Натурал тоонуудын дараалал гэж юу вэ. Зарим төрлийн дараалал

Натурал тоонуудын цувааг авч үзье: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Хэрэв бид натурал тоо бүрийг орлуулах юм бол nэнэ цувралд тодорхой тоогоор а n, зарим хуулийн дагуу бид шинэ цуврал тоонуудыг авдаг:

а 1 , а 2 , а 3 , , а n –1 , а n , ,

товч тодорхойлогдож, дуудагдсан тоон дараалал. Хэмжээ а nтооны дарааллын нийтлэг гишүүн гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн тооны дарааллыг ямар нэг томъёогоор өгдөг а n = е(n) дарааллын аль нэг гишүүнийг дугаараар нь олох боломжийг танд олгоно n; энэ томъёог ерөнхий нэр томъёо гэж нэрлэдэг. Ерөнхий нэр томъёог ашиглан тоон дарааллыг тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг гэдгийг анхаарна уу; заримдаа дарааллыг гишүүдийг нь дүрслэн зааж өгдөг.

Тодорхойлолтоор дараалал нь үргэлж хязгааргүй тооны элементүүдийг агуулна: дурын хоёр өөр элемент нь хамгийн багадаа тооноороо ялгаатай бөгөөд тэдгээрээс хязгааргүй олон байдаг.

Тоон дараалал нь функцийн онцгой тохиолдол юм. Дараалал гэдэг нь натурал тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогдсон функц бөгөөд бодит тоонуудын олонлогт утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн функц юм. е : Н  Р.

Дараалал
дуудсан нэмэгдэж байна(буурч байна), хэрэв байгаа бол n  Н
Ийм дарааллыг нэрлэдэг хатуу монотон.

Заримдаа бүх натурал тоог биш, зөвхөн заримыг нь тоо болгон ашиглах нь тохиромжтой байдаг (жишээлбэл, зарим натурал тооноос эхлэн натурал тоонууд). n 0). Дугаарлахдаа зөвхөн натурал тоо төдийгүй бусад тоонуудыг ашиглаж болно, жишээлбэл, n= 0, 1, 2,  (энд тэгийг натурал тооны олонлогт өөр тоо болгон нэмдэг). Ийм тохиолдолд дарааллыг зааж өгөхдөө тоонууд ямар утгыг авахыг зааж өгнө n.

Хэрэв ямар нэг дарааллаар бол n  Н
дараа нь дарааллыг дуудна буурдаггүй(өсөхгүй). Ийм дарааллыг нэрлэдэг нэг хэвийн.

Жишээ 1 . 1, 2, 3, 4, 5, ... тооны дараалал нь натурал тоонуудын цуваа бөгөөд нийтлэг гишүүнтэй. а n = n.

Жишээ 2 . 2, 4, 6, 8, 10, ... гэсэн тооны дараалал нь тэгш тоонуудын цуваа бөгөөд нийтлэг гишүүнтэй. а n = 2n.

Жишээ 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – нарийвчлал нэмэгдэж буй ойролцоо утгуудын тоон дараалал.

Сүүлийн жишээнд дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог өгөх боломжгүй юм.

Жишээ 4 . Нийтлэг гишүүнийг ашиглан тооны дарааллын эхний 5 гишүүнийг бич
. Тооцоолохын тулд аЕрөнхий нэр томъёоны томъёонд 1 шаардлагатай а nоронд нь nтооцоолохын тулд 1-ийг орлуулна а 2 − 2 гэх мэт. Дараа нь бидэнд:

Туршилт 6 . 1, 2, 6, 24, 120,  дарааллын нийтлэг гишүүн нь:

1)

2)

3)

4)

Туршилт 7 .
нь:

1)

2)

3)

4)

Туршилт 8 . Дарааллын нийтлэг гишүүн
нь:

1)

2)

3)

4)

Тооны дарааллын хязгаар

Нийтлэг гишүүн нь зарим тоонд ойртдог тооны дарааллыг авч үзье Асерийн дугаар нэмэгдэх үед n. Энэ тохиолдолд тооны дарааллыг хязгаартай гэж хэлдэг. Энэ ойлголт нь илүү хатуу тодорхойлолттой байдаг.

Тоо Атооны дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг
:

(1)

хэрэв аль нэг  > 0 бол ийм тоо байна n 0 = n 0 (), -аас хамааран аль
цагт n > n 0 .

Энэ тодорхойлолт нь үүнийг илэрхийлдэг АХэрэв тоон дарааллын нийтлэг гишүүн нь хязгааргүй ойртвол түүнд хязгаарлалт бий Анэмэгдэх тусам n. Геометрийн хувьд энэ нь ямар ч  > 0 тохиолдолд ийм тоог олох боломжтой гэсэн үг юм n 0, үүнээс эхэлж байна n > n 0, дарааллын бүх гишүүд интервал дотор байрлана ( А – , А+ ). Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нэгдэх; өөрөөр - ялгаатай.

Тоон дараалал нь тодорхой тэмдгийн зөвхөн нэг хязгаартай (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) байж болно.

Жишээ 5 . Гармоник дараалал 0 хязгаарын дугаартай. Үнэн хэрэгтээ дурын интервалд (–; +) тоогоор Н 0 нь -ээс их бүхэл тоо байж болно. Дараа нь хүн бүрт n > n 0 >бидэнд байна

Жишээ 6 . 2, 5, 2, 5,  дараалал нь ялгаатай байна. Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь нэгээс бага урттай интервал нь тодорхой тооноос эхлэн дарааллын бүх гишүүдийг агуулж болохгүй.

Дараалал гэж нэрлэдэг хязгаарлагдмал, хэрэв ийм тоо байгаа бол М, Юу
хүн бүрт n. Конвергент дараалал бүр нь хязгаарлагдмал байдаг. Монотон ба хязгаарлагдмал дараалал бүр хязгаартай байдаг. Конвергентын дараалал бүр өвөрмөц хязгаартай байдаг.

Жишээ 7 . Дараалал
нэмэгдэж, хязгаарлагдаж байна. Түүнд хязгаар бий
=д.

Тоо ддуудсан Эйлерийн дугаармөн ойролцоогоор 2.718 28-тай тэнцүү байна.

Туршилт 9 . 1, 4, 9, 16,  дараалал нь:

1) нэгдэх;

2) ялгаатай;

3) хязгаарлагдмал;

Туршилт 10 . Дараалал
нь:

1) нэгдэх;

2) ялгаатай;

3) хязгаарлагдмал;

4) арифметик прогресс;

5) геометрийн прогресс.

Туршилт 11 . Дараалал биш:

1) нэгдэх;

2) ялгаатай;

3) хязгаарлагдмал;

4) гармоник.

Туршилт 12 . Нийтлэг нэр томъёогоор өгөгдсөн дарааллын хязгаар
тэнцүү.

Натурал тоо нь өөрчлөгдөөгүй нэг багцын тоон шинж чанар боловч бодит байдал дээр объектын тоо, жишээлбэл, тодорхой ферм дэх малын тоо байнга өөрчлөгдөж байдаг. Түүгээр ч барахгүй хамгийн энгийн, гэхдээ бас хамгийн чухал дараалал нь тоолох явцад шууд гарч ирдэг - энэ бол натурал тоонуудын дараалал юм: 1, 2, 3, ....

Хэрэв тодорхой популяцийн объектын тооны өөрчлөлтийг натурал тоонуудын тодорхой дарааллын хэлбэрээр (дарааллын гишүүд) тогтоовол өөр дараалал нэн даруй үүсдэг - тоонуудын дараалал, жишээ нь.

Үүнтэй холбоотойгоор дарааллын гишүүдийг нэрлэх асуудал гарч ирдэг. Гишүүн бүрийг тусгай бичгээр томилох нь дараах шалтгааны улмаас туйлын тохиромжгүй юм. Нэгдүгээрт, дараалал нь маш том, бүр хязгааргүй тооны нэр томъёог агуулж болно. Хоёрдугаарт, элементүүдийн тоог өөрчилсөн ч дарааллын гишүүд нэг популяцид харьяалагддаг гэдгийг өөр өөр үсэг нуудаг. Эцэст нь хэлэхэд, энэ тохиолдолд дараалсан гишүүдийн дугаарыг тусгахгүй.

Эдгээр шалтгаанууд нь дарааллын гишүүдийг нэг үсгээр тэмдэглэж, индексээр нь ялгах шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, арван нэр томъёоноос бүрдсэн дарааллыг үсгээр тэмдэглэж болно А: А 1 , А 2 , А 3 , …, А 10. Дараалал нь төгсгөлгүй гэдгийг эллипсээр илэрхийлдэг бөгөөд энэ дарааллыг тодорхойгүй хугацаагаар сунгаж байгаа мэт: А 1 , А 2 , А 3, ... Заримдаа дарааллыг эхнээс нь дугаарлаж эхэлдэг: : А 0 , А 1 , А 2 , А 3 , …

Зарим дарааллыг тоонуудын санамсаргүй багц гэж ойлгож болно, учир нь дарааллын гишүүдийн үүсэх хууль тодорхойгүй, эсвэл бүр байхгүй. Гэсэн хэдий ч ийм хуулийг мэддэг дараалалд онцгой анхаарал хандуулдаг.

Дарааллын гишүүд үүсэх хуулийг харуулахын тулд хоёр аргыг ихэвчлэн ашигладаг. Тэдний эхнийх нь дараах байдалтай байна. Эхний нэр томъёог зааж, дараа нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан сүүлчийн нэр томъёог ашиглан дараагийнхыг олж авах аргыг зааж өгнө. Хууль бичихийн тулд тодорхойгүй дугаар бүхий дарааллын гишүүнийг ашигладаг, жишээлбэл, болон кболон дараагийн гишүүн ба k +1, үүний дараа тэдгээрийг холбох томьёог бичнэ.

Хамгийн алдартай бөгөөд чухал жишээ бол арифметик ба геометрийн прогресс юм. Арифметик прогрессийг томъёогоор тодорхойлно ба k +1 = ба k + r(эсвэл ба k +1 = ба k – r). Арифметик прогрессийн нөхцлүүд нь жигд өсдөг (шат шиг) эсвэл жигд буурдаг (бас шат шиг). Хэмжээ rучир нь прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг ба k +1 – ба k = r. Натурал гишүүнтэй арифметик прогрессийн жишээнүүд

а) натурал тоо ( a 1 = 1 ;ба k +1 = ба k + 1);

б) хязгааргүй дараалал 1, 3, 5, 7, ... ( a 1 = 1 ;ба k +1 = ба k + 2);

в) эцсийн дараалал 15, 12, 9, 6, 3 ( a 1 = 15 ;ба k +1 = болон к–3 ).

Геометрийн прогрессийг томъёогоор тодорхойлно b k +1 = b k ∙q. Хэмжээ qучир нь геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг b k +1:b k = q. Байгалийн нэр томъёо, хуваарь нь нэгээс их геометрийн прогрессууд нь нуранги шиг хурдан ургадаг. Байгалийн нэр томъёо бүхий геометр прогрессийн жишээнүүд

a) хязгааргүй дараалал 1, 2, 4, 8, ... ( б 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

б) төгсгөлгүй дараалал 3, 12, 48, 192, 768,... ( б 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

Дарааллын нөхцөлийг тодорхойлох хуулийг зааж өгөх хоёр дахь арга бол дарааллын гишүүнийг тодорхойгүй тоогоор (нийтлэг нэр томъёо) тооцоолох боломжийг олгодог томъёог зааж өгөх явдал юм. болон к, дугаарыг ашиглан к.

Арифметик болон геометрийн прогрессийн гишүүдийг мөн ийм аргаар тооцоолж болно. Арифметик прогрессийг томъёогоор тодорхойлдог тул ба k +1 = ба k + r, гишүүнийг хэрхэн илэрхийлж байгааг ойлгоход хялбар байдаг болон кдугаарыг ашиглан к:

a 1- дур зоргоороо тогтоосон;

a 2 = a 1 + r= a 1 + 1∙r;

a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;

a 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;

…………………………………

болон к = a 1 + (k–1)∙r- эцсийн томъёо.

Геометрийн прогрессийн хувьд ерөнхий нэр томъёоны томъёог ижил төстэй аргаар гаргаж авдаг. б к = b 1 ∙ q k –1 .

Арифметик болон геометрийн прогрессоос гадна өөрчлөлтийн онцгой шинж чанартай бусад дарааллыг ижил аргаар тодорхойлж болно. Жишээлбэл, бид натурал тоонуудын квадратуудын дарааллыг өгдөг. s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Дараалал үүсгэх илүү төвөгтэй аргууд байдаг, жишээлбэл, нэг нь нөгөөгийнхөө тусламжтайгаар бүтээгдсэн байдаг. Арифметикийн хувьд онцгой ач холбогдолтой зүйл бол параметрүүдээр тодорхойлогддог геометрийн прогресс юм б 1 = 1, q= 10, өөрөөр хэлбэл аравтын зэрэглэлийн дараалал: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Натурал тоог байрлалын тоонд илэрхийлэхэд ашигладаг. систем. Түүнээс гадна натурал тоо бүрийн хувьд nөгөгдсөн тоог бичсэн тоонуудаас бүрдэх дараалал гарч ирнэ. a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Тоо болон к 10 төрлийн хэдэн нэр томъёог заана ктоо агуулсан n.

Дарааллын тухай ойлголт нь математикийн хувьд хэмжигдэхүүн ба функцийн хамгийн чухал ойлголтуудад хүргэдэг. Хэмжигдэхүүн гэдэг нь объект, үзэгдлийн тоон шинж чанарын өөрчлөлт юм. Түүний өөрчлөлтийг тоонуудын дараалал гэж үздэг. Нэр томьёо болон тэдгээрийн тоонуудын хоорондын хамаарал, түүнчлэн томъёогоор илэрхийлэгдэх нь функцийн тухай ойлголт руу ойртдог.

Нэлээд өндөр хөгжилтэй нийгмийн бараг бүх гишүүдийн ашигладаг математикийн хамгийн чухал нээлт бол байрлалын тооллын систем юм. Энэ нь зөвхөн эхний хэдэн тоонуудын тэмдэглэгээг (цифр) ашиглан улам олон шинэ тоог нэрлэх чадвар болох тоолох гол асуудлыг шийдэх боломжтой болсон.

Байршлын тооллын систем нь аравны тоотой уламжлалт байдлаар холбоотой байдаг боловч бусад системийг, жишээлбэл, хоёртын системийг ижил зарчмаар барьж болно. Аравтын бутархай байрлалын тооллын системийг байгуулахдаа арван араб тоог танилцуулдаг: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Тэдгээрийн тусламжтайгаар объектын тоог илэрхийлэх тоог бичиж болно. дурын хязгаарлагдмал олонлог. Энэ зорилгоор тусгай алгоритм, өөрөөр хэлбэл энгийн үйлдлийн тодорхой дарааллыг ашигладаг.

Тоолж буй зүйлсийг аравтай бүлэгт нэгтгэсэн бөгөөд энэ нь арав, үлдсэн хэсэг нь хуваагдана. Үүний үр дүнд хоёр багц үүсдэг - нэг ба арав. Аравтуудыг дахин араваар нь зуугаар нь бүлэглэв. Аравтын тоо нь тодорхой байна (бид үүнийг тэмдэглэнэ a 1) заавал араваас бага, тиймээс, a 1тоогоор илэрхийлж болно. Дараа нь бүх зүйлийг бүлэглэх хүртэл зуутыг мянгат, мянгатыг арван мянга гэх мэтээр бүлэглэнэ. Гарсан тоонуудыг зүүнээс баруун тийш том индексээс жижиг рүү бичих замаар тоог бүтээх ажлыг дуусгана. Дижитал болон к 10 объектын бүлгийн тоотой тохирч байна к. Тооны эцсийн бичлэг нь цифрүүдийн хязгаарлагдмал дарааллаас бүрдэнэ a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Харгалзах тоо нь илэрхийлэлтэй тэнцүү байна

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.

Тооллын системийн нэрэнд байгаа “байрлал” гэдэг үг нь тухайн тооны тэмдэглэгээнд ямар байр суурь эзэлж байгаагаас хамаараад утгаа өөрчилдөгтэй холбоотой. Сүүлийн цифр нь нэгжийн тоог, төгсгөлөөс өмнөх цифр нь аравтын тоо гэх мэтийг заана.

Дурын суурьтай тоон систем дэх тоонуудын бичлэгийг олж авах алгоритм гэдгийг анхаарна уу Н: дагуу объектуудыг дараалан бүлэглэхээс бүрдэнэ Нзүйлс. Тоо бичихдээ та ашиглах ёстой Нтоо

Дараалал

Дараалал- Энэ иж бүрдэлзарим багцын элементүүд:

• натурал тоо бүрийн хувьд та өгөгдсөн олонлогийн элементийг зааж өгч болно;
• энэ тоо нь элементийн дугаар бөгөөд энэ элементийн дарааллын байрлалыг заана;
• Дарааллын аль ч элементийн (гишүүн) хувьд та дарааллын дараагийн элементийг зааж өгч болно.

Тиймээс дараалал нь үр дүн болж хувирдаг тууштайөгөгдсөн олонлогийн элементүүдийн сонголт. Хэрэв ямар нэгэн элементийн багц нь төгсгөлтэй бөгөөд бид төгсгөлтэй эзэлхүүний дээжийн тухай ярих юм бол дараалал нь хязгааргүй эзэлхүүний дээж болж хувирна.

Дараалал нь мөн чанараараа зураглал байдаг тул дарааллыг "дагадаг" олонлогтой андуурч болохгүй.

Математикийн хувьд олон янзын дарааллыг авч үздэг.

• тоон болон тоон бус шинж чанартай цаг хугацааны цуваа;
• метрийн орон зайн элементүүдийн дараалал
• функциональ орон зайн элементүүдийн дараалал
• хяналтын систем ба машинуудын төлөв байдлын дараалал.

Бүх боломжит дарааллыг судлах зорилго нь хэв маягийг хайх, ирээдүйн төлөвийг урьдчилан таамаглах, дараалал үүсгэх явдал юм.

Тодорхойлолт

Дурын шинж чанартай тодорхой багц элементүүдийг өгье. | Натурал тооны олонлогоос өгөгдсөн олонлог хүртэлх аливаа зураглалыг дуудна дараалал(багцын элементүүд).

Натурал тооны дүрсийг, тухайлбал элементийг - гэж нэрлэдэг. th гишүүнэсвэл дарааллын элемент, ба дарааллын гишүүний дарааллын дугаар нь түүний индекс юм.

Холбогдох тодорхойлолтууд

• Хэрэв бид натурал тоонуудын өсөн нэмэгдэж буй дарааллыг авбал үүнийг ямар нэг дарааллын индексүүдийн дараалал гэж үзэж болно: хэрэв бид харгалзах индексүүдтэй (натурал тоонуудын өсөн нэмэгдэж буй дарааллаас авсан) анхны дарааллын элементүүдийг авбал бид гэсэн дарааллыг дахин авч болно дэд дараалалөгөгдсөн дараалал.

Сэтгэгдэл

• Математик шинжилгээнд чухал ойлголт бол тооны дарааллын хязгаар юм.

Тэмдэглэлүүд

Маягтын дараалал

Хаалтанд авсаархан бичих нь заншилтай:

Буржгар хаалт заримдаа ашиглагддаг:

Үг хэлэх эрх чөлөөг өгснөөр бид хэлбэрийн хязгаарлагдмал дарааллыг бас авч үзэж болно

натурал тоонуудын дарааллын эхний сегментийн дүрсийг илэрхийлдэг.

Мөн үзнэ үү

Викимедиа сан.

Синоним

ДАГАЛАЛ. I.V. ... ... Үгийн түүх

SEQUENCE, дараалал, олон тоо. үгүй ээ, эмэгтэй (ном). анхаарал сарниулсан нэр үг дараалал руу. Үйл явдлын дараалал. Өөрчлөгдөж буй түрлэг дэх тууштай байдал. Үндэслэл дэх тууштай байдал. Ушаковын тайлбар толь бичиг....... Ушаковын тайлбар толь бичиг

Тогтмол байдал, тасралтгүй байдал, логик; эгнээ, дэвшил, дүгнэлт, цуваа, уяа, эргэлт, гинж, гинж, цуваа, буухиа уралдаан; тууштай байдал, хүчин төгөлдөр байдал, багц, аргачлал, зохицуулалт, зохицол, тууштай байдал, дараалал, холболт, дараалал,... ... Синонимын толь бичиг

ЗОХИОН БАЙГУУЛАЛТ, тоо эсвэл элементүүд. Дараалал нь төгсгөлтэй (хязгаарлагдмал тооны элементтэй) эсвэл хязгааргүй байж болно, тухайлбал 1, 2, 3, 4 натурал тоонуудын бүрэн дараалал ....... ... Шинжлэх ухаан, техникийн нэвтэрхий толь бичиг

SEQUENCE, натурал тоогоор дугаарлагдсан тооны багц (математик илэрхийлэл гэх мэт; тэд: ямар ч шинж чанартай элементүүд гэж хэлдэг. Дарааллыг x1, x2,..., xn,... эсвэл товчоор (xi) ... гэж бичнэ. Орчин үеийн нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг. Дараалал нь дурын шинж чанартай элементүүдээр үүсгэгдэж, 1, 2, ..., n, ... натурал тоогоор дугаарлагдсан бөгөөд x1, x2, ..., xn, ... эсвэл товчоор (xn) гэж бичнэ. .. Том нэвтэрхий толь бичиг

Дараалал- SEQUENCE, натурал тоогоор дугаарлагдсан тоонуудын багц (математик илэрхийлэл гэх мэт; тэд: ямар ч шинж чанартай элементүүд гэж хэлдэг. Дарааллыг x1, x2, ..., xn, ... эсвэл товчоор (xi) бичнэ. ... Зурагт нэвтэрхий толь бичиг

SEQUENCE, мөн, эмэгтэй. 1. Дараалсан хэсгийг үзнэ үү. 2. Математикт: хязгааргүй эрэмбэлэгдсэн тооны багц. Ожеговын тайлбар толь бичиг. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949, 1992 ... Ожеговын тайлбар толь бичиг

Англи залгамж/дараалал; Герман Консекенз. 1. Нэг нэгнийхээ дараалал. 2. Математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг. 3. Бодол санаа нь дотоод зөрчилдөөнөөс ангид байх, зөв ​​логик сэтгэлгээний чанар ... ... Социологийн нэвтэрхий толь бичиг

Дараалал- "натурал тоонуудын багц дээр тодорхойлсон функц, утгуудын багц нь ямар ч шинж чанартай элементүүдээс бүрдэх боломжтой: тоо, цэг, функц, вектор, олонлог, санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэх мэт, натурал тоогоор дугаарлагдсан. . Эдийн засаг, математикийн толь бичиг

Номууд

• Бид дараалал үүсгэдэг. Муурын зулзага. 2-3 жил. Тоглоом "зулзага". Бид дараалал үүсгэдэг. 1-р түвшин. "Сургуулийн өмнөх боловсрол" цуврал. Хөгжилтэй зулзага нар далайн эрэг дээр наранд шарахаар шийджээ! Гэхдээ тэд газрыг хувааж чадахгүй. Тэдэнд тусал...

n (n=1; 2; 3; 4;...) натурал аргументийн a n =f (n) функцийг тооны дараалал гэнэ.

a 1 тоо; a 2; a 3; a 4 ;…, дараалал үүсгэгчийг тоон дарааллын гишүүд гэнэ. Тэгэхээр a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Тиймээс, дарааллын гишүүдийг индексийг харуулсан үсгээр тэмдэглэв - тэдгээрийн гишүүдийн серийн дугаар: a 1 ; a 2; a 3; a 4 ;…, тиймээс 1 нь дарааллын эхний гишүүн юм;

a 2 нь дарааллын хоёр дахь гишүүн юм;

a 3 нь дарааллын гурав дахь гишүүн юм;

a 4 нь дарааллын дөрөв дэх гишүүн, гэх мэт.

Тоон дарааллыг дараах байдлаар бичнэ: a n =f (n) эсвэл (a n).

Тооны дарааллыг тодорхойлох дараах аргууд байдаг.

1) Аман арга.Үгээр дүрсэлсэн дарааллын гишүүдийн зохион байгуулалтын загвар эсвэл дүрмийг илэрхийлдэг.

Жишээ 1. 5-ын үржвэр бүх сөрөг бус тоонуудын дарааллыг бич.

Шийдэл. 0 эсвэл 5-аар төгссөн бүх тоо 5-д хуваагддаг тул дарааллыг дараах байдлаар бичнэ.

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Жишээ 2. Өгөгдсөн дараалал: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Үүнийг амаар асуу.

Шийдэл. 1=1 2 ; 4=2 2; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Бид дүгнэж байна: натурал тооны квадратуудаас бүрдэх дараалал өгөгдсөн.

2) Аналитик арга.Дараалал нь n-р гишүүний томъёогоор өгөгдөнө: a n =f (n). Энэ томъёог ашиглан та дарааллын аль ч гишүүнийг олох боломжтой.

Жишээ 3. Тооны дарааллын k-р гишүүний илэрхийлэл мэдэгдэж байна: a k = 3+2·(k+1). Энэ дарааллын эхний дөрвөн гишүүнийг тооцоол.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Жишээ 4. Тоон дараалал зохиох дүрмийг түүний эхний хэдэн гишүүнийг ашиглан тодорхойлж дарааллын ерөнхий гишүүнийг энгийн томъёогоор илэрхийл: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Шийдэл. Бидэнд сондгой тооны дараалал өгөгдсөнийг анзаарч байна. Аливаа сондгой тоог дараах хэлбэрээр бичиж болно: 2k-1, энд k нь натурал тоо, өөрөөр хэлбэл. k=1; 2; 3; 4; ... . Хариулт: a k =2k-1.

3) Дахин давтагдах арга.Дарааллыг мөн томъёогоор өгдөг, гэхдээ зөвхөн нэр томъёоны тооноос хамаардаг ерөнхий нэр томъёогоор биш. Дараагийн нэр томъёо бүрийг өмнөх нөхцлүүдээр дамжуулан олох томьёог зааж өгсөн болно. Функцийг тодорхойлох давтагдах аргын хувьд дарааллын нэг буюу хэд хэдэн эхний гишүүд үргэлж нэмэлтээр тодорхойлогддог.

Жишээ 5. Дарааллын эхний дөрвөн гишүүнийг бич (a n ),

хэрэв a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Хариулт: 7; 12; 17; 22; ... .

Жишээ 6. Дарааллын эхний таван гишүүнийг бич (b n),

хэрэв b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Хариулт: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) График арга.Тоон дарааллыг графикаар өгсөн бөгөөд энэ нь тусгаарлагдсан цэгүүдийг илэрхийлдэг. Эдгээр цэгүүдийн абсцисса нь натурал тоонууд: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординатууд нь дарааллын гишүүдийн утгууд юм: a 1 ; a 2; a 3; a 4;….

Жишээ 7. Графикаар өгөгдсөн тоон дарааллын бүх таван гишүүнийг бич.

Энэ координатын хавтгай дахь цэг бүр координаттай (n; a n). Тэмдэглэсэн цэгүүдийн координатыг абсцисса n-ийн өсөх дарааллаар бичье.

Бид дараахийг авна: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Иймээс a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Хариулт: -3; 1; 4; 6; 7.

Функц болгон авч үзсэн тоон дарааллыг (жишээ 7-д) эхний таван натурал тооны олонлогт өгсөн (n=1; 2; 3; 4; 5), тиймээс, төгсгөлтэй тооны дараалал(таван гишүүнээс бүрдэнэ).

Хэрэв функц болгон тооны дарааллыг натурал тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр өгвөл ийм дараалал болно. хязгааргүй тооны дараалал.

Тооны дарааллыг дууддаг нэмэгдэж байна, хэрэв түүний гишүүд нэмэгдэж байгаа бол (a n+1 >a n) болон буурч байгаа бол гишүүд нь буурч байна(a n+1

Өсөн нэмэгдэж буй эсвэл буурч буй тооны дарааллыг нэрлэдэг нэг хэвийн.