Įvertinkite skaitmeninio argumento trikampio išraišką. Pamoka „Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos“

Vaizdo pamokoje „Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos“ pateikiama vaizdinė medžiaga, suteikianti aiškumo aiškinant temą klasėje. Demonstracijos metu nagrinėjamas trigonometrinių funkcijų reikšmės formavimo iš skaičiaus principas, aprašyta nemažai pavyzdžių, mokančių iš skaičiaus apskaičiuoti trigonometrinių funkcijų reikšmes. Šio vadovo pagalba lengviau ugdyti įgūdžius sprendžiant aktualias problemas ir pasiekti, kad medžiaga įsimintų. Vadovo naudojimas padidina pamokos efektyvumą ir padeda greitai pasiekti mokymosi tikslus.

Pamokos pradžioje rodomas temos pavadinimas. Tada užduotis yra rasti atitinkamą kosinusą tam tikram skaitiniam argumentui. Pažymima, kad šią problemą galima išspręsti paprastai ir tai galima aiškiai parodyti. Ekrane rodomas vienetinis apskritimas, kurio centras yra pradžioje. Pažymima, kad apskritimo susikirtimo taškas su teigiama abscisių ašies pusašiu yra taške A(1;0). Pateiktas taško M pavyzdys, kuris reiškia argumentą t=π/3. Šis taškas pažymėtas vienetiniame apskritime, o nuo jo nusileidžia statmenas abscisių ašiai. Rasta taško abscisė yra cos t kosinusas. Šiuo atveju taško abscisė bus x=1/2. Todėl cos t=1/2.

Apibendrinant nagrinėtus faktus, pažymima, kad prasminga kalbėti apie funkciją s=cos t. Pažymima, kad studentai jau turi tam tikrų žinių apie šią funkciją. Apskaičiuojamos kai kurios kosinuso reikšmės: cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Su šia funkcija taip pat susijusios funkcijos s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Pažymima, kad jie turi bendrą pavadinimą visiems – trigonometrines funkcijas.

Demonstruojami svarbūs ryšiai, kurie naudojami sprendžiant uždavinius su trigonometrinėmis funkcijomis: pagrindinė tapatybė sin 2 t+ cos 2 t=1, liestinės ir kotangento išraiška per sinusą ir kosinusą tg t=sin t/cos t, kur t≠π/ 2+πk kϵZ, ctg t= cos t/sin t, kur t≠πk kϵZ, taip pat liestinės ir kotangento santykis tg t·ctg t=1 kur t≠πk/2 kϵZ.

Toliau siūlome nagrinėti ryšio 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t įrodymą, kai kϵZ t≠π/2+πk. Norint įrodyti tapatybę, reikia pavaizduoti tg 2 t sinuso ir kosinuso santykio forma, o tada kairėje pusėje esančius terminus suvesti į bendrą vardiklį 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos. 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Naudodami pagrindinę trigonometrinę tapatybę, skaitiklyje gauname 1, tai yra galutinę išraišką 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Tapatumas 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t įrodomas panašiai, kai t≠πk kϵZ. Kaip ir ankstesniame įrodyme, kotangentas pakeičiamas atitinkamu kosinuso ir sinuso santykiu, o abu kairėje pusėje esantys terminai sumažinami iki bendro vardiklio 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. Pritaikę pagrindinį trigonometrinį tapatumą skaitikliui gauname 1/ sin 2 t. Tai yra išsireiškimas, kurio mes ieškome.

Svarstomas pavyzdžių sprendimas, kuriame įgytos žinios taikomos. Pirmoje užduotyje reikia rasti kaštų reikšmes tgt, ctgt, jei žinomas skaičiaus sinusas sint=4/5, o t priklauso intervalui π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Toliau nagrinėjame panašios problemos sprendimą, kai žinoma liestinė tgt = -8/15, o argumentas apsiriboja reikšmėmis 3π/2

Norėdami rasti sinuso reikšmę, naudojame tangento apibrėžimą tgt= sint/cost. Iš jo randame sint= tgt·kaina=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Žinodami, kad kotangentas yra atvirkštinė liestinės funkcija, randame ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Matematikos pamokos efektyvumui mokykloje didinti naudojama video pamoka „Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos“. Nuotolinio mokymosi metu ši medžiaga gali būti naudojama kaip vaizdinė priemonė ugdant įgūdžius sprendžiant problemas, susijusias su trigonometrinėmis skaičiaus funkcijomis. Norint įgyti šiuos įgūdžius, studentui gali būti patariama savarankiškai išnagrinėti vaizdinę medžiagą.

TEKSTO IŠKODAVIMAS:

Pamokos tema „Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos“.

Bet kuris realusis skaičius t gali būti susietas su vienareikšmiškai apibrėžtu skaičiumi cos t. Norėdami tai padaryti, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) išdėstykite skaičių apskritimą koordinačių plokštumoje taip, kad apskritimo centras sutaptų su koordinačių pradžia, o apskritimo pradžios taškas A patektų į tašką (1;0);

2) rasti apskritime tašką, atitinkantį skaičių t;

3) raskite šio taško abscisę. Tai yra cos t.

Todėl kalbėsime apie funkciją s = cos t (es lygus kosinusui te), kur t yra bet koks realusis skaičius. Mes jau šiek tiek supratome apie šią funkciją:

• išmoko apskaičiuoti kai kurias reikšmes, pavyzdžiui, cos 0=1, cos = 0, cos = ir tt (nulio kosinusas lygus vienetui, pi kosinusas iš dviejų lygus nuliui, pi kosinusas iš trijų yra lygus pusei ir pan.).
• ir kadangi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės yra tarpusavyje susijusios, mes supratome dar tris funkcijas: s = sint; s = tgt; s = ctgt. (es lygus sinusui te, es lygus tangentui te, es lygus kotangentui te)

Visos šios funkcijos vadinamos skaitinio argumento t trigonometrinėmis funkcijomis.

Iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų išplaukia kai kurie ryšiai:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinuso kvadratas plius kosinusas yra lygus vienetui)

2) tgt = jei t ≠ + πk, kϵZ (liestinė te yra lygi sinuso te ir kosinuso te santykiui, kai te nėra lygus pi iš dviejų plius pi ka, ka priklauso zet)

3) ctgt = kai t ≠ πk, kϵZ (kotangentas te lygus kosinuso te ir sinuso te santykiui, kai te nelygus pi ka, ka priklauso zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1, kai t ≠ , kϵZ (liestinės te sandauga su kotangentu te yra lygi vienetui, kai te nėra lygi smailei ka, padalinta iš dviejų, ka priklauso zet)

Įrodykime dar dvi svarbias formules:

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 PAVYZDYS. Raskite kainą, tgt, ctgt, jei sint = ir< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Sprendimas. Iš pirmojo santykio randame, kad kosinuso kvadratas te yra lygus vienam minus sinuso kvadratui te: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

Tai reiškia, kad cos 2 t = 1 -() 2 = (kosinuso kvadratas te lygus devynioms dvidešimt penktoms dalims), tai yra, kaina = (kosinusas te lygus trims penktadaliams) arba kaštai = - (kosinusas te lygus minus trys penktadaliai). Pagal sąlygą argumentas t priklauso antrajam ketvirčiui, o jame cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Tai reiškia, kad kosinusas te yra lygus minus trims penktadaliams, kaina = - .

Apskaičiuokime tangentą te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(liestinė te yra lygi sinuso te ir kosinuso te santykiui, todėl nuo keturių penktadalių iki minus trys penktadaliai ir lygi minus keturiems trečdaliams)

Atitinkamai apskaičiuojame (skaičiaus te kotangentas. nes kotangentas te lygus te kosinuso ir te sinuso santykiui,) ctgt = = - .

(kotangentas te lygus minus trims ketvirtadaliams).

Atsakymas: kaina = - , tgt= - ; ctgt = - . (atsakymą užpildome, kai jį išsprendžiame)

2 PAVYZDYS. Yra žinoma, kad tgt = - ir< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Sprendimas. Naudokime šį ryšį ir pakeiskime reikšmę šia formule, kad gautume:

1 + (-) 2 = (vienas kosinuso kvadratui te yra lygus vieno ir kvadrato sumai, atėmus aštuonias penkioliktąsias dalis). Iš čia randame cos 2 t =

(kosinuso kvadratas te lygus dviem šimtams dvidešimt penkiems dviem šimtams aštuoniasdešimt devintoms dalims). Tai reiškia, kad kaina = (kosinusas te yra penkiolika septynioliktųjų dalių) arba

kaina =. Pagal sąlygą argumentas t priklauso ketvirtajam ketvirčiui, kur kaina>0. Todėl kaina = .(cosenus te yra lygi penkiolikai septynioliktųjų dalių)

Raskime argumento sine te reikšmę. Kadangi iš santykio (parodyti santykį tgt =, kai t ≠ + πk, kϵZ) sinusas te yra lygus tangento te ir kosinuso te sandaugai, tai pakeičiant argumento te..liestinė te reikšmę yra lygi minus aštuonioms penkioliktosioms dalims .. pagal sąlygą, o kosinusas te lygus išspręstam anksčiau, gauname

sint = tgt ∙ kaina = (-) ∙ = - , (sinusas te lygus minus aštuonioms septynioliktosioms)

ctgt = = - . (kadangi kotangentas te yra liestinės grįžtamasis dydis, o tai reiškia, kad kotangentas te yra lygus minus penkiolika aštuonioliktųjų dalių)

Pamoka ir pranešimas tema: „Skaitinio argumento trigonometrinė funkcija, apibrėžimas, tapatybės“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 10 klasei
Algebriniai parametrų uždaviniai, 9–11 kl
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ką mes studijuosime:
1. Skaitinio argumento apibrėžimas.
2. Pagrindinės formulės.
3. Trigonometrinės tapatybės.
4. Savarankiško sprendimo pavyzdžiai ir užduotys.

Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos apibrėžimas

Prisiminkime pagrindines formules:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Beje, kaip vadinasi ši formulė?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, su $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, $t≠πk$.

Išveskime naujas formules.

Trigonometrinės tapatybės

Dabar abi tapatybės puses padalinkime iš $sin^2(t)$.
Gauname: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t)) $.
Transformuokime: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Gauname naują tapatybę, kurią verta prisiminti:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, $t≠πk$.

Mums pavyko gauti dvi naujas formules. Prisiminkite juos.
Šios formulės naudojamos, jei iš kokios nors žinomos trigonometrinės funkcijos reikšmės reikia apskaičiuoti kitos funkcijos reikšmę.

Skaitinio argumento trigonometrinių funkcijų pavyzdžių sprendimas

$cos(t) =\frac(5)(7)$, raskite $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ už visus t.

Sprendimas:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Tada $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49) USD.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

2 pavyzdys.

$tg(t) = \frac(5)(12)$, raskite $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$ už visus 0 USD

Sprendimas:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Tada $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Gauname $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Tada $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, bet $0 Pirmojo ketvirčio kosinusas yra teigiamas. Tada $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Gauname: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai