Орон зай дахь төв тэнхлэгийн тэгш хэм. VII

Геометрийн хичээлийн тэмдэглэл, 10-р анги

Сэдэв: Орон зай дахь тэгш хэм. Байгалийн ба практикт тэгш хэм.

Хичээлийн явц.

Төв тэгш хэмтэй геометрийн дүрсүүд

Хэрэв l шугам нь AA1 хэрчмийн дундуур дайран өнгөрч, энэ хэрчимд перпендикуляр байвал огторгуй дахь A1, A2 цэгүүдийг l шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг.
l шулуун шугамыг А1 ба А2 цэгүүдийн тэгш хэмийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг

Хэрэв тухайн зургийн цэг бүрийн хувьд l шулуунтай тэгш хэмтэй цэг мөн энэ зурагт хамаарах бол дүрсийг l шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй гэнэ. l шулуун шугамыг зургийн тэгш хэмийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Зураг нь мөн тэнхлэгийн тэгш хэмтэй гэж хэлдэг.

Тэнхлэгийн тэгш хэм нь бидний эргэн тойронд байдаг

Шинэ сэдвийн тайлбар

Шулуун ба хавтгайн перпендикуляр байдлыг ашиглан бид хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмийн чухал ойлголт буюу толин тусгал тэгш хэмийг танилцуулж байна.

Толин тусгал тэгш хэмийн ертөнц. Байгалийн ба практикт тэгш хэм.

Усанд тусах нь байгаль дээрх толин тусгал тэгш хэмийн сайн жишээ юм.
Бид зураачдын ландшафт, амжилттай гэрэл зургуудыг биширдэг. Уулсыг нуурын гадаргуу дээр маш сайхан тусгаж, гэрэл зургийн бүрэн бүтэн байдлыг өгч байна. Нуурын гадаргуу нь тольны үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд тусгалыг геометрийн нарийвчлалтайгаар дүрсэлдэг. Усны гадаргуу нь тэгш хэмийн хавтгай юм...
Бие биенийхээ толин тусгалын жишээнд хүний ​​гар орно. Толин тусгал тэгш хэмийн нөлөөг практикт ихэвчлэн ашигладаг. Тиймээс гутлын дэлгүүрүүдэд заримдаа зөвхөн нэг гутал тавьдаг. Гутал нь толинд тусгагдсан бөгөөд нүдээр харахад бид хос гутал харж байгаа юм шиг санагддаг.
Херман Вейл хэлэхдээ: "Тэгш хэм бол олон зууны туршид хүн төрөлхтөн эмх цэгц, гоо үзэсгэлэн, төгс төгөлдөр байдлыг ойлгож, бүтээхийг хичээсэн санаа юм." Херман Вейл бол Германы математикч юм. Түүний үйл ажиллагаа 20-р зууны эхний хагасаас эхэлдэг.
Тэр бол тэгш хэмийн тодорхойлолтыг томъёолж, тухайн тохиолдолд тэгш хэм байгаа эсэх, эсвэл эсрэгээр нь ямар шинж тэмдгийг тодорхойлохыг тогтоосон хүн юм.
Үнэхээр тэгш хэм нь нүдэнд тааламжтай байдаг.
Байгалийн бүтээлийн тэгш хэмийг биширээгүй хүн байна: навч, цэцэг, шувууд, амьтад; эсвэл хүний ​​бүтээлүүд: барилга байгууламж, технологи, - биднийг бага наснаасаа хүрээлж буй бүх зүйл, гоо үзэсгэлэн, эв найрамдалтай байхыг эрмэлздэг бүх зүйл.

Байгалийн тэгш хэм

. Ердийн олон талт.

Тодорхойлолт. Гүдгэр олон өнцөгтийг нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний бүх нүүр нь тэгш тэгш олон өнцөгт бөгөөд орой бүр дээр ижил тооны ирмэгүүд нийлдэг бол.

Ердийн тетраэдр, ердийн гексаэдр, ердийн октаэдр, ердийн икосаэдр, ердийн дудекаэдр гэсэн ердөө 5 энгийн олон талт байдаг гэдгийг батлахад маш амархан. Энэхүү гайхалтай баримт нь эртний сэтгэгчид ердийн олон талтуудыг оршихуйн үндсэн элементүүдтэй уялдуулах боломжийг олгосон юм.

Полиэдрийн онолын олон сонирхолтой хэрэглээ байдаг. Энэ чиглэлээр гарсан гайхалтай үр дүнгийн нэг Эйлерийн теорем , энэ нь зөвхөн ердийн төдийгүй бүх гүдгэр олон талтуудад хүчинтэй.

Теорем: гүдгэр олон талтуудын хувьд хамаарал хүчинтэй байна: G + V – P = 2, энд B нь оройн тоо, G нь нүүрний тоо, P нь ирмэгийн тоо юм.

Тогтмол polyhedra нь олон сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Хамгийн гайхалтай шинж чанаруудын нэг нь тэдний хоёрдмол байдал юм: хэрэв та ердийн зургаан талт (шоо) нүүрний төвүүдийг сегментүүдтэй холбовол ердийн октаэдр авах болно; ба эсрэгээр, хэрэв та ердийн октаэдрийн нүүрний төвүүдийг сегментүүдтэй холбовол шоо үүснэ. Үүний нэгэн адил ердийн икосаэдр ба додекаэдр нь хос юм. Ердийн тетраэдр нь өөрөө хос юм, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв та ердийн тетраэдрийн нүүрний төвүүдийг сегментүүдээр холбовол дахин ердийн тетраэдр авах болно.

. Орон зай дахь тэгш хэм.

Тодорхойлолт. Оноо АТэгээд INгэж нэрлэдэг цэгийн хувьд тэгш хэмтэй ТУХАЙ(тэгш хэмийн төв), хэрэв ТУХАЙ- сегментийн дунд хэсэг AB. O цэгийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.

Тодорхойлолт. Оноо АТэгээд INгэж нэрлэдэг шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй А(тэгш хэмийн тэнхлэг), хэрэв шулуун бол А ABба энэ сегментэд перпендикуляр. Цэг бүр шулуун байна А

Тодорхойлолт. Оноо АТэгээд INгэж нэрлэдэг хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй β (тэгш хэмийн хавтгай), хэрэв хавтгай β сегментийн дундуур дамждаг ABба энэ сегментэд перпендикуляр. Онгоцны цэг бүр β өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.

Тодорхойлолт. Тухайн зургийн цэг бүр нь ижил дүрсийн аль нэг цэгтэй тэгш хэмтэй байвал тухайн цэгийг (шулуун шугам, хавтгай) дүрсийн тэгш хэмийн төв (тэнхлэг, хавтгай) гэж нэрлэдэг.

Хэрэв дүрс нь тэгш хэмийн төвтэй (тэнхлэг, хавтгай) байвал түүнийг төвийн (тэнхлэг, толин тусгал) тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийн төв, тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгайг нэрлэдэг тэгш хэмийн элементүүд энэ олон өнцөгт.

Жишээ. Зөв тетраэдр:

- тэгш хэмийн төв байхгүй;

- тэгш хэмийн гурван тэнхлэгтэй - эсрэг талын хоёр ирмэгийн дундуур дамждаг шулуун шугамууд;

Энэ нь зургаан тэгш хэмийн хавтгайтай - тетраэдрийн эсрэг талын (эхнийхтэй огтлолцох) перпендикуляр ирмэгээр дамжин өнгөрдөг онгоцууд.

Хэдэн тэгш хэмийн төвүүд:

а) параллелепипед;

б) тогтмол гурвалжин призм;

в) хоёр талт өнцөг;

г) сегмент;

Хэдэн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд:

а) сегмент;

б) ердийн гурвалжин;

Хэдэн тэгш хэмийн хавтгай нь:

a) кубаас ялгаатай ердийн дөрвөлжин призм;

б) ердийн дөрвөлжин пирамид;

в) ердийн гурвалжин пирамид;

Ердийн полиэдрүүд хэдэн, ямар тэгш хэмийн элементүүдтэй байдаг вэ?

a) ердийн тетраэдр;

б) ердийн зургаан өнцөгт;

в) ердийн октаэдр;

г) ердийн икосаэдрон;

г) ердийн додекаэдр?

§ 1 Тэгш хэм гэж юу вэ

Энэ хичээлийн эшлэл нь алдарт эрдэмтэн, кибернетикийг бүтээгч Норберт Винерийн өнөөдрийн хэлэлцэх бүх зүйлийг маш нарийн илэрхийлсэн мэдэгдэл байх болно.

"Математикийн хамгийн дээд зорилго бол биднийг хүрээлж буй эмх замбараагүй байдлаас гоо үзэсгэлэн, зохицол, дэг журмыг олох явдал юм."

Симметр бол орчлон ертөнцийн зохицлыг баталгаажуулдаг хуулиудын нэг бөгөөд бид өнөөдөр энэ тухай ярьж, планиметрийн хичээлд нэвтрүүлсэн ойлголтуудыг өргөжүүлэх болно.

Өдөр тутмын хэлэнд тэгш хэм гэдэг үгийг хоёр утгаар ашигладаг. Нэг утгаараа тэгш хэм гэдэг нь сайн пропорциональ, тэнцвэртэй, тэгш хэм нь бие даасан хэсгүүдийн уялдаа холбоог илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээрийг бүхэлд нь нэгтгэдэг. Гоо сайхан нь тэгш хэмтэй нягт холбоотой. Жишээлбэл, эртний хүмүүсийн уран барималууд нь эв найртай төгс байдгаараа биширдэг байсан барималч Поликлейтосын пропорцын тухай номондоо энэ тухай өгүүлсэн байдаг. Жинлүүрийн дүрс нь бидний цаг үед хэрэглэгддэг тэгш хэм гэдэг үгийн хоёр дахь утгад хүргэдэг байгалийн холбоос юм: толин тусгал тэгш хэм - зүүн ба баруун тэгш хэм, дээд амьтан, хүний ​​биеийн бүтцэд мэдэгдэхүйц мэдрэгддэг.

Толин тусгал тэгш хэм нь тусгал эсвэл эргүүлэх гэх мэт үйлдлүүдтэй холбоотой тэгш хэмийн геометрийн ойлголтын онцгой тохиолдол болдог.

Пифагорчууд хавтгай дээрх хамгийн төгс геометрийн дүрсийг тойрог, огторгуйд бөмбөрцөг гэж үздэг байсан нь тэдний бүрэн эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаг.

Симметри гэдэг нь өргөн эсвэл нарийн утгаараа хүний ​​олон зууны турш эмх цэгц, гоо үзэсгэлэн, төгс төгөлдөр байдлыг ойлгох, бүтээхийг хичээж ирсэн санаа юм. Тиймээс орон зай, цаг хугацааны шинж чанарууд нь түүний зохицолын илрэл болох тэгш хэм, байгалийн зүй тогтолд хүргэдэг.

§ 2 Нэг цэгийн тэгш хэм

Планиметрийн хувьд бид цэг болон шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй дүрсүүдийг авч үзсэн. Стереометрийн хувьд цэг, шулуун, хавтгайд хамаарах тэгш хэмийг авч үздэг.

Хэрэв О нь AA1 сегментийн дунд хэсэг бол A ба A1 цэгүүдийг О цэгтэй (тэгш хэмийн төв) харьцангуй тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. O цэгийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг. Төв тэгш хэмийн жишээ нь цэцэг эсвэл хэв маяг байж болно

§ 3 Шулуун шугамын тэгш хэм

Хэрэв а шулуун нь AA1 сегментийн дундыг дайран өнгөрч, энэ хэрчимд перпендикуляр байвал A ба A1 цэгүүдийг тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. a шугамын цэг бүрийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.

Ийм тэгш хэмийн жишээг зөвхөн үзэсгэлэнтэй эрвээхэйгээс гадна бүхэл бүтэн барилга байгууламжаас харж болно.

нэрэмжит Москвагийн Улсын Их Сургуулийн барилга. Ломоносов,

Аврагч Христийн сүм,

Таж Махал сүм-бунхан.

§ 4 Хавтгайн тэгш хэм

Орон зайн геометрийн хувьд хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмийг нэмье.

Хэрэв α хавтгай нь AA1 сегментийн дундыг дайран өнгөрч, энэ хэрчимд перпендикуляр байвал A ба A1 цэгүүдийг α хавтгайтай (тэгш хэмийн хавтгай) харьцангуй тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. α хавтгайн цэг бүрийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.

Стереометрийг судлахдаа зургийн төв, тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгайн тухай ярьж болно.

Тухайн зургийн цэг бүр нь ижил дүрсийн аль нэг цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байвал тухайн цэгийг (шулуун шугам, хавтгай) дүрсийн тэгш хэмийн төв (тэнхлэг, хавтгай) гэж нэрлэдэг. Хэрэв дүрс нь төвтэй (тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгай) байвал түүнийг төвийн (тэнхлэг, толин тусгал) тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг.

Зурган дээр та одоо тэгш өнцөгт параллелепипед, түүнчлэн түүний тэгш хэмийн төв, тэгш хэмийн тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгайг харж болно.

Тэгш өнцөгт биш харин шулуун призм болох параллелепипед нь хавтгай (эсвэл суурь нь ромб бол хавтгай), тэнхлэг ба тэгш хэмийн төвтэй.

§ 5 Тэгш бус байдал

Зураг нь нэг буюу хэд хэдэн тэгш хэмийн төвтэй байж болно (тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгай). Жишээлбэл, шоо нь зөвхөн нэг тэгш хэмийн төвтэй, хэд хэдэн тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгайтай байдаг. Хязгааргүй олон төв, тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн хавтгайтай дүрс байдаг. Эдгээр дүрсүүдээс хамгийн энгийн нь шулуун ба хавтгай юм. Үүний эсрэгээр, төв, тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгай байхгүй дүрсүүд байдаг. Энэ тохиолдолд бид тэгш хэм байхгүй гэсэн утгатай тэгш хэмийн өөр нэг математик ойлголтын тухай ярьж байна. Өнөөдөр биологич, сэтгэл зүйч, химич, эмч нар тэгш хэмийн нууцыг тайлж, баруун зүүний нууцыг тайлахын тулд хамтран ажиллахыг хичээж байна. Бид өдөр бүр толинд хардаг ч тусгалд баруун гар нь зүүн тийш эргэдэг тухай бараг боддоггүй. Яагаад байгаль дэлхий хагас бөмбөрцөг, гар, хөл, нүдний зарим функцийг бүтээж, давхардуулсан боловч хүн ганц амтай байдаг вэ? Гайхалтай нь бид бүх тэгш хэмийн хувьд тэгш хэмгүй байдаг. Орчин үеийн компьютерийн технологи нь хүн ямар байхыг зөвхөн нүүрний зүүн хагасаас эсвэл баруун талаас нь харах боломжийг олгодог. Үр дүн нь хөрөг зургийг харсан хүмүүсийн ихэнхийг гайхшруулдаг. Баруун ба зүүн тархи нь бие биенээсээ ялгаатай байдаг. Эргэн тойрноо хар, магадгүй та эргэн тойрон дахь тэгш хэм, тэгш бус байдлыг харж, түүнийг биширдэг.

1. Геометр. 10-11 анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг. байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев болон бусад]. – 22 дахь хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2013. – 255 х. : өвчтэй. – (МУИС - сургууль дээр)
2. Сургуулийн багш нарт туслах боловсрол, арга зүйн гарын авлага Эмхэтгэсэн: Яровенко В.А. Л.С.Атанасян нар (М.: Просвещение) 10-р ангийн боловсролын багцад зориулсан геометрийн хичээлийн хөгжил
3. Рабинович E. M. Бэлэн зураг дээрх даалгавар, дасгалууд. 10-11 анги. Геометр. - М.: Илекса, 2006 он. - 80 с.
4. M. Ya Vygodsky Анхан шатны математикийн гарын авлага М.: AST Astrel, 2006. - 509 х.
5. Avanta+. Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Боть 11. Математик 2-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. - М .: Avanta+ нэвтэрхий толь бичгийн ертөнц: Astrel 2007. - 621 х. Эд. зөвлөл: М.Аксенова, В.Володин, М.Самсонов

Бид маш үзэсгэлэнтэй, эв найрамдалтай ертөнцөд амьдарч байна. Бидний эргэн тойронд нүдэнд тааламжтай объектууд байдаг. Жишээлбэл, эрвээхэй, агч навч, цасан ширхгүүд. Тэд ямар үзэсгэлэнтэй болохыг хараарай. Та тэдэнд анхаарал хандуулсан уу? Өнөөдөр бид энэ гайхамшигтай математикийн үзэгдэл болох тэгш хэмийн талаар ярих болно. Тэнхлэг, төв, толин тусгал тэгш хэмийн тухай ойлголттой танилцацгаая. Бид тэнхлэг, төв, хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй дүрсүүдийг барьж, тодорхойлж сурах болно.

Грек хэлнээс орчуулсан тэгш хэм гэдэг үг нь эв найрамдал, гоо үзэсгэлэн, пропорциональ байдал, пропорциональ байдал, хэсгүүдийн зохион байгуулалтад жигд байх гэсэн утгатай. Хүн архитектурт тэгш хэмийг эртнээс хэрэглэж ирсэн. Энэ нь эртний сүм хийд, дундад зууны үеийн цайзын цамхаг, орчин үеийн барилгуудад эв найрамдал, бүрэн бүтэн байдлыг өгдөг.

Төвийн тэгш хэм. Нэг цэгийн тэгш хэм буюу төвийн тэгш хэм нь тэгш хэмийн төвийн нэг талд байрлах аливаа цэг нь төвийн нөгөө талд байрлах өөр цэгтэй тохирч байвал геометрийн дүрсийн шинж чанар юм. Энэ тохиолдолд цэгүүд нь төвийг дайран өнгөрөх шугамын сегмент дээр байрладаг бөгөөд сегментийг хагасаар хуваадаг. А О Б

Тэнхлэгийн тэгш хэм. Шугаман (эсвэл тэнхлэгийн тэгш хэм) -тэй харьцуулахад тэгш хэм нь шугамын нэг талд байрлах аливаа цэг нь шугамын нөгөө талд байрлах цэгтэй үргэлж тохирч байх бөгөөд эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментүүд нь геометрийн дүрсийн шинж чанар юм. тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикуляр ба түүгээр нь хагасаар хуваана. нь AB

Толин тусгал тэгш хэм α хавтгай нь АВ сегментийн дундыг дайран өнгөрч, энэ хэрчимд перпендикуляр байвал A ба B цэгүүдийг α (тэгш хэмийн хавтгай) хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. α хавтгайн цэг бүрийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг. AB α

2. Хоёр тэгш хэмийн тэнхлэгт... a) ижил өнцөгт гурвалжин; б) ижил өнцөгт трапец; в) ромб. 2. Аль мэдэгдэл худал вэ? a) Хэрэв гурвалжин тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бол энэ нь тэгш өнцөгт байна. б) Хэрэв гурвалжин хоёр тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бол энэ нь тэгш талт байна. в) Тэгш талт гурвалжин нь хоёр тэгш хэмийн тэнхлэгтэй.

3. Аль мэдэгдэл үнэн бэ? a) Параллелограммын диагональуудын огтлолцлын цэг нь тэгш хэмийн төв юм. б) Хоёр талт трапецын хувьд диагональуудын огтлолцох цэг нь түүний тэгш хэмийн төв юм. в) Тэгш талт гурвалжинд медиануудын огтлолцох цэг нь түүний тэгш хэмийн төв юм. 3. Дөрвөн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй... а) тэгш өнцөгт; б) ромб; в) дөрвөлжин.

4. О ба А цэгүүд В цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдгаас... а) АО = 2ОБ; b) OB = 2AO; в) OB = AB. 4. А ба В цэгүүд нь а шулуунд тэгш хэмтэй байна, хэрэв тэдгээр нь... а) а шулуунд перпендикуляр хэвтэх; б) а шугамаас ижил зайд; в) а шулуунд перпендикуляр хэвтэх ба түүнээс ижил зайд байна.

5. Дөрвөн өнцөгт ABCO-ийн диагональ АС нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Энэ дөрвөн өнцөгт нь... байж болохгүй a) параллелограмм; б) ромб; в) дөрвөлжин. 5. M ба N цэгүүд К цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдгаас үзэхэд... a) MK = 0.5 KN; b) MN=2MK; в) NK = 2MN.

6.ВD - ABC тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өндөр. Аль мэдэгдэл буруу вэ? a) ВD нь ABC гурвалжны тэгш хэмийн тэнхлэг юм. b) A ба C цэгүүд нь D цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. c) D цэг нь ABC гурвалжны тэгш хэмийн төв юм. 6. Гүдгэр дөрвөн өнцөгт MNPK-ийн диагональ МП нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Энэ дөрвөн өнцөгт нь... байж болохгүй a) тэгш өнцөгт; б) ромб; в) дөрвөлжин.

7. А мөр AB хэрчмийг хагасаар хуваана. Аль мэдэгдэл зөв бэ? a) А ба В цэгүүд нь шулуун а-тай тэгш хэмтэй байна. b) А ба В цэгүүд нь а шулуун ба AB хэрчимүүдийн огтлолцох цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. в) Энэ тохиолдолд тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэмийн аль нь ч байхгүй. 7. Параллелограммын аль нэг талын дундыг дайран өнгөрөх шулуун нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Тэгвэл энэ параллелограмм байж болохгүй... a) тэгш өнцөгт; б) ромб; в) дөрвөлжин.

8. А (3; - 4), В (- 3; - 4), С (- 3; 4) цэгүүдийн дунд координатын гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй хосыг заана уу: a) A ба B; б) В ба В; c) A ба C. 8. D (4; - 7), K (- 4; 7), P (- 4; - 7) цэгүүдийн дунд х тэнхлэгт тэгш хэмтэй хосыг заана уу: a) K ба D; b) K ба R; в) P ба D.

9. y = x + 2 шулуун шугамын хувьд OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй шулуун шугамыг заана уу. a) y = -x + 2; б) y = x - 2; в) y = -x y = x + 2 шулуун шугамын хувьд эхийн хувьд тэгш хэмтэй шулуун шугамыг заана уу: a) y = -x + 2; б) y = x - 2; в) y = -x - 2.

Хариултууд: вccabacbca 2вbcccbabbb

Энэ хичээлээр бид орон зай дахь тэгш хэмийн төрлүүдийг тайлбарлаж, ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголттой танилцах болно.

Планиметрийн нэгэн адил орон зайд бид цэг болон шугамын тэгш хэмийг авч үзэх болно, гэхдээ үүнээс гадна хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэм гарч ирнэ.

Тодорхойлолт.

Хэрэв О сегментийн дунд хэсэг бол А цэгүүдийг О цэгтэй (тэгш хэмийн төв) харьцангуй тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. O цэг нь өөрөө тэгш хэмтэй байна.

Өгөгдсөн А цэгийн О цэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй цэгийг олж авахын тулд та А ба О цэгүүдээр шулуун шугам зурж, О цэгээс OA-тай тэнцүү сегментийг зурж, хүссэн цэгийг олж авах хэрэгтэй (Зураг 1). ).

Цагаан будаа. 1. Нэг цэгийн тэгш хэм

Үүний нэгэн адил B цэгүүд нь О цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна, учир нь O нь сегментийн дунд хэсэг юм.

Тиймээс, хавтгай дээрх цэг бүр онгоцны өөр цэг рүү шилжих хууль өгөгдсөн бөгөөд энэ тохиолдолд ямар ч зай хадгалагдана, өөрөөр хэлбэл бид хэлсэн.

Орон зайн шулуун шугамын тэгш хэмийг авч үзье.

Өгөгдсөн А цэгийн тэгш хэмтэй цэгийг тодорхой шулуун a-тай харьцуулахын тулд та А цэгээс шулуун шугам руу перпендикулярыг буулгаж, үүн дээр тэнцүү сегментийг зурах хэрэгтэй (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Орон зайн шулуун шугамын тэгш хэм

Тодорхойлолт.

А цэгүүдийг шулуун а (тэгш хэмийн тэнхлэг) -тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв а шулуун нь сегментийн дундуур дайран өнгөрч, түүнд перпендикуляр байвал. Шулуун шугамын цэг бүр өөртэйгээ тэгш хэмтэй байна.

Тодорхойлолт.

Хэрэв хавтгай сегментийн дундуур дайран өнгөрч, түүнд перпендикуляр байвал А цэгүүдийг хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй (тэгш хэмийн хавтгай) гэж нэрлэдэг. Хавтгайн цэг бүр өөртэйгээ тэгш хэмтэй байна (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэм

Зарим геометрийн дүрс нь тэгш хэмийн төв, тэгш хэмийн тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн хавтгайтай байж болно.

Тодорхойлолт.

Тухайн зургийн цэг бүр ижил дүрсийн аль нэг цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байвал О цэгийг дүрсийн тэгш хэмийн төв гэнэ.

Жишээлбэл, параллелограмм ба параллелепипедийн хувьд бүх диагональуудын огтлолцлын цэг нь тэгш хэмийн төв юм. Параллелепипедийг жишээ болгон үзүүлье.

Цагаан будаа. 4. Параллелепипедийн тэгш хэмийн төв

Тиймээс параллелепипедийн О цэгийн тэгш хэмтэй А цэг нь цэг рүү, В цэг нь цэг рүү ордог тул параллелепипед өөрөө өөртөө ордог.

Тодорхойлолт.

Зургийн цэг бүр нь ижил дүрсийн аль нэг цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байвал шулуун шугамыг дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, ромбын диагональ бүр нь түүний хувьд тэгш хэмийн тэнхлэг юм.

Орон зайд жишээ авч үзье - тэгш өнцөгт параллелепипед (хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн перпендикуляр, суурь дээр тэнцүү тэгш өнцөгтүүд байдаг). Ийм параллелепипед нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байдаг. Тэдгээрийн нэг нь параллелепипедийн тэгш хэмийн төв (диагональуудын огтлолцох цэг) ба дээд ба доод суурийн төвүүдээр дамждаг.

Тодорхойлолт.

Тухайн зургийн цэг бүр ижил дүрсийн аль нэг цэгт тэгш хэмтэй байвал хавтгайг дүрсийн тэгш хэмийн хавтгай гэнэ.

Жишээлбэл, тэгш өнцөгт параллелепипед нь тэгш хэмийн хавтгайтай байдаг. Тэдний нэг нь дээд ба доод суурийн эсрэг талын хавирганы дундуур дамждаг (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн тэгш хэмийн хавтгай

Симметрийн элементүүд ердийн олон талтуудад байдаг.

Тодорхойлолт.

Гүдгэр олон өнцөгтийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй, орой бүрт ижил тооны ирмэгүүд нийлдэг бол түүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Теорем.

Нүүр нь ердийн n-гонстой ердийн олон өнцөгт байдаггүй.

Нотолгоо:

Ердийн зургаан өнцөгт байх үеийн тохиолдлыг авч үзье. Түүний бүх дотоод өнцөг нь тэнцүү байна:

Дараа нь дотоод өнцөг нь илүү том байх болно.

Олон өнцөгтийн орой бүрт дор хаяж гурван ирмэг нийлдэг бөгөөд энэ нь орой бүр дор хаяж гурван хавтгай өнцөг агуулна гэсэн үг юм. Тэдний нийт нийлбэр (тус бүр нь -ээс их эсвэл тэнцүү байх тохиолдолд) -ээс их буюу тэнцүү байна. Энэ нь мэдэгдэлтэй зөрчилдөж байна: гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд орой бүрийн бүх хавтгай өнцгийн нийлбэр бага байна.

Теорем нь батлагдсан.

Шоо (Зураг 6):

Цагаан будаа. 6. Шоо

Шоо нь зургаан квадратаас бүрдэнэ; квадрат бол ердийн олон өнцөгт;

Орой бүр нь гурван квадратын орой юм, жишээлбэл, A орой нь ABCD дөрвөлжин нүүрний хувьд нийтлэг байдаг. ;

Гурван зөв өнцгөөс бүрддэг тул орой тус бүрийн хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь . Энэ нь ердийн олон өнцөгтийн үзэл баримтлалыг хангахаас бага юм;

Шоо нь тэгш хэмийн төвтэй - диагональуудын огтлолцлын цэг;

Шоо нь тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй, жишээлбэл a ба b шулуун шугамууд (Зураг 6), шулуун шугам нь эсрэг талын нүүрний дунд цэгүүдээр, b нь эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг;

Шоо нь тэгш хэмийн хавтгайтай, жишээлбэл, a ба b шугамыг дайран өнгөрдөг хавтгай.

2. Энгийн тетраэдр (бүх ирмэг нь хоорондоо тэнцүү энгийн гурвалжин пирамид):

Цагаан будаа. 7. Энгийн тетраэдр

Ердийн тетраэдр нь дөрвөн тэгш талт гурвалжнаас бүрдэнэ;

Энгийн тетраэдр нь дагуух гурван хавтгай өнцгөөс бүрддэг тул орой тус бүрийн бүх хавтгай өнцгийн нийлбэр нь . Энэ нь ердийн олон өнцөгтийн үзэл баримтлалд нийцсэн зүйлээс бага юм;

Ердийн тетраэдр нь тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй, тэдгээр нь эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг, жишээлбэл MN шулуун шугам; Түүнчлэн MN нь AB ба CD огтлолцох шулуун шугамуудын хоорондох зай, MN нь AB ба CD ирмэгүүдэд перпендикуляр;

Ердийн тетраэдр нь тэгш хэмийн хавтгайтай бөгөөд тус бүр нь ирмэг ба эсрэг талын ирмэгийн дундуур дамждаг (Зураг 7);

Ердийн тетраэдр нь тэгш хэмийн төвгүй байдаг.

3. Энгийн октаэдр:

Найман тэгш талт гурвалжингаас бүрдэнэ;

Дөрвөн ирмэг нь орой бүр дээр нийлдэг;

Энгийн октаэдр нь дагуух дөрвөн хавтгай өнцгөөс бүрддэг тул орой тус бүрийн бүх хавтгай өнцгийн нийлбэр нь . Энэ нь -ээс бага бөгөөд энэ нь ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг хангадаг.

4. Энгийн икосаэдрон:

Хорин тэнцүү талт гурвалжингаас бүрдэнэ;

Орой бүр дээр таван ирмэг нийлдэг;

Энгийн икосаэдр нь дагуух таван хавтгай өнцгөөс тогтдог тул орой тус бүрийн бүх хавтгай өнцгийн нийлбэр нь . Энэ нь ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг хангасан -аас бага байна.

5. Энгийн додекаэдр:

Арван хоёр энгийн таван өнцөгтөөс бүрдэнэ;

Гурван ирмэг нь орой бүр дээр нийлдэг;

Орой бүр дээрх бүх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь . Энэ нь -ээс бага бөгөөд энэ нь ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг хангаж байна.

Тиймээс бид орон зай дахь тэгш хэмийн төрлүүдийг судалж, хатуу тодорхойлолтыг өгсөн. Мөн бид ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг тодорхойлж, ийм олон талт, тэдгээрийн шинж чанаруудын жишээг авч үзсэн.

Лавлагаа

1. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Геометр. 10-11-р анги: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг (үндсэн ба тусгай түвшин) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй.
2. Шарыгин I.F. Геометр. 10-11-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг / Шарыгин I. F. - М.: Bustard, 1999. - 208 х.: өвчтэй.
3. Е.В.Потоскуев, Л.И.Звалич. Геометр. 10-р анги: Математикийг гүнзгийрүүлэн, төрөлжүүлэн судалдаг ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг /Э. В.Потоскуев, Л.И.Звалич. - 6-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М.: Bustard, 2008. - 233 х.: өвчтэй.

1. Matemonline.com ().
2. Fmclass.ru ().
3. 5klass.net ().

Гэрийн даалгавар

1. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн тэгш хэмийн тэнхлэгийн тоог заана;
2. ердийн таван өнцөгт призмийн тэгш хэмийн тэнхлэгийн тоог заана;
3. октаэдрийн тэгш хэмийн хавтгайн тоог заана;
4. тэгш хэмийн бүх элементүүдийг агуулсан пирамид барих.