Paskutinį kartą išmokome sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausia tų veiksmų dalis buvo suvesti trupmenas į bendrą vardiklį.
Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar paprastesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirma, panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskirtos sveikojo skaičiaus dalies.
Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.
Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios trupmenos.
Pavadinimas:
Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas redukuojasi iki daugybos. Norėdami „apversti“ trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl per visą pamoką daugiausia svarstysime daugybą.
Dėl dauginimo gali atsirasti redukuojama trupmena (ir dažnai atsiranda) - ji, žinoma, turi būti sumažinta. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, reikia paryškinti visą dalį. Tačiau dauginant tikrai nepavyks, tai sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių veiksnių ir mažiausiai bendrų kartotinių.
Pagal apibrėžimą mes turime:
Trupmenų dauginimas iš sveikųjų dalių ir neigiamų trupmenų
Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.
Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:
- Plius prie minuso duoda minusą;
- Du neigiami dalykai daro teigiamą.
Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Kūriniui juos galima apibendrinti, kad iš karto būtų „sudeginti“ keli trūkumai:
- Neiginius perbraukiame poromis, kol jie visiškai išnyks. Kraštutiniais atvejais gali išlikti vienas minusas – tas, kuriam nebuvo poros;
- Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nenubrauktas, nes jam nebuvo poros, išimame iš daugybos ribų. Rezultatas yra neigiama trupmena.
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada iš daugybos išimame minusus. Tai, kas liko, padauginame pagal įprastas taisykles. Mes gauname:
Dar kartą priminsiu, kad minusas, esantis prieš trupmeną su paryškinta visa dalimi, konkrečiai reiškia visą trupmeną, o ne tik visą jos dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).
Taip pat atkreipkite dėmesį į neigiamus skaičius: dauginant jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.
Dalių mažinimas skrydžio metu
Daugyba yra labai daug darbo reikalaujanti operacija. Skaičiai čia pasirodo gana dideli, o norėdami supaprastinti problemą, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Pagal apibrėžimą mes turime:
Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.
Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Jų vietoje lieka vienetai, kurių paprastai nereikia rašyti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.
Tačiau niekada nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:
Jūs negalite to padaryti!
Klaida atsiranda todėl, kad sudėjus trupmenos skaitiklis sukuria sumą, o ne skaičių sandaugą. Vadinasi, neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes ši savybė konkrečiai susijusi su skaičių daugyba.
Kitų priežasčių mažinti trupmenas tiesiog nėra, todėl teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip:
Teisingas sprendimas:
Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.
Vidurinės ir vidurinės mokyklos kursuose studentai nagrinėjo temą „Trupmenos“. Tačiau ši sąvoka yra daug platesnė, nei pateikiama mokymosi procese. Šiandien su trupmenos sąvoka susiduriama gana dažnai, ir ne kiekvienas gali apskaičiuoti kokią nors išraišką, pavyzdžiui, padauginti trupmenas.
Kas yra trupmena?
Istoriškai trupmeniniai skaičiai atsirado dėl poreikio matuoti. Kaip rodo praktika, dažnai yra pavyzdžių, kaip nustatyti segmento ilgį ir stačiakampio stačiakampio tūrį.
Iš pradžių mokiniai supažindinami su akcijos sąvoka. Pavyzdžiui, jei padalysite arbūzą į 8 dalis, kiekvienas žmogus gaus vieną aštuntąją arbūzo. Ši viena aštuonių dalis vadinama akcija.
Dalis, lygi ½ bet kokios vertės, vadinama puse; ⅓ - trečia; ¼ - ketvirtadalis. 5/8, 4/5, 2/4 formos įrašai vadinami paprastosiomis trupmenomis. Paprastoji trupmena skirstoma į skaitiklį ir vardiklį. Tarp jų yra trupmenos juosta arba trupmenos juosta. Trupmeninė linija gali būti nubrėžta kaip horizontali arba įstriža linija. Šiuo atveju jis žymi padalijimo ženklą.
Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalintas kiekis arba objektas; o skaitiklis – kiek paimama vienodų akcijų. Virš trupmenos linijos rašomas skaitiklis, po ja – vardiklis.
Patogiausia paprastąsias trupmenas rodyti koordinačių spindulyje. Jei vienas segmentas yra padalintas į 4 lygias dalis, kiekviena dalis žymima lotyniška raide, rezultatas gali būti puiki vaizdinė priemonė. Taigi taškas A rodo dalį, lygią 1/4 viso vieneto segmento, o taškas B žymi 2/8 tam tikros atkarpos.
Trupmenų rūšys
Trupmenos gali būti paprastieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai. Be to, trupmenas galima suskirstyti į tinkamas ir netinkamas. Ši klasifikacija labiau tinka paprastosioms frakcijoms.
Tinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra mažesnis už jo vardiklį. Atitinkamai, neteisinga trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra didesnis už jo vardiklį. Antrasis tipas paprastai rašomas kaip mišrus skaičius. Ši išraiška susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Pavyzdžiui, 1½. 1 yra sveikoji dalis, ½ yra trupmeninė dalis. Tačiau jei jums reikia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiška (dalinti ar dauginti trupmenas, jas sumažinti arba konvertuoti), mišrus skaičius paverčiamas netinkama trupmena.
Teisinga trupmeninė išraiška visada yra mažesnė už vieną, o neteisinga visada yra didesnė nei 1 arba lygi 1.
Kalbant apie šią išraišką, turime omenyje įrašą, kuriame pavaizduotas bet koks skaičius, kurio trupmeninės išraiškos vardiklis gali būti išreikštas vienetu su keliais nuliais. Jei trupmena yra tinkama, sveikoji dalis dešimtainėje žymėjime bus lygi nuliui.
Norėdami parašyti dešimtainę trupmeną, pirmiausia turite parašyti visą dalį, atskirti ją nuo trupmenos kableliu ir tada parašyti trupmenos išraišką. Reikia atsiminti, kad po kablelio skaitiklyje turi būti tiek pat skaitmeninių simbolių, kiek vardiklyje yra nulių.
Pavyzdys. Išreikškite trupmeną 7 21/1000 dešimtainiu žymėjimu.
Netinkamos trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių ir atvirkščiai algoritmas
Neteisinga užduoties atsakyme rašyti netinkamą trupmeną, todėl ją reikia konvertuoti į mišrų skaičių:
- padalykite skaitiklį iš esamo vardiklio;
- konkrečiame pavyzdyje nepilnas koeficientas yra visuma;
- o likusi dalis yra trupmeninės dalies skaitiklis, o vardiklis lieka nepakitęs.
Pavyzdys. Netinkamą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių: 47/5.
Sprendimas. 47: 5. Dalinis koeficientas yra 9, likusioji dalis = 2. Taigi, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Kartais mišrų skaičių reikia pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną. Tada turite naudoti šį algoritmą:
- sveikoji dalis dauginama iš trupmeninės išraiškos vardiklio;
- gautas produktas pridedamas prie skaitiklio;
- rezultatas rašomas skaitiklyje, vardiklis lieka nepakitęs.
Pavyzdys. Pateikite skaičių mišria forma kaip netinkamą trupmeną: 9 8 / 10.
Sprendimas. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 yra skaitiklis.
Atsakymas: 98 / 10.
Trupmenų dauginimas
Su paprastosiomis trupmenomis galima atlikti įvairias algebrines operacijas. Norėdami padauginti du skaičius, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio. Be to, trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas nesiskiria nuo trupmenų su tais pačiais vardikliais dauginimo.
Taip atsitinka, kad radus rezultatą reikia sumažinti frakciją. Būtina kiek įmanoma supaprastinti gautą išraišką. Žinoma, negalima sakyti, kad neteisinga trupmena atsakyme yra klaida, tačiau sunku ją pavadinti teisingu atsakymu.
Pavyzdys. Raskite dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą: ½ ir 20/18.
Kaip matyti iš pavyzdžio, radus sandaugą gaunamas redukuojamas trupmeninis žymėjimas. Tiek skaitiklis, tiek vardiklis šiuo atveju dalijami iš 4, o rezultatas yra 5/9.
Dešimtainių trupmenų dauginimas
Dešimtainių trupmenų sandauga savo principu gerokai skiriasi nuo paprastųjų trupmenų sandaugos. Taigi, trupmenų dauginimas yra toks:
- dvi dešimtainės trupmenos turi būti rašomos viena po kita, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas po kito;
- reikia padauginti užrašytus skaičius, nepaisant kablelių, tai yra kaip natūraliuosius skaičius;
- suskaičiuokite skaitmenų skaičių po kablelio kiekviename skaičiuje;
- rezultate, gautame po daugybos, reikia iš dešinės suskaičiuoti tiek skaitmeninių simbolių, kiek yra abiejų koeficientų sumoje po kablelio, ir įdėti skiriamąjį ženklą;
- jei gaminyje yra mažiau skaičių, tada prieš juos reikia parašyti tiek nulių, kad šis skaičius būtų padengtas, dėti kablelį ir pridėti visą nuliui lygią dalį.
Pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų dešimtainių trupmenų sandaugą: 2,25 ir 3,6.
Sprendimas.
Mišrių trupmenų dauginimas
Norėdami apskaičiuoti dviejų mišrių frakcijų sandaugą, turite naudoti trupmenų dauginimo taisyklę:
- paversti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas;
- rasti skaitiklių sandaugą;
- rasti vardiklių sandaugą;
- užrašykite rezultatą;
- kiek įmanoma supaprastinti išraišką.
Pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4½ ir 6 2/5.
Skaičiaus padauginimas iš trupmenos (trupmenos iš skaičiaus)
Be dviejų trupmenų ir mišriųjų skaičių sandaugos radimo, yra užduočių, kuriose reikia padauginti iš trupmenos.
Taigi, norint rasti dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus sandaugą, jums reikia:
- parašykite skaičių po trupmena taip, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas virš kito;
- rasti produktą nepaisant kablelio;
- gautame rezultate kableliu atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami iš dešinės skaitmenų, esančių po trupmenos kablelio, skaičių.
Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš skaičiaus, turite rasti skaitiklio ir natūraliojo koeficiento sandaugą. Jei atsakymo rezultatas yra trupmena, kurią galima sumažinti, ją reikia konvertuoti.
Pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą iš 5/8 ir 12.
Sprendimas. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Atsakymas: 7 1 / 2.
Kaip matote iš ankstesnio pavyzdžio, reikėjo sumažinti gautą rezultatą ir paversti netaisyklingos trupmenos išraišką į mišrų skaičių.
Trupmenų dauginimas taip pat susijęs su mišrios formos skaičiaus ir natūralaus koeficiento sandauga. Norėdami padauginti šiuos du skaičius, visą mišraus koeficiento dalį turėtumėte padauginti iš skaičiaus, skaitiklį padauginti iš tos pačios reikšmės ir vardiklį palikti nepakeistą. Jei reikia, turite kiek įmanoma supaprastinti gautą rezultatą.
Pavyzdys. Raskite 9 5/6 ir 9 sandaugą.
Sprendimas. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Atsakymas: 88 1 / 2.
Padauginimas iš koeficientų 10, 100, 1000 arba 0,1; 0,01; 0,001
Ši taisyklė išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, 10 000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek koeficiente yra nulių po vieneto.
1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 0,065 ir 1000.
Sprendimas. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Atsakymas: 65.
2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 3,9 ir 1000.
Sprendimas. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.
Atsakymas: 3900.
Jei reikia padauginti natūralųjį skaičių ir 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ir tt, gautame sandaugoje kablelį turėtumėte perkelti į kairę tiek skaitmenų simbolių, kiek nulių yra prieš vieną. Jei reikia, prieš natūralųjį skaičių rašomas pakankamas nulių skaičius.
1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 56 ir 0,01.
Sprendimas. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Atsakymas: 0,56.
2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4 ir 0,001.
Sprendimas. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Atsakymas: 0,004.
Taigi, ieškant skirtingų trupmenų sandaugos neturėtų kilti sunkumų, išskyrus galbūt rezultato apskaičiavimą; šiuo atveju tiesiog neapsieisite be skaičiuotuvo.
Trupmenų dauginimas ir dalijimas.
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)
Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primename, kad norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:
Pavyzdžiui:
Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia jo čia...
Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:
Pavyzdžiui:
Jei susiduriate su daugyba arba padalijimu su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:
Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:
Kaip padaryti, kad ši frakcija atrodytų tinkamai? Taip, labai paprasta! Naudokite dviejų taškų padalijimą:
Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų trupmenoje nesunku suklysti. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:
Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):
Antroje (išraiška dešinėje):
Ar jaučiate skirtumą? 4 ir 1/9!
Kas lemia padalijimo tvarką? Arba su skliaustais, arba (kaip čia) su horizontalių linijų ilgiu. Lavink akis. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:
tada padalinti ir dauginti eilės tvarka, iš kairės į dešinę!
Ir dar viena labai paprasta ir svarbi technika. Veiksmuose su laipsniais tai bus jums labai naudinga! Padalinkime vieną iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:
Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.
Štai tiek operacijoms su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau jis suteikia daugiau nei pakankamai klaidų. Atsižvelkite į praktinius patarimus, ir jų (klaidų) bus mažiau!
Praktiniai patarimai:
1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Tai ne bendri žodžiai, ne geri linkėjimai! Tai labai reikalinga! Atlikite visus vieningo valstybinio egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, sutelktą ir aiškią. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei sujaukti atliekant protinį skaičiavimą.
2. Pavyzdžiuose su skirtingų tipų trupmenomis pereiname prie paprastųjų trupmenų.
3. Sumažiname visas trupmenas, kol jos sustos.
4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).
5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.
Štai užduotys, kurias būtinai turite atlikti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šia tema skirta medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių sugebėjote teisingai išspręsti. Iškart pirmą kartą! Be skaičiuoklės! Ir padarykite teisingas išvadas...
Atminkite – teisingas atsakymas yra gautas iš antro (ypač trečio) karto nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.
Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, jau pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame kitą. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Ir tik Tada pažiūrėk atsakymus.
Apskaičiuokite:
Ar apsisprendei?
Ieškome atsakymų, atitinkančių jūsų. Sąmoningai surašiau juos netvarkingai, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, parašyti kabliataškiais.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko, aš džiaugiuosi už jus! Pagrindiniai skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...
Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet... Tai išsprendžiamas problemų.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Norėdami teisingai padauginti trupmeną iš trupmenos arba trupmeną iš skaičiaus, turite žinoti paprastas taisykles. Dabar mes išsamiai išanalizuosime šias taisykles.
Paprastosios trupmenos dauginimas iš trupmenos.
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite apskaičiuoti skaitiklių sandaugą ir šių trupmenų vardiklių sandaugą.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį taip pat padauginame iš antrosios trupmenos vardiklio.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ kartus 3)(7 \kartai 3) = \frac(4)(7)\\\)
Trupmena \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) buvo sumažinta 3.
Trupmenos padauginimas iš skaičiaus.
Pirma, prisiminkime taisyklę, bet kurį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Naudokime šią taisyklę daugindami.
' (20) (7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Netinkama trupmena \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) paverčiama mišria trupmena.
Kitaip tariant, Dauginant skaičių iš trupmenos, skaičių dauginame iš skaitiklio, o vardiklį paliekame nepakeistą. Pavyzdys:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Mišrių trupmenų dauginimas.
Norėdami padauginti mišrias trupmenas, pirmiausia turite pateikti kiekvieną mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną ir tada naudoti daugybos taisyklę. Skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį – iš vardiklio.
Pavyzdys:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \kartai 6) = \frac(3 \kartai \spalva(raudona) (3) \kartai 23)(4 \kartai 2 \kartai \spalva(raudona) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Atvirkštinių trupmenų ir skaičių daugyba.
Trupmena \(\bf \frac(a)(b)\) yra atvirkštinė trupmenos \(\bf \frac(b)(a)\, jei a≠0,b≠0.
Trupmenos \(\bf \frac(a)(b)\) ir \(\bf \frac(b)(a)\) vadinamos abipusėmis trupmenomis. Atvirkštinių trupmenų sandauga yra lygi 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Pavyzdys:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Susiję klausimai:
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Atsakymas: Paprastųjų trupmenų sandauga yra skaitiklio daugyba iš skaitiklio, vardiklio iš vardiklio. Norėdami gauti mišrių frakcijų sandaugą, turite jas paversti netinkama trupmena ir padauginti pagal taisykles.
Kaip padauginti trupmenas su skirtingais vardikliais?
Atsakymas: nesvarbu, ar trupmenos vardikliai yra vienodi, ar skirtingi, daugyba vyksta pagal skaitiklio sandaugos su skaitikliu, vardiklio su vardikliu sandaugos radimo taisyklę.
Kaip padauginti mišrias trupmenas?
Atsakymas: pirmiausia reikia paversti mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną ir tada pagal daugybos taisykles rasti sandaugą.
Kaip padauginti skaičių iš trupmenos?
Atsakymas: skaičių padauginame iš skaitiklio, bet vardiklį paliekame tą patį.
1 pavyzdys:
Apskaičiuokite sandaugą: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Sprendimas:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \color( raudona) (5)) (3 \kartai \spalva(raudona) (5) \kartai 13) = \frac(4)(39)\)
2 pavyzdys:
Apskaičiuokite skaičiaus ir trupmenos sandaugas: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Sprendimas:
a) \(3 \times \frac(17) (23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
3 pavyzdys:
Parašykite trupmenos \(\frac(1)(3)\) atvirkštinį koeficientą?
Atsakymas: \(\frac(3)(1) = 3\)
4 pavyzdys:
Apskaičiuokite dviejų atvirkštinių trupmenų sandaugą: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Sprendimas:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
5 pavyzdys:
Ar atvirkštinės trupmenos gali būti:
a) kartu su tinkamomis trupmenomis;
b) tuo pačiu metu netinkamos trupmenos;
c) vienu metu natūraliuosius skaičius?
Sprendimas:
a) Norėdami atsakyti į pirmąjį klausimą, pateiksime pavyzdį. Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama, jos atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(3)(2)\) - netinkama trupmena. Atsakymas: ne.
b) beveik visuose trupmenų sąrašuose ši sąlyga netenkinama, tačiau yra keletas skaičių, kurie atitinka sąlygą, kad kartu yra ir netinkama trupmena. Pavyzdžiui, netinkama trupmena yra \(\frac(3)(3)\), atvirkštinė jos trupmena lygi \(\frac(3)(3)\). Gauname dvi netinkamas trupmenas. Atsakymas: ne visada tam tikromis sąlygomis, kai skaitiklis ir vardiklis yra lygūs.
c) natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami, pavyzdžiui, 1, 2, 3, .... Jei imsime skaičių \(3 = \frac(3)(1)\), tada jo atvirkštinė trupmena bus \(\frac(1)(3)\). Trupmena \(\frac(1)(3)\) nėra natūralusis skaičius. Jei eisime per visus skaičius, skaičiaus atvirkštinė vertė visada yra trupmena, išskyrus 1. Jei imsime skaičių 1, tada jo grįžtamoji trupmena bus \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Skaičius 1 yra natūralusis skaičius. Atsakymas: jie vienu metu gali būti natūralūs skaičiai tik vienu atveju, jei tai yra skaičius 1.
6 pavyzdys:
Atlikite mišrių trupmenų sandaugą: a) \(4 \times 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \times 3\frac(2) (7)\ )
Sprendimas:
a) \(4 \kartai 2\frak(4)(5) = \frac(4)(1) \kartai \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
7 pavyzdys:
Ar du atvirkštiniai skaičiai gali būti mišrūs skaičiai vienu metu?
Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime mišrią trupmeną \(1\frac(1)(2)\, suraskime atvirkštinę trupmeną, kad tai padarytume, paverskime ją netinkamąja trupmena \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jo atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(2)(3)\) . Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama trupmena. Atsakymas: Dvi viena kitai atvirkštinės trupmenos negali būti mišriais skaičiais vienu metu.
Sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos nėra sudėtinga užduotis. Tačiau yra subtilybių, kurias tikriausiai supratote mokykloje, bet vėliau pamiršote.
Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos – keli terminai
Jei prisimenate, kas yra skaitiklis ir vardiklis ir kuo tinkama trupmena skiriasi nuo netinkamos trupmenos, praleiskite šią pastraipą. Jis skirtas tiems, kurie visiškai pamiršo teoriją.
Skaitiklis yra viršutinė trupmenos dalis – tai, ką dalijame. Vardiklis yra mažesnis. Tai iš ko skirstome.
Tinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Netinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus.
Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos
Sveikojo skaičiaus dauginimo iš trupmenos taisyklė labai paprasta – skaitiklį dauginame iš sveikojo skaičiaus, bet vardiklio neliečiame. Pavyzdžiui: du padauginus iš penktadalio – gauname du penktadalius. Keturi, padauginti iš trijų šešioliktųjų, yra lygūs dvylikai šešioliktųjų.
Sumažinimas
Antrame pavyzdyje gautą frakciją galima sumažinti.
Ką tai reiškia? Atkreipkite dėmesį, kad šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš keturių. Abu skaičių dalijimas iš bendro daliklio vadinamas trupmenos sumažinimu. Mes gauname tris ketvirtadalius.
Netinkamos trupmenos
Bet tarkime, kad padauginsime keturis iš dviejų penktadalių. Paaiškėjo, kad aštuoni penktadaliai. Tai netinkama trupmena.
Jis tikrai turi būti suformuotas į tinkamą formą. Norėdami tai padaryti, turite iš jo pasirinkti visą dalį.
Čia reikia naudoti padalijimą su likusia dalimi. Mes gauname vieną ir tris kaip likutį.
Viena visuma ir trys penktadaliai yra mūsų tinkama trupmena.
Suvesti trisdešimt penkias aštuntąsias į teisingą formą yra šiek tiek sunkiau. Artimiausias skaičius trisdešimt septyni, kuris dalijasi iš aštuonių, yra trisdešimt du. Padalinus gauname keturis. Iš trisdešimt penkių atimkite trisdešimt du ir gausime tris. Rezultatas: keturios sveikos ir trys aštuntosios.
Skaitiklio ir vardiklio lygybė. O čia viskas labai paprasta ir gražu. Jei skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, rezultatas yra tiesiog vienas.
