Kūginio paviršiaus lygtis. Kūginiai paviršiai

Straipsnio turinys

KŪGINIAI SKYRIAI, plokščios kreivės, kurios gaunamos susikertant dešinįjį apskritą kūgį su plokštuma, kuri nekerta jo viršūnės (1 pav.). Analitinės geometrijos požiūriu kūginė pjūvis yra taškų, tenkinančių antros eilės lygtį, vieta. Išskyrus paskutiniame skyriuje aptartus išsigimusius atvejus, kūgio formos pjūviai yra elipsės, hiperbolės arba parabolės.

Gamtoje ir technikoje dažnai randami kūginiai pjūviai. Pavyzdžiui, aplink Saulę besisukančių planetų orbitos yra elipsės formos. Apskritimas yra ypatingas elipsės atvejis, kai pagrindinė ašis yra lygi mažajai ašiai. Parabolinis veidrodis turi savybę, kad visi krintantys spinduliai lygiagrečiai jo ašiai susilieja viename taške (fokusas). Tai naudojama daugumoje atspindinčių teleskopų, kuriuose naudojami paraboliniai veidrodžiai, taip pat radaro antenose ir specialiuose mikrofonuose su paraboliniais atšvaitais. Lygiagrečių spindulių spindulys sklinda iš šviesos šaltinio, esančio parabolinio reflektoriaus židinyje. Štai kodėl paraboliniai veidrodėliai naudojami didelės galios prožektoriuose ir automobilių priekiniuose žibintuose. Hiperbolė yra daugelio svarbių fizinių ryšių grafikas, pvz., Boilio dėsnis (susijęs idealių dujų slėgis ir tūris) ir Omo įstatymas, apibrėžiantis elektros srovę kaip atsparumo esant pastoviai įtampai funkciją.

ANKSTYVA ISTORIJA

Spėjama, kad kūginių pjūvių atradėju yra Platono mokinys ir Aleksandro Makedoniečio mokytojas Menaechmas (IV a. pr. Kr.). Menaechmas panaudojo parabolę ir lygiakraštę hiperbolę, kad išspręstų kubo padvigubinimo problemą.

IV amžiaus pabaigoje Aristaeus ir Euklido parašyti traktatai apie kūginius pjūvius. Kr., buvo prarasti, tačiau medžiagos iš jų buvo įtrauktos į garsųjį Kūginės sekcijos Apolonijus Pergietis (apie 260–170 m. pr. Kr.), kurie išliko iki šių dienų. Apolonijus atsisakė reikalavimo, kad kūgio generatrix skentinė plokštuma būtų statmena ir, keisdamas jo pasvirimo kampą, iš vieno apskrito kūgio gavo visas kūgio pjūvius, tiesius arba pasvirusius. Taip pat Apolonijui skolingi šiuolaikiniai kreivių pavadinimai – elipsė, parabolė ir hiperbolė.

Savo konstrukcijose Apolonijus panaudojo dviejų lakštų apskritą kūgį (kaip 1 pav.), todėl pirmą kartą paaiškėjo, kad hiperbolė yra kreivė su dviem šakomis. Nuo Apolonijaus laikų kūginės pjūviai skirstomi į tris tipus, priklausomai nuo pjovimo plokštumos pokrypio į kūgio generatricą. Elipsė (1 pav., A) susidaro, kai pjovimo plokštuma vienos jo ertmės taškuose kerta visas kūgio generatricas; parabolė (1 pav., b) – kai pjovimo plokštuma lygiagreti vienai iš kūgio liestinių plokštumų; hiperbolė (1 pav., V) – kai pjovimo plokštuma kerta abi kūgio ertmes.

KŪGINIŲ SEKCIJŲ KONSTRUKCIJA

Tyrinėdami kūginius pjūvius kaip plokštumų ir kūgių sankirtas, senovės graikų matematikai taip pat laikė jas taškų trajektorijomis plokštumoje. Nustatyta, kad elipsę galima apibrėžti kaip taškų lokusą, atstumų, nuo kurių iki dviejų nurodytų taškų, suma yra pastovi; parabolė – kaip taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo tam tikro taško ir nurodytos tiesės, vieta; hiperbolė – kaip taškų lokusas, atstumų, nuo kurių iki dviejų nurodytų taškų, skirtumas yra pastovus.

Šie kūginių pjūvių, kaip plokštumos kreivių, apibrėžimai taip pat siūlo metodą, kaip juos sudaryti naudojant ištemptą eilutę.

Elipsė.

Jeigu tam tikro ilgio sriegio galai fiksuoti taškuose F 1 ir F 2 (2 pav.), tada kreivė, aprašyta pieštuko smaigaliu, slenkančiu išilgai ištempto siūlo, turi elipsės formą. Taškai F 1 ir F 2 vadinami elipsės židiniais ir atkarpomis V 1 V 2 ir v 1 v 2 tarp elipsės susikirtimo taškų su koordinačių ašimis – didžiąja ir šalutine ašimis. Jei taškai F 1 ir F 2 sutampa, tada elipsė virsta apskritimu.

Hiperbolė.

Statant hiperbolę taškas P, pieštuko smaigalys, tvirtinamas ant sriegio, kuris laisvai slysta išilgai taškuose sumontuotų kaiščių F 1 ir F 2, kaip parodyta pav. 3, A. Atstumai parenkami taip, kad atkarpa PF 2 yra ilgesnis už segmentą PF 1 fiksuota verte, mažesne už atstumą F 1 F 2. Šiuo atveju vienas sriegio galas praeina po kaiščiu F 1 ir abu sriegio galai pereina per kaištį F 2. (Pieštuko smaigalys neturi slysti išilgai sriegio, todėl jį reikia pritvirtinti ant sriegio padarant nedidelę kilpą ir perveriant smaigalį.) Viena hiperbolės šaka ( PV 1 K) nubrėžiame, įsitikindami, kad siūlas visą laiką išliks įtemptas, ir traukdami abu siūlo galus žemyn už taško F 2 ir kada taškas P bus žemiau segmento F 1 F 2, laikydami siūlą už abiejų galų ir atsargiai išgraviruokite (t. y. atleiskite). Antroji hiperbolės šaka ( Pў V 2 Kў ) piešiame, prieš tai sukeitę kaiščių vaidmenis F 1 ir F 2 .

Hiperbolės šakos artėja prie dviejų tiesių linijų, kurios susikerta tarp šakų. Šios linijos, vadinamos hiperbolės asimptotėmis, yra sudarytos taip, kaip parodyta Fig. 3, b. Šių linijų kampiniai koeficientai yra lygūs ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), kur v 1 v 2 – kampo tarp asimptočių bisektoriaus atkarpa, statmena atkarpai F 1 F 2 ; segmentas v 1 v 2 vadinamas konjuguota hiperbolės ašimi ir atkarpa V 1 V 2 – jo skersinė ašis. Taigi asimptotės yra stačiakampio, kurio kraštinės eina per keturis taškus, įstrižainės v 1 , v 2 , V 1 , V 2 lygiagrečiai ašims. Norėdami sukurti šį stačiakampį, turite nurodyti taškų vietą v 1 ir v 2. Jie yra vienodu atstumu, vienodi

nuo ašių susikirtimo taško O. Ši formulė apima stačiojo trikampio su kojomis konstravimą Ov 1 ir V 2 O ir hipotenuzė F 2 O.

Jei hiperbolės asimptotai yra vienas kitam statmeni, tada hiperbolė vadinama lygiakrašte. Dvi hiperbolės, turinčios bendrus asimptotus, bet su pertvarkytomis skersinėmis ir konjuguotomis ašimis, vadinamos tarpusavyje konjuguotomis.

Parabolė.

Elipsės ir hiperbolės židinius žinojo Apolonijus, tačiau parabolės židinį, matyt, pirmasis nustatė Pappas (III a. 2 pusė), apibrėžęs šią kreivę kaip taškų, esančių vienodu atstumu nuo nurodyto taško (fokuso), vietą. ir duota tiesė, kuri vadinama direktoriumi. Konstruoti parabolę naudojant ištemptą siūlą, remiantis Pappus apibrėžimu, pasiūlė Izidorius Miletietis (VI a.). Padėkite liniuotę taip, kad jos kraštas sutaptų su kryptine linija LLў (4 pav.), ir pridėkite koją prie šio krašto A.C. piešimo trikampis ABC. Vieną sriegio galą sutvirtiname ilgiu AB viršuje B trikampis, o kitas - parabolės židinyje F. Naudodami pieštuko galiuką, kad ištemptumėte siūlą, paspauskite antgalį kintamu tašku Pį laisvą koją AB piešimo trikampis. Trikampiui judant išilgai liniuote, taškas P apibūdins parabolės lanką su židiniu F ir direktorė LLў , nes bendras sriegio ilgis yra AB, sriegio gabalas yra greta laisvos trikampio kojelės, taigi ir likęs sriegio gabalas PF turi būti lygus likusiai kojos daliai AB, t.y. PA. Susikirtimo taškas V parabolė su ašimi vadinama parabolės viršūne, per ją einanti linija F Ir V, – parabolės ašis. Jei per židinį nubrėžiama tiesi linija, statmena ašiai, tada šios tiesios linijos atkarpa, nupjauta parabolės, vadinama židinio parametru. Elipsės ir hiperbolės židinio parametras nustatomas panašiai.

KŪGINIŲ SKYRIŲ SAVYBĖS

Papus apibrėžimai.

Parabolės židinio nustatymas davė Pappusui idėją apskritai pateikti alternatyvų kūginių pjūvių apibrėžimą. Leiskite F yra duotas taškas (fokusas), ir L– duotoji tiesė (kryptis), nepraeinanti F, Ir D F Ir D L– atstumas nuo judančio taško P sutelkti dėmesį F ir direktorės L atitinkamai. Tada, kaip parodė Pappus, kūginės atkarpos apibrėžiamos kaip taškų vieta P, kuriai santykis D F/D L yra neneigiama konstanta. Šis santykis vadinamas ekscentriškumu e kūginė pjūvis. At e e > 1 – hiperbolė; adresu e= 1 – parabolė. Jeigu F guli ant L, tada geometriniai lokusai yra tiesių linijų (tikrųjų arba įsivaizduojamų), kurios yra išsigimusios kūginės atkarpos.

Įspūdinga elipsės ir hiperbolės simetrija rodo, kad kiekviena iš šių kreivių turi dvi kryptis ir du židinius, ir ši aplinkybė paskatino Keplerį 1604 m. manyti, kad parabolė taip pat turi antrą židinį ir antrą kryptį – tašką begalybėje ir tiesioje. . Lygiai taip pat elipsę galima laikyti apskritimu, kurio židiniai sutampa su centru, o kryptys yra begalybėje. Ekscentriškumas ešiuo atveju lygus nuliui.

Dandelen dizainas.

Kūgio pjūvio židiniai ir kryptys gali būti aiškiai pademonstruoti naudojant rutulius, įrašytus į kūgį ir vadinamus Dandelin sferomis (rutuliais) Belgijos matematiko ir inžinieriaus J. Dandelino (1794–1847), pasiūliusio tokią konstrukciją, garbei. Tegul kūgio pjūvis susidaro iš tam tikros plokštumos susikirtimo p su dviejų ertmių tiesiu apskritu kūgiu su viršūne taške O. Į šį kūgį įbrėžkime dvi sferas S 1 ir S 2, kurie liečia lėktuvą p taškuose F 1 ir F 2 atitinkamai. Jei kūgio pjūvis yra elipsė (5 pav., A), tada abi sferos yra toje pačioje ertmėje: viena sfera yra virš plokštumos p, o kitas yra po juo. Kiekvienas kūgio generatorius liečia abi sferas, o sąlyčio taškų vieta atrodo kaip du apskritimai C 1 ir C 2 yra lygiagrečiose plokštumose p 1 ir p 2. Leiskite P– savavališkas kūgio pjūvio taškas. Nubrėžkime tiesias linijas PF 1 , PF 2 ir pratęskite tiesią liniją P.O.. Šios linijos taškuose liečia sferas F 1 , F 2 ir R 1 , R 2. Kadangi visos liestinės, nubrėžtos į sferą iš vieno taško, yra lygios, tada PF 1 = PR 1 ir PF 2 = PR 2. Vadinasi, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Kadangi lėktuvai p 1 ir p 2 lygiagretė, segmentas R 1 R 2 turi pastovų ilgį. Taigi, vertė PR 1 + PR 2 yra vienodas visoms taškų pozicijoms P, ir taškas P priklauso geometriniam taškų lokusui, kurio atstumų suma nuo Pį F 1 ir F 2 yra pastovus. Todėl taškai F 1 ir F 2 – elipsinio pjūvio židiniai. Be to, galima parodyti, kad tiesios linijos, išilgai kurių plokštuma p kerta plokštumas p 1 ir p 2 , yra sukonstruotos elipsės kryptys. Jeigu p kerta abi kūgio ertmes (5 pav., b), tada dvi Dandelin sferos yra toje pačioje plokštumos pusėje p, po vieną sferą kiekvienoje kūgio ertmėje. Šiuo atveju skirtumas tarp PF 1 ir PF 2 yra pastovus, o taškų lokusas P turi hiperbolės formą su židiniais F 1 ir F 2 ir tiesios linijos - susikirtimo linijos p Su p 1 ir p 2 – direktorėmis. Jei kūgio pjūvis yra parabolė, kaip parodyta Fig. 5, V, tada į kūgį galima įrašyti tik vieną Dandelino sferą.

Kitos savybės.

Kūginių pjūvių savybės yra tikrai neišsemiamos, ir bet kurią iš jų galima laikyti apibrėžiančia. Svarbi vieta Matematinis susitikimas Pappa (apie 300), Geometrija Dekartas (1637) ir Pradžios Niutonas (1687) buvo užsiėmęs taškų geometrinės padėties keturių tiesių atžvilgiu problema. Jei plokštumoje pateiktos keturios eilutės L 1 , L 2 , L 3 ir L 4 (iš kurių du gali būti vienodi) ir tašką P yra tokia, kad atstumų sandauga nuo Pį L 1 ir L 2 yra proporcingas atstumų sandaugai nuo Pį L 3 ir L 4, tada taškų lokusas P yra kūgio formos pjūvis. Klaidingai manydamas, kad Apolonijus ir Papas negalėjo išspręsti taškų lokuso keturių tiesių atžvilgiu problemos, Dekartas sukūrė analitinę geometriją, kad gautų sprendimą ir jį apibendrintų.

ANALITINIS METODAS

Algebrinė klasifikacija.

Algebriniu požiūriu kūginės atkarpos gali būti apibrėžtos kaip plokštumos kreivės, kurių koordinatės Dekarto koordinačių sistemoje atitinka antrojo laipsnio lygtį. Kitaip tariant, visų kūginių pjūvių lygtis gali būti parašyta bendra forma kaip

kur ne visi koeficientai A, B Ir C yra lygūs nuliui. Naudojant lygiagretųjį vertimą ir ašių sukimąsi, (1) lygtis gali būti sumažinta iki formos

kirvis 2 + pateikė 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Pirmoji lygtis gaunama iš (1) lygties su B 2 № A.C., antrasis – at B 2 = A.C.. Kūgio pjūviai, kurių lygtys sumažintos iki pirmosios formos, vadinamos centrine. Kūgio pjūviai, pateikti antrojo tipo lygtimis su q Nr. 0 vadinami necentriniais. Šiose dviejose kategorijose yra devyni skirtingi kūginių pjūvių tipai, priklausomai nuo koeficientų ženklų.

2831), jei šansai a, b Ir c turi tą patį ženklą, tada nėra realių taškų, kurių koordinatės tenkintų lygtį. Tokia kūgio atkarpa vadinama įsivaizduojama elipsė (arba įsivaizduojamu apskritimu, jei a = b).

2) Jei a Ir b turi tą patį ženklą ir c– priešingai, tada kūgio pjūvis yra elipsė (1 pav., A); adresu a = b– apskritimas (6 pav., b).

3) Jei a Ir b turi skirtingus ženklus, tada kūgio pjūvis yra hiperbolė (1 pav., V).

4) Jei a Ir b turi skirtingus ženklus ir c= 0, tada kūgio pjūvis susideda iš dviejų susikertančių tiesių (6 pav., A).

5) Jei a Ir b turi tą patį ženklą ir c= 0, tada kreivėje yra tik vienas realusis taškas, kuris tenkina lygtį, o kūgio pjūvis yra dvi įsivaizduojamos susikertančios tiesės. Šiuo atveju taip pat kalbame apie elipsę, susitraukusią iki taško arba, jei a = b, sutrauktas iki apskritimo taško (6 pav., b).

6) Jei taip a, arba b yra lygus nuliui, o likę koeficientai turi skirtingus ženklus, tada kūgio pjūvis susideda iš dviejų lygiagrečių tiesių.

7) Jei kuris nors a, arba b yra lygus nuliui, o likę koeficientai turi tą patį ženklą, tada nėra nei vieno realaus taško, kuris tenkintų lygtį. Šiuo atveju jie sako, kad kūgio pjūvis susideda iš dviejų įsivaizduojamų lygiagrečių linijų.

8) Jei c= 0 ir arba a, arba b taip pat yra lygus nuliui, tada kūgio pjūvis susideda iš dviejų realių sutampančių linijų. (Lygtis neapibrėžia jokios kūginės pjūvio a = b= 0, nes šiuo atveju pradinė (1) lygtis nėra antrojo laipsnio.)

9) Antrojo tipo lygtys apibrėžia paraboles, jei p Ir q skiriasi nuo nulio. Jeigu p Nr. 0, a q= 0, kreivę gauname iš 8 žingsnio. Jei p= 0, tada lygtis neapibrėžia jokios kūginės pjūvio, nes pradinė lygtis (1) nėra antrojo laipsnio.

Kūginių pjūvių lygčių išvedimas.

Bet kurią kūginę pjūvį galima apibrėžti ir kaip kreivę, išilgai kurios plokštuma kerta kvadratinį paviršių, t.y. su paviršiumi, pateiktu antrojo laipsnio lygtimi f (x, y, z) = 0. Matyt, kūginiai pjūviai pirmą kartą buvo atpažinti tokia forma, o jų pavadinimai ( žr. žemiau) yra dėl to, kad jie buvo gauti kertant plokštumą su kūgiu z 2 = x 2 + y 2. Leiskite ABCD– stačiojo apskrito kūgio (7 pav.), kurio viršūnėje yra stačiu kampu, pagrindas V. Leisk lėktuvui FDC kerta generatrix VB taške F, pagrindas – tiesia linija CD o kūgio paviršius – išilgai kreivės DFPC, Kur P– bet kuris kreivės taškas. Nubrėžkime per segmento vidurį CD– taškas E– tiesus EF ir skersmuo AB. Per tašką P nubrėžkite plokštumą, lygiagrečią kūgio pagrindui, kertančią kūgį apskritime R.P.S. ir tiesioginis EF taške K. Tada QF Ir QP atitinkamai galima laikyti abscisę x ir ordinate y taškų P. Gauta kreivė bus parabolė.

Konstrukcija parodyta fig. 7 galima naudoti bendroms kūginių pjūvių lygtims išvesti. Statmenos atkarpos ilgio kvadratas, atkurtas nuo bet kurio skersmens taško iki susikirtimo su apskritimu, visada yra lygus skersmens atkarpų ilgių sandaugai. Štai kodėl

y 2 = RQ H QS.

Parabolei atkarpa RQ turi pastovų ilgį (nes bet kurioje taško padėtyje P jis lygus segmentui A.E.) ir atkarpos ilgį QS proporcingas x(iš santykio QS/E.B. = QF/F.E.). Iš to išplaukia

Kur a– pastovus koeficientas. Skaičius a išreiškia parabolės židinio parametro ilgį.

Jei kampas ties kūgio viršūne yra smailus, tada atkarpa RQ nelygu segmentui A.E.; bet santykis y 2 = RQ H QS yra lygiavertis formos lygčiai

Kur a Ir b– konstantos, arba, perkėlus ašis, į lygtį

kuri yra elipsės lygtis. Elipsės susikirtimo taškai su ašimi x (x = a Ir x = –a) ir elipsės susikirtimo su ašimi taškai y (y = b Ir y = –b) atitinkamai apibrėžia didžiąją ir šalutinę ašis. Jei kampas kūgio viršūnėje yra bukas, tada kūgio ir plokštumos susikirtimo kreivė turi hiperbolės formą, o lygtis yra tokia:

arba, perkėlus ašis,

Šiuo atveju susikirtimo su ašimi taškai x, kurį suteikia santykis x 2 = a 2, nustatykite skersinę ašį ir susikirtimo su ašimi taškus y, kurį suteikia santykis y 2 = –b 2, nustatykite konjugavimo ašį. Jei pastovus a Ir b(4a) lygtyje yra lygios, tada hiperbolė vadinama lygiakrašte. Sukant ašis, jos lygtis redukuojama į formą

xy = k.

Dabar iš (3), (2) ir (4) lygčių galime suprasti Apolonijaus trijų pagrindinių kūginių pjūvių pavadinimų reikšmę. Sąvokos „elipsė“, „parabolė“ ir „hiperbolė“ kilę iš graikų kalbos žodžių, reiškiančių „trūku“, „lygus“ ir „geresnis“. Iš (3), (2) ir (4) lygčių aišku, kad elipsei y 2 b 2 / a) x, už parabolę y 2 = (a) x ir dėl hiperbolės y 2 > (2b 2 /a) x. Kiekvienu atveju skliausteliuose esanti reikšmė yra lygi kreivės židinio parametrui.

Pats Apolonijus laikė tik tris bendruosius kūginių pjūvių tipus (aukščiau išvardyti 2, 3 ir 9 tipai), tačiau jo požiūrį galima apibendrinti, kad būtų atsižvelgta į visas realias antros eilės kreives. Jei pjovimo plokštuma parinkta lygiagrečiai apskritam kūgio pagrindui, tada skerspjūvis bus apskritimas. Jei pjovimo plokštuma turi tik vieną bendrą tašką su kūgiu, jo viršūnę, tada bus gauta 5 tipo atkarpa; jei joje yra viršūnė ir kūgio liestinė, tada gauname 8 tipo atkarpą (6 pav., b); jei pjovimo plokštumoje yra dvi kūgio generatricos, tada pjūvis sukuria 4 tipo kreivę (6 pav., A); viršūnę perkėlus į begalybę, kūgis virsta cilindru, o jei plokštumoje yra dvi generatricos, tai gaunama 6 tipo pjūvis.

Jei pažvelgsite į apskritimą įstrižu kampu, jis atrodo kaip elipsė. Ryšys tarp apskritimo ir elipsės, žinomas Archimedo, tampa akivaizdus, ​​jei apskritimas X 2 + Y 2 = a 2 naudojant pakaitalą X = x, Y = (a/b) y transformuoti į elipsę, pateiktą pagal (3a) lygtį. Konversija X = x, Y = (ai/b) y, Kur i 2 = –1, leidžia parašyti apskritimo lygtį forma (4a). Tai rodo, kad į hiperbolę galima žiūrėti kaip į elipsę su įsivaizduojama mažąja ašimi, arba, atvirkščiai, į elipsę galima žiūrėti kaip į hiperbolę su įsivaizduojama konjuguota ašimi.

Ryšys tarp apskritimo ordinačių x 2 + y 2 = a 2 ir elipsė ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 tiesiogiai veda į Archimedo formulę A = p ab elipsės plotui. Kepleris žinojo apytikslę formulę p(a + b) elipsės, artimos apskritimui, perimetrui, tačiau tiksli išraiška buvo gauta tik XVIII a. įvedus elipsinius integralus. Kaip parodė Archimedas, parabolinės atkarpos plotas yra keturi trečdaliai įbrėžto trikampio ploto, tačiau parabolės lanko ilgį buvo galima apskaičiuoti tik po XVII a. Buvo išrastas diferencialinis skaičiavimas.

PROJEKTINIS METODAS

Projektinė geometrija yra glaudžiai susijusi su perspektyvos konstravimu. Jei nupiešite apskritimą ant skaidraus popieriaus lapo ir padėkite jį po šviesos šaltiniu, tada šis apskritimas bus suprojektuotas į žemiau esančią plokštumą. Be to, jei šviesos šaltinis yra tiesiai virš apskritimo centro, o plokštuma ir skaidrus lapas yra lygiagrečiai, tada projekcija taip pat bus apskritimas (8 pav.). Šviesos šaltinio padėtis vadinama išnykimo tašku. Tai nurodoma laiške V. Jeigu V nėra virš apskritimo centro arba jei plokštuma nėra lygiagreti popieriaus lapui, tada apskritimo projekcija įgauna elipsės formą. Esant dar didesniam plokštumos pokrypiui, didžioji elipsės ašis (apskritimo projekcija) pailgėja, o elipsė palaipsniui virsta parabole; plokštumoje, lygiagrečioje tiesei V.P., projekcija turi parabolės formą; esant dar didesniam polinkiui, projekcija įgauna vienos iš hiperbolės šakų formą.

Kiekvienas pradinio apskritimo taškas atitinka tam tikrą projekcijos tašką. Jei projekcija yra parabolės arba hiperbolės formos, tada jie sako, kad taškas, atitinkantis tašką P, yra begalybėje arba be galo toli.

Kaip matėme, tinkamai parinkus išnykimo taškus, apskritimas gali būti projektuojamas į įvairaus dydžio ir įvairių ekscentricijų elipses, o pagrindinių ašių ilgiai nėra tiesiogiai susiję su projektuojamo apskritimo skersmeniu. Todėl projekcinė geometrija nenagrinėja atstumų ar ilgių per se, jos užduotis yra ištirti ilgių santykį, kuris išlieka projekcijos metu. Šį ryšį galima rasti naudojant šią konstrukciją. Per bet kurį tašką P plokštumoje nubrėžkite dvi bet kurio apskritimo liestinės ir sujunkite liestinės taškus tiesia linija p. Tegul kita linija eina per tašką P, kerta apskritimą taškuose C 1 ir C 2 ir tiesiai p- taške K(9 pav.). Planimetrijoje tai įrodyta PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Minuso ženklas atsiranda dėl to, kad segmento kryptis QC 1 yra priešinga kitų atkarpų kryptims.) Kitaip tariant, taškai P Ir K padalinti segmentą C 1 C 2 išorėje ir viduje tuo pačiu požiūriu; jie taip pat sako, kad keturių atkarpų harmoninis santykis yra lygus - 1. Jei apskritimas projektuojamas į kūginę atkarpą ir atitinkamiems taškams išlaikomas tas pats žymėjimas, tada harmoninis santykis ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) liks lygus - 1. Taškas P vadinamas tiesiu stulpu p kūgio pjūvio atžvilgiu ir tiesia linija p– poliarinis taškas P kūgio pjūvio atžvilgiu.

Kai taškas P artėja prie kūgio pjūvio, poliarinė linkusi užimti liestinės padėtį; jei taškas P guli ant kūgio pjūvio, tada jo polinis sutampa su kūgio pjūvio liestine taške P. Jei taškas P yra kūginės pjūvio viduje, tada jo poliarinę galią galima sukonstruoti taip. Nubrėžkime tašką P bet kuri tiesi linija, kertanti kūginę atkarpą dviejuose taškuose; sankirtos taškuose nubrėžkite kūginės pjūvio liestinės; Tarkime, kad šios liestinės susikerta taške P 1. Nubrėžkime tašką P kita tiesi linija, kuri kerta kūginę pjūvį dar dviejuose taškuose; Tarkime, kad kūgio pjūvio liestinės šiuose naujuose taškuose susikerta taške P 2 (10 pav.). Linija, einanti per taškus P 1 ir P 2 , ir yra norimas polius p. Jei taškas P artėjant prie centro O centrinė kūgio pjūvis, tada poliarinė p tolsta nuo O. Kai taškas P sutampa su O, tada jo polius tampa be galo nutolęs arba idealus, tiesiai plokštumoje.

SPECIALIEJI PASTATAI

Ypač astronomus domina tokia paprasta elipsės taškų konstrukcija naudojant kompasą ir liniuotę. Tegul savavališka tiesė, einanti per tašką O(11 pav., A), susikerta taškuose K Ir R du koncentriniai apskritimai, kurių centras yra taškas O ir spinduliai b Ir a, Kur b a. Nubrėžkime tašką K horizontali linija ir kiaurai R– vertikali linija ir žymi jų susikirtimo tašką P P sukant tiesia linija OQR aplink tašką O bus elipsė. Kampas f tarp tiesios linijos OQR o pagrindinė ašis vadinama ekscentriniu kampu, o sukonstruota elipsė patogiai nurodoma parametrinėmis lygtimis x = a cos f, y = b nuodėmė f. Išskyrus parametrą f, gauname lygtį (3a).

Hiperbolės konstrukcija iš esmės panaši. Savavališka tiesi linija, einanti per tašką O, taške kerta vieną iš dviejų apskritimų R(11 pav., b). Iki reikalo R vienas apskritimas ir iki galo S kito apskritimo horizontalus skersmuo, nubrėžkite susikertančias liestes OS taške T Ir ARBA- taške K. Tegul vertikali linija eina per tašką T, ir horizontali linija, einanti per tašką K, susikerta taške P. Tada taškų vieta P sukant segmentą ARBA aplinkui O bus hiperbolė, pateikta parametrinėmis lygtimis x = a sek f, y = b tg f, Kur f– ekscentrinis kampas. Šias lygtis gavo prancūzų matematikas A. Legendre (1752–1833). Išskyrus parametrą f, gauname (4a) lygtį.

Elipsė, kaip pažymėjo N. Kopernikas (1473–1543), gali būti sukonstruota naudojant epiciklinį judesį. Jei apskritimas rieda neslysdamas išilgai kito dvigubai didesnio skersmens apskritimo, tada kiekvienas taškas P, kuris guli ne ant mažesnio apskritimo, bet yra nejudantis jo atžvilgiu, apibūdins elipsę. Jei taškas P yra ant mažesnio apskritimo, tada šio taško trajektorija yra išsigimęs elipsės atvejis – didesnio apskritimo skersmuo. Dar paprastesnę elipsės konstrukciją Proklas pasiūlė V a. Jei galai A Ir B linijos segmentas AB tam tikro ilgio slyskite išilgai dviejų fiksuotų susikertančių tiesių (pavyzdžiui, išilgai koordinačių ašių), tada kiekvienas vidinis taškas P segmentas apibūdins elipsę; olandų matematikas F. van Schooten (1615–1660) parodė, kad bet kuris susikertančių tiesių plokštumos taškas, fiksuotas slenkančios atkarpos atžvilgiu, taip pat apibūdins elipsę.

B. Pascalis (1623–1662), būdamas 16 metų, suformulavo dabar žinomą Paskalio teoremą, kuri teigia: trys šešiakampio priešingų kraštinių susikirtimo taškai, įrašyti į bet kurią kūginę pjūvį, yra toje pačioje tiesėje. Paskalis iš šios teoremos išvedė daugiau nei 400 išvadų.

Su tuo skirtumu, kad vietoj „plokščių“ grafikų apsvarstysime dažniausiai pasitaikančius erdvinius paviršius, taip pat išmoksime juos kompetentingai kurti rankomis. Gana ilgai praleidau rinkdamasis trimačių brėžinių kūrimo programinės įrangos įrankius ir radau porą gerų pritaikymų, tačiau nepaisant viso naudojimo paprastumo, šios programos nelabai išsprendžia svarbią praktinę problemą. Faktas yra tas, kad artimiausioje istorinėje ateityje studentai vis tiek bus ginkluoti liniuote ir pieštuku, o net ir turėdami kokybišką „mašininį“ piešinį daugelis negalės jo teisingai perkelti ant languoto popieriaus. Todėl vadove ypatingas dėmesys skiriamas rankinio konstravimo technikai, o nemaža dalis puslapio iliustracijų yra rankų darbo gaminiai.

Kuo ši etaloninė medžiaga skiriasi nuo analogų?

Turėdamas neblogą praktinę patirtį, puikiai žinau, su kokiais paviršiais dažniausiai tenka susidurti sprendžiant realias aukštosios matematikos problemas, ir tikiuosi, kad šis straipsnis padės greitai papildyti bagažą atitinkamomis žiniomis ir taikomaisiais įgūdžiais, kurie sudaro 90 -95% atvejų turėtų užtekti.

Ką šiuo metu reikia mokėti?

Paprasčiausias:

Visų pirma, jūs turite sugebėti teisingai pastatyti erdvinė Dekarto koordinačių sistema (žr. straipsnio pradžią Funkcijų grafikai ir savybės) .

Ką gausite perskaitę šį straipsnį?

Butelis Įvaldę pamokos medžiagas, išmoksite greitai nustatyti paviršiaus tipą pagal jo funkciją ir/ar lygtį, įsivaizduosite kaip jis išsidėstęs erdvėje ir, žinoma, pasidarysite brėžinius. Gerai, jei po pirmojo skaitymo ne viskas susimąsto į galvą – jei reikia, vėliau visada galite grįžti prie bet kurios pastraipos.

Informacija yra kiekvieno galioje – norint ją įvaldyti, nereikia jokių super žinių, ypatingo meninio talento ar erdvinio matymo.

Pradėkime!

Praktikoje dažniausiai pateikiamas erdvinis paviršius dviejų kintamųjų funkcija arba formos lygtis (konstanta dešinėje dažniausiai lygi nuliui arba vienetui). Pirmasis žymėjimas labiau būdingas matematinei analizei, antrasis - skirtas analitinė geometrija. Lygtis iš esmės yra netiesiogiai duota 2 kintamųjų funkcija, kurią paprastais atvejais galima lengvai redukuoti į formą . Leiskite jums priminti paprasčiausią pavyzdį c:

–plokštumos lygtis malonus .

– plokštumos funkcija aiškiai .

Pradėkime nuo to:

Bendrosios plokštumų lygtys

Tipiški plokštumų išdėstymo stačiakampėje koordinačių sistemoje variantai yra išsamiai aptariami pačioje straipsnio pradžioje. Plokštumos lygtis. Tačiau dar kartą apsistokime ties lygtimis, kurios turi didelę reikšmę praktikai.

Visų pirma, jūs turite visiškai automatiškai atpažinti plokštumų, lygiagrečių koordinačių plokštumoms, lygtis. Plokštumų fragmentai standartiškai vaizduojami kaip stačiakampiai, kurie paskutiniais dviem atvejais atrodo kaip lygiagrečiai. Pagal numatytuosius nustatymus galite pasirinkti bet kokius matmenis (žinoma, neperžengiant pagrįstų ribų), tačiau pageidautina, kad taškas, kuriame koordinačių ašis „perkerta“ plokštumą, būtų simetrijos centras:


Griežtai tariant, koordinačių ašys kai kuriose vietose turėtų būti pavaizduotos punktyrinėmis linijomis, tačiau, kad nesusipainiotume, šio niuanso nepaisysime.

– (piešinys kairėje) nelygybė nurodo toliausiai nuo mūsų esančią puserdvę, neįskaitant pačios plokštumos;

– (vidurinis piešinys) nelygybė nurodo dešiniąją pustarpę, įskaitant plokštumą;

– (dešinysis piešinys) dviguba nelygybė apibrėžia „sluoksnį“, esantį tarp plokštumų, įskaitant abi plokštumas.

Savaiminiam apšilimui:

1 pavyzdys

Nubrėžkite kūną, kurį riboja plokštumos
Sukurkite nelygybių sistemą, kuri apibrėžia tam tikrą kūną.

Iš po jūsų pieštuko švino turėtų atsirasti senas pažįstamas. stačiakampis. Nepamirškite, kad nematomi kraštai ir veidai turi būti nubrėžti punktyrine linija. Pamokos pabaigoje baigė piešti.

prašau, NEAPLEISKITE mokymosi užduotis, net jei jos atrodo pernelyg paprastos. Priešingu atveju gali atsitikti taip, kad praleidote vieną kartą, praleidote du kartus, o tada praleidote solidžią valandą bandydami išsiaiškinti trimatį piešinį kokiame nors realiame pavyzdyje. Be to, mechaninis darbas padės daug efektyviau išmokti medžiagą ir lavinti intelektą! Neatsitiktinai darželyje ir pradinėse klasėse vaikai apkraunami piešimo, lipdymo, konstravimo žaislų ir kitų smulkiosios pirštų motorikos užduočių. Atsiprašau už nukrypimą, bet mano dvi raidos psichologijos sąsiuviniai neturėtų dingti =)

Kitą plokštumų grupę sąlyginai vadinsime „tiesioginiu proporcingumu“ - tai plokštumos, einančios per koordinačių ašis:

2) formos lygtis nurodo plokštumą, einančią per ašį ;

3) formos lygtis nurodo plokštumą, einančią per ašį.

Nors formalus ženklas akivaizdus (kurio kintamojo lygtyje trūksta – plokštuma eina per tą ašį), visada naudinga suprasti vykstančių įvykių esmę:

2 pavyzdys

Sukonstruoti plokštumą

Koks yra geriausias būdas statyti? Siūlau tokį algoritmą:

Pirmiausia perrašykime lygtį į formą , iš kurios aiškiai matyti, kad „y“ gali būti bet koks reikšmės. Pataisykime reikšmę, tai yra, atsižvelgsime į koordinačių plokštumą. Lygčių rinkinys erdvinė linija, esantis tam tikroje koordinačių plokštumoje. Pavaizduokime šią liniją brėžinyje. Tiesi linija eina per koordinačių pradžią, todėl jai sukonstruoti pakanka rasti vieną tašką. Tegul . Atidėkite tašką ir nubrėžkite tiesią liniją.

Dabar grįžtame prie plokštumos lygties. Kadangi „Y“ priima bet koks reikšmės, tada plokštumoje sukonstruota tiesė nuolat „atkartojama“ į kairę ir į dešinę. Būtent taip susidaro mūsų plokštuma, einanti per ašį. Norėdami užbaigti brėžinį, tiesios linijos kairėje ir dešinėje nutiesiame dvi lygiagrečias linijas ir „uždarome“ simbolinį lygiagretainį skersiniais horizontaliais segmentais:

Kadangi sąlyga nenustatė papildomų apribojimų, lėktuvo fragmentas galėjo būti pavaizduotas kiek mažesniais arba kiek didesniais dydžiais.

Dar kartą pakartokime erdvinės tiesinės nelygybės reikšmę, naudodami pavyzdį. Kaip nustatyti jo apibrėžiamą pusę erdvės? Paimkime tam tikrą tašką nepriklausantis plokštumą, pavyzdžiui, tašką iš arčiausiai mūsų esančios puserdvės ir jo koordinates pakeiskite nelygybe:

Gauta tikroji nelygybė, o tai reiškia, kad nelygybė nurodo apatinę (plokštumos atžvilgiu) puserdvę, o pati plokštuma į sprendinį neįtraukta.

3 pavyzdys

Konstruoti lėktuvus
A) ;
b) .

Tai yra savarankiškos konstravimo užduotys, jei kyla sunkumų, naudokite panašius argumentus. Trumpos instrukcijos ir brėžiniai pamokos pabaigoje.

Praktikoje ypač paplitusios plokštumos, lygiagrečios ašiai. Ypatingas atvejis, kai plokštuma eina per ašį, buvo ką tik aptartas pastraipoje „būti“, o dabar analizuosime bendresnę problemą:

4 pavyzdys

Sukonstruoti plokštumą

Sprendimas: kintamasis „z“ nėra aiškiai įtrauktas į lygtį, o tai reiškia, kad plokštuma yra lygiagreti taikomajai ašiai. Naudokime tą pačią techniką, kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose.

Perrašykime plokštumos lygtį į formą iš kurių aišku, kad „zet“ gali imti bet koks reikšmės. Pataisykime jį ir nubrėžkime taisyklingą "plokščia" tiesią liniją "gimtojoje" plokštumoje. Norint jį sukonstruoti, patogu paimti atskaitos taškus.

Kadangi "Z" priima Visi vertės, tada nutiesta tiesė nuolat „dauginasi“ aukštyn ir žemyn, taip suformuodama norimą plokštumą . Atidžiai sudarome tinkamo dydžio lygiagretainį:

Paruošta.

Plokštumos atkarpomis lygtis

Svarbiausia taikomoji veislė. Jeigu Visišansų bendroji plokštumos lygtis ne nulis, tada jis gali būti pavaizduotas formoje kuris vadinamas plokštumos atkarpomis lygtis. Akivaizdu, kad plokštuma taškuose kerta koordinačių ašis, o didelis tokios lygties privalumas yra brėžinio sudarymo paprastumas:

5 pavyzdys

Sukonstruoti plokštumą

Sprendimas: Pirmiausia sukurkime plokštumos lygtį segmentais. Išmeskime laisvąjį terminą į dešinę ir padalykime abi puses iš 12:

Ne, čia nėra rašybos klaidų ir viskas vyksta erdvėje! Mes tiriame siūlomą paviršių naudodami tą patį metodą, kuris neseniai buvo naudojamas plokštumose. Perrašykime lygtį į formą , iš ko išplaukia, kad „zet“ ima bet koks reikšmės. Fiksuokime ir sukonstruokime elipsę plokštumoje. Kadangi „zet“ priima Visi reikšmės, tada sukonstruota elipsė nuolat „atkartojama“ aukštyn ir žemyn. Nesunku suprasti, kad paviršius begalinis:

Šis paviršius vadinamas elipsinis cilindras. Vadinama elipsė (bet kuriame aukštyje). vadovas cilindras, o lygiagrečios tiesės, einančios per kiekvieną elipsės tašką, vadinamos formuojantis cilindras (kuris tiesiogine prasme jį sudaro). Ašis yra simetrijos ašis paviršius (bet ne jo dalis!).

Bet kurio taško, priklausančio tam tikram paviršiui, koordinatės būtinai tenkina lygtį .

Erdvinė nelygybė apibrėžia begalinio „vamzdžio“ „vidų“, įskaitant patį cilindrinį paviršių, ir atitinkamai priešinga nelygybė apibrėžia taškų rinkinį už cilindro ribų.

Praktinėse problemose populiariausias ypatingas atvejis, kai vadovas cilindras yra ratas:

8 pavyzdys

Sukurkite lygties pateiktą paviršių

Neįmanoma pavaizduoti nesibaigiančio „vamzdžio“, todėl menas dažniausiai apsiriboja „apkarpymu“.

Pirmiausia plokštumoje patogu sukonstruoti spindulio apskritimą, o paskui dar porą apskritimų aukščiau ir žemiau. Gauti apskritimai ( vedliai cilindras) atsargiai sujunkite keturiomis lygiagrečiomis tiesiomis linijomis ( formuojantis cilindras):

Nepamirškite mums nematomoms linijoms naudoti punktyrines linijas.

Bet kurio taško, priklausančio tam tikram cilindrui, koordinatės tenkina lygtį . Bet kurio taško, esančio griežtai „vamzdžio“ viduje, koordinatės tenkina nelygybę , ir nelygybė apibrėžia išorinės dalies taškų rinkinį. Norint geriau suprasti, rekomenduoju apsvarstyti keletą konkrečių erdvės taškų ir tuo įsitikinti.

9 pavyzdys

Sukurkite paviršių ir raskite jo projekciją į plokštumą

Perrašykime lygtį į formą iš to seka, kad „x“ ima bet koks reikšmės. Pataisykime ir pavaizduokime plokštumoje ratas– su centru ištakoje, vieneto spindulys. Kadangi „x“ nuolat priima Visi reikšmes, tada sukonstruotas apskritimas sukuria apskritą cilindrą su simetrijos ašimi. Nupieškite kitą apskritimą ( vadovas cilindras) ir atsargiai sujunkite juos tiesiomis linijomis ( formuojantis cilindras). Kai kuriose vietose buvo sutapimų, bet ką daryti, ten toks nuolydis:

Šį kartą apsiribojau cilindro gabalėliu tarpelyje, ir tai neatsitiktinai. Praktikoje dažnai tenka pavaizduoti tik nedidelį paviršiaus fragmentą.

Čia, beje, yra 6 generatricos - dvi papildomos tiesios linijos „dengia“ paviršių iš viršutinio kairiojo ir apatinio dešiniojo kampų.

Dabar pažiūrėkime į cilindro projekciją į plokštumą. Daugelis skaitytojų supranta, kas yra projekcija, tačiau vis dėlto atlikime dar penkių minučių fizinį pratimą. Atsistokite ir nulenkite galvą virš piešinio, kad ašies taškas būtų statmenas jūsų kaktai. Tai, koks cilindras atrodo šiuo kampu, yra jo projekcija į plokštumą. Bet atrodo, kad tai begalinė juosta, uždaryta tarp tiesių linijų, įskaitant pačias tiesias linijas. Ši projekcija yra tiksliai apibrėžimo sritis funkcijos (viršutinis cilindro „latakas“), (apatinis „latakas“).

Beje, išsiaiškinkime situaciją su projekcijomis į kitas koordinačių plokštumas. Tegul saulės spinduliai apšviečia cilindrą nuo galo ir išilgai ašies. Cilindro šešėlis (projekcija) į plokštumą yra panaši begalinė juostelė - plokštumos dalis, apribota tiesiomis linijomis (- bet kokiomis), įskaitant pačias tiesias linijas.

Tačiau projekcija į plokštumą yra šiek tiek kitokia. Jei pažvelgsite į cilindrą nuo ašies galo, tada jis bus suprojektuotas į vieneto spindulio apskritimą , su kuria pradėjome statybas.

10 pavyzdys

Sukurkite paviršių ir suraskite jo projekcijas į koordinačių plokštumas

Tai užduotis, kurią turite išspręsti patys. Jei sąlyga nėra labai aiški, išlyginkite abi puses ir analizuokite rezultatą; išsiaiškinkite, kurią cilindro dalį nurodo funkcija. Naudokite aukščiau ne kartą naudotą statybos techniką. Trumpas sprendimas, piešinys ir komentarai pamokos pabaigoje.

Elipsiniai ir kiti cilindriniai paviršiai gali būti perstumti koordinačių ašių atžvilgiu, pavyzdžiui:

(remiantis žinomais straipsnio motyvais apie 2 eilės eilės) – vienetinio spindulio cilindras, kurio simetrijos linija eina per tašką, lygiagrečią ašiai. Tačiau praktikoje su tokiais cilindrais susiduriama gana retai, ir visiškai neįtikėtina susidurti su cilindriniu paviršiumi, kuris yra „įstrižas“ koordinačių ašių atžvilgiu.

Paraboliniai cilindrai

Kaip rodo pavadinimas, vadovas toks cilindras yra parabolė.

11 pavyzdys

Sukurkite paviršių ir suraskite jo projekcijas į koordinačių plokštumas.

Negalėjau atsispirti šiam pavyzdžiui =)

Sprendimas: Eikime pramintu taku. Perrašykime lygtį į formą, iš kurios išplaukia, kad „zet“ gali įgauti bet kokią reikšmę. Fiksuokime ir sukonstruokime paprastą parabolę plokštumoje, prieš tai pažymėję trivialius atskaitos taškus. Kadangi "Z" priima Visi vertes, tada sukonstruota parabolė nuolat „atkartojama“ aukštyn ir žemyn iki begalybės. Tą pačią parabolę klojame, tarkime, aukštyje (plokštumoje) ir atsargiai sujungiame lygiagrečiomis tiesiomis linijomis ( formuojantis cilindrą):

primenu tau naudinga technika: jei iš pradžių nesate tikri dėl piešinio kokybės, tuomet geriau iš pradžių linijas pieštuku nubrėžti labai plonai. Tada įvertiname eskizo kokybę, išsiaiškiname vietas, kuriose paviršius slepiasi nuo mūsų akių, ir tik tada spaudžiame rašiklį.

Projekcijos.

1) Cilindro projekcija į plokštumą yra parabolė. Reikėtų pažymėti, kad šiuo atveju neįmanoma kalbėti apie dviejų kintamųjų funkcijos apibrėžimo sritis– dėl to, kad cilindro lygtis negali būti redukuojama į funkcinę formą.

2) Cilindro projekcija į plokštumą yra pusiau plokštuma, įskaitant ašį

3) Ir galiausiai, cilindro projekcija į plokštumą yra visa plokštuma.

12 pavyzdys

Sukurkite parabolinius cilindrus:

a) apsiribokite paviršiaus fragmentu artimoje erdvės pusėje;

b) intervale

Iškilus sunkumams neskubame ir samprotaujame pagal analogiją su ankstesniais pavyzdžiais, laimei, technologija buvo kruopščiai išvystyta. Tai nėra labai svarbu, jei paviršiai pasirodys šiek tiek gremėzdiški – svarbu teisingai atvaizduoti pagrindinį vaizdą. Aš pati tikrai nesijaudinu dėl linijų grožio, jei gaunu priimtiną piešinį su C balu, dažniausiai jo neperdarau. Beje, pavyzdiniame sprendime naudojama kita technika piešinio kokybei pagerinti ;-)

Hiperboliniai cilindrai

Vadovai tokie cilindrai yra hiperbolės. Šio tipo paviršiai, mano pastebėjimais, yra daug rečiau nei ankstesni, todėl apsiribosiu vienu scheminiu hiperbolinio cilindro piešiniu:

Samprotavimo principas čia lygiai toks pat – įprastas mokyklos hiperbolė nuo plokštumos nuolat „dauginasi“ aukštyn ir žemyn iki begalybės.

Nagrinėjami cilindrai priklauso vadinamiesiems 2 eilės paviršiai, o dabar ir toliau susipažinsime su kitais šios grupės atstovais:

Elipsoidas. Rutulys ir rutulys

Kanoninė elipsoido lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje turi formą , kur yra teigiami skaičiai ( ašių velenai elipsoidas), kuris bendruoju atveju skirtinga. Elipsoidas vadinamas paviršius, taip kūno, ribojamas tam tikro paviršiaus. Kūnas, kaip daugelis spėjo, nulemtas nelygybės o bet kurio vidinio taško (kaip ir bet kurio paviršiaus taško) koordinatės būtinai tenkina šią nelygybę. Konstrukcija yra simetriška koordinačių ašių ir koordinačių plokštumų atžvilgiu:

Sąvokos „elipsoidas“ kilmė taip pat akivaizdi: jei paviršius „pjaunamas“ koordinačių plokštumose, tada pjūviai sudarys tris skirtingus (bendruoju atveju)

Antros eilės paviršiai- tai paviršiai, kurie stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatomi antrojo laipsnio algebrinėmis lygtimis.

1. Elipsoidas.

Lygtis (1) vadinama elipsoido kanoninė lygtis.

Nustatykime geometrinę elipsoido formą. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite šio elipsoido atkarpas plokštumose, lygiagrečiomis plokštumai Oxy. Kiekviena iš šių plokštumų nustatoma pagal formos lygtį z=h, Kur h– bet koks skaičius, o atkarpoje gauta tiesė nustatoma dviem lygtimis

Išnagrinėkime įvairių reikšmių lygtis (2). h .

iš kur išplaukia, kad lėktuvas z=h kerta elipsoidą išilgai elipsės su pusiau ašimis

Panašus vaizdas gaunamas, kai tam tikrą paviršių kerta plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumoms Oxz Ir Oyz.

Taigi nagrinėjami pjūviai leidžia pavaizduoti elipsoidą kaip uždarą ovalų paviršių (156 pav.). Kiekiai a, b, c yra vadinami ašių velenai elipsoidinis. Tuo atveju a=b=c elipsoidas yra sferasth.

2. Vienos juostos hiperboloidas.

(3) lygtis vadinama kanonine vienos juostos hiperboloido lygtimi.

Nustatykime paviršiaus tipą (3). Norėdami tai padaryti, apsvarstykite jo koordinačių plokštumų atkarpą Oxy (y=0)IrOyx (x=0). Atitinkamai gauname lygtis

Dabar apsvarstykite šio hiperboloido atkarpas plokštumose z=h, lygiagrečiomis koordinačių plokštumai Oxy. Gauta eilutė atkarpoje nustatoma pagal lygtis

iš to seka, kad plokštuma z=h kerta hiperboloidą išilgai elipsės su pusiau ašimis

pasiekusios mažiausias vertes esant h=0, t.y. šio hiperboloido atkarpoje koordinačių ašis Oxy sukuria mažiausią elipsę, kurios pusiau ašys a*=a ir b*=b. Su begaliniu padidėjimu

Taigi nagrinėjamos atkarpos leidžia pavaizduoti vienos juostos hiperboloidą begalinio vamzdžio pavidalu, be galo besiplečiantį tolstant (iš abiejų pusių) nuo Oxy plokštumos.

Dydžiai a, b, c vadinami vienos juostos hiperboloido pusašimis.

3. Dviejų lapų hiperboloidas.

Dviejų lakštų hiperboloidas yra paviršius, kurį tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje apibrėžia lygtis

(5) lygtis vadinama kanonine dviejų lakštų hiperboloido lygtimi.

Nustatykime geometrinę paviršiaus išvaizdą (5). Norėdami tai padaryti, apsvarstykite jo atkarpas koordinačių plokštumose Oxy ir Oyz. Atitinkamai gauname lygtis

iš to seka, kad atkarpos duoda hiperboles.

Dabar apsvarstykite šio hiperboloido atkarpas plokštumose z=h, lygiagrečias koordinačių plokštumai Oxy. Atkarpoje gauta tiesė nustatoma pagal lygtis

iš ko išplaukia, kad kada

Dydžiai a, b ir c vadinami dviejų lakštų hiperboloido pusašimis.

4. Elipsinis paraboloidas.

Elipsinis paraboloidas yra paviršius, kurį tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje apibrėžia lygtis

kur p>0 ir q>0.

(7) lygtis vadinama elipsinio paraboloido kanonine lygtimi.

Panagrinėkime šio paviršiaus atkarpas koordinačių plokštumose Oxy ir Oyz. Atitinkamai gauname lygtis

iš to seka, kad atkarpos duoda paraboles, kurios yra simetriškos Ozo ašiai, kurių viršūnės yra ištakoje.

(8)<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

iš kurio išplaukia, kad prie . Didėjant h, a ir b reikšmės taip pat didėja; ties h=0 elipsė išsigimsta į tašką (plokštuma z=0 liečia duotą hiperboloidą). val

Taigi nagrinėjami skyriai leidžia pavaizduoti elipsinį paraboloidą be galo išgaubto dubens pavidalu.

Taškas (0;0;0) vadinamas paraboloido viršūne; skaičiai p ir q yra jo parametrai.

5. Esant p=q, (8) lygtis apibrėžia apskritimą, kurio centras yra Ozo ašyje, t.y. elipsiniu paraboloidu galima laikyti paviršių, susidarantį parabolei sukantis aplink savo ašį (revoliucijos paraboloidas).

Hiperbolinis paraboloidas yra paviršius, kurį tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje apibrėžia lygtis

Su antros eilės paviršiais studentai dažniausiai susiduria pirmaisiais metais. Iš pradžių problemos šia tema gali atrodyti paprastos, tačiau studijuojant aukštąją matematiką ir gilinantis į mokslinę pusę, galiausiai gali nebeatspėti, kas vyksta. Kad taip nenutiktų, reikia ne tik įsiminti, bet suprasti, kaip gaunamas tas ar kitas paviršius, kaip koeficientų pokyčiai veikia jį ir jo vietą, palyginti su pradine koordinačių sistema, ir kaip rasti naują sistemą (vieną kurioje jo centras sutampa su pradžios koordinatėmis, bet lygiagretus vienai iš koordinačių ašių). Pradėkime nuo pat pradžių.

Apibrėžimas

2 eilės paviršius vadinamas GMT, kurio koordinatės atitinka bendrąją šios formos lygtį:

Akivaizdu, kad kiekvienas paviršiui priklausantis taškas tam tikru pagrindu turi turėti tris koordinates. Nors kai kuriais atvejais taškų lokusas gali išsigimti, pavyzdžiui, į plokštumą. Tai tik reiškia, kad viena iš koordinačių yra pastovi ir lygi nuliui visame leistinų verčių diapazone.

Visa rašytinė aukščiau pateiktos lygybės forma atrodo taip:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm yra tam tikros konstantos, x, y, z yra kintamieji, atitinkantys afinines taško koordinates. Šiuo atveju bent vienas iš pastovių veiksnių neturi būti lygus nuliui, tai yra, joks taškas neatitiks lygties.

Daugumoje pavyzdžių daugelis skaitinių veiksnių vis dar yra identiški nuliui, o lygtis yra žymiai supaprastinta. Praktikoje nustatyti, ar taškas priklauso paviršiui, nėra sunku (pakanka pakeisti jo koordinates į lygtį ir patikrinti, ar laikomasi tapatumo). Esminis tokio darbo dalykas – pastarąjį perkelti į kanoninę formą.

Aukščiau parašyta lygtis apibrėžia bet kokius (visus išvardytus žemiau) antros eilės paviršius. Pažvelkime į toliau pateiktus pavyzdžius.

2 eilės paviršių tipai

2 eilės paviršių lygtys skiriasi tik koeficientų A nm reikšmėmis. Iš bendrosios formos, esant tam tikroms konstantų vertėms, galima gauti įvairius paviršius, klasifikuojamus taip:

1. Cilindrai.
2. Elipsinis tipas.
3. Hiperbolinis tipas.
4. Kūginis tipas.
5. Parabolinis tipas.
6. Lėktuvai.

Kiekvienas iš išvardytų tipų turi natūralią ir įsivaizduojamą formą: įsivaizduojamoje formoje realių taškų lokusas arba išsigimsta į paprastesnę figūrą, arba jo visai nėra.

Cilindrai

Tai yra paprasčiausias tipas, nes gana sudėtinga kreivė yra tik prie pagrindo ir veikia kaip orientyras. Generatoriai yra tiesios linijos, statmenos plokštumai, kurioje yra pagrindas.

Grafike pavaizduotas apskritas cilindras, ypatingas elipsinio cilindro atvejis. XY plokštumoje jos projekcija bus elipsė (mūsų atveju apskritimas) - kreiptuvas, o XZ - stačiakampis - kadangi generatoriai yra lygiagrečiai Z ašiai Norėdami tai gauti iš bendrosios lygties būtina pateikti šias koeficientų vertes:

Vietoj įprastų žymėjimų X, Y, Z, Xs su serijos numeriu - tai nesvarbu.

Tiesą sakant, 1/a 2 ir kitos čia nurodytos konstantos yra tie patys koeficientai, nurodyti bendrojoje lygtyje, tačiau įprasta juos rašyti tiksliai tokia forma - tai yra kanoninis vaizdas. Toliau šis įrašas bus naudojamas išskirtinai.

Tai apibrėžia hiperbolinį cilindrą. Schema ta pati – nuoroda bus hiperbolė.

Parabolinis cilindras apibrėžiamas šiek tiek kitaip: jo kanoninė forma apima koeficientą p, vadinamą parametru. Faktiškai koeficientas lygus q=2p, bet įprasta jį padalyti į du pateiktus veiksnius.

Yra dar vienas cilindrų tipas: įsivaizduojamas. Tokiam cilindrui nepriklauso joks tikras taškas. Jis apibūdinamas elipsinio cilindro lygtimi, tačiau vietoj vieno yra -1.

Elipsinis tipas

Elipsoidas gali būti ištemptas išilgai vienos iš ašių (išilgai jos priklauso nuo aukščiau nurodytų konstantų a, b, c verčių; akivaizdu, kad didesnė ašis atitiks didesnį koeficientą).

Taip pat yra įsivaizduojamas elipsoidas - su sąlyga, kad koordinačių suma, padauginta iš koeficientų, yra lygi -1:

Hiperboloidai

Kai vienoje iš konstantų atsiranda minusas, elipsoido lygtis virsta vieno lapo hiperboloido lygtimi. Turite suprasti, kad šis minusas neturi būti prieš x3 koordinatę! Tai tik nustato, kuri iš ašių bus hiperboloido sukimosi ašis (arba lygiagreti jai, nes kai kvadrate atsiranda papildomų terminų (pavyzdžiui, (x-2) 2), figūros centras pasislenka, kaip dėl to paviršius juda lygiagrečiai koordinačių ašims). Tai taikoma visiems 2 eilės paviršiams.

Be to, reikia suprasti, kad lygtys pateikiamos kanonine forma ir jas galima keisti keičiant konstantas (išlaikant ženklą!); tuo pačiu metu jų išvaizda (hiperboloidas, kūgis ir pan.) išliks tokia pati.

Tokią lygtį pateikia dviejų lakštų hiperboloidas.

Kūginis paviršius

Kūgio lygtyje nėra vienybės – ji lygi nuliui.

Tik ribotas kūgio formos paviršius vadinamas kūgiu. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kad iš tikrųjų diagramoje bus du vadinamieji kūgiai.

Svarbi pastaba: visose svarstomose kanoninėse lygtyse konstantos pagal numatytuosius nustatymus laikomos teigiamomis. Priešingu atveju ženklas gali turėti įtakos galutiniam grafikui.

Koordinačių plokštumos tampa kūgio simetrijos plokštumos, simetrijos centras yra pradžioje.

Įsivaizduojamo kūgio lygtyje yra tik pliusai; jai priklauso vienas tikras taškas.

Paraboloidai

2 eilės paviršiai erdvėje gali būti skirtingų formų net esant panašioms lygtims. Pavyzdžiui, paraboloidai būna dviejų tipų.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Elipsinis paraboloidas, kai Z ašis yra statmena brėžiniui, bus suprojektuotas į elipsę.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 = 2z

Hiperbolinis paraboloidas: ruožuose, kurių plokštumos lygiagrečios su ZY, bus gautos parabolės, o atkarpose, kurių plokštumos lygiagrečios su XY – hiperbolės.

Susikertančios plokštumos

Pasitaiko atvejų, kai 2 eilės paviršiai išsigimsta plokštumoje. Šios plokštumos gali būti išdėstytos įvairiais būdais.

Pirmiausia pažvelkime į susikertančias plokštumas:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

Su šiuo kanoninės lygties modifikavimu tiesiog gauname dvi susikertančias plokštumas (įsivaizduojamas!); visi tikrieji taškai yra koordinatės, kurios nėra lygtyje, ašyje (kanoninėje - Z ašyje).

Lygiagrečios plokštumos

Jei yra tik viena koordinatė, 2 eilės paviršiai išsigimsta į lygiagrečių plokštumų porą. Nepamirškite, bet kuris kitas kintamasis gali užimti grotuvo vietą; tada bus gautos kitoms ašims lygiagrečios plokštumos.

Šiuo atveju jie tampa įsivaizduojami.

Sutapimo plokštumos

Su tokia paprasta lygtimi plokštumų pora išsigimsta į vieną – jos sutampa.

Nepamirškite, kad trimačio pagrindo atveju aukščiau pateikta lygtis nenurodo tiesės y=0! Trūksta kitų dviejų kintamųjų, bet tai tik reiškia, kad jų reikšmė yra pastovi ir lygi nuliui.

Statyba

Viena iš sunkiausių užduočių studentui – 2 eilės paviršių konstravimas. Dar sunkiau pereiti iš vienos koordinačių sistemos į kitą, atsižvelgiant į kreivės pasvirimo kampus ašių atžvilgiu ir centro poslinkį. Pakartokime, kaip nuosekliai analitiniu būdu nustatyti būsimą piešinio išvaizdą.

Norėdami sukurti 2 eilės paviršių, turite:

• perkelkite lygtį į kanoninę formą;
• nustatyti tiriamo paviršiaus tipą;
• sudaryti remiantis koeficientų reikšmėmis.

Žemiau pateikiami visi nagrinėjami tipai:

Norėdami tai sustiprinti, išsamiai apibūdinsime vieną tokio tipo užduočių pavyzdį.

Pavyzdžiai

Tarkime, kad turime lygtį:

3 (x 2 -2x + 1) + 6y 2 + 2z 2 +60y + 144 = 0

Perkelkime jį į kanoninę formą. Parinkime pilnus kvadratus, tai yra sutvarkysime esamus terminus taip, kad jie būtų sumos arba skirtumo kvadrato išskaidymas. Pavyzdžiui: jei (a+1) 2 =a 2 +2a+1, tai a 2 +2a+1=(a+1) 2. Atliksime antrą operaciją. Tokiu atveju skliaustų atidaryti nebūtina, nes tai tik apsunkins skaičiavimus, tačiau būtina pašalinti bendrą koeficientą 6 (skliausteliuose su visu žaidimo kvadratu):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Kintamasis zet šiuo atveju pasirodo tik vieną kartą – kol kas galite jį palikti ramybėje.

Išanalizuokime lygtį šiame etape: prieš visus nežinomuosius yra pliuso ženklas; Padalijus iš šešių palieka vieną. Vadinasi, prieš mus yra lygtis, apibrėžianti elipsoidą.

Atkreipkite dėmesį, kad 144 buvo įtrauktas į 150-6, o tada -6 buvo perkeltas į dešinę. Kodėl reikėjo taip elgtis? Akivaizdu, kad didžiausias daliklis šiame pavyzdyje yra -6, todėl norint, kad vienetas išliktų dešinėje, padalijus iš jo, reikia „atidėti“ tiksliai 6 iš 144 (faktas, kad vienetas turėtų būti įjungtas teisę rodo laisvo termino buvimas – konstanta, nepadauginta iš nežinomybės).

Padalinkime viską iš šešių ir gaukime kanoninę elipsoido lygtį:

(x-1) 2/2+(y+5) 2/1+z 2/3=1

Anksčiau naudotoje 2 eilės paviršių klasifikacijoje laikomas ypatingas atvejis, kai figūros centras yra koordinačių pradžioje. Šiame pavyzdyje jis kompensuojamas.

Darome prielaidą, kad kiekvienas skliaustas su nežinomaisiais yra naujas kintamasis. Tai yra: a=x-1, b=y+5, c=z. Naujose koordinatėse elipsoido centras sutampa su tašku (0,0,0), todėl a=b=c=0, iš kur: x=1, y=-5, z=0. Pradinėse koordinatėse figūros centras yra taške (1,-5,0).

Elipsoidas bus gautas iš dviejų elipsių: pirmosios XY plokštumoje ir antrosios XZ plokštumoje (arba YZ - nesvarbu). Koeficientai, pagal kuriuos skirstomi kintamieji, yra padalyti kvadratu kanoninėje lygtyje. Todėl aukščiau pateiktame pavyzdyje teisingiau būtų dalyti iš dviejų, vieno ir trijų šaknies.

Pirmosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, lygi dviem. Pagrindinė ašis lygiagreti X ašiai – dvi šaknys iš dviejų. Antrosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, išlieka ta pati – ji lygi dviem. Ir pagrindinė ašis, lygiagreti Z ašiai, yra lygi dviem šaknims iš trijų.

Naudodami duomenis, gautus iš pradinės lygties, konvertuodami ją į kanoninę formą, galime nubrėžti elipsoidą.

Apibendrinant

Šiame straipsnyje nagrinėjama tema yra gana plati, tačiau iš tikrųjų, kaip dabar matote, ji nėra labai sudėtinga. Tiesą sakant, jo kūrimas baigiasi tuo metu, kai įsimenate paviršių pavadinimus ir lygtis (ir, žinoma, kaip jie atrodo). Aukščiau pateiktame pavyzdyje mes išsamiai išnagrinėjome kiekvieną žingsnį, tačiau lygties perkėlimas į kanoninę formą reikalauja minimalių aukštosios matematikos žinių ir neturėtų sukelti mokiniui jokių sunkumų.

Ateities tvarkaraščio analizė remiantis esama lygybe yra sunkesnė užduotis. Tačiau norint ją sėkmingai išspręsti, pakanka suprasti, kaip konstruojamos atitinkamos antros eilės kreivės – elipsės, parabolės ir kt.

Degeneracijos atvejai yra dar paprastesnis skyrius. Dėl kai kurių kintamųjų nebuvimo supaprastinami ne tik skaičiavimai, kaip minėta anksčiau, bet ir pati konstrukcija.

Kai tik galėsite drąsiai įvardyti visų tipų paviršius, varijuoti konstantas, paverčiant grafiką viena ar kita forma, tema bus įvaldyta.

Sėkmės studijose!