Logaritmų sudėjimas ir atėmimas. Logaritmų savybės ir jų sprendinių pavyzdžiai

Vienas iš primityvaus lygio algebros elementų yra logaritmas. Pavadinimas kilęs iš graikų kalbos iš žodžio „skaičius“ arba „galia“ ir reiškia galią, iki kurios reikia pakelti skaičių bazėje, norint rasti galutinį skaičių.

Logaritmų tipai

log a b – skaičiaus b logaritmas bazei a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b – dešimtainis logaritmas (logaritmas iki 10 bazės, a = 10);
ln b – natūralusis logaritmas (logaritmas į bazę e, a = e).

Kaip išspręsti logaritmus?

B logaritmas iki a bazės yra eksponentas, kuriam b reikia pakelti į bazę a. Gautas rezultatas tariamas taip: „logaritmas nuo b iki bazės a“. Logaritminių uždavinių sprendimas yra tas, kad jums reikia nustatyti nurodytą galią skaičiais iš nurodytų skaičių. Yra keletas pagrindinių logaritmo nustatymo ar sprendimo taisyklių, taip pat pačios žymėjimo konvertavimo. Jais naudojant sprendžiamos logaritminės lygtys, randamos išvestinės, sprendžiami integralai, atliekama daug kitų operacijų. Iš esmės paties logaritmo sprendimas yra supaprastintas jo žymėjimas. Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės ir savybės:

Bet kokiam a ; a > 0; a ≠ 1 ir bet kuriam x ; y > 0.

a log a b = b – pagrindinė logaritminė tapatybė
log a 1 = 0
loga a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , kai k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – perėjimo į naują bazę formulė
log a x = 1/log x a

Kaip išspręsti logaritmus - žingsnis po žingsnio sprendimo instrukcijos

Pirmiausia užrašykite reikiamą lygtį.

Atkreipkite dėmesį: jei bazinis logaritmas yra 10, tada įrašas sutrumpinamas ir gaunamas dešimtainis logaritmas. Jei yra natūralusis skaičius e, tai jį užrašome, sumažindami iki natūraliojo logaritmo. Tai reiškia, kad visų logaritmų rezultatas yra laipsnis, iki kurio pakeliamas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Tiesiogiai sprendimas slypi apskaičiuojant šį laipsnį. Prieš sprendžiant išraišką logaritmu, ją reikia supaprastinti pagal taisyklę, tai yra, naudojant formules. Pagrindines tapatybes galite rasti šiek tiek grįžę į straipsnį.

Sudėdami ir atimdami logaritmus su dviem skirtingais skaičiais, bet su tais pačiais pagrindais, pakeiskite vienu logaritmu atitinkamai skaičių b ir c sandauga arba padalijimu. Tokiu atveju galite pritaikyti perkėlimo į kitą bazę formulę (žr. aukščiau).

Jei naudojate išraiškas logaritmui supaprastinti, reikia atsižvelgti į kai kuriuos apribojimus. Ir tai yra: logaritmo a bazė yra tik teigiamas skaičius, bet ne lygus vienetui. Skaičius b, kaip ir a, turi būti didesnis už nulį.

Pasitaiko atvejų, kai supaprastinus išraišką logaritmo skaičiais apskaičiuoti nepavyks. Pasitaiko, kad tokia išraiška neturi prasmės, nes daugelis galių yra neracionalūs skaičiai. Esant šiai sąlygai, palikite skaičiaus laipsnį kaip logaritmą.

Pradėkime nuo vieneto logaritmo savybės. Jo formuluotė yra tokia: vienybės logaritmas lygus nuliui, tai yra, log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1. Įrodymas nėra sudėtingas: kadangi a 0 =1 bet kuriai a, tenkinančiai aukščiau nurodytas sąlygas a>0 ir a≠1, tai įrodinėtina lygybė log a 1=0 iš karto išplaukia iš logaritmo apibrėžimo.

Pateiksime nagrinėjamos savybės taikymo pavyzdžius: log 3 1=0, log1=0 ir .

Pereikime prie kitos nuosavybės: skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas lygus vienetui, tai yra, log a a=1 jei a>0, a≠1. Iš tiesų, kadangi a 1 =a bet kuriam a, tada pagal logaritmo apibrėžimą log a a = 1.

Šios logaritmų savybės panaudojimo pavyzdžiai yra lygybės log 5 5=1, log 5.6 5.6 ir lne=1.

Pavyzdžiui, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ir .

Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas x ir y yra lygūs šių skaičių logaritmų sandaugai: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Įrodykime sandaugos logaritmo savybę. Dėl laipsnio savybių a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, o kadangi pagal pagrindinę logaritminę tapatybę log a x =x ir log a y =y, tai log a x ·a log a y =x · y. Taigi log a x+log a y =x·y, iš kurio pagal logaritmo apibrėžimą išplaukia įrodoma lygybė.

Parodykime gaminio logaritmo savybės panaudojimo pavyzdžius: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ir .

Produkto logaritmo savybę galima apibendrinti baigtinio skaičiaus n teigiamų skaičių x 1 , x 2 , …, x n sandaugai kaip log a (x 1 · x 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Šią lygybę galima įrodyti be problemų.

Pavyzdžiui, sandaugos natūralusis logaritmas gali būti pakeistas trijų skaičių 4, e ir natūraliųjų logaritmų suma.

Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas x ir y yra lygus šių skaičių logaritmų skirtumui. Dalinio logaritmo savybę atitinka formos formulė, kur a>0, a≠1, x ir y yra kai kurie teigiami skaičiai. Šios formulės pagrįstumas įrodytas kaip ir sandaugos logaritmo formulė: kadangi , tada pagal logaritmo apibrėžimą.

Štai šios logaritmo savybės naudojimo pavyzdys: .

Pereikime prie galios logaritmo savybė. Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir šio laipsnio pagrindo modulio logaritmui. Parašykime šią laipsnio logaritmo savybę kaip formulę: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.

Pirmiausia įrodome šią savybę teigiamam b. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada b p =(a log a b) p , o gauta išraiška dėl galios savybės yra lygi a p·log a b . Taigi gauname lygybę b p =a p·log a b, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą darome išvadą, kad log a b p =p·log a b.

Belieka įrodyti šią savybę neigiamam b. Čia pažymime, kad reiškinys log a b p neigiamam b turi prasmę tik lyginiams eksponentams p (kadangi laipsnio b p reikšmė turi būti didesnė už nulį, antraip logaritmas neturės prasmės), o šiuo atveju b p =|b| p. Tada b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, iš kur log a b p =p·log a |b| .

Pavyzdžiui, ir ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Tai išplaukia iš ankstesnio turto logaritmo savybė nuo šaknies: n-osios šaknies logaritmas yra lygus trupmenos 1/n sandaugai pagal radikalios išraiškos logaritmą, tai yra, , kur a>0, a≠1, n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, b>0.

Įrodymas grindžiamas lygybe (žr.), kuri galioja bet kuriam teigiamam b, ir galios logaritmo savybe: .

Štai šios nuosavybės naudojimo pavyzdys: .

Dabar įrodykime perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė malonus . Tam pakanka įrodyti lygybės log c b=log a b·log c a pagrįstumą. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia mums pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada log c b=log c a log a b . Belieka naudoti laipsnio logaritmo savybę: log c a log a b =log a b log c a. Tai įrodo lygybę log c b=log a b·log c a, o tai reiškia, kad įrodyta ir perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė.

Parodykime keletą šios logaritmų savybės naudojimo pavyzdžių: ir .

Perėjimo prie naujos bazės formulė leidžia pereiti prie darbo su logaritmais, kurie turi „patogų“ pagrindą. Pavyzdžiui, jį galima naudoti norint pereiti prie natūraliųjų arba dešimtainių logaritmų, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę iš logaritmų lentelės. Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat leidžia kai kuriais atvejais rasti tam tikro logaritmo reikšmę, kai žinomos kai kurių logaritmų su kitomis bazėmis reikšmės.

Dažnai naudojamas specialus perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulės atvejis, kai formos c=b . Tai rodo, kad log a b ir log b a – . Pavyzdžiui, .

Formulė taip pat dažnai naudojama , kuris patogus ieškant logaritmų reikšmių. Norėdami patvirtinti savo žodžius, parodysime, kaip jį galima naudoti apskaičiuojant formos logaritmo reikšmę. Turime . Norėdami įrodyti formulę pakanka naudoti perėjimo prie naujos logaritmo bazės a formulę: .

Belieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.

Įrodykime, kad bet kurių teigiamų skaičių b 1 ir b 2 atveju b 1 log a b 2, o a>1 – nelygybė log a b 1

Galiausiai belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų logaritmų savybių. Apsiribokime jo pirmosios dalies įrodymu, tai yra, įrodysime, kad jei a 1 >1, a 2 >1 ir a 1 1 yra tiesa log a 1 b>log a 2 b . Likusieji šios logaritmų savybės teiginiai įrodomi panašiu principu.

Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad 1 > 1, 2 > 1 ir 1 1 yra tiesa log a 1 b≤log a 2 b . Remiantis logaritmų savybėmis, šias nelygybes galima perrašyti kaip Ir atitinkamai, o iš jų išplaukia, kad atitinkamai log b a 1 ≤log b a 2 ir log b a 1 ≥log b a 2. Tada pagal tų pačių bazių laipsnių savybes turi galioti lygybės b log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, tai yra a 1 ≥a 2 . Taigi mes priėjome prietarą sąlygai a 1

Nuorodos.

Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.

Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Skaičiaus logaritmas N remiantis A vadinamas eksponentu X , prie kurios reikia statyti A norėdami gauti numerį N
Su sąlyga, kad
,
,
Iš logaritmo apibrėžimo išplaukia, kad
, t.y.
- ši lygybė yra pagrindinė logaritminė tapatybė.
Logaritmai, pagrįsti 10 baze, vadinami dešimtainiais logaritmais. Vietoj to
rašyti
.
Logaritmai iki pagrindo e yra vadinami natūraliais ir yra paskirti
.
Pagrindinės logaritmų savybės.
Vieneto logaritmas yra lygus nuliui bet kuriai bazei.

Produkto logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.

3) koeficiento logaritmas lygus logaritmų skirtumui

veiksnys
vadinamas perėjimo iš logaritmų į bazę moduliu a prie logaritmų bazėje b .
Naudojant 2–5 savybes, dažnai galima sumažinti sudėtingos išraiškos logaritmą iki paprastų aritmetinių logaritmų operacijų rezultato.
Pavyzdžiui,
Tokios logaritmo transformacijos vadinamos logaritmais. Transformacijos, atvirkštinės logaritmui, vadinamos potenciacija.
2 skyrius. Aukštosios matematikos elementai.
1. Ribos
Funkcijos riba
yra baigtinis skaičius A, jei, kaip xx 0 už kiekvieną iš anksto nustatytą
, yra toks skaičius
kad kai tik
, Tai
.
Funkcija, turinti ribą, skiriasi nuo jos be galo mažu dydžiu:
, kur- b.m.v., t.y.
.
Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją
.
Kai stengiamasi
, funkcija y linkęs į nulį:
1.1. Pagrindinės teoremos apie ribas.
Pastovios vertės riba yra lygi šiai pastoviai vertei

.
Baigtinio skaičiaus funkcijų sumos (skirtumo) riba yra lygi šių funkcijų ribų sumai (skirtumui).

Baigtinio skaičiaus funkcijų sandaugos riba yra lygi šių funkcijų ribų sandaugai.

Dviejų funkcijų koeficiento riba yra lygi šių funkcijų ribų daliniui, jei vardiklio riba nėra lygi nuliui.

Nuostabios ribos
,
, Kur
1.2. Ribų skaičiavimo pavyzdžiai
Tačiau ne visos ribos taip lengvai apskaičiuojamos. Dažniau apskaičiuojant ribą atskleidžiamas tipo neapibrėžtumas: arba .
.
2. Funkcijos išvestinė
Leiskite mums atlikti funkciją
, ištisinis segmente
.
Argumentas šiek tiek padidėjo
. Tada funkcija gaus prieaugį
.
Argumento vertė atitinka funkcijos reikšmę
.
Argumento vertė
atitinka funkcijos reikšmę.
Vadinasi,.
Raskime šio santykio ribą ties
. Jei ši riba egzistuoja, tada ji vadinama duotosios funkcijos išvestine.
3 apibrėžimas Nurodytos funkcijos išvestinė
argumentu vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumento prieaugis savavališkai linksta į nulį.
Funkcijos išvestinė
gali būti žymimas taip:
; ; ; .
4 apibrėžimas Funkcijos išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.
2.1. Mechaninė vedinio reikšmė.
Panagrinėkime kokio nors standaus kūno ar materialaus taško tiesinį judėjimą.
Leiskite tam tikru momentu judantis taškas
buvo per atstumą nuo pradinės padėties
.
Po tam tikro laiko
ji pasitraukė per atstumą
. Požiūris =- vidutinis materialaus taško greitis
. Atsižvelgdami į tai, suraskime šio santykio ribą
.
Vadinasi, momentinio materialaus taško judėjimo greičio nustatymas sumažinamas iki kelio išvestinės laiko atžvilgiu radimo.
2.2. Išvestinės geometrinė reikšmė
Turėkime grafiškai apibrėžtą funkciją
.
Ryžiai. 1. Geometrinė išvestinės reikšmė
Jeigu
, tada tašką
, judės išilgai kreivės, artėdamas prie taško
.
Vadinasi
, t.y. išvestinės reikšmė tam tikrai argumento reikšmei skaitine prasme lygus kampo, kurį sudaro liestinė tam tikrame taške su teigiama ašies kryptimi, tangentei
.
2.3. Pagrindinių diferenciacijos formulių lentelė.
Maitinimo funkcija

Eksponentinė funkcija

Logaritminė funkcija

Trigonometrinė funkcija

Atvirkštinė trigonometrinė funkcija

2.4. Diferencijavimo taisyklės.
Darinys iš

Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė

Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinė

2.5. Sudėtingos funkcijos išvestinė.
Tegu funkcija duota
tokia, kad ją būtų galima pavaizduoti formoje
Ir
, kur kintamasis tai yra tarpinis argumentas
Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi duotosios funkcijos išvestinės tarpinio argumento ir tarpinio argumento išvestinei x atžvilgiu.
1 pavyzdys.
2 pavyzdys.
3. Diferencialinė funkcija.
Tebūnie
, skiriasi tam tikru intervalu
ir tegul adresu ši funkcija turi išvestinę
,
tada galėsime rašyti
(1),
Kur - be galo mažas kiekis,
nuo kada
Padauginus visus lygybės (1) narius iš
mes turime:
Kur
- b.m.v. aukštesnė tvarka.
Didumas
vadinamas funkcijos diferencialu
ir yra paskirtas
.
3.1. Diferencialo geometrinė vertė.
Tegu funkcija duota
.
2 pav. Geometrinė diferencialo reikšmė.
.
Akivaizdu, kad funkcijos skirtumas
yra lygus liestinės ordinatės prieaugiui tam tikrame taške.
3.2. Įvairių eilių dariniai ir diferencialai.
Jei yra
, Tada
vadinamas pirmuoju dariniu.
Pirmojo vedinio vedinys vadinamas antros eilės vediniu ir rašomas
.
Funkcijos n-osios eilės išvestinė
vadinama (n-1) eilės išvestine ir rašoma:
.
Funkcijos diferencialo diferencialas vadinamas antruoju diferencialu arba antros eilės diferencialu.
.

.
3.3 Biologinių problemų sprendimas naudojant diferenciaciją.
1 užduotis. Tyrimai parodė, kad mikroorganizmų kolonijos augimas paklūsta įstatymui
, Kur N – mikroorganizmų skaičius (tūkst.), t – laikas (dienos).
b) Ar šiuo laikotarpiu kolonijos populiacija padidės ar mažės?
Atsakymas. Kolonijos dydis padidės.
2 užduotis. Ežero vanduo periodiškai tiriamas, siekiant stebėti patogeninių bakterijų kiekį. Per t dienų po tyrimo bakterijų koncentracija nustatoma pagal santykį
.
Kada ežere bus minimali bakterijų koncentracija ir ar bus galima jame maudytis?
Sprendimas: Funkcija pasiekia max arba min, kai jos išvestinė lygi nuliui.
,
Nustatykime, maksimalus arba min. bus po 6 dienų. Norėdami tai padaryti, paimkime antrąją išvestinę.

Atsakymas: Po 6 dienų bus minimali bakterijų koncentracija.

Pateikiamos pagrindinės funkcijos ln x natūraliojo logaritmo, grafo, apibrėžimo srities, reikšmių aibės, pagrindinių formulių, išvestinės, integralo, laipsnių eilučių išplėtimo ir atvaizdavimo kompleksiniais skaičiais savybės.

Apibrėžimas

Natūralus logaritmas yra funkcija y = ln x, atvirkštinis eksponentas, x = e y, ir yra logaritmas su skaičiaus e pagrindu: ln x = log e x.

Natūralusis logaritmas plačiai naudojamas matematikoje, nes jo išvestinė yra paprasčiausia: (ln x)′ = 1/x.

Remiantis apibrėžimai, natūraliojo logaritmo pagrindas yra skaičius e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funkcijos y = grafikas ln x.

Natūralaus logaritmo grafikas (funkcijos y = ln x) gaunamas iš eksponentinės grafiko veidrodžio atspindžiu tiesės y = x atžvilgiu.

Natūralusis logaritmas apibrėžiamas teigiamoms kintamojo x reikšmėms.

Jis monotoniškai didėja savo apibrėžimo srityje. 0 Ties x →

natūraliojo logaritmo riba yra minus begalybė (-∞).

Kaip x → + ∞, natūraliojo logaritmo riba yra plius begalybė (+ ∞). Didelio x logaritmas didėja gana lėtai. Bet kuri laipsnio funkcija x a su teigiamu eksponentu a auga greičiau nei logaritmas.

Natūralaus logaritmo savybės

Apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinys, ekstremumai, padidėjimas, sumažėjimas

Natūralusis logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl jis neturi ekstremalių. Pagrindinės natūraliojo logaritmo savybės pateiktos lentelėje.

ln x reikšmės

ln 1 = 0

Pagrindinės natūraliųjų logaritmų formulės

Formulės, išplaukiančios iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:

Pagrindinė logaritmų savybė ir jos pasekmės

Bazės pakeitimo formulė

Bet koks logaritmas gali būti išreikštas natūraliais logaritmais naudojant bazinę pakeitimo formulę:

Šių formulių įrodymai pateikti skyriuje „Logaritmas“.

Atvirkštinė funkcija

Natūralaus logaritmo atvirkštinė vertė yra eksponentas.

Jei, tada

Jei, tada.

Išvestinė ln x
.
Natūralaus logaritmo išvestinė:
.
N-osios eilės vedinys:
.
Išvedimo formulės >>>

Integralinis

Integralas apskaičiuojamas integruojant dalimis:
.
Taigi,

Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius

Apsvarstykite kompleksinio kintamojo z funkciją:
.
Išreikškime kompleksinį kintamąjį z per modulį r ir argumentas φ :
.
Naudodami logaritmo savybes, turime:
.
Arba
.
Argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. Jei įdėsite
, kur n yra sveikas skaičius,
tai bus tas pats skaičius skirtingiems n.

Todėl natūralusis logaritmas, kaip sudėtingo kintamojo funkcija, nėra vienareikšmė funkcija.

Galios serijos išplėtimas

Kai plėtra vyksta:

Naudota literatūra:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Logaritminės išraiškos, sprendimų pavyzdžiai. Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, susijusias su logaritmų sprendimu. Užduotyse keliamas klausimas, kaip rasti posakio prasmę. Pažymėtina, kad logaritmo sąvoka naudojama daugelyje užduočių ir jos prasmės supratimas yra nepaprastai svarbus. Kalbant apie vieningą valstybinį egzaminą, logaritmas naudojamas sprendžiant lygtis, atliekant taikomuosius uždavinius, taip pat atliekant užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu.
Pateiksime pavyzdžių, kad suprastume pačią logaritmo reikšmę:

Pagrindinė logaritminė tapatybė:
Logaritmų savybės, kurias visada reikia atsiminti:
*Darbos logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.
* * *
*Dalyvio (trupos) logaritmas lygus faktorių logaritmų skirtumui.
* * *
*Rodiklio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui.
* * *
*Perėjimas prie naujų pamatų
* * *
Daugiau savybių:
* * *
Logaritmų skaičiavimas yra glaudžiai susijęs su eksponentų savybių naudojimu.
Išvardinkime kai kuriuos iš jų:
Šios savybės esmė ta, kad skaitiklį perkėlus į vardiklį ir atvirkščiai, rodiklio ženklas pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui:
Šios nuosavybės pasekmė:
* * *
Didinant laipsnį į laipsnį, bazė išlieka ta pati, tačiau rodikliai dauginami.
* * *
Kaip matėte, pati logaritmo sąvoka yra paprasta. Svarbiausia, kad jums reikia geros praktikos, kuri suteikia jums tam tikrų įgūdžių. Žinoma, reikia žinoti formules. Jei įgūdis konvertuoti elementarius logaritmus nebuvo išugdytas, tada spręsdami paprastas užduotis galite lengvai suklysti.
Praktikuokite, pirmiausia išspręskite paprasčiausius matematikos kurso pavyzdžius, tada pereikite prie sudėtingesnių. Ateityje tikrai parodysiu, kaip sprendžiami „bražūs“ logaritmai, jie nebus rodomi vieningame valstybiniame egzamine, bet jie yra įdomūs, nepraleiskite jų!
Tai viskas! Sėkmės tau!
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.