4. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankis

Ištisinis atsitiktinis dydis gali būti nurodytas naudojant paskirstymo funkciją F(x) . Šis priskyrimo būdas nėra vienintelis. Nuolatinis atsitiktinis dydis taip pat gali būti nurodytas naudojant kitą funkciją, vadinamą pasiskirstymo tankiu arba tikimybės tankiu (kartais vadinama diferencine funkcija).

Apibrėžimas 4.1: Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis X iškviesti funkciją f (x) - pirmoji paskirstymo funkcijos išvestinė F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad pasiskirstymo funkcija yra pasiskirstymo tankio antidarinė. Atkreipkite dėmesį, kad pasiskirstymo tankis netaikomas diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymui apibūdinti.

Tikimybė, kad nenutrūkstamas atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą intervalą

Žinodami pasiskirstymo tankį, galite apskaičiuoti tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią tam tikram intervalui.

Teorema: Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmes, priklausančias intervalui (a, b), yra lygus tam tikram pasiskirstymo tankio integralui, paimtam diapazone nuoaįb :

Įrodymas: Mes naudojame santykį

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Pagal Niutono-Leibnizo formulę,

Taigi,

.

Nes P(a ≤ X b)= P(a X b) , tada pagaliau gauname

.

Geometriškai gautą rezultatą galima interpretuoti taip: tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią intervalui (a, b), lygus kreivinės trapecijos, apribotos ašimi, plotuiJautis, pasiskirstymo kreivėf(x) ir tiesiaix = aIrx = b.

komentaras: Visų pirma, jei f(x) – funkcija yra lygi, o intervalo galai yra simetriški pradžios atžvilgiu, tada

.

Pavyzdys. Pateiktas atsitiktinio dydžio tikimybės tankis X

Raskite tikimybę, kad atlikus testą X ims reikšmes, priklausančias intervalui (0,5, 1).

Sprendimas: Reikalinga tikimybė

.

Pasiskirstymo funkcijos radimas pagal žinomą pasiskirstymo tankį

Žinant pasiskirstymo tankį f(x) , galime rasti paskirstymo funkciją F(x) pagal formulę

.

tikrai, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Vadinasi,

.

Taigi, Žinodami pasiskirstymo tankį, galite rasti pasiskirstymo funkciją. Žinoma, iš žinomos pasiskirstymo funkcijos galima rasti pasiskirstymo tankį, būtent:

f(x) = F"(x).

Pavyzdys. Raskite pasiskirstymo funkciją duotam pasiskirstymo tankiui:

Sprendimas: Pasinaudokime formule

Jeigu x ≤ a, Tai f(x) = 0 , vadinasi, F(x) = 0 . Jeigu a, tada f(x) = 1/(b-a),

vadinasi,

.

Jeigu x > b, Tai

.

Taigi, reikalinga paskirstymo funkcija

komentaras: Gavome tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją (žr. tolygų pasiskirstymą).

Pasiskirstymo tankio savybės

1 nuosavybė: Pasiskirstymo tankis yra neneigiama funkcija:

f ( x ) ≥ 0 .

2 nuosavybė: Netinkamas pasiskirstymo tankio integralas intervale nuo -∞ iki ∞ yra lygus vienetui:

.

komentaras: Pasiskirstymo tankio grafikas vadinamas pasiskirstymo kreivė.

komentaras: Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis dar vadinamas pasiskirstymo dėsniu.

Pavyzdys. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

Raskite pastovų parametrą a.

Sprendimas: Pasiskirstymo tankis turi tenkinti sąlygą , todėl reikalausime, kad būtų įvykdyta lygybė

.

Iš čia
.

.

Raskime neapibrėžtą integralą:

Apskaičiuokime netinkamą integralą:

.

Taigi reikalingas parametras

Tikėtina pasiskirstymo tankio reikšmė F(x) Leiskite X– nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija f(x) = F"(x) . Pagal pasiskirstymo tankio apibrėžimą,

, arba F(xSkirtumasF(x) +∆x) - X nustato tikimybę, kad (x, xims intervalui priklausančią reikšmę+∆х) (x, xims intervalui priklausančią reikšmę. Taigi tikimybės santykio riba, kad nuolatinis atsitiktinis dydis įgis intervalui priklausančią reikšmę , iki šio intervalo ilgio (at∆x→0 ) yra lygus pasiskirstymo tankio taške reikšmei.

X f(x) Taigi funkcija ) yra lygus pasiskirstymo tankio taške reikšmei nustato kiekvieno taško tikimybių tankio skirstinį

Nes F"(x) = f(x) . Iš diferencialinio skaičiavimo žinoma, kad funkcijos prieaugis yra maždaug lygus funkcijos diferencialui, t.y. Ir = ∆ x dx F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

, Tai Tikimybinė šios lygybės reikšmė yra tokia:x, x+∆ xtikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią intervalui (.

) yra maždaug lygus tikimybės tankio taške x ir intervalo ∆x ilgio sandaugai: Geometriškai šis rezultatas gali būti interpretuojamas taipx, x+∆ xtikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią intervalui (f(x).

) yra maždaug lygus stačiakampio, kurio pagrindas ∆х ir aukštis, plotui

5. Tipiniai diskrečiųjų atsitiktinių dydžių skirstiniai

5.1. Bernulli paskirstymas 5.1 apibrėžimas: X Atsitiktinis kintamasis 1 , atsižvelgiant į dvi vertes 0 Ir su tikimybe („sėkmė“) p ir („nesėkmė“) q , paskambino:

, Bernullievskaja Kur=0,1.

k

5.2. Binominis skirstinys Tegul jis gaminamas nepriklausomi bandymai, kurių kiekviename įvykis A gali pasirodyti arba nepasirodyti. Įvykio tikimybė visuose bandymuose yra pastovi ir lygi su tikimybe („sėkmė“)(taigi ir neįvykimo tikimybė ir („nesėkmė“) = 1 - su tikimybe („sėkmė“)).

Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X– įvykio atvejų skaičius Ašiuose testuose. Atsitiktinis kintamasis X paima vertybes 0,1,2,… Tegul jis gaminamas su tikimybėmis, apskaičiuotomis pagal Bernulio formulę: , Kur Kur = 0,1,2,… Tegul jis gaminamas.

5.2 apibrėžimas: Binominis vadinamas Bernulio formulės nulemtu tikimybių skirstiniu.

Pavyzdys.Į taikinį paleidžiami trys šūviai, kurių kiekvieno smūgio tikimybė yra 0,8. Atsižvelgiant į atsitiktinį kintamąjį X– smūgių į taikinį skaičius. Raskite jo platinimo seriją.

Sprendimas: Atsitiktinis kintamasis X paima vertybes 0,1,2,3 su tikimybėmis, apskaičiuotomis pagal Bernulio formulę, kur Tegul jis gaminamas = 3, su tikimybe („sėkmė“) = 0,8 (pataikymo tikimybė), ir („nesėkmė“) = 1 - 0,8 = = 0,2 (trūkimo tikimybė).

Taigi paskirstymo serija turi tokią formą:

Didelėms reikšmėms naudokite Bernulio formulę Tegul jis gaminamas gana sunku, todėl apskaičiuoti atitinkamas tikimybes naudokite vietinę Laplaso teoremą, kuri leidžia apytiksliai tiksliai rasti įvykio tikimybę Kur kartą per kiekvieną Tegul jis gaminamas bandymai, jei testų skaičius yra pakankamai didelis.

Vietinė Laplaso teorema: Jei tikimybė su tikimybe („sėkmė“)įvykio atsiradimas A
kad įvykis A pasirodys Tegul jis gaminamas testus tiksliai Kur kartų, maždaug lygus (kuo tiksliau, tuo daugiau Tegul jis gaminamas) funkcijos reikšmė
, Kur
, .

1 pastaba: Lentelės su funkcijų reikšmėmis
, yra pateikti 1 priede ir
. Funkcija yra standartinio normaliojo skirstinio tankis (žr. normalųjį skirstinį).

Pavyzdys: Raskite tikimybę, kad įvykis A ateis tiksliai 80 kartą per kiekvieną 400 bandymai, jei šio įvykio atsiradimo tikimybė kiekviename bandyme yra lygi 0,2.

Sprendimas: Pagal sąlygą Tegul jis gaminamas = 400, Kur = 80, su tikimybe („sėkmė“) = 0,2 , ir („nesėkmė“) = 0,8 . Apskaičiuokime reikšmę, kurią nustato užduoties duomenys x:
. Iš 1 priede pateiktos lentelės randame
. Tada reikiama tikimybė bus tokia:

Jei reikia apskaičiuoti tikimybę, kad įvykis A pasirodys Tegul jis gaminamas testų ne mažiau Kur 1 vieną kartą ir ne daugiau Kur 2 kartų, tada reikia naudoti Laplaso integralinę teoremą:

Laplaso integralų teorema: Jei tikimybė su tikimybe („sėkmė“)įvykio atsiradimas A kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo nulio ir vieneto, tada tikimybė kad įvykis A pasirodys Tegul jis gaminamas testai iš Kur 1 į Kur 2 kartų, maždaug lygus tam tikram integralui

, Bernullievskaja
Ir
.

Kitaip tariant, tikimybė, kad įvykis A pasirodys Tegul jis gaminamas testai iš Kur 1 į Kur 2 kartų, maždaug lygus

Bernullievskaja
, Ir .

2 pastaba: Funkcija
vadinama Laplaso funkcija (žr. normalųjį skirstinį). Lentelės su funkcijų reikšmėmis , yra pateikti 2 priede ir
.

Pavyzdys: Raskite tikimybę, kad tarp 400 atsitiktinai parinktos detalės bus neišbandytos nuo 70 iki 100 dalių, jei tikimybė, kad detalė nepraėjo kokybės kontrolės patikrinimo, yra lygi 0,2.

Sprendimas: Pagal sąlygą Tegul jis gaminamas = 400, su tikimybe („sėkmė“) = 0,2 , ir („nesėkmė“) = 0,8, Kur 1 = 70, Kur 2 = 100 . Apskaičiuokime apatinę ir viršutinę integracijos ribas:

;
.

Taigi mes turime:

Iš 2 priede pateiktos lentelės matome, kad
Ir
. Tada reikalinga tikimybė yra:

3 pastaba: Nepriklausomų bandymų serijoje (kai n yra didelis, p yra mažas), Puasono formulė naudojama apskaičiuojant tikimybę, kad įvykis įvyks tiksliai k kartų (žr. Puasono skirstinį).

5.3. Puasono pasiskirstymas

5.3 apibrėžimas: Diskrečiasis atsitiktinis dydis vadinamas Poisson, jei paskirstymo įstatymas yra tokios formos:

, Bernullievskaja
. Iš diferencialinio skaičiavimo žinoma, kad funkcijos prieaugis yra maždaug lygus funkcijos diferencialui, t.y.
(pastovi vertė).

Puasono atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:

Skambučių į automatinę stotį skaičius per tam tikrą laikotarpį T.

Kai kurios radioaktyviosios medžiagos skilimo dalelių skaičius per tam tikrą laikotarpį T.

Televizorių, kurie per tam tikrą laiką atvyksta į dirbtuves, skaičius T dideliame mieste .

Automobilių, kurie atvyks į sankryžos sustojimo liniją dideliame mieste, skaičius .

1 pastaba: Specialios lentelės šioms tikimybėms apskaičiuoti pateiktos 3 priede.

2 pastaba: Nepriklausomų testų serijoje (kai Tegul jis gaminamas puiku, su tikimybe („sėkmė“) nepakanka) tiksliai apskaičiuoti įvykio tikimybę Kur kartus naudojant Puasono formulę:
, Kur
, tai vidutinis įvykių skaičius išlieka pastovus.

3 pastaba: Jei yra atsitiktinis dydis, pasiskirstęs pagal Puasono dėsnį, tai būtinai yra atsitiktinis dydis, pasiskirstęs pagal eksponentinį dėsnį ir atvirkščiai (žr. Eksponentinį skirstymą).

Pavyzdys. Augalas išsiųstas į bazę 5000 geros kokybės gaminiai. Tikimybė, kad gaminys bus sugadintas gabenant, yra lygi 0,0002 . Raskite tikimybę, kad į bazę pateks lygiai trys netinkami naudoti produktai.

Sprendimas: Pagal sąlygą Tegul jis gaminamas = 5000, su tikimybe („sėkmė“) = 0,0002, Kur = 3. Mes surasime λ: λ = n.p.= 5000 · 0,0002 = 1.

Pagal Puasono formulę norima tikimybė yra lygi:

, kur yra atsitiktinis dydis X– netinkamų naudoti gaminių skaičius.

5.4. Geometrinis pasiskirstymas

Tegul atliekami nepriklausomi testai, kurių kiekviename yra įvykio tikimybė A lygus su tikimybe („sėkmė“)(0 p

ir („nesėkmė“) = 1 - su tikimybe („sėkmė“). Iššūkiai baigiasi, kai tik pasirodo įvykis A. Taigi, jei įvykis A pasirodė Kur-tas testas, tada ankstesniame Kur – 1 tai nepasirodė testuose.

Pažymėkime pagal X diskretinis atsitiktinis kintamasis – bandymų, kuriuos reikia atlikti iki pirmojo įvykio, skaičius A. Aišku, galimos vertybės X yra natūralūs skaičiai x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Tegul pirmiausia Kur-1 bandomasis renginys A neatėjo, bet įėjo Kur- pasirodė testas. Šio „sudėtingo įvykio“ tikimybė, remiantis nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema, P (X = Kur) = ir („nesėkmė“) Kur -1 su tikimybe („sėkmė“).

5.4 apibrėžimas: Diskretus atsitiktinis kintamasis turi geometrinis pasiskirstymas, jei jo paskirstymo įstatymas yra tokios formos:

P ( X = Kur ) = ir („nesėkmė“) Kur -1 su tikimybe („sėkmė“) , Kur
.

1 pastaba: Tikėdamas Kur = 1,2,… , gauname geometrinę progresiją su pirmuoju nariu su tikimybe („sėkmė“) ir vardiklis ir („nesėkmė“) (0ir („nesėkmė“). Dėl šios priežasties skirstinys vadinamas geometriniu.

2 pastaba: Eilė
susilieja ir jo suma lygi vienetui. Iš tiesų, serijų suma yra lygi
.

Pavyzdys. Pistoletas šaudomas į taikinį iki pirmojo smūgio. Tikimybė pataikyti į taikinį su tikimybe („sėkmė“) = 0,6 . Raskite tikimybę, kad trečiuoju šūviu įvyks smūgis.

Sprendimas: Pagal sąlygą su tikimybe („sėkmė“) = 0,6, ir („nesėkmė“) = 1 – 0,6 = 0,4, Kur = 3. Reikalinga tikimybė yra:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Hipergeometrinis pasiskirstymas

Panagrinėkime toliau pateiktą problemą. Išleisk vakarėlį N turimi produktai M standartinis (MN). Atsitiktinai paimta iš partijos Tegul jis gaminamas produktai (kiekvienas produktas gali būti išgautas su ta pačia tikimybe), o pasirinktas produktas negrąžinamas į partiją prieš pasirenkant kitą (todėl Bernoulli formulė čia netaikoma).

Pažymėkime pagal X atsitiktinis dydis – skaičius m tarp standartinių produktų Tegul jis gaminamas pasirinktas. Tada galimos vertės X bus 0, 1, 2,…, min ; Pažymėkime juos ir... Autorius nepriklausomo kintamojo (Fonds) reikšmės naudokite mygtuką ( skyrių ...

Ištisinių atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos. Tegul ištisinis atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo funkcija f(x)

Tegul ištisinis atsitiktinis dydis X nurodomas skirstinio funkcija f(x). Tarkime, kad visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso segmentui [ a, b].

Apibrėžimas. Matematinis lūkestis nuolatinis atsitiktinis dydis X, kurio galimos reikšmės priklauso segmentui , vadinamas apibrėžtuoju integralu

Jei visos skaitinės ašies galimos atsitiktinio dydžio reikšmės apžvelgiamos, tada matematinis lūkestis randamas pagal formulę:

Šiuo atveju, žinoma, daroma prielaida, kad netinkamas integralas suartėja.

Apibrėžimas. Dispersija ištisinio atsitiktinio dydžio yra matematinis jo nuokrypio kvadrato lūkestis.

Pagal analogiją su diskretiškojo atsitiktinio dydžio dispersija, norint praktiškai apskaičiuoti dispersiją, naudojama formulė:

Apibrėžimas. Standartinis nuokrypis vadinama dispersijos kvadratine šaknimi.

Apibrėžimas. Mada Diskretaus atsitiktinio dydžio M 0 vadinama jo labiausiai tikėtina reikšme. Nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui režimas yra atsitiktinio dydžio, kuriame pasiskirstymo tankis yra didžiausias, reikšmė.

Jeigu pasiskirstymo daugiakampis diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui arba pasiskirstymo kreivė ištisiniam atsitiktiniam dydžiui turi du ar daugiau maksimumų, tai toks skirstinys vadinamas bimodalinis arba multimodalinis. Jei skirstinys turi minimumą, bet ne maksimumą, tada jis vadinamas antimodalinis.

Apibrėžimas. Mediana Atsitiktinio dydžio X M D yra jo reikšmė, kurios atžvilgiu vienodai tikėtina, kad bus gauta didesnė ar mažesnė atsitiktinio dydžio reikšmė.

Geometriškai mediana yra taško, kuriame pasiskirstymo kreivės ribojamas plotas yra padalintas per pusę, abscisė. Atkreipkite dėmesį, kad jei pasiskirstymas yra unimodalinis, režimas ir mediana sutampa su matematiniais lūkesčiais.

Apibrėžimas. Pradžios momentas tvarka Kur atsitiktinis kintamasis X yra matematinis reikšmės X lūkestis k.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui: .

.

Pirmosios eilės pradinis momentas lygus matematiniam lūkesčiui.

Apibrėžimas. Centrinis momentas tvarka Kur atsitiktinis kintamasis X yra matematinis reikšmės lūkestis

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui: .

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui: .

Pirmosios eilės centrinis momentas visada lygus nuliui, o antros eilės centrinis momentas lygus dispersijai. Trečios eilės centrinis momentas apibūdina skirstinio asimetriją.

Apibrėžimas. Vadinamas trečiosios eilės centrinio momento ir standartinio nuokrypio santykis su trečiąja laipsniu asimetrijos koeficientas.

Apibrėžimas. Pasiskirstymo smailumui ir plokštumui apibūdinti vadinamas dydis perteklius.

Be svarstomų kiekių, taip pat naudojami vadinamieji absoliutieji momentai:

Absoliutus pradžios momentas: . Absoliutus centrinis taškas: . Absoliutus centrinis pirmosios eilės momentas vadinamas aritmetinio vidurkio nuokrypis.

Pavyzdys. Aukščiau aptartame pavyzdyje nustatykite atsitiktinio dydžio X matematinį lūkestį ir dispersiją.

Pavyzdys. Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš jo penkis kartus iš eilės išimamas kamuoliukas, o kiekvieną kartą išimtas kamuoliukas grąžinamas atgal ir kamuoliukai sumaišomi. Atsitiktiniu dydžiu X paėmę išgautų baltų rutuliukų skaičių, sudarykite šios reikšmės pasiskirstymo dėsnį, nustatykite jo matematinį lūkestį ir sklaidą.

Nes kamuoliukai kiekviename eksperimente grąžinami atgal ir sumaišomi, tada bandymus galima laikyti nepriklausomais (ankstesnio eksperimento rezultatas neturi įtakos įvykio atsiradimo ar neįvykimo kitam eksperimente tikimybei).

Taigi kiekvieno eksperimento balto rutulio atsiradimo tikimybė yra pastovi ir lygi

Taigi, atlikus penkis bandymus iš eilės, baltas rutulys gali visai nepasirodyti arba pasirodyti vieną, du, tris, keturis ar penkis kartus. Norėdami sudaryti paskirstymo įstatymą, turite rasti kiekvieno iš šių įvykių tikimybę.

1) Baltas rutulys iš viso nepasirodė:

2) Baltas rutulys pasirodė vieną kartą:

3) Baltas rutulys pasirodys du kartus: .

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Atsitiktiniai kintamieji“.

Užduotis 1 . Į loteriją išleista 100 bilietų. Ištrauktas vienas 50 USD laimėjimas. ir dešimt laimėjimų po 10 USD. Raskite reikšmės X pasiskirstymo dėsnį – galimų laimėjimų kainą.

Sprendimas. Galimos X reikšmės: x 1 = 0; x 2 = 10 ir x 3 = 50. Kadangi „tušti“ bilietai yra 89, tai p 1 = 0,89, tikimybė laimėti 10 USD. (10 bilietų) – p 2 = 0,10 ir laimėti 50 USD -p 3 = 0,01. Taigi:

Lengva valdyti: .

Užduotis 2. Tikimybė, kad pirkėjas iš anksto perskaitė prekės reklamą, yra 0,6 (p = 0,6). Atrankinė reklamos kokybės kontrolė atliekama apklausiant pirkėjus prieš pirmąjį iš anksto išstudijuotąjį reklamą. Sudarykite apklaustų pirkėjų skaičiaus paskirstymo eilutę.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas p = 0,6. Nuo: q=1 -p = 0,4. Pakeitę šias reikšmes, gauname: ir sudaryti paskirstymo seriją:

Užduotis 3. Kompiuteris susideda iš trijų savarankiškai veikiančių elementų: sisteminio bloko, monitoriaus ir klaviatūros. Padidėjus įtampai vieną kartą, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Remdamiesi Bernulio paskirstymu, parenkite sugedusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį per tinklo galios viršįtampią.

Sprendimas. Pasvarstykime Bernulli paskirstymas(arba binominis): tikimybė, kad Tegul jis gaminamas testus, įvykis A pasirodys tiksliai Kur vieną kartą: , arba:

IN Grįžkime prie užduoties.

Galimos X reikšmės (gedimų skaičius):

x 0 =0 – nė vienas elementas nepavyko;

x 1 =1 – vieno elemento gedimas;

x 2 =2 – dviejų elementų gedimas;

x 3 =3 – visų elementų gedimas.

Kadangi pagal sąlygą p = 0,1, tai q = 1 – p = 0,9. Naudodami Bernulio formulę gauname

, ,

, .

Valdymas:.

Todėl reikalingas platinimo įstatymas:

4 problema. Pagaminta 5000 šovinių. Tikimybė, kad viena kasetė yra sugedusi . Kokia tikimybė, kad visoje partijoje bus lygiai 3 sugedusios kasetės?

Sprendimas. Taikoma Puasono pasiskirstymas: Šis skirstinys naudojamas norint nustatyti tikimybę, kad labai didelė

bandymų (masių testų), kurių kiekviename įvykio A tikimybė yra labai maža, įvykis A įvyks k kartų: , Kur.

Čia n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Randame , tada norimą tikimybę: .

5 problema. Šaudant iki pirmojo smūgio su pataikymo tikimybe p = 0,6 šaudant, reikia rasti tikimybę, kad pataikymas įvyks trečiuoju šūviu.

Sprendimas. Taikykime geometrinį skirstinį: atliksime nepriklausomus bandymus, kurių kiekviename įvykyje A yra tikimybė, kad įvyks p (o neįvyks q = 1 – p). Testas baigiasi, kai tik įvyksta įvykis A.

Tokiomis sąlygomis tikimybė, kad įvykis A įvyks k-tajame bandyme, nustatoma pagal formulę: . Čia p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Todėl .

6 problema. Pateikiame atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį:

Raskite matematinį lūkestį.

Sprendimas. .

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė.

7 problema. Raskite atsitiktinio dydžio X dispersiją pagal šį skirstymo dėsnį:

Sprendimas. Čia .

X vertės kvadrato paskirstymo dėsnis 2 :

Būtinas nuokrypis: .

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio nuokrypio (dispersijos) matą nuo jo matematinio lūkesčio.

8 problema. Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas skirstiniu:

Raskite jo skaitines charakteristikas.

Sprendimas: m, m 2 ,

M 2 , m.

Apie atsitiktinį dydį X galime pasakyti: jo matematinė lūkestis yra 6,4 m, o dispersija 13,04 m 2 , arba – jo matematinė prognozė yra 6,4 m su m nuokrypiu. Antroji formuluotė akivaizdžiai aiškesnė.

Užduotis 9. Atsitiktinis kintamasis X pateikta paskirstymo funkcija:
.

Raskite tikimybę, kad atlikus testą reikšmė X įgis intervale esančią reikšmę .

Sprendimas. Tikimybė, kad X paims reikšmę iš tam tikro intervalo, lygi integralinės funkcijos prieaugiui šiame intervale, t.y. . Mūsų atveju ir todėl

.

Užduotis 10. Diskretus atsitiktinis dydis X paskirstymo įstatymas:

Raskite paskirstymo funkciją F(x ) ir nubrėžkite jį.

Sprendimas. Kadangi paskirstymo funkcija,

Už , Tai

adresu ;

adresu ;

adresu ;

adresu ;

Atitinkama diagrama:

11 problema. Nuolatinis atsitiktinis dydis X pateikiama pagal diferencinio paskirstymo funkciją: .

Raskite pataikymo tikimybę X per intervalą

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad tai yra ypatingas eksponentinės paskirstymo įstatymo atvejis.

Naudokime formulę: .

Užduotis 12. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas, nurodytas skirstymo dėsniu:

9. Nuolatinis atsitiktinis dydis, jo skaitinės charakteristikos

Ištisinį atsitiktinį dydį galima nurodyti naudojant dvi funkcijas. Atsitiktinio dydžio X integralinio tikimybių pasiskirstymo funkcija vadinama lygybe apibrėžta funkcija
.

Integralinė funkcija suteikia bendrą būdą nurodyti tiek diskrečius, tiek nuolatinius atsitiktinius dydžius. Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio atveju. Visi įvykiai: turi tą pačią tikimybę, lygią integralinės funkcijos prieaugiui šiame intervale, t. y.. Pavyzdžiui, 26 pavyzdyje nurodytam diskrečiajam atsitiktiniam kintamajam turime:

Taigi nagrinėjamos funkcijos integralinės funkcijos grafikas yra dviejų spindulių ir trijų atkarpų, lygiagrečių Ox ašiai, sąjunga.

27 pavyzdys. Ištisinis atsitiktinis dydis X nurodomas integralinio tikimybių skirstinio funkcija

.

Sukurkite integralinės funkcijos grafiką ir suraskite tikimybę, kad dėl testo atsitiktinis dydis X įgis reikšmę intervale (0,5;1,5).

Sprendimas. Ant intervalo
grafikas yra tiesė y = 0. Intervale nuo 0 iki 2 yra lygties nurodyta parabolė
. Ant intervalo
Grafikas yra tiesė y = 1.

Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X atlikus testą įgis reikšmę intervale (0,5;1,5), randama naudojant formulę.

Taigi,.

Integralinio tikimybių skirstinio funkcijos savybės:

Patogu apibrėžti nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį naudojant kitą funkciją, t. tikimybės tankio funkcija
.

Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio X prisiimta reikšmė patenka į intervalą
, lemia lygybė
.

Funkcijos grafikas vadinamas pasiskirstymo kreivė. Geometriškai tikimybė, kad atsitiktinis dydis X pateks į intervalą, yra lygi atitinkamos kreivinės trapecijos plotui, kurį riboja pasiskirstymo kreivė, Ox ašis ir tiesės
.

Tikimybių tankio funkcijos savybės:

9.1. Ištisinių atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

Laukimas(vidutinė reikšmė) ištisinio atsitiktinio dydžio X nustatoma lygybe
.

M(X) žymimas A. Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio matematiniai lūkesčiai turi panašių savybių kaip ir diskrečiojo atsitiktinio dydžio:

Dispersija diskretinis atsitiktinis dydis X – tai atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis, t.y. . Ištisinio atsitiktinio dydžio dispersija apskaičiuojama pagal formulę
.

Dispersija turi šias savybes:

Paskutinę savybę labai patogu naudoti norint rasti nuolatinio atsitiktinio dydžio dispersiją.

Panašiai įvedama ir standartinio nuokrypio sąvoka. Standartinis tolydžio nuokrypis atsitiktinis dydis X vadinamas dispersijos kvadratine šaknimi, t.y.
.

28 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas tikimybių tankio funkcija
intervale (10;12), už šio intervalo ribų funkcijos reikšmė yra 0. Raskite 1) parametro reikšmę A, 2) matematinė lūkestis M(X), dispersija
, standartinis nuokrypis, 3) integralinė funkcija
ir sudaryti integralinių ir diferencialinių funkcijų grafikus.

1). Norėdami rasti parametrą A naudokite formulę
. Sulauksime. Taigi,
.

2). Norėdami rasti matematinį lūkestį, naudojame formulę: , iš kurios išplaukia, kad
.

Dispersiją rasime naudodami formulę:
, t.y. .

Raskime standartinį nuokrypį naudodami formulę: , iš kurios tai gauname
.

3). Integralinė funkcija išreiškiama per tikimybės tankio funkciją taip:
. Vadinasi,
adresu
, = 0 at
u = 1 at
.

Šių funkcijų grafikai pateikti fig. 4. ir pav. 5.

4 pav.5 pav.

9.2. Tolygus ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys

Ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstinys tolygiai intervale, jei jo tikimybės tankis yra pastovus šiame intervale ir lygus nuliui už šio intervalo ribų, t.y. . Šiuo atveju tai lengva parodyti
.

Jei intervalas
yra įtrauktas į intervalą, tada
.

29 pavyzdys. Momentinis signalo įvykis turi įvykti nuo pirmos iki penktos valandos. Signalo laukimo laikas yra atsitiktinis dydis X. Raskite tikimybę, kad signalas bus aptiktas nuo antros iki trečios valandos po pietų.

Sprendimas. Atsitiktinis dydis X turi tolygų pasiskirstymą, o naudojant formulę nustatome, kad tikimybė, kad signalas bus tarp 2 ir 3 valandos po pietų, yra lygi
.

Mokomojoje ir kitoje literatūroje jis dažnai žymimas literatūroje per
.

9.3. Įprastas nuolatinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymas vadinamas normaliuoju, jei jo tikimybių pasiskirstymo dėsnį lemia tikimybių tankis
. Už tokius kiekius A– matematiniai lūkesčiai,
- standartinis nuokrypis.

Teorema. Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs nuolatinis atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą intervalą
nustatoma pagal formulę
, Kur
- Laplaso funkcija.

Šios teoremos pasekmė yra trijų sigmų taisyklė, t.y. Beveik neabejotina, kad normaliai paskirstytas nuolatinis atsitiktinis kintamasis X įgauna savo reikšmes intervale
. Šią taisyklę galima išvesti iš formulės
, kuris yra ypatingas suformuluotos teoremos atvejis.

30 pavyzdys. Televizoriaus eksploatavimo laikas yra atsitiktinis dydis X, kuriam taikomas normalus paskirstymo įstatymas, su 15 metų garantiniu laikotarpiu ir 3 metų standartiniu nuokrypiu. Raskite tikimybę, kad televizorius tarnaus nuo 10 iki 20 metų.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas matematinis lūkestis A= 15, standartinis nuokrypis.

Raskime . Taigi tikimybė, kad televizorius veiks nuo 10 iki 20 metų, yra didesnė nei 0,9.

9.4. Čebyševo nelygybė

Vyksta Čebyševo lema. Jei atsitiktinis kintamasis X turi tik neneigiamas reikšmes ir turi matematinius lūkesčius, tada bet koks teigiamas V
.

Atsižvelgdami į tai, kad , kaip priešingų įvykių tikimybių sumą, gauname tai
.

Čebyševo teorema. Jei atsitiktinis dydis X turi baigtinę dispersiją
ir matematinis lūkestis M(X), tada bet koks teigiamas nelygybė yra tiesa
.

Iš kur tai seka
.

31 pavyzdys. Pagaminta partija detalių. Vidutinis dalių ilgis – 100 cm, o standartinis nuokrypis – 0,4 cm. Apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktinai paimtos detalės ilgis bus ne mažesnis kaip 99 cm. ir ne daugiau 101cm.

Sprendimas. Dispersija. Matematinis lūkestis yra 100. Todėl aptariamo įvykio tikimybę vertinti iš žemiau
pritaikykime Čebyševo nelygybę, kurioje
, Tada
.

10. Matematinės statistikos elementai

Statistinis agregatasįvardykite vienarūšių objektų ar reiškinių rinkinį. Skaičius nšio rinkinio elementai vadinami kolekcijos apimtimi. Pastebėtos vertybės X bruožas vadinamas parinktys. Jei parinktys išdėstytos didėjančia seka, mes gauname diskrečių variacijų serija. Grupavimo atveju pasirodo, kad yra parinktis pagal intervalus intervalo variacijų serija. Pagal dažnis t būdingos reikšmės supranta populiacijos narių skaičių su tam tikru variantu.

Statistinės visumos dažnio ir apimties santykis vadinamas santykinis dažnisženklas:
.

Variacijų serijos variantų ir jų dažnių ryšys vadinamas imties statistinis pasiskirstymas. Grafinis statistinio pasiskirstymo vaizdas gali būti daugiakampis dažnis

32 pavyzdys. Apklausus 25 pirmakursius, gauti šie duomenys apie jų amžių:
. Sudarykite statistinį mokinių pasiskirstymą pagal amžių, suraskite variacijos diapazoną, sukonstruokite dažnio daugiakampį ir sudarykite santykinių dažnių skirstinių eilę.

Sprendimas. Naudodami apklausos metu gautus duomenis sudarysime statistinį imties skirstinį

Variacijos imties diapazonas yra 23 – 17 = 6. Norėdami sudaryti dažnio daugiakampį, sudarykite taškus su koordinatėmis
ir sujungti juos nuosekliai.

Santykinio dažnio pasiskirstymo eilutė yra tokia:

10.1.Skaitinės variacijų eilučių charakteristikos

Tegu pavyzdį pateikia X požymio dažnių skirstinių seka:

Visų dažnių suma yra lygi p.

Imties aritmetinis vidurkis nurodykite kiekį
.

Dispersija arba charakteristikos X reikšmių sklaidos matas jos aritmetinio vidurkio atžvilgiu vadinamas reikšme
. Standartinis nuokrypis yra kvadratinė šaknis nuo dispersijos, t.y. .

Standartinio nuokrypio ir imties aritmetinio vidurkio santykis, išreikštas procentais, vadinamas variacijos koeficientas:
.

Empirinė santykinio dažnio pasiskirstymo funkcija iškvieskite funkciją, kuri kiekvienai reikšmei nustato santykinį įvykio dažnį
, t.y.
, Kur - variantų skaičius, mažesnis ) yra lygus pasiskirstymo tankio taške reikšmei, A n– imties dydis.

33 pavyzdys. 32 pavyzdžio sąlygomis raskite skaitines charakteristikas
.

Sprendimas. Raskime imties aritmetinį vidurkį naudodami formulę, tada .

X požymio dispersija randama pagal formulę: , t.y. Standartinis imties nuokrypis yra
. Variacijos koeficientas yra
.

10.2. Tikimybių įvertinimas santykiniu dažniu. Pasitikėjimo intervalas

Tegul tai bus įvykdyta n nepriklausomi bandymai, kurių kiekviename įvykio A atsiradimo tikimybė yra pastovi ir lygi r. Šiuo atveju tikimybė, kad santykinis dažnis skirsis nuo įvykio A pasireiškimo tikimybės kiekviename bandyme absoliučia verte, yra ne didesnė kaip apytiksliai dvigubai Laplaso integralinės funkcijos vertei:
.

Intervalo įvertinimas vadinkite tokį įvertį, kuris nustatomas dviem skaičiais, kurie yra intervalo, apimančio apskaičiuotą statistinės visumos parametrą, galai.

Pasitikėjimo intervalasyra intervalas, kuris su nurodyta pasikliovimo tikimybe apima apskaičiuotą statistinės visumos parametrą. Atsižvelgiant į formulę, kurioje pakeičiame nežinomą kiekį r iki apytikslės vertės gautus iš pavyzdinių duomenų gauname:
. Ši formulė naudojama tikimybei įvertinti pagal santykinį dažnį. Skaičiai
, atsižvelgiant į dvi vertes
vadinama apatine ir atitinkamai viršutine pasitikėjimo ribos, – didžiausia tam tikros patikimumo tikimybės paklaida
.

34 pavyzdys. Gamyklos ceche gaminamos lemputės. Patikrinus 625 lempas, nustatyta, kad 40 sugedo. Su 0,95 pasikliovimo tikimybe raskite ribas, kuriose yra gamykloje pagamintų sugedusių lempučių procentas.

Sprendimas. Pagal užduoties sąlygas. Mes naudojame formulę
. Naudodamiesi priedo 2 lentele, randame argumento reikšmę, kurioje Laplaso integralo funkcijos reikšmė lygi 0,475. Mes tai gauname
. Taigi,. Todėl su 0,95 tikimybe galime teigti, kad cecho gaminamų defektų dalis yra didelė, ty svyruoja nuo 6,2% iki 6,6%.

10.3. Parametrų įvertinimas statistikoje

Tegul visos tiriamos populiacijos (bendros populiacijos) kiekybinė charakteristika X turi normalųjį pasiskirstymą.

Jei žinomas standartinis nuokrypis, tai pasikliautinasis intervalas, apimantis matematinį lūkestį A

, Kur n- mėginio dydis, - imties aritmetinis vidurkis, t yra Laplaso integralios funkcijos argumentas, kuriame
. Šiuo atveju skaičius
vadinamas įvertinimo tikslumu.

Jei standartinis nuokrypis nežinomas, tai iš imties duomenų galima sudaryti atsitiktinį kintamąjį, kurio Stjudento skirstinys su n– 1 laisvės laipsnis, kurį lemia tik vienas parametras n ir nepriklauso nuo nežinomųjų A Ir . Studento t pasiskirstymas net ir mažiems mėginiams
duoda gana patenkinamus įvertinimus. Tada pasikliautinasis intervalas, apimantis matematinius lūkesčius Ašios savybės su tam tikra pasitikėjimo tikimybe randama iš sąlygos

, kur S yra pataisytas vidutinis kvadratas, - Studento koeficientas, rastas iš duomenų
iš priedo 3 lentelės.

Pasikliautinasis intervalas, apimantis šios charakteristikos standartinį nuokrypį su pasitikėjimo tikimybe, randamas naudojant formules: ir , kur
rasta iš verčių lentelės ir („nesėkmė“) pagal duomenis.

10.4. Statistiniai atsitiktinių dydžių priklausomybių tyrimo metodai

Y koreliacinė priklausomybė nuo X yra sąlyginio vidurkio funkcinė priklausomybė iš X. Lygtis
reiškia Y regresijos lygtį X ir
- X regresijos lygtis Y.

Koreliacijos priklausomybė gali būti linijinė arba kreivinė. Esant tiesinės koreliacijos priklausomybei, tiesios regresijos linijos lygtis yra tokia:
, kur šlaitas A Tiesi regresijos linija Y ant X vadinama imties regresijos koeficientu Y ant X ir žymima
.

Mažoms imtims duomenys negrupuojami, parametrai
randami naudojant mažiausių kvadratų metodą iš normaliųjų lygčių sistemos:

, Kur n– tarpusavyje susijusių dydžių porų verčių stebėjimų skaičius.

Imties tiesinės koreliacijos koeficientas rodo glaudų ryšį tarp Y ir X. Koreliacijos koeficientas randamas naudojant formulę
, ir
, būtent:

Tiesios regresijos linijos Y pavyzdinė lygtis X yra tokia:

.

Su daugybe X ir Y charakteristikų stebėjimų, sudaroma koreliacijos lentelė su dviem įvestimis, kurių vertė yra ta pati. ) yra lygus pasiskirstymo tankio taške reikšmei pastebėta kartų, ta pati reikšmė adresu pastebėta kartų, ta pati pora
pastebėta vieną kartą.

35 pavyzdys. Pateikta ženklų X ir Y stebėjimų lentelė.

Raskite X tiesios regresijos linijos Y pavyzdinę lygtį.

Sprendimas. Ryšys tarp tiriamų charakteristikų gali būti išreikštas Y tiesės regresijos lygtimi X: . Norėdami apskaičiuoti lygties koeficientus, sudarysime skaičiavimo lentelę:

Kaip žinoma, atsitiktinis kintamasis vadinamas kintamu dydžiu, kuris, priklausomai nuo atvejo, gali įgyti tam tikras reikšmes. Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis (X, Y, Z), o jų reikšmės – atitinkamomis mažosiomis raidėmis (x, y, z). Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į nenutrūkstamus (diskretuosius) ir tęstinius.

Diskretus atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kuris ima tik baigtinę arba begalinę (skaičiuojamą) reikšmių rinkinį su tam tikromis nulinėmis tikimybėmis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra funkcija, jungianti atsitiktinio dydžio reikšmes su atitinkamomis tikimybėmis. Paskirstymo dėsnį galima nurodyti vienu iš šių būdų.

1 . Paskirstymo dėsnį galima pateikti pagal lentelę:

kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) naudojant pasiskirstymo funkcija F(x) , kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x) = P(X< x).

Funkcijos F(x) savybės

3 . Paskirstymo dėsnį galima nurodyti grafiškai – paskirstymo daugiakampis (daugiakampis) (žr. 3 uždavinį).

Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti kai kurias problemas, nebūtina žinoti paskirstymo dėsnio. Kai kuriais atvejais pakanka žinoti vieną ar kelis skaičius, atspindinčius svarbiausias skirstymo dėsnio ypatybes. Tai gali būti skaičius, turintis atsitiktinio dydžio „vidutinę reikšmę“, arba skaičius, rodantis vidutinį atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės vertės dydį.

Tokio tipo skaičiai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis. :

• Pagrindinės skaitinės diskretinio atsitiktinio dydžio charakteristikos Matematinis lūkestis (vidutinė reikšmė) diskretinio atsitiktinio dydžio.
  M(X)=Σ x i p i
• Binominiam skirstiniui M(X)=np, Puasono skirstiniui M(X)=λ Sklaida diskrečiųjų atsitiktinių dydžių D(X)=M2 arba D(X) = M(X 2)− 2
  . Skirtumas X–M(X) vadinamas atsitiktinio dydžio nuokrypiu nuo jo matematinio lūkesčio.
• Dvinominiam skirstiniui D(X)=npq, Puasono skirstiniui D(X)=λ Standartinis nuokrypis (standartinis nuokrypis).

σ(X)=√D(X)

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis“

1 užduotis.

Sprendimas. Buvo išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimės 500 rublių, 10 laimės 100 rublių, 20 laimės 50 rublių, 50 laimės 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X – laimėjimai už bilietą – tikimybių pasiskirstymo dėsnį.

Atsižvelgiant į problemos sąlygas, galimos šios atsitiktinio dydžio X reikšmės: 0, 10, 50, 100 ir 500.

Bilietų skaičius be laimėjimo yra 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Panašiai randame ir visas kitas tikimybes: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Pateikiame gautą dėsnį lentelės pavidalu:

Raskime matematinę reikšmės X lūkesčius: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3 užduotis.

Sprendimas. 1. Diskretusis atsitiktinis kintamasis X = (nepavykusių elementų skaičius viename eksperimente) turi šias galimas reikšmes: x 1 = 0 (nė vienas įrenginio elementas nepavyko), x 2 = 1 (vienas elementas nepavyko), x 3 = 2 ( du elementai nepavyko ) ir x 4 =3 (trijų elementų nepavyko).

Elementų gedimai nepriklauso vienas nuo kito, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra vienoda, todėl taikytina Bernulio formulė . Atsižvelgiant į tai, kad pagal sąlygą n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, nustatome reikšmių tikimybes:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Patikrinkite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Taigi norimas X dvinario skirstinio dėsnis turi tokią formą:

Galimas x i reikšmes nubraižome išilgai abscisių ašies, o atitinkamas tikimybes p i išilgai ordinačių ašies. Sukonstruokime taškus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Šiuos taškus sujungę tiesių linijų atkarpomis, gauname norimą skirstymo daugiakampį.

3. Raskime skirstinio funkciją F(x) = Р(Х

Funkcijos F(x) grafikas

4. Binominiam skirstiniui X:
- matematinė lūkestis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartinis nuokrypis σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.