios sistemos sprendinius.

Atsakymas: (2; 1); (-2;-1).

Naujų kintamųjų įvedimo metodas sprendžiant dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas naudojamas dviem variantais. Pirmas variantas: vienas naujas kintamasis įvedamas ir naudojamas tik vienoje sistemos lygtyje. Būtent taip atsitiko 3 pavyzdyje. Antrasis variantas: abiejose sistemos lygtyse įvedami ir vienu metu naudojami du nauji kintamieji. Taip bus 4 pavyzdyje.

4 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Pristatykime du naujus kintamuosius:

Tada atsižvelgkime į tai

Tai leis jums perrašyti pateiktą sistemą daug paprastesne forma, tačiau atsižvelgiant į naujus kintamuosius a ir b:

Kadangi a = 1, tai iš lygties a + 6 = 2 randame: 1 + 6 = 2; 6=1. Taigi, kalbant apie kintamuosius a ir b, gavome vieną sprendimą:

Grįžę prie kintamųjų x ir y, gauname lygčių sistemą

Šiai sistemai išspręsti pritaikykime algebrinio sudėjimo metodą:

Nuo tada iš lygties 2x + y = 3 randame:
Taigi, kalbant apie kintamuosius x ir y, gavome vieną sprendimą:

Užbaikime šią pastraipą trumpu, bet gana rimtu teoriniu pokalbiu. Jūs jau įgijote tam tikros patirties sprendžiant įvairias lygtis: tiesinę, kvadratinę, racionaliąją, iracionaliąją. Jūs žinote, kad pagrindinė lygties sprendimo idėja yra palaipsniui pereiti nuo vienos lygties prie kitos, paprastesnės, bet lygiavertės pateiktai. Ankstesnėje pastraipoje pristatėme lygčių su dviem kintamaisiais lygiavertiškumo sąvoką. Ši sąvoka taip pat naudojama lygčių sistemoms.

Apibrėžimas.

Dvi lygčių sistemos su kintamaisiais x ir y vadinamos lygiavertėmis, jei jos turi tuos pačius sprendinius arba jei abi sistemos neturi sprendinių.

Visi trys metodai (pakeitimas, algebrinis pridėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas), kuriuos aptarėme šiame skyriuje, yra visiškai teisingi lygiavertiškumo požiūriu. Kitaip tariant, taikydami šiuos metodus vieną lygčių sistemą pakeičiame kita, paprastesne, bet lygiaverte pradinei sistemai.

Grafinis lygčių sistemų sprendimo metodas

Mes jau išmokome spręsti lygčių sistemas tokiais įprastais ir patikimais būdais kaip keitimo metodas, algebrinis sudėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas. Dabar prisiminkime metodą, kurį jau studijavote ankstesnėje pamokoje. Tai yra, pakartokime tai, ką žinote apie grafinio sprendimo metodą.

Lygčių sistemų grafinio sprendimo metodas apima kiekvienos konkrečios lygties, kuri yra įtraukta į tam tikrą sistemą ir yra toje pačioje koordinačių plokštumoje, grafiko sudarymą, taip pat kur reikia rasti šių taškų susikirtimo vietas. grafikai. Šiai lygčių sistemai išspręsti reikia šio taško koordinatės (x; y).

Reikėtų atsiminti, kad grafinėje lygčių sistemoje įprasta turėti arba vieną teisingą sprendinį, arba begalinį sprendinių skaičių, arba sprendinių apskritai neturi.

Dabar pažvelkime į kiekvieną iš šių sprendimų išsamiau. Taigi, lygčių sistema gali turėti unikalų sprendimą, jei linijos, kurios yra sistemos lygčių grafikai, susikerta. Jei šios tiesės lygiagrečios, tai tokia lygčių sistema visiškai neturi sprendinių. Jei sistemos lygčių tiesioginiai grafikai sutampa, tai tokia sistema leidžia rasti daug sprendinių.

Na, o dabar pažvelkime į dviejų lygčių su 2 nežinomaisiais sistemos sprendimo algoritmą naudojant grafinį metodą:

Pirma, pirmiausia sudarome 1-osios lygties grafiką;
Antrasis žingsnis bus grafiko, susieto su antrąja lygtimi, sudarymas;
Trečia, turime rasti grafikų susikirtimo taškus.
Ir kaip rezultatas, mes gauname kiekvieno susikirtimo taško koordinates, kurios bus lygčių sistemos sprendimas.

Pažvelkime į šį metodą išsamiau naudodami pavyzdį. Mums duota lygčių sistema, kurią reikia išspręsti:

Lygčių sprendimas

1. Pirmiausia sudarysime šios lygties grafiką: x2+y2=9.

Tačiau reikia pažymėti, kad šis lygčių grafikas bus apskritimas, kurio centras yra pradžioje, o jo spindulys bus lygus trims.

2. Kitas mūsų žingsnis bus sudaryti tokią lygtį kaip: y = x – 3.

Šiuo atveju turime nutiesti tiesę ir rasti taškus (0;−3) ir (3;0).

3. Pažiūrėkime, ką gavome. Matome, kad tiesė kerta apskritimą dviejuose jos taškuose A ir B.

Dabar mes ieškome šių taškų koordinačių. Matome, kad koordinatės (3;0) atitinka tašką A, o koordinatės (0;−3) – tašką B.

Ir ką mes gauname dėl to?

Skaičiai (3;0) ir (0;−3), gauti, kai tiesė kerta apskritimą, yra būtent abiejų sistemos lygčių sprendiniai. Ir iš to išplaukia, kad šie skaičiai taip pat yra šios lygčių sistemos sprendiniai.

Tai yra, atsakymas į šį sprendimą yra skaičiai: (3;0) ir (0;−3).

1. Sistemos sprendimas pakeitimo metodu.
2. Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis.

Siekiant išspręsti lygčių sistemą pakeitimo būdu turite laikytis paprasto algoritmo:
1. Išreikšti. Iš bet kurios lygties išreiškiame vieną kintamąjį.
2. Pakaitalas. Gautą reikšmę vietoj išreikšto kintamojo pakeičiame kita lygtimi.
3. Išspręskite gautą lygtį su vienu kintamuoju. Mes randame sistemos sprendimą.

Norėdami nuspręsti sistema terminų pridėjimo (atimties) metodu reikia:
1. Pasirinkite kintamąjį, kuriam darysime identiškus koeficientus.
2. Sudedame arba atimame lygtis, todėl gauname lygtį su vienu kintamuoju.
3. Išspręskite gautą tiesinę lygtį. Mes randame sistemos sprendimą.

Sistemos sprendimas yra funkcijų grafikų susikirtimo taškai.

Išsamiai apsvarstykime sistemų sprendimą naudodami pavyzdžius.

1 pavyzdys:

Išspręskime pakeitimo metodu

2x+5y=1 (1 lygtis)
x-10y = 3 (2 lygtis)

1. Išreikšti
Matyti, kad antroje lygtyje yra kintamasis x, kurio koeficientas yra 1, vadinasi, lengviausia išreikšti kintamąjį x iš antrosios lygties.
x=3+10m

2.Ją išreiškę, pirmoje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame 3+10y.
2(3+10m)+5m=1

3. Išspręskite gautą lygtį su vienu kintamuoju.
2(3+10y)+5y=1 (atidarykite skliaustus)
6+20m+5m=1
25m = 1-6
25 m = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Lygčių sistemos sprendimas yra grafų susikirtimo taškai, todėl reikia rasti x ir y, nes susikirtimo taškas susideda iš x ir y, pirmame taške, kuriame jį išreiškėme, pakeičiame y .
x=3+10m
x=3+10*(-0,2)=1

Įprasta rašyti taškus pirmoje vietoje rašome kintamąjį x, o antroje kintamąjį y.
Atsakymas: (1; -0,2)

2 pavyzdys:

Išspręskime naudodamiesi terminų pridėjimo (atimties) metodu.

3x-2y=1 (1 lygtis)
2x-3y = -10 (2-oji lygtis)

1. Pasirenkame kintamąjį, tarkime, pasirenkame x. Pirmoje lygtyje kintamasis x turi koeficientą 3, antroje - 2. Koeficientus turime padaryti vienodus, tam turime teisę padauginti lygtis arba padalyti iš bet kurio skaičiaus. Pirmąją lygtį padauginame iš 2, o antrąją iš 3 ir gauname bendrą koeficientą 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3m = -10 |*3
6x-9y=-30

2. Iš pirmosios lygties atimkite antrąją, kad atsikratytumėte kintamojo x Išspręskite tiesinę lygtį.
__6x-4y=2

5m=32 | :5
y = 6,4

3. Raskite x. Rastą y pakeičiame į bet kurią lygtį, tarkime, į pirmąją lygtį.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Susikirtimo taškas bus x=4,6; y = 6,4
Atsakymas: (4.6; 6.4)

Ar norite ruoštis egzaminams nemokamai? Mokytoja internete nemokamai. Jokio pokšto.

Pamoka ir pranešimas tema: "Lygčių sistemos. Pakeitimo metodas, sudėjimo metodas, naujo kintamojo įvedimo būdas"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 9 klasei
Atanasyano L.S. vadovėlių simuliatorius. Vadovėlių simuliatorius Pogorelova A.V.

Nelygybių sistemų sprendimo metodai

Pakeitimo metodas

Kaip reikėtų elgtis priimant sprendimą?
1. Išreikškite vieną iš kintamųjų kitu. Dažniausiai lygtyse naudojami kintamieji x ir y. Vienoje iš lygčių vieną kintamąjį išreiškiame kitu. Patarimas: Prieš pradėdami spręsti, atidžiai peržiūrėkite abi lygtis ir pasirinkite tą, kurioje lengviau išreikšti kintamąjį.
2. Pakeiskite gautą išraišką antrąja lygtimi, o ne kintamąjį, kuris buvo išreikštas.
3. Išspręskite gautą lygtį.
4. Pakeiskite gautą sprendimą antrąja lygtimi. Jei yra keli sprendimai, turite juos pakeisti iš eilės, kad neprarastumėte kelių sprendimų.
5. Dėl to gausite skaičių porą $(x;y)$, kurią reikia užrašyti kaip atsakymą.

Pavyzdys.
Išspręskite sistemą su dviem kintamaisiais, naudodami pakeitimo metodą: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Sprendimas.
Atidžiai pažvelkime į mūsų lygtis. Akivaizdu, kad y išreikšti x pirmoje lygtyje yra daug paprasčiau.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Pirmąją išraišką pakeiskime antrąja lygtimi $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Išspręskime antrąją lygtį atskirai:
$x(5-x) = 6 $.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3) = 0 $.
Gavome du antrosios lygties $x_1=2$ ir $x_2=3$ sprendinius.
Iš eilės pakeiskite antrąją lygtį.
Jei $x=2$, tai $y=3$. Jei $x=3$, tai $y=2$.
Atsakymas bus dvi skaičių poros.
Atsakymas: $(2;3)$ ir $(3;2)$.

Algebrinis sudėjimo metodas

Pavyzdys.
Išspręskite sistemą: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Sprendimas.
Padauginkime pirmąją lygtį iš 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Iš pirmosios lygties atimkime antrąją.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Kaip matote, gautos lygties forma yra daug paprastesnė nei pradinė. Dabar galime naudoti pakeitimo metodą.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Išreikškime x gautoje lygtyje y.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Gavome $y=-1$ ir $y=-3$.
Pakeiskime šias reikšmes nuosekliai į pirmąją lygtį. Gauname dvi skaičių poras: $(1;-1)$ ir $(-1;-3)$.
Atsakymas: $(1;-1)$ ir $(-1;-3)$.

Naujo kintamojo įvedimo būdas

Pavyzdys.
Išspręskite sistemą: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Sprendimas.
Įveskime pakaitalą $t=\frac(x)(y)$.
Pirmąją lygtį perrašykime nauju kintamuoju: $t+\frac(2)(t)=3$.
Išspręskime gautą lygtį:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Gavome $t=2$ arba $t=1$. Įveskime atvirkštinį pakeitimą $t=\frac(x)(y)$.
Gavome: $x=2y$ ir $x=y$.

Kiekvienai išraiškai originali sistema turi būti išspręsta atskirai:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$.      
$\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.     

Pavyzdys.
$\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.

Sprendimas.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.    
$\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Gavome keturias poras sprendimų.
Atsakymas: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Išspręskite sistemą: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\pabaiga(atvejai)$.
Įveskime pakeitimą: $z=\frac(2)(x-3y)$ ir $t=\frac(3)(2x+y)$.
Perrašykime pradines lygtis naujais kintamaisiais:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Naudokime algebrinio sudėjimo metodą:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Pristatykime atvirkštinį pakeitimą:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Naudokime pakeitimo metodą:

$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.