Максимальное число всех множеств являющихся векторными пространствами. Векторное линейное пространство

Головизин В.В. Лекции по алгебре и геометрии. 4

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 2.

Лекция 22. Векторные пространства.

Краткое содержание: определение векторного пространства, его простейшие свойства, системы векторов, линейная комбинация системы векторов, тривиальная и нетривиальная линейная комбинация, линейно зависимые и независимые системы векторов, условия линейной зависимости или независимости системы векторов, подсистемы системы векторов, системы столбцов арифметического векторного пространства.

п.1. Определение векторного пространства и его простейшие свойства.

Здесь, для удобства читателя, мы повторяем содержание п.13 лекции 1.

Определение. Пусть - произвольное непустое множество, элементы которого мы будем называть векторами,K– поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множествеопределена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множествеопределена внешняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называется векторным пространством над полем К, если выполняются следующие аксиомы:

1. Сложение ассоциативно, т.е.

2. Существует нулевой вектор, т.е.

3. Для любого вектора существует противоположный ему:

Вектор у, противоположный вектору х, обычно обозначается –х, так что

4. Сложение коммутативно, т.е. .

5. Умножение вектора на скаляр подчиняется закону ассоциативности, т.е.

где произведение есть произведение скаляров, определенное в поле К.

6. , где 1 - это единица поля К.

7. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов:

8. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров: .

Определение. Векторное пространство над полем вещественных чиселназывается вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или
.

4. .

Доказательство. 1) Единственность нулевого вектора доказывается также, как единственность единичной матриц и, вообще, как единственность нейтрального элемента любой внутренней бинарной алгебраической операции.

Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда. Пусть
– еще один нулевой вектор. Тогда. Возьмем в первом случае
, а во втором –
. Тогда
и
, откуда следует, что
, ч.т.д.

2а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.

Пусть
. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует

.

2б) Теперь докажем утверждение 4). Пусть
– произвольный вектор. Тогда

Отсюда сразу же следует, что вектор
является противоположным вектору х.

2в) Пусть теперь
. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства,
и
получаем:

2г) Пусть
и допустим, что
. Так как
, где К – поле, то существует
. Умножим равенство
слева на
:
, откуда следует
или
или
.

Теорема доказана.

п.2. Примеры векторных пространств.

1) Множество числовых вещественных функций одной переменной, непрерывных на интервале (0; 1) относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

2) Множество многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля Kотносительно сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр.

3) Множество комплексных чисел относительно сложения комплексных чисел и умножения на действительное число.

4) Множество матриц одного и того же размера с элементами из поля К относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр.

Следующий пример является важным частным случаем примера 4.

5) Пусть - произвольное натуральное число. Обозначим черезмножество всех столбцов высотыn, т.е. множество матриц над полемKразмера
.

Множество является векторным пространством над полем К и называется арифметическим векторным пространством столбцов высотыnнад полемK.

В частности, если вместо произвольного поля К взять поле действительных чисел , то векторное пространство
называется вещественным арифметическим векторным пространством столбцов высотыn.

Аналогично, векторным пространством является и множество матриц над полем Kразмера
или, иначе, строк длиныn. Оно обозначается также черези также называется арифметическим векторным пространством строк длиныnнад полемK.

п.3. Системы векторов векторного пространства.

Определение. Системой векторов векторного пространства называют любое конечное непустое множество векторов этого пространства.

Обозначение:
.

Определение. Выражение

, (1)

где - скаляры поля К,– векторы векторного пространстваV, называется линейной комбинацией системы векторов
. Скалярыназываются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение. Если все коэффициенты линейной комбинации (1) равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тривиальной, в противном случае – нетривиальной.

Пример. Пусть
система из трех векторов векторного пространстваV. Тогда

– тривиальная линейная комбинация данной системы векторов;

– нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов, т.к. первый коэффициент этой комбинации
.

Определение. Если какой-либо вектор х векторного пространства Vможет быть представлен в виде:

то говорят, что вектор х линейно выражается через векторы системы
. В этом случае говорят также, что система
линейно представляет вектор х.

Замечание. В этом и предыдущем определении слово "линейно" часто пропускают и говорят, что система представляет вектор или вектор выражается через векторы системы и т.п.

Пример. Пусть
– система из двух столбцов арифметического вещественного векторного пространства столбцов высоты 2. Тогда столбец
линейно выражается через столбцы системы или данная система столбцов линейно представляет столбец х. Действительно,

п.4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов векторного пространства.

Так как произведение нулевого скаляра на любой вектор есть нулевой вектор и сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, то для любой системы векторов выполняется равенство

Отсюда следует, что нулевой вектор линейно выражается через векторы любой системы векторов или, говоря иначе, любая система векторов линейно представляет нулевой вектор.

Пример. Пусть
. В этом случае нулевой столбецможно линейно выразить через столбцы системы не одним способом:

или

Чтобы различать эти способы линейного представления нулевого вектора введем следующее определение.

Определение. Если выполняется равенство

и при этом все коэффициенты , то говорят, что система
представляет нулевой вектор тривиально. Если же в равенстве (3) хотя бы один из коэффициентов
не равен нулю, тогда говорят, что система векторов
представляет нулевой вектор нетривиально.

Из последнего примера мы видим, что существуют системы векторов, которые могут представлять нулевой вектор нетривиально. Из следующего примера мы увидим, что существуют системы векторов, которые не могут представлять нулевой вектор нетривиально.

Пример. Пусть
– система двух столбцов из векторного пространства. Рассмотрим равенство:

,

где
неизвестные пока коэффициенты. Используя правила умножения столбца на скаляр (число) и сложения столбцов, получаем равенство:

.

Из определения равенства матриц следует, что
и
.

Таким образом, данная система не может представлять нулевой столбец нетривиально.

Из приведенных примеров следует, что существует два вида систем векторов. Одни системы представляют нулевой вектор нетривиально, а другие нет. Отметим еще раз, что любая система векторов представляет нулевой вектор тривиально.

Определение. Система векторов векторного пространства, которая представляет нулевой вектор ТОЛЬКО тривиально называется линейно независимой.

Определение. Система векторов векторного пространства, которая может представить нулевой вектор нетривиально называется линейно зависимой.

Последнее определение можно дать в более развернутом виде.

Определение. Система векторов
векторного пространстваVназывается линейно зависимой, если найдется такой ненулевой набор скаляров поляK

Замечание. Любая система векторов
может представлять нулевой вектор тривиально:

Но этого недостаточно, чтобы выяснить линейно зависимая или же линейно независимая данная система векторов. Из определения следует, что линейно независимая система векторов не может представлять нулевой вектор нетривиально, а только тривиально. Поэтому для того, чтобы убедиться в линейной независимости данной системы векторов, нужно рассмотреть представление нуля произвольной линейной комбинацией этой системы векторов:

Если это равенство невозможно при условии, чтобы хотя бы один коэффициент этой линейной комбинации был ненулевой, тогда эта система является по определению линейно независимой.

Так в примерах предыдущего параграфа система столбцов
является линейно независимой, а система столбцов
является линейно зависимой.

Аналогично доказывается линейная независимость системы столбцов ,, ... ,

из пространства , где К - произвольное поле,n– произвольное натуральное число.

Следующие теоремы дают несколько критериев линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система
линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть
,
.

Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :

Обозначим:
, где.

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы:

Перенесем вектор в правую часть этого равенства:

Так как коэффициент при векторе равен
, то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов
, что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть система линейно независимая. Допустим противное и существует вектор системы линейно выражающийся через другие вектора этой системы. Тогда по теореме система является линейно зависимой и мы приходим к противоречию.

Достаточность. Пусть ни один из векторов системы не выражается через другие. Допустим противное. Пусть система линейно зависимая, но тогда из теоремы следует, что существует вектор системы линейно выражающийся через другие векторы этой системы и мы опять приходим к противоречию.

2а) Пусть система содержит нулевой вектор. Допустим для определенности, что вектор
:. Тогда очевидно равенство

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы. Из теоремы следует, что такая система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Заметим, что этот факт можно доказать непосредственно из определения линейно зависимой системы векторов.

Так как
, то следующее равенство очевидно

Это нетривиальное представление нулевого вектора, а значит система
является линейно зависимой.

2б) Пусть система имеет два равных вектора. Пусть для определенности
. Тогда очевидно равенство

Т.е. первый вектор линейно выражается через остальные векторы этой же системы. Из теоремы следует, что данная система линейно зависимая, ч.т.д.

Аналогично предыдущему это утверждение можно доказать и непосредственно определения линейно зависимой системы.

Действительно, так как
, то верно равенство

т.е. мы имеем нетривиальное представление нулевого вектора.

Следствие доказано.

Теорема (О линейной зависимости системы из одного вектора.

Система, состоящая из одного вектора является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Доказательство.

Необходимость. Пусть система
линейно зависимая, т.е. существует нетривиальное представление нулевого вектора

,

где
и
. Из простейших свойств векторного пространства следует, что тогда
.

Достаточность. Пусть система состоит из одного нулевого вектора
. Тогда эта система представляет нулевой вектор нетривиально

,

откуда следует линейная зависимость системы
.

Теорема доказана.

Следствие. Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

Доказательство оставляется читателю как упражнение.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Ве́кторное (или лине́йное ) простра́нство - математическая структура , которая представляет собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка . Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства - его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубому геометрическому описанию, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ. ), где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев - подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Кроме векторов, линейная алгебра изучает также тензоры более высокого ранга (скаляр считается тензором ранга 0, вектор - тензором ранга 1).

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Определение

Линейное , или векторное пространство $V\; \backslash left(F\; \backslash right)$ над полем $F$ - это упорядоченная четвёрка $(V,F,+,\backslash cdot)$, где

• $V$ - непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами ;
• $F$ - (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами ;
• Определена операция сложения векторов $V\backslash times\; V\backslash to\; V$, сопоставляющая каждой паре элементов $\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\}$ множества $V$ $V$, называемый их суммой и обозначаемый $\backslash mathbf\{x\}\; +\; \backslash mathbf\{y\}$;
• Определена операция умножения векторов на скаляры $F\backslash times\; V\backslash to\; V$, сопоставляющая каждому элементу $\backslash lambda$ поля $F$ и каждому элементу $\backslash mathbf\{x\}$ множества $V$ единственный элемент множества $V$, обозначаемый $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf\{x\}$ или $\backslash lambda\backslash mathbf\{x\}$;

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел $\backslash mathbb\{R\}^2$ может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным - над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент $\backslash mathbf\{0\}\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$ для любого $\backslash mathbf\{x\}\; \backslash in\; V$.
4. Для любого $\backslash mathbf\{x\}\; \backslash in\; V$ противоположный элемент $-\backslash mathbf\{x\}\; \backslash in\; V$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash mathbf\{x\}$ для любого $\backslash mathbf\{x\}\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf\{x\})\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf\{x\})$ для любых $\backslash alpha\; \backslash in\; F$ и $\backslash mathbf\{x\}\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf\{0\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$ для любого $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество $K$ линейного пространства $V$ такое, что $K$ само является линейным пространством по отношению к определенным в $V$ действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как $\backslash mathrm\{Lat\}(V)$. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. для всякого вектора $\backslash mathbf\{x\}\backslash in\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf\{x\}$ также принадлежал $K$, при любом $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. для всяких векторов $\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\}\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash mathbf\{x\}+\backslash mathbf\{y\}$ также принадлежал $K$.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

Для всяких векторов $\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\}\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf\{x\}+\backslash beta\backslash mathbf\{y\}$ также принадлежал $K$ для любых $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными .

Свойства подпространств

• Пересечение любого семейства подпространств - снова подпространство;
• Сумма подпространств $\backslash \{K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash \}$ определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов $K\_i$: $\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \{K\_i\}:=\; \backslash \{\backslash mathbf\{x\}\_1\; +\; \backslash mathbf\{x\}\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf\{x\}\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf\{x\}\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash \}$.
  • Сумма конечного семейства подпространств - снова подпространство.

Линейные комбинации

Конечная сумма вида

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf\{x\}\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf\{x\}\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf\{x\}\_n$

Линейная комбинация называется:

Базис. Размерность

Векторы $\backslash mathbf\{x\}\_1,\; \backslash mathbf\{x\}\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf\{x\}\_n$ называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf\{x\}\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf\{x\}\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf\{x\}\_n\; =\; \backslash mathbf\{0\},\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из $V$ называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Свойства базиса:

• Любые $n$ линейно независимых элементов $n$-мерного пространства образуют базис этого пространства.
• Любой вектор $\backslash mathbf\{x\}\; \backslash in\; V$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

Линейная оболочка

Линейная оболочка $\backslash mathcal\; V(X)$ подмножества $X$ линейного пространства $V$ - пересечение всех подпространств $V$, содержащих $X$.

Линейная оболочка является подпространством $V$.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным $X$. Говорят также, что линейная оболочка $\backslash mathcal\; V(X)$ - пространство, натянутое на множество $X$.

Линейная оболочка $\backslash mathcal\; V(X)$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из $X$. В частности, если $X$ - конечное множество, то $\backslash mathcal\; V(X)$ состоит из всех линейных комбинаций элементов $X$. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если $X$ - линейно независимое множество, то оно является базисом $\backslash mathcal\; V(X)$ и тем самым определяет его размерность.

Примеры

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
• Пространство всех функций $X\backslash to\; F$ с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности $X$.
• Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально -мерное векторное пространство над полем рациональных чисел .
• Любое поле является одномерным пространством над собой.

Дополнительные структуры

См. также

Напишите отзыв о статье "Векторное пространство"

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. - 5-е. - М .: Добросвет, МЦНМО , 1998. - 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8 .
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. - М .: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 320 с. - ISBN 5-7913-0016-6 .
• Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. - М .: Наука , 1986. - 304 с.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. - 3-е. - М .: Наука ., 2004. - 368 с. - (Университетский учебник).
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. - 3-е. - М .: Наука , 1970. - 400 с.

• Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). - 2-е. - М .: Наука , 1986. - 400 с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. - М .: Мир , 1980. - 454 с.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. - М .: Физматлит, 2010. - 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. - М .: Физматгиз , 1963. - 263 с.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. - 5-е. - СПб. : Лань , 2007. - 416 с.
• Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. - 1-е. - М .: Физматлит , 2009. - 511 с.
• Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). - М.–Л.: ОНТИ , 1934. - 210 с.

Отрывок, характеризующий Векторное пространство

Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет и, кликнув адъютанта, приказал подать себе некоторые бумаги, относившиеся до состояния приходивших войск, и письма, полученные от эрцгерцога Фердинанда, начальствовавшего передовою армией. Князь Андрей Болконский с требуемыми бумагами вошел в кабинет главнокомандующего. Перед разложенным на столе планом сидели Кутузов и австрийский член гофкригсрата.
– А… – сказал Кутузов, оглядываясь на Болконского, как будто этим словом приглашая адъютанта подождать, и продолжал по французски начатый разговор.
– Я только говорю одно, генерал, – говорил Кутузов с приятным изяществом выражений и интонации, заставлявшим вслушиваться в каждое неторопливо сказанное слово. Видно было, что Кутузов и сам с удовольствием слушал себя. – Я только одно говорю, генерал, что ежели бы дело зависело от моего личного желания, то воля его величества императора Франца давно была бы исполнена. Я давно уже присоединился бы к эрцгерцогу. И верьте моей чести, что для меня лично передать высшее начальство армией более меня сведущему и искусному генералу, какими так обильна Австрия, и сложить с себя всю эту тяжкую ответственность для меня лично было бы отрадой. Но обстоятельства бывают сильнее нас, генерал.
И Кутузов улыбнулся с таким выражением, как будто он говорил: «Вы имеете полное право не верить мне, и даже мне совершенно всё равно, верите ли вы мне или нет, но вы не имеете повода сказать мне это. И в этом то всё дело».
Австрийский генерал имел недовольный вид, но не мог не в том же тоне отвечать Кутузову.
– Напротив, – сказал он ворчливым и сердитым тоном, так противоречившим лестному значению произносимых слов, – напротив, участие вашего превосходительства в общем деле высоко ценится его величеством; но мы полагаем, что настоящее замедление лишает славные русские войска и их главнокомандующих тех лавров, которые они привыкли пожинать в битвах, – закончил он видимо приготовленную фразу.
Кутузов поклонился, не изменяя улыбки.
– А я так убежден и, основываясь на последнем письме, которым почтил меня его высочество эрцгерцог Фердинанд, предполагаю, что австрийские войска, под начальством столь искусного помощника, каков генерал Мак, теперь уже одержали решительную победу и не нуждаются более в нашей помощи, – сказал Кутузов.
Генерал нахмурился. Хотя и не было положительных известий о поражении австрийцев, но было слишком много обстоятельств, подтверждавших общие невыгодные слухи; и потому предположение Кутузова о победе австрийцев было весьма похоже на насмешку. Но Кутузов кротко улыбался, всё с тем же выражением, которое говорило, что он имеет право предполагать это. Действительно, последнее письмо, полученное им из армии Мака, извещало его о победе и о самом выгодном стратегическом положении армии.
– Дай ка сюда это письмо, – сказал Кутузов, обращаясь к князю Андрею. – Вот изволите видеть. – И Кутузов, с насмешливою улыбкой на концах губ, прочел по немецки австрийскому генералу следующее место из письма эрцгерцога Фердинанда: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient». [Мы имеем вполне сосредоточенные силы, около 70 000 человек, так что мы можем атаковать и разбить неприятеля в случае переправы его через Лех. Так как мы уже владеем Ульмом, то мы можем удерживать за собою выгоду командования обоими берегами Дуная, стало быть, ежеминутно, в случае если неприятель не перейдет через Лех, переправиться через Дунай, броситься на его коммуникационную линию, ниже перейти обратно Дунай и неприятелю, если он вздумает обратить всю свою силу на наших верных союзников, не дать исполнить его намерение. Таким образом мы будем бодро ожидать времени, когда императорская российская армия совсем изготовится, и затем вместе легко найдем возможность уготовить неприятелю участь, коей он заслуживает».]

4.3.1 Определение линейного пространства

Пусть ā , , - элементы некоторого множества ā , , L и λ , μ - действительные числа, λ , μ R ..

Множество L называется линейным или векторным пространством, если определены две операции:

1 0 . Сложение. Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие элемент того же множества, называемый их суммой

ā + =

2°. Умножение на число. Любому действительному числу λ и элементу ā L ставится в соответствие элемент того же множества λ ā L и выполняются следующие свойства:

1. ā+ = + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. существуетнулевой элемент
, такой, что ā +=ā ;

4. существуетпротивоположный элемент -
такой, что ā +(-ā )=.

Если λ , μ - действительные числа, то:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Элементы линейного пространства ā, , ... называют векторами.

Упражнение. Покажите самостоятельно, что данные множества образуют линейные пространства:

1) Множество геометрических векторов на плоскости;

2) Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве;

3) Множество многочленов некоторой степени;

4) Множество матриц одинаковой размерности.

4.3.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства

Линейной комбинацией векторов ā 1 , ā 2 , …, ā n L называется вектор того же пространства вида:

,

где λ i - действительные числа.

Векторы ā 1 , .. , ā n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация будет нулевым вектором в том и только в том случае, когда все λ i равны нулю, то есть

λ i =0

Если же линейная комбинация будет нулевым вектором и хотя бы один из λ i отличен от нуля, то эти векторы называются линейно-зависимыми. Последнее означает, что хотя бы один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Действительно, пусть и, например,
. тогда,
, где

.

Максимально линейно-независимая упорядоченная система векторов называется базисом пространства L . Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Допустим, что существует n линейно-независимых векторов, тогда пространство называют n -мерным. Другие векторы пространства могут быть представлены как линейная комбинация n векторов базиса. За базис n - мерного пространства можно взять любые n линейно-независимых векторов этого пространства.

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств:

а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой)

б) множество векторов, принадлежащих плоскости

в) множество векторов трёхмерного пространства

г) множество многочленов степени не выше второй.

Решение.

а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные
, то
, λ - скаляр. Следовательно, базисом данного пространства является только один (любой) вектор, отличный от нулевого.

Обычно это пространство обозначают R , размерность его равна 1.

б) любые два неколлинеарные векторы
будут линейно-независимы, а любые три вектора на плоскости - линейно-зависимы. Для любого вектора , существуют числа  и  такие, что
. Пространство называют двумерным, обозначают R 2 .

Базис двумерного пространства образуют любые два неколлинеарных вектора.

в) Любые три некомпланарные векторы будут линейно независимые, они образуют базис трехмерного пространства R 3 .

г) В качестве базиса пространства многочленов степени не выше второй можно выбрать такие три вектора: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x ; ē 3 =1 .

(1 - это многочлен, тождественно равный единице). Данное пространство будет трехмерным.

Ве́кторное (или лине́йное ) простра́нство - математическая структура , которая представляет собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства - его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубому геометрическому описанию, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ. ) , где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев - подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Кроме векторов, линейная алгебра изучает также тензоры более высокого ранга (скаляр считается тензором ранга 0, вектор - тензором ранга 1).

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Линейное , или векторное пространство V (F) {\displaystyle V\left(F\right)} над полем F {\displaystyle F} - это упорядоченная четвёрка (V , F , + , ⋅) {\displaystyle (V,F,+,\cdot)} , где

  • V {\displaystyle V} - непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами ;
  • F {\displaystyle F} - поле , элементы которого называются скалярами ;
  • Определена операция сложения векторов V × V → V {\displaystyle V\times V\to V} , сопоставляющая каждой паре элементов x , y {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} } множества V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} , называемый их суммой и обозначаемый x + y {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} } ;
  • Определена операция умножения векторов на скаляры F × V → V {\displaystyle F\times V\to V} , сопоставляющая каждому элементу λ {\displaystyle \lambda } поля F {\displaystyle F} и каждому элементу x {\displaystyle \mathbf {x} } множества V {\displaystyle V} единственный элемент множества V {\displaystyle V} , обозначаемый λ ⋅ x {\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {x} } или λ x {\displaystyle \lambda \mathbf {x} } ;

  Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным - над полем комплексных чисел).

  Простейшие свойства

  1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
  2. Нейтральный элемент 0 ∈ V {\displaystyle \mathbf {0} \in V}
  3. 0 ⋅ x = 0 {\displaystyle 0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} } для любого .
  4. Для любого x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} противоположный элемент − x ∈ V {\displaystyle -\mathbf {x} \in V} является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  5. 1 ⋅ x = x {\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} } для любого x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} .
  6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) {\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x})=-(\alpha \mathbf {x})} для любых и x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} .
  7. α ⋅ 0 = 0 {\displaystyle \alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} } для любого α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} .

  Связанные определения и свойства

  Подпространство

  Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K {\displaystyle K} линейного пространства V {\displaystyle V} такое, что K {\displaystyle K} само является линейным пространством по отношению к определенным в V {\displaystyle V} действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как L a t (V) {\displaystyle \mathrm {Lat} (V)} . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

  Последние два утверждения эквивалентны следующему:

  Для всяких векторов x , y ∈ K {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K} , вектор α x + β y {\displaystyle \alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} } также принадлежал K {\displaystyle K} для любых α , β ∈ F {\displaystyle \alpha ,\beta \in F} .

  В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными .

  Свойства подпространств

  Линейные комбинации

  Конечная сумма вида

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}

  Линейная комбинация называется:

  Базис. Размерность

  Векторы x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}} называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 , | α 1 | + | α 2 | + … + | α n | ≠ 0. {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0} ,\quad \ |\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|+\ldots +|\alpha _{n}|\neq 0.}

  В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

  Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из V {\displaystyle V} называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

  Свойства базиса:

  x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n {\displaystyle \mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}} .

  Линейная оболочка

  Линейная оболочка подмножества X {\displaystyle X} линейного пространства V {\displaystyle V} - пересечение всех подпространств V {\displaystyle V} , содержащих X {\displaystyle X} .

  Линейная оболочка является подпространством V {\displaystyle V} .

  Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X {\displaystyle X} . Говорят также, что линейная оболочка V (X) {\displaystyle {\mathcal {V}}(X)} - пространство, натянутое на множество X {\displaystyle X} .