Шинжлэх ухааны мэдлэгийн чухал үе шат бол онолын мэдлэг юм.
Онолын мэдлэгийн онцлог нь түүний онолын үндэслэлд тулгуурласнаар илэрхийлэгддэг. Онолын мэдлэг нь хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг.
Эхнийх нь ерөнхий байдал, хийсвэрлэл юм.
Нийтлэг тал нь онолын мэдлэг нь үзэгдлийн бүх талбарыг дүрсэлж, тэдгээрийн хөгжлийн ерөнхий хэв маягийн талаархи ойлголтыг өгдөгт оршдог.
Онолын мэдлэгийг бие даасан туршилтын өгөгдлөөр батлах, үгүйсгэх боломжгүй байдгаараа хийсвэр байдал илэрхийлэгддэг. Үүнийг зөвхөн бүхэлд нь үнэлэх боломжтой.
Хоёр дахь нь системчилсэн байдал бөгөөд онолын мэдлэгийн бие даасан элементүүдийг өөрчлөх, бүхэл бүтэн системийг бүхэлд нь өөрчлөх явдал юм. аксиоматик дедуктив судалгааны хайлт
Гурав дахь нь онолын мэдлэгийг философийн утгатай холбох явдал юм. Энэ нь тэднийг нэгтгэх гэсэн үг биш юм. Шинжлэх ухааны мэдлэг нь философийн мэдлэгээс ялгаатай нь илүү тодорхой байдаг.
Дөрөв дэх нь онолын мэдлэгийг бодит байдалд гүн гүнзгий нэвтрүүлэх, үзэгдэл, үйл явцын мөн чанарыг тусгах явдал юм.
Онолын мэдлэг нь үзэгдлийн талбарын дотоод, тодорхойлогч холболтыг хамардаг, онолын хуулиудыг тусгадаг.
Онолын мэдлэг нь анхдагч ерөнхий ба хийсвэр ойлголтоос үргэлж тодорхой ойлголт руу шилждэг.
Шинжлэх ухааны судалгааны онолын түвшин нь шинжлэх ухааны мэдлэгийн тусгай үе шатыг илэрхийлдэг бөгөөд харьцангуй бие даасан, өөрийн гэсэн тусгай зорилготой, философи, логик, материаллаг зорилгод тулгуурласан, судалгааны логик болон материаллаг хэрэглүүртээ тулгуурласан байдаг. Хийсвэрлэл, ерөнхий байдал, системчилсэн байдлаас шалтгаалан онолын мэдлэг нь дедуктив бүтэцтэй байдаг: бага ерөнхий байдлын онолын мэдлэгийг илүү ерөнхий байдлын онолын мэдлэгээс олж авч болно. Энэ нь онолын мэдлэгийн үндэс нь шинжлэх ухааны судалгааны онолын үндсийг бүрдүүлдэг анхны, тодорхой утгаараа хамгийн ерөнхий мэдлэг юм гэсэн үг.
Онолын судалгаа нь хэд хэдэн үе шатаас бүрдэнэ.
Эхний үе шат бол одоо байгаа онолын үндэслэлийг шинээр бий болгох эсвэл өргөжүүлэх явдал юм.
Судлаач одоогоор шийдэгдээгүй байгаа шинжлэх ухааны асуудлуудыг судалснаар дэлхийн одоо байгаа дүр зургийг өргөжүүлэх шинэ санааг эрэлхийлдэг. Гэвч хэрэв түүний тусламжтайгаар судлаач эдгээр асуудлыг шийдэж чадахгүй бол тэрээр дэлхийн шинэ дүр төрхийг бий болгож, түүнд шинэ элементүүдийг оруулахыг хичээдэг бөгөөд энэ нь түүний бодлоор эерэг үр дүнд хүргэх болно. Ийм элементүүд нь шинэ онолыг бий болгох үндэс суурь болдог ерөнхий санаа, үзэл баримтлал, зарчим, таамаглал юм.
Хоёрдахь шат нь шинжлэх ухааны онолыг аль хэдийн олдсон үндэслэлээр бий болгохоос бүрдэнэ. Энэ үе шатанд логик болон математикийн системийг бий болгох албан ёсны аргууд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Шинэ онолыг бий болгох явцад онолын судалгааны эхний үе шат руу буцах нь зайлшгүй юм. Гэхдээ энэ нь эхний шатыг хоёр дахь шат руу татан буулгах, гүн ухааны аргуудыг албан ёсны аргаар шингээх гэсэн үг биш юм.
Гурав дахь шат нь аливаа бүлэг үзэгдлийг тайлбарлах онолыг ашиглахаас бүрдэнэ.
Үзэгдлийн онолын тайлбар нь бие даасан бүлэг үзэгдлүүдтэй холбоотой энгийн хуулиудыг онолоос гаргах явдал юм.
Шинжлэх ухааны онол нь хэд хэдэн бүлгийг нэгтгэсэн үзэгдлийн талбарт байдаг гүн гүнзгий холболтын тусгал юм.
Онол бий болгохын тулд тухайн үзэгдлийн талбарт хамаарах үндсэн ойлголтуудыг олж, тэдгээрийг бэлгэдлийн хэлбэрээр илэрхийлж, тэдгээрийн хоорондын холбоог тогтоох шаардлагатай.
Үзэл баримтлалыг онолын үндэслэлд үндэслэн боловсруулдаг. Мөн тэдгээрийн хоорондын холбоог зарчим, таамаглалыг ашиглан олж илрүүлдэг. Ихэнх тохиолдолд онол бий болгохын тулд онолын үндэслэл хараахан аваагүй эмпирик өгөгдлийг ашигладаг. Тэдгээрийг онолын эмпирик үндэслэл гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь хоёр төрлийн байдаг: тодорхой туршилтын өгөгдөл хэлбэрээр, эмпирик хууль хэлбэрээр.
Шинэ онол үүсэхэд онолын урьдчилсан нөхцөл чухал. Тэдгээрийн тусламжтайгаар анхны ойлголтуудыг тодорхойлж, зарчим, таамаглал дэвшүүлж, үүний үндсэн дээр анхны ойлголтуудын хоорондын холбоо, харилцааг бий болгох боломжтой болдог. Анхны ойлголтуудын тодорхойлолт, түүнчлэн онолыг бий болгоход шаардлагатай зарчим, таамаглалыг онолын үндэс гэж нэрлэдэг.
Шинжлэх ухааны онол бол шинжлэх ухааны мэдлэгийг илэрхийлэх хамгийн гүнзгий бөгөөд төвлөрсөн хэлбэр юм.
Шинжлэх ухааны онолыг дараахь аргуудыг ашиглан бүтээдэг.
A) аксиоматик аргаҮүний дагуу онолын үндэс болсон анхны ойлголт, үйлдлүүдийг албан ёсоор танилцуулж, тодорхойлох замаар онолыг бий болгодог. Аксиоматик арга нь нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тодорхой заалтууд (аксиомууд) дээр суурилдаг. Энэ аргын хувьд дедукц дээр үндэслэн онолыг боловсруулдаг.
Онолын аксиоматик бүтэц нь дараахь зүйлийг агуулна.
- * хамгийн тохиромжтой объектуудыг тодорхойлох, тэдгээрээс таамаглал гаргах дүрмийг тодорхойлох;
- * аксиом ба дүрмийн анхны системийг томъёолох, тэдгээрээс гарсан дүгнэлт.
Энэ онолыг өгөгдсөн дүрмийн дагуу аксиомуудаас гаргаж авсан заалтуудын систем (теоремууд) болгон бүтээдэг.
Аксиоматик арга нь янз бүрийн шинжлэх ухаанд хэрэглээгээ олсон. Гэхдээ энэ нь математикт хамгийн том хэрэглээгээ олсон. Мөн энэ нь математикийн аргуудын хэрэглээний хамрах хүрээг ихээхэн өргөжүүлж, судалгааны үйл явцыг хөнгөвчлөхтэй холбоотой юм. Математикчийн хувьд энэ арга нь судалгааны объектыг илүү сайн ойлгох, түүний үндсэн чиглэлийг тодруулах, янз бүрийн арга, онолын нэгдэл, уялдаа холбоог ойлгох боломжийг олгодог.
Аксиоматик аргын хамгийн ирээдүйтэй хэрэглээ бол ашигласан ойлголтууд нь мэдэгдэхүйц тогтвортой байдаг, тэдгээрийн өөрчлөлт, хөгжлөөс хийсвэрлэх боломжтой шинжлэх ухаанд байдаг. Ийм нөхцөлд онолын янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын албан ёсны-логик холбоог тодорхойлох боломжтой болно.
б) генетикийн аргаТүүгээр дамжуулан дараахь зүйлийг чухал гэж хүлээн зөвшөөрсөн онолыг бий болгодог.
зарим анхны хамгийн тохиромжтой объектууд
тэдгээрийн талаар хүлээн зөвшөөрөгдсөн зарим арга хэмжээ.
Онол нь онолын хувьд хүлээн зөвшөөрөгдсөн үйлдлээр олж авсан анхны объектуудаас бүтээн байгуулалт болгон бүтээдэг. Ийм онолд анхныхаас гадна ядаж эцэс төгсгөлгүй барилгын үйл явцаар барьж болох объектуудыг л одоо байгаа гэж хүлээн зөвшөөрдөг.
V) гипотетик-дедуктив арга. Шинэлэг байдлын элементүүдийг агуулсан шинжлэх ухааны таамаглал, таамаглалыг боловсруулахад үндэслэсэн. Таамаглал нь үзэгдэл, үйл явцыг илүү бүрэн, илүү сайн тайлбарлаж, туршилтаар баталгаажуулж, шинжлэх ухааны ерөнхий хууль тогтоомжид нийцсэн байх ёстой.
Таамаглал нь онолын судалгааны мөн чанар, арга зүйн үндэс, цөмийг бүрдүүлдэг. Энэ нь онолын хөгжлийн чиглэл, цар хүрээг тодорхойлдог.
Шинжлэх ухааны судалгааны явцад таамаглалыг хоёр зорилгоор ашигладаг: түүний тусламжтайгаар одоо байгаа баримтуудыг тайлбарлах, шинэ, үл мэдэгдэх зүйлийг урьдчилан таамаглах. Судалгааны даалгавар бол таамаглалын магадлалын түвшинг үнэлэх явдал юм. Таамаглалаас янз бүрийн дүгнэлт гаргаснаар судлаач түүний онолын болон эмпирик нийцтэй эсэхийг дүгнэдэг. Хэрэв таамаглалаас эсрэг тэсрэг үр дагавар гарах юм бол таамаглал хүчингүй болно.
Энэ аргын мөн чанар нь таамаглалаас үр дагаврыг гаргах явдал юм.
Энэхүү судалгааны арга нь хэрэглээний шинжлэх ухаанд гол бөгөөд хамгийн түгээмэл арга юм.
Энэ нь гол төлөв ажиглалтын болон туршилтын өгөгдөлтэй харьцдагтай холбоотой юм.
Энэ аргыг ашиглан судлаач туршилтын өгөгдлийг боловсруулсны дараа тэдгээрийг онолын хувьд ойлгож, тайлбарлахыг хичээдэг. Таамаглал нь урьдчилсан тайлбар болж өгдөг. Гэхдээ энд таамаглалын үр дагавар нь туршилтын баримтуудтай зөрчилдөхгүй байх шаардлагатай.
Гипотетик-дедуктив арга нь байгалийн шинжлэх ухааны олон тооны онолын бүтцийг судалж буй судлаачдад хамгийн тохиромжтой арга юм. Энэ бол тэдгээрийг барихад хэрэглэгддэг зүйл юм.
Энэ аргыг физикт хамгийн өргөн ашигладаг.
Таамаглал-дедуктив арга нь одоо байгаа бүх мэдлэгийг нэгтгэж, тэдгээрийн хооронд логик холболт тогтоохыг эрмэлздэг. Энэ арга нь янз бүрийн түвшний таамаглалуудын бүтэц, хамаарлыг судлах төдийгүй эмпирик мэдээллээр баталгаажуулах шинж чанарыг судлах боломжийг олгодог. Таамаглалуудын хооронд логик холболт бий болсноор тэдгээрийн аль нэгийг батлах нь үүнтэй логик холбоотой бусад таамаглалыг баталгаажуулахыг шууд бусаар харуулах болно.
Шинжлэх ухааны судалгааны явцад хамгийн хэцүү ажил бол цаашдын дүгнэлтийн үндэс болох эдгээр зарчим, таамаглалыг олж тогтоох, боловсруулах явдал юм.
Таамаглал-дедуктив арга нь энэ үйл явцад туслах үүрэг гүйцэтгэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар шинэ таамаглал дэвшүүлдэггүй, зөвхөн тэдгээрийн үр дагаврыг туршиж үздэг бөгөөд энэ нь судалгааны үйл явцыг хянадаг.
G) математик аргууд"Математикийн арга" гэсэн нэр томъёо нь аливаа математикийн онолын аппаратыг тодорхой шинжлэх ухаанд ашиглахыг хэлнэ.
Эдгээр аргуудыг ашиглан тодорхой шинжлэх ухааны объектууд, тэдгээрийн шинж чанар, хамаарлыг математик хэлээр дүрсэлсэн болно.
Тодорхой шинжлэх ухааныг математикчлах нь зөвхөн тодорхой агуулгатай, нарийн тодорхойлогдсон хэрэглээний талбартай, хангалттай нарийн мэргэшсэн ойлголтуудыг боловсруулсан тохиолдолд л үр дүнтэй байдаг. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн математикийн онол өөрөө энэ хэлбэрээр агуулагдах агуулгыг тодорхойлдоггүй гэдгийг судлаач мэдэх ёстой. Иймд шинжлэх ухааны мэдлэгийн математик хэлбэр, түүний бодит агуулгыг ялгах шаардлагатай.
Янз бүрийн шинжлэх ухаан өөр өөр математикийн онолыг ашигладаг.
Тиймээс зарим шинжлэх ухаанд математикийн томъёог арифметикийн түвшинд ашигладаг бол заримд нь математикийн шинжилгээний хэрэгслийг ашигладаг бол заримд нь бүлгийн онол, магадлалын онол гэх мэт илүү төвөгтэй аппаратуудыг ашигладаг.
Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн тодорхой шинжлэх ухааны судалж буй объектуудын одоо байгаа бүх шинж чанар, хамаарлыг математик хэлбэрээр илэрхийлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Математик аргыг ашиглах нь юуны түрүүнд үзэгдлийн тоон талыг тусгах боломжийг олгодог. Гэхдээ математикийн хэрэглээг зөвхөн тоон тодорхойлолт болгон багасгах нь буруу байх болно. Орчин үеийн математик нь бодит байдлын объектын олон чанарын шинж чанарыг хэлээр нь харуулах, нэгтгэх боломжийг олгодог онолын хэрэгсэлтэй байдаг.
Математикийн аргыг бараг бүх шинжлэх ухаанд ашиглаж болно.
Энэ нь аливаа шинжлэх ухааны судалдаг объект нь математик ашиглан судалдаг тоон тодорхой байдалтай байдагтай холбоотой юм. Гэвч янз бүрийн шинжлэх ухаанд математикийн аргуудыг хэр зэрэг ашиглаж байгаа нь харилцан адилгүй байдаг. Математикийн аргыг тухайн шинжлэх ухаанд боловсорч гүйцсэн, өөрөөр хэлбэл шинжлэх ухааны аргыг ашиглан үзэгдлийг чанарын хувьд судлах талаар илүү урьдчилсан ажил хийгдсэн үед л хэрэглэж болно.
Математикийн аргыг ашиглах нь аливаа шинжлэх ухааны хувьд үр дүнтэй байдаг. Энэ нь үзэгдлийн үнэн зөв тоон дүрслэлд хүргэж, тодорхой, тодорхой ойлголтыг хөгжүүлэх, өөр аргаар олж авах боломжгүй дүгнэлт гаргахад хувь нэмэр оруулдаг.
Зарим тохиолдолд материалыг математикийн аргаар боловсруулах нь өөрөө шинэ санаа гарч ирэхэд хүргэдэг. Тодорхой шинжлэх ухаан математикийн аргыг ашиглах нь түүний онолын болон логикийн өндөр түвшинг харуулж байна.
Орчин үеийн шинжлэх ухаан ихээхэн системчилсэн байдаг. Сүүлийн үед математикийн аргыг одон орон, физик, хими, механикт ашигладаг байсан бол одоо биологи, социологи, эдийн засаг болон бусад шинжлэх ухаанд амжилттай ашиглаж байна.
Өнөө үед компьютерийн үед тооцооны нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан шийдвэрлэх боломжгүй гэж үзсэн асуудлыг математикийн аргаар шийдвэрлэх боломжтой болсон.
Одоогийн байдлаар шинжлэх ухаанд математикийн аргын эвристик ач холбогдол бас их байна. Математик улам бүр шинжлэх ухааны нээлтийн хэрэгсэл болж байна. Энэ нь шинэ баримтыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог төдийгүй шинжлэх ухааны шинэ санаа, үзэл баримтлалыг бий болгоход хүргэдэг.
Аксиоматик аргыг анх Евклид анхан шатны геометрийг бүтээхэд амжилттай ашигласан. Тэр цагаас хойш энэ арга нь ихээхэн хувьсалд орж, зөвхөн математикт төдийгүй байгалийн шинжлэх ухааны олон салбарт (механик, оптик, электродинамик, харьцангуйн онол, сансар судлал гэх мэт) олон тооны хэрэглээг олсон.
Аксиоматик аргыг хөгжүүлэх, сайжруулах нь нэгдүгээрт, аргын ерөнхий ойлголт, хоёрдугаарт, аксиомоос теорем гаргах явцад ашигласан логик аргуудыг хөгжүүлэх гэсэн хоёр үндсэн шугамын дагуу явагдсан. Болсон өөрчлөлтийн мөн чанарыг илүү тодорхой төсөөлөхийн тулд Евклидийн анхны аксиоматик руу хандъя. Мэдэгдэж байгаагаар геометрийн анхны ухагдахуун, аксиомуудыг нэг бөгөөд цорын ганц аргаар тайлбарладаг. Цэг, шугам, хавтгай гэж геометрийн үндсэн ойлголтуудын хувьд орон зайн объектуудыг идеал болгосон бөгөөд геометр нь өөрөө физик орон зайн шинж чанарыг судалдаг шинжлэх ухаан гэж тооцогддог. Евклидийн аксиомууд нь зөвхөн геометрийн шинж чанарыг тайлбарлахаас гадна бусад математик, тэр ч байтугай физик объектуудын хувьд үнэн болох нь аажмаар тодорхой болсон. Тэгэхээр, хэрэв цэг гэж бид бодит тоонуудын гурав дахин, шулуун шугам ба хавтгайд харгалзах шугаман тэгшитгэлийг хэлж байгаа бол эдгээр бүх геометрийн бус объектуудын шинж чанарууд нь Евклидийн геометрийн аксиомуудыг хангана. Эдгээр аксиомуудыг физик объектуудын тусламжтайгаар, жишээлбэл, механик болон физик-химийн системийн төлөв байдал эсвэл олон янзын өнгөний мэдрэмжийн тусламжтайгаар тайлбарлах нь илүү сонирхолтой юм. Энэ бүхэн нь геометрийн аксиомуудыг огт өөр шинж чанартай объектуудыг ашиглан тайлбарлаж болохыг харуулж байна.
Аксиоматикийн энэхүү хийсвэр хандлагыг Н.И.Лобачевский, Ж.Боляй, К.Ф.Гаусс, Б.Риманн нар Евклидийн бус геометрийг нээсэн нь ихээхэн бэлтгэсэн юм. Аксиомыг олон янзаар тайлбарлах боломжийг олгодог хийсвэр хэлбэр гэж үзэх шинэ үзлийн хамгийн тууштай илэрхийлэл нь Д.Хилбертийн алдарт "Геометрийн үндэс" (1899) бүтээлээс олдсон юм. Тэрээр энэ номондоо “Бид гурван өөр юмсын системийг боддог: бид эхний системийн зүйлсийг цэг гэж нэрлээд A, B, C,... гэж тэмдэглэдэг; Бид хоёр дахь системийн юмсыг шууд гэж нэрлээд a, b, c,... гэж тэмдэглэнэ; Гурав дахь системийн зүйлсийг бид хавтгай гэж нэрлээд a, B, y,..." гэж тэмдэглэдэг. Эндээс харахад "цэг", "шулуун шугам", "хавтгай" гэж бид аливаа объектын системийг хэлж болно. Тэдний шинж чанарыг холбогдох аксиомоор тайлбарлах нь чухал юм. Аксиомын агуулгыг хийсвэрлэх зам дахь дараагийн алхам нь тэдгээрийг томъёо хэлбэрээр бэлгэдлийн дүрслэл, түүнчлэн зарим томьёо (аксиом) -аас бусад томъёо (теорем) -ийг хэрхэн гаргахыг тодорхойлсон дүгнэлтийн дүрмийн нарийн тодорхойлолттой холбоотой юм. олж авдаг. Үүний үр дүнд судалгааны энэ үе шатанд үзэл баримтлалтай утга учиртай үндэслэл нь урьдчилан тогтоосон дүрмийн дагуу томьёотой зарим үйлдлүүд болж хувирдаг. Өөрөөр хэлбэл, утга учиртай сэтгэлгээ нь энд тооцоололд тусгагдсан байдаг. Энэ төрлийн аксиоматик системийг ихэвчлэн албан ёсны синтакс систем буюу тооцоолол гэж нэрлэдэг.
Орчин үеийн шинжлэх ухаанд бүх гурван төрлийн аксиоматжуулалтыг ашигладаг. Албан ёсны аксиоматик системийг ихэвчлэн тодорхой шинжлэх ухааны логик үндсийг судлахдаа ашигладаг. Ийм судалгаа нь олонлогийн онол дахь парадоксуудыг нээсэнтэй холбоотойгоор математикт хамгийн өргөн цар хүрээтэй болсон. Албан ёсны системүүд нь шинжлэх ухааны тусгай хэлийг бий болгоход чухал үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар ердийн, байгалийн хэлний алдааг аль болох арилгах боломжтой юм.
Зарим эрдэмтэд энэ цэгийг тодорхой шинжлэх ухаанд логик-математикийн аргыг хэрэглэх үйл явцын бараг гол зүйл гэж үздэг. Иймд биологид аксиоматик аргыг хэрэглэх анхдагчдын нэг Английн эрдэмтэн И.Вудгер энэхүү аргыг биологи болон байгалийн шинжлэх ухааны бусад салбаруудад хэрэглэх нь тооцоолол хийх шинжлэх ухааны төгс хэлийг бий болгоход оршино гэж үздэг. боломжтой. Ийм хэлийг бий болгох үндэс нь албан ёсны систем буюу тооцоолол хэлбэрээр илэрхийлэгддэг аксиоматик арга юм. Хоёр төрлийн анхны тэмдэгтүүд нь албан ёсны хэлний цагаан толгойн үүрэг гүйцэтгэдэг: логик ба хувь хүн.
Логик тэмдэг нь олон буюу ихэнх онолуудад нийтлэг байдаг логик холболт, харилцааг илэрхийлдэг. Хувь хүний тэмдэгтүүд нь математик, физик, биологийн гэх мэт судалж буй онолын объектуудыг төлөөлдөг. Цагаан толгойн үсгүүдийн тодорхой дараалал нь үгийг бүрдүүлдэгтэй адил эрэмбэлэгдсэн тэмдэгтүүдийн хязгаарлагдмал цуглуулга нь албан ёсны хэлний томъёо, илэрхийллийг бүрдүүлдэг. Хэлний утга учиртай илэрхийлэлийг ялгахын тулд зөв зохиосон томъёоны тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Хиймэл хэлийг бүтээх үйл явцыг дуусгахын тулд нэг томьёог нөгөө рүү гаргах, хөрвүүлэх дүрмийг тодорхой тайлбарлаж, зөв хийгдсэн зарим томъёог аксиом болгон тодруулахад хангалттай. Тиймээс албан ёсны хэлийг бий болгох нь утга учиртай аксиоматик системийг бий болгохтой ижил аргаар явагддаг. Томьёотой утга учиртай үндэслэл гаргах нь эхний тохиолдолд хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй тул энд үр дагаврыг логик гарган авах нь тэмдэгтүүд болон тэдгээрийн хослолуудтай ажиллахад зориулагдсан нарийн тогтоосон үйлдлүүдийг гүйцэтгэхэд хүргэдэг.
Шинжлэх ухаанд албан ёсны хэлийг ашиглах гол зорилго нь шинжлэх ухаанд шинэ мэдлэг олж авах үндэслэлд шүүмжлэлтэй дүн шинжилгээ хийх явдал юм. Албан ёсны хэл нь утга учиртай үндэслэлийн зарим талыг тусгадаг тул оюуны үйл ажиллагааг автоматжуулах боломжийг үнэлэхэд ашиглаж болно.
Орчин үеийн математикт хийсвэр аксиоматик системийг хамгийн өргөн ашигладаг бөгөөд энэ нь судалгааны сэдэвт туйлын ерөнхий хандлагаар тодорхойлогддог. Орчин үеийн математикч тодорхой тоо, функц, шугам, гадаргуу, вектор гэх мэт зүйлсийн талаар ярихын оронд шинж чанар нь аксиомын тусламжтайгаар нарийн тодорхойлогдсон хийсвэр объектуудын янз бүрийн багцыг авч үздэг. Ийм цуглуулгууд буюу олонлогуудыг тэдгээрийг дүрсэлсэн аксиомуудын хамт одоо ихэвчлэн хийсвэр математикийн бүтэц гэж нэрлэдэг.
Аксиоматик арга нь математикт ямар давуу тал өгөх вэ? Нэгдүгээрт, энэ нь математикийн аргын хэрэглээний хамрах хүрээг ихээхэн өргөжүүлж, судалгааны үйл явцыг ихэвчлэн хөнгөвчилдөг. Тодорхой газар нутагт тодорхой үзэгдэл, үйл явцыг судлахдаа эрдэмтэн хийсвэр аксиоматик системийг шинжилгээний бэлэн хэрэгсэл болгон ашиглаж болно. Судалж буй үзэгдлүүд нь тодорхой математикийн онолын аксиомуудыг хангаж байгаа эсэхийг шалгасны дараа судлаач аксиомоос үүссэн бүх теоремуудыг нэмэлт хөдөлмөр шаарддаггүй шууд ашиглах боломжтой болно. Аксиоматик хандлага нь тодорхой шинжлэх ухааны мэргэжилтэнг нэлээд төвөгтэй, хэцүү математикийн судалгаа хийхээс хамгаалдаг.
Математикчийн хувьд энэ арга нь судалгааны объектыг илүү сайн ойлгох, түүний үндсэн чиглэлийг тодруулах, янз бүрийн арга, онолын нэгдмэл байдал, уялдаа холбоог ойлгох боломжийг олгодог. Аксиоматик аргын тусламжтайгаар бий болсон нэгдмэл байдал нь Н.Бурбакигийн дүрслэлээр "амьдралгүй араг ясыг өгдөг нэгдэл биш юм. Энэ бол бүрэн хөгжиж буй биеийн шим тэжээлт шүүс, уян хатан, үр бүтээлтэй судалгааны хэрэгсэл юм...” Аксиоматик аргын ачаар, ялангуяа албан ёсны хэлбэрээр нь янз бүрийн онолын логик бүтцийг бүрэн илчлэх боломжтой болдог. Хамгийн төгс хэлбэрээрээ энэ нь математикийн онолд хамаатай. Байгалийн шинжлэх ухааны мэдлэгийн хувьд бид онолын гол цөмийг аксиоматжуулахад өөрсдийгөө хязгаарлах ёстой. Цаашилбал, аксиоматик аргыг ашиглах нь бидний сэтгэхүйн явцыг илүү сайн хянах, шаардлагатай логик хатуу байдалд хүрэх боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч аксиоматжуулалтын гол үнэ цэнэ, ялангуяа математикийн хувьд энэ нь шинэ хэв маягийг судлах, өмнө нь бие биенээсээ тусгаарлагдмал мэт санагдаж байсан үзэл баримтлал, онолуудын хоорондын холбоог тогтоох арга хэрэгсэл болдог.
Байгалийн шинжлэх ухаанд аксиоматик аргын хязгаарлагдмал хэрэглээ нь юуны түрүүнд түүний онолыг туршлагаар байнга хянаж байх ёстой гэж тайлбарладаг.
Ийм учраас байгалийн шинжлэх ухааны онол хэзээ ч бүрэн бүтэн байдал, тусгаарлалтыг эрэлхийлдэггүй. Үүний зэрэгцээ математикийн хувьд тэд бүрэн байдлын шаардлагыг хангасан аксиомын системтэй ажиллахыг илүүд үздэг. Гэвч К.Гөделийн харуулсанчлан, үл тоомсорлох шинж чанартай аксиомуудын ямар ч тууштай систем бүрэн байж чадахгүй.
Аксиомын системийн тууштай байдлын шаардлага нь тэдгээрийн бүрэн бүтэн байдлын шаардлагаас хамаагүй чухал юм. Хэрэв аксиомын систем нь зөрчилдөөнтэй байвал энэ нь мэдлэгийн хувьд ямар ч үнэ цэнэгүй болно. Бүрэн бус системээр хязгаарлагдах замаар зөвхөн байгалийн шинжлэх ухааны онолын үндсэн агуулгыг аксиоматжуулах боломжтой бөгөөд туршилтаар онолыг цаашид хөгжүүлэх, боловсронгуй болгох боломжийг үлдээдэг. Хэд хэдэн тохиолдолд ийм хязгаарлагдмал зорилго ч гэсэн маш ашигтай байдаг, жишээлбэл, онолын зарим далд байр суурь, таамаглалыг олж илрүүлэх, олж авсан үр дүнг хянах, тэдгээрийг системчлэх гэх мэт.
Аксиоматик аргын хамгийн ирээдүйтэй хэрэглээ бол ашигласан ойлголтууд нь мэдэгдэхүйц тогтвортой байдаг, тэдгээрийн өөрчлөлт, хөгжлөөс хийсвэрлэх боломжтой шинжлэх ухаанд байдаг.
Ийм нөхцөлд онолын янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын албан ёсны-логик холбоог тодорхойлох боломжтой болно. Тиймээс аксиоматик арга нь таамаглал-дедуктив аргаас илүүтэйгээр бэлэн, хүрсэн мэдлэгийг судлахад тохирсон байдаг.
Мэдлэг үүсэх, түүний үүсэх үйл явцыг шинжлэх нь хөгжлийн хамгийн гүн гүнзгий, цогц сургаал болох материалист диалектикт хандахыг шаарддаг.
Аксиоматик арга гэдэг нь нотлох баримтгүйгээр (аксиом) хүлээн зөвшөөрөгдсөн тодорхой заалтуудыг үндэс болгон ашиглаж, бусад бүх зүйлийг цэвэр логик аргаар гаргаж авсан математикийн онолыг бий болгох арга юм. Энэхүү хандлагыг эрс хэрэглэснээр математикийг цэвэр логик болгон бууруулж, зөн совин, харааны геометрийн дүрслэл, индуктив үндэслэл гэх мэт зүйлсийг түүнээс хасдаг. Математикийн бүтээлч байдлын мөн чанар юу вэ гэдэг нь алга болдог. Яагаад энэ аргыг зохион бүтээсэн бэ? Энэ асуултад хариулахын тулд бид математикийн эхэн үе рүү буцах хэрэгтэй.
1. Аксиомууд: хоёр ойлголт
Сургуулиас бидний санаж байгаагаар математикийн нотолгоо, аксиом, теоремууд Эртний Грекд гарч ирсэн. Геометрийн аксиоматик бүтцийг олон үеийнхэнд математикийн хичээл заадаг номонд - Евклидийн элементүүдэд канонижуулсан болно. Гэхдээ тэр үед аксиом гэдэг ойлголтыг одоогийнхоос өөрөөр ойлгодог байсан. Өнөөг хүртэл сургуулийн сурах бичигт аксиом бол нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн илэрхий үнэн гэж заримдаа бичсэн байдаг. 19-р зуунд "илэрхий" гэдэг үг алга болсон тул энэ ойлголт маш их өөрчлөгдсөн. Аксиомууд нь тодорхой байхаа больсон хэвээр байгаа боловч тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг боловч зарчмын хувьд бүрэн дур зоргоороо байж болно. Энэхүү жижиг, өнгөцхөн харвал өөрчлөлтийн цаана философийн байр суурь эрс өөрчлөгдсөн - цорын ганц боломжтой математик бодит байдлыг хүлээн зөвшөөрөхөөс татгалзах явдал юм. Энэ өөрчлөлтөд гол үүрэг нь 19-р зуунд Н.И.Лобачевский, Ж.Боляй зэрэг эрдэмтдийн бүтээлийн ачаар Евклидийн бус геометр үүссэн түүх гол үүрэг гүйцэтгэсэн нь мэдээж.
2. Зэрэгцээ шулуунуудын аксиомын асуудал
Евклидийн бус геометрийн түүх нь Евклидийн тав дахь постулат гэж нэрлэгддэг параллель аксиомыг батлах оролдлогоор эхэлсэн: шугамын гаднах цэгээр дамжуулан өгөгдсөнтэй параллель нэгээс илүүгүй шугам зурж болохгүй. Энэ мэдэгдэл нь Евклидийн бусад аксиомуудаас мэдэгдэхүйц ялгаатай байв. Энэ нь бусад аксиомууд шиг тийм ч тодорхой биш гэдгийг батлах шаардлагатай мэт санагдсан; Эдгээр оролдлогууд олон зууны турш амжилтанд хүрээгүй; (Эдгээр оролдлого бүтэлгүйтэх нь тодорхой гэдгийг бид одоо мэдэж байна; энэ бол нотлогдоогүй математик мэдэгдлийн анхны жишээнүүдийн нэг байсан).
3. Лобачевскийн геометр
Зөвхөн 19-р зуунд л энэ мэдэгдэл үнэн хэрэгтээ нотлогдохгүй байж магадгүй бөгөөд биднийхээс огт өөр өөр геометр байдаг бөгөөд энэ аксиом нь худал болохыг ойлгосон. Лобачевский юу хийсэн бэ? Тэрээр ямар нэгэн мэдэгдлийг батлах гэж оролдохдоо математикчдын байнга хийдэг зүйлийг хийсэн. Дуртай арга бол зөрчилдөөнөөр нотлох явдал юм: өгөгдсөн мэдэгдлийг худал гэж бодъё. Үүнээс юу гарах вэ? Теоремыг батлахын тулд математикчид гаргасан таамаглалаас зөрчил гаргахыг оролддог. Гэхдээ энэ тохиолдолд Лобачевский хийсэн таамаглалаас улам бүр шинэ математик, геометрийн үр дагаврыг хүлээн авсан боловч тэдгээр нь маш үзэсгэлэнтэй, дотоод нийцтэй системд багтсан боловч бидний дассан Евклидийн системээс ялгаатай байв. Бидний дассан ертөнцөөс ялгаатай Евклидийн бус геометрийн шинэ ертөнц түүний нүдний өмнө нээгдэж байв. Энэ нь Лобачевскийг ийм геометр хийх боломжтой гэдгийг ойлгоход хүргэсэн. Үүний зэрэгцээ, Лобачевскийн геометрийн параллель аксиом нь бидний өдөр тутмын геометрийн зөн совинтой илт зөрчилдөж байсан: энэ нь зөн совингийн хувьд тодорхой бус төдийгүй энэ зөн совингийн үүднээс энэ нь худал байв.
Гэсэн хэдий ч үүнийг зарчмын хувьд боломжтой гэж төсөөлөх нь нэг хэрэг, геометрийн аксиомын ийм систем нийцтэй гэдгийг хатуу математикийн аргаар батлах өөр хэрэг юм. Энгийн Евклидийн геометрийн хүрээнд Евклидийн бус геометрийн аксиомуудын загварыг санал болгосон бусад математикчид болох Белтрами, Клейн, Пуанкаре нарын бүтээлээр хэдэн арван жилийн дараа үүнийг хийсэн. Лобачевскийн геометрийн үл нийцэл нь бидэнд танил болсон Евклидийн геометрийн үл нийцэлд хүргэнэ гэдгийг тэд үнэндээ тогтоосон. Үүний эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл логикийн үүднээс авч үзвэл хоёр систем нь бүрэн тэнцүү болж хувирдаг.
Үүнийг хэлсний дараа нэг анхааруулга хийх шаардлагатай байна. Евклидийн бус геометрийн түүхийг шинжлэх ухааны түүхэнд нэг бус удаа ажиглагдсан өөр нэг үзэгдэл маш сайн харуулсан. Заримдаа асуудлын шийдэл нь дараа нь биш, харин асуудал өөрөө хүн бүрт сайн ойлгогдохуйц тодорхой томъёоллыг хүлээн авахаас өмнө үүсдэг. Энэ тохиолдолд ийм байсан: 19-р зууны дунд үед анхан шатны геометрийн аксиомуудын бүрэн жагсаалт хараахан гараагүй байна. Евклидийн Элементүүд нь аксиоматик аргыг хэрэгжүүлэх тал дээр хангалттай нийцтэй байгаагүй. Евклидийн олон аргументууд нь түүний аксиомууд нь параллель постулатын нотлогдоогүй байдлын асуудлыг утга учиртай томъёолоход хангалтгүй байсан нь илт байв. Лобачевский Болятай, Белтрами Клейн, Пуанкаре нартай ижил байр суурьтай байв. Баталгаагүй байдлын асуудлыг зохих түвшний түвшинд тавих нь математик логикийн цоо шинэ аппарат, мөн адил аксиоматик аргыг боловсруулах шаардлагатай байв.
4. Аксиоматик аргыг бий болгох
Д.Гильберт "Геометрийн үндэс" ном хэвлэгдсэний дараа нөхцөл байдлыг ойлгосон бөгөөд тэрээр бидний эхлүүлсэн аксиоматик аргын тухай ойлголтыг дэвшүүлсэн. Гилберт геометрийн үндэс суурийг ойлгохын тулд логикоос бусад бүх зүйлийг аксиомоос бүрмөсөн хасах шаардлагатай гэдгийг ойлгосон. Тэрээр энэ санаагаа дараах байдлаар өнгөлөг илэрхийлэв. "Цэг, шугам, хавтгай" гэсэн ердийн нэр томъёог "сандал, ширээ, шар айрагны аяга" гэх мэтээр солих юм бол аксиом, теоремуудын хүчин төгөлдөр байдал огтхон ч ганхахгүй!
Анхан шатны геометрийн аксиомын анхны тууштай, бүрэн системийг бүтээсэн хүн нь Хильберт байсан бөгөөд энэ нь 19-р зууны төгсгөлд болсон юм. Тиймээс, энэ тохиолдолд геометрийн тодорхой мэдэгдлүүдийг батлах боломжгүй гэдгийг батлахын тулд аксиоматик аргыг бий болгосон.
Хилберт нээлтээрээ бахархаж, энэ аргыг бүх математикт, зөвхөн анхан шатны геометр төдийгүй арифметик, анализ, олонлогын онолд ч ашиглаж болно гэж бодсон. Тэрээр "Гилбертийн хөтөлбөр"-ийг тунхагласан бөгөөд түүний зорилго нь математикийн бүх хэсгүүдэд (тэр ч байтугай физикийн хэсгүүдэд) аксиомын системийг боловсруулж, дараа нь хязгаарлагдмал арга хэрэгслээр математикийн уялдаа холбоог тогтоох явдал байв. Гилберт аксиоматик аргын боломжуудыг ухаармагцаа ийм хөгжилд шууд зам нээгдсэн мэт санагдсан. Хилберт 1930 онд орос хэл рүү орчуулсан "Бид мэдэх ёстой, мөн бид мэдэх болно" гэх мэт алдартай хэллэгийг хүртэл хэлсэн бөгөөд энэ нь математикчдын мэдэх ёстой бүх зүйлийг тэд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сурах болно гэсэн үг юм. Гэвч энэ зорилго нь бодит бус байсан нь хожим тодорхой болсон. Хамгийн гайхалтай нь эдгээр итгэл найдварыг үр дүнтэй няцаасан теорем болох Курт Годелийн бүрэн бус байдлын теоремыг 1930 онд Хилберт энэ үйл явдлаас яг нэг хоногийн өмнө алдартай илтгэл тавьсан хурал дээр зарласан явдал юм.
5. Аксиоматик аргын боломжууд
Хилбертийн аксиоматик арга нь тодорхой тодорхойлогдсон математик мэдэгдлүүд дээр математикийн онолыг бий болгох боломжийг олгодог бөгөөд үүнээс бусад нь логикоор гаргаж авах боломжтой. Хилберт үнэндээ цаашаа явж, математикийг логик руу буулгах ажлыг үргэлжлүүлэх боломжтой гэж шийджээ. Та цааш нь асуулт асууж болно: "Логик үйлдэл гэж юу болох тухай тайлбараас ангижрах боломжтой юу?" Логик өөрөө аксиоматик аргаас хасагдаж болно. Аксиоматик онолуудаас бид албан ёсны аксиоматик онолууд руу шилждэг - эдгээр нь бэлгэдлийн хэлбэрээр бичигдсэн онолууд бөгөөд математик нь зөвхөн логик дүгнэлтүүдийн дараалал биш, харин тодорхой дүрмийн дагуу албан ёсны илэрхийллийг дахин бичих тоглоом болж хувирдаг. Гэнэн харвал ямар ч утгагүй энэ тоглоом нь "баталгаа" гэж юу болохын яг математик загварыг өгдөг. Энэ тоглоомд дүн шинжилгээ хийснээр математикийн теоремуудыг батлах боломжгүй гэдгийг баталж чадна. Гэхдээ гол зүйл нь: албан ёсны үр дүнд математикчид анх удаа бүрэн албан ёсны хэлүүдийг бүтээсэн нь програмчлалын хэл, мэдээллийн сангийн хэлийг бий болгоход хүргэсэн. Компьютерийн технологийн орчин үеийн хөгжил нь эцсийн эцэст 20-р зууны эхэн үед математикт хийсэн нээлтүүд дээр суурилдаг.
6. Аксиоматик аргын шүүмжлэл
Олон математикчид аксиоматик аргыг ямар зорилгоор бүтээсэн гэж шүүмжилдэг: энэ нь математикийн утгыг арилгадаг. Учир нь эхлээд бид математикийг янз бүрийн геометрийн ойлголт, зөн совингоо арилгадаг. Албан ёсны аксиоматик онол руу шилжихэд бид ерөнхийдөө логикийг математикаас хөөж байна. Үүний үр дүнд бодит нотолгоонд үлдсэн бүх зүйл бол албан ёсны тэмдэгтүүдээс бүрдсэн араг яс юм. Сүүлчийн давуу тал нь бид "утга" ба "зөн совин" гэж юу болохыг мэддэггүй, гэхдээ бид хязгаарлагдмал тэмдэгт бүхий заль мэх гэж юу болохыг сайн мэддэг. Энэ нь нарийн төвөгтэй үзэгдлийн үнэн зөв математик загварыг бий болгох боломжийг олгодог - нотлох баримт - түүнийг математикийн шинжилгээнд хамруулах.
Математик нотолгоо нь анхлан ярилцагчийг тодорхой мэдэгдлийн зөв гэдэгт итгүүлэх сэтгэл зүйн үйл явц байсан юм. Албан ёсны системд энэ нь тийм биш юм: бүх зүйл цэвэр механик процесс болж буурсан. Энэхүү цэвэр механик процессыг компьютер гүйцэтгэж болно. Гэсэн хэдий ч аливаа загварын нэгэн адил механик процесс нь бодит нотлох баримтын зарим шинж чанарыг л дамжуулдаг. Энэ загвар нь хэрэглэх боломжийн хязгаартай. Албан ёсны нотолгоо нь "бодит" математикийн баталгаа юм уу математикчид үнэн хэрэгтээ тодорхой албан ёсны систем дотор ажилладаг гэж бодох нь буруу юм.
Математикийн заах талаар тусад нь дурдах нь зүйтэй. Сургуулийн сурагчдын боловсролыг механик үйлдэл (алгоритм) хийх эсвэл албан ёсны логик дүгнэлт гаргахад үндэслэхээс илүү муу зүйл байхгүй. Ингэснээр та хүний аливаа бүтээлч эхлэлийг сүйтгэж чадна. Үүний дагуу математикийг заахдаа Хилбертийн утгаар хатуу аксиоматик аргын байр сууринаас хандах ёсгүй - энэ нь тийм ч зорилготой биш юм.
Аксиоматик арга нь шинжлэх ухааны онолыг дедуктив аргаар бий болгох аргуудын нэг бөгөөд үүнд:
1. нотолгоогүйгээр хүлээн зөвшөөрсөн тодорхой онолын (аксиом) тодорхой багц саналуудыг сонгосон;
2. тэдгээрт багтсан ойлголтууд нь энэ онолын хүрээнд тодорхой тодорхойлогдоогүй;
3. өгөгдсөн онолыг сонгох дүрэм, тодорхойлолтын дүрэм нь тогтмол бөгөөд энэ нь онолд шинэ нэр томъёо (үзэл баримтлал) нэвтрүүлэх, бусдаас зарим саналыг логикоор гаргах боломжийг олгодог;
4. энэ онолын бусад бүх санал (теорем) нь 3-ын үндсэн дээр 1-ээс гаралтай.
Математикийн хувьд AM нь эртний Грекийн геометрийн бүтээлүүдээс гаралтай. Гайхалтай, 19-р зууныг хүртэл цорын ганц хэвээр үлдсэн. AM ашиглах загвар нь геометр байсан. гэж нэрлэгддэг систем Евклидийн "Эхлэл" (МЭӨ 300 орчим). Хэдийгээр тэр үед логик логикийг тайлбарлах асуулт хараахан гараагүй байсан. аксиомуудаас утга учиртай үр дагаврыг гаргаж авахад ашигладаг хэрэгсэл бол Евклидийн системд геометрийн үндсэн агуулгыг бүхэлд нь олж авах санаа аль хэдийн тодорхой хэрэгжсэн. онолууд нь тодорхой, харьцангуй цөөн тооны мэдэгдлээс цэвэр дедуктив байдлаар - аксиомууд бөгөөд тэдгээрийн үнэн нь тодорхой харагдаж байв.
Эхэндээ нээх 19-р зуун Н.И.Лобачевский, Ж.Боляй нарын Евклидийн бус геометр нь AM-ийн цаашдын хөгжилд түлхэц болсон бөгөөд тэд Евклидийн ердийн бөгөөд үүнийг үгүйсгэхтэй зэрэгцэх цорын ганц "объектив үнэн" V постулатыг орлуулсан болохыг тогтоожээ. , Та цэвэр логикийг хөгжүүлэх боломжтой. геометрээр Евклидийн геометр шиг зохицсон, баялаг агуулгатай онол. Энэ баримт нь 19-р зууны математикчдыг албадсан. Математикийг бий болгох дедуктив аргад онцгой анхаарал хандуулах. Математикийн математик, албан ёсны (аксиоматик) математикийн үзэл баримтлалтай холбоотой шинэ асуудлууд гарч ирэхэд хүргэсэн онолууд. онолууд. Аксиоматик туршлага хуримтлуулсан. математикийн танилцуулга онолууд - энд юуны түрүүнд логикийн хувьд төгс бус (Евклидийн элементүүдээс ялгаатай) энгийн геометрийн барилгын ажил дууссаныг тэмдэглэх нь зүйтэй [М. Паш (М. Пасч), Ж.Пиано (Г.Пиано), Д.Хилберт (Д.Хилберт)] болон арифметикийг аксиоматжуулах анхны оролдлогууд (Ж. Пеано), - албан ёсны аксиоматик ойлголтыг тодруулсан. системүүд (доороос үзнэ үү); тодорхой шинж чанар гарч ирэв. үндсэн дээр гэж нэрлэгддэг асуудлууд нотлох онолорчин үеийн математикийн үндсэн хэсэг. логик.
Математик, энэ чиглэлээр тодорхой даалгавруудыг үндэслэлтэй болгох хэрэгцээ шаардлагыг ойлгох нь 19-р зуунд аль хэдийн тодорхой эсвэл тодорхой хэлбэрээр үүссэн. Үүний зэрэгцээ, нэг талаас, үндсэн ойлголтуудыг тодруулах, илүү нарийн төвөгтэй ойлголтыг хамгийн энгийн, нарийн, логикийн хувьд улам бүр хатуу үндсэн дээр буулгах ажлыг Ч. арр. шинжилгээний салбарт [А.Коши, Б.Болзано, К.Вейерштрасс нарын функциональ-онолын үзэл баримтлал, Г.Кантор, Р.Дедекинд (Р.Дедекинд)-ийн үргэлжлэл]; нөгөө талаас Евклидийн бус геометрийг нээсэн нь математикийн математикийн хөгжил, шинэ санаа гарч ирэх, илүү ерөнхий метаматематикийн асуудлуудыг боловсруулахад түлхэц болсон. зан чанар, юуны түрүүнд дурын аксиоматик ойлголттой холбоотой асуудлууд. аксиомын тодорхой системийн тууштай байдал, бүрэн бүтэн байдал, бие даасан байдлын асуудлууд гэх мэт онолууд. Энэ чиглэлийн анхны үр дүнг тайлбарлах аргаар авчирсан бөгөөд үүнийг ойролцоогоор дараах байдлаар тодорхойлж болно. Өгөгдсөн аксиоматикийн анхны ойлголт, хамаарал бүрийг үзье. Т онол нь тодорхой математикийн онолтой нийцдэг. объект. Ийм объектуудын цуглуулга гэж нэрлэдэг. тайлбарын талбар. Т онолын мэдэгдэл бүр нь одоо үнэн эсвэл худал байж болох тайлбарын талбарын элементүүдийн талаархи тодорхой мэдэгдэлтэй зүй ёсоор холбоотой байдаг. Дараа нь Т онолын мэдэгдлийг тухайн тайлбарын дагуу үнэн эсвэл худал гэж хэлдэг. Тайлбарын талбар ба түүний шинж чанарууд нь ихэвчлэн математикийн онолын, ерөнхийдөө өөр нэг математикийн онолыг авч үзэх объект болдог. Т 1 онол, ялангуяа аксиоматик байж болно. Тайлбарлах арга нь харьцангуй тууштай байдлын баримтыг дараах байдлаар тогтоох боломжийг олгодог, өөрөөр хэлбэл: "Хэрэв Т 1 онол нийцтэй бол Т онол ч нийцтэй байна" гэх мэт саналуудыг нотлох боломжийг олгодог. Т онолыг Т 1 онолын бүх аксиомууд Т 1 онолын үнэн шүүлтүүдээр тайлбарлагдахаар Т 1 онолд тайлбарлая. Дараа нь Т онолын теорем бүр, өөрөөр хэлбэл, Т дахь аксиомуудаас логикоор гаргасан А мэдэгдэл бүрийг T 1-д аксиомуудын тайлбараас T 1-д гаргасан тодорхой мэдэгдлээр тайлбарладаг. би, тиймээс үнэн. Сүүлчийн мэдэгдэл нь бид логикийн тодорхой ижил төстэй байдлыг далд хэлбэрээр хийдэг өөр нэг таамаглал дээр суурилдаг. Т ба Т 1 онолын утга боловч практикт энэ нөхцөл ихэвчлэн хангагдсан байдаг. (Тайлбарын аргыг хэрэглэх эхэн үед энэ таамаглалыг тусгайлан бодож байгаагүй: үүнийг зүгээр л хүлээн зөвшөөрсөн; үнэн хэрэгтээ анхны туршилтуудын хувьд логикийн харьцангуй тууштай байдлын талаархи теоремуудын нотолгоо. Т ба Т 1 онолын хэрэгсэл нь зүгээр л давхцаж байсан - энэ бол предикатуудын сонгодог логик байсан ) Одоо Т онол нь зөрчилтэй байг, өөрөөр хэлбэл энэ онолын зарим A батлалыг үгүйсгэхийн хамт гаргаж болно. Дараа нь дээр дурдсанаас үзэхэд мэдэгдэл нь T 1 онолын үнэн мэдэгдэл байх болно, өөрөөр хэлбэл T 1 онол нь хоорондоо зөрчилддөг. Энэ аргыг жишээ нь нотолсон [Ф. Klein (F. Klein), A. Poincare (N. Poincare)] Евклидийн геометрийг тууштай гэж үзсэний дагуу Евклидийн Лобачевскийн геометрийн тууштай байдал; мөн Евклидийн геометрийн Гильбертийн аксиоматжуулалтын нийцлийн тухай асуудлыг (Д. Хильберт) арифметикийн тууштай байдлын асуудал болгон бууруулсан. Тайлбарлах арга нь аксиомын системийн бие даасан байдлын асуудлыг шийдэх боломжийг бидэнд олгодог: Атеорийн Т аксиом нь энэ онолын бусад аксиомуудаас хамаардаггүй, өөрөөр хэлбэл тэдгээрээс дүгнэлт гаргах боломжгүй гэдгийг батлах, мөн, Иймээс энэ онолын хамрах хүрээг бүхэлд нь олж авахад зайлшгүй шаардлагатай тул Абил аксиом худал, энэ онолын бусад бүх аксиомууд үнэн байх Т онолын ийм тайлбарыг хийхэд хангалттай. Бие даасан байдлыг нотлох энэ аргын өөр нэг хэлбэр нь тухайн онолд TaxiomA-г үгүйсгэх замаар сольсон тохиолдолд олж авсан онолын тууштай байдлыг тогтоох явдал юм. Дээр дурдсан Лобачевскийн геометрийн тууштай байдлын асуудлыг Евклидийн геометрийн тууштай байдлын асуудал болгон, сүүлийнх нь арифметикийн тууштай байдлын асуудал болгон бууруулснаар Евклидийн постулатыг тайлах боломжгүй гэсэн дүгнэлт гарч байна. натурал тоонуудын арифметик нийцэхгүй бол геометрийн бусад аксиомууд. Тайлбарлах аргын сул тал нь аксиомын системийн тууштай байдал, бие даасан байдлын асуудалд зөвхөн харьцангуй шинж чанартай үр дүнг олж авах боломжийг олгодог. Гэхдээ энэ аргын чухал ололт нь түүний тусламжтайгаар математикийн шинжлэх ухаан болох арифметикийн онцгой үүргийг нэлээд үнэн зөв үндэслэлээр илрүүлсэн явдал байв. Онолын хувьд, бусад хэд хэдэн онолын ижил төстэй асуултыг тууштай байдлын асуулт болгон бууруулсан.
A. m цаашдын хөгжлийг хүлээн авсан бөгөөд тодорхой утгаараа энэ нь Д.Хилберт болон түүний сургуулийн бүтээлүүд гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр оргил үе байв. арга формализмматематикийн үндэс. Энэ чиглэлийн хүрээнд аксиоматик ойлголтыг тодруулах дараагийн шатыг боловсруулсан. онолууд, тухайлбал үзэл баримтлал албан ёсны систем.Энэхүү тодруулгын үр дүнд математикийг өөрсдөө төлөөлөх боломжтой болсон. онолуудыг яг математик гэж үздэг объект болон ерөнхий онолыг барих, эсвэл мета онол,ийм онолууд. Үүний зэрэгцээ, энэ замаар математикийн үндэс суурьтай холбоотой бүх гол асуултуудыг шийдвэрлэх хэтийн төлөв (мөн Д.Хилберт нэгэн цагт түүнд сэтгэл татам байсан) санагдав. Энэ чиглэлийн гол үзэл баримтлал нь албан ёсны тогтолцооны тухай ойлголт юм. Аливаа албан ёсны систем нь томъёо гэж нэрлэгддэг томьёоны дэд ангиллыг тодорхой нарийн аргаар ялгадаг илэрхийллийн нарийн тодорхойлогдсон ангилал - томьёо гэж бүтээгдсэн байдаг. Энэхүү албан ёсны системийн теоремууд. Үүний зэрэгцээ, албан ёсны системийн томьёо нь ямар ч утга учиртай утгыг шууд агуулдаггүй бөгөөд тэдгээрийг зөвхөн техникийн тав тухыг харгалзан дур зоргоороо, ерөнхийдөө дүрс эсвэл энгийн тэмдэгтүүдээс бүтээж болно. Үнэн хэрэгтээ, тодорхой албан ёсны системийн теоремын томъёо, үзэл баримтлалыг бий болгох арга барил нь тодорхой математикийн (болон математикийн бус) бүхэл бүтэн албан ёсны аппаратыг илүү хангалттай, бүрэн илэрхийлэхэд ашиглах боломжтой байхаар сонгосон. ) онол, илүү нарийвчлалтай, түүний баримтаар агуулга ба түүний дедуктив бүтэц. Дурын албан ёсны S системийг бий болгох (тодорхойлох) ерөнхий схем нь дараах байдалтай байна.
I. System S хэл:
a) цагаан толгой - системийн энгийн тэмдэгтүүдийн жагсаалт;
б) үүсэх дүрмүүд (синтакс) - S системийн томьёо нь үндсэн тэмдэгтүүдээс бүтсэн дүрмүүд, энэ тохиолдолд энгийн тэмдэгтүүдийн дарааллыг зөвхөн үүсэх дүрмийг ашиглан бүтээх боломжтой бол томъёо гэж үзнэ; .
II. Системийн аксиомууд S. Томъёоны тодорхой багцыг (ихэвчлэн хязгаарлагдмал эсвэл тоолж болохуйц) гэж нэрлэдэг. системийн аксиомууд С.
III. Системийг татан буулгах дүрэм С.Системийн бүх томъёоны багц дээр (ихэвчлэн хязгаарлагдмал) предикатуудын багцыг тогтоодог С.За - к.-л. Эдгээр предикатуудын хувьд, хэрэв эдгээр томъёоны хувьд мэдэгдэл үнэн бол дүрмийн дагуу томъёо нь томъёоноос шууд гардаг гэж тэд хэлдэг.
7. Магадлалын онол:
Магадлалын онол -санамсаргүй үзэгдлийн зүй тогтлыг судалдаг математикийн шинжлэх ухаан. Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол үзэл баримтлал юм санамсаргүй үйл явдал (эсвэл зүгээр л үйл явдал ).
Үйл явдалтуршлагын үр дүнд тохиолдож болох эсвэл болохгүй аливаа баримт юм. Санамсаргүй тохиолдлын жишээнүүд: шоо шидэх үед зургаа унасан, техникийн төхөөрөмж эвдэрсэн, мессежийг холбооны сувгаар дамжуулах үед гажуудал. Зарим үйл явдлуудтай холбоотой байдаг тоо , эдгээр үйл явдал тохиолдох объектив боломжийн түвшинг тодорхойлдог, гэж нэрлэдэг үйл явдлын магадлал .
"Магадлал" гэсэн ойлголтод хэд хэдэн хандлага байдаг.
Магадлалын онолын орчин үеийн бүтээн байгуулалт нь дээр суурилдаг аксиоматик хандлага олонлогын онолын анхан шатны ойлголтууд дээр суурилдаг. Энэ аргыг олонлогийн онол гэж нэрлэдэг.
Зарим туршилтыг санамсаргүй байдлаар хийцгээе. Туршилтын бүх боломжит үр дүнгийн W багцыг авч үзэх; бид түүний элемент бүрийг дуудах болно анхан шатны үйл явдалба тогтоосон Ω байна анхан шатны үйл явдлын орон зай. Аливаа үйл явдал Аолонлогийн онолын тайлбарт Ω олонлогийн тодорхой дэд олонлог байдаг: .
Найдвартайтуршилт бүрт тохиолддог W үйл явдал гэж нэрлэдэг.
Боломжгүйтуршилтын үр дүнд үүсэх боломжгүй Æ үйл явдал гэж нэрлэдэг.
Тохиромжгүйижил туршлагад нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй үйл явдлууд юм.
Дүн(хосолсон) хоёр үйл явдал АТэгээд Б(тэмдэглэсэн А+Б, АÈ Б) нь наад зах нь нэг үйл явдал тохиолдсоноос бүрдэх үйл явдал юм, i.e. Аэсвэл Б, эсвэл хоёуланг нь нэгэн зэрэг.
ажилхоёр үйл явдлын уулзвар АТэгээд Б(тэмдэглэсэн А× Б, АÇ Б) нь хоёр үйл явдал тохиолдох үйл явдал юм АТэгээд Бхамтдаа.
Эсрэгарга хэмжээнд Аийм үйл явдал гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь үйл явдал юм Атохиолддоггүй.
Үйл явдал А к(к=1, 2, …, n) хэлбэр бүтэн бүлэг , хэрэв тэдгээр нь хосоороо нийцэхгүй бөгөөд нийтдээ найдвартай үйл явдал юм.
Үйл явдлын магадлалАТэд энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн тооны харьцааг бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг бүх тэгш боломжит үл нийцэх анхан шатны үр дүнгийн нийт тоо гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр А үйл явдлын магадлалыг томъёогоор тодорхойлно
энд m нь А-д тааламжтай энгийн үр дүнгийн тоо; n нь бүх боломжит тестийн үр дүнгийн тоо юм.
Энд анхан шатны үр дүн нь хоорондоо нийцэхгүй, адил боломжтой бөгөөд бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг гэж үздэг. Магадлалын тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирнэ.
Өөрийн гэсэн нийтлэл 1. Найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү байна.Үнэн хэрэгтээ хэрэв үйл явдал найдвартай бол туршилтын үндсэн үр дүн нь тухайн үйл явдлыг илүүд үздэг. Энэ тохиолдолд m = n, тиймээс,
P (A) = m / n = n / n = 1.
S нь ойролцоогоор 2 дахь t-тэй хамт. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна.Үнэн хэрэгтээ, хэрэв ямар нэгэн үйл явдал боломжгүй бол туршилтын үндсэн үр дүнгийн аль нь ч үйл явдлыг дэмжихгүй. Энэ тохиолдолд m = 0, тиймээс,
P (A) = m / n = 0 / n = 0.
Ойролцоогоор in, t in ойролцоогоор 3. Санамсаргүй үйл явдлын магадлал нь тэгээс нэг хүртэлх эерэг тоо юмҮнэн хэрэгтээ, туршилтын үндсэн үр дүнгийн зөвхөн нэг хэсэг нь санамсаргүй үйл явдалд таатай байдаг. Энэ тохиолдолд 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 <Р (А) < 1
Тиймээс аливаа үйл явдлын магадлал нь давхар тэгш бус байдлыг хангадаг
Математикийн шинжлэх ухааны онолыг бий болгох аксиоматик арга
Аксиоматик арга нь эртний Грекд гарч ирсэн бөгөөд одоо бүх онолын шинжлэх ухаанд, ялангуяа математикт ашиглагддаг.
Шинжлэх ухааны онолыг бий болгох аксиоматик арга нь дараах байдалтай байна: үндсэн ойлголтуудыг тодорхойлж, онолын аксиомуудыг томъёолж, бусад бүх мэдэгдлийг логикоор гаргаж, тэдгээрт үндэслэн дүгнэлт гаргадаг.
Үндсэн ойлголтуудыг дараах байдлаар тодруулав. Нэг ойлголтыг бусдын тусламжтайгаар тайлбарлах ёстой бөгөөд энэ нь эргээд зарим сайн мэддэг ойлголтуудын тусламжтайгаар тодорхойлогддог. Тиймээс бид бусдаар тодорхойлох боломжгүй энгийн ойлголтуудад хүрдэг. Эдгээр ойлголтуудыг үндсэн гэж нэрлэдэг.
Бид мэдэгдэл, теоремыг батлахдаа аль хэдийн батлагдсан гэж үзсэн үндэслэлд тулгуурладаг. Гэхдээ эдгээр байрууд нь бас нотлогдсон байх ёстой; Эцэст нь бид нотлох боломжгүй мэдэгдэлд хүрч, нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг. Эдгээр мэдэгдлийг аксиом гэж нэрлэдэг. Аксиомуудын багц нь үүн дээр үндэслэн цаашдын мэдэгдлийг батлах боломжтой байх ёстой.
Үндсэн ойлголтуудыг тодорхойлж, аксиомуудыг томъёолсны дараа бид теоремууд болон бусад ойлголтуудыг логик аргаар гаргаж авдаг. Энэ бол геометрийн логик бүтэц юм. Планиметрийн үндэс суурийг аксиом ба үндсэн ойлголтууд бүрдүүлдэг.
Бүх геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг тодорхойлолтыг өгөх боломжгүй тул геометрийн үндсэн ойлголтыг энэ геометрийн аксиомыг хангасан аливаа шинж чанартай объект гэж тодорхойлох хэрэгтэй. Тиймээс геометрийн системийг аксиоматик бүтээхдээ бид аксиомын тодорхой систем буюу аксиоматикаас эхэлдэг. Эдгээр аксиомууд нь геометрийн системийн үндсэн ойлголтуудын шинж чанарыг тодорхойлдог бөгөөд бид үндсэн ойлголтуудыг аксиомд заасан шинж чанартай аливаа шинж чанартай объект хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Эхний геометрийн мэдэгдлүүдийг томъёолж, нотолсны дараа зарим мэдэгдлийг (теорем) бусдын тусламжтайгаар батлах боломжтой болно. Олон теоремуудын нотолгоог Пифагор, Демокрит нартай холбодог.
Хиосын Гиппократ нь тодорхойлолт, аксиом дээр суурилсан геометрийн анхны системчилсэн хичээлийг эмхэтгэсэн гэж үздэг. Энэ курс болон түүний дараагийн эмчилгээг "Элементүүд" гэж нэрлэдэг.
Дараа нь 3-р зуунд. МЭӨ, ижил нэртэй Евклидийн ном "Эхлэл" хэмээх орос орчуулгад Александрид гарч ирэв. "Элементар геометр" гэсэн нэр томъёо нь "Эхлэл" гэсэн Латин нэрнээс гаралтай. Хэдийгээр Евклидийн өмнөх хүмүүсийн бүтээлүүд бидэнд хүрч ирээгүй байгаа ч бид Евклидийн элементүүдэд үндэслэн эдгээр бүтээлийн талаар тодорхой дүгнэлт хийж болно. "Зарчмууд"-д бусад хэсгүүдтэй логикийн хувьд маш бага холбоотой хэсгүүд байдаг. Тэдний гадаад төрхийг зөвхөн уламжлал ёсоор танилцуулж, Евклидийн өмнөх хүмүүсийн "элементүүд" -ийг хуулбарласантай холбон тайлбарлаж болно.
Евклидийн элементүүд нь 13 номноос бүрдэнэ. 1-6-р номууд нь планиметрийн асуудалд зориулагдсан бол 7-10-р номууд нь луужин, захирагч ашиглан барьж болох арифметик болон харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн тухай юм. 11-ээс 13-р номыг стереометрийн асуудалд зориулав.
Principia нь 23 тодорхойлолт, 10 аксиомын танилцуулгаас эхэлдэг. Эхний таван аксиомыг "ерөнхий ойлголт", үлдсэнийг нь "постулат" гэж нэрлэдэг. Эхний хоёр постулат нь хамгийн тохиромжтой захирагч, гурав дахь нь хамгийн тохиромжтой луужин ашиглан үйлдлийг тодорхойлдог. Дөрөвдүгээрт, "бүх тэгш өнцөгтүүд хоорондоо тэнцүү" нь үлдэгдэл аксиомуудаас дүгнэлт хийх боломжтой тул илүүц юм. Сүүлийн тав дахь постулат нь: "Хэрэв шулуун шугам нь хоёр шулуун дээр унаж, хоёр шулуунаас бага хэмжээтэй дотоод нэг талт өнцгийг үүсгэдэг бол эдгээр хоёр шулуун шугамын хязгааргүй өргөтгөлөөр тэдгээр нь хажуу талдаа огтлолцоно. Энд өнцөг нь хоёр шулуунаас бага байна."
Евклидийн таван "ерөнхий ойлголт" нь урт, өнцөг, талбай, эзэлхүүнийг хэмжих зарчим юм: "тэнцүү тэнцүү нь хоорондоо тэнцүү", "тэнцүүг тэнцүү гэж нэмбэл нийлбэр нь тэнцүү", "тэнцүү бол тэнцүү". тэнцүү тооноос хасвал үлдэгдэл нь хоорондоо тэнцүү байна", "бие биетэйгээ нийлсэн нь хоорондоо тэнцүү", "бүхэл нь хэсгээс их байна".
Дараа нь Евклидийн геометрийг шүүмжилж эхлэв. Евклидийг гурван шалтгаанаар шүүмжилсэн: тэрээр зөвхөн луужин ба захирагч ашиглан барьж болох геометрийн хэмжигдэхүүнүүдийг авч үзсэн; Учир нь тэрээр геометр, арифметикийг салгаж, геометр хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд аль хэдийн нотолсон зүйлээ бүхэл тоонуудын хувьд нотолсон бөгөөд эцэст нь Евклидийн аксиомуудын хувьд. Хамгийн их шүүмжлэгдсэн постулат бол Евклидийн тав дахь, хамгийн төвөгтэй постулат байв. Олон хүмүүс үүнийг илүүц гэж үзсэн бөгөөд үүнийг бусад аксиомуудаас гаргаж болно, гаргаж болно. Бусад нь үүнийг үүнтэй дүйцэхүйц энгийн бөгөөд илүү ойлгомжтой зүйлээр солих ёстой гэж үздэг: "Шугамнаас гадуурх цэгээр дамжуулан тэдний хавтгайд өгөгдсөн шугамыг огтолдоггүй нэгээс илүү шулуун шугам зурж болохгүй."
Геометр ба арифметикийн ялгааг шүүмжилсэн нь тооны тухай ойлголтыг бодит тоо болгон өргөжүүлэхэд хүргэсэн. Тав дахь постулатын талаархи маргаан нь 19-р зууны эхээр Н.И. Лобачевский, Ж.Боляй, К.Ф. Гаусс тав дахь постулатыг эс тооцвол Евклидийн геометрийн бүх аксиомууд биелсэн шинэ геометрийг бүтээжээ. Үүнийг эсрэг заалтаар сольсон: "Хавтгайд шугамын гаднах цэгээр өгөгдсөнтэй огтлолцохгүй нэгээс олон шулуун зурж болно." Энэ геометр нь Евклидийн геометртэй адил тууштай байв.
Евклидийн хавтгай дээрх Лобачевскийн планиметрийн загварыг 1882 онд Францын математикч Анри Пуанкаре бүтээжээ.
Евклидийн хавтгай дээр хэвтээ шугам зуръя (1-р зургийг үз). Энэ шугамыг абсолют (x) гэж нэрлэдэг. Абсолютаас дээш байрлах Евклидийн хавтгайн цэгүүд нь Лобачевскийн хавтгайн цэгүүд юм. Лобачевскийн онгоц бол үнэмлэхүй хэмжээнээс дээгүүр байрлах нээлттэй хагас хавтгай юм. Пуанкаре загварын Евклидийн бус сегментүүд нь абсолют дээр төвлөрсөн тойргийн нумууд эсвэл абсолют (AB, CD) -д перпендикуляр шулуун шугамын сегментүүд юм. Лобачевскийн хавтгай дээрх дүрс нь үнэмлэхүй (F) дээр байрлах нээлттэй хагас хавтгайн дүрс юм. Евклидийн бус хөдөлгөөн гэдэг нь тэнхлэгүүд нь абсолюттай перпендикуляр байдаг абсолют ба тэнхлэгийн тэгш хэм дээр төвлөрсөн хязгаарлагдмал тооны урвуу эргэлтийн бүрэлдэхүүн юм. Хэрэв Евклидийн бус хөдөлгөөнөөр аль нэгийг нь нөгөө рүү шилжүүлж чадвал Евклидийн бус хоёр сегмент тэнцүү байна. Эдгээр нь Лобачевскийн планиметрийн аксиоматикийн үндсэн ойлголтууд юм.
Лобачевскийн планиметрийн бүх аксиомууд нийцтэй байна. Шулуун шугамын тодорхойлолт нь: "Евклидийн бус шулуун шугам нь төгсгөлүүд нь абсолют дээр байдаг хагас тойрог эсвэл абсолют дээр перпендикуляр бөгөөд абсолют дээр эхлэлтэй туяа юм." Тиймээс Лобачевскийн параллелизмын аксиомын мэдэгдэл нь зөвхөн энэ шулуун дээр ороогүй ямар нэгэн a шулуун ба А цэгт төдийгүй, мөн түүн дээр ороогүй ямар ч а цэг, ямар ч А цэгт хангагдана (Зураг 2-ыг үз).
Лобачевскийн геометрийг дагаж, бусад тууштай геометрүүд бий болсон: Евклидээс тусгаарлагдсан проекцийн геометр, олон хэмжээст Евклидийн геометр бий болсон, Риманы геометр (уртыг хэмжих дурын хуультай орон зайн ерөнхий онол) гэх мэт. Нэг дэх гурван дүрсийн шинжлэх ухаанаас Хэмжээст Евклидийн орон зай, геометр нь 40-50 жилийн турш янз бүрийн онолын багц болж хувирсан нь зөвхөн өвөг дээдэс болох Евклидийн геометртэй төстэй юм. 60,896.
