Bet kuri banga yra svyravimas. Skystis, elektromagnetinis laukas ar bet kuri kita terpė gali vibruoti. Kasdieniame gyvenime kiekvienas žmogus kasdien susiduria su vienokiomis ar kitokiomis svyravimų apraiškomis. Bet kas yra stovi banga?

Įsivaizduokite talpų indą, į kurį pilamas vanduo – tai gali būti baseinas, kibiras ar vonia. Jei dabar delnu paglostysite skystį, bangos formos keteros bėgs nuo smūgio centro visomis kryptimis. Beje, taip jos vadinamos - keliaujančiomis bangomis. Jų būdingas bruožas yra energijos perdavimas. Tačiau pakeitę plojimų dažnį, galite pasiekti beveik visišką jų matomą išnykimą. Atrodo, kad vandens masė tampa želė, o judėjimas vyksta tik žemyn ir aukštyn. Šis poslinkis yra stovinti banga. Šis reiškinys atsiranda todėl, kad kiekviena banga, tolstanti nuo smūgio centro, pasiekia konteinerio sieneles ir atsispindi atgal, kur susikerta (trukdo) pagrindinėms bangoms, sklindančioms priešinga kryptimi. Stovioji banga atsiranda tik tuo atveju, jei atspindėtos ir tiesioginės bangos yra fazėje, bet skiriasi amplitudė. Priešingu atveju pirmiau minėti trukdžiai neįvyksta, nes viena iš skirtingų charakteristikų bangų trikdžių savybių yra galimybė kartu egzistuoti tame pačiame erdvės tūryje, neiškraipant vienas kito. Galima teigti, kad stovinčioji banga yra dviejų priešingai nukreiptų slenkančių bangų suma, dėl kurios jų greitis sumažėja iki nulio.

Kodėl aukščiau pateiktame pavyzdyje vanduo ir toliau svyruoja vertikalia kryptimi? Labai paprasta! Kai uždedamos vienodų parametrų bangos, tam tikrais momentais svyravimai pasiekia maksimalią vertę, vadinamą antimazgais, o kitais – visiškai slopinami (mazgai). Keičiant plojimų dažnį, galite visiškai nuslopinti horizontalias bangas arba padidinti vertikalius poslinkius.

Stovinčios bangos domina ne tik praktikus, bet ir teoretikus. Konkrečiai, vienas iš modelių teigia, kad bet kuriai medžiagos dalelei būdinga tam tikra vibracija: elektronas svyruoja (dreba), neutrinas svyruoja ir pan. Be to, hipotezės rėmuose buvo daroma prielaida, kad minėta vibracija yra kai kurių dar neatrastų aplinkos trikdžių trukdžių pasekmė. Kitaip tariant, autoriai teigia, kad ten, kur tos nuostabios bangos sudaro stovinčias bangas, atsiranda materija.

Ne mažiau įdomus ir Šumano rezonanso fenomenas. Tai slypi tame, kad tam tikromis sąlygomis (nė viena iš pasiūlytų hipotezių dar nepriimta kaip vienintelė teisinga) erdvėje tarp žemės paviršiaus ir apatinės jonosferos ribos kyla stovinčios elektromagnetinės bangos, kurių dažniai yra žemuose ir ypač žemuose diapazonuose (nuo 7 iki 32 hercų). Jei „paviršiaus – jonosferos“ plyšyje susidariusi banga apsuka planetą ir patenka į rezonansą (fazių sutapimas), ji gali egzistuoti ilgą laiką be susilpnėjimo, savaime išsilaikanti. Šumano rezonansas yra ypač įdomus, nes bangų dažnis yra beveik identiškas natūraliems žmogaus smegenų alfa ritmams. Pavyzdžiui, šio reiškinio tyrimus Rusijoje atlieka ne tik fizikai, bet ir tokia didelė organizacija kaip Žmogaus smegenų institutas.

Puikus išradėjas Nikola Tesla atkreipė dėmesį į stovinčius. Manoma, kad jis galėjo panaudoti šį reiškinį kai kuriuose savo įrenginiuose. Perkūnija yra laikoma vienu iš jų atsiradimo atmosferoje šaltinių. Elektros iškrovos sužadina elektromagnetinį lauką ir generuoja bangas.

Laikytas galas staigiai patraukiamas aukštyn ir nukeliamas į pradinę padėtį. Ant vamzdžio susidaręs kraigas juda išilgai vamzdžio iki sienelės, kur atsispindi. Šiuo atveju atsispindėjusi banga turi įdubimo formą, ty ji yra žemiau vidutinės vamzdžio padėties, o pirminis antinodas buvo aukščiau. Kokia šio skirtumo priežastis?

Įsivaizduokite sienoje pritvirtintą guminio vamzdžio galą. Kadangi jis yra fiksuotas, jis negali judėti. Įeinančio impulso jėga aukštyn verčia jį judėti aukštyn (žr. pav.). Tačiau kadangi jis negali judėti, turi būti lygi ir priešinga žemyn nukreipta jėga, sklindanti iš atramos ir nukreipta į guminio vamzdžio galą, todėl atsispindėjęs impulsas yra antimazgu žemyn. Fazių skirtumas tarp atspindėtų ir pradinių impulsų yra 180°.

Kai ranka, laikanti guminį vamzdelį, juda aukštyn ir žemyn, o judesių dažnis palaipsniui didėja, pasiekiamas taškas, kuriame gaunamas vienas antinodas (a pav.). Tolesnis rankos vibracijos dažnio padidėjimas lems dvigubo antinodo susidarymą (6 pav.). Jei nustatysite savo rankų judesių dažnį, pamatysite, kad jų dažnis padvigubėjo. Kadangi sunku greičiau pajudinti ranką, geriau naudoti mechaninį vibratorių (c pav.).

Metalinis strypas elektromagnetinės ritės viduje vibruoja generatoriaus valdomu dažniu. Susidariusios bangos vadinamos stovinčios arba nejudančios bangos. Jie susidaro dėl to, kad atsispindėjusi banga uždedama ant krintančios bangos. Šis reiškinys žinomas kaip. Čia yra dvi bangos: krintančios ir atspindėtos. Jie turi tą patį, bet pasklinda priešingomis kryptimis. Tai keliaujančios bangos, tačiau jie trukdo vienas kitam ir taip sukuria stovinčias bangas.



Tai sukelia šias pasekmes:

a) visos kiekvienos pusės bangos ilgio dalelės svyruoja faze, tai yra, jos visos juda ta pačia kryptimi tuo pačiu metu;

b) kiekvienos dalelės amplitudė skiriasi nuo kitos dalelės amplitudės;

c) fazių skirtumas tarp vienos pusės bangos dalelių virpesių ir kitos pusės bangos dalelių virpesių yra 180°.

Tai tiesiog reiškia, kad jie arba nukrypsta kuo toliau į priešingas puses tuo pačiu metu, arba atsidūrę vidurinėje padėtyje, pradeda judėti priešingomis kryptimis. Tai parodyta paveikslėlyje, kur matosi, kad kai kurios dalelės (pažymėtos N) nejuda (jų amplitudė nulinė), nes jas veikiančios jėgos visada yra lygios ir priešingos.

Šie taškai vadinami mazgais arba mazgais, o atstumas tarp dviejų sekančių mazgų yra pusė bangos ilgio, ty 1/2 λ.

Didžiausias judėjimas vyksta taškuose, pažymėtuose A, o šių taškų amplitudė yra du kartus didesnė už krintančios bangos amplitudę. Šie taškai vadinami antinodai, o atstumas tarp dviejų sekančių antimazgų yra pusė bangos ilgio. Atstumas tarp mazgo ir kito antinodo yra ketvirtadalis bangos ilgio, ty 1/4 λ.

stovinti banga skiriasi nuo bėgimo. IN keliaujanti banga:

a) visų dalelių virpesių amplitudė vienoda;

Labai svarbus trukdžių atvejis įvyksta tada, kai uždedamos vienodos amplitudės plokštumos bangos. Atsiradęs virpesių procesas vadinamas stovinti banga.

Beveik stovinčios bangos kyla, kai bangos atsispindi nuo kliūčių. Ant kliūties krentanti banga ir jos link einanti atsispindėjusi banga, besiklojančios viena ant kitos, suteikia stovinčią bangą.

Panagrinėkime dviejų vienodos amplitudės sinusoidinių plokštuminių bangų, sklindančių priešingomis kryptimis, trukdžių rezultatą.

Dėl samprotavimo paprastumo darykime prielaidą, kad abi bangos sukelia svyravimus toje pačioje fazėje pradžioje.

Šių svyravimų lygtys yra tokios formos:

.

Sudėjus abi lygtis ir transformuojant rezultatą, naudojant sinusų sumos formulę gauname:

- stovinčios bangos lygtis.

Palyginus šią lygtį su harmoninių virpesių lygtimi, matome, kad gaunamų virpesių amplitudė yra lygi:

.

Nuo , ir tada .

.

Terpės taškuose, kur , nėra vibracijų, t.y. . Šie taškai vadinami stovinčios bangos mazgai.

Taškuose, kur , svyravimų amplitudė turi didžiausią vertę, lygi . Šie taškai vadinami stovinčios bangos antimazgai. Antinodų koordinatės randamos iš sąlygos, nes , Tai.

Iš čia:

Panašiai mazgų koordinatės randamos iš sąlygos:

.

Kur:

.

Iš mazgų ir antimazgų koordinačių formulių išplaukia, kad atstumas tarp gretimų antimazgų, taip pat atstumai tarp gretimų mazgų yra lygus . Antimazgai ir mazgai pasislenka vienas kito atžvilgiu ketvirtadaliu bangos ilgio.

Palyginkime stovinčios ir keliaujančios bangos virpesių prigimtį. Keliaujančioje bangoje kiekvienas taškas patiria svyravimus, kurių amplitudė nesiskiria nuo kitų taškų amplitudės. Tačiau įvairių taškų svyravimai atsiranda su skirtingos fazės.

Stovinčioje bangoje visos terpės dalelės, esančios tarp dviejų gretimų mazgų, svyruoja toje pačioje fazėje, bet skirtingomis amplitudėmis. Einant per mazgą, virpesių fazė staigiai pasikeičia , nes ženklas pasikeičia.

Grafiškai stovinčią bangą galima pavaizduoti taip:

Laiko momentu, kai , visi terpės taškai turi didžiausius poslinkius, kurių kryptį lemia ženklas . Šie poslinkiai paveiksle parodyti vientisomis rodyklėmis.

Po ketvirčio laikotarpio, kai , visų taškų poslinkiai yra lygūs nuliui. Dalelės praeina per liniją skirtingu greičiu.

Praėjus dar ketvirčiui laikotarpio, kai , dalelės vėl turės didžiausią poslinkį, bet priešinga kryptimi (taškinės rodyklės).

Aprašant svyravimo procesus elastingose ​​sistemose, svyruojančiu dydžiu galima laikyti ne tik poslinkį, bet ir dalelių greitį, taip pat santykinę terpės deformaciją.

Norėdami rasti stovinčios bangos greičio kitimo dėsnį, diferencijuojame pagal stovinčios bangos poslinkio lygtį, o norėdami rasti deformacijos kitimo dėsnį – pagal stovinčios bangos lygtį.

.

Analizuodami šias lygtis, matome, kad greičio mazgai ir antimazgai sutampa su poslinkio mazgais ir antimazgais; deformacijos mazgai ir antimazgai atitinkamai sutampa su greičio ir poslinkio antimazgais ir mazgais.

Stygų vibracijos

Įtemptoje stygoje, pritvirtintoje abiejuose galuose, sužadinus skersinius virpesius, susidaro stovinčios bangos, o mazgai turi būti išdėstyti tose vietose, kur styga fiksuojama. Todėl stygoje sužadinami tik tokie virpesiai, kurių pusė ilgio telpa sveikuoju skaičiumi išilgai stygos ilgio.

Tai reiškia tokią sąlygą:

kur yra eilutės ilgis.

Arba kitaip. Šie bangos ilgiai atitinka dažnius , kur yra bangos fazinis greitis. Jos dydį lemia stygos įtempimo jėga ir jos masė.

At - pagrindinis dažnis.

At - natūralių dažnių virpesių stygos arba obertonai.

Doplerio efektas

Panagrinėkime paprasčiausius atvejus, kai bangų šaltinis ir stebėtojas terpės atžvilgiu juda ta pačia tiesia linija:

1. Garso šaltinis juda terpės atžvilgiu greičiu , garso imtuvas yra ramybės būsenoje.

Šiuo atveju svyravimo periodu garso banga nutols nuo šaltinio į atstumą, o pats šaltinis – į atstumą, lygų .

Jei šaltinis pašalinamas iš imtuvo, t.y. judėti bangos sklidimo krypčiai priešinga kryptimi, tada bangos ilgis .

Jeigu garso šaltinis priartinamas prie imtuvo, t.y. judėti bangos sklidimo kryptimi, tada .

Imtuvo suvokiamas garso dažnis yra:

Pakeiskime jų reikšmes abiem atvejais:

Atsižvelgiant į tai, kad kur yra šaltinio virpesių dažnis, lygybė bus tokia forma:

Šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalinkime iš , tada:

2. Garso šaltinis yra nejudantis, o imtuvas juda terpės atžvilgiu greičiu.

Šiuo atveju bangos ilgis terpėje nesikeičia ir vis tiek yra lygus. Tuo pačiu metu dvi iš eilės amplitudės, kurios skiriasi laiku vienu svyravimų periodu, pasiekusios judantį imtuvą, tuo momentu, kai banga susitinka su imtuvu, skirsis laike tam tikrą laikotarpį, kurio reikšmė yra didesnė ar mažesnė. priklausomai nuo to, ar imtuvas tolsta, ar artėja prie šaltinio garso. Laikui bėgant garsas nukeliauja, o imtuvas – per atstumą. Šių dydžių suma suteikia mums bangos ilgį:

Imtuvo suvokiamas svyravimų periodas yra susijęs su šių svyravimų dažniu santykiu:

Vietoj to, pakeitę išraišką lygybe (1), gauname:

.

Nes , kur yra šaltinio virpesių dažnis ir , tada:

3. Garso šaltinis ir imtuvas juda terpės atžvilgiu. Sujungę rezultatus, gautus dviem ankstesniais atvejais, gauname:

Garso bangos

Jei ore sklindančių elastinių bangų dažnis svyruoja nuo 20 iki 20 000 Hz, tai pasiekusios žmogaus ausį sukelia garso pojūtį. Todėl bangos, esančios šiame dažnių diapazone, vadinamos garsu. Vadinamos elastingos bangos, kurių dažnis mažesnis nei 20 Hz infragarsas . Vadinamos bangos, kurių dažnis didesnis nei 20 000 Hz ultragarsu. Žmogaus ausis negirdi ultragarso ir infragarso.

Garso pojūčiams būdingas aukštis, tembras ir garsumas. Garso aukštis nustatomas pagal vibracijos dažnį. Tačiau garso šaltinis skleidžia ne vieną, o visą dažnių spektrą. Tam tikrame garse esančių vibracijų dažnių rinkinys vadinamas jo akustinis spektras. Vibracijos energija paskirstoma tarp visų akustinio spektro dažnių. Garso aukštis nustatomas pagal vieną – pagrindinį dažnį, jei šis dažnis sudaro žymiai didesnį energijos kiekį nei kitų dažnių dalis.

Jei spektras susideda iš daugelio dažnių, esančių dažnių diapazone nuo iki , tai toks spektras vadinamas kietas(pavyzdys – triukšmas).

Jei spektras susideda iš diskrečiųjų dažnių virpesių rinkinio, tai toks spektras vadinamas valdė(pavyzdys – muzikiniai garsai).

Garso akustinis spektras, priklausomai nuo jo pobūdžio ir energijos pasiskirstymo tarp dažnių, lemia garso pojūčio unikalumą, vadinamą garso tembru. Skirtingi muzikos instrumentai turi skirtingą akustinį spektrą, t.y. skiriasi garso tembru.

Garso intensyvumą apibūdina įvairūs dydžiai: terpės dalelių virpesiai, jų greičiai, slėgio jėgos, įtempiai jose ir kt.

Jis apibūdina kiekvieno iš šių dydžių virpesių amplitudę. Tačiau kadangi šie dydžiai yra tarpusavyje susiję, patartina įvesti vieną energijos charakteristiką. Ši charakteristika bet kokio tipo bangoms buvo pasiūlyta 1877 m. N.A. Umovovas.

Mintimis iškirpkime platformą iš keliaujančios bangos priekio. Per tą laiką ši sritis pasislinks atstumu, kur yra bangos greitis.

Pažymėkime svyruojančios terpės tūrio vieneto energija. Tada viso tūrio energija bus lygi .

Šią energiją laikui bėgant perdavė banga, sklindanti per teritoriją.

Padalinę šią išraišką iš ir , gauname energiją, kurią banga perduoda per ploto vienetą per laiko vienetą. Šis dydis žymimas raide ir vadinamas Umov vektorius

Garso laukui vektorius Umov vadinamas garso stiprumu.

Garso intensyvumas yra fizinė garso stiprumo charakteristika. Vertiname subjektyviai, kaip apimtis garsas. Žmogaus ausis suvokia garsus, kurių stiprumas viršija tam tikrą minimalią vertę, skirtingą skirtingiems dažniams. Ši vertė vadinama klausos slenkstis garsas. Hz dydžio vidutiniams dažniams klausos slenkstis yra maždaug .

Esant labai dideliam garso intensyvumui, garsas yra suvokiamas ne tik ausies, bet ir kitais lytėjimo organais ir sukelia skausmą ausyse.

Intensyvumo vertė, kuriai esant tai įvyksta, vadinama skausmo slenkstis. Skausmo slenkstis, kaip ir klausos slenkstis, priklauso nuo dažnio.

Žmogus turi gana sudėtingą garsų suvokimo aparatą. Garso virpesiai surenkami ausies kakleliu ir per klausos kanalą veikia ausies būgnelį. Jo vibracijos perduodamos į nedidelę ertmę, vadinamą sraigė. Sraigės viduje yra daug skaidulų, kurios turi skirtingą ilgį ir įtampą, taigi ir skirtingus natūralius vibracijos dažnius. Veikiant garsui, kiekviena iš skaidulų rezonuoja į toną, kurio dažnis sutampa su natūraliu pluošto dažniu. Klausos aparato rezonansinių dažnių rinkinys nustato garso virpesių sritį, kurią mes suvokiame.

Mūsų ausų subjektyviai vertinamas garsumas didėja daug lėčiau nei garso bangų intensyvumas. Nors intensyvumas didėja eksponentiškai, garsumas didėja aritmetiškai. Tuo remiantis garsumo lygis nustatomas kaip konkretaus garso intensyvumo santykio su garsu, kuris laikomas originaliu, santykio logaritmas.

Garsumo lygio vienetas vadinamas baltas. Taip pat naudojami mažesni vienetai - decibelų(10 kartų mažiau nei balta).

kur yra garso sugerties koeficientas.

Garso sugerties koeficiento reikšmė didėja proporcingai garso dažnio kvadratui, todėl žemi garsai keliauja toliau nei aukšti.

Didelių patalpų architektūrinėje akustikoje svarbus vaidmuo tenka atgarsis arba aidi kambariai. Garsai, patiriantys daugybę atspindžių nuo gaubiančių paviršių, klausytojo suvokiami gana ilgą laiką. Tai padidina mus pasiekiančio garso stiprumą, tačiau jei aidėjimas yra per ilgas, atskiri garsai persidengia vienas su kitu ir kalba nebebus suvokiama aiškiai. Todėl salių sienos yra padengtos specialiomis garsą sugeriančiomis medžiagomis, mažinančiomis aidėjimą.

Garso virpesių šaltinis gali būti bet koks vibruojantis kūnas: varpo liežuvis, kamertonas, smuiko styga, oro stulpelis pučiamuosiuose instrumentuose ir kt. tie patys kūnai taip pat gali tarnauti kaip garso imtuvai, kai jie juda veikiami aplinkos vibracijų.

Ultragarsas

Norint gauti kryptį, t.y. arti plokščiosios bangos, emiterio matmenys turi būti daug kartų didesni už bangos ilgį. Garso bangos ore yra iki 15 m ilgio skystuose ir kietuose kūnuose bangos ilgis yra dar ilgesnis. Todėl praktiškai neįmanoma pastatyti radiatorių, kuris sukurtų tokio ilgio nukreiptą bangą.

Ultragarso virpesių dažnis viršija 20 000 Hz, todėl jų bangos ilgis yra labai trumpas. Mažėjant bangos ilgiui, mažėja ir difrakcijos vaidmuo bangos sklidimo procese. Todėl ultragarso bangos gali būti gaminamos nukreiptų spindulių pavidalu, panašiai kaip šviesos pluoštai.

Ultragarso bangoms sužadinti naudojami du reiškiniai: atvirkštinis pjezoelektrinis efektas Ir magnetostrikcija.

Atvirkštinis pjezoelektrinis efektas yra tai, kad kai kurių kristalų plokštelė (rochelle druska, kvarcas, bario titanatas ir kt.), veikiant elektriniam laukui, šiek tiek deformuojasi. Pastačius jį tarp metalinių plokščių, kurioms taikoma kintamoji įtampa, gali atsirasti priverstinės plokštės vibracijos. Šios vibracijos perduodamos į aplinką ir joje sukuria ultragarso bangą.

Magnetostrikcija reiškia, kad feromagnetinės medžiagos (geležis, nikelis, jų lydiniai ir kt.) deformuojasi veikiant magnetiniam laukui. Todėl įdėjus feromagnetinį strypą į kintamąjį magnetinį lauką, galima sužadinti mechaninius virpesius.

Didelės akustinių greičių ir pagreičių vertės, taip pat gerai išvystyti ultragarsinių virpesių tyrimo ir priėmimo metodai leido juos panaudoti sprendžiant daugelį techninių problemų. Išvardinkime kai kuriuos iš jų.

1928 metais sovietų mokslininkas S.Ya. Sokolovas pasiūlė ultragarsą naudoti defektų nustatymo tikslams, t.y. metalo gaminiuose paslėptų vidinių defektų, tokių kaip ertmės, įtrūkimai, laisvumas, šlako intarpai ir kt., aptikimui. Jei defekto dydis viršija ultragarso bangos ilgį, ultragarso impulsas atsispindi nuo defekto ir grįžta atgal. Siunčiant į gaminį ultragarso impulsus ir registruojant atspindėtus aido signalus, galima ne tik aptikti gaminių defektus, bet ir spręsti apie šių defektų dydį bei vietą. Šiuo metu šis metodas plačiai naudojamas pramonėje.

Kryptiniai ultragarsiniai spinduliai buvo plačiai pritaikyti vietos nustatymo tikslams, t.y. aptikti vandenyje esančius objektus ir nustatyti atstumą iki jų. Ultragarsinės vietos idėją pirmasis pasiūlė puikus prancūzų fizikas P. Langevinas ir buvo jo sukurtas per Pirmąjį pasaulinį karą povandeniniams laivams aptikti. Šiuo metu sonaro principais aptinkami ledkalniai, žuvų būriai ir kt. Šiais metodais galima nustatyti ir jūros gylį po laivo dugnu (echolotas).

Didelės amplitudės ultragarso bangos šiuo metu plačiai naudojamos kietų medžiagų mechaninio apdorojimo, smulkių objektų (laikrodžių dalių, vamzdynų ir kt.) valymo, degazavimo ir kt.

Ultragarso bangos, sukeldamos stiprias slėgio pulsacijas terpėje jų prasilenkimo metu, sukelia daugybę specifinių reiškinių: skystyje suspenduotų dalelių šlifavimą (dispersiją), emulsijų susidarymą, difuzijos procesų pagreitėjimą, cheminių reakcijų aktyvavimą, poveikį biologiniams objektams. ir kt.

Stovinčios bangos. 6.1 Stovinčios bangos elastingoje terpėje

6.1 Stovinčios bangos elastingoje terpėje

Pagal superpozicijos principą, kai elastingoje terpėje vienu metu sklinda kelios bangos, atsiranda jų superpozicija, o bangos viena kitos netrukdo: terpės dalelių svyravimai yra vektorinė svyravimų suma, kurią dalelės padarytų. jei kiekviena banga sklistų atskirai .

Bangos, sukuriančios terpės virpesius, kurių fazių skirtumai yra pastovūs kiekviename erdvės taške, vadinami nuoseklus.

Pridėjus koherentines bangas, atsiranda reiškinys trukdžių, kuris susideda iš to, kad kai kuriuose erdvės taškuose bangos stiprina viena kitą, o kituose – susilpnina. Svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos dvi to paties dažnio ir amplitudės priešingai sklindančios plokštumos bangos. Atsiradę svyravimai vadinami stovinti banga. Dažniausiai stovinčios bangos kyla, kai nuo kliūties atsispindi keliaujanti banga. Šiuo atveju krintanti banga ir jos link atsispindėjusi banga, pridėjus, suteikia stovinčią bangą.

Gauname stovinčios bangos lygtį. Paimkime dvi plokštumos harmonines bangas, sklindančias viena link kitos išilgai ašies X ir turintis tą patį dažnį ir amplitudę:

Kur – terpės taškų svyravimų fazė, praeinant pirmajai bangai;

– terpėje esančių taškų svyravimų fazė, praeinant antrajai bangai.

Fazių skirtumas kiekviename ašies taške X tinklas nepriklausys nuo laiko, t.y. bus pastovus:

Todėl abi bangos bus nuoseklios.

Terpės dalelių vibracija, atsirandanti pridedant nagrinėjamų bangų, bus tokia:

Paverskime kampų kosinusų sumą pagal taisyklę (4.4) ir gaukime:

Pergrupuodami veiksnius gauname:

Norėdami supaprastinti išraišką, atskaitos tašką pasirenkame taip, kad fazių skirtumas ir laiko skaičiavimo pradžia, kad fazių suma būtų lygi nuliui: .

Tada bangų sumos lygtis bus tokia:

Lygtis (6.6) vadinama stovinčios bangos lygtis. Tai rodo, kad stovinčios bangos dažnis yra lygus keliaujančios bangos dažniui, o amplitudė, skirtingai nei keliaujančios bangos, priklauso nuo atstumo nuo pradžios:

. (6.7)

Atsižvelgiant į (6.7), stovinčios bangos lygtis yra tokia:

. (6.8)

Taigi terpės taškai svyruoja dažniu, sutampančiu su slenkančios bangos dažniu ir amplitude a, priklausomai nuo taško padėties ašyje X. Atitinkamai, amplitudė kinta pagal kosinuso dėsnį ir turi savo maksimumus ir minimumus (6.1 pav.).

Norėdami vizualiai parodyti amplitudės minimumų ir maksimumų vietą, pagal (5.29) bangos skaičių pakeičiame jo reikšme:

Tada amplitudės išraiška (6.7) įgis tokią formą

(6.10)

Iš to tampa aišku, kad poslinkio amplitudė yra didžiausia , t.y. taškuose, kurių koordinatės tenkina sąlygą:

, (6.11)

Kur

Iš čia gauname taškų, kuriuose poslinkio amplitudė yra didžiausia, koordinates:

; (6.12)

Vadinami taškai, kuriuose terpės virpesių amplitudė yra didžiausia bangos antinodai.

Bangos amplitudė lygi nuliui taškuose, kur . Tokių taškų koordinatės, vadinamos bangų mazgai, atitinka sąlygą:

, (6.13)

Kur

Iš (6.13) aišku, kad mazgų koordinatės turi šias reikšmes:

, (6.14)

Fig. 6.2 paveiksle parodytas apytikslis stovinčios bangos vaizdas, žymintis mazgų ir antimazgų vietą. Galima pastebėti, kad kaimyniniai mazgai ir poslinkio antimazgai yra nutolę vienas nuo kito tokiu pačiu atstumu.

Raskime atstumą tarp gretimų antimazgų ir mazgų. Iš (6.12) gauname atstumą tarp antimazgų:

(6.15)

Atstumas tarp mazgų gaunamas iš (6.14):

(6.16)

Iš gautų ryšių (6.15) ir (6.16) aišku, kad atstumas tarp gretimų mazgų, taip pat tarp gretimų antimazgų yra pastovus ir lygus ; mazgai ir antimazgai yra pasislinkę vienas kito atžvilgiu (6.3 pav.).

Iš bangos ilgio apibrėžimo galime parašyti stovinčios bangos ilgio išraišką: ji lygi pusei keliaujančios bangos ilgio:

Parašykime, atsižvelgdami į (6.17), mazgų ir antimazgų koordinačių išraiškas:

, (6.18)

, (6.19)

Stovėjusios bangos amplitudę lemiantis veiksnys, eidamas per nulinę reikšmę, keičia savo ženklą, dėl to svyravimų fazė skirtingose ​​mazgo pusėse skiriasi . Vadinasi, visi taškai, esantys priešingose ​​mazgo pusėse, svyruoja priešfazėje. Visi taškai, esantys tarp gretimų mazgų, svyruoja fazėje.

Mazgai sąlyginai padalija aplinką į autonominius regionus, kuriuose harmoniniai svyravimai vyksta nepriklausomai. Nėra judesio perdavimo tarp regionų, todėl nėra energijos srauto tarp regionų. Tai reiškia, kad išilgai ašies trikdžių neperduodama. Štai kodėl banga vadinama stovinčia banga.

Taigi stovinčioji banga susidaro iš dviejų priešingos krypties vienodo dažnio ir amplitudės slenkančių bangų. Kiekvienos iš šių bangų Umov vektoriai yra vienodo dydžio ir priešingos krypties, o sudėjus jie duoda nulį. Vadinasi, stovinti banga neperduoda energijos.

6.2 Stovėjusių bangų pavyzdžiai

6.2.1 Stovinčios bangos stygoje

Panagrinėkime ilgio eilutę L, fiksuotas abiejuose galuose (6.4 pav.).

Išilgai eilutės pastatykime ašį X kad kairiajame eilutės gale būtų koordinatė x=0, o teisingas - x = L. Virpesiai atsiranda eilutėje, aprašyta lygtimi:

Užrašykime nagrinėjamos eilutės ribines sąlygas. Kadangi jo galai yra fiksuoti, tada taškuose su koordinatėmis x=0 Ir x = L be dvejonių:

(6.22)

Raskime stygų svyravimų lygtį pagal parašytas ribines sąlygas. Parašykime lygtį (6.20) kairiajam eilutės galui, atsižvelgdami į (6.21):

Santykis (6.23) patenkinamas bet kuriuo metu t dviem atvejais:

1. . Tai įmanoma, jei eilutėje () nėra vibracijų. Ši byla nedomina ir mes jos nenagrinėsime.

2. . Čia yra fazė. Šis atvejis leis mums gauti stygų virpesių lygtį.

Pakeiskime gautą fazės reikšmę į ribinę sąlygą (6.22) dešiniajame eilutės gale:

. (6.25)

Atsižvelgiant į tai

, (6.26)

iš (6.25) gauname:

Vėlgi, iškyla du atvejai, kai santykis (6.27) tenkinamas. Mes nenagrinėsime atvejo, kai eilutėje nėra vibracijų ().

Antruoju atveju lygybė turi būti įvykdyta:

ir tai įmanoma tik tada, kai sinuso argumentas yra sveikojo skaičiaus kartotinis:

Atsisakome vertės, nes šiuo atveju ir tai reikštų nulinį eilutės ilgį ( L = 0) arba bangos skaičius k=0. Atsižvelgiant į bangos skaičiaus ir bangos ilgio ryšį (6.9), aišku, kad tam, kad bangos skaičius būtų lygus nuliui, bangos ilgis turėtų būti begalinis, o tai reikštų, kad nėra svyravimų.

Iš (6.28) aišku, kad bangos skaičius, kai svyruoja abiejuose galuose fiksuota eilutė, gali turėti tik tam tikras atskiras reikšmes:

Atsižvelgdami į (6.9), rašome (6.30) tokia forma:

iš kurios gauname galimų bangos ilgių eilutėje išraišką:

Kitaip tariant, per stygos ilgį L turi tilpti į sveikąjį skaičių n pusbangos:

Atitinkamus virpesių dažnius galima nustatyti pagal (5.7):

Čia yra bangos fazinis greitis, priklausomai nuo (5.102) nuo stygos linijinio tankio ir stygos įtempimo jėgos:

Pakeitę (6.34) į (6.33), gauname išraišką, apibūdinančią galimus eilutės virpesių dažnius:

, (6.36)

Dažniai vadinami natūralūs dažniai stygos. Dažnis (at n = 1):

(6.37)

paskambino pagrindinis dažnis(arba pagrindinis tonas) stygos. Dažnis nustatytas n>1 yra vadinami obertonai arba harmonikų. Harmoninis skaičius yra n-1. Pavyzdžiui, dažnis:

atitinka pirmąją harmoniką ir dažnį:

atitinka antrąją harmoniką ir kt. Kadangi eilutę galima pavaizduoti kaip diskrečią sistemą su begaliniu laisvės laipsnių skaičiumi, kiekviena harmonika yra mada stygų vibracijos. Bendruoju atveju stygų virpesiai reiškia režimų superpoziciją.

Kiekviena harmonika turi savo bangos ilgį. Pagrindiniam tonui (su n= 1) bangos ilgis:

atitinkamai pirmajai ir antrai harmonikai (at n= 2 ir n= 3) bangos ilgiai bus:

6.5 paveiksle parodytas kelių vibracijos režimų, kuriuos atlieka styga, išvaizda.

Taigi styga su fiksuotais galais realizuoja išskirtinį atvejį klasikinės fizikos rėmuose – diskretišką vibracijos dažnių (arba bangų ilgių) spektrą. Elastinis strypas su vienu arba abiem užspaustais galais ir oro stulpelio svyravimai vamzdžiuose elgiasi taip pat, kas bus aptarta tolesniuose skyriuose.

6.2.2 Pradinių sąlygų įtaka judėjimui

ištisinė eilutė. Furjė analizė

Be diskretiško virpesių dažnių spektro, stygos su užspaustais galais virpesiai turi dar vieną svarbią savybę: specifinė stygos virpesių forma priklauso nuo svyravimų sužadinimo būdo, t.y. nuo pradinių sąlygų. Pažiūrėkime atidžiau.

Lygtis (6.20), apibūdinanti vieną stovinčios bangos režimą stygoje, yra specialus diferencialinės bangos lygties (5.61) sprendimas. Kadangi stygos vibracija susideda iš visų galimų modų (stygos yra begalinis skaičius), tai banginės lygties (5.61) bendrasis sprendinys susideda iš begalinio skaičiaus dalinių sprendinių:

, (6.43)

Kur i– vibracijos režimo numeris. Išraiška (6.43) rašoma atsižvelgiant į tai, kad eilutės galai yra fiksuoti:

taip pat atsižvelgiant į dažnio ryšį i-tas režimas ir jo bangos numeris:

(6.46)

Čia – bangos skaičius i mada;

– 1-ojo režimo bangos numeris;

Raskime kiekvieno svyravimo režimo pradinės fazės reikšmę. Dėl to šiuo metu t=0 suteikime eilutei funkcijos aprašytą formą f 0 (x), išraišką gauname iš (6.43):

. (6.47)

Fig. 6.6 paveiksle pateiktas funkcijos aprašytos eilutės formos pavyzdys f 0 (x).

Vienu metu t=0 styga dar yra ramybės būsenoje, t.y. visų jo taškų greitis lygus nuliui. Iš (6.43) randame eilutės taškų greičio išraišką:

ir, pakeičiant jį t=0, gauname eilutės taškų greičio pradiniu laiko momentu išraišką:

. (6.49)

Kadangi pradiniu laiko momentu greitis lygus nuliui, tai išraiška (6.49) bus lygi nuliui visiems eilutės taškams, jei . Iš to išplaukia, kad pradinė visų režimų fazė taip pat yra lygi nuliui (). Atsižvelgiant į tai, išraiška (6.43), apibūdinanti eilutės judėjimą, yra tokia:

, (6.50)

ir išraiška (6.47), apibūdinanti pradinę eilutės formą, atrodo taip:

. (6.51)

Stovinčiąją bangą eilutėje apibūdina funkcija, kuri yra periodinė per intervalą , kur ji lygi dviem eilutės ilgiams (6.7 pav.):

Tai matyti iš to, kad periodiškumas intervale reiškia:

Vadinasi,

kuri mus veda į išraišką (6.52).

Iš matematinės analizės žinoma, kad bet kurią periodinę funkciją galima labai tiksliai išplėsti į Furjė eilutę:

, (6.57)

kur , , yra Furjė koeficientai.

Jei terpėje vienu metu sklinda kelios bangos, tai terpės dalelių svyravimai yra geometrinė svyravimų suma, kurią dalelės padarytų, jei kiekviena iš bangų sklistų atskirai. Vadinasi, bangos tiesiog dengia viena kitą, netrukdydami viena kitai. Šis teiginys vadinamas bangų superpozicijos principu.

Tuo atveju, kai atskirų bangų sukelti svyravimai kiekviename terpės taške turi pastovų fazių skirtumą, bangos vadinamos koherentinėmis. (Tikresnis koherencijos apibrėžimas bus pateiktas § 120.) Pridėjus koherentines bangas, atsiranda interferencijos reiškinys, kuris susideda iš to, kad svyravimai vienuose taškuose sustiprėja, o kituose susilpnina vienas kitą.

Labai svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos dvi tos pačios amplitudės priešingai sklindančios plokštumos bangos. Atsiradęs virpesių procesas vadinamas stovinčia banga. Beveik stovinčios bangos kyla, kai bangos atsispindi nuo kliūčių. Ant kliūties krentanti banga ir jos link einanti atsispindėjusi banga, besiklojančios viena ant kitos, sukuria stovinčią bangą.

Parašykime dviejų plokštuminių bangų, sklindančių išilgai x ašies priešingomis kryptimis, lygtis:

Sudėjus šias lygtis ir transformuojant rezultatą naudojant kosinusų sumos formulę, gauname

Lygtis (99.1) yra stovinčios bangos lygtis. Norėdami jį supaprastinti, parenkame pradinį tašką, kad skirtumas , taptų lygus nuliui, o pradžios taškas būtų lygus nuliui. Be to, bangos skaičių k pakeičiame jo reikšme

Tada (99.1) lygtis įgaus formą

Iš (99.2) aišku, kad kiekviename stovinčios bangos taške svyravimai vyksta tokiu pat dažniu kaip ir priešingos bangos, o amplitudė priklauso nuo x:

svyravimų amplitudė pasiekia didžiausią reikšmę. Šie taškai vadinami stovinčios bangos antimazgais. Iš (99.3) gaunamos antimazgų koordinačių reikšmės:

Reikėtų nepamiršti, kad antimazgas yra ne vienas taškas, o plokštuma, kurios taškai turi x koordinačių reikšmes, nustatytas pagal (99.4) formulę.

Taškuose, kurių koordinatės tenkina sąlygą

svyravimų amplitudė tampa lygi nuliui. Šie taškai vadinami stovinčios bangos mazgais. Mazguose esantys terpės taškai nesvyruoja. Mazgo koordinatės yra svarbios

Mazgas, kaip ir antimazgas, yra ne vienas taškas, o plokštuma, kurios taškai turi x koordinačių reikšmes, nustatytas pagal (99.5) formulę.

Iš (99.4) ir (99.5) formulių išplaukia, kad atstumas tarp gretimų antimazgų, taip pat atstumas tarp gretimų mazgų yra lygus . Antimazgai ir mazgai pasislenka vienas kito atžvilgiu ketvirtadaliu bangos ilgio.

Dar kartą pereikime prie (99.2) lygties. Pereidamas per nulį, daugiklis keičia ženklą. Atsižvelgiant į tai, svyravimų fazė priešingose ​​mazgo pusėse skiriasi Tai reiškia, kad taškai, esantys priešingose ​​mazgo pusėse, svyruoja priešfazėje. Visi taškai, esantys tarp dviejų gretimų mazgų, svyruoja fazėje (t. y. toje pačioje fazėje). Fig. 99.1 pateikia taškų nukrypimų nuo pusiausvyros padėties „momentinių nuotraukų“ seriją.

Pirmoji „nuotrauka“ atitinka momentą, kai nuokrypiai pasiekia didžiausią absoliučią vertę. Vėlesnės „fotografijos“ daromos ketvirčio laikotarpiais. Rodyklės rodo dalelių greitį.

Vieną kartą diferencijuodami (99.2) lygtį t, o kitą kartą – x, randame dalelių greičio ir terpės deformacijos išraiškas:

(99.6) lygtis apibūdina stovinčio greičio bangą, o (99.7) – stovinčią deformacijos bangą.

Fig. 99.2 lygina poslinkio, greičio ir deformacijos „momentinius vaizdus“ laiko momentais 0 ir Iš grafikų aišku, kad greičio mazgai ir antimazgai sutampa su poslinkio mazgais ir antimazgais; deformacijos mazgai ir antimazgai atitinkamai sutampa su poslinkio antimazgais ir mazgais. Pasiekus maksimalias reikšmes, jis nukrenta iki nulio ir atvirkščiai.

Atitinkamai, du kartus per periodą stovinčios bangos energija visiškai paverčiama potencialu, daugiausia sutelkta šalia bangos mazgų (kur yra deformacijos antimazgiai), arba visiškai į kinetinę energiją, daugiausia koncentruojamą šalia bangos antimazgų (kur greičio antimazgiai). yra įsikūrę). Dėl to energija perduodama iš kiekvieno mazgo į gretimus antimazgus ir atgal. Vidutinis energijos srautas bet kurioje bangos dalyje yra lygus nuliui.