Ištisinių atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos. Tegul ištisinis atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo funkcija f(x)

Tegu ištisinis atsitiktinis dydis X nurodomas skirstinio funkcija f(x). Tarkime, kad visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso segmentui [ a, b].

Apibrėžimas. Matematinis lūkestis nuolatinis atsitiktinis dydis X, kurio galimos reikšmės priklauso segmentui , vadinamas apibrėžtuoju integralu

Jei visos skaitinės ašies galimos atsitiktinio dydžio reikšmės apžvelgiamos, tada matematinis lūkestis randamas pagal formulę:

Šiuo atveju, žinoma, daroma prielaida, kad netinkamas integralas suartėja.

Apibrėžimas. Dispersija ištisinio atsitiktinio dydžio yra matematinis jo nuokrypio kvadrato lūkestis.

Pagal analogiją su diskretiškojo atsitiktinio dydžio dispersija, norint praktiškai apskaičiuoti dispersiją, naudojama formulė:

Apibrėžimas. Standartinis nuokrypis vadinama dispersijos kvadratine šaknimi.

Apibrėžimas. Mada Diskretaus atsitiktinio dydžio M 0 vadinamas labiausiai tikėtinu jo dydžiu. Nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui režimas yra atsitiktinio dydžio, kuriame pasiskirstymo tankis yra didžiausias, reikšmė.

Jeigu pasiskirstymo daugiakampis diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui arba pasiskirstymo kreivė ištisiniam atsitiktiniam dydžiui turi du ar daugiau maksimumų, tai toks skirstinys vadinamas bimodalinis arba multimodalinis. Jei skirstinys turi minimumą, bet ne maksimumą, tada jis vadinamas antimodalinis.

Apibrėžimas. Mediana Atsitiktinio dydžio X M D yra jo reikšmė, kurios atžvilgiu vienodai tikėtina, kad bus gauta didesnė ar mažesnė atsitiktinio dydžio reikšmė.

Geometriškai mediana yra taško, kuriame pasiskirstymo kreivės ribojamas plotas yra padalintas per pusę, abscisė. Atkreipkite dėmesį, kad jei pasiskirstymas yra unimodalinis, režimas ir mediana sutampa su matematiniais lūkesčiais.

Apibrėžimas. Pradžios momentas tvarka k atsitiktinis kintamasis X yra matematinis reikšmės X lūkestis k.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui: .

.

Pirmosios eilės pradinis momentas lygus matematiniam lūkesčiui.

Apibrėžimas. Centrinis momentas tvarka k atsitiktinis kintamasis X yra matematinis reikšmės lūkestis

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui: .

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui: .

Pirmosios eilės centrinis momentas visada lygus nuliui, o antros eilės centrinis momentas lygus dispersijai. Trečios eilės centrinis momentas apibūdina skirstinio asimetriją.

Apibrėžimas. Vadinamas trečiosios eilės centrinio momento ir standartinio nuokrypio santykis su trečiąja laipsniu asimetrijos koeficientas.

Apibrėžimas. Pasiskirstymo smailumui ir plokštumui apibūdinti vadinamas dydis perteklius.

Be svarstomų kiekių, taip pat naudojami vadinamieji absoliutieji momentai:

Absoliutus pradžios momentas: . Absoliutus centrinis taškas: . Absoliutus centrinis pirmosios eilės momentas vadinamas aritmetinio vidurkio nuokrypis.

Pavyzdys. Aukščiau aptartame pavyzdyje nustatykite atsitiktinio dydžio X matematinį lūkestį ir dispersiją.

Pavyzdys. Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš jo penkis kartus iš eilės išimamas kamuoliukas, o kiekvieną kartą išimtas kamuoliukas grąžinamas atgal ir kamuoliukai sumaišomi. Atsitiktiniu dydžiu X paėmę išgautų baltų rutuliukų skaičių, sudarykite šios reikšmės pasiskirstymo dėsnį, nustatykite jo matematinį lūkestį ir sklaidą.

Nes kamuoliukai kiekviename eksperimente grąžinami atgal ir sumaišomi, tada bandymus galima laikyti nepriklausomais (ankstesnio eksperimento rezultatas neturi įtakos įvykio atsiradimo ar neįvykimo kitam eksperimente tikimybei).

Taigi kiekvieno eksperimento balto rutulio atsiradimo tikimybė yra pastovi ir lygi

Taigi, atlikus penkis bandymus iš eilės, baltas rutulys gali visai nepasirodyti arba pasirodyti vieną, du, tris, keturis ar penkis kartus. Norėdami sudaryti paskirstymo įstatymą, turite rasti kiekvieno iš šių įvykių tikimybę.

1) Baltas rutulys iš viso nepasirodė:

2) Baltas rutulys pasirodė vieną kartą:

3) Baltas rutulys pasirodys du kartus: .

6 skyrius. Ištisiniai atsitiktiniai dydžiai.

§ 1. Ištisinio atsitiktinio dydžio tankio ir pasiskirstymo funkcija.

Nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmių rinkinys yra neskaičiuojamas ir paprastai reiškia tam tikrą baigtinį arba begalinį intervalą.

Iškviečiamas atsitiktinis dydis x(w), apibrėžtas tikimybių erdvėje (W, S, P). tęstinis(absoliučiai tęstinis) W, jei yra tokia neneigiama funkcija, kad bet kurio x pasiskirstymo funkcija Fx(x) gali būti pavaizduota kaip integralas

Funkcija vadinama funkcija tikimybių pasiskirstymo tankiai.

Apibrėžimas reiškia pasiskirstymo tankio funkcijos savybes:

1..gif" width="97" height="51">

3. Tolydumo taškuose pasiskirstymo tankis lygus skirstinio funkcijos išvestinei: .

4. Pasiskirstymo tankis apsprendžia atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, nes jis nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą:

5. Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis įgis tam tikrą reikšmę, lygi nuliui: . Todėl galioja šios lygybės:

Pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas vadinamas pasiskirstymo kreivė, o plotas, ribojamas pasiskirstymo kreivės ir x ašies, yra lygus vienetui. Tada geometriškai pasiskirstymo funkcijos Fx(x) reikšmė taške x0 yra plotas, apribotas pasiskirstymo kreivės ir x ašies ir esantis į kairę nuo taško x0.

1 užduotis. Ištisinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija yra tokia:

Nustatykite konstantą C, sukonstruokite pasiskirstymo funkciją Fx(x) ir apskaičiuokite tikimybę.

Sprendimas. Konstanta C randama iš sąlygos Mes turime:

kur C=3/8.

Norėdami sukurti paskirstymo funkciją Fx(x), atkreipkite dėmesį, kad intervalas padalija argumento x (skaitinės ašies) reikšmių diapazoną į tris dalis: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

kadangi tankis x pusašyje lygus nuliui. Antruoju atveju

Galiausiai, paskutiniu atveju, kai x>2,

Kadangi tankis išnyksta pusiau ašyje. Taigi gaunama paskirstymo funkcija

Tikimybė Apskaičiuokime pagal formulę. Taigi,

§ 2. Ištisinio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos

Laukimas nuolat paskirstytų atsitiktinių kintamųjų atveju nustatoma pagal formulę https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

jei integralas dešinėje absoliučiai suartėja.

Sklaida x galima apskaičiuoti naudojant formulę , taip pat, kaip ir atskiru atveju, pagal formulę https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Visos matematinių lūkesčių ir dispersijos savybės, pateiktos 5 skyriuje diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams, galioja ir nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

2 problema. Atsitiktinio dydžiui x iš 1 uždavinio apskaičiuokite matematinę lūkesčius ir dispersiją .

Sprendimas.

Ir tai reiškia

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Norėdami gauti vienodą pasiskirstymo tankio grafiką, žr. .

6.2 pav. Pasiskirstymo funkcija ir pasiskirstymo tankis. vienoda teisė

Tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija Fx(x) lygi

Fx(x)=

Lūkesčiai ir dispersija; .

Eksponentinis (eksponentinis) skirstinys. Ištisinis atsitiktinis dydis x, turintis neneigiamas reikšmes, turi eksponentinį pasiskirstymą, kurio parametras l>0, jei atsitiktinio dydžio tikimybės tankio pasiskirstymas yra lygus

рx(x)=

Ryžiai. 6.3. Eksponentinio dėsnio skirstinio funkcija ir pasiskirstymo tankis.

Eksponentinio skirstinio pasiskirstymo funkcija turi formą

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> o jeigu jo pasiskirstymo tankis lygus

.

Through reiškia visų atsitiktinių dydžių, paskirstytų pagal įprastą dėsnį, rinkinį su parametrų parametrais ir .

Normalaus pasiskirstymo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija lygi

.

Ryžiai. 6.4. Pasiskirstymo funkcija ir normalaus pasiskirstymo tankis

Normaliojo skirstinio parametrai yra matematinis lūkestis https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Ypatingu atveju, kai https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normalus skirstinys vadinamas standartinis, o tokių paskirstymų klasė žymima https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

ir paskirstymo funkcija

Toks integralas negali būti apskaičiuojamas analitiškai (neimamas „kvadratūromis“), todėl funkcijai buvo sudarytos lentelės. Funkcija yra susijusi su Laplaso funkcija, pristatyta 4 skyriuje

,

tokiu ryšiu . Esant savavališkoms parametrų reikšmėms https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo funkcija yra susijusi su Laplaso funkcija naudojant ryšį:

.

Todėl tikimybę, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis pateks į intervalą, galima apskaičiuoti naudojant formulę

.

Neneigiamas atsitiktinis dydis x vadinamas lognormaliai paskirstytu, jei jo logaritmas h=lnx paklūsta normaliajam dėsniui. Tikėtina lognormalaus pasiskirstymo atsitiktinių dydžių reikšmė ir dispersija yra Mx= ir Dx=.

3 užduotis. Pateikiame atsitiktinį kintamąjį https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Sprendimas.Čia https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplaso pasiskirstymas yra pateikta funkcija fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41">, o kurtozė yra gx=3.

6.5 pav. Laplaso pasiskirstymo tankio funkcija.

Atsitiktinis kintamasis x yra paskirstytas Veibulio dėsnis, jei jo pasiskirstymo tankio funkcija yra lygi https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Weibull paskirstymas reguliuoja daugelio techninių prietaisų veikimo laiką be gedimų. Šio profilio uždaviniuose svarbi charakteristika yra tiriamų amžiaus t elementų gedimų dažnis (mirtingumo rodiklis) l(t), nustatomas ryšiu l(t)=. Jei a=1, tai Weibull skirstinys virsta eksponenciniu skirstiniu, o jei a=2 - į vadinamąjį skirstinį. Rayleigh.

Matematiniai Weibull skirstinio lūkesčiai: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kur Г(а) yra Euleris funkcija.

Įvairiose taikomosios statistikos problemose dažnai susiduriama su vadinamaisiais „sutrumpintais“ skirstiniais. Pavyzdžiui, mokesčių administratorius domisi pajamų paskirstymu tų asmenų, kurių metinės pajamos viršija tam tikrą mokesčių įstatymų nustatytą c0 ribą. Šie skirstiniai maždaug sutampa su Pareto skirstiniu. Pareto paskirstymas suteikiama funkcijomis

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> atsitiktinio dydžio x ir monotoninės diferencijuojamos funkcijos ..gif" width="200" height="51">

Čia https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

4 užduotis. Atsitiktinis dydis yra tolygiai paskirstytas segmente. Raskite atsitiktinio dydžio tankį.

Sprendimas. Iš probleminių sąlygų matyti, kad

Toliau funkcija yra monotoniška ir diferencijuojama intervalo funkcija ir turi atvirkštinę funkciją , kurio išvestinė yra lygi Todėl

§ 5. Ištisinių atsitiktinių dydžių pora

Tegu pateikiami du nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai x ir h. Tada pora (x, h) apibrėžia "atsitiktinį" tašką plokštumoje. Pora (x, h) vadinama atsitiktinis vektorius arba dvimatis atsitiktinis dydis.

Jungties paskirstymo funkcija atsitiktiniai dydžiai x ir h, o funkcija vadinama F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. sąnario tankis atsitiktinių dydžių x ir h tikimybių skirstinys vadinamas tokia funkcija, kad .

Šio bendro pasiskirstymo tankio apibrėžimo reikšmė yra tokia. Tikimybė, kad „atsitiktinis taškas“ (x, h) pateks į plokštumos sritį, apskaičiuojama kaip trimatės figūros tūris – „kreivinio“ cilindro, apriboto paviršiaus https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Paprasčiausias dviejų atsitiktinių dydžių bendro pasiskirstymo pavyzdys yra dvimatis vienodas pasiskirstymas filmavimo aikštelėjeA. Tegu apibrėžiama aibė M su plotu. Ji apibrėžiama kaip poros (x, h) skirstinys, apibrėžtas tokiu jungties tankiu:

5 užduotis. Tegul dvimatis atsitiktinis vektorius (x, h) yra tolygiai paskirstytas trikampio viduje. Apskaičiuokite nelygybės x>h tikimybę.

Sprendimas. Nurodyto trikampio plotas lygus (žr. pav. Nr.?). Remiantis dvimačio vienodo pasiskirstymo apibrėžimu, atsitiktinių dydžių x, h bendras tankis yra lygus

Įvykis atitinka rinkinį lėktuve, t.y., pusiau lėktuve. Tada tikimybė

Pusplokštumoje B jungties tankis yra lygus nuliui už aibės ribų https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Taigi pusiau plokštuma B yra padalinta į dvi aibes ir https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> ir , o antrasis integralas yra lygus nulis, nes jungties tankis ten lygus nuliui. Štai kodėl

Jei duotas jungties pasiskirstymo tankis porai (x, h), tai abiejų komponentų x ir h tankiai vadinami privatus tankumas ir apskaičiuojami pagal formules:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Nuolat paskirstytų atsitiktinių dydžių, kurių tankis рx(х), рh(у), nepriklausomumas reiškia, kad

6 užduotis. Ankstesnio uždavinio sąlygomis nustatykite, ar atsitiktinių vektoriaus x ir h komponentai yra nepriklausomi?

Sprendimas. Apskaičiuokime dalinius tankius ir . Turime:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Akivaizdu, kad mūsų atveju https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> yra dydžių x ir h jungties tankis, o j( x, y) yra dviejų argumentų funkcija

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

7 užduotis. Ankstesnės problemos sąlygomis apskaičiuokite .

Sprendimas. Pagal aukščiau pateiktą formulę turime:

.

Trikampį vaizduojantis kaip

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Dviejų nuolatinių atsitiktinių dydžių sumos tankis

Tegul x ir h yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių tankis yra https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Atsitiktinio dydžio x + tankis h apskaičiuojamas pagal formulę konvoliucija

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Apskaičiuokite sumos tankį.

Sprendimas. Kadangi x ir h yra pasiskirstę pagal eksponentinį dėsnį su parametru , jų tankiai yra lygūs

Vadinasi,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Jei x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">yra neigiamas, todėl . Todėl, jei https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Taigi mes gavome atsakymą:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> paprastai paskirstytas parametrais 0 ir 1. Atsitiktiniai kintamieji x1 ir x2 yra nepriklausomi ir turi normalų pasiskirstymą Su atitinkamais parametrais a1 ir a2 Įrodykite, kad x1 + x2 atsitiktiniai dydžiai yra pasiskirstę ir nepriklausomi ir turi vienodą pasiskirstymo tankio funkciją.

.

Raskite pasiskirstymo funkciją ir reikšmių pasiskirstymo tankį:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn); b) h(2) = maks. (x1,x2, ... xn)

Atsitiktiniai dydžiai x1, x2, ... xn yra nepriklausomi ir tolygiai pasiskirstę intervale [a, b]. Raskite dydžių skirstinių pasiskirstymo funkcijas ir tankio funkcijas

x(1) = min (x1,x2, ... xn) ir x(2) = max (x1, x2, ...xn).

Įrodykite, kad Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal Koši dėsnį Raskite: a) koeficientą a; b) paskirstymo funkcija; c) tikimybė patekti į intervalą (-1, 1). Parodykite, kad matematinis x lūkestis neegzistuoja. Atsitiktiniam dydžiui taikomas Laplaso dėsnis su parametru l (l>0): Raskite koeficientą a; sudaryti pasiskirstymo tankio grafikus ir pasiskirstymo funkcijas; rasti Mx ir Dx; rasti įvykių tikimybes (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Parašykite pasiskirstymo tankio formulę, raskite Mx ir Dx.

Skaičiavimo užduotys.

Atsitiktinis taškas A tolygiai pasiskirsto apskritime, kurio spindulys R. Raskite taško atstumo r iki apskritimo centro matematinį lūkestį ir dispersiją. Parodykite, kad reikšmė r2 yra tolygiai paskirstyta segmente.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

Apskaičiuokite konstantą C, pasiskirstymo funkciją F(x) ir tikimybę Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

Apskaičiuokite konstantą C, pasiskirstymo funkciją F(x) ir tikimybę Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis turi tokią formą:
Apskaičiuokite konstantą C, pasiskirstymo funkciją F(x), , dispersiją ir tikimybę Atsitiktinis dydis turi pasiskirstymo funkciją

Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio tankį, matematinį lūkestį, dispersiją ir tikimybę Patikrinkite, ar funkcija =
gali būti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Raskite šio dydžio skaitines charakteristikas: Mx ir Dx. Atsitiktinis dydis yra tolygiai paskirstytas segmente. Užrašykite pasiskirstymo tankį. Raskite paskirstymo funkciją. Raskite tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į atkarpą ir atkarpą. Pasiskirstymo tankis x lygus

.

Raskite konstantą c, pasiskirstymo tankį h = ir tikimybę

P (0,25

Kompiuterio veikimo laikas be gedimų paskirstomas pagal eksponentinį dėsnį, kurio parametras l = 0,05 (gedimai per valandą), t.y. turi tankio funkciją.

p(x) = .

Norint išspręsti tam tikrą problemą, mašina turi veikti be problemų 15 minučių. Jei sprendžiant problemą įvyksta gedimas, klaida aptinkama tik užbaigus sprendimą ir problema išsprendžiama dar kartą. Raskite: a) tikimybę, kad sprendžiant uždavinį neatsiras nė vieno gedimo; b) vidutinis laikas, per kurį problema bus išspręsta.

24 cm ilgio strypas sulaužytas į dvi dalis; Darysime prielaidą, kad lūžio taškas pasiskirsto tolygiai per visą strypo ilgį. Koks yra vidutinis daugumos meškerės ilgis? 12 cm ilgio gabalas atsitiktinai supjaustomas į dvi dalis. Pjovimo taškas yra tolygiai paskirstytas per visą segmento ilgį. Koks vidutinis mažos atkarpos dalies ilgis? Atsitiktinis dydis yra tolygiai paskirstytas segmente. Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Parodykite, kad jei x turi nuolatinio skirstinio funkciją

F(x) = P(x

Raskite dviejų nepriklausomų dydžių x ir h sumos tankio funkciją ir pasiskirstymo funkciją su vienodais pasiskirstymo dėsniais atkarpose ir atitinkamai. Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir tolygiai paskirstyti segmentuose ir atitinkamai. Apskaičiuokite sumos x+h tankį. Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir tolygiai paskirstyti segmentuose ir atitinkamai. Apskaičiuokite sumos x+h tankį. Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir tolygiai paskirstyti segmentuose ir atitinkamai. Apskaičiuokite sumos x+h tankį. Atsitiktiniai kintamieji yra nepriklausomi ir turi eksponentinį pasiskirstymą su tankiu . Raskite jų sumos pasiskirstymo tankį. Raskite nepriklausomų atsitiktinių dydžių x ir h sumos skirstinį, kur x turi tolygų pasiskirstymą intervale, o h – eksponentinį pasiskirstymą su parametru l. Raskite P , jei x turi: a) normalųjį skirstinį su parametrais a ir s2; b) eksponentinis skirstinys su parametru l; c) tolygus pasiskirstymas atkarpoje [-1;1]. Jungtinis x, h skirstinys yra vienodas kvadratu
K = (x, y): |x| +|y|2 £). Raskite tikimybę . Ar x ir h yra nepriklausomi? Atsitiktinių dydžių pora x ir h yra tolygiai pasiskirstę trikampio K= viduje. Apskaičiuokite tankius x ir h. Ar šie atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi? Raskite tikimybę. Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir tolygiai pasiskirstę atkarpose ir [-1,1]. Raskite tikimybę. Dvimatis atsitiktinis dydis (x, h) yra tolygiai paskirstytas kvadrate, kurio viršūnės (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Raskite jungties pasiskirstymo funkcijos reikšmę taške (1, -1). Atsitiktinis vektorius (x, h) yra tolygiai paskirstytas 3 spindulio apskritime, kurio centras yra taške. Parašykite jungties pasiskirstymo tankio išraišką. Nustatykite, ar šie atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi. Apskaičiuokite tikimybę. Pora atsitiktinių dydžių x ir h yra tolygiai paskirstyta trapecijos viduje, kurios viršūnės yra taškuose (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Raskite šios atsitiktinių dydžių poros bendrą pasiskirstymo tankį ir komponentų tankį. Ar x ir h priklauso? Atsitiktinė pora (x, h) yra tolygiai paskirstyta puslankiu. Raskite tankius x ir h, ištirkite jų priklausomybės klausimą. Dviejų atsitiktinių dydžių x ir h bendras tankis lygus .
Raskite tankius x, h. Ištirkite x ir h priklausomybės klausimą. Atsitiktinė pora (x, h) yra tolygiai paskirstyta aibėje. Raskite tankius x ir h, ištirkite jų priklausomybės klausimą. Raskite M(xh). Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir paskirstyti pagal eksponentinį dėsnį su parametru Find

4. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankis

Ištisinis atsitiktinis dydis gali būti nurodytas naudojant paskirstymo funkciją F(x) . Šis priskyrimo būdas nėra vienintelis. Nuolatinis atsitiktinis dydis taip pat gali būti nurodytas naudojant kitą funkciją, vadinamą pasiskirstymo tankiu arba tikimybės tankiu (kartais vadinama diferencine funkcija).

Apibrėžimas 4.1: Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis X iškviesti funkciją f (x) - pirmoji paskirstymo funkcijos išvestinė F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad pasiskirstymo funkcija yra pasiskirstymo tankio antidarinė. Atkreipkite dėmesį, kad pasiskirstymo tankis netaikomas diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymui apibūdinti.

Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą intervalą

Žinodami pasiskirstymo tankį, galite apskaičiuoti tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią tam tikram intervalui.

Teorema: Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmes, priklausančias intervalui (a, b), yra lygus tam tikram pasiskirstymo tankio integralui, paimtam diapazone nuoaįb :

Įrodymas: Mes naudojame santykį

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Pagal Niutono-Leibnizo formulę,

Taigi,

.

Nes P(a ≤ X b)= P(a X b) , tada pagaliau gauname

.

Geometriškai gautą rezultatą galima interpretuoti taip: tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią intervalui (a, b), lygus kreivinės trapecijos, apribotos ašimi, plotuiJautis, pasiskirstymo kreivėf(x) ir tiesiaix = aIrx = b.

komentaras: Visų pirma, jei f(x) – funkcija yra lygi, o intervalo galai yra simetriški pradžios atžvilgiu, tada

.

Pavyzdys. Pateiktas atsitiktinio dydžio tikimybės tankis X

Raskite tikimybę, kad atlikus testą X ims reikšmes, priklausančias intervalui (0,5, 1).

Sprendimas: Reikalinga tikimybė

.

Pasiskirstymo funkcijos radimas pagal žinomą pasiskirstymo tankį

Žinant pasiskirstymo tankį f(x) , galime rasti paskirstymo funkciją F(x) pagal formulę

.

tikrai, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Vadinasi,

.

Taigi, Žinodami pasiskirstymo tankį, galite rasti pasiskirstymo funkciją. Žinoma, iš žinomos pasiskirstymo funkcijos galima rasti pasiskirstymo tankį, būtent:

f(x) = F"(x).

Pavyzdys. Raskite pasiskirstymo funkciją duotam pasiskirstymo tankiui:

Sprendimas: Pasinaudokime formule

Jeigu x ≤ a, Tai f(x) = 0 , vadinasi, F(x) = 0 . Jeigu a, tada f(x) = 1/(b-a),

vadinasi,

.

Jeigu x > b, Tai

.

Taigi, reikalinga paskirstymo funkcija

komentaras: Gavome tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją (žr. tolygų pasiskirstymą).

Pasiskirstymo tankio savybės

1 nuosavybė: Pasiskirstymo tankis yra neneigiama funkcija:

f ( x ) ≥ 0 .

2 nuosavybė: Netinkamas pasiskirstymo tankio integralas intervale nuo -∞ iki ∞ yra lygus vienetui:

.

komentaras: Pasiskirstymo tankio grafikas vadinamas pasiskirstymo kreivė.

komentaras: Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis dar vadinamas pasiskirstymo dėsniu.

Pavyzdys. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

Raskite pastovų parametrą a.

Sprendimas: Pasiskirstymo tankis turi tenkinti sąlygą , todėl reikalausime, kad būtų įvykdyta lygybė

.

Iš čia
.

.

Raskime neapibrėžtą integralą:

Apskaičiuokime netinkamą integralą:

.

Taigi reikalingas parametras

Tikėtina pasiskirstymo tankio reikšmė F(x) Leiskite X– nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija f(x) = F"(x) . Pagal pasiskirstymo tankio apibrėžimą,

, arba F(xSkirtumasF(x) +∆x) - X nustato tikimybę, kad (x, xims intervalui priklausančią reikšmę+∆x) (x, xims intervalui priklausančią reikšmę, iki šio intervalo ilgio (at ∆х→0) yra lygus pasiskirstymo tankio taške reikšmei X.

Taigi funkcija f(x) nustato kiekvieno taško tikimybių pasiskirstymo tankį X. Iš diferencialinio skaičiavimo žinoma, kad funkcijos prieaugis yra maždaug lygus funkcijos diferencialui, t.y.

Nes F"(x) = f(x) Ir dx = ∆ x, Tai F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Tikimybinė šios lygybės reikšmė yra tokia: tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią intervalui (x, x+∆ x) yra maždaug lygus tikimybės tankio taške x ir intervalo ∆x ilgio sandaugai.

Geometriškai šis rezultatas gali būti interpretuojamas taip: tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią intervalui (x, x+∆ x) yra maždaug lygus stačiakampio, kurio pagrindas ∆х ir aukštis, plotuif(x).

5. Tipiniai diskrečiųjų atsitiktinių dydžių skirstiniai

5.1. Bernulli paskirstymas

5.1 apibrėžimas: Atsitiktinis kintamasis X, atsižvelgiant į dvi vertes 1 Ir 0 su tikimybe („sėkmė“) p ir („nesėkmė“) q, paskambino Bernullievskaja:

, Kur k=0,1.

5.2. Binominis skirstinys

Tegul jis gaminamas n nepriklausomi bandymai, kurių kiekviename įvykis A gali pasirodyti arba nepasirodyti. Įvykio tikimybė visuose bandymuose yra pastovi ir lygi p(taigi ir neįvykimo tikimybė q = 1 - p).

Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X– įvykio atvejų skaičius Ašiuose testuose. Atsitiktinis kintamasis X paima vertybes 0,1,2,… n su tikimybėmis, apskaičiuotomis pagal Bernulio formulę: , Kur k = 0,1,2,… n.

5.2 apibrėžimas: Dvejetainė vadinamas Bernulio formulės nulemtu tikimybių skirstiniu.

Pavyzdys.Į taikinį paleidžiami trys šūviai, kurių kiekvieno smūgio tikimybė yra 0,8. Atsižvelgiant į atsitiktinį kintamąjį X– smūgių į taikinį skaičius. Raskite jo platinimo seriją.

Sprendimas: Atsitiktinis kintamasis X paima vertybes 0,1,2,3 su tikimybėmis, apskaičiuotomis pagal Bernulio formulę, kur n = 3, p = 0,8 (pataikymo tikimybė), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (trūkimo tikimybė).

Taigi paskirstymo serija turi tokią formą:

Didelėms reikšmėms naudokite Bernulio formulę n gana sunku, todėl apskaičiuoti atitinkamas tikimybes naudokite vietinę Laplaso teoremą, kuri leidžia apytiksliai tiksliai rasti įvykio tikimybę k kartą per kiekvieną n bandymai, jei testų skaičius yra pakankamai didelis.

Vietinė Laplaso teorema: Jei tikimybė pįvykio atsiradimas A
kad įvykis A pasirodys n testus tiksliai k kartų, maždaug lygus (kuo tiksliau, tuo daugiau n) funkcijos reikšmė
, Kur
, .

1 pastaba: Lentelės su funkcijų reikšmėmis
, yra pateikti 1 priede ir
. Funkcija yra standartinio normaliojo skirstinio tankis (žr. normalųjį skirstinį).

Pavyzdys: Raskite tikimybę, kad įvykis A ateis tiksliai 80 kartą per kiekvieną 400 bandymai, jei šio įvykio tikimybė kiekviename bandyme yra lygi 0,2.

Sprendimas: Pagal sąlygą n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Apskaičiuokime reikšmę, kurią nustato užduoties duomenys x:
. Iš 1 priede pateiktos lentelės randame
. Tada reikalinga tikimybė bus tokia:

Jei reikia apskaičiuoti tikimybę, kad įvykis A pasirodys n testų ne mažiau k 1 vieną kartą ir ne daugiau k 2 kartų, tada reikia naudoti Laplaso integralinę teoremą:

Laplaso integralų teorema: Jei tikimybė pįvykio atsiradimas A kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo nulio ir vieneto, tada tikimybė kad įvykis A pasirodys n testai iš k 1 į k 2 kartų, maždaug lygus tam tikram integralui

, Kur
Ir
.

Kitaip tariant, tikimybė, kad įvykis A pasirodys n testai iš k 1 į k 2 kartų, maždaug lygus

Kur
, Ir .

2 pastaba: Funkcija
vadinama Laplaso funkcija (žr. normalųjį skirstinį). Lentelės su funkcijų reikšmėmis , yra pateikti 2 priede ir
.

Pavyzdys: Raskite tikimybę, kad tarp 400 atsitiktinai parinktos detalės bus neišbandytos nuo 70 iki 100 dalių, jei tikimybė, kad detalė nepraėjo kokybės kontrolės patikrinimo, yra lygi 0,2.

Sprendimas: Pagal sąlygą n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Apskaičiuokime apatinę ir viršutinę integracijos ribas:

;
.

Taigi mes turime:

Iš 2 priede pateiktos lentelės matome, kad
Ir
. Tada reikalinga tikimybė yra:

3 pastaba: Nepriklausomų bandymų serijoje (kai n yra didelis, p yra mažas), Puasono formulė naudojama apskaičiuojant tikimybę, kad įvykis įvyks tiksliai k kartų (žr. Puasono skirstinį).

5.3. Puasono pasiskirstymas

5.3 apibrėžimas: Diskretusis atsitiktinis dydis vadinamas Poisson, jei paskirstymo įstatymas yra tokios formos:

, Kur
Ir
(pastovi vertė).

Puasono atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:

Skambučių į automatinę stotį skaičius per tam tikrą laikotarpį T.

Kai kurios radioaktyviosios medžiagos skilimo dalelių skaičius per tam tikrą laikotarpį T.

Televizorių, kurie per tam tikrą laiką atvyksta į dirbtuves, skaičius T dideliame mieste .

Automobilių, kurie atvyks į sankryžos sustojimo liniją dideliame mieste, skaičius .

1 pastaba: Specialios lentelės šioms tikimybėms apskaičiuoti pateiktos 3 priede.

2 pastaba: Nepriklausomų bandymų serijoje (kai n puiku, p nepakanka) tiksliai apskaičiuoti įvykio tikimybę k kartus naudojant Puasono formulę:
, Kur
, tai vidutinis įvykių skaičius išlieka pastovus.

3 pastaba: Jei yra atsitiktinis dydis, pasiskirstęs pagal Puasono dėsnį, tai būtinai yra atsitiktinis dydis, pasiskirstęs pagal eksponentinį dėsnį ir atvirkščiai (žr. Eksponentinį skirstymą).

Pavyzdys. Augalas išsiųstas į bazę 5000 geros kokybės gaminiai. Tikimybė, kad gaminys bus sugadintas gabenant, yra lygi 0,0002 . Raskite tikimybę, kad į bazę pateks lygiai trys netinkami naudoti produktai.

Sprendimas: Pagal sąlygą n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Mes surasime λ: λ = n.p.= 5000 · 0,0002 = 1.

Pagal Puasono formulę norima tikimybė yra lygi:

, kur yra atsitiktinis dydis X– netinkamų naudoti gaminių skaičius.

5.4. Geometrinis pasiskirstymas

Tegul atliekami nepriklausomi testai, kurių kiekviename yra įvykio tikimybė A lygus p(0 p

q = 1 - p. Iššūkiai baigiasi, kai tik pasirodo įvykis A. Taigi, jei įvykis A pasirodė k-tas testas, tada ankstesniame k – 1 tai nepasirodė testuose.

Pažymėkime pagal X diskretinis atsitiktinis kintamasis – bandymų, kuriuos reikia atlikti iki pirmojo įvykio, skaičius A. Aišku, galimos vertybės X yra natūralūs skaičiai x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Tegul pirmiausia k-1 bandomasis renginys A neatėjo, bet įėjo k- pasirodė testas. Šio „sudėtingo įvykio“ tikimybė, remiantis nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema, P (X = k) = q k -1 p.

5.4 apibrėžimas: Diskretus atsitiktinis kintamasis turi geometrinis pasiskirstymas, jei jo paskirstymo įstatymas yra tokios formos:

P ( X = k ) = q k -1 p , Kur
.

1 pastaba: Tikėdamas k = 1,2,… , gauname geometrinę progresiją su pirmuoju nariu p ir vardiklis q (0q. Dėl šios priežasties skirstinys vadinamas geometriniu.

2 pastaba: Eilė
susilieja ir jo suma lygi vienetui. Iš tiesų, serijų suma yra lygi
.

Pavyzdys. Pistoletas šaudo į taikinį iki pirmojo smūgio. Tikimybė pataikyti į taikinį p = 0,6 . Raskite tikimybę, kad trečiuoju šūviu įvyks smūgis.

Sprendimas: Pagal sąlygą p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Reikalinga tikimybė yra:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Hipergeometrinis pasiskirstymas

Panagrinėkime toliau pateiktą problemą. Išleisk vakarėlį N turimi produktai M standartinis (MN). Atsitiktinai paimta iš partijos n produktai (kiekvienas produktas gali būti išgautas su ta pačia tikimybe), o pasirinktas produktas negrąžinamas į partiją prieš pasirenkant kitą (todėl Bernoulli formulė čia netaikoma).

Pažymėkime pagal X atsitiktinis dydis – skaičius m tarp standartinių produktų n pasirinktas. Tada galimos vertės X bus 0, 1, 2,…, min; Pažymėkime juos ir... Autorius nepriklausomo kintamojo (Fonds) reikšmės naudokite mygtuką ( skyrių ...

Skirtingai nuo diskrečiojo atsitiktinio dydžio, nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai negali būti nurodyti jo pasiskirstymo dėsnio lentelės pavidalu, nes neįmanoma išvardyti ir užrašyti visų jo reikšmių tam tikra seka. Vienas iš galimų būdų nurodyti nuolatinį atsitiktinį kintamąjį yra paskirstymo funkcijos naudojimas.

APIBRĖŽIMAS. Pasiskirstymo funkcija yra funkcija, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgaus reikšmę, kuri skaičių ašyje pavaizduota tašku, esančiu į kairę nuo taško x, t.y.

Kartais vietoj termino „Paskirstymo funkcija“ vartojamas terminas „Integrinė funkcija“.

Paskirstymo funkcijos savybės:

1. Pasiskirstymo funkcijos reikšmės priklauso segmentui: 0F(x)1
2. F(x) yra nemažėjanti funkcija, t.y. F(x 2)F(x 1), jei x 2 > x 1

Išvada 1. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis intervale (a,b) esančią reikšmę, yra lygi paskirstymo funkcijos prieaugiui šiame intervale:

P(aX

9 pavyzdys. Atsitiktinis kintamasis X pateikiamas paskirstymo funkcija:

Raskite tikimybę, kad testo rezultatas X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (0;2): P(0

Sprendimas: Kadangi intervale (0;2) pagal sąlygą, F(x)=x/4+1/4, tada F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Taigi P (0

Išvada 2. Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X įgis vieną konkrečią reikšmę, yra lygi nuliui.

Išvada 3. Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui (a;b), tai: 1) F(x)=0 xa; 2) F(x)=1 ties xb.
Galioja šie ribiniai santykiai:

Pasiskirstymo funkcijos grafikas yra juostoje, kurią riboja tiesės y=0, y=1 (pirma savybė). Kai x didėja intervale (a;b), kuriame yra visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, grafikas „kyla aukštyn“. Ties xa grafiko ordinatės lygios nuliui; ties xb grafiko ordinatės lygios vienai:

Paveikslas-1

10 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo lentele:

Raskite pasiskirstymo funkciją ir nubraižykite ją.
Sprendimas: paskirstymo funkciją galima analitiškai parašyti taip:

2 pav

APIBRĖŽIMAS: Ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis yra funkcija f(x) – pirmoji pasiskirstymo funkcijos F(x) išvestinė: f(x)=F"(x)

Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad pasiskirstymo funkcija yra pasiskirstymo tankio antidarinė.

Teorema. Tikimybė, kad ištisinis atsitiktinis dydis X įgis intervalui (a;b) priklausančią reikšmę, yra lygi tam tikram pasiskirstymo tankio integralui, paimtam intervale nuo a iki b:

(8)

Tikimybių tankio skirstinio savybės:

1. Tikimybių tankis yra neneigiama funkcija: f(x)0.
2. Nuolatinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankio apibrėžtasis integralas nuo -∞ iki +∞ lygus 1: f(x)dx=1.
3. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio apibrėžtasis integralas nuo -∞ iki x yra lygus šio kintamojo pasiskirstymo funkcijai: f(x)dx=F(x)

11 pavyzdys. Pateiktas atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis

Raskite tikimybę, kad testo rezultate X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (0,5;1).

Sprendimas: būtina tikimybė:

Išplėskime diskrečiųjų dydžių skaitinių charakteristikų apibrėžimą iki nuolatinių dydžių. Tegul ištisinis atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo tankiu f(x).

APIBRĖŽIMAS. Matematinė ištisinio atsitiktinio dydžio X, kurio galimos reikšmės priklauso segmentui, lūkestis vadinamas apibrėžtuoju integralu:

M(x)=xf(x)dx (9)

Jei galimos reikšmės priklauso visai Ox ašiai, tada:

M(x)=xf(x)dx (10)

Ištisinio atsitiktinio dydžio X režimas M 0 (X) yra jo galima reikšmė, kurią atitinka pasiskirstymo tankio lokalus maksimumas.

Ištisinio atsitiktinio dydžio X mediana M e (X) yra jo galima reikšmė, kurią lemia lygybė:

P(X e (X)) = P(X>M e (X))

APIBRĖŽIMAS. Ištisinio atsitiktinio dydžio dispersija yra matematinė jo nuokrypio kvadrato lūkesčiai. Jei galimos X reikšmės priklauso segmentui , tada:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
arba
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Jei galimos reikšmės priklauso visai x ašiai, tada.