Хичээлийн төлөвлөгөө.

1. Зохион байгуулалтын мөч.

2. Материалын танилцуулга.

3. Гэрийн даалгавар.

4. Хичээлийг дүгнэх.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Материалын танилцуулга.

Урам зориг.

Бодит тоонуудын багцыг өргөтгөх нь бодит тоон дээр шинэ тоо (төсөөл) нэмэхээс бүрдэнэ. Эдгээр тоонуудын танилцуулга нь бодит тооны олонлог дахь сөрөг тооны үндсийг гаргаж авах боломжгүй байгаатай холбоотой юм.

Комплекс тооны тухай ойлголтын танилцуулга.

Бодит тоог нөхдөг төсөөлөлтэй тоонууд хэлбэрээр бичигдсэн байдаг би, Хаана бинь төсөөллийн нэгж бөгөөд i 2 = - 1.

Үүний үндсэн дээр бид комплекс тооны дараах тодорхойлолтыг олж авна.

Тодорхойлолт. Комплекс тоо нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм a+bi, Хаана аТэгээд б- бодит тоо. Энэ тохиолдолд дараахь нөхцлийг хангасан болно.

a) Хоёр комплекс тоо a 1 + b 1 iТэгээд a 2 + b 2 iзөвхөн хэрэв л бол тэнцүү a 1 = a 2, b 1 = b 2.

б) Комплекс тоонуудын нэмэгдлийг дараах дүрмээр тодорхойлно.

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Комплекс тоонуудын үржвэрийг дараах дүрмээр тодорхойлно.

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр.

Комплекс тоог маягтаар бичих a+biнийлмэл тооны алгебрийн хэлбэр гэж нэрлэгддэг, энд А- бодит хэсэг, бинь төсөөллийн хэсэг бөгөөд б- бодит тоо.

Цогцолбор тоо a+biХэрэв түүний бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь тэгтэй тэнцүү бол тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. a = b = 0

Цогцолбор тоо a+biцагт b = 0бодит тоотой ижил гэж үздэг а: a + 0i = a.

Цогцолбор тоо a+biцагт a = 0цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг ба тэмдэглэсэн байна би: 0 + би = би.

Хоёр комплекс тоо z = a + biТэгээд = a – bi, зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр ялгаатайг коньюгат гэнэ.

Алгебр хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Комплекс тоон дээр та дараах үйлдлүүдийг алгебрийн хэлбэрээр хийж болно.

1) Нэмэлт.

Тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын нийлбэр z 1 = a 1 + b 1 iТэгээд z 2 = a 2 + b 2 iнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг z, бодит хэсэг нь бодит хэсгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна z 1Тэгээд z 2, мөн төсөөллийн хэсэг нь тоонуудын төсөөллийн хэсгүүдийн нийлбэр юм z 1Тэгээд z 2, тэр нь z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Тоонууд z 1Тэгээд z 2нэр томъёо гэж нэрлэдэг.

Комплекс тоог нэмэх нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1º. Солих чадвар: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Нийгэмлэг: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Цогцолбор тоо –а –бинийлмэл тооны эсрэг тоо гэж нэрлэдэг z = a + bi. Цогцолбор тоо, нийлмэл тооны эсрэг z, тэмдэглэсэн -z. Комплекс тоонуудын нийлбэр zТэгээд -zтэгтэй тэнцүү: z + (-z) = 0

Жишээ 1: Нэмэлтийг гүйцэтгэнэ (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Хасах.

Тодорхойлолт.Комплекс тооноос хасах z 1нийлмэл тоо z 2 z,Юу z + z 2 = z 1.

Теорем. Комплекс тоонуудын ялгаа нь байдаг бөгөөд өвөрмөц юм.

Жишээ 2: Хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Үржүүлэх.

Тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын үржвэр z 1 =a 1 +b 1 iТэгээд z 2 =a 2 +b 2 iнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг zтэгшитгэлээр тодорхойлогддог: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Тоонууд z 1Тэгээд z 2хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.

Комплекс тоог үржүүлэх нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1º. Солих чадвар: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Нийгэмлэг: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- бодит тоо.

Практикт нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлж, бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг салгах дүрмийн дагуу нийлмэл тоог үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг.

Дараах жишээнд бид нийлмэл тоог дүрмээр, нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлэх гэсэн хоёр аргаар авч үзэх болно.

Жишээ 3: Үржүүлэх үйлдлийг хий (2 + 3i) (5 – 7i).

1 арга. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

Арга 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) хэлтэс.

Тодорхойлолт. Комплекс тоог хуваах z 1комплекс тоо руу z 2, ийм цогц тоог олно гэсэн үг z, Юу z · z 2 = z 1.

Теорем.Комплекс тоонуудын категори нь байгаа бөгөөд хэрэв байгаа бол өвөрмөц байна z 2 ≠ 0 + 0i.

Практикт нийлмэл тоонуудын хуваагчийг хуваагч болон хуваагчаар үржүүлэх замаар олдог.

Болъё z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Дараа нь

.

Дараах жишээнд бид хуваах үйлдлийг хуваагчтай нэгтгэсэн тоогоор томьёо болон үржүүлэх дүрмийг ашиглан гүйцэтгэнэ.

Жишээ 4. Хэсэлтийг ол .

5) Эерэг бүхэл бүтэн хүчийг өсгөх.

a) Төсөөллийн нэгжийн хүч.

Тэгш тэгш байдлын давуу талыг ашиглах i 2 = -1, төсөөллийн нэгжийн эерэг бүхэл тоог тодорхойлоход хялбар байдаг. Бидэнд:

би 3 = би 2 би = -i,

би 4 = би 2 би 2 = 1,

би 5 = би 4 би = би,

би 6 = би 4 би 2 = -1,

би 7 = би 5 би 2 = -i,

би 8 = би 6 би 2 = 1гэх мэт.

Энэ нь градусын утгыг харуулж байна би н, Хаана n– эерэг бүхэл тоо, индикатор нэмэгдэх тусам үе үе давтагдана 4 .

Тиймээс тоог нэмэгдүүлэх биэерэг бүхэл хүчинд бид экспонентыг хуваах ёстой 4 болон барих биилтгэгч нь хуваагдлын үлдэгдэлтэй тэнцүү зэрэгт.

Жишээ 5: Тооцоол: (би 36 + би 17) би 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх нь хоёр гишүүнийг харгалзах зэрэгт хүргэх дүрмийн дагуу хийгддэг, учир нь энэ нь ижил цогцолбор хүчин зүйлийг үржүүлэх онцгой тохиолдол юм.

Жишээ 6: Тооцоол: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

14.3 Хязгааргүй цэгийг цогц хувьсагчийн функцийн ганц цэг болгон

Өмнөх үг

Шалгалт эсвэл модулийн гэрчилгээ олгох онолын болон практик хэсгүүдэд бэлтгэхэд цаг хугацаа, хүчин чармайлтыг зөв хуваарилах нь нэлээд хэцүү байдаг, ялангуяа хичээлийн үеэр үргэлж хангалттай цаг байдаггүй. Практикаас харахад хүн бүр үүнийг даван туулж чаддаггүй. Үүний үр дүнд шалгалтын явцад зарим оюутнууд асуудлыг зөв шийдвэрлэдэг боловч хамгийн энгийн онолын асуултуудад хариулахад хүндрэлтэй байдаг бол зарим нь теоремыг томьёолж чаддаг ч хэрэгжүүлж чаддаггүй.

"Цогц хувьсагчийн функцүүдийн онол" (TFCP) хичээлийн шалгалтанд бэлтгэх эдгээр удирдамж нь энэхүү зөрчилдөөнийг шийдвэрлэх оролдлого бөгөөд хичээлийн онолын болон практик материалыг нэгэн зэрэг давтахыг баталгаажуулах оролдлого юм. "Практикгүй онол үхсэн, онолгүй практик нь харалган" гэсэн зарчмыг удирдан чиглүүлдэг бөгөөд эдгээр нь тухайн хичээлийн онолын заалтуудыг тодорхойлолт, томъёоллын түвшинд багтаасан бөгөөд өгөгдсөн онолын байр суурь тус бүрийн хэрэглээг харуулсан жишээнүүдийг агуулдаг. түүнийг цээжлэх, ойлгох.

Санал болгож буй арга зүйн зөвлөмжийн зорилго нь сурагчийг шалгалтанд анхан шатны түвшинд бэлтгэхэд нь туслах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, TFKP курсын хичээлд хэрэглэгддэг, гэрийн даалгавар хийх, шалгалтанд бэлтгэхэд шаардлагатай гол санааг агуулсан өргөтгөсөн ажлын гарын авлагыг эмхэтгэсэн. Оюутны бие даасан ажлаас гадна энэхүү цахим боловсролын хэвлэлийг цахим самбар ашиглан интерактив хэлбэрээр хичээл явуулах эсвэл зайны сургалтын системд байрлуулахад ашиглаж болно.

Энэхүү бүтээл нь сурах бичиг, лекцийн тэмдэглэлийг орлохгүй гэдгийг анхаарна уу. Материалыг гүнзгийрүүлэн судлахын тулд MSTU-ийн нийтэлсэн холбогдох хэсгүүдэд хандахыг зөвлөж байна. Н.Э. Бауманы үндсэн сурах бичиг.

Гарын авлагын төгсгөлд санал болгож буй уран зохиолын жагсаалт, текстэд онцолсон бүх зүйлийг багтаасан сэдвийн индекс байна. тод налуунөхцөл. Индекс нь эдгээр нэр томъёог хатуу тодорхойлсон эсвэл тайлбарласан хэсгүүдийн гипер холбоосуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн хэрэглээг харуулах жишээнүүд байдаг.

Энэхүү гарын авлага нь МУБИС-ийн бүх факультетийн 2-р курсын оюутнуудад зориулагдсан болно. Н.Э. Бауман.

1. Комплекс тоо бичих алгебрийн хэлбэр

z = x + iy хэлбэрийн тэмдэглэгээ, энд x,y нь бодит тоо, i нь төсөөллийн нэгж (өөрөөр хэлбэл i 2 = − 1)

z цогцолбор тоог бичих алгебрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд х-г нийлмэл тооны бодит хэсэг гэж нэрлээд Re z (x = Re z), y-г комплекс тооны төсөөлөл гэж нэрлээд Im z (y = Im z) гэж тэмдэглэнэ.

Жишээ. z = 4− 3i цогц тоо нь бодит Rez = 4 хэсэг ба Imz = − 3 төсөөлөлтэй байна.

2. Цогцолбор тооны хавтгай

IN нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолыг авч үздэгкомплекс тооны хавтгай, z, w гэх мэт нийлмэл тоонуудыг тэмдэглэсэн үсгээр эсвэл үсгээр тэмдэглэдэг.

Нарийн төвөгтэй хавтгайн хэвтээ тэнхлэгийг нэрлэдэг бодит тэнхлэг, z = x + 0i = x бодит тоонууд дээр байрлана.

Нарийн төвөгтэй хавтгайн босоо тэнхлэгийг төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг;

3. Цогцолбор нийлмэл тоо

z = x + iy ба z = x − iy тоонуудыг дуудна нарийн төвөгтэй коньюгат. Нарийн төвөгтэй хавтгайд тэдгээр нь бодит тэнхлэгтэй тэгш хэмтэй цэгүүдтэй тохирч байна.

4. Алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоотой үйлдлүүд

4.1 Комплекс тоонуудын нэмэх

Иймд i 2 = − 1 гэдгийг харгалзан нийлмэл тоог үржүүлэх үйлдэл нь алгебрийн биномуудыг үржүүлэхтэй төстэй юм.

Цогцолбор тоонууд нь бодит тооны олонлогийн өргөтгөл бөгөөд ихэвчлэн -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Аливаа нийлмэл тоог албан ёсны нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд нь бодит тоо бөгөөд төсөөллийн нэгж юм.

Комплекс тоог , , хэлбэрээр бичихийг комплекс тооны алгебрийн хэлбэр гэнэ.

Комплекс тооны шинж чанарууд. Комплекс тооны геометрийн тайлбар.

Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд:

Комплекс тоон дээр арифметик үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмийг авч үзье.

Хэрэв α = a + bi, β = c + di гэсэн хоёр цогц тоо өгөгдсөн бол

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (11)

Энэ нь хоёр эрэмбэлэгдсэн бодит тооны хосыг нэмэх, хасах үйлдлүүдийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй (1 ба (3) томъёог үзнэ үү). Бид нийлмэл тоог нэмэх, хасах дүрмийг хүлээн авсан: хоёр нийлмэл тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн бодит хэсгүүдийг тусад нь нэмж, үүний дагуу тэдгээрийн төсөөллийн хэсгүүдийг тусад нь нэмэх ёстой; Нэг нийлмэл тооноос өөр тоог хасахын тулд тэдгээрийн бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг тус тус хасах шаардлагатай.

– α = – a – bi тоог α = a + bi тооны эсрэг тоо гэнэ. Эдгээр хоёр тооны нийлбэр нь тэг байна: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Нарийн төвөгтэй тоог үржүүлэх дүрмийг олж авахын тулд бид (6) томъёог ашиглана, өөрөөр хэлбэл i2 = -1 гэсэн баримт. Энэ хамаарлыг харгалзан үзвэл (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Энэ томьёо нь дараалсан хос бодит тоонуудын үржүүлгийг тодорхойлсон томьёо (2)-тай тохирч байна.

Хоёр нийлмэл нийлмэл тооны нийлбэр ба үржвэр нь бодит тоо гэдгийг анхаарна уу. Үнэхээр α = a + bi, = a – bi бол α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, i.e.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Хоёр цогц тоог алгебрийн хэлбэрээр хуваахдаа тухайн хуваалтыг мөн ижил төрлийн тоогоор илэрхийлнэ, тухайлбал α/β = u + vi, энд u, v R. Комплекс тоог хуваах дүрмийг гаргая. . α = a + bi, β = c + di тоонуудыг өгье, β ≠ 0, өөрөөр хэлбэл c2 + d2 ≠ 0. Сүүлчийн тэгш бус байдал нь c ба d нь нэгэн зэрэг алга болохгүй гэсэн үг юм (c = 0 үед тохиолдол хасагдана). , d = 0). Томъёо (12) ба тэгшитгэлийн хоёр дахь (13)-ийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

Иймд хоёр комплекс тооны харьцааг дараах томъёогоор тодорхойлно.

(4) томъёонд харгалзах.

β = c + di тооны үр дүнгийн томъёог ашиглан та түүний урвуу тоог β-1 = 1/β олох боломжтой. (14) томъёонд a = 1, b = 0 гэж үзвэл бид олж авна

Энэ томьёо нь өгөгдсөн нийлмэл тооны урвуу тоог тэгээс өөр тодорхойлно; энэ тоо бас төвөгтэй.

Жишээ нь: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Алгебр хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

55. Комплекс тооны аргумент. Комплекс тоо бичих тригонометрийн хэлбэр (үүсмэл).

Arg.com. Numbers. – бодит X тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба өгөгдсөн тоог илэрхийлэх векторын хооронд.

Тригон томъёо. Тоо: ,