Funkcijos grafiko liestinės lygtis ir normalioji lygtis.

Čiuvašo Respublikos švietimo ir jaunimo politikos ministerija

BOU DPO (PC) C „Chuvash Republican Institute of Education“

Čiuvašijos švietimo ministerija

Matematikos ir informacinių technologijų katedra

Kursinis darbas šia tema:

„Funkcinės lygtys. Jų sprendimo būdai“

Baigė: matematikos mokytojas MBOU "Vidurinė mokykla Nr. 60"

Čeboksarai

Flegentova A.A.

Čeboksarai, 2014 m

Įvadas……………………………………………………………………………3

1 skyrius. Funkcinės lygties samprata…………………………………5

2 skyrius. Praktinė dalis. Funkcinės lygties sprendimo būdai.9

Išvada…………………………………………………………………………………….24

Literatūros sąrašas………………………………………………………………25

Paraiškos……………………………………………………………………………………26

Įvadas

Vienas iš svarbiausių matematinių įgūdžių, kurį turi įvaldyti moksleiviai, yra gebėjimas spręsti lygtis. Lygties šaknis randama viename ar keliuose veiksmuose, daugelis tekstinių uždavinių sprendžiami algebriškai, lygtis gali apimti sveikuosius skaičius, racionalius ir kitus skaičius, tai yra, pačios lygtys vienu metu yra uždavinių sprendimo užduotys ir metodai, gebėjimas spręsti kuri būtina visiems mokyklos mokiniams . Tačiau spręsdamas treniruočių užduotis susidūriau su lygtimi, kurios negalėjau išspręsti. Kaip vėliau sužinojau iš mokytojo, tai buvo funkcinė lygtis.

Kas yra funkcinės lygtys? Ir kokie yra jų sprendimo būdai? Šie klausimai mane sudomino, todėl nusprendžiau atlikti tyrimą.funkcinė Koši lygtis

Funkcinės lygtys buvo tiriamos labai ilgą laiką; Gaila. Juk atskirų funkcinių lygčių sprendimas reikalauja gana gilaus dalyko supratimo ir skiepija meilę savarankiškam kūrybiniam darbui. Kadangi ši tema dėl sudėtingumo mokykliniame kurse nėra nagrinėjama, su tokiomis problemomis susiduriama stojant į prestižinius universitetus, olimpiadose, vieningo valstybinio egzamino C dalyje.

Šiuo metu praktiškai nėra vadovėlių, mokančių spręsti funkcines lygtis.

Todėl reikalingas vadovas, kuris naudojant paprastus ir konkrečius pavyzdžius galėtų parodyti skaitytojui, turinčiam kuklų matematinį išsilavinimą, visą šiuolaikinių funkcinių lygčių sprendimo metodų arsenalą.

Darbo tikslas – išsiaiškinti, kas yra jų sistemose esanti funkcinė lygtis, rasti būdų, kaip ją išspręsti, ir sudaryti matematikos klasėms skirtų uždavinių rinkinį.

Tyrimo tikslai:

1. literatūros studijavimas ir analizė;

2. funkcinių lygčių ir jų sistemų sprendimo būdų paieška;

3. funkcinių lygčių sprendimas

4. kolekcijos sudarymas

Tyrimo objektas: funkcinės lygtys

Tyrimo objektas: funkcinių lygčių savybių ir sprendimo būdų tyrimas.

Darbą sudaro 6 dalys: įvadas, funkcinės lygties samprata, uždavinių rinkinys, išvada.

1 skyrius. Funkcinės lygties samprata

Funkcinė lygtis yra lygtis, kurioje yra viena ar daugiau nežinomų funkcijų (su nurodytomis apibrėžimo sritimis ir reikšmėmis). Išspręsti funkcinę lygtį reiškia rasti visas funkcijas, kurios identiškai ją tenkina. Funkcinės lygtys atsiranda įvairiose matematikos srityse, dažniausiai tais atvejais, kai reikia aprašyti visas funkcijas, suteikusias savybes. Terminas funkcinė lygtis paprastai vartojamas lygtims, kurių paprastomis priemonėmis negalima redukuoti į algebrines lygtis. Tokį neredukuojamumą dažniausiai lemia tai, kad nežinomos funkcijos argumentai lygtyje yra ne patys nepriklausomi kintamieji, o kai kurios duotosios jų funkcijos. Dažnai sutinkamas įvairiose matematikos varžybose.

Kai kurios funkcinės lygtys mums žinomos iš mokyklos:

f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x),

kurios apibrėžia tokias funkcijų savybes kaip lygumas, nelygumas ir periodiškumas.

Funkcinių lygčių sprendimo problema yra viena seniausių matematinėje analizėje. Jie atsirado beveik kartu su funkcijų teorijos pradžia. Pirmasis tikras šios disciplinos suklestėjimas yra susijęs su jėgų lygiagretainio problema. 1769 m. d'Alembertas sumažino jėgų pridėjimo dėsnio loginį pagrindimą funkcinės lygties sprendimui.

Tą pačią lygtį ir tuo pačiu tikslu 1804 m. Puasonas svarstė, remdamasis tam tikra analitiškumo prielaida, o 1821 m. Koši (1789–1857) rado bendrus sprendimus.

šios lygties, darant prielaidą tik f(x) tęstinumui.

Netgi gerai žinoma neeuklidinės geometrijos paralelizmo kampo formulė

iš funkcinės lygties gavo N. I. Lobačevskis (1792 – 1856).

, (2)

kurį jis išsprendė naudodamas metodą, panašų į Koši metodą. Šią lygtį galima sumažinti iki lygties

.

Anglų matematikas Charlesas Babbage'as (1792–1871) nagrinėjo daugybę geometrinių problemų, dėl kurių susidaro funkcinės lygtys. Jis ištyrė, pavyzdžiui, periodines antros eilės kreives, apibrėžtas tokia savybe bet kuriai kreivės taškų porai: jei antrojo taško abscisė yra lygi pirmojo, tai antrojo taško ordinatei. yra lygus pirmosios abscisei. Tegul tokia kreivė yra funkcijos grafikasy = f(x) ; (x, f (x)) - jo savavališkas taškas. Tada pagal būklę taškas su abscisef(x) turi x ordinatę. Vadinasi,

Funkcinę lygtį (3) tenkina šios funkcijos:

Kai kurios iš paprasčiausių funkcinių lygčių yra Cauchy lygtys

f(x+y) = f(x)+f(y), (4)

f(x+y) = f(x) f(y), (5)

f(xy) = f(x)+f(y), (6)

f(xy) = f(x) f(y), (7)

Cauchy išsamiai ištyrė šias lygtis savo knygoje (Analizės kursas), paskelbtame 1821 m. Šių keturių pagrindinių lygčių ištisiniai sprendiniai yra atitinkamai formos

, , ,

Nepertraukiamų funkcijų klasėje gali būti ir kitų sprendimų. (4) lygtį anksčiau nagrinėjo Legendre'as ir Gaussas, išvesdami pagrindinę projekcinės geometrijos teoremą ir tirdami Gauso tikimybių pasiskirstymo dėsnį.

Funkcinę lygtį (4) G. Darboux vėl pritaikė jėgų lygiagretainio problemai ir pagrindinei projekcinės geometrijos teoremai; pagrindinis jos laimėjimas – reikšmingas prielaidų sušvelninimas. Žinome, kad funkcinė Cauchy lygtis (4) apibūdina tiesinę vienalytę funkciją nuolatinių funkcijų klasėjef(x) = ax . Darboux parodė, kad bet koks sprendimas, kuris yra ištisinis bent viename taške arba ribojamas iš viršaus (arba apačios) savavališkai mažu intervalu, taip pat turi turėti formąf(x) = ax. Greitai vienas po kito buvo gauti tolesni prielaidų sušvelninimo rezultatai (integruojamumas, išmatuojamas teigiamų matų rinkinys ir netgi išmatuojamumas pagal išmatuojamą funkciją). Kyla klausimas: ar yra bent viena papildoma funkcija (t. y. tenkinanti (4)), išskyrus linijinę vienalytę? Tikrai sunku rasti tokią funkciją! Šio darbo metu parodysime, kad racionaliajam x bet kurios adityviosios funkcijos reikšmės turi sutapti su kokios nors tiesinės vienalytės funkcijos reikšmėmis, t.y.f(x) = ax už x K. Atrodytų, kad tadaf(x) = ax visiems tikriems x. Jeiguf(x) - yra tęstinis, tai iš tikrųjų taip yra, bet jei ši prielaida atmetama, tada taip nėra. Pirmasis pavyzdys to, kas skiriasi nuof(x) = ax Funkcinės lygties (4) nenutrūkstamą sprendinį 1905 m. sukonstravo vokiečių matematikas G. Hamelis, naudodamasis jo įvestais realiaisiais skaičiais.

Daugelis funkcinių lygčių neapibrėžia konkrečios funkcijos, o apibrėžia plačią funkcijų klasę, tai yra išreiškia savybę, kuri apibūdina tam tikrą funkcijų klasę. Pavyzdžiui, funkcinė lygtisf(x+1) = f(x) apibūdina funkcijų klasę, turinčią 1 periodą, ir lygtįf(1+x) = f(1-x) - funkcijų klasė, simetriška tiesės atžvilgiux = 1 ir kt.

2 skyrius. Praktinė dalis. Funkcinės lygties sprendimo būdai

Paprasčiausios funkcinės lygtys

1. Tegul funkcija y =f(x) didėja R. Išspręskite:

a) lygtis f(3x + 2) = f(4x 2 + x);

b) nelygybė f(3х – 48) ≤ f(-х 2 + x).

Sprendimas:

a) f(3x + 2) = f(4x2 + x)

Yra teorema: jei funkcija didėja per intervalą X, tada kiekviena jos reikšmė paimama viename taške. Štai kodėl,

3x+2 = 4x2 + x;

4x 2 -2x-2=0;

2x 2 –x-1=0;

x 1 = 1 ir x 2 = -0,5

Atsakymas: x 1 = 1 ir x 2 = -0,5.

b) f(3x – 48) ≤ f(-x 2 + x);

3x-48 ≤ -x 2 + x;

x 2 + 2x – 48 ≤ 0;

x 1 = 6 ir x 2 = -8:

Atsakymas: [-8;6].

2. Tegul funkcija y =f(x) sumažėja R. Išspręskite nelygybę f(2x-3)>f(x+2)

Sprendimas:

Išsprendžiame tą patį, kaip ir ankstesniame užduotyje, tik keičiame nelygybės ženklą, nes funkcija sumažėja R.

2x-3

Atsakymas: (-∞; 5).

Funkcinių lygčių sprendimas pakeitimo metodu

Kai kuriuos funkcinės lygties kintamuosius pakeisdami konkrečiomis reikšmėmis arba kai kuriomis kitomis išraiškomis, bandome arba supaprastinti šią lygtį, arba paversti ją tokia forma, kad tolimesnis sprendimas taptų akivaizdus. Naudojamo metodo ypatumas yra būtent tai, kad daugeliu atvejų jis leidžia rasti sprendimus visų galimų funkcijų klasėje.

1. Raskite visas rinkinyje apibrėžtas funkcijas , tenkinantis santykius

Sprendimas

Suteikime x reikšmę. Mes gauname

Iš čia

.

Paimkime sistemą

Iš (1) lygties išreiškiame ir pakeiskite jį į (2) lygtį.

; ;

Iš čia

; ; .

Patikrinkime, ar funkcija f(x) tikrai tenkina lygtį

.

x=x – teisingai.

Atsakymas:.

Sprendimas:

1) Leiskite

2) Pakeisdami pradinę lygtį, gauname

3) Pakeiskite z į gauname arba po transformacijų dešinėje lygties pusėje:

4) Taigi, gavome dvi lygtis:

5) Padauginkite abi 1-osios lygties puses iš (-2) ir pridėkite jas prie 2-osios lygties, gausime:

3. Leiskite - tikras skaičius. Rasti funkcijąf(x) , apibrėžtas visiems x ≠ 1 ir tenkinantis lygtį

,

kur g yra duotoji funkcija, apibrėžta tiesx ≠ 1 .

Sprendimas: keičiant

gauname sistemą

.

kurio sprendimas ata 2 ≠ 1 yra funkcija

Atsakymas:

4. Raskite nežinomų funkcijų funkcinių lygčių sistemos sprendimąf(x) Irg(x) :

Sprendimas: pakeiskime pirmąją lygtį2x = 1/z .

Tuo pačiu metu

ir pirmoji lygtis yra tokia:

Arba

Dėl to gauname lygčių sistemą:

kurio sprendinys g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

Atsakymas: g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

5. Raskite visas funkcijas f: R  R, kurios visiems x, y € R tenkina lygtį

f(x+y)=x+yf(x)+(1-x)y. (1)

Sprendimas: Tegul f yra funkcija, tenkinanti (1). Kadangi (1) yra teisinga visoms kintamųjų x ir y reikšmėms, tai bus teisinga ir konkrečioms šių kintamųjų reikšmėms. Į pradinę lygtį pakeičiant, pavyzdžiui, y lygų 0, gauname f(x)=x. Ši lygybė turi būti teisinga bet kuriam realiam x. Taigi (1) => f(х)≡х yra funkcinės lygties (1) sprendimas. Tiesioginis patikrinimas rodo, kad rasta funkcija iš tikrųjų atitinka visų x,y € R lygtį.

6. Raskite visas funkcijas f: R  R, kurios visiems x, y € R tenkina lygtį

f(x+y)=x+yf(x)+(1-sin x)y (1)

Sprendimas: kaip ir ankstesniame uždavinyje, nustatome, kad funkcijos f, kuri tenkina (2), tapatybė f(x)≡x turi būti tenkinama. Tačiau funkciją f(x) = x pakeitę į (1), tapatybės negauname. Kadangi jokios kitos funkcijos taip pat negali būti (1) sprendiniais, ši lygtis sprendinių neturi.

7. Raskite visas funkcijas f: R  R, kurios visiems x, y € R tenkina lygtį

f(x+y 2 +2y+1) = y 4 +4y 3 +2xy 2 +5y 2 +4xy+2y+x 2 +x+1 (1)

Sprendimas: kadangi norime gauti f(x) reikšmę, pabandykime atsikratyti y nario 2 +2y+1 po funkcijos ženklu. Lygtis y 2 +2y+1=0 turi vieną sprendimą y=-1. Pakeitę y= -1 į (1), gauname f(x)= x 2 -x+1 .

Atsakymas: f(x)= x 2 -x+1

8. Raskite visas funkcijas f: R  R, kurios visiems x, y € R tenkina lygtį

f((x 2 +6x+6)y)=y 2 x 4 +12y 2 x 3 +48y 2 x 2 -4yx 2 +72y 2 x-24yx+36y 2 -24 (1)

Sprendimas: Kaip ir ankstesnėje užduotyje, norime gauti laisvą kintamąjį (x arba y) po funkcijos ženklu. Šiuo atveju akivaizdžiai lengviau gauti y. Lygties x sprendimas 2 +6x+6)y=0, palyginti su x, gauname x 1 = -1, x 2 = -5. Pakeitus bet kurią iš šių reikšmių į (1), gauname f(y)=y 2-4у.

Funkcinių lygčių sprendimas Cauchy metodu

1. Raskite funkciją , apibrėžtas natūraliųjų skaičių aibėje, tenkinantis sąlygą

Kur d yra tikrasis skaičius.

Sprendimas:

Šią lygtį išspręsime naudodami schemą, kuri matematikoje vadinama Koši metodu.

1. Raskime posakius Mes gauname

, .

2. Šis „eksperimentas“ rodo, kad, Kur.

3. Patikrinkime, ar lygybė tikrai galioja

Kur . Įrodinėjimui naudokime matematinės indukcijos metodą.

1. Patikrinkime, ar lygybė galioja x=1:- teisingai.

2. Tarkime, kad lygybė yra teisinga, kur, t.y.

Teisingai.

3. Įrodykime, kad tai reiškia lygybę x=n. Nes , tada x=n gauname arba

; .

Tai reiškia, kad lygybė galioja bet kuriam natūraliajam skaičiui n. Taigi pateiktos funkcinės lygties sprendimas bus funkcija , kur f(1) yra savavališkas skaičius.

2. Raskite visas ištisines funkcijas, tenkinančias sąlygą

Sprendimas:

Funkcinės lygties sprendimą rasime palaipsniui, t.y. Pirmiausia randame jo sprendimą, jei tai yra natūralusis skaičius, tada - sveikasis skaičius, tada racionalusis ir galiausiai - tikrasis.

1. Tegu y=x. Tada .

2. Kada , gauname

, , …

3. Įrodykime matematinės indukcijos metodu, kad gamtinėms vertybėms (įrodykite patys). (1)

4. Jei x=1 gauname . - pastovus skaičius. Pažymėkime tai. Taigi, mes turime .

5. Įveskime lygybę

(1) , kur , gauname

. Iš čia

arba

.

Paskyrus

per , mes gauname

Tai reiškia, kad teigiamam ir racionaliam x gauname

Darant prielaidą, kad funkcija - yra tęstinis, mes gauname

At

, .

6. Paimkime lygybę. Mes gauname

Iš čia.

Paimkime šią lygybę

Mes gauname

arba

Nes

Tai

tie. .

Taigi, bet kokiam realiam lygties sprendimui bus funkcija

Atsakymas:

Lygtis vadinama Koši lygtimi.

3. Raskite tęstines funkcijas , tenkinantis sąlygą

. (1)

Sprendimas:

Pabandykime šią lygtį redukuoti iki funkcinės Koši lygties

su nuolatiniu tirpalu

Tada tegul y=0

.

Nes yra pastovus skaičius, pažymėkime jį ir gauname

.

Dabar duokime x reikšmę .

Mes gauname

.

Iš (1) lygties

gauname

arba

(2).

(1) lygties sprendimas yra funkcija

Tai reiškia, kad (2) lygties sprendimas bus funkcija

Atsakymas:

4. Raskite visus ištisinius Koši lygčių sprendinius:

a)f ( X y) = f( x) + f( y) ( x, y€ R\ { 0 } );

b ) f( x+ y) = f( xy) ( x, y€ R);

V ) f( x+ y) = f( x) f( y) ( x, y€. R) .

Sprendimas:

Pirmiausia tegul x > 0

g (x) = f (e x).

Tada

g (x + y) = f (e x+y) = f (e x e y) = f (e x) + f (e y) = g (x) + g (y), t. y. g (x)

tenkina adityvinę Koši lygtį. Nes e x ir f (x ) yra tęstiniai, tada g(x ) yra tęstinis ir turi formą cx, kur c yra konstanta. Tada f (x) turi formą c ln x.

Visų pirma,

f (1) = 0.

Įdėjimas

x = y = - 1,

gauname

f (1) = 2 f (- 1),

kur

f (- 1) = 0.

Už savavališką x< 0 получаем

f (x) = f (- x) + f (- 1) = f (- x).

Iš čia

f (x) = c ln | x |

už savavališką

x ≠ 0.

b) Įdėjimas

y = 0,

gauname

f (x) = f (0), t.y. f(x) ≡ konst.

Akivaizdu, kad bet kokia konstanta yra gerai.

c) Jei

f(x) = 0

už kokį x,

Tai

f (z) = f (x) f (z - x) = 0

bet kokiam z . Priešingu atveju funkcija, būdama tęstinė, visur turi tą patį ženklą. Nes

f (2 x ) = (f (x )) 2,

tada šis ženklas yra teigiamas ir galime laikyti tęstiniu

funkcija

g (x) := ln f (x). Turime g (x + y) = ln (f (x) f (y)) = ln f (x) + ln f (y) = g (x) + g (y),

tie. adityvinė Koši lygtis tenkinama. Iš čia g(x) = cx tam tikram c, ir

f (x) = e сх.

Taigi, arba

f (x)≡ 0 arba f (x) ≡е сх.

Funkcijų reikšmių naudojimas kai kuriuose taškuose

Kartais neįmanoma rasti pakaitalų, kurie žymiai supaprastintų lygties formą. Tačiau jei vienas iš laisvųjų kintamųjų yra fiksuotas, kai kurios lygties sąlygos taip pat gali tapti fiksuotos. Jiems galima įvesti patogius žymėjimus ir naudoti juos sprendžiant kaip įprastas konstantas. Jei šios konstantos įtrauktos į atsakymą, patikrinimas parodys, kurios jų reikšmės galioja.

Išspręskite lygtį

f(x+f(y))=xy

Sprendimas: pakeitimas

y=0

duoda

f(x+f(0))=0.

Iš pirmo žvilgsnio mažai naudos, nes nežinome, kam yra lygus f(0). Pažymime f(0)=c, tada gausime f(x+c)=0. Pakeitę kintamąjį t=x+c (pakeitimas x=t-c), gauname f(e)=0, tačiau tokia funkcija akivaizdžiai netenkina pradinės lygties, todėl sprendinių nėra.

Išspręskite lygtį

f(x+f(y))=x+y

Sprendimas: Dar kartą pakeisime y=0 ir pažymime c=f(0), gauname f(x+c)=x. Pakeitus t=x+c gaunama f(t)=t-c. Nepaisant to, kad žinome tikslią c reikšmę, jau žinome, kad tik f(x) = x-c formos funkcija, kur c = const, gali patenkinti visų x, y lygtį. norėdami rasti c, rastą funkciją pakeičiame pradine lygtimi (tuo pačiu patikrinsime taip):

f(x+f(y))=f(x+(y-c))=(x+(y-c))-c= x+y-2c.

Iš to matome, kad lygybė

f(x+f(y))=x+y

visiems x,y, kai c lygus 0 ir tik su juo. Todėl atsakymas yra f(x)=x.

Atsakymas: f(x)=x.

Lygtis yra santykinė

Raskite visus f: R  R tokius, kad (f(x))2 = 1

Sprendimas: Laikydami tai nežinomo f(x) lygtimi, gauname

f( x) = 1 ;

f( x) = -1

Gali atrodyti, kad atsakymas būtų dvi funkcijos,

f(x)=1, f(x)=-1.

Tačiau tai netiesa. Apsvarstykite, pavyzdžiui, funkciją

1 x<0

1, x ≥ 0

Nesunku pastebėti, kad ši funkcija atitinka lygtį. Kokia reikšmė suteikiama visumai? Kadangi pradinė lygybė turi būti tenkinama visoms x € R, tai yra, kiekvienai x galioja viena lygybė. Tačiau prielaida, kad viena iš lygybių iš karto tenkinama visiems x, bus neteisinga. Kaip matėme pavyzdyje, vieniems x gali būti tenkinama viena iš lygybių, o kitiems – kita. Pabandykime apibūdinti lygtimi nurodytą funkcijų aibę. Tegu A yra tų x, kuriems galioja pirmoji lygybė, aibė. Tada visų kitų x antrasis turi būti patenkintas. Matome, kad aibė A vienareikšmiškai apibrėžia funkciją f:

Atsakymas:

E( f) = {+-1} , kur E(f)

žymi f reikšmių rinkinį.

Funkcinės lygties grafinis sprendimas. Prie kokios a ir b funkcijos

f(x)=a|x-b| +3a|x-b |

sąlyga tenkinama visiems

x: f(x)=f(f(x)) ?

Sprendimas:

Kai a=0, funkcija f(x)=0 ir lygtis akivaizdžiai įvykdyta.

tegul a>0, tada didelėms x>0 funkcijai

f(x)=a(x-b)+3a(x-b)=4ax-a(b+3b)>0

Iš 1 pav. nustatome, kad galima tik lygybė f(x)=x, jei x reikšmės yra pakankamai didelės ir x>0. Tiksliau, x>max(b;b).

Todėl galimos parametrų a ir b reikšmės nustatomos iš sistemos:

Kuris turi du sprendimus:

Jei a=1/4, b=-1/3 gauname funkciją

Jo grafikas (2 pav.) yra grafinis lygties sprendimas

f(x)=f(f(x))

Dabar tarkime, kad a<0, тогда при больших по абсолютной величине и х<0. Конкретно, х

Todėl galimos parametrų a ir b reikšmės nustatomos iš sistemos

Kuris turi du sprendimus

Jeigu

a = -1/4, b = 0,

tada funkcija

f(x)=-|x|

tenkina lygtį

f(x)=f(f(x))

Jei a=-1/4, b=-1/3, tada gauname funkciją

Bet jo grafikas (3 pav.) nėra grafinis lygties f(x)=f(f(x) sprendimas).

Atsakymas: , , ,

Išvada

Šiame darbe buvo nagrinėjamos funkcinės lygtys ir kai kurie jų sprendimo būdai. Dirbdami įsitikinome, kad funkcinės lygtys yra bendra lygčių klasė, kurioje reikiama funkcija yra tam tikra funkcija. Funkcinės lygtys iš esmės apima diferencialines lygtis, integralines lygtis ir baigtinių skirtumų lygtis. Funkcinė lygtis siaurąja šio žodžio prasme suprantama kaip lygtys, kuriose norimos funkcijos susiejamos su žinomomis vieno ar kelių kintamųjų funkcijomis, naudojant sudėtingos funkcijos sudarymo operaciją. Funkcinė lygtis taip pat gali būti laikoma savybės, apibūdinančios tam tikrą funkcijų klasę, išraiška.

Nuorodos

Paskelbta Allbest.ru

PARAIŠKOS

1 pav

2 pav

3 pav

Paskelbta Allbest.ru

Liestinė yra tiesi linija , kuris paliečia funkcijos grafiką viename taške ir kurio visi taškai yra trumpiausiu atstumu nuo funkcijos grafiko. Todėl liestinė eina funkcijos grafiko liestine tam tikru kampu, o kelios liestinės skirtingais kampais negali praeiti per liesties tašką. Funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtys sudaromos naudojant išvestinę.

Tangentinė lygtis gaunama iš tiesės lygties .

Išveskime funkcijos grafiko liestinės lygtį, o tada normaliosios lygtį.

y = kx + b .

Jame k- kampo koeficientas.

Iš čia gauname tokį įrašą:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Išvestinė vertė f "(x 0 ) funkcijas y = f(x) taške x0 lygus nuolydžiui k= tg φ per tašką nubrėžtos funkcijos grafiko liestinė M0 (x 0 , y 0 ) , Kur y0 = f(x 0 ) . Tai yra geometrinė vedinio reikšmė .

Taigi galime pakeisti kįjungta f "(x 0 ) ir gaukite šiuos dalykus funkcijos grafiko liestinės lygtis :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Esant uždaviniams, susijusiems su funkcijos grafiko liestinės lygties sudarymu (ir netrukus prie jų pereisime), reikia iš aukščiau pateiktos formulės gautą lygtį sumažinti iki bendrosios formos tiesės lygtis. Norėdami tai padaryti, visas raides ir skaičius turite perkelti į kairę lygties pusę, o dešinėje - palikti nulį.

Dabar apie normalią lygtį. Normalus - tai tiesi linija, einanti per funkcijos, statmenos liestinei, grafiko liesties tašką. Normali lygtis :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Norėdami sušilti, jūsų prašoma pačiam išspręsti pirmąjį pavyzdį, o tada pažvelgti į sprendimą. Yra pagrindo tikėtis, kad ši užduotis mūsų skaitytojams nebus „šaltas dušas“.

0 pavyzdys. Sukurkite funkcijos taške grafikui liestinės lygtį ir normaliąją lygtį M (1, 1) .

1 pavyzdys. Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį ir normaliąją lygtį , jei abscisė liestinė .

Raskime funkcijos išvestinę:

Dabar turime viską, ką reikia pakeisti į teorinės pagalbos įrašą, kad gautume liestinės lygtį. Mes gauname

Šiame pavyzdyje mums pasisekė: nuolydis buvo lygus nuliui, todėl nereikėjo atskirai redukuoti lygties į bendrą formą. Dabar galime sukurti normalią lygtį:

Žemiau esančiame paveikslėlyje: funkcijos grafikas yra bordo, liestinė yra žalia, normalioji yra oranžinė.

Kitas pavyzdys taip pat nesudėtingas: funkcija, kaip ir ankstesniame, taip pat yra daugianario, tačiau nuolydis nebus lygus nuliui, todėl bus pridėtas dar vienas žingsnis - lygties išvedimas į bendrą formą.

2 pavyzdys.

Sprendimas. Raskime liestinės taško ordinatę:

Raskime funkcijos išvestinę:

.

Raskime išvestinės reikšmę liestinės taške, tai yra liestinės nuolydį:

Visus gautus duomenis pakeičiame į „tuščią formulę“ ir gauname liestinės lygtį:

Pateikiame lygtį į bendrą formą (kairėje pusėje renkame visas raides ir skaičius, išskyrus nulį, o dešinėje paliekame nulį):

Sudarome normalią lygtį:

3 pavyzdys. Užrašykite funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtį, jei abscisė yra liesties taškas.

Sprendimas. Raskime liestinės taško ordinatę:

Raskime funkcijos išvestinę:

.

Raskime išvestinės reikšmę liestinės taške, tai yra liestinės nuolydį:

.

Randame liestinės lygtį:

Prieš pateikdami lygtį į bendrą formą, turite ją šiek tiek „šukuoti“: terminą iš termino padauginkite iš 4. Mes tai darome ir pateikiame lygtį į bendrą formą:

Sudarome normalią lygtį:

4 pavyzdys. Užrašykite funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtį, jei abscisė yra liesties taškas.

Sprendimas. Raskime liestinės taško ordinatę:

.

Raskime funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės reikšmę liestinės taške, tai yra liestinės nuolydį:

.

Gauname liestinės lygtį:

Pateikiame lygtį į bendrą formą:

Sudarome normalią lygtį:

Dažna klaida rašant tangentines ir normaliąsias lygtis yra nepastebėti, kad pavyzdyje pateikta funkcija yra sudėtinga, ir apskaičiuoti jos išvestinę kaip paprastos funkcijos išvestinę. Šie pavyzdžiai jau yra iš sudėtingos funkcijos(atitinkama pamoka atsidarys naujame lange).

5 pavyzdys. Užrašykite funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtį, jei abscisė yra liesties taškas.

Sprendimas. Raskime liestinės taško ordinatę:

Dėmesio! Ši funkcija yra sudėtinga, nes liestinės argumentas (2 x) pati yra funkcija. Todėl funkcijos išvestinę randame kaip kompleksinės funkcijos išvestinę.

Diferencialinės lygtys neišspręstos išvestinės atžvilgiu.

F(x,y,y")=0

1. Iš lygties. F(x,y,y")=0 išreikšti y" per x Ir y. Gausite vieną ar daugiau formos lygčių y"=f(x,y), kurių kiekvieną reikia išspręsti.

Pavyzdys.

y" 2 -y 2 =0

y"=y ir y"=-y

dy/y=dx ir dy/y=-dx

ln|y|=x+lnC ir ln|y|=-xlnD

y = Ce x ir y = De -x

2. Parametrų metodas (paprasčiausias metodo variantas).

Tegul lygtis F(x,y,y")=0 y.

y=f(x,y").

Įveskime parametrą p=y"=dy/dx

Tada y=f(x,p)

Paimkime bendrą skirtumą iš abiejų dalių, pakeisdami dy per pdx, gauname

pdx=f x "dx+f y "dy

Jei šios lygties sprendinys randamas formoje x=φ(p), tada gauname pradinės lygties sprendimą parametrine forma:

Pavyzdys

y=ln(1+y" 2)

p=y"=dy/dx, y=ln(1+p 2)

Padalijus iš r sprendimą prarado y=0

3. Jei lygtis F(x,y,y")=0 galima išspręsti santykinai X:

x=f(y,y"), tada kaip ir 2 įvedame parametrą p=y"=dy/dx

4. Lagranžo lygtis

y=xφy"+Ψ(y")

ir Clairaut lygtis

y=xy"+Ψ(y")

yra ypatingi atvejai, aptarti 2 dalyje.

5) Šiek tiek apie specialius sprendimus. Sprendimas y=φ(x) lygtys F(x,y,y")=0 vadinamas specialiuoju, jei per kiekvieną jo tašką, be šio sprendinio, eina dar vienas sprendinys, kuris šiuo metu turi tokią pačią liestinę kaip ir sprendinys φ(x), bet nesutampa su juo savavališkai mažoje šio taško kaimynystėje. Leiskite F(x,y,y"), δF/δy ir δF/δy" tęstinis. Tada bet koks specialus lygties sprendinys F(x,y,y")=0 tenkina ir lygtį δ F(x,y,y")/δy"=0.

Norint rasti specialius sprendimus, būtina iš sistemos

išskirti y“. Gauta lygtis vadinama diskriminacinė kreivė. Kiekvienai diskriminantinės kreivės šakai reikia patikrinti, ar ši šaka yra sprendimas ir, jei taip, ar ji bus ypatinga (t. y. ar nepažeidžiamas unikalumas kiekviename jos taške).

Pavyzdys.

y=xy"-y 2- Clairaut lygtis

p=y"=dy/dx, y=xp-p 2

pdx=pdx+xdp-2pdp

(x-2p)dp=0

dp=0, p=c, vadinasi

x=2p, y=xp-p 2

y = Cx-C 2 arba y=(x 2/2)-(x 2/4)

y = x 2 /4- specialus sprendimas

y = x 2 /4 pradinės lygties sprendimas. Įrodykime, kad tai ypatinga.

Mes priimame savavališką sprendimo tašką y = x 2 /4, Pavyzdžiui ( x o ,x 2 o /4). rasime SU, kuriai tiesi linija y = Cx-C 2 taip pat perėjo šį tašką x 2 o/4 = Cx o -C 2, vadinasi C=x o /2, tie. y=(x o /2)x-(x 2 o /4).

2.2 Lygčių ir nelygybių sprendimo metodika

Lygtys ir nelygybės – tradicinė mokyklinio matematikos kurso tema, užimanti didelę vietą, nuo žemesnių klasių, kur su paprasčiausiomis lygtimis ir nelygybėmis supažindinama iki teorijos, paremtos aritmetinių veiksmų savybėmis, įvedimu, baigiant vyr. klasėse, kur sprendžiamos transcendentinės lygtys.

Lygtys ir nelygybės atspindi algebrinį aparatą, kalbą, į kurią verčiamos įvairios problemos, įskaitant taikomąsias, ir kuriami jų matematiniai modeliai.

Funkcijų monotoniškumo naudojimas sprendžiant lygtis ir nelygybes. Vieną iš dažniausiai pasitaikančių idėjų gerai iliustruoja šios paprastos nelygybės sprendimas:

1. Išspręskite nelygybę:.

Sprendimas. Yra du standartiniai sprendimai: kvadratas (pateikiamas
; jeigu
, nelygybė tenkinama) ir nežinomybės pakeitimas
.

Apsvarstykime kitą metodą - nestandartinį. Kairėje pusėje esanti funkcija monotoniškai didėja, o pirmoje dalyje esanti funkcija mažėja. Iš akivaizdžių grafinių svarstymų išplaukia, kad lygtis
x 0 yra šios lygties sprendimas, tada kada
bus, ir šios nelygybės sprendimas bus
. Reikšmė x 0 lengva pasirinkti: x 0 = 1.

Atsakymas.
.

2. Išspręskite lygtį:
.

Sprendimas. Ši lygtis turi aiškų sprendimą x= 1. Įrodykime, kad kitų sprendinių nėra. Abi dalis padalinkime iš , gauname
. Kairė pusė yra monotoniškai mažėjanti funkcija. Vadinasi, kiekvieną savo vertę ji paima vieną kartą, t.y. ši lygtis turi unikalų sprendimą.

Atsakymas. x = 1.

Taigi pagrindinė idėja, kuria buvo grindžiami šių dviejų pavyzdžių sprendimai, yra gana paprasta: jei f(x) didėja monotoniškai, ir φ (x) mažėja monotoniškai, tada lygtis f(x) = φ (x) turi daugiausia vieną sprendimą ir jei x = x 0 yra šios lygties sprendimas, tada kada x > x 0 (x yra abiejų funkcijų ribose f(x) Ir φ (x) ) valia f(x) > φ (x) , ir kada x x 0 bus

f(x) φ (x) .

Verta atkreipti dėmesį į vieną šios idėjos modifikaciją, būtent: jei f(x) yra monotoninė funkcija, tada iš lygybės f(x) = f(y) iš to išplaukia x = y .

3.Išspręskite lygtį:.

Sprendimas . Transformuokime lygtį:

.

Apsvarstykite funkciją
.

Įrodykime, kad kada t > 1 ši funkcija monotoniškai mažėja. Tai galima padaryti, pavyzdžiui, standartiniu būdu: suraskite išvestinę

ir įrodyti, kad kada t > 1
. Parodykime kitą būdą:

.

Gauta funkcija akivaizdžiai mažėja (bazė didėja, po logaritmo ženklu funkcija mažėja).

Mūsų lygtis yra tokia: , o tai reiškia
. Kairėje yra didėjanti funkcija, todėl sprendimas yra unikalus, jį galima lengvai rasti pasirinkus: x = 4.

Atsakymas. x = 4 .

Formos lygtysf ( f ( x )) = x . Sprendžiant tokio tipo lygtis, naudinga ši teorema:

Jei y = f(x) yra monotoniškai didėjanti funkcija, tai lygtys

f(x) = x(A)

f (f (x)) = x (B)

lygiavertis.

Įrodymas. Tai, kad (B) lygtis yra (A) lygties pasekmė, akivaizdu: bet kuri šaknis (A) tenkina (B). (Jei

f (x 0 ) = x 0 , Tai f (f (x 0 )) = f (x 0 ) = x 0.). Įrodykime, kad bet kuri (B) lygties šaknis tenkina (A) lygtį. Leiskite x 0 toks f (f (x 0 )) = x 0 .Tarkime, kad f (x 0 ) ≠ x 0 ir apibrėžtumui f (x 0 ) > x 0 . Tada f (f (x 0 )) > f (x 0 ) > x 0, o tai prieštarauja prielaidai ( f (f (x 0 )) = x 0). Teorema įrodyta.

Ar teorema teisinga monotoniškai mažėjančiai funkcijai?

komentuoti. Jeigu y = f (x) didėja monotoniškai, tada bet kokiam k lygtys
Ir f (x) = x yra lygiaverčiai.

Pateiksime keletą šios teoremos panaudojimo pavyzdžių.

1. Išspręskite lygtį:
.

Sprendimas Perrašykime lygtį
. Apsvarstykite funkciją
. Ši funkcija didėja monotoniškai. Mes turime lygtį

f (f (x)) = x. Pagal teoremą mes ją pakeičiame lygiaverte lygtimi f (x) = x arba .

Atsakymas.

.

2. Išspręskite lygtį:

.

Sprendimas. Transformuokime lygtį:
.

Ši lygtis atrodo taip: f (f (x)) = x, Kur
.

Pagal teoremą turime lygiavertę lygtį:
,

Atsakymas.
.

3. Išspręskite lygčių sistemą:
.

Sprendimas. Panagrinėkime funkciją. Kadangi

Visų akivaizdoje t, Tai f (t) didėja.

Sistema turi formą y = f (x), z = f (y), x = f (z), tie. x = f (f (f (x))).

Pagal teoremą x tenkina lygtį f (x) = x arba

Atsakymas.(0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Naudojant ekstremalias nagrinėjamų funkcijų savybes. Įvertinimai. Pagrindinės šio punkto idėjos gana aiškiai matomos iš pavyzdžių:

1. Išspręskite lygtį:
.

Sprendimas. Kairė šios lygties pusė neviršija 2, o dešinė neviršija 2. Todėl lygybė gali atsirasti tik tada, kai kairioji ir dešinė pusės yra lygios 2, t.y. x = 0.

komentuoti.Šią situaciją, kai vienoje lygties dalyje esančios funkcijos mažiausia reikšmė yra lygi didžiausiai funkcijos, esančios kitoje dalyje, reikšmei, galima apibendrinti. Bendresnis atvejis yra formos lygtys f (x) = φ (x) , kuriam
visiems priimtina x(formaliai šią lygtį galime perrašyti kaip

f (x) = φ (x) = 0, todėl pasiekiame jau svarstytą situaciją, nes didžiausia dešiniosios pusės reikšmė yra nulis).

2. Išspręskite lygtį:.

Įrodykime, kad ši lygtis neturi sprendinių. Pereikime prie pasekmių (sustiprinkime):
.

Įvertinkime kairę pusę pagal geometrinio vidurkio ir aritmetinio vidurkio nelygybę

:

tie. kairė pusė mažesnė už dešinę. Lygtis neturi sprendinių.

Atsakymas. Sprendimo nėra.

3. Išspręskite lygčių sistemą:

Sprendimas. Įrodykime tai.

Leisk dėl tikrumo x 5 > x 4, tada iš pirmųjų dviejų lygčių gauname, iš kurių
ir juo labiau
. Toliau iš trečio ir ketvirto gauname
ir juo labiau
. Iš paskutinės poros, kurią randame
. Rezultatas yra prieštaravimas (ir
, t.y.
, bet buvo manoma, kad).

Reiškia,
, iš čia
ir pan., visi nežinomieji yra lygūs vieni kitiems.

Atsakymas.(0, 0, 0, 0,0);
.

Problemos, kurių formuluotės yra nestandartinės ir susijusios su lygtimis arba nelygybėmis.Ši kategorija visų pirma apima problemas, kuriose reikia nustatyti tam tikros lygties šaknų skaičių, įrodyti šaknies egzistavimą tam tikrame intervale, išspręsti lygtį ar nelygybę tam tikrame intervale. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1. Įrodykite, kad lygtis
turi vieną teigiamą sprendimą ir vieną neigiamą sprendimą. matematikos mokymo metodai vidutinis mokykla: Vadovėlis. mokinio vadovas...