Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байрладаг дөрвөн өнцөгт юм (Зураг 233).
Дурын параллелограммын хувьд дараах шинж чанаруудыг хангана.
1. Параллелограммын эсрэг талууд тэнцүү байна.
Баталгаа. ABCD параллелограмм дээр бид диагональ АС-ийг зурна. ACD ба AC B гурвалжнууд нь AC нийтлэг тал ба түүнтэй зэргэлдээх хоёр хос тэнцүү өнцөгтэй тул тэнцүү байна.
(AD ба BC зэрэгцээ шугамтай хөндлөн өнцөг гэх мэт). Энэ нь ижил өнцгүүдийн эсрэг байрлах тэнцүү гурвалжны талуудтай адил гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.
2. Параллелограммын эсрэг өнцөг нь тэнцүү байна.
3. Параллелограммын зэргэлдээ өнцөг, өөрөөр хэлбэл, нэг талтай зэргэлдээх өнцөг, нийлбэр гэх мэт.
Зэрэгцээ шугамын өнцгийн шинж чанараас 2 ба 3-р шинж чанарын баталгааг нэн даруй олж авна.
4. Параллелограммын диагональууд огтлолцох цэг дээрээ бие биенээ хоёр хуваана. Өөрөөр хэлбэл,
Баталгаа. AOD ба BOC гурвалжин нь хоорондоо тэнцүү, учир нь тэдгээрийн AD ба BC талууд нь тэнцүү (1-р шинж чанар) ба тэдгээрийн зэргэлдээх өнцөгүүд (параллель шугамын хөндлөн өнцөг гэх мэт). Эндээс харахад эдгээр гурвалжны харгалзах талууд тэнцүү байна: AO, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
Эдгээр дөрвөн шинж чанар бүр нь параллелограммыг тодорхойлдог, эсвэл тэдний хэлснээр түүний онцлог шинж чанар юм, өөрөөр хэлбэл эдгээр шинж чанаруудын дор хаяж нэгийг агуулсан дөрвөн өнцөгт бүр нь параллелограмм юм (тиймээс бусад гурван шинж чанартай байдаг).
Үл хөдлөх хөрөнгө тус бүрийн нотлох баримтыг тусад нь авч үзье.
1". Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд хосоороо тэнцүү бол энэ нь параллелограмм болно.
Баталгаа. ABCD дөрвөн өнцөгт нь AD ба BC, AB ба CD талуудтай тэнцүү байг (Зураг 233). АС диагональ зуръя. ABC ба CDA гурвалжнууд нь гурван хос тэнцүү талуудтай байх болно.
Харин BAC ба DCA өнцгүүд тэнцүү ба . BC ба AD талуудын параллелизм нь CAD ба ACB өнцгүүдийн тэгш байдлаас үүдэлтэй.
2. Дөрвөн өнцөгт хоёр хос эсрэг талын өнцөгтэй бол энэ нь параллелограмм болно.
Баталгаа. Let . Түүнээс хойш AD ба МЭӨ хоёр тал нь параллель байна (шугамуудын параллелизм дээр үндэслэсэн).
3. Бид томьёолол, нотлох баримтыг уншигчдад үлдээж байна.
4. Дөрвөн өнцөгтийн диагональууд огтлолцох цэг дээр бие биенээ хоёр хуваасан бол дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм болно.
Баталгаа. Хэрэв AO = OS, BO = OD (Зураг. 233) бол AOD ба BOC гурвалжин нь AO ба CO, BO ба DO тэнцүү талуудтай хосуудын хооронд бэхлэгдсэн, О орой дээр тэнцүү өнцөгтэй (босоо!) адил тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас бид AD ба BC талууд тэнцүү гэж дүгнэж байна. AB ба CD талууд нь мөн тэнцүү бөгөөд дөрвөлжин нь G шинж чанарын дагуу параллелограмм болж хувирдаг.
Тиймээс өгөгдсөн дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэдгийг батлахын тулд дөрвөн шинж чанарын аль нэгнийх нь үнэн зөвийг шалгахад хангалттай. Уншигчид параллелограммын өөр нэг шинж чанарыг бие даан нотлохыг урьж байна.
5. Дөрвөн өнцөгт хос тэнцүү зэрэгцээ талуудтай бол энэ нь параллелограмм болно.
Заримдаа параллелограммын аль ч хос зэрэгцээ талыг түүний суурь гэж нэрлэдэг бол нөгөө хоёрыг хажуу тал гэж нэрлэдэг. Параллелограммын хоёр талд перпендикуляр шулуун шугамын хэрчим, тэдгээрийн хооронд бэхлэгдсэн хэсгийг параллелограммын өндөр гэнэ. Зураг дээрх параллелограмм. 234 нь AD ба BC тал руу h өндөртэй, хоёр дахь өндрийг сегментээр илэрхийлнэ.
"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!
10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.
Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын шуурхай шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.
Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.
Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.
Хичээлийн сэдэв
- Параллелограммын диагональуудын шинж чанарууд.
Хичээлийн зорилго
- Шинэ тодорхойлолтуудтай танилцаж, аль хэдийн судлагдсан заримыг санаарай.
- Параллелограммын диагональуудын шинж чанарыг тодорхойлж батал.
- Бодлого шийдвэрлэхдээ дүрсийн шинж чанарыг хэрэглэж сур.
- Хөгжүүлэлт - сурагчдын анхаарал, тэсвэр тэвчээр, тэсвэр тэвчээр, логик сэтгэлгээ, математик хэл яриаг хөгжүүлэх.
- Боловсрол - хичээлээр дамжуулан бие биедээ анхааралтай хандах хандлагыг төлөвшүүлэх, нөхдүүдийг сонсох, харилцан туслалцаа үзүүлэх, бие даасан байдлыг бий болгох.
Хичээлийн зорилго
- Сурагчдын асуудал шийдвэрлэх чадварыг шалгах.
Хичээлийн төлөвлөгөө
- Нээлтийн үг.
- Өмнө нь судалсан материалыг давтах.
- Параллелограмм, түүний шинж чанар, онцлог.
- Даалгаврын жишээ.
- Өөрийгөө шалгах.
Танилцуулга
"Шинжлэх ухааны томоохон нээлт нь томоохон асуудлын шийдлийг өгдөг, гэхдээ аливаа асуудлын шийдэлд нээлтийн үр тариа байдаг."
Параллелограммын эсрэг талуудын шинж чанар
Параллелограмм нь эсрэг талын талуудтай тэнцүү.
Баталгаа.
Өгөгдсөн параллелограммыг ABCD гэж үзье. Мөн түүний диагональуудыг О цэг дээр огтолцгооё.
Гурвалжны тэгш байдлын эхний шалгуураар Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, босоо байдлаар, AO=OC, DO=OB, параллелограммын диагональуудын шинж чанараар) тул AB=CD болно. Үүний нэгэн адил BOC ба DOA гурвалжнуудын тэгшитгэлээс BC = DA байна. Теорем нь батлагдсан.
Параллелограммын эсрэг талын өнцгийн шинж чанар
Параллелограммд эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү байна.
Баталгаа.
Өгөгдсөн параллелограммыг ABCD гэж үзье. Мөн түүний диагональуудыг О цэг дээр огтолцгооё.
Параллелограммын эсрэг талуудын шинж чанарын тухай теоремоор батлагдсан зүйлээс гурван талдаа Δ ABC = Δ CDA (Батлагдсанаас AB=CD, BC=DA, AC – ерөнхий). Гурвалжны тэгш байдлаас үзэхэд ∠ ABC = ∠ CDA байна.
Мөн ∠ DAB = ∠ BCD болох нь батлагдсан бөгөөд энэ нь ∠ ABD = ∠ CDB-ээс үүсэлтэй. Теорем нь батлагдсан.
Параллелограммын диагональуудын шинж чанар
Параллелограммын диагональууд огтлолцож, огтлолцох цэг дээр хуваагдана.
Баталгаа.
Өгөгдсөн параллелограммыг ABCD гэж үзье. Диагональ АС-ийг зуръя. Үүн дээр DO сегментийн үргэлжлэл дээр OB 1 сегментийг DO-той тэнцүү гэж тэмдэглэе.
Өмнөх теоремоор AB 1 CD нь параллелограмм юм. Тиймээс AB 1 шугам нь DC-тэй параллель байна. Гэхдээ А цэгээр зөвхөн DC-тэй параллель нэг шулуун зурж болно. Энэ нь AB 1 шугам нь AB шугамтай давхцаж байна гэсэн үг юм.
МЭӨ 1 нь МЭӨ-тэй давхцаж байгаа нь ч нотлогдсон. Энэ нь C цэг нь C 1-тэй давхцаж байна гэсэн үг юм. ABCD параллелограмм AB 1 CD параллелограммтай давхцаж байна. Үүний үр дүнд параллелограммын диагональууд огтлолцож, огтлолцох цэг дээр хуваагдана. Теорем нь батлагдсан.
Энгийн сургуулиудын сурах бичигт (жишээлбэл, Погорелово хотод) энэ нь батлагдсан: диагональ нь параллелограммыг 4 гурвалжинд хуваадаг. Нэг хосыг авч үзээд олж мэдье - тэдгээр нь тэнцүү байна: тэдгээрийн суурь нь эсрэг талууд, түүнтэй зэргэлдээх өнцөг нь параллель шугамтай босоо өнцөг шиг тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл диагональ сегментүүд хосоороо тэнцүү байна. Бүгд.
Энэ бүгд үү?
Хэрэв байгаа бол огтлолцох цэг нь диагональуудыг хоёр хуваадаг болохыг дээр дурдсан. Дээрх үндэслэл нь түүний оршин байгааг ямар ч байдлаар нотлохгүй. Өөрөөр хэлбэл, "параллелограммын диагональууд огтлолцдог" теоремын нэг хэсэг нь батлагдаагүй хэвээр байна.
Хамгийн инээдтэй нь энэ хэсгийг батлахад хамаагүй хэцүү байдаг. Энэ нь илүү ерөнхий үр дүнгээс гардаг: аливаа гүдгэр дөрвөлжин диагональ огтлолцох боловч гүдгэр бус дөрвөн өнцөгт огтлолцохгүй.
Хажуугийн дагуух гурвалжин ба хоёр зэргэлдээ өнцгийн тэгш байдлын тухай (гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь тэмдэг) болон бусад.
Талес нэг тал ба хоёр зэргэлдээ өнцгийн дагуух хоёр гурвалжны тэгш байдлын тухай теоремын чухал практик хэрэглээг олсон. Далай дахь хөлөг онгоц хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд Милетийн боомтод зай хэмжигчийг барьсан. Энэ нь гурван хөтлөгчтэй A, B, C (AB = BC) ба CA-д перпендикуляр SC шулуун шугамаас бүрдэнэ. SK шулуун дээр хөлөг гарч ирэхэд бид D, .B, E цэгүүд нэг шулуун дээр байхаар D цэгийг олсон. Зураг дээр тодорхой байгаагаар газар дээрх CD зай нь хөлөг онгоц хүртэлх хүссэн зай юм.
Асуултууд
- Дөрвөлжингийн диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар нь хуваасан уу?
- Параллелограммын диагональууд тэнцүү юу?
- Параллелограммын эсрэг өнцөг нь тэнцүү үү?
- Параллелограммын тодорхойлолтыг хэлнэ үү?
- Параллелограммын хэдэн тэмдэг байдаг вэ?
- Ромб параллелограмм байж чадах уу?
Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт
- Кузнецов А.В., математикийн багш (5-9-р анги), Киев
- “Улсын нэгдсэн шалгалт 2006. Математик. Оюутнуудыг бэлтгэх боловсролын болон сургалтын материал / Рособрнадзор, ISOP - М.: Оюуны төв, 2006"
- Мазур К.И. "М. И. Сканавигийн найруулсан түүврийн математикийн өрсөлдөөний үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх нь"
- Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, И.И.Юдина "Геометр, 7-9: боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг"
Бид хичээл дээр ажилласан
Кузнецов А.В.
Потурнак С.А.
Евгений Петров
Та орчин үеийн боловсролын талаар асуулт тавьж, санал бодлоо илэрхийлэх эсвэл тулгамдсан асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой Боловсролын форум, шинэ бодол санаа, үйл ажиллагааны боловсролын зөвлөл олон улсын хэмжээнд хуралддаг. Бүтээсэн блог,Та чадварлаг багшийн статусаа ахиулахаас гадна ирээдүйн сургуулийн хөгжилд жинтэй хувь нэмэр оруулах болно. Боловсролын удирдагчдын холбоодээд зэрэглэлийн мэргэжилтнүүдэд үүд хаалгыг нээж, дэлхийн шилдэг сургуулиудыг бий болгоход хамтран ажиллахыг урьж байна.
Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм. Дараах зурагт ABCD параллелограммыг үзүүлэв. Энэ нь AB тал нь CD талтай, BC тал нь AD талтай параллель байна.
Таны таамаглаж байсанчлан параллелограмм нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт юм. Параллелограммын үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.
Параллелограммын шинж чанарууд
1. Параллелограммын эсрэг өнцөг ба эсрэг талууд тэнцүү байна. Энэ өмчийг баталъя - дараах зурагт үзүүлсэн параллелограммыг авч үзье.
Диагональ BD нь үүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваадаг: ABD ба CBD. BC ба AD ба AB ба CD параллель шулуунуудын BD хөндлөн огтлолцол дээр тус тус хөндлөн хэвтэж байгаа тул тэдгээр нь BD тал ба түүнтэй зэргэлдээх хоёр өнцгийн дагуу тэнцүү байна. Тиймээс AB = CD ба
МЭӨ = МЭ. Мөн 1, 2, 3, 4 өнцгүүдийн тэгш байдлаас харахад А өнцөг А = өнцөг1 + өнцөг3 = өнцөг2 + өнцөг4 = өнцөг С болно.
2. Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана. O цэгийг ABCD параллелограммын АС ба BD диагональуудын огтлолцлын цэг гэж үзье.
Дараа нь AOB гурвалжин ба COD гурвалжин нь хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцгийн дагуу бие биетэйгээ тэнцүү байна. (Эдгээр нь параллелограммын эсрэг талууд тул AB = CD. Мөн өнцөг1 = өнцөг2 ба өнцөг3 = өнцөг4 нь AB ба CD шулуунууд АС ба BD таслагчтай огтлолцох үед хөндлөн өнцөгтэй адил байна.) Эндээс AO = OC гэсэн дүгнэлт гарна. ба OB = OD, үүнийг батлах шаардлагатай.
Бүх үндсэн шинж чанаруудыг дараах гурван зурагт үзүүлэв.
Энэ бол эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Параллелограммын аль ч диагональ нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана.
Баталгаа. II шинж чанарын дагуу (хөндлөн өнцөг ба нийтлэг тал).
Теорем нь батлагдсан.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Параллелограммын эсрэг талууд нь тэнцүү, эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү байна.
Баталгаа.
Үүний нэгэн адил,
Теорем нь батлагдсан.
Өмч чанар 3. Параллелограммын диагональууд нь огтлолцох цэгээр хуваагдана.
Баталгаа.
Теорем нь батлагдсан.
Үл хөдлөх хөрөнгө 4. Параллелограммын өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг огтолж, түүнийг тэгш өнцөгт гурвалжин ба трапец хэлбэрээр хуваана. (Ч. үгс - орой - хоёр тэгш өнцөгт? -ка).
Баталгаа.
Теорем нь батлагдсан.
Эд хөрөнгө 5. Параллелограммын хувьд диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрч буй эсрэг талдаа төгсгөлтэй шугамын хэрчмийг энэ цэгээр хуваана.
Баталгаа.
Теорем нь батлагдсан.
Үл хөдлөх хөрөнгө 6. Параллелограммын мохоо өнцгийн оройноос унасан өндрийн хоорондох өнцөг нь параллелограммын хурц өнцөгтэй тэнцүү байна.
Баталгаа.
Теорем нь батлагдсан.
Үл хөдлөх хөрөнгө 7. Нэг талтай зэргэлдээ орших параллелограммын өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.
Баталгаа.
Теорем нь батлагдсан.
Өнцгийн биссектрисийг байгуулах. Гурвалжны өнцгийн биссектрисын шинж чанарууд.
1) Дурын DE туяаг байгуул.
2) Өгөгдсөн туяан дээр орой дээрээ төвтэй, мөн адил дурын тойрог байгуул.
төв нь баригдсан цацрагийн эхэнд байна.
3) F ба G - тойргийн өгөгдсөн өнцгийн талуудтай огтлолцох цэг, H - баригдсан туяатай тойргийн огтлолцох цэг.
Төв нь H цэг дээр FG радиустай тойрог байгуул.
5) I нь баригдсан цацрагийн тойргийн огтлолцох цэг юм.
6) Орой ба I-ээр шулуун шугамыг зур.
IDH нь шаардлагатай өнцөг юм.
)
Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг зэргэлдээ талуудтай пропорциональ хуваана.
Баталгаа. x, y-г в талын сегмент гэж үзье. МЭӨ цацрагийг үргэлжлүүлье. BC туяа дээр бид C-аас AC-тай тэнцүү CK сегментийг зурна.
