Pasirinkite teisingą aukso pjūvio termino supratimą. Auksinis santykis, kas tai?

„Auksinis pjūvis yra proporcingas atkarpos padalijimas į dvi nelygias dalis, kuriose mažesnis segmentas yra susijęs su didesne, o didesnis – su visuma“, – nurodoma Mokslo ir technikos enciklopediniame žodyne. Tai išreiškiama formule AC/BC = BC/AB, kur AC yra mažesnis segmentas, o BC yra didesnis segmentas.

Manoma, kad ši proporcija yra pasaulio tvarkos harmonijos ir tvarkos apraiška, idealus Visatos modelis. Vienuolis Luca Pacioli knygoje „Dieviškoji proporcija“ rašė, kad aukso pjūvis atskleidžia dieviškąją trejybę: mažas segmentas įkūnija Sūnų, didelis segmentas – Tėvą, o visas segmentas – Šventąją Dvasią.

Kuo dar pasireiškia aukso pjūvis?

Egzistuoja koncepcija, pagal kurią aukso pjūvis yra universali taisyklė, įkūnyta visame, kas supa žmogų. Vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas, Profesorius Adolfas Zeisingas tikėjo, kad augalų dalims ir žmogaus kūno proporcijoms galioja aukso pjūvio taisyklė. Išmatavę apie du tūkstančius žmonių, jis padarė išvadą, kad žmogaus kūno dalys yra susijusios viena su kita maždaug tokiu pačiu santykiu. Jis patikrino savo stebėjimus ant senovinių statulų, kur šis modelis buvo patvirtintas, o tai reiškė, kad senovės žmonės žinojo aukso pjūvio dėsnį.

Gamtos tyrinėtojai randa „idealią proporciją“ įvairių gyvų sistemų struktūroje. Garsiausias pavyzdys yra spiralinė struktūra, kuri paklūsta matematiniam aukso pjūvio dėsniui ir yra įkūnyta, pavyzdžiui, kalnų ožkų ragų ar moliuskų kriauklių pavidalu.

Auksinis santykis moliusko kiaute. Nuotrauka: Shutterstock.com

Aukso pjūvio principus galima rasti senovės žmonių, tokių kaip egiptiečiai ar babiloniečiai, architektūroje. Išmatavus Cheopso piramidės, šventyklų ir bareljefų proporcijas iš kapo Tutanchamonas tapo žinoma, kad senovės architektai savo skaičiavimus grindė šiuo modeliu.

Renesanso laikais menininkai ir skulptoriai ėmė sąmoningai taikyti aukso pjūvio principą, taip atiduodami duoklę senosioms tradicijoms. Vienas iš šios taisyklės pasekėjų laikomas Leonardo da Vinci, kuriai, beje, dažnai priskiriamas pats terminas „auksinis pjūvis“. Meno istorikai randa aukso pjūvio apraiškų daugelyje jo paveikslų, ypač Paskutinės vakarienės kompozicijoje ir Vitruvijaus žmogaus kūno dalių proporcijoje.

Matematikoje, be pagrindinio dėsnio dėl segmentų santykio, yra auksinio pjūvio pavyzdys Fibonačio serija. Tai yra skaičių seka, kurioje kiekvienas paskesnis skaičius yra lygus dviejų ankstesnių skaičių sumai: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir tt Šiuo atveju gretimų skaičių santykis serijoje artėja prie auksinio pjūvio santykio. Manoma, kad ši seka atsirado kaip atsakymas į mįslę: „Kiek porų triušių gims iš vienos poros per vienerius metus?

Žmogus aplinkinius objektus skiria pagal jų formą. Susidomėjimą daikto forma gali padiktuoti gyvybinė būtinybė, arba jį gali lemti formos grožis. Forma, kurios konstrukcija paremta simetrijos ir aukso pjūvio deriniu, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir grožio bei harmonijos jausmo atsiradimo. Visuma visada susideda iš dalių, skirtingo dydžio dalys yra tam tikru santykiu viena su kita ir su visuma. Aukso pjūvio principas yra aukščiausia visumos ir jos dalių struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška mene, moksle, technikoje ir gamtoje.

Aukso pjūvis – harmoninė proporcija

Tiesus segmentas AB galima padalyti į dvi dalis šiais būdais:

į dvi lygias dalis - AB : AC = AB : Saulė;





į dvi bet kokiu atžvilgiu nelygias dalis (tokios dalys nesudaro proporcijų);





taigi, kada AB : AC = AC : Saulė.

Auksinis pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnis segmentas yra didesnis nei didesnis, kaip visuma

a : b = b : c arba Su : b = b : A.

Ryžiai. 1. Geometrinis aukso pjūvio vaizdas

Praktinė pažintis su aukso pjūviu prasideda tiesios linijos segmento padalijimu auksine proporcija naudojant kompasą ir liniuotę.

Ryžiai. 2. Tiesios linijos atkarpos padalijimas naudojant auksinį pjūvį. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Iš taško IN atstatomas statmenas, lygus pusei AB. Gautas taškas SU sujungta linija su tašku A. Gautoje tiesėje brėžiamas segmentas Saulė baigiasi tašku D. Segmentas AD perkeltas į tiesioginį AB. Gautas taškas E padalija segmentą AB aukso pjūvio santykiu.

Auksinio pjūvio segmentai išreiškiami begaline neracionalia trupmena A.E.= 0,618..., jei AB imk kaip vieną BE= 0,382... Praktiniais tikslais dažnai naudojamos apytikslės vertės 0,62 ir 0,38. Jei segmentas AB imama kaip 100 dalių, tada didesnė segmento dalis yra lygi 62, o mažesnė dalis yra 38 dalys.

Aukso pjūvio savybės apibūdinamos lygtimi:

x 2 - x - 1 = 0.

Šios lygties sprendimas:

Auksinio pjūvio savybės aplink šį skaičių sukūrė romantišką paslapties ir beveik mistiško garbinimo aurą.

Antrasis auksinis pjūvis

Ši proporcija randama architektūroje, taip pat atsiranda kuriant pailgo horizontalaus formato vaizdų kompozicijas.

Ryžiai. 3. Antrojo aukso pjūvio statyba

Padalijimas atliekamas taip (žr. 3 pav.). Segmentas AB padalintas pagal aukso pjūvį. Iš taško SU statmenas atstatomas CD. Spindulys AB yra taškas D, kuri linija sujungta su tašku A. Tiesus kampas ACD yra padalintas per pusę. Iš taško SU linija brėžiama tol, kol susikerta su linija AD. Taškas E padalija segmentą AD 56:44 atžvilgiu.

Ryžiai. 4. Stačiakampio padalijimas su antrojo aukso pjūvio linija

Fig. 4 paveiksle parodyta antrojo aukso pjūvio linijos padėtis. Jis yra viduryje tarp aukso pjūvio linijos ir vidurinės stačiakampio linijos.

Auksinis trikampis

Ryžiai. 5. Taisyklingo penkiakampio ir pentagramos konstrukcija

Norėdami sukurti pentagramą, turite sukurti įprastą penkiakampį. Jo konstravimo būdą sukūrė vokiečių tapytojas ir grafikas Albrechtas Dureris (1471...1528). Leiskite O- apskritimo centras, A- taškas ant apskritimo ir E- segmento vidurys OA. Statmenas spinduliui OA, restauruotas taške APIE, kerta apskritimą taške D. Naudodami kompasą nubrėžkite segmentą ant skersmens C.E. = ED. Į apskritimą įbrėžto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis yra DC. Ant apskritimo išdėliokite segmentus DC ir gauname penkis taškus, kad nubrėžtume taisyklingą penkiakampį. Penkiakampio kampus sujungiame vienas per kitą įstrižainėmis ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalija viena kitą į segmentus, sujungtus aukso pjūviu.

Kiekvienas penkiakampės žvaigždės galas reiškia auksinį trikampį. Jo šonai viršūnėje sudaro 36° kampą, o šone padėtas pagrindas jį dalija aukso pjūvio proporcijomis.

Ryžiai. 6. Auksinio trikampio konstrukcija

Vykdome tiesioginį AB. Iš taško A tris kartus padėkite ant jo segmentą APIE savavališka reikšmė per gautą tašką R nubrėžkite statmeną linijai AB, statmenai į dešinę ir į kairę nuo taško R atidėkite segmentus APIE. Gauti taškai d Ir d 1 tiesiomis linijomis prijunkite prie taško A. Segmentas dd padėkite 1 ant linijos Skelbimas 1, gaunu tašką SU. Ji padalino liniją Skelbimas 1 proporcingai aukso pjūviui. Linijos Skelbimas 1 ir dd 1 naudojamas „auksiniam“ stačiakampiui sukonstruoti.

Aukso pjūvio istorija

Graikai buvo įgudę geometrai. Jie netgi mokė aritmetikos savo vaikus naudodami geometrines figūras. Pitagoro kvadratas ir šios aikštės įstrižainė buvo dinamiškų stačiakampių konstravimo pagrindas.

Ryžiai. 7. Dinaminiai stačiakampiai

Platonas (427...347 m. pr. Kr.) taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Jo dialogas „Timejus“ skirtas matematinėms ir estetinėms pitagoriečių mokyklos pažiūroms ir ypač aukso padalijimo klausimams.

Senovės graikiškos Partenono šventyklos fasadas pasižymi auksinėmis proporcijomis. Jo kasinėjimų metu buvo aptikti kompasai, kuriuos naudojo senovės pasaulio architektai ir skulptoriai. Pompėjos kompasas (muziejus Neapolyje) taip pat turi auksinio padalijimo proporcijas.

Ryžiai. 8. Antikvarinis aukso pjūvio kompasas

Senovės literatūroje, kuri atėjo iki mūsų, aukso padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. 2-ojoje „Principų“ knygoje pateikta auksinio padalijimo geometrinė konstrukcija Viduramžių Europa, su auksiniu padalijimu Susipažinome per arabiškus Euklido elementų vertimus. Vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.) pateikė pastabų dėl vertimo. Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos ir laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai.

Renesanso laikais mokslininkų ir menininkų susidomėjimas auksine dalyba išaugo dėl jos panaudojimo tiek geometrijoje, tiek mene, ypač architektūroje, menininkas ir mokslininkas Leonardo da Vinci matė, kad italų menininkai turėjo daug empirinės patirties, bet mažai žinios . Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias Italijos matematikas laikotarpiu tarp Fibonačio ir Galilėjaus. Luca Pacioli buvo dailininko Piero della Franceschi mokinys, kuris parašė dvi knygas, iš kurių viena vadinosi „Apie tapybos perspektyvą“. Jis laikomas aprašomosios geometrijos kūrėju.

Luca Pacioli puikiai suprato mokslo svarbą menui. 1496 m. Moro kunigaikščio kvietimu atvyko į Milaną, kur skaitė matematikos paskaitas. Leonardo da Vinci tuo metu taip pat dirbo Milane, Moro teisme. 1509 metais Venecijoje buvo išleista Luca Pacioli knyga „Dieviškoji proporcija“ su puikiai atliktomis iliustracijomis, todėl manoma, kad jas sukūrė Leonardo da Vinci. Knyga buvo entuziastingas aukso pjūvio himnas. Tarp daugybės auksinės proporcijos privalumų vienuolis Luca Pacioli nepamiršo įvardinti jos „dieviškosios esmės“ kaip dieviškosios trejybės išraiškos – Dievas sūnus, Dievas tėvas ir Dievas šventoji dvasia (buvo numanoma, kad mažoji segmentas yra Dievo sūnaus personifikacija, didesnis segmentas - Dievas tėvas ir visas segmentas - Šventosios Dvasios Dievas).

Leonardo da Vinci daug dėmesio skyrė ir auksinės divizijos tyrinėjimams. Jis padarė stereometrinio kūno dalis, sudarytas iš taisyklingų penkiakampių, ir kiekvieną kartą gaudavo stačiakampius, kurių kraštinių santykis buvo auksinėje padaloje. Štai kodėl jis šiam skyriui suteikė pavadinimą aukso pjūvis. Taigi jis vis dar išlieka populiariausias.

Tuo pačiu metu Europos šiaurėje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis eskizuoja įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas variantą. Diureris rašo. „Būtina, kad tas, kuris moka ką nors padaryti, išmokytų to kitus, kuriems to reikia. Štai ką aš užsibrėžiau padaryti“.

Sprendžiant iš vieno iš Diurerio laiškų, jis susitiko su Luca Pacioli būdamas Italijoje. Albrechtas Dureris išsamiai plėtoja žmogaus kūno proporcijų teoriją. Diureris savo santykių sistemoje svarbią vietą skyrė aukso pjūviui. Žmogaus ūgį auksinėmis proporcijomis dalija diržo linija, taip pat linija, nubrėžta per nuleistų rankų vidurinių pirštų galiukus, apatinę veido dalį prie burnos ir kt. Diurerio proporcingas kompasas yra gerai žinomas.

Puikus XVI amžiaus astronomas. Johannesas Kepleris aukso pjūvį pavadino vienu iš geometrijos lobių. Jis pirmasis atkreipė dėmesį į auksinės proporcijos svarbą botanikai (augalų augimui ir jų struktūrai).

Kepleris auksinę proporciją pavadino savaime besitęsiančia: „Jos struktūra yra tokia, kad šios nesibaigiančios proporcijos dvi žemiausios dalys sudaro trečiąjį terminą ir bet kurios dvi paskutines, jei jos sudėtos. , nurodykite kitą terminą ir ta pati proporcija išliks iki begalybės.

Auksinės proporcijos segmentų serijos konstravimas gali būti atliekamas tiek didėjimo kryptimi (didėjanti serija), tiek mažėjimo kryptimi (mažėjančia serija).

Jei yra savavališko ilgio tiesioje linijoje, segmentą atidėkite m, padėkite segmentą šalia jo M. Remdamiesi šiais dviem segmentais, sudarome didėjančios ir mažėjančios serijų auksinės proporcijos segmentų skalę.

Ryžiai. 9. Aukso proporcijų segmentų skalės konstravimas

Vėlesniais šimtmečiais auksinės proporcijos taisyklė virto akademiniu kanonu, o kai laikui bėgant mene prasidėjo kova su akademine rutina, kovos įkarštyje „išmetė kūdikį su vonios vandeniu“. Aukso pjūvis vėl buvo „atrastas“ XIX amžiaus viduryje. 1855 m. vokiečių aukso pjūvio tyrinėtojas profesorius Zeisingas paskelbė savo veikalą „Estetikos studijos“. Zeisingui nutiko būtent tai, kas neišvengiamai turėtų nutikti tyrėjui, kuris reiškinį laiko tokiu, nesusijusiu su kitais reiškiniais. Jis suabsoliutino aukso pjūvio proporciją, paskelbdamas ją universalia visiems gamtos ir meno reiškiniams. Zeisingas turėjo daug pasekėjų, tačiau buvo ir priešininkų, kurie paskelbė, kad jo proporcijų doktrina yra „matematinė estetika“.

Ryžiai. 10. Auksinės proporcijos žmogaus kūno dalyse

Zeisingas atliko puikų darbą. Jis išmatavo apie du tūkstančius žmonių kūnų ir padarė išvadą, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį statistinį dėsnį. Kūno padalijimas pagal bambos tašką yra svarbiausias aukso pjūvio rodiklis. Vyro kūno proporcijos svyruoja per vidutinį santykį 13:8 = 1,625 ir yra šiek tiek artimesnės auksiniam pjūviui nei moters kūno proporcijos, kurių atžvilgiu vidutinė proporcijos reikšmė išreiškiama santykiu 8: 5 = 1,6. Naujagimio santykis yra 1:1, iki 13 metų – 1,6, o sulaukus 21 metų – lygus vyro. Aukso pjūvio proporcijos atsiranda ir kitų kūno dalių atžvilgiu – peties, dilbio ir plaštakos ilgio, plaštakos ir pirštų ir kt.

Ryžiai. 11. Auksinės proporcijos žmogaus figūroje

Zeisingas išbandė savo teorijos pagrįstumą graikų statulomis. Jis detaliausiai sukūrė „Apollo Belvedere“ proporcijas. Buvo tiriamos graikiškos vazos, įvairių epochų architektūrinės struktūros, augalai, gyvūnai, paukščių kiaušiniai, muzikiniai tonai, poetiniai metrai. Zeisingas pateikė aukso pjūvio apibrėžimą ir parodė, kaip jis išreiškiamas tiesiomis atkarpomis ir skaičiais. Kai buvo gauti skaičiai, išreiškiantys segmentų ilgį, Zeisingas pamatė, kad jie sudaro Fibonačio seriją, kurią galima tęsti neribotą laiką viena ar kita kryptimi. Kita jo knyga buvo pavadinta „Auksinis skyrius kaip pagrindinis gamtos ir meno morfologinis dėsnis“. 1876 ​​m. Rusijoje buvo išleista nedidelė knygelė, beveik brošiūra, kurioje buvo aprašytas šis Zeisingo darbas. Autorius prisiglaudė po inicialais Yu.F.V. Šiame leidime neminimas nė vienas tapybos kūrinys.

XIX amžiaus pabaigoje – XX amžiaus pradžioje. Atsirado daug grynai formalistinių teorijų apie aukso pjūvio panaudojimą meno kūriniuose ir architektūroje. Tobulėjant dizainui ir techninei estetikai aukso pjūvio dėsnis išsiplėtė ir automobilių, baldų ir kt.

Fibonačio serija

Skaičių serija 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir kt. žinoma kaip Fibonacci serija. Skaičių sekos ypatumas yra tas, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių 2 + 3 = 5 sumai; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 ir tt, o gretimų skaičių santykis serijoje artėja prie auksinio padalijimo santykio. Taigi, 21: 34 = 0,617 ir 34: 55 = 0,618. Šis ryšys žymimas simboliu F. Tik šis santykis – 0,618: 0,382 – duoda nuolatinį tiesios atkarpos padalijimą auksine proporcija, didinant arba sumažinant ją iki begalybės, kai mažesnė atkarpa yra susijusi su didesniu, kaip didesnė su visuma.

Fibonacci taip pat nagrinėjo praktinius prekybos poreikius: koks yra mažiausias svarelių skaičius, kuriuo galima sverti gaminį? Fibonacci įrodo, kad optimali svorių sistema yra: 1, 2, 4, 8, 16...

Apibendrintas aukso pjūvis

Mokslininkai toliau aktyviai plėtojo Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio teoriją. Yu Matiyasevičius išsprendžia 10-ąją Hilberto problemą, naudodamas Fibonačio skaičius. Atsiranda elegantiškų būdų, kaip išspręsti daugybę kibernetinių problemų (paieškos teorija, žaidimai, programavimas), naudojant Fibonačio skaičius ir aukso pjūvį. JAV kuriama net Mathematical Fibonacci asociacija, kuri nuo 1963 metų leidžia specialų žurnalą.

Vienas iš šios srities laimėjimų – apibendrintų Fibonačio skaičių ir apibendrintų aukso santykio atradimas.

Fibonačio serijos (1, 1, 2, 3, 5, 8) ir jo atrastos „dvejetainės“ svorių serijos 1, 2, 4, 8, 16... iš pirmo žvilgsnio visiškai skiriasi. Tačiau jų konstravimo algoritmai yra labai panašūs vienas į kitą: pirmuoju atveju kiekvienas skaičius yra ankstesnio skaičiaus suma su savimi 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., antrajame tai dviejų ankstesnių skaičių suma 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Ar įmanoma rasti bendrą matematinį formulė, iš kurios gauname ir „ dvejetainė eilutė ir Fibonačio serija? O gal ši formulė suteiks mums naujų skaitinių rinkinių, turinčių naujų unikalių savybių?

Iš tiesų, nustatykime skaitinį parametrą S, kuri gali turėti bet kokias reikšmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Apsvarstykite skaičių eilutę, S+ 1, kurių pirmieji nariai yra vienetai, o kiekvienas paskesnis yra lygus dviejų ankstesnio termino sumai ir atskirtas nuo ankstesnio Sžingsniai. Jeigu nŠios serijos tąjį narį pažymime φ S ( n), tada gauname bendrąją formulę φ S ( n) = φ S ( n– 1) + φ S ( n - S - 1).

Akivaizdu, kad kada S= 0 iš šios formulės gauname „dvejetainę“ seriją su S= 1 – Fibonačio serija, su S= 2, 3, 4. naujos skaičių serijos, kurios vadinamos S- Fibonačio skaičiai.

Apskritai auksinis S-proporcija yra teigiama auksinės lygties šaknis S-skyriai x S+1 - x S - 1 = 0.

Nesunku parodyti, kad kada S= 0, atkarpa dalijama per pusę ir kada S= 1 - pažįstamas klasikinis aukso pjūvis.

Santykiai tarp kaimynų S- Fibonačio skaičiai sutampa su absoliučiu matematiniu tikslumu riboje su auksu S- proporcijos! Matematikai tokiais atvejais sako, kad auksas S-skyriai yra skaitiniai invariantai S- Fibonačio skaičiai.

Faktai, patvirtinantys aukso egzistavimą S-skyrius gamtoje, cituoja baltarusių mokslininkas E.M. Soroko knygoje „Struktūrinė sistemų harmonija“ (Minskas, „Mokslas ir technika“, 1984). Pavyzdžiui, paaiškėja, kad gerai ištirti dvejetainiai lydiniai pasižymi ypatingomis, ryškiomis funkcinėmis savybėmis (termiškai stabilus, kietas, atsparus dilimui, atsparus oksidacijai ir kt.) tik tuo atveju, jei originalių komponentų savitosios masės yra tarpusavyje susijusios. vienu auksiniu S- proporcijos. Tai leido autoriui iškelti hipotezę, kad auksas S-sekcijos yra savaime besitvarkančių sistemų skaitiniai invariantai. Kai ši hipotezė bus patvirtinta eksperimentiškai, ji gali turėti esminės svarbos plėtojant sinergiją – naują mokslo sritį, tiriančią procesus savaime besitvarkančiose sistemose.

Naudojant auksinius kodus S-proporcijas galima išreikšti bet kokiu realiu skaičiumi kaip aukso galių sumą S-proporcijos su sveikųjų skaičių koeficientais.

Esminis skirtumas tarp šio skaičių kodavimo metodo yra tas, kad naujų kodų, kurie yra auksiniai, pagrindai S-proporcijos, su S> 0 yra neracionalūs skaičiai. Taigi atrodo, kad naujos skaičių sistemos su neracionaliomis bazėmis iškelia istoriškai nusistovėjusią racionaliųjų ir neracionalių skaičių santykių hierarchiją „nuo galvos iki kojų“. Faktas yra tas, kad natūralūs skaičiai buvo pirmą kartą „atrasta“; tada jų santykiai yra racionalieji skaičiai. Ir tik vėliau – pitagoriečiams atradus nepalyginamus segmentus – gimė neracionalūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainėje, kvinarinėje, dvejetainėje ir kitose klasikinėse pozicinių skaičių sistemose natūralieji skaičiai buvo pasirinkti kaip savotiškas pagrindinis principas – 10, 5, 2 – iš kurių pagal tam tikras taisykles išeina visi kiti natūralieji skaičiai, taip pat racionalieji skaičiai. ir neracionalieji skaičiai, buvo sukonstruoti.

Savotiška alternatyva esamiems žymėjimo metodams yra nauja, neracionali sistema, kaip pagrindinis principas, kurio pradžia yra iracionalusis skaičius (kuris, prisiminkime, yra aukso pjūvio lygties šaknis); per jį jau išreiškiami kiti realieji skaičiai.

Tokioje skaičių sistemoje bet koks natūralusis skaičius visada gali būti pavaizduotas kaip baigtinis, o ne begalinis, kaip manyta anksčiau! - bet kurio aukso laipsnių suma S- proporcijos. Tai viena iš priežasčių, kodėl „neracionali“ aritmetika, turinti stulbinamo matematinio paprastumo ir elegancijos, tarsi perėmė geriausias klasikinės dvejetainės ir „Fibonačio“ aritmetikos savybes.

Formavimosi gamtoje principai

Korpusas susuktas spirale. Jei jį išskleisite, gausite šiek tiek trumpesnį nei gyvatės ilgį. Mažas dešimties centimetrų apvalkalas turi 35 cm ilgio spiralę. Spiralės gamtoje yra labai paplitusios. Auksinio pjūvio idėja bus neišsami, nekalbant apie spiralę.

Ryžiai. 12. Archimedo spiralė

Archimedo dėmesį patraukė spirališkai riesto apvalkalo forma. Jis išstudijavo tai ir sugalvojo spiralės lygtį. Pagal šią lygtį nubrėžta spiralė vadinama jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama technikoje.

Goethe taip pat pabrėžė gamtos polinkį į spirališkumą. Sraigtinis ir spiralinis lapų išsidėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas seniai. Spiralė buvo matyti saulėgrąžų sėklų, kankorėžių, ananasų, kaktusų ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas atskleidė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad Fibonacci serija pasireiškia lapų išsidėstymu ant šakos (filotaksi), saulėgrąžų sėklomis ir kankorėžiais, todėl pasireiškia aukso pjūvio dėsnis. Voras savo tinklą audžia spiralės būdu. Uraganas sukasi kaip spiralė. Išsigandusi šiaurės elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė susisukusi dviguba spirale. Goethe spiralę pavadino „gyvenimo kreive“.

Tarp pakelės vaistažolių auga niekuo neišsiskiriantis augalas – cikorija. Pažvelkime į tai atidžiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo ūglis. Pirmasis lapas buvo čia pat.

Ryžiai. 13. Cikorija

Ūglis stipriai išsviedžia į erdvę, sustoja, paleidžia lapą, bet šį kartą jis trumpesnis nei pirmasis, vėl išsviedžia į erdvę, bet su mažesne jėga išleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išsviedžia . Jei pirmoji emisija laikoma 100 vienetų, tada antroji yra lygi 62 vienetams, trečioji - 38, ketvirtoji - 24 ir tt. Žiedlapių ilgis taip pat priklauso nuo auksinės proporcijos. Augdamas ir užkariaudamas erdvę augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai aukso pjūviui.

Ryžiai. 14. Gyvas driežas

Iš pirmo žvilgsnio driežas turi proporcijas, kurios džiugina mūsų akis – jo uodegos ilgis yra susijęs su likusios kūno dalies ilgiu nuo 62 iki 38.

Tiek augalų, tiek gyvūnų pasauliuose atkakliai prasiveržia formuojantis gamtos polinkis – simetrija augimo ir judėjimo krypties atžvilgiu. Čia auksinis pjūvis atsiranda dalių proporcijose, statmenose augimo krypčiai.

Gamta atliko padalijimą į simetriškas dalis ir auksines proporcijas. Dalys atskleidžia visumos struktūros pasikartojimą.

Ryžiai. 15. paukščio kiaušinis

Didysis Gėtė, poetas, gamtininkas ir dailininkas (piešė ir tapė akvarele), svajojo sukurti vieningą organinių kūnų formos, formavimosi ir virsmo doktriną. Būtent jis įvedė morfologijos terminą į mokslinę vartoseną.

Pierre'as Curie šio amžiaus pradžioje suformulavo keletą gilių idėjų apie simetriją. Jis teigė, kad negalima svarstyti jokio kūno simetrijos neatsižvelgus į aplinkos simetriją.

„Auksinės“ simetrijos dėsniai pasireiškia elementariųjų dalelių energetiniuose perėjimuose, kai kurių cheminių junginių struktūroje, planetinėse ir kosminėse sistemose, gyvų organizmų genų struktūrose. Šie modeliai, kaip nurodyta pirmiau, egzistuoja atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia smegenų bioritmais ir funkcionavimu bei vizualiniu suvokimu.

Auksinis santykis ir simetrija

Auksinis padalijimas nėra asimetrijos pasireiškimas, kažkas priešingo simetrijai Pagal šiuolaikines idėjas, auksinis padalijimas yra asimetrinė simetrija. Simetrijos mokslas apima tokias sąvokas kaip statinis Ir dinaminė simetrija. Statinė simetrija apibūdina ramybę ir pusiausvyrą, o dinaminė – judėjimą ir augimą. Taigi gamtoje statinę simetriją reprezentuoja kristalų struktūra, o mene ji apibūdina ramybę, pusiausvyrą ir nejudrumą. Dinaminė simetrija išreiškia aktyvumą, apibūdina judėjimą, raidą, ritmą, yra gyvybės įrodymas. Statinei simetrijai būdingi vienodi segmentai ir vienodos reikšmės. Dinaminei simetrijai būdingas segmentų padidėjimas arba jų sumažėjimas, ir ji išreiškiama didėjančios arba mažėjančios serijos aukso pjūvio reikšmėmis.

Iš atvirų erdvių edukaciniais tikslais)

Išsiaiškinkime, ką bendro turi senovės Egipto piramidės, Leonardo da Vinci paveikslas „Mona Liza“, saulėgrąža, sraigė, kankorėžis ir žmogaus pirštai?

Atsakymas į šį klausimą slypi nuostabiuose atrastuose skaičiuose italų viduramžių matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas Fibonacci vardu (gimė apie 1170 m., mirė po 1228 m.), italų matematikas . Keliaudamas po Rytus susipažino su arabų matematikos pasiekimais; prisidėjo prie jų perdavimo į Vakarus.

Po jo atradimo šie skaičiai pradėti vadinti garsaus matematiko vardu. Nuostabi Fibonačio skaičių sekos esmė ta kad kiekvienas šios sekos skaičius gaunamas iš dviejų ankstesnių skaičių sumos.

Taigi, seką sudarantys skaičiai:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

vadinami „Fibonačio skaičiais“, o pati seka vadinama Fibonačio seka. Yra viena labai įdomi Fibonačio skaičių savybė. Dalijant bet kurį skaičių iš sekos iš prieš jį esančio skaičiaus serijoje, rezultatas visada bus reikšmė, kuri svyruoja apie neracionaliąją reikšmę 1,61803398875... ir kartais ją viršija, kartais nepasiekia. (Apytikslis neracionalusis skaičius, t. y. skaičius, kurio dešimtainis skaičius yra begalinis ir neperiodinis)

Be to, po 13-ojo skaičiaus sekoje šis padalijimo rezultatas tampa pastovus iki serijos begalybės... Būtent šis pastovus padalijimų skaičius viduramžiais buvo vadinamas dieviškuoju santykiu, o dabar vadinamas aukso pjūviu, aukso viduriu arba aukso proporcija. . Algebroje šis skaičius žymimas graikiška raide phi (Ф)

Taigi, aukso santykis = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Žmogaus kūnas ir aukso pjūvis.

Menininkai, mokslininkai, mados dizaineriai, dizaineriai savo skaičiavimus, brėžinius ar eskizus atlieka pagal aukso pjūvio santykį. Jie naudoja matavimus iš žmogaus kūno, kuris taip pat buvo sukurtas pagal aukso pjūvio principą. Prieš kurdami savo šedevrus, Leonardo Da Vinci ir Le Corbusier ėmėsi žmogaus kūno parametrų, sukurtų pagal Auksinės proporcijos dėsnį.

Svarbiausioje visų šiuolaikinių architektų knygoje – E. Neuferto žinyne „Pastatų projektavimas“ – pateikti pagrindiniai žmogaus liemens parametrų skaičiavimai, kuriuose yra auksinė proporcija.

Įvairių mūsų kūno dalių proporcijos yra labai artimos aukso pjūviui. Jei šios proporcijos sutampa su aukso pjūvio formule, tada žmogaus išvaizda ar kūnas yra laikomi idealiai proporcingi. Aukso matavimo žmogaus kūne apskaičiavimo principas gali būti pavaizduotas diagramos pavidalu:

M/m = 1,618

Pirmasis aukso pjūvio pavyzdys žmogaus kūno struktūroje:
Jei bambos tašką laikysime žmogaus kūno centru, o atstumą tarp žmogaus pėdos ir bambos taško – matavimo vienetu, tai žmogaus ūgis prilygsta skaičiui 1,618.

Be to, yra dar kelios pagrindinės auksinės mūsų kūno proporcijos:

* atstumas nuo pirštų galiukų iki riešo iki alkūnės yra 1:1,618;

* atstumas nuo pečių lygio iki viršugalvio ir galvos dydis yra 1:1,618;

* atstumas nuo bambos taško iki viršugalvio ir nuo pečių lygio iki viršugalvio yra 1:1,618;

* bambos taško atstumas iki kelių ir nuo kelių iki pėdų yra 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės lūpos galiuko ir nuo viršutinės lūpos galiuko iki šnervių yra 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko yra 1:1,618:

Aukso pjūvis žmogaus veido bruožuose kaip tobulo grožio kriterijus.

Žmogaus veido bruožų struktūroje taip pat yra daug pavyzdžių, kurie savo verte artimi aukso pjūvio formulei. Tačiau iš karto neskubėkite liniuote išmatuoti visų žmonių veidus. Nes tikslūs aukso pjūvio atitikmenys, pasak mokslininkų ir menininkų, menininkų ir skulptorių, egzistuoja tik tobulo grožio žmonėms. Tiesą sakant, tikslus auksinės proporcijos buvimas žmogaus veide yra grožio idealas žmogaus žvilgsniui.

Pavyzdžiui, susumavus dviejų priekinių viršutinių dantų plotį ir šią sumą padalinus iš dantų aukščio, tada, gavę aukso pjūvio skaičių, galime teigti, kad šių dantų struktūra yra ideali.

Yra ir kitų aukso pjūvio taisyklės variantų ant žmogaus veido. Štai keli iš šių santykių:

*Veido aukštis/veido plotis;

* Centrinis lūpų sujungimo su nosies pagrindu taškas / nosies ilgis;

* Veido aukštis / atstumas nuo smakro galiuko iki centrinio lūpų taško;

*Burnos plotis/nosies plotis;

* Nosies plotis / atstumas tarp šnervių;

* Atstumas tarp vyzdžių / atstumas tarp antakių.

Žmogaus ranka.

Pakanka tik priartinti delną prie savęs ir atidžiai pažvelgti į smilių, ir jame iškart rasite aukso pjūvio formulę. Kiekvienas mūsų rankos pirštas susideda iš trijų pirštakaulių.

* Pirmųjų dviejų piršto falangų suma viso piršto ilgio atžvilgiu suteikia aukso pjūvio skaičių (išskyrus nykštį);

* Be to, vidurinio ir mažojo piršto santykis taip pat lygus auksiniam pjūviui;

* Žmogus turi 2 rankas, kiekvienos rankos pirštai susideda iš 3 pirštakaulių (išskyrus nykštį). Ant kiekvienos rankos yra 5 pirštai, tai yra iš viso 10, tačiau, išskyrus du dvifalangės nykščius, pagal aukso pjūvio principą sukuriami tik 8 pirštai. Tuo tarpu visi šie skaičiai 2, 3, 5 ir 8 yra Fibonačio sekos skaičiai:

Aukso pjūvis žmogaus plaučių struktūroje.

Amerikiečių fizikas B.D. Westas ir daktaras A.L. Goldbergeris, atlikdamas fizinius ir anatominius tyrimus, nustatė, kad aukso pjūvis egzistuoja ir žmogaus plaučių struktūroje.

Bronchų, sudarančių žmogaus plaučius, ypatumas slypi jų asimetrijoje. Bronchai susideda iš dviejų pagrindinių kvėpavimo takų, iš kurių vienas (kairysis) yra ilgesnis, o kitas (dešinis) yra trumpesnis.

* Nustatyta, kad ši asimetrija tęsiasi bronchų šakose, visuose mažesniuose kvėpavimo takuose. Be to, trumpųjų ir ilgųjų bronchų ilgių santykis taip pat yra auksinis pjūvis ir yra lygus 1:1,618.

Auksinio stačiakampio keturkampio ir spiralės sandara.

Auksinis pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnis segmentas yra didesnis nei didesnis, kaip visuma.

Geometrijoje stačiakampis su tokiu kraštinių santykiu pradėtas vadinti auksiniu stačiakampiu. Jo ilgosios kraštinės yra santykyje su trumposiomis kraštinėmis 1,168:1.

Auksinis stačiakampis taip pat turi daug nuostabių savybių. Auksinis stačiakampis turi daug neįprastų savybių. Iš auksinio stačiakampio išpjaudami kvadratą, kurio kraštinė lygi mažesnei stačiakampio kraštinei, vėl gauname mažesnių matmenų auksinį stačiakampį. Šis procesas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Toliau karpydami kvadratus, gausime vis mažesnius auksinius stačiakampius. Be to, jie bus išdėstyti logaritminėje spiralėje, kuri yra svarbi gamtos objektų (pavyzdžiui, sraigių kiautų) matematiniuose modeliuose.

Spiralės polius yra pradinio stačiakampio ir pirmojo pjaunamo vertikalaus įstrižainių sankirtoje. Be to, ant šių įstrižainių yra visų vėlesnių mažėjančių auksinių stačiakampių įstrižainės. Žinoma, yra ir auksinis trikampis.

Anglų dizaineris ir estetikas Williamas Charltonas teigė, kad žmonėms atrodo, kad spiralės formos yra malonios akiai ir jas naudoja tūkstančius metų, paaiškindamas tai taip:

„Mums patinka spiralės išvaizda, nes vizualiai galime ją lengvai pamatyti.

Gamtoje.

* Aukso pjūvio taisyklė, kuria grindžiama spiralės struktūra, gamtoje labai dažnai sutinkama nepakartojamo grožio kūriniuose. Ryškiausi pavyzdžiai – spiralės forma matyti saulėgrąžų sėklų, kankorėžių, ananasų, kaktusų išdėstyme, rožių žiedlapių struktūroje ir kt.;

* Botanikai nustatė, kad lapų išdėstyme ant šakos, saulėgrąžų sėklų ar kankorėžių aiškiai pasireiškia Fibonačio serija, todėl pasireiškia aukso pjūvio dėsnis;

Visagalis Viešpats kiekvienam savo kūriniui nustatė ypatingą matą ir suteikė jai proporcingumo, ką patvirtina gamtoje randami pavyzdžiai. Galima pateikti labai daug pavyzdžių, kai gyvų organizmų augimo procesas vyksta griežtai laikantis logaritminės spiralės formos.

Visos spiralės spyruoklės yra vienodos formos. Matematikai nustatė, kad net ir padidėjus spyruoklių dydžiui, spiralės forma išlieka nepakitusi. Matematikoje nėra kitos formos, kuri turėtų tokias pačias unikalias savybes kaip spiralė.

Jūrų kriauklių struktūra.

Mokslininkai, tyrę jūrų dugne gyvenančių minkštakūnių moliuskų kiautų vidinę ir išorinę struktūrą, teigė:

"Vidinis kriauklių paviršius yra nepriekaištingai lygus, o išorinis paviršius visiškai padengtas nelygumais ir nelygumais. Moliuskas buvo kiaute ir tam vidinis kriauklės paviršius turėjo būti nepriekaištingai lygus. Išoriniai kampai-kreiviai lukštas padidina jo stiprumą, kietumą ir taip padidina jo stiprumą. Nuostabus kriauklių (sraigės) struktūros intelektas yra nuostabios geometrinės formos ir nuostabios savo rafinuotu grožiu. “

Daugumoje sraigių, kurios turi kiautus, kiautas auga logaritminės spiralės pavidalu. Tačiau neabejotina, kad šios neprotingos būtybės ne tik neturi supratimo apie logaritminę spiralę, bet net neturi paprasčiausių matematinių žinių, kad galėtų sukurti sau spiralės formos apvalkalą.

Bet kaip tada šios neprotingos būtybės galėjo nustatyti ir pačios pasirinkti idealią augimo ir egzistavimo formą spiralinio apvalkalo pavidalu? Ar šios gyvos būtybės, kurias mokslo pasaulis vadina primityviomis gyvybės formomis, galėtų apskaičiuoti, kad logaritminė apvalkalo forma būtų ideali jų egzistavimui?

Žinoma, kad ne, nes toks planas neįgyvendinamas be sumanumo ir žinių. Tačiau nei primityvūs moliuskai, nei nesąmoninga gamta neturi tokio intelekto, kurį kai kurie mokslininkai vadina gyvybės žemėje kūrėju (?!)

Bandymas paaiškinti tokios net primityviausios gyvybės formos atsiradimą atsitiktiniu tam tikrų natūralių aplinkybių deriniu yra mažų mažiausiai absurdas. Akivaizdu, kad šis projektas yra sąmoninga kūryba.

Biologas seras D'Arcy Thompsonas tokį jūros kriauklių augimą vadina „nykštukų augimo forma“.

Seras Thompsonas pateikia tokį komentarą:

„Nėra paprastesnės sistemos nei kriauklių augimas, kurie auga ir plečiasi proporcingai, išlaikydami tą pačią formą.

„Nautilus“, kurio skersmuo yra keli centimetrai, yra ryškiausias nykštuko augimo įpročio pavyzdys. S. Morrison taip apibūdina šį nautilus augimo procesą, kuris atrodo gana sunkiai suplanuojamas net ir žmogaus protu:

„Nautilo kriauklės viduje yra daug skyrių-kambarių su pertvaromis iš perlamutro, o pati kriaukle yra spiralė, besiplečianti nuo centro, priekinėje kriauklės dalyje auga kita patalpa. bet šį kartą didesnė nei ankstesnė, o pertvaros, likusios už kambario, yra padengtos perlamutro sluoksniu. Taigi spiralė visą laiką proporcingai plečiasi.

Čia pateikiami tik keli spiralinių apvalkalų tipai su logaritminiu augimo modeliu pagal jų mokslinius pavadinimus:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Visos aptiktos iškastinės kriauklių liekanos taip pat turėjo išsivysčiusią spiralės formą.

Tačiau logaritminė augimo forma gyvūnų pasaulyje randama ne tik moliuskams. Antilopių, laukinių ožkų, avinų ir kitų panašių gyvūnų ragai taip pat vystosi spiralės pavidalu pagal aukso pjūvio dėsnius.

Aukso pjūvis žmogaus ausyje.

Žmogaus vidinėje ausyje yra organas, vadinamas Cochlea ("sraigė"), kuris atlieka garso vibracijos perdavimo funkciją.. Ši kaulinė struktūra užpildyta skysčiu ir taip pat yra sraigės formos, turinti stabilią logaritminę spiralės formą = 73º 43'.

Gyvūnų ragai ir iltys vystosi spiralės pavidalu.

Dramblių ir išnykusių mamutų iltys, liūtų nagai ir papūgų snapai yra logaritminės formos ir primena ašies formą, kuri linkusi virsti spirale. Vorai savo tinklus visada audžia logaritminės spiralės pavidalu. Mikroorganizmų, tokių kaip planktonas (globigerinae, planorbis, vortex, terebra, teilae ir trochida) struktūra taip pat turi spiralės formą.

Aukso pjūvis mikrokosmosų struktūroje.

Geometrinės formos neapsiriboja tik trikampiu, kvadratu, penkiakampiu ar šešiakampiu. Jei šias figūras sujungsime tarpusavyje skirtingais būdais, gautume naujas erdvines geometrines figūras. To pavyzdžiai yra figūros, tokios kaip kubas arba piramidė. Tačiau, be jų, yra ir kitų kasdienybėje nesutiktų trimačių figūrų, kurių vardus girdime gal pirmą kartą. Tarp tokių trimačių figūrų yra tetraedras (įprasta keturkampė figūra), oktaedras, dodekaedras, ikosaedras ir kt. Dodekaedras susideda iš 13 penkiakampių, ikosaedras – iš 20 trikampių. Matematikai pastebi, kad šios figūros matematiškai labai lengvai transformuojamos, o jų transformacija vyksta pagal aukso pjūvio logaritminės spiralės formulę.

Mikrokosmose pagal auksines proporcijas pastatytos trimatės logaritminės formos yra visur. . Pavyzdžiui, daugelis virusų turi trimatę geometrinę ikosaedro formą. Bene garsiausias iš šių virusų yra Adeno virusas. Adeno viruso baltyminis apvalkalas susidaro iš 252 vienetų baltymų ląstelių, išsidėsčiusių tam tikra seka. Kiekviename ikosaedro kampe yra 12 penkiakampės prizmės formos baltymų ląstelių vienetų, o iš šių kampų tęsiasi į smaigalį panašios struktūros.

Auksinis pjūvis virusų struktūroje pirmą kartą buvo atrastas šeštajame dešimtmetyje. Londono Birkbeck koledžo mokslininkai A. Klugas ir D. Kasparas. 13 Polyo virusas pirmasis parodė logaritminę formą. Šio viruso forma pasirodė panaši į Rhino 14 viruso formą.

Kyla klausimas, kaip virusai suformuoja tokias sudėtingas erdvines formas, kurių struktūroje yra aukso pjūvis, kurias gana sunku sukonstruoti net ir mūsų žmogaus protu? Šių virusų formų atradėjas virusologas A. Klugas pateikia tokį komentarą:

„Daktaras Kasparas parodė, kad sferiniam viruso apvalkalui optimaliausia yra simetrija, tokia kaip ikosaedro forma. Panašus geometrinis principas 14 Tokių kubelių montavimas reikalauja labai tikslaus ir išsamaus schemos paaiškinimo, o nesąmoningi virusai sukuria tokį sudėtingą apvalkalą iš elastingų, lanksčių ląstelių vienetų.

Kiekvienas žmogus, bent netiesiogiai susidūręs su erdvinių objektų geometrija interjero dizaine ir architektūroje, tikriausiai puikiai žino aukso pjūvio principą. Dar visai neseniai, prieš kelis dešimtmečius, aukso pjūvio populiarumas buvo toks didelis, kad daugybė mistinių teorijų šalininkų ir pasaulio sandaros jį vadina universalia harmonine taisykle.

Visuotinės proporcijos esmė

Stebėtinai kitoks. Šališko, beveik mistiško požiūrio į tokią paprastą skaitinę priklausomybę priežastis buvo keletas neįprastų savybių:

• Daugelio objektų gyvajame pasaulyje, nuo virusų iki žmonių, pagrindinės kūno ar galūnių proporcijos yra labai artimos aukso pjūvio reikšmei;
• 0,63 arba 1,62 priklausomybė būdinga tik biologinėms būtybėms, o kai kurių rūšių negyvi objektai – nuo ​​mineralų iki kraštovaizdžio elementų – aukso pjūvio geometriją turi itin retai;
• Auksinės proporcijos kūno struktūroje pasirodė esančios optimaliausios realių biologinių objektų išlikimui.

Šiandien aukso pjūvis randamas gyvūnų kūno struktūroje, moliuskų kiautuose ir kiautuose, gana didelio skaičiaus krūmų ir žolelių lapų, šakų, kamienų ir šaknų sistemose.

Daugelis aukso pjūvio universalumo teorijos pasekėjų ne kartą bandė įrodyti, kad jos proporcijos yra optimaliausios biologiniams organizmams jų egzistavimo sąlygomis.

Paprastai kaip pavyzdys pateikiama Astreae Heliotropium, vieno iš jūrinių moliuskų, kiauto struktūra. Apvalkalas yra suvyniotas kalcito apvalkalas, kurio geometrija praktiškai sutampa su aukso pjūvio proporcijomis.

Suprantamas ir akivaizdus pavyzdys yra paprastas vištienos kiaušinis.

Pagrindinių parametrų, būtent didelio ir mažo židinio, arba atstumų nuo vienodo atstumo paviršiaus taškų iki svorio centro santykis taip pat atitiks auksinį pjūvį. Tuo pačiu paukščio kiaušinio lukšto forma yra pati optimaliausia paukščio, kaip biologinės rūšies, išlikimui. Šiuo atveju apvalkalo stiprumas nevaidina pagrindinio vaidmens.

Jūsų informacijai!

Auksinis pjūvis, dar vadinamas universalia geometrijos proporcija, buvo gautas atlikus daugybę praktinių matavimų ir palyginus tikrų augalų, paukščių ir gyvūnų dydžius.

Senovės graikų matematikai Euklidas ir Pitagoras žinojo apie pjūvio auksinį pjūvį. Viename iš antikinės architektūros paminklų - Cheopso piramidėje, šonų ir pagrindo santykis, atskiri elementai ir sienų bareljefai pagaminti pagal universalią proporciją.

Aukso pjūvio techniką viduramžiais plačiai naudojo menininkai ir architektai, o universalios proporcijos esmė buvo laikoma viena iš visatos paslapčių ir buvo kruopščiai slepiama nuo paprasto žmogaus. Daugelio paveikslų, skulptūrų ir pastatų kompozicija buvo statoma griežtai laikantis aukso pjūvio proporcijų.

Visuotinės proporcijos esmę 1509 m. pirmą kartą dokumentavo pranciškonų vienuolis Luca Pacioli, kuris turėjo puikių matematinių sugebėjimų. Tačiau tikrasis pripažinimas įvyko po to, kai vokiečių mokslininkas Zeisingas atliko išsamų žmogaus kūno, senovinių skulptūrų, meno kūrinių, gyvūnų ir augalų proporcijų ir geometrijos tyrimą.

Daugumoje gyvų objektų kai kuriems kūno matmenims taikomos tos pačios proporcijos. 1855 metais mokslininkai padarė išvadą, kad aukso pjūvio proporcijos yra savotiškas kūno ir formos harmonijos standartas. Visų pirma kalbame apie gyvas būtybes, nes aukso pjūvis yra daug rečiau paplitęs.

Kaip gauti aukso pjūvį

Auksinį pjūvį lengviausia įsivaizduoti kaip dviejų skirtingo ilgio to paties objekto dalių, atskirtų tašku, santykį.

Paprasčiau tariant, kiek mažo segmento ilgių tilps į didelį, arba didžiausios dalies ir viso linijinio objekto ilgio santykis. Pirmuoju atveju auksinis santykis yra 0,63, antruoju atveju kraštinių santykis yra 1,618034.

Praktiškai aukso pjūvis yra tik proporcija, tam tikro ilgio atkarpų, stačiakampio kraštinių ar kitų geometrinių formų santykis, susijusių ar konjuguotų realių objektų matmenų charakteristikos.

Iš pradžių auksinės proporcijos buvo išvestos empiriškai, naudojant geometrines konstrukcijas. Yra keletas būdų, kaip sukurti arba išvesti harmoningą proporciją:

Jūsų informacijai!

Jei gyvų būtybių, paveikslų, grafikos, skulptūros ir senovinių pastatų standartinis aukso pjūvio variantas buvo skaičiuojamas kaip 37:63, tai nuo XVII amžiaus pabaigos architektūroje aukso pjūvis vis dažniau pradėtas naudoti kaip 44:56. Dauguma ekspertų pokytį „kvadratinių“ proporcijų naudai laiko aukštybinės statybos plitimu.

Pagrindinė aukso pjūvio paslaptis

Jei natūralios universalios pjūvio apraiškos gyvūnų ir žmonių kūnų proporcijose, augalų stiebo pagrinde vis dar gali būti paaiškintos evoliucija ir prisitaikymu prie išorinės aplinkos įtakos, tai aukso pjūvio atradimas konstrukcijoje. 12–19 amžių namų buvo tam tikra staigmena. Be to, garsusis senovės graikų Partenonas buvo pastatytas laikantis visuotinių proporcijų, daugelis turtingų didikų ir turtingų žmonių namų ir pilių viduramžiais buvo tyčia pastatyti labai artimais aukso pjūviui.

Aukso pjūvis architektūroje

Daugelis iki šių dienų išlikusių pastatų rodo, kad viduramžių architektai žinojo apie aukso pjūvio egzistavimą ir, žinoma, statydami namą vadovavosi savo primityviais skaičiavimais ir priklausomybėmis, padedami iš kurių jie stengėsi pasiekti didžiausią jėgą. Noras statyti kuo gražiausius ir harmoningesnius namus ypač pasireiškė valdančių asmenų rezidencijų pastatuose, bažnyčiose, rotušėse ir visuomenei ypatingos socialinės reikšmės pastatuose.

Pavyzdžiui, garsioji Paryžiaus Dievo Motinos katedra turi daugybę sekcijų ir matmenų grandinių, kurios savo proporcijomis atitinka aukso pjūvį.

Dar prieš 1855 m., kai profesorius Zeisingas paskelbė jo mokslinius tyrimus, XVIII amžiaus pabaigoje garsieji Sankt Peterburgo Golicino ligoninės ir Senato pastato architektūriniai kompleksai, Paškovo namas ir Petrovskių rūmai Maskvoje buvo pastatyti naudojant aukso pjūvio proporcijos.

Žinoma, namai anksčiau buvo statomi griežtai laikantis aukso pjūvio taisyklės. Verta paminėti senovinį Nerlio Užtarimo bažnyčios architektūros paminklą, parodytą diagramoje.

Visus juos vienija ne tik darnus formų derinys ir aukšta statybos kokybė, bet ir, visų pirma, aukso pjūvio buvimas pastato proporcijose. Įstabus pastato grožis tampa dar paslaptingesnis, jei atsižvelgsime į jo amžių. Užtarimo bažnyčios pastatas datuojamas XIII a., tačiau modernią architektūrinę išvaizdą pastatas gavo XVII a. sandūroje. restauravimo ir rekonstrukcijos rezultatas.

Aukso pjūvio ypatybės žmonėms

Senovės viduramžių pastatų ir namų architektūra šiuolaikiniams žmonėms išlieka patraukli ir įdomi dėl daugelio priežasčių:

• Individualus meninis stilius projektuojant fasadus leidžia išvengti šiuolaikinių klišių ir nuobodulio, kiekvienas pastatas yra meno kūrinys;
• Masinis naudojimas dekoruojant ir dekoruojant statulas, skulptūras, stiuko lipdinius, neįprastus skirtingų epochų statybinių sprendimų derinius;
• Pastato proporcijos ir kompozicija atkreipia dėmesį į svarbiausius pastato elementus.

Svarbu! Viduramžių architektai, projektuodami namą ir plėtodami jo išvaizdą, taikė aukso pjūvio taisyklę, nesąmoningai pasinaudodami žmogaus pasąmonės suvokimo ypatumais.

Šiuolaikiniai psichologai eksperimentiškai įrodė, kad aukso pjūvis yra nesąmoningo žmogaus noro ar reakcijos į harmoningą dydžių, formų ir net spalvų derinį ar proporciją pasireiškimas. Buvo atliktas eksperimentas, kurio metu grupei žmonių, kurie vienas kito nepažįsta, neturėjo bendrų interesų, skirtingų profesijų ir amžiaus kategorijų, buvo pasiūlyta daugybė testų, tarp kurių buvo užduotis sulenkti popieriaus lapą. optimali šonų proporcija. Remiantis testavimo rezultatais, nustatyta, kad 85 atvejais iš 100 lakštas tiriamųjų buvo sulenktas beveik tiksliai pagal aukso pjūvį.

Todėl šiuolaikinis mokslas mano, kad visuotinės proporcijos reiškinys yra psichologinis reiškinys, o ne kokių nors metafizinių jėgų veikimas.

Universalaus sekcijos faktoriaus naudojimas šiuolaikiniame dizaine ir architektūroje

Auksinės proporcijos panaudojimo principai privačių namų statyboje per pastaruosius keletą metų itin išpopuliarėjo. Statybinių medžiagų ekologiją ir saugumą pakeitė harmoningas dizainas ir tinkamas energijos paskirstymas namo viduje.

Šiuolaikinis visuotinės harmonijos taisyklės aiškinimas jau seniai išplito už įprastos objekto geometrijos ir formos. Šiandien taisyklei galioja ne tik portiko ir frontono ilgio matmenų grandinės, atskiri fasado elementai ir pastato aukštis, bet ir patalpų plotas, langų ir durų angos ir net kambario interjero spalvų schema.

Paprasčiausias būdas sukurti harmoningą namą yra modulinis pagrindas. Šiuo atveju dauguma skyrių ir kambarių yra pagaminti iš nepriklausomų blokų ar modulių, suprojektuotų laikantis aukso pjūvio taisyklės. Pastatyti pastatą harmoningų modulių komplekto pavidalu yra daug lengviau nei statyti vieną dėžę, kurioje didžioji dalis fasado ir interjero turi būti griežtai laikantis aukso pjūvio proporcijų.

Daugelis privačius namų ūkius projektuojančių statybos įmonių naudoja auksinio pjūvio principus ir koncepcijas, kad padidintų sąmatą ir sudarytų klientams įspūdį, kad namo projektas buvo kruopščiai parengtas. Paprastai toks namas deklaruojamas kaip labai patogus ir harmoningas naudoti. Teisingai parinktas patalpų plotų santykis garantuoja dvasinį komfortą ir puikią savininkų sveikatą.

Jei namas buvo pastatytas neatsižvelgiant į optimalius aukso pjūvio santykius, galite pertvarkyti patalpas taip, kad kambario proporcijos atitiktų sienų santykį santykiu 1:1,61. Norėdami tai padaryti, baldus galima perkelti arba įrengti papildomas pertvaras patalpų viduje. Lygiai taip pat keičiami langų ir durų angų matmenys, kad angos plotis būtų 1,61 karto mažesnis už durų varčios aukštį. Lygiai taip pat atliekamas baldų, buitinės technikos planavimas, sienų ir grindų apdaila.

Sunkiau pasirinkti spalvų schemą. Šiuo atveju, vietoj įprasto santykio 63:37, auksinės taisyklės pasekėjai priėmė supaprastintą aiškinimą – 2/3. Tai reiškia, kad pagrindinis spalvų fonas turėtų užimti 60% kambario erdvės, ne daugiau kaip 30% turėtų būti skiriama atspalvių spalvai, o likusi dalis skiriama įvairiems susijusiems tonams, skirtiems pagerinti spalvų schemos suvokimą. .

Vidinės patalpos sienos yra padalintos horizontalia juosta arba apvadu 70 cm aukštyje sumontuoti baldai turi būti proporcingi lubų aukščiui pagal aukso pjūvį. Ta pati taisyklė galioja ir ilgių paskirstymui, pavyzdžiui, sofos dydis neturi viršyti 2/3 pertvaros ilgio, o bendras baldų užimamas plotas yra susijęs su kambario plotu kaip 1 :1.61.

Auksinė proporcija sunkiai pritaikoma praktikoje dideliu mastu tik dėl vienos skerspjūvio vertės, todėl projektuodami harmoningus pastatus dažnai pasitelkiama Fibonačio skaičių serija. Tai leidžia išplėsti galimų pagrindinių namo elementų proporcijų ir geometrinių formų variantų skaičių. Šiuo atveju Fibonačio skaičių serija, sujungta aiškiu matematiniu ryšiu, vadinama harmonine arba auksine.

Šiuolaikiniame aukso pjūvio principu pagrįsto būsto projektavimo metodu, be Fibonacci serijos, plačiai naudojamas ir garsaus prancūzų architekto Le Corbusier pasiūlytas principas. Tokiu atveju pradiniu matavimo vienetu, pagal kurį skaičiuojami visi pastato ir interjero parametrai, pasirenkamas būsimo savininko ūgis arba vidutinis žmogaus ūgis. Toks požiūris leidžia suprojektuoti namą ne tik harmoningą, bet ir tikrai individualų.

Išvada

Praktikoje, remiantis atsiliepimais iš tų, kurie nusprendė statyti namą pagal aukso pjūvio taisyklę, gerai pastatytas pastatas iš tikrųjų pasirodo gana patogus gyventi. Tačiau pastato kaina dėl individualaus projektavimo ir nestandartinių dydžių statybinių medžiagų naudojimo padidėja 60-70%. Ir šiame požiūryje nėra nieko naujo, nes dauguma praėjusio amžiaus pastatų buvo pastatyti specialiai atsižvelgiant į individualias būsimų savininkų savybes.

Kai žiūrime į gražų kraštovaizdį, mus apima viskas, kas mus supa. Tada atkreipiame dėmesį į detales. Šurmuliuojanti upė arba didingas medis. Matome žalią lauką. Pastebime, kaip vėjas švelniai jį apkabina ir purto žolę iš vienos pusės į kitą. Jaučiame gamtos aromatą ir girdime paukščių giesmę... Viskas harmoninga, viskas tarpusavyje susiję ir suteikia ramybės, grožio pojūtį. Suvokimas vyksta etapais, šiek tiek mažesnėmis dalimis. Kur jūs sėdėsite ant suolo: ant krašto, viduryje ar bet kur? Dauguma atsakys, kad yra šiek tiek toliau nuo vidurio. Apytikslis suoliuko proporcijos nuo jūsų kūno iki krašto skaičius būtų 1,62. Tai tas pats kine, bibliotekoje, visur. Mes instinktyviai kuriame harmoniją ir grožį, kurį visame pasaulyje vadinu „Auksiniu santykiu“.

Auksinis pjūvis matematikoje

Ar kada susimąstėte, ar įmanoma nustatyti grožio matą? Pasirodo, matematiniu požiūriu tai įmanoma. Auksinio santykio principo dėka paprasta aritmetika suteikia absoliučios harmonijos sampratą, kuri atsispindi nepriekaištingu grožiu. Kitų Egipto ir Babilono architektūrinės struktūros pirmosios pradėjo atitikti šį principą. Tačiau Pitagoras pirmasis suformulavo principą. Matematikoje tai atkarpos padalijimas šiek tiek daugiau nei per pusę, tiksliau – 1,628. Šis santykis pateikiamas kaip φ =0,618= 5/8. Mažas segmentas = 0,382 = 3/8, o visas segmentas laikomas vienu.

A:B=B:C ir C:B=B:A

Aukso pjūvio principą naudojo didieji rašytojai, architektai, skulptoriai, muzikantai, meno žmonės, krikščionys, piešę piktogramas (penkiakampes žvaigždes ir kt.) su jos elementais bažnyčiose, bėgdami nuo piktųjų dvasių, besimokantys žmonės. tikslieji mokslai, kibernetikos problemų sprendimas.

Aukso pjūvis gamtoje ir reiškiniuose.

Viskas žemėje įgauna formą, auga aukštyn, į šoną arba spirale. Archimedas daug dėmesio skyrė pastarajam ir sudarė lygtį. Pagal Fibonacci seriją yra kūgis, kiautas, ananasas, saulėgrąža, uraganas, voratinklis, DNR molekulė, kiaušinis, laumžirgis, driežas...

Titirijus įrodė, kad visa mūsų Visata, erdvė, galaktikos erdvė – viskas suplanuota remiantis Auksiniu principu. Aukščiausią grožį galima perskaityti absoliučiai visame, kas gyva ir negyva.

Auksinis santykis žmoguje.

Kaulai taip pat sukurti pagal 5/8 proporciją. Tai pašalina žmonių abejones dėl „plačių kaulų“. Daugumos kūno dalių santykis taikomas lygtims. Jei visos kūno dalys paklus Auksinei formulei, išoriniai duomenys bus labai patrauklūs ir idealiai proporcingi.

Atkarpa nuo pečių iki viršugalvio ir jo dydis = 1:1 .618
Atkarpa nuo bambos iki viršugalvio ir nuo pečių iki viršugalvio = 1:1 .618
Atkarpa nuo bambos iki kelių ir nuo jų iki pėdų = 1:1 .618
Atkarpa nuo smakro iki tolimiausio viršutinės lūpos taško ir nuo jos iki nosies = 1:1 .618


Visi veido atstumas suteikia bendrą vaizdą apie idealias proporcijas, kurios traukia akį.
Pirštai, delnas, taip pat paklūsta įstatymams. Taip pat reikia atkreipti dėmesį į tai, kad išskėstų rankų ilgis su liemeniu yra lygus žmogaus ūgiui. Kodėl, visi organai, kraujas, molekulės atitinka Auksinę formulę. Tikra harmonija mūsų erdvėje ir už jos ribų.

Parametrai iš fizinės aplinkinių veiksnių pusės.

Garso garsumas. Aukščiausias garso taškas, sukeliantis nemalonų pojūtį ir skausmą ausyje = 130 decibelų. Šį skaičių galima padalyti iš proporcijos 1,618, tada paaiškėja, kad žmogaus riksmo garsas bus = 80 decibelų.
Naudodami tą patį metodą, judėdami toliau, gauname 50 decibelų, būdingų normaliam žmogaus kalbos garsumui. Ir paskutinis garsas, kurį gauname formulės dėka, yra malonus šnabždesys = 2,618.
Naudojant šį principą, galima nustatyti optimalų-patogų, minimalų ir maksimalų temperatūros, slėgio ir drėgmės skaičių. Paprasta harmonijos aritmetika yra įterpta į visą mūsų aplinką.

Aukso pjūvis mene.

Architektūroje žymiausi pastatai ir statiniai yra: Egipto piramidės, majų piramidės Meksikoje, Paryžiaus katedra, graikų Partenonas, Petro rūmai ir kt.

Muzikoje: Arenskis, Bethovenas, Havanas, Mocartas, Šopenas, Šubertas ir kt.

Tapyboje: pagal skerspjūvį nutapyti beveik visi garsių menininkų paveikslai: universalus Leonardo da Vinci ir nepakartojamas Mikelandželas, tokie raštijos giminaičiai kaip Šiškinas ir Surikovas, gryniausio meno idealas – ispanas Rafaelis ir italas Botticelli, davęs moteriško grožio idealą, ir daugelis kitų.

Poezijoje: užsakyta Aleksandro Sergejevičiaus Puškino kalba, ypač „Eugenijus Oneginas“ ir eilėraštis „Batsiuvys“, nuostabiųjų Šotos Rustaveli ir Lermontovo poezija ir daugybė kitų puikių žodžio meistrų.

Skulptūroje: Apolono Belvederio, Olimpiečio Dzeuso, gražiosios Atėnės ir grakščios Nefertitės statula bei kitos skulptūros ir statulos.

Fotografija naudoja „trečdalių taisyklę“. Principas toks: kompozicija padalinta į 3 lygias dalis vertikaliai ir horizontaliai, pagrindiniai taškai yra arba sankirtos linijose (horizontas), arba susikirtimo taškuose (objektas). Taigi proporcijos yra 3/8 ir 5/8.
Pagal „Auksinį santykį“ yra daug gudrybių, kurias verta išsamiai išnagrinėti. Smulkiau juos aprašysiu kitame.