Tikimybių teorija: uždavinių sprendimo formulės ir pavyzdžiai. Tikimybių teorija

Įvykių klasifikavimas į galimus, tikėtinus ir atsitiktinius. Paprastų ir sudėtingų elementarių įvykių sampratos. Operacijos renginiuose. Klasikinis atsitiktinio įvykio tikimybės ir jo savybių apibrėžimas. Kombinatorikos elementai tikimybių teorijoje. Geometrinė tikimybė. Tikimybių teorijos aksiomos.

Renginių klasifikacija

Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra įvykio samprata. Pagal renginys suprasti bet kokį faktą, kuris gali atsirasti dėl patirties ar išbandymo. Pagal patirtį, arba bandymas, reiškia tam tikro sąlygų rinkinio įgyvendinimą.

Renginių pavyzdžiai:

Panašių pavyzdžių galima pateikti begalę. Įvykiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis ir kt.

Išskirti bendri renginiai Ir nesuderinamas. Įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno iš jų įvykis neatmeta kito. Priešingu atveju įvykiai vadinami nesuderinamais. Pavyzdžiui, mesti du kauliukai. Įvykis yra trijų taškų metimas ant pirmojo kauliuko, įvykis yra trijų taškų metimas ant antrojo kauliuko. ir - bendri renginiai. Tegul parduotuvė gauna to paties stiliaus ir dydžio, bet skirtingų spalvų batų partiją. Renginys - atsitiktine tvarka paimtoje dėžutėje bus juodi batai, įvykis - dėžutėje bus rudi batai ir - nesuderinami renginiai.

Renginys vadinamas patikimas, jei tai tikrai įvyks tam tikro eksperimento sąlygomis.

Įvykis vadinamas neįmanomu, jei jis negali įvykti tam tikros patirties sąlygomis. Pavyzdžiui, atvejis, kai standartinė dalis bus paimta iš standartinių dalių partijos, yra patikimas, tačiau nestandartinės detalės neįmanomas.

Renginys vadinamas galima, arba atsitiktinis, jei dėl patirties gali pasirodyti, bet gali ir nepasirodyti. Atsitiktinio įvykio pavyzdys galėtų būti gaminio defektų nustatymas gatavų gaminių partijos tikrinimo metu, perdirbto produkto ir nurodyto produkto dydžio neatitikimas arba vienos iš automatinės valdymo sistemos grandžių gedimas. .

Renginiai vadinami vienodai įmanoma, jei pagal bandymo sąlygas nė vienas iš šių įvykių nėra objektyviai įmanomas už kitus. Pavyzdžiui, leiskite kelioms gamykloms tiekti elektros lemputes į parduotuvę (ir vienodais kiekiais). Taip pat galimi įvykiai, susiję su elektros lemputės pirkimu bet kurioje iš šių gamyklų.

Svarbi koncepcija yra pilna renginių grupė. Keli konkretaus eksperimento įvykiai sudaro visą grupę, jei bent vienas iš jų tikrai atsiras kaip eksperimento rezultatas. Pavyzdžiui, urnoje yra dešimt kamuoliukų, iš kurių šeši yra raudoni, keturi – balti, o penki – su skaičiais. - raudono rutulio atsiradimas per vieną traukimą, - balto rutulio atsiradimas, - rutulio su skaičiu pasirodymas. Renginiai sudaro ištisą bendrų renginių grupę.

Įveskime priešingo arba papildomo įvykio sampratą. Pagal priešingaĮvykis suprantamas kaip įvykis, kuris būtinai turi įvykti, jei koks nors įvykis neįvyksta. Priešingi įvykiai yra nesuderinami ir vieninteliai galimi. Jie sudaro visą įvykių grupę. Pavyzdžiui, jei pagamintų produktų partiją sudaro geri ir nekokybiški gaminiai, pašalinus vieną gaminį jis gali pasirodyti kaip geras įvykis arba brokuotas įvykis.

Operacijos renginiuose

Kuriant atsitiktinių įvykių tyrimo aparatą ir metodiką tikimybių teorijoje, labai svarbi įvykių sumos ir sandaugos samprata.

Kelių įvykių suma arba sąjunga yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių.

Įvykių suma nurodoma taip:

Pavyzdžiui, jei įvykis pataiko į taikinį pirmu šūviu, įvykis - su antruoju, tai įvykis pataiko į taikinį apskritai, nesvarbu, su kuriuo šūviu - pirmuoju, antruoju ar abu kartu.

Kelių įvykių sandauga arba sankirta yra įvykis, susidedantis iš visų šių įvykių bendro įvykio.

Nurodoma renginių gamyba

Pavyzdžiui, jei įvykis yra toks, kad į taikinį buvo pataikyta pirmuoju šūviu, įvykis yra toks, kad į taikinį pataikė antruoju šūviu, tada įvykis yra toks, kad į taikinį buvo pataikyta abiem šūviais.

Įvykių sumos ir sandaugos sąvokos turi aiškią geometrinę interpretaciją. Tegul įvykis susideda iš taško patekimo į regioną, įvykį sudaro patekimas į regioną, tada įvykis susideda iš taško patekimo į regioną, pažymėtą pav. 1, o įvykis yra tada, kai taškas patenka į 1 pav. 2.

Klasikinis atsitiktinio įvykio tikimybės apibrėžimas

Norint kiekybiškai palyginti įvykius pagal jų atsiradimo tikimybės laipsnį, įvedamas skaitinis matas, kuris vadinamas įvykio tikimybe.

Įvykio tikimybė yra skaičius, išreiškiantis objektyvios įvykio galimybės matą.

Įvykio tikimybė bus pažymėta simboliu.

Įvykio tikimybė yra lygi jam palankių atvejų skaičiaus santykiui iš bendro unikaliai galimų, vienodai galimų ir nesuderinamų atvejų skaičiaus ir skaičiaus t.y.

Tai yra klasikinis tikimybės apibrėžimas. Taigi, norint rasti įvykio tikimybę, reikia, įvertinus įvairias testo baigtis, rasti unikaliai galimų, vienodai galimų ir nesuderinamų atvejų aibę, apskaičiuoti bendrą jų skaičių, palankių tam tikram atvejų skaičių. įvykį, tada atlikite skaičiavimą naudodami (1.1) formulę.

Iš (1.1) formulės išplaukia, kad įvykio tikimybė yra neneigiamas skaičius ir gali svyruoti nuo nulio iki vieneto, priklausomai nuo palankaus atvejų skaičiaus proporcijos nuo bendro atvejų skaičiaus:

Tikimybių savybės

1 nuosavybė. Jei visi atvejai yra palankūs tam tikram įvykiui, šis įvykis tikrai įvyks. Vadinasi, aptariamas įvykis yra patikimas, o jo atsiradimo tikimybė yra , nes šiuo atveju

2 nuosavybė. Jei tam tikram įvykiui nėra nė vieno palankaus atvejo, tai šis įvykis negali įvykti dėl patirties. Vadinasi, aptariamas įvykis yra neįmanomas, o jo atsiradimo tikimybė yra , nes šiuo atveju:

3 nuosavybė. Įvykių, sudarančių visą grupę, atsiradimo tikimybė yra lygi vienetui.

4 nuosavybė. Priešingo įvykio tikimybė nustatoma taip pat, kaip ir įvykio tikimybė:

kur yra atvejų, palankių priešingam įvykiui įvykti, skaičius. Taigi priešingo įvykio tikimybė yra lygi skirtumui tarp vienybės ir įvykio tikimybės:

Svarbus klasikinio įvykio tikimybės apibrėžimo privalumas yra tas, kad jo pagalba įvykio tikimybę galima nustatyti nesinaudojant patirtimi, o remiantis loginiais samprotavimais.

1 pavyzdys. Rinkdamas telefono numerį abonentas pamiršo vieną skaitmenį ir jį surinko atsitiktinai. Raskite tikimybę, kad bus surinktas teisingas numeris.

Sprendimas. Pažymime įvykį, kai surenkamas reikiamas numeris. Abonentas gali rinkti bet kurį iš 10 skaitmenų, todėl bendras galimų rezultatų skaičius yra 10. Šie rezultatai yra vieninteliai galimi (turi būti surinktas vienas iš skaitmenų) ir vienodai įmanomi (skaitmuo renkamas atsitiktinai). Tik vienas rezultatas palankus įvykiui (reikia tik vieno skaičiaus). Reikalinga tikimybė yra lygi įvykiui palankių baigčių skaičiaus ir visų baigčių skaičiaus santykiui:

Kombinatorikos elementai

Tikimybių teorijoje dažnai naudojamos vietos, permutacijos ir deriniai. Jei duotas rinkinys, tai vieta (derinys) elementų yra bet koks sutvarkytas (nesutvarkytas) aibės elementų poaibis. Kai įdedamas vadinamas pertvarkymas iš elementų.

Pavyzdžiui, duokite rinkinį. Šios dviejų aibės trijų elementų vietos yra , , , , , ; deriniai - , , .

Du deriniai skiriasi bent vienu elementu, o paskirties vietos skiriasi arba pačiais elementais, arba jų rodymo tvarka. Elementų derinių skaičius apskaičiuojamas pagal formulę

yra elementų vietų skaičius pagal ; - elementų permutacijų skaičius.

2 pavyzdys. 10 dalių partijoje yra 7 standartinės. Raskite tikimybę, kad tarp 6 atsitiktinai paimtų dalių yra lygiai 4 standartinės.

Sprendimas. Bendras galimų testo rezultatų skaičius yra lygus būdų, kuriais iš 10 gali būti išskirtos 6 dalys, skaičiui, t. y. lygus 10 elementų derinių skaičiui iš 6. Įvykiui palankių rezultatų skaičius (tarp 6 paimtos dalys yra lygiai 4 standartinės) nustatoma taip: iš 7 standartinių dalių galima paimti 4 standartines dalis skirtingais būdais; šiuo atveju likusios dalys turi būti nestandartinės; Yra būdų, kaip iš nestandartinių dalių paimti 2 nestandartines dalis. Todėl palankių rezultatų skaičius yra lygus . Pradinė tikimybė yra lygi įvykiui palankių rezultatų skaičiaus ir visų baigčių skaičiaus santykiui:

Statistinis tikimybės apibrėžimas

Formulė (1.1) naudojama įvykių tikimybei tiesiogiai apskaičiuoti tik tada, kai patirtis redukuojama į atvejų modelį. Praktikoje klasikinis tikimybės apibrėžimas dažnai netaikomas dėl dviejų priežasčių: pirma, klasikinis tikimybės apibrėžimas daro prielaidą, kad bendras atvejų skaičius turi būti baigtinis. Tiesą sakant, tai dažnai nėra ribojama. Antra, dažnai neįmanoma pateikti eksperimento rezultatų vienodai galimų ir nesuderinamų įvykių pavidalu.

Įvykių dažnis kartotinių eksperimentų metu stabilizuojasi ties tam tikra pastovia verte. Taigi su nagrinėjamu įvykiu galima susieti tam tikrą pastovią reikšmę, aplink kurią grupuojami dažniai ir kuri yra objektyvaus ryšio tarp sąlygų, kuriomis atliekami eksperimentai, ir įvykio charakteristika.

Atsitiktinio įvykio tikimybė yra skaičius, aplink kurį šio įvykio dažniai sugrupuojami didėjant bandymų skaičiui.

Šis tikimybės apibrėžimas vadinamas statistiniai.

Statistinio tikimybės nustatymo metodo pranašumas yra tas, kad jis pagrįstas tikru eksperimentu. Tačiau reikšmingas jo trūkumas yra tas, kad norint nustatyti tikimybę, būtina atlikti daugybę eksperimentų, kurie labai dažnai siejami su medžiagų išlaidomis. Statistinis įvykio tikimybės apibrėžimas, nors ir gana visapusiškai atskleidžia šios sąvokos turinį, tačiau nesuteikia galimybės realiai apskaičiuoti tikimybės.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas apima visą baigtinio skaičiaus vienodai galimų įvykių grupę. Praktikoje labai dažnai galimų testo rezultatų skaičius yra begalinis. Tokiais atvejais klasikinis tikimybės apibrėžimas netaikomas. Tačiau kartais tokiais atvejais galite naudoti kitą tikimybės skaičiavimo metodą. Tikslumui mes apsiribojame dvimačiu atveju.

Tegul plokštumoje pateikiama tam tikra ploto sritis , kurioje yra kita ploto sritis (3 pav.). Taškas įmetamas į sritį atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad taškas pateks į regioną? Daroma prielaida, kad atsitiktinai išmestas taškas gali pataikyti į bet kurį regiono tašką, o tikimybė atsitrenkti į bet kurią srities dalį yra proporcinga dalies plotui ir nepriklauso nuo jos vietos bei formos. Šiuo atveju tikimybė patekti į zoną

Taigi, bendru atveju, jei atsitiktinio taško atsiradimo tam tikroje srityje galimybę tiesėje, plokštumoje ar erdvėje lemia ne šios srities padėtis ir jos ribos, o tik dydis, t.y ilgis. , plotas arba tūris, tada tikimybė, kad atsitiktinis taškas pateks į tam tikrą sritį, apibrėžiama kaip šios srities dydžio ir visos srities, kurioje gali atsirasti tam tikras taškas, dydžio santykis. Tai yra geometrinis tikimybės apibrėžimas.

3 pavyzdys. Apvalus taikinys sukasi pastoviu kampiniu greičiu. Penktadalis taikinio nudažytas žaliai, o likusi dalis – balta (4 pav.). Šūvis į taikinį šaudomas taip, kad pataikymas į taikinį būtų patikimas įvykis. Turite nustatyti tikimybę pataikyti į žaliai nuspalvintą tikslinį sektorių.

Sprendimas. Pažymime „šūvis pataikė į žalią sektorių“. Tada . Tikimybė gaunama kaip žaliai nudažytos taikinio dalies ploto ir viso taikinio ploto santykis, nes vienodai įmanoma pataikyti į bet kurią taikinio dalį.

Tikimybių teorijos aksiomos

Iš statistinio atsitiktinio įvykio tikimybės apibrėžimo išplaukia, kad įvykio tikimybė yra skaičius, aplink kurį sugrupuojami eksperimentiškai stebimi šio įvykio dažniai. Todėl įvedamos tikimybių teorijos aksiomos, kad įvykio tikimybė turėtų pagrindines dažnio savybes.

1 aksioma. Kiekvienas įvykis atitinka tam tikrą skaičių, kuris tenkina sąlygą ir vadinamas jo tikimybe.

Nižnij Novgorodo valstybinis technikos universitetas

juos. A.E. Aleksejeva

Tikimybių teorijos disciplinos santrauka

Užbaigė: Ruchina N.A gr 10MEnz

Patikrintas: Gladkovas V.V.

Nižnij Novgorodas, 2011 m

Tikimybių teorija……………………………………

Tikimybių teorijos dalykas…………………………

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos……………

Atsitiktiniai įvykiai, įvykių tikimybė………………………………………………………………

Ribinės teoremos……………………………………

Atsitiktiniai procesai…………………………………………………………

Istorinis fonas………………………………………………………

Naudota literatūra……………………………………………………………

Tikimybių teorija

Tikimybių teorija - matematinis mokslas, leidžiantis iš kai kurių atsitiktinių įvykių tikimybių rasti kitų atsitiktinių įvykių, tam tikru būdu susijusių su pirmuoju, tikimybes.

Teiginys, kad įvykis įvyksta su tikimybe , lygus, pavyzdžiui, 0,75, savaime nereiškia galutinės reikšmės, nes mes siekiame patikimų žinių. Galutinė kognityvinė vertė yra tie tikimybių teorijos rezultatai, leidžiantys teigti, kad bet kokio įvykio įvykimo tikimybė A labai artima vienybei arba (tai yra ta pati) tikimybei, kad įvykis neįvyks A labai mažas. Remiantis principu „nepaisyti pakankamai mažų tikimybių“, toks įvykis pagrįstai laikomas praktiškai tikru. Tokio pobūdžio išvados, turinčios mokslinį ir praktinį interesą, paprastai grindžiamos prielaida, kad įvykio įvykis arba neįvykimas A priklauso nuo daugybės atsitiktinių veiksnių, mažai susijusių vienas su kitu . Todėl taip pat galime sakyti, kad tikimybių teorija yra matematikos mokslas, kuris išaiškina modelius, atsirandančius sąveikaujant daugeliui atsitiktinių veiksnių.

Tikimybių teorijos dalykas

Tikimybių teorijos dalykas. Apibūdinti natūralų ryšį tarp tam tikrų sąlygų S ir renginys A, kurių atsiradimą ar neįvykimą tam tikromis sąlygomis galima tiksliai nustatyti, gamtos mokslai dažniausiai naudoja vieną iš šių dviejų schemų:

a) kai tenkinamos sąlygos S ateina įvykis A. Pavyzdžiui, ši forma turi visus klasikinės mechanikos dėsnius, kurie teigia, kad esant pradinėms sąlygoms ir jėgoms, veikiančioms kūną ar kūnų sistemą, judėjimas įvyks unikaliai apibrėžtu būdu.

b) Esant sąlygoms S renginys A turi tam tikrą tikimybę P(A/S), lygus r. Taigi, pavyzdžiui, radioaktyviosios spinduliuotės dėsniai teigia, kad kiekvienai radioaktyviajai medžiagai yra tam tikra tikimybė, kad nuo tam tikro medžiagos kiekio per tam tikrą laikotarpį tam tikras skaičius suskils. N atomai.

Pavadinkime tai renginio dažnumu Ašioje serijoje nuo n testai (tai yra iš n pakartotinis sąlygų įgyvendinimas S) požiūris h = m/n numeriai m tie testai, kuriuose A atėjo iki bendro jų skaičiaus n. Renginio prieinamumas A sąlygomis S tam tikra tikimybė, lygi p, pasireiškia tuo, kad beveik kiekvienoje pakankamai ilgoje testų serijoje įvykio dažnumas A maždaug lygus r.

Statistiniai modeliai, ty modeliai, aprašyti b tipo schema, pirmą kartą buvo aptikti lošimo žaidimuose, tokiuose kaip kauliukai. Statistiniai gimimo ir mirties modeliai taip pat žinomi labai seniai (pavyzdžiui, tikimybė, kad naujagimis bus berniukas, yra 0,515). 19 amžiaus pabaiga ir XX amžiaus I pusė. pasižymėjo daugybės statistinių dėsnių atradimu fizikoje, chemijoje, biologijoje ir kt.

Galimybė taikyti tikimybių teorijos metodus, tiriant statistinius modelius, susijusius su viena nuo kitos labai nutolusiomis mokslo sritimis, grindžiama tuo, kad įvykių tikimybės visada tenkina tam tikrus paprastus ryšius. Įvykių tikimybių savybių tyrimas remiantis šiais paprastais ryšiais yra tikimybių teorijos dalykas.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Pagrindinės tikimybių teorijos, kaip matematinės disciplinos, sąvokos paprasčiausiai apibrėžiamos vadinamosios elementariosios tikimybių teorijos rėmuose. Kiekvienas išbandymas T, elementariojoje tikimybių teorijoje laikomas toks, kad baigiasi vienu ir tik vienu iš įvykių E 1 , E 2 ,..., E S (vienaip ar kitaip, priklausomai nuo atvejo). Šie įvykiai vadinami bandymo rezultatais. Su kiekvienu rezultatu E k susietas teigiamas skaičius r Į - šio rezultato tikimybę. Skaičiai p k turi pridėti iki vieno. Tada svarstomi įvykiai A, susidedantis iš to, kad „atsitinka arba E i , arba E j ,..., arba E k“ Rezultatai E i , E j ,..., E k vadinamos palankiomis A, ir pagal apibrėžimą jie prisiima tikimybę R(A) įvykius A, lygi jam palankių rezultatų tikimybių sumai:

P(A) =p i +p s +… +p k . (1)

Ypatingas atvejis p 1 =p 2 =...p s = 1/S veda prie formulės

R(A) =r/s.(2)

(2) formulė išreiškia vadinamąjį klasikinį tikimybės apibrėžimą, pagal kurį įvykio tikimybė A lygus skaičiaus santykiui r rezultatai palankūs A, prie numerio s visi „vienodai galimi“ rezultatai. Klasikinis tikimybės apibrėžimas tik sumažina „tikimybės“ sąvoką iki „lygios galimybės“ sąvokos, kuri lieka be aiškaus apibrėžimo.

Pavyzdys. Metant du kauliukus, kiekvienas iš 36 galimų baigčių gali būti pažymėtas ( i,j), Kur i- taškų, išmestų ant pirmo kauliuko, skaičius, j- antroje. Manoma, kad rezultatai yra vienodai tikėtini. Renginys A -„balų suma yra 4“, trys rezultatai yra palankūs (1; 3), (2; 2), (3; 1). Vadinasi, R(A) = 3/36= 1/12.

Remiantis bet kuriais duotais įvykiais, galima nustatyti du naujus įvykius: jų jungtį (sumą) ir derinį (produktą).

Renginys IN vadinamas įvykių telkimu A 1 , A 2 ,..., A r ,-, jei turi formą: „ateina arba A 1 , arba A 2 ,..., arba A r ».

Įvykis C vadinamas įvykių deriniu A 1 , A. 2 ,..., A r , jei turi formą: „ateina ir A 1 , Ir A 2 ,..., Ir A r » . Įvykių derinys žymimas ženklu, o derinys – ženklu. Taigi jie rašo:

B =A 1  A 2  …  A r , C = A 1  A 2  …  A r .

Renginiai A Ir IN yra vadinami nesuderinamais, jei jų vienu metu įgyvendinti neįmanoma, tai yra, jei tarp testo rezultatų nėra nė vieno palankaus ir A Ir IN.

Įvestos įvykių jungimo ir jungimo operacijos siejamos su dviem pagrindinėmis tikimybių teorijos teoremomis – tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis.

Tikimybių sudėjimo teorema: Jei įvykiai A 1 ,A 2 ,...,A r yra tokie, kad kas du iš jų yra nesuderinami, tada jų susijungimo tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai.

Taigi, aukščiau pateiktame dviejų kauliukų metimo pavyzdyje, įvykis IN –„taškų suma neviršija 4“, yra trijų nesuderinamų įvykių sąjunga A 2 ,A 3 ,A 4, susidedantis iš to, kad taškų suma lygi atitinkamai 2, 3, 4. Šių įvykių tikimybė yra 1/36; 2/36; 3/36. Pagal sudėjimo teoremą tikimybė R(IN) lygus

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Renginiai A 1 ,A 2 ,...,A r vadinami nepriklausomais, jei kiekvieno iš jų sąlyginė tikimybė, jei įvyko bet kuri iš kitų, yra lygi jos „besąlyginei“ tikimybei.

Tikimybių daugybos teorema: Įvykių sujungimo tikimybė A 1 ,A 2 ,...,A r lygus įvykio tikimybei A 1 , padauginta iš įvykio tikimybės A 2 paimtas su sąlyga, kad A 1 įvyko,..., padauginta iš įvykio tikimybės A r su sąlyga, kad A 1 ,A 2 ,...,A r-1 atvyko. Nepriklausomiems įvykiams daugybos teorema veda į formulę:

P(A 1 A 2 …A r) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A r), (3)

tai yra, nepriklausomų įvykių sujungimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai. Formulė (3) lieka galioti, jei abiejose jos dalyse kai kurie įvykiai pakeičiami jų priešingybėmis.

Pavyzdys. Į taikinį paleidžiami 4 šūviai, kurių kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra 0,2. Manoma, kad skirtingų šūvių taikiniai yra nepriklausomi įvykiai. Kokia tikimybė pataikyti į taikinį tiksliai tris kartus?

Kiekvienas bandymo rezultatas gali būti pažymėtas keturių raidžių seka [pvz., (y, n, n, y) reiškia, kad pirmasis ir ketvirtas šūviai pataikė (sėkmingai), o antrasis ir trečiasis šūviai nepataikė (nesėkmė)]. Bus 2·2·2·2 = 16 rezultatų. Remiantis atskirų šūvių rezultatų nepriklausomumo prielaida, šių rezultatų tikimybei nustatyti turėtų būti naudojama (3) formulė ir pastaba prie jos. Taigi rezultato tikimybė (y, n. n, n) turėtų būti lygi 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; čia 0,8 = 1-0,2 yra tikimybė, kad nepataikysite vienu šūviu. Įvykį „į taikinį pataikyta tris kartus“ palankiai vertina rezultatai (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), kiekvieno tikimybė yra tokia pati:

0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;

todėl reikiama tikimybė lygi

4·0,0064 = 0,0256.

Apibendrinant analizuojamo pavyzdžio samprotavimus, galime išvesti vieną iš pagrindinių tikimybių teorijos formulių: jei įvykiai A 1 , A 2 ,..., A n yra nepriklausomi ir turi kiekvieną tikimybę p, tada atsiradimo tikimybė yra tiksliai m iš kurių yra lygus

P n (m)= C n m p m (1 - p) n-m ; (4)

Čia C n mžymi kombinacijų skaičių n elementai pagal m. Laisvėje n Skaičiavimas naudojant (4) formulę tampa sudėtingas.

Tarp pagrindinių elementariosios tikimybių teorijos formulių yra ir vadinamoji bendrosios tikimybės formulė: jei įvykiai A 1 , A 2 ,..., A r yra nesuderinami poromis ir jų sąjunga yra patikimas įvykis, tada bet kokiam įvykiui IN jo tikimybė lygi jų sumai.

Tikimybių daugybos teorema yra ypač naudinga svarstant sudėtinius testus. Sako, tai išbandymas T sudarytas iš testų T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, Jei kiekvienas bandymo rezultatas T yra kai kurių rezultatų derinys A i ,B j ,..., X k ,Y l atitinkamus testus T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Dėl vienos ar kitos priežasties tikimybės dažnai būna žinomos

P(A i), P(B j /A i), …,P(Y l /A i B j …X k). (5)

Iš tikimybių (5), naudojant daugybos teoremą, galima nustatyti tikimybes R(E) visiems rezultatams E sudėtinis testas, o kartu ir visų su šiuo testu susijusių įvykių tikimybė. Praktiniu požiūriu svarbiausi yra dviejų tipų sudėtiniai testai:

a) testo komponentai yra nepriklausomi, ty tikimybės (5) lygios besąlyginėms tikimybėms P(A i), P(B j),..., P(Y l);

b) bet kurio testo rezultatų tikimybei turi įtakos tik prieš tai buvusio testo rezultatai, tai yra, tikimybės (5) yra atitinkamai lygios: P(A i), P(B j /A i),..., P(Y i /X k). Šiuo atveju kalbame apie testus, sujungtus Markovo grandine. Visų įvykių, susijusių su sudėtiniu testu, tikimybės čia visiškai nustatomos pagal pradines tikimybes R(A i) ir perėjimo tikimybės P(B j /A i),..., P(Y l /X k).

Pagrindinės tikimybių teorijos formulės

Tikimybių teorijos formulės.

1. Pagrindinės kombinatorikos formulės

a) pertvarkymai.

\b) išdėstymas

c) deriniai .

2. Klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Kur yra įvykiui palankių rezultatų skaičius, yra visų elementarių vienodai galimų baigčių skaičius.

3. Įvykių sumos tikimybė

Teorema nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui:

Bendrų įvykių tikimybių pridėjimo teorema:

4. Įvykių įvykimo tikimybė

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema:

Priklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema:

Sąlyginė įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvykis įvyko

Sąlyginė įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvykis įvyko.

Kombinatorika yra matematikos šaka, nagrinėjanti klausimus, kiek skirtingų kombinacijų, atsižvelgiant į tam tikras sąlygas, galima sudaryti iš pateiktų objektų. Atsitiktinių įvykių tikimybei įvertinti labai svarbūs kombinatorikos pagrindai, nes Būtent jie leidžia apskaičiuoti iš esmės galimą įvairių įvykių raidos variantų skaičių.

Pagrindinė kombinatorikos formulė

Tegul yra k elementų grupių, o i-oji grupė susideda iš ni elementų. Pažymime po vieną elementą iš kiekvienos grupės. Tada bendras N skaičius būdų, kuriais galima pasirinkti tokį pasirinkimą, nustatomas pagal ryšį N=n1*n2*n3*...*nk.

1 pavyzdys. Paaiškinkime šią taisyklę paprastu pavyzdžiu. Tegul yra dvi elementų grupės, ir pirmoji grupė susideda iš n1 elementų, o antroji - iš n2 elementų. Kiek skirtingų elementų porų galima sudaryti iš šių dviejų grupių, kad poroje būtų vienas elementas iš kiekvienos grupės? Tarkime, paėmėme pirmąjį elementą iš pirmosios grupės ir, jo nekeisdami, perėjome visas įmanomas poras, keisdami tik elementus iš antrosios grupės. Šiam elementui yra n2 tokių porų. Tada paimame antrą elementą iš pirmosios grupės ir taip pat sudarome visas įmanomas poras. Taip pat bus n2 tokių porų. Kadangi pirmoje grupėje yra tik n1 elementų, iš viso galimi variantai bus n1*n2.

2 pavyzdys. Kiek triženklių lyginių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jei skaitmenys gali kartotis?

Sprendimas: n1=6 (nes galite paimti bet kurį skaičių iš 1, 2, 3, 4, 5, 6 kaip pirmąjį skaitmenį), n2=7 (nes galite paimti bet kurį skaičių nuo 0 kaip antrąjį skaitmenį, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (nes bet koks skaičius nuo 0, 2, 4, 6 gali būti laikomas trečiuoju skaitmeniu).

Taigi, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Tuo atveju, kai visos grupės susideda iš vienodo elementų skaičiaus, t.y. n1=n2=...nk=n galime daryti prielaidą, kad kiekvienas pasirinkimas atliekamas iš tos pačios grupės, o elementas po pasirinkimo grąžinamas į grupę. Tada visų atrankos metodų skaičius lygus nk Šis atrankos metodas vadinamas atranka su grąžinimu.

Pavyzdys. Kiek keturženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 5, 6, 7, 8?

Sprendimas. Kiekvienam keturženklio skaičiaus skaitmeniui yra penkios galimybės, o tai reiškia, kad N=5*5*5*5=54=625.

Apsvarstykite aibę, susidedančią iš n elementų. Šią aibę vadinsime bendrąja populiacija.

Apibrėžimas 1. N elementų išdėstymas pagal m yra bet kokia sutvarkyta m skirtingų elementų rinkinys, parinktas iš n elementų visumos.

Pavyzdys. Skirtingi trijų elementų (1, 2, 3) išdėstymai po du bus aibės (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Vietos gali skirtis viena nuo kitos tiek elementais, tiek jų tvarka.

Vietų skaičius žymimas A, m nuo n ir apskaičiuojamas pagal formulę:

Pastaba: n!=1*2*3*...*n (skaitykite: „en faktorialus“), be to, daroma prielaida, kad 0!=1.

5 pavyzdys. Kiek yra dviženklių skaičių, kurių dešimties ir vienetų skaitmenys yra skirtingi ir nelyginiai?

Sprendimas: nes Jei yra penki nelyginiai skaitmenys, būtent 1, 3, 5, 7, 9, tada ši užduotis yra pasirinkti ir sudėti du iš penkių skirtingų skaitmenų į dvi skirtingas pozicijas, t.y. nurodyti skaičiai bus:

2 apibrėžimas. n elementų derinys yra bet kokia netvarkinga m skirtingų elementų rinkinys, parinktas iš n elementų visumos.

6 pavyzdys. Aibės (1, 2, 3) deriniai yra (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Derinių skaičius žymimas Cnm ir apskaičiuojamas pagal formulę:

3 apibrėžimas. n elementų permutacija yra bet kokia tvarkinga šių elementų aibė.

7a pavyzdys. Visos galimos aibės, susidedančios iš trijų elementų (1, 2, 3), permutacijos yra: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Įvairių n elementų permutacijų skaičius žymimas Pn ir apskaičiuojamas pagal formulę Pn=n!.

8 pavyzdys. Kiek būdų septynios skirtingų autorių knygos gali būti išdėstytos vienoje eilėje lentynoje?

Sprendimas: ši problema susijusi su septynių skirtingų knygų permutacijų skaičiumi. Yra P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 knygų išdėstymo būdų.

Diskusija. Matome, kad galimų kombinacijų skaičius gali būti skaičiuojamas pagal skirtingas taisykles (permutacijas, derinius, vietas) ir rezultatas bus skirtingas, nes Skaičiavimo principas ir pačios formulės skiriasi. Atidžiai pažvelgę į apibrėžimus pastebėsite, kad rezultatas priklauso nuo kelių veiksnių vienu metu.

Pirma, iš kiek elementų galime sujungti jų aibes (kiek didelė yra elementų visuma).

Antra, rezultatas priklauso nuo mums reikalingų elementų rinkinių dydžio.

Galiausiai svarbu žinoti, ar mums svarbi rinkinio elementų tvarka. Paaiškinkime paskutinį veiksnį naudodami šį pavyzdį.

Pavyzdys. Tėvų susirinkime dalyvauja 20 žmonių. Kiek skirtingų tėvų komiteto sudėties variantų yra, jei jį turi sudaryti 5 žmonės?

Sprendimas: Šiame pavyzdyje mūsų nedomina vardų tvarka komiteto sąraše. Jei dėl to paaiškėja, kad tie patys žmonės yra jo dalis, tada mums tai yra ta pati galimybė. Todėl galime naudoti formulę, kad suskaičiuotume 20 elementų derinių skaičių iš 5.

Viskas bus kitaip, jei kiekvienas komiteto narys iš pradžių bus atsakingas už konkrečią darbo sritį. Tada, atsižvelgiant į tą patį komiteto narių sąrašą, jame gali būti 5! svarbios permutacijos. Skirtingų (tiek sudėties, tiek atsakomybės srities) variantų skaičius šiuo atveju nustatomas pagal 20 elementų skaičių po 5.

Geometrinis tikimybės apibrėžimas

Įsivaizduokite atsitiktinį testą kaip taško metimą atsitiktinai į kokią nors geometrinę sritį G (tiesioje linijoje, plokštumoje arba erdvėje). Elementarieji rezultatai yra atskiri G taškai, bet koks įvykis yra šios srities poaibis, elementariųjų G rezultatų erdvė. Galime daryti prielaidą, kad visi G taškai yra „lygūs“, o tada tikimybė, kad taškas pateks į tam tikrą poaibį, yra proporcingas jo matui (ilgiui, plotui, tūriui) ir nepriklauso nuo jo vietos bei formos.

Įvykio A geometrinė tikimybė nustatoma pagal ryšį: , kur m(G), m(A) yra visos elementariųjų baigčių ir įvykio A erdvės geometriniai matai (ilgiai, plotai arba tūriai).

Pavyzdys. Spindulio r () apskritimas atsitiktinai išmestas į plokštumą, pavaizduotą lygiagrečiomis 2d pločio juostelėmis, kurių atstumas tarp ašinių linijų lygus 2D. Raskite tikimybę, kad apskritimas susikirs su tam tikra juosta.

Sprendimas. Kaip elementarų šio testo rezultatą, mes atsižvelgsime į atstumą x nuo apskritimo centro iki juostos, esančios arčiausiai apskritimo, vidurio linijos. Tada visa elementariųjų rezultatų erdvė yra segmentas. Apskritimo susikirtimas su juostele įvyks, jei jo centras pateks į juostą, t.y., arba yra nuo juostos krašto mažesniu atstumu nei spindulys, t.y.

Norimą tikimybę gauname: .

1. Įvykių klasifikacija

Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra įvykio samprata. Įvykis yra bet koks faktas, kuris gali įvykti dėl patirties ar išbandymo. Patirtis arba bandymas reiškia tam tikro sąlygų rinkinio įgyvendinimą.

Renginių pavyzdžiai:

– pataikymas į taikinį šaudant iš ginklo (patirtis – šūvio atlikimas; įvykis – pataikyti į taikinį);

– dviejų emblemų praradimas metant monetą tris kartus (patirtis – monetos metimas tris kartus; įvykis – dviejų emblemų praradimas);

– matavimo paklaidos atsiradimas nurodytose ribose matuojant diapazoną iki tikslo (patirtis – diapazono matavimas; įvykis – matavimo paklaida).

Panašių pavyzdžių galima pateikti begalę. Įvykiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis ir kt.

Skiriami bendri ir nebendri renginiai. Įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno iš jų įvykis neatmeta kito. Priešingu atveju įvykiai vadinami nesuderinamais. Pavyzdžiui, mesti du kauliukai. Įvykis – trys taškai krentant ant pirmo kauliuko, įvykis – trys taškai, krentantys ant antrojo kauliuko ir – bendri įvykiai. Tegul parduotuvė gauna to paties stiliaus ir dydžio, bet skirtingų spalvų batų partiją. Įvykis - atsitiktinai paimtoje dėžutėje pasirodys juodi batai, įvykis - dėžutėje pasirodys rudi batai ir - nesuderinami įvykiai.

Įvykis vadinamas patikimu, jei jis tikrai įvyks tam tikros patirties sąlygomis.

Įvykis vadinamas galimu arba atsitiktiniu, jei dėl patirties jis gali pasirodyti, bet gali nepasireikšti. Atsitiktinio įvykio pavyzdys galėtų būti gaminio defektų nustatymas gatavų gaminių partijos tikrinimo metu, perdirbto produkto ir nurodyto produkto dydžio neatitikimas arba vienos iš automatinės valdymo sistemos grandžių gedimas. .

Įvykiai vadinami vienodai įmanomais, jei pagal bandymo sąlygas nė vienas iš šių įvykių nėra objektyviai labiau įmanomas už kitus. Pavyzdžiui, leiskite kelioms gamykloms tiekti elektros lemputes į parduotuvę (ir vienodais kiekiais). Taip pat galimi įvykiai, susiję su elektros lemputės pirkimu bet kurioje iš šių gamyklų.

Svarbi koncepcija yra visa įvykių grupė. Keli konkretaus eksperimento įvykiai sudaro visą grupę, jei bent vienas iš jų tikrai atsiras kaip eksperimento rezultatas. Pavyzdžiui, urnoje yra dešimt kamuoliukų, iš kurių šeši yra raudoni, keturi – balti, o penki – su skaičiais. - raudono rutulio atsiradimas per vieną traukimą, - balto rutulio atsiradimas, - rutulio su skaičiu pasirodymas. Renginiai sudaro ištisą bendrų renginių grupę.

Įveskime priešingo arba papildomo įvykio sampratą. Priešingas įvykis yra įvykis, kuris būtinai turi įvykti, jei koks nors įvykis neįvyksta. Priešingi įvykiai yra nesuderinami ir vieninteliai galimi. Jie sudaro visą įvykių grupę. Pavyzdžiui, jei pagamintų produktų partiją sudaro geri ir nekokybiški gaminiai, tai pašalinus vieną prekę ji gali pasirodyti arba gera – įvykis – arba brokuota – įvykis.

2. Operacijos renginiuose

Kuriant atsitiktinių įvykių tyrimo aparatą ir metodiką tikimybių teorijoje, labai svarbi įvykių sumos ir sandaugos samprata.

Tikimybių teorijos atsiradimas siekia XVII amžiaus vidurį, kai matematikai pradėjo domėtis lošėjų keliamomis ir iki šiol matematikos nenagrinėtomis problemomis. Sprendžiant šias problemas, išsikristalizavo tokios sąvokos kaip tikimybė ir matematinis lūkestis. Tuo pačiu metu to meto mokslininkai - Huygensas (1629-1695), Pascalis (1623-1662), Fermat (1601-1665) ir Bernoulli (1654-1705) buvo įsitikinę, kad aiškūs modeliai gali atsirasti remiantis didžiuliu atsitiktiniu būdu. įvykius. Ir tik gamtos mokslų būklė lėmė, kad azartiniai lošimai ilgą laiką išliko bene vienintele konkreti medžiaga, kurios pagrindu buvo kuriamos tikimybių teorijos sąvokos ir metodai. Ši aplinkybė paliko pėdsaką ir formaliajame matematiniame aparate, per kurį buvo sprendžiamos tikimybių teorijoje kylančios problemos: ji buvo redukuota tik iki elementarios aritmetikos ir kombinatorinių metodų.

Rimti gamtos mokslų ir socialinės praktikos reikalavimai (stebėjimo klaidų teorija, šaudymo teorijos problemos, statistikos problemos, pirmiausia gyventojų statistika) lėmė poreikį toliau plėtoti tikimybių teoriją ir naudoti labiau išvystytą analitinį aparatą. Ypač reikšmingas vaidmuo kuriant analitinius tikimybių teorijos metodus teko Moivre'ui (1667-1754), Laplasui (1749-1827), Gaussai (1777-1855), Puasonui (1781-1840). Iš formalios analitinės pusės – neeuklido geometrijos kūrėjo Lobačevskio (1792-1856) darbas, skirtas matavimų sferoje klaidų teorijai ir atliktas siekiant sukurti geometrinę sistemą, kuri dominuoja visatoje. , yra greta tos pačios krypties.

Tikimybių teorija, kaip ir kitos matematikos šakos, išsivystė iš praktikos poreikių: abstrakčia forma ji atspindi šablonus, būdingus atsitiktiniams masinio pobūdžio įvykiams. Šie modeliai atlieka nepaprastai svarbų vaidmenį fizikoje ir kitose gamtos mokslų srityse, įvairiose techninėse disciplinose, ekonomikoje, sociologijoje ir biologijoje. Plačiai plintant masinę produkciją gaminančioms įmonėms, tikimybių teorijos rezultatai pradėti taikyti ne tik jau pagamintų produktų atmetimui, bet ir pačiam gamybos procesui organizuoti (statistinė kontrolė gamyboje).

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos

Tikimybių teorija paaiškina ir tiria įvairius modelius, valdančius atsitiktinius įvykius ir atsitiktinius kintamuosius. Renginys yra bet koks faktas, kuris gali būti konstatuotas kaip stebėjimo ar patirties rezultatas. Stebėjimas arba patirtis yra tam tikrų sąlygų, kurioms esant gali įvykti įvykis, suvokimas.

Patirtis reiškia, kad minėta aplinkybių visuma buvo sukurta sąmoningai. Stebėjimo metu šių sąlygų stebėjimo kompleksas nesukuria ir neįtakoja. Jį sukuria arba gamtos jėgos, arba kiti žmonės.

Ką reikia žinoti norint nustatyti įvykių tikimybę

Visi įvykiai, kuriuos žmonės stebi ar kuria patys, skirstomi į:

patikimi įvykiai;
neįmanomi įvykiai;
atsitiktiniai įvykiai.

Patikimi renginiai visada atsiranda susidarius tam tikroms aplinkybėms. Pavyzdžiui, jei dirbame, už tai gauname atlygį, jei išlaikome egzaminus ir išlaikome konkursą, galime patikimai tikėtis, kad būsime įtraukti į mokinių skaičių. Fizikoje ir chemijoje galima stebėti patikimus įvykius. Ekonomikoje patikimi įvykiai siejami su esama socialine struktūra ir teisės aktais. Pavyzdžiui, jei mes įnešėme pinigus į banką ir išreiškėme norą juos gauti per tam tikrą laikotarpį, tada pinigus ir gausime. Tai galima laikyti patikimu įvykiu.

Neįmanomi įvykiai tikrai neįvyks, jei buvo sudarytos tam tikros sąlygos. Pavyzdžiui, vanduo neužšąla, jei temperatūra yra plius 15 laipsnių šilumos, gamyba nevykdoma be elektros.

Atsitiktiniai įvykiai Kai realizuojamas tam tikras sąlygų rinkinys, jos gali atsirasti arba neįvykti. Pavyzdžiui, jei vieną kartą metame monetą, herbas gali iškristi arba neiškristi, loterijos bilietas gali laimėti arba nelaimėti, pagamintas gaminys gali būti brokuotas arba ne. Sugedusios prekės atsiradimas yra atsitiktinis įvykis, rečiau nei tinkamos prekės gamyba.

Tikėtinas atsitiktinių įvykių dažnis yra glaudžiai susijęs su tikimybės samprata. Atsitiktinių įvykių atsiradimo ir neatsitikimo modelius tiria tikimybių teorija.

Jei būtinų sąlygų visuma realizuojama tik vieną kartą, tai apie atsitiktinį įvykį gauname nepakankamai informacijos, nes jis gali įvykti arba neįvykti. Jei sąlygų rinkinys įgyvendinamas daug kartų, atsiranda žinomi modeliai. Pavyzdžiui, niekada negalima žinoti, kokio kavos aparato parduotuvėje prireiks kitas pirkėjas, tačiau jei žinomi jau seniai paklausiausių kavos aparatų prekės ženklai, tai remiantis šiais duomenimis galima organizuoti gamybą ar tiekimą, kad būtų patenkinta paklausa.

Žinios apie modelius, reguliuojančius masinius atsitiktinius įvykius, leidžia mums numatyti, kada šie įvykiai įvyks. Pavyzdžiui, kaip minėta anksčiau, neįmanoma iš anksto nuspėti monetos metimo rezultato, tačiau jei moneta bus metama daug kartų, tada galima numatyti, kad herbas iškris. Klaida gali būti nedidelė.

Tikimybių teorijos metodai plačiai taikomi įvairiose gamtos mokslų šakose, teorinėje fizikoje, geodezijoje, astronomijoje, automatizuoto valdymo teorijoje, klaidų stebėjimo teorijoje ir daugelyje kitų teorinių bei praktinių mokslų. Tikimybių teorija plačiai naudojama gamybos planavimo ir organizavimo, gaminių kokybės analizės, technologinių procesų analizės, draudimo, gyventojų statistikos, biologijos, balistikos ir kitose pramonės šakose.

Atsitiktiniai įvykiai dažniausiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis A, B, C ir kt.

Atsitiktiniai įvykiai gali būti:

nesuderinamas;
jungtis.

Įvykiai A, B, C... vadinami nesuderinamas , jei dėl vieno bandymo gali įvykti vienas iš šių įvykių, bet negali įvykti dviejų ar daugiau įvykių.

Jeigu vieno atsitiktinio įvykio įvykis neatmeta kito įvykio, tai tokie įvykiai vadinami jungtis . Pavyzdžiui, jei nuo konvejerio juostos pašalinama kita dalis ir įvykis A reiškia „detalė atitinka standartą“, o įvykis B reiškia „detalė neatitinka standarto“, A ir B yra nesuderinami įvykiai. Jei įvykis C reiškia „paimta II klasės dalis“, tai šis įvykis yra kartu su įvykiu A, bet nesuderinamas su įvykiu B.

Jei kiekviename stebėjime (teste) įvyksta vienas ir tik vienas iš nesuderinamų atsitiktinių įvykių, tai šie įvykiai sudaro visa renginių rinkinys (sistema). .

Patikimas renginys yra bent vieno įvykio įvykis iš visų įvykių.

Jei įvykiai, kurie sudaro visą įvykių rinkinį poromis nenuoseklus , tada dėl stebėjimo gali įvykti tik vienas iš šių įvykių. Pavyzdžiui, studentas turi išspręsti du testo uždavinius. Tikrai įvyks vienas ir tik vienas iš šių įvykių:

pirmoji problema bus išspręsta, o antroji problema nebus išspręsta;
antroji problema bus išspręsta, o pirmoji problema nebus išspręsta;
abi problemos bus išspręstos;
nė viena problema nebus išspręsta.

Šie įvykiai formuojasi visas nesuderinamų įvykių rinkinys .

Jei visą įvykių rinkinį sudaro tik du nesuderinami įvykiai, jie vadinami tarpusavyje priešingi arba alternatyva įvykius.

Priešingas įvykiui įvykis žymimas . Pavyzdžiui, išmetus vieną monetą, gali pasirodyti nominalas () arba herbas ().

Renginiai vadinami vienodai įmanoma , jei nė vienas iš jų neturi objektyvių pranašumų. Tokie įvykiai taip pat sudaro visą įvykių rinkinį. Tai reiškia, kad po stebėjimo ar bandymo būtinai turi įvykti bent vienas iš vienodai galimų įvykių.

Pavyzdžiui, ištisą įvykių grupę sudaro nominalo ir emblemos praradimas vieno monetos metimo metu, 0, 1, 2, 3 ir daugiau nei 3 klaidų buvimas viename atspausdintame teksto puslapyje.

Tikimybių apibrėžimai ir savybės

Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Galimybė arba palankus atvejis – tai atvejis, kai, įgyvendinant tam tikrą aplinkybių visumą, įvyksta įvykis A atsitikti. Klasikinis tikimybės apibrėžimas apima tiesioginį palankių atvejų arba galimybių skaičiaus apskaičiavimą.

Klasikinė ir statistinė tikimybė. Tikimybių formulės: klasikinė ir statistinė

Įvykio tikimybė A vadinti šiam įvykiui palankių galimybių skaičiaus ir visų vienodai galimų nesuderinamų įvykių skaičiaus santykį N kuris gali atsirasti dėl vieno bandymo ar stebėjimo. Tikimybių formulė įvykius A:

Jei visiškai aišku apie kokią įvykio tikimybę kalbame, tai tikimybė žymima maža raide p, nenurodant įvykio pavadinimo.

Norint apskaičiuoti tikimybę pagal klasikinį apibrėžimą, reikia rasti visų vienodai galimų nesuderinamų įvykių skaičių ir nustatyti, kiek iš jų yra palankūs įvykio apibrėžimui A.

1 pavyzdys. Raskite tikimybę gauti skaičių 5 metant kauliuką.

Sprendimas. Yra žinoma, kad visi šeši veidai turi vienodą galimybę atsidurti viršuje. Skaičius 5 pažymėtas tik vienoje pusėje. Visų vienodai galimų nesuderinamų įvykių skaičius yra 6, iš kurių tik viena palanki galimybė yra skaičius 5 ( M= 1). Tai reiškia, kad norima tikimybė išmesti skaičių 5

2 pavyzdys. Dėžutėje yra 3 raudoni ir 12 baltų vienodo dydžio rutuliukų. Vienas kamuolys buvo paimtas nežiūrint. Raskite tikimybę, kad raudonas rutulys bus paimtas.

Sprendimas. Reikalinga tikimybė

Raskite tikimybes patys ir tada pamatykite sprendimą

3 pavyzdys. Kauliukai metami. Renginys B- lyginio skaičiaus ridenimas. Apskaičiuokite šio įvykio tikimybę.

5 pavyzdys. Urnoje yra 5 balti ir 7 juodi rutuliai. Atsitiktinai ištraukiamas 1 rutulys. Renginys A- ištraukiamas baltas rutulys. Renginys B- ištraukiamas juodas rutulys. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybę.

Klasikinė tikimybė dar vadinama išankstine tikimybe, nes ji apskaičiuojama prieš pradedant testą ar stebėjimą. Iš klasikinės tikimybės apriorinio pobūdžio išplaukia pagrindinis jos trūkumas: tik retais atvejais prieš stebėjimo pradžią galima apskaičiuoti visus vienodai įmanomus nesuderinamus įvykius, įskaitant ir palankius įvykius. Tokios galimybės dažniausiai atsiranda situacijose, panašiose į žaidimus.

Deriniai. Jei įvykių seka nėra svarbi, galimų įvykių skaičius apskaičiuojamas kaip kombinacijų skaičius:

6 pavyzdys. Grupėje yra 30 mokinių. Trys studentai turėtų eiti į informatikos skyrių pasiimti ir atsinešti kompiuterio ir projektoriaus. Apskaičiuokite tikimybę, kad tai padarys trys konkretūs mokiniai.

Sprendimas. Apskaičiuojame galimų įvykių skaičių pagal (2) formulę:

Tikimybė, kad į katedrą pateks trys konkretūs studentai:

7 pavyzdys. Parduodama 10 mobiliųjų telefonų. 3 iš jų turi defektų. Pirkėjas pasirinko 2 telefonus. Apskaičiuokite tikimybę, kad abu pasirinkti telefonai turės defektų.

Sprendimas. Visų vienodai galimų įvykių skaičius randamas naudojant (2) formulę:

Naudodami tą pačią formulę randame įvykiui palankių galimybių skaičių:

Norima tikimybė, kad abu pasirinkti telefonai turės defektų.

Doktrina apie įstatymus, kurie valdo vadinamuosius. atsitiktiniai reiškiniai. Užsienio žodžių žodynas, įtrauktas į rusų kalbą. Chudinovas A.N., 1910 m. Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

tikimybių teorija- - [L.G. Sumenko. Anglų-rusų informacinių technologijų žodynas. M.: Valstybės įmonė TsNIIS, 2003.] Temos informacinės technologijos apskritai EN tikimybių teorija tikimybių tikimybių skaičiavimo teorija ... Techninis vertėjo vadovas

Tikimybių teorija- yra matematikos dalis, tirianti įvairių įvykių tikimybių ryšius (žr. Tikimybė ir statistika). Išvardinkime svarbiausias su šiuo mokslu susijusias teoremas. Tikimybė, kad įvyks vienas iš kelių nesuderinamų įvykių, yra lygi... ... Enciklopedinis žodynas F.A. Brockhausas ir I.A. Efronas

TIKIMUMU TEORIJA- matematinė mokslas, leidžiantis iš kai kurių atsitiktinių įvykių tikimybių (žr.) rasti atsitiktinių įvykių, susijusių su k, tikimybes. būdas su pirmaisiais. Šiuolaikinės T.v. remiantis aksiomatika (žr. Aksiomatinį metodą) A. N. Kolmogorovas. Ant...... Rusijos sociologinė enciklopedija

Tikimybių teorija- matematikos šaka, kurioje, remiantis pateiktomis kai kurių atsitiktinių įvykių tikimybėmis, randamos kitų įvykių, tam tikru būdu susijusių su pirmuoju, tikimybės. Tikimybių teorija taip pat tiria atsitiktinius dydžius ir atsitiktinius procesus. Vienas iš pagrindinių...... Šiuolaikinio gamtos mokslo sampratos. Pagrindinių terminų žodynėlis

tikimybių teorija- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. tikimybių teorija vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. tikimybių teorija, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Tikimybių teorija- ... Vikipedija

Tikimybių teorija- matematinė disciplina, tirianti atsitiktinių reiškinių modelius... Šiuolaikinio gamtos mokslo pradžia

TIKIMUMU TEORIJA- (tikimybių teorija) žr. Tikimybė... Didelis aiškinamasis sociologinis žodynas

Tikimybių teorija ir jos taikymai- („Tikimybių teorija ir jos taikymas“) SSRS mokslų akademijos Matematikos skyriaus mokslinis žurnalas. Publikuoja originalius straipsnius ir trumpus pranešimus apie tikimybių teoriją, bendruosius matematinės statistikos klausimus ir jų taikymą gamtos moksluose ir... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Knygos

Tikimybių teorija. , Ventzel E.S.. Knyga yra vadovėlis, skirtas žmonėms, susipažinusiems su matematika įprasto koledžo kurso apimtyje ir besidomintiems techniniais tikimybių teorijos pritaikymais... Pirkti už 1993 UAH (tik Ukrainoje)
Tikimybių teorija. , Ventzel E.S.. Ši knyga bus pagaminta pagal jūsų užsakymą naudojant „Print-on-Demand“ technologiją.

Knyga yra vadovėlis, skirtas žmonėms, išmanantiems įprastą matematiką... Tikimybių teorija

Pavyzdžiui, mesdami monetą negalite nuspėti, kurioje pusėje ji nusileis. Monetos metimo rezultatas yra atsitiktinis. Tačiau esant pakankamai dideliam monetų metimų skaičiui, atsiranda tam tikras raštas (herbas ir maišos ženklas iškris maždaug tiek pat kartų).

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos

Testas (patirtis, eksperimentas) - tam tikros sąlygų visumos įgyvendinimas, kai stebimas tas ar kitas reiškinys ir fiksuojamas tas ar kitas rezultatas.

Pavyzdžiui: mesti kauliuką ir surinkti daug taškų; oro temperatūros skirtumas; ligos gydymo metodas; tam tikras žmogaus gyvenimo laikotarpis.

Atsitiktinis įvykis (arba tiesiog įvykis) – testo rezultatas.

Atsitiktinių įvykių pavyzdžiai:

gauti vieną tašką metant kauliuką;

koronarinės širdies ligos paūmėjimas, smarkiai pakilus oro temperatūrai vasarą;

ligos komplikacijų išsivystymas dėl netinkamo gydymo metodo pasirinkimo;

priėmimas į universitetą po sėkmingų studijų mokykloje.

Renginiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis: A , B , C , …

Renginys vadinamas patikimas , jei dėl testo būtinai turi atsirasti.

Renginys vadinamas neįmanoma , jei dėl testo jis apskritai negali atsirasti.

Pavyzdžiui, jei visi partijos gaminiai yra standartiniai, tai standartinio produkto išgavimas iš jos yra patikimas įvykis, tačiau išgauti brokuotą gaminį tokiomis pačiomis sąlygomis yra neįmanomas įvykis.

KLASIKINIS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS

Tikimybė yra viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų.

Klasikinė įvykio tikimybė vadinamas įvykiui palankių atvejų skaičiaus santykiu , į bendrą bylų skaičių, t.y.

, (5.1)

Kur
- įvykio tikimybė ,

- įvykiui palankių atvejų skaičius ,

- bendras bylų skaičius.

Įvykio tikimybės savybės

Bet kurio įvykio tikimybė yra tarp nulio ir vieneto, t.y.

Patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui, t.y.

Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui, t.y.

(Pasiūlykite išspręsti kelias paprastas problemas žodžiu).

TIKIMYBĖS STATISTINIS NUSTATYMAS

Praktikoje įvykių tikimybės įvertinimas dažnai grindžiamas tuo, kaip dažnai tam tikras įvykis įvyks atliekant testus. Šiuo atveju naudojamas statistinis tikimybės apibrėžimas.

Statistinė įvykio tikimybė vadinama santykine dažnio riba (atvejų skaičiaus santykiu m, palankus įvykiui įvykti , iki viso skaičiaus atlikti bandymai), kai testų skaičius linkęs į begalybę, t.y.

Kur
- statistinė įvykio tikimybė ,
- bandymų, kuriuose įvyko įvykis, skaičius , - bendras testų skaičius.

Skirtingai nuo klasikinės tikimybės, statistinė tikimybė yra eksperimentinės tikimybės charakteristika. Klasikinė tikimybė yra skirta teoriškai apskaičiuoti įvykio tikimybę tam tikromis sąlygomis ir nereikalauja, kad bandymai būtų atlikti realiai. Eksperimentiniu būdu įvykio tikimybei nustatyti naudojama statistinės tikimybės formulė, t.y. daroma prielaida, kad bandymai iš tikrųjų buvo atlikti.

Statistinė tikimybė yra maždaug lygi atsitiktinio įvykio santykiniam dažniui, todėl praktikoje statistine tikimybe laikomas santykinis dažnis, nes statistinės tikimybės rasti praktiškai neįmanoma.

Statistinis tikimybės apibrėžimas taikomas atsitiktiniams įvykiams, kurie turi šias savybes:

Tikimybių sudėties ir daugybos teoremos

Pagrindinės sąvokos

a) Vieninteliai galimi įvykiai

Renginiai
Jie vadinami vieninteliais įmanomais, jei po kiekvieno bandymo bent vienas iš jų tikrai įvyks.

Šie įvykiai sudaro visą įvykių grupę.

Pavyzdžiui, metant kauliuką, vieninteliai galimi įvykiai yra pusės, turinčios vieną, du, tris, keturis, penkis ir šešis taškus. Jie sudaro visą įvykių grupę.

b) Įvykiai vadinami nesuderinamais, jei įvykus vienam iš jų negalima įvykti kitų įvykių to paties tyrimo metu. Priešingu atveju jie vadinami jungtiniais.

c) Priešingaiįvardykite du vienareikšmiškai galimus įvykius, kurie sudaro visą grupę. Paskirti Ir .

G) Įvykiai vadinami nepriklausomais, jei vienos iš jų atsiradimo tikimybė nepriklauso nuo kitų pavedimo ar neįvykdymo.

Veiksmai dėl įvykių

Kelių įvykių suma yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių.

Jeigu Ir – bendri renginiai, tada jų suma
arba
reiškia arba įvykio A, arba įvykio B, arba abiejų įvykių kartu įvykį.

Jeigu Ir – nesuderinami įvykiai, tada jų suma
reiškia įvykį arba įvykius , arba įvykius .

Suma įvykiai reiškia:

Kelių įvykių sandauga (sankirta) yra įvykis, susidedantis iš visų šių įvykių bendro atsiradimo.

Dviejų įvykių sandauga žymima
arba
.

Darbas įvykiai reprezentuoja

Teorema nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui

Dviejų ar daugiau nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

Dviems renginiams;

- Už įvykius.

Pasekmės:

a) Priešingų įvykių tikimybių suma Ir lygus vienam:

Priešingo įvykio tikimybė žymima :
.

b) Tikimybių suma įvykių, sudarančių visą įvykių grupę, yra lygus vienam: arba
.

Bendrų įvykių tikimybių pridėjimo teorema

Dviejų bendrų įvykių sumos tikimybė lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų susikirtimo tikimybių, t.y.

Tikimybių daugybos teorema

a) Dviem nepriklausomiems renginiams:

b) Dviem priklausomiems įvykiams

Kur
– sąlyginė įvykio tikimybė , t.y. įvykio tikimybė , skaičiuojamas su sąlyga, kad įvykis atsitiko.

c) Už nepriklausomi renginiai:

d) Tikimybę, kad įvyks bent vienas iš įvykių , sudaro visą nepriklausomų įvykių grupę:

Sąlyginė tikimybė

Įvykio tikimybė , apskaičiuotas darant prielaidą, kad įvykis įvyko , vadinama sąlygine įvykio tikimybe ir yra paskirtas
arba
.

Skaičiuojant sąlyginę tikimybę naudojant klasikinę tikimybių formulę, rezultatų skaičius Ir
apskaičiuojamas atsižvelgiant į tai, kad iki įvykio įvyko įvykis .