Хэдэн тоо өгөөч XÎ Р + эхлээд өөрчлөгдсөн А,тэгээд цаашаа V,болон тоо XЭдгээр өөрчлөлтүүдийн аль аль нь багцаас дүгнэлт гаргахгүй байх нь маш их юм Р + . За дуудъя хэмжээтоо АТэгээд Вгарсан өөрчлөлтийг илэрхийлсэн бодит тоо. Жишээлбэл, та эхлээд 4, дараа нь 7 гэж өөрчилвөл 12-ын тоо эхлээд 16, дараа нь 16 нь 23 болно. Харин 12-ыг 23 болгохын тулд 11 болгож өөрчлөх хэрэгтэй. , энэ нь 4 + 7 = 11 гэсэн утгатай, дуртай, байх ёстой. Хэрэв та эхлээд -4, дараа нь -7 руу өөрчлөлт хийвэл 12 нь эхлээд 8 болно; дараа нь 1. Харин 12-оос 1 авахын тулд 12-ыг –11 болгож өөрчлөх хэрэгтэй. Үүнээс үзэхэд (–4) + (–7) = –11.
Ерөнхийдөө хэрэв АТэгээд V -эерэг бодит тоо ба
X>А+V,дараа нь өөрчлөх үед - Втоо X–Аявдаг ( x – A) – V,тэдгээр. В X–(А + В).
Гэхдээ авахын тулд X – (А + В), өөрчлөх шаардлагатай Xдээр
–(a + b). Энэ нь харуулж байна (- А) + (–В) = – (a + b).
Одоо эсрэг талын тэмдгийн тоог нэмэх талаар авч үзье. Нэр томьёо нь эсрэг тоо байх тохиолдлоос эхэлье. Хэрэв та дугаараа сольсон бол мэдээжийн хэрэг Xэхлээд А, дараа нь - А,дараа нь бид дахин авах болно X.Өөрөөр хэлбэл, x +(a +(–А)) = X.Нөгөөтэйгүүр, X+ 0 = X,дараа нь тавих хэрэгтэй a +(–А) = 0. Тэгэхээр эсрэг тоонуудын нийлбэр тэг болно.
Одоо нийлбэрийг олъё А+ (–В) ерөнхий тохиолдолд (бид үүнд итгэдэг АТэгээд Вэерэг тоонууд тул - Всөрөг). Хэрэв А> V,Тэр
А = (А–В)+ дотор,тиймээс А+ (–В) = (А–В)+В+ (–В).
Гэхдээ дараалсан тооны өөрчлөлт Xдээр А– дотор, доторТэгээд - Вгэж солих замаар сольж болно А–В(өөрчлөгддөг ВТэгээд - Вхарилцан устгасан). Тиймээс бид тавьсан a +(–В) = А–V,Хэрэв А> В.Хэзээ гэдэг нь ойлгомжтой А> ВМөн (- В) +А = А–В.
Одоо больё А<В.Энэ тохиолдолд бид - В = (–А)+ (–(В– А)), тиймээс А + (–В) = А + (–А) + (–(В– А)) = – (В – А). Тэгэхээр, хэзээ а < Втавих хэрэгтэй А + (–В) = – (В – А). Нэмэх үед ижил үр дүн гарах болно - ВТэгээд А: (–В) + А = –(В– А).
Бодит тоог нэмэх дүрмийг дараах тодорхойлолтоор томъёолж болно.
Тодорхойлолт.Нэмэх үедижил тэмдгийн хоёр бодит тоо нь модуль нь нэр томъёоны модулиудын нийлбэртэй тэнцүү байх ижил тэмдгийн тоо гарах болно. Өөр өөр тэмдгийн тоог нэмэхдээ тэмдэг нь том модультай нэр томьёоны тэмдэгтэй давхцаж байгаа тоог олж авах бөгөөд модуль нь нэр томьёоны том ба жижиг модулиудын зөрүүтэй тэнцүү байна. Эсрэг тоонуудын нийлбэр нь тэг бөгөөд тэгтэй нэмэхэд тоо өөрчлөгдөхгүй.
Энэ нэмэлтийг шалгахад хялбар байдаг Р шилжих чадвар, ассоциатив, агшилтын шинж чанаруудтай. Дээрх тодорхойлолтоос харахад тэг нь нэмэхийн хувьд төвийг сахисан элемент юм , тэдгээр.
a + 0= А.
Хасахэлбэг дэлбэг Р нэмэхийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлогддог. Учир нь тоо бүр ВВ Р түүний эсрэг тоо байна - V,тиймэрхүү В+ (–В) = 0, дараа нь тоог хасна Втоогоор нэмэхтэй тэнцүү байна – онд: a–В=А+ (–В).
Үнэн хэрэгтээ, ямар ч тохиолдолд АТэгээд Вбидэнд байна:
(А + (–В)) + В = А+ ((–В) + В) = А,мөн энэ нь гэсэн үг А– В = А + (–В).
Эерэг тоонуудын хувьд АТэгээд В, ийм А>V,тэдний ялгаа
А–Вөөрчлөлт байсан Вордог А.Үүнтэй ижил төстэй байдлаар бид ямар ч бодит тоог дууддаг АТэгээд Втоо А–Ворчуулсан өөрчлөлт ВВ А. Цэглэхийн тулд 0 цэг шаардлагатай А – В.Эерэг бодит тоонуудын хувьд энэ өөрчлөлтийг цэгээс ирж буй чиглэсэн сегментээр геометрийн хэлбэрээр илэрхийлдэг Вцэг хүртэл А.Түүний урт нь эхлэлээс цэг хүртэлх зайтай тэнцүү байна
А–V,тэдгээр. модулийн дугаар А–В.Бид дараах чухал мэдэгдлийг нотолсон.
Нэг цэгээс гарч буй сегментийн урт Вцэг хүртэл А,|-тэй тэнцүү А–В|.
Ингээд багцыг танилцуулъя Р
захиалгын харилцаа. Бид үүнийг таамаглах болно
А> Вхэрэв зөвхөн ялгаа байвал А– Вэерэг. Энэ хамаарал нь тэгш хэмийн эсрэг ба шилжилт хөдөлгөөн гэдгийг батлахад хялбар байдаг. хатуу дэг журамтай харилцаа юм. Түүнээс гадна, ямар ч хувьд АТэгээд В-аас Р
харилцааны нэг бөгөөд зөвхөн нэг нь үнэн: А= В, А< дотор, дотор< А,тэдгээр. дахь дарааллын харилцаа Р
шугаман. Учир нь А– 0 = А,Тэр А> 0 бол аÎ Р
+
, Мөн А< 0, еслиАÎ R -
.
Үүнийг батлахад хэцүү биш юм А> V,тэгээд хэнд ч зориулав -тайÎ Р
бидэнд байгаа
А+ -тай> В+ -тай.
Сэдэв №1.
Бодит тоонууд. Тоон илэрхийллийг хөрвүүлэх
I. Онолын материал
Үндсэн ойлголтууд
· Натурал тоо
· Тооны аравтын тэмдэглэгээ
· Эсрэг тоо
· Бүхэл тоо
· Энгийн бутархай
Рационал тоо
· Хязгааргүй аравтын тоо
· Тооны үе, үечилсэн бутархай
· Иррационал тоо
· Бодит тоо
Арифметик үйлдлүүд
Тоон илэрхийлэл
· Илэрхийллийн утга
· Аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах
Бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэх
Үелэх бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах
· Арифметик үйлдлийн хууль
· Хуваагдах шинж тэмдэг
Объектуудыг тоолохдоо эсвэл ижил төстэй объектуудын дундах объектын серийн дугаарыг заахдаа ашигладаг тоонуудыг дууддаг байгалийн. Ямар ч натурал тоог арав ашиглан бичиж болно тоо: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Тоонуудын ийм тэмдэглэгээг нэрлэдэг аравтын
Жишээ нь: 24; 3711; 40125.
Натурал тоонуудын багцыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг Н.
Бие биенээсээ зөвхөн тэмдгээр ялгаатай хоёр тоог дуудна эсрэгтоо.
Жишээ нь, тоо 7 ба – 7.
Натурал тоо, тэдгээрийн эсрэг тоо, тэг тоо нь олонлогийг бүрдүүлдэг бүхэлд нь З.
Жишээ нь: – 37; 0; 2541.
Маягтын дугаар, хаана м -бүхэл тоо, n -энгийн гэж нэрлэдэг натурал тоо бутархай. Аливаа натурал тоог 1 хуваарьтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болохыг анхаарна уу.
Жишээ нь: , .
Бүхэл ба бутархай (эерэг ба сөрөг) олонлогуудын нэгдэл нь олонлогийг бүрдүүлдэг. оновчтойтоо. Энэ нь ихэвчлэн тэмдэглэгдсэн байдаг Q.
Жишээ нь: ; – 17,55; .
Өгөгдсөн аравтын бутархайг өгье. Хэрэв та баруун талд хэдэн тэг нэмбэл түүний утга өөрчлөгдөхгүй.
Жишээ нь: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
Ийм аравтын бутархайг хязгааргүй аравтын бутархай гэж нэрлэдэг.
Аливаа энгийн бутархайг хязгааргүй аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Тооны аравтын бутархайн дараа дараалсан давтагдах бүлгийг дуудна хугацаа, мөн тэмдэглэгээнд ийм үетэй хязгааргүй аравтын бутархайг нэрлэдэг үе үе. Товчхондоо цэгийг нэг удаа хаалтанд хийж бичдэг заншилтай.
Жишээ нь: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
Хязгааргүй аравтын үе бус бутархайг нэрлэдэг үндэслэлгүйтоо.
Рационал ба иррационал тооны олонлогуудын нэгдэл нь олонлогийг бүрдүүлдэг хүчинтэйтоо. Энэ нь ихэвчлэн тэмдэглэгдсэн байдаг Р.
Жишээ нь: ; 0,(23); 41,3574…
Тоо 
үндэслэлгүй юм.
Бүх тоонуудын хувьд гурван алхамын үйлдлийг тодорхойлсон:
· I шатны үйлдлүүд: нэмэх, хасах;
· II шатны үйлдлүүд: үржүүлэх, хуваах;
· III үе шатны үйлдлүүд: экспоненциаци болон үндсийг задлах.
Тоонууд, арифметик тэмдэгтүүд, хаалтуудаас бүрдсэн илэрхийллийг гэнэ тоон.
Жишээ нь: 
; .
Үйлдлийн үр дүнд олж авсан тоог дуудна илэрхийллийн утга.
Тоон илэрхийлэл утгагүй, хэрэв энэ нь тэг хуваахыг агуулж байвал.
Илэрхийллийн утгыг олохдоо III үе шат, II үе шат, I үе шатны үйл ажиллагааны төгсгөлд хийх үйлдлүүдийг дараалан гүйцэтгэнэ. Энэ тохиолдолд тоон илэрхийлэлд хаалт байрлуулахыг харгалзан үзэх шаардлагатай.
Тоон илэрхийллийг хөрвүүлэх нь түүнд орсон тоон дээр зохих дүрмийн дагуу арифметик үйлдлүүдийг дараалан гүйцэтгэхээс бүрдэнэ (өөр өөр хуваагчтай энгийн бутархайг нэмэх, аравтын бутархайг үржүүлэх гэх мэт). Сурах бичигт байгаа тоон илэрхийллийг хөрвүүлэх даалгавруудыг "Тоон илэрхийллийн утгыг олох", "Тоон илэрхийллийг хялбарчлах", "Тооцоолох" гэх мэт томъёоллуудаас олж болно.
Зарим тоон илэрхийллийн утгыг олохдоо та энгийн, аравтын бутархай, үечилсэн янз бүрийн төрлийн бутархайтай үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд ердийн бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэх эсвэл эсрэг үйлдэл хийх шаардлагатай байж магадгүй - үечилсэн бутархайг энгийн нэгээр солино.
Хөрвүүлэхийн тулд аравтын бутархай, бутархайн бутархайнд аравтын бутархайн дараах тоог, хуваарьт нь тэгтэй нэгийг бичихэд хангалттай бөгөөд аравтын бутархайн баруун талд байгаа цифрүүдтэй тэнцэх тооны тэг байх ёстой.
Жишээ нь: ; .
Хөрвүүлэхийн тулд бутархай бутархай, та аравтын бутархайг бүхэл тоонд хуваах дүрмийн дагуу түүний тоологчийг хуваагчаар нь хуваах хэрэгтэй.
Жишээ нь: 
;
;
.
Хөрвүүлэхийн тулд үечилсэн бутархай, энгийн бутархай, шаардлагатай:
1) хоёрдугаар үеийн өмнөх тооноос эхний үеийн өмнөх тоог хасна;
2) энэ ялгааг тоологчоор бичих;
3) 9-ийн тоог хуваарьт байгаа тоогоор хэдэн удаа бичих;
4) аравтын бутархай ба эхний цэгийн хоорондох цифр байгаа тоогоор хуваагч дээр хэдэн тэг нэмнэ.
Жишээ нь: 
; 
.
Бодит тоон дээрх арифметик үйлдлийн хуулиуд
1. АялахНэмэх (коммутатив) хууль: Нөхцөлүүдийг өөрчлөх нь нийлбэрийн утгыг өөрчлөхгүй:
2. АялахҮржүүлэх (коммутатив) хууль: хүчин зүйлсийг дахин зохион байгуулах нь бүтээгдэхүүний үнэ цэнийг өөрчлөхгүй:
3. ХолболтНэмэх (ассоциатив) хууль: Хэрэв аль нэг бүлэг нэр томъёог тэдгээрийн нийлбэрээр сольсон тохиолдолд нийлбэрийн утга өөрчлөгдөхгүй.
4. ХолболтҮржүүлэх (ассоциатив) хууль: Хэрэв аль нэг бүлэг хүчин зүйлийг тэдгээрийн бүтээгдэхүүнээр солих юм бол бүтээгдэхүүний үнэ цэнэ өөрчлөгдөхгүй.
.
5. ХуваарилалтНэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэх (тараах) хууль: нийлбэрийг тоогоор үржүүлэхийн тулд нэмэх бүрийг энэ тоогоор үржүүлж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай.
6 – 10 шинж чанаруудыг 0 ба 1 шингээлтийн хууль гэж нэрлэдэг.
Хуваагдах шинж тэмдэг
Зарим тохиолдолд хуваахгүйгээр нэг тоо нөгөө тоонд хуваагдах эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог шинж чанаруудыг нэрлэдэг. хуваагдах шинж тэмдэг.
2-т хуваагдах эсэхийг шалгах.Тоо нь зөвхөн тоогоор төгссөн тохиолдолд л 2-т хуваагдана бүртоо. Энэ нь 0, 2, 4, 6, 8 гэсэн үг юм.
Жишээ нь: 12834; –2538; 39,42.
3-т хуваагдах эсэхийг шалгах. Цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т хуваагдах тохиолдолд л тоо 3-т хуваагдана.
Жишээ нь: 2742; –17940.
4-т хуваагдах эсэхийг шалгах. Доод тал нь гурван оронтой тоо өгөгдсөн тооны сүүлийн хоёр оронтой тоо 4-т хуваагдах тохиолдолд л 4-т хуваагдана.
Жишээ нь: 15436; –372516.
5-д хуваагдах тест. Сүүлийн цифр нь 0 эсвэл 5 байвал тоо 5-д хуваагдана.
Жишээ нь: 754570; –4125.
9-д хуваагдах тест. Цифрүүдийн нийлбэр нь 9-д хуваагдах тохиолдолд л тоо 9-д хуваагдана.
Жишээ нь: 846; –76455.
Хичээл №2.
Хичээлийн сэдэв. Бодит тоо.
Хичээлийн зорилго. Бодит тооны тухай ойлголтыг танилцуулна уу. Бодит тоо бүхий үйлдлүүд.
Хичээлийн явц.
I. Зохион байгуулалтын мөч. Хичээлийн сэдэв, зорилгыг хэлнэ үү.
II . Бүрхэгдсэн материалыг давтах.
1. Гэрийн даалгаврын талаархи асуултын хариулт (шийдвэрлэгдээгүй асуудлын дүн шинжилгээ).
2. Мэдлэг эзэмшихэд хяналт тавих (бие даасан ажил).
Сонголт 1. Сонголт 2.
1. Илтгэлийн утгыг ол:
1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)
2. Тооцоолох:
1) 2) 1) 2)
3) 4) 3) ; 4)
III . Шинэ материал сурах.
1. Рационал тоо хэмжилтийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй. Хэрэв та зөвхөн рационал тоо (МЭӨ 2.5 т.л) ашигладаг бол нэгж талтай квадратын диагональыг хэмжих боломжгүй.
Хэмжилтийн даалгаврын хувьд та стандарт утгыг - сегментийн уртыг сонгож, тоонуудыг геометрийн байдлаар - сегментээр, эс тэгвээс сонгосон нэг сегменттэй (масштабын нэгж) хамаарлаар нь тохируулж болно. Хэрэв бид хэрчмийг нэгж тоонд харьцуулсан харьцааг тоо гэж нэрлэвэл тоо бичих даалгавар гарч ирнэ. Хэмжилтийн зарим үйл явцыг тусгасан тоог аравтын бутархай хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой.
1-р талтай дөрвөлжингийн диагональыг хэмжихдээ эхлээд бүхэл бүтэн хэсгийг салгана
нэгж сегмент ба 1-ийн тоог авна. Үлдсэн хэсгийг арван-
нэгж сегментийн тэр хэсэг. Энэ нь 4 удаа хадгалагдах бөгөөд сегмент нь үлдэх болно
урт нь бага . Бид аравтын бутархай 1.4-ийг авна. Дараа нь бид хуваана
дахин 10 хэсэгт хувааж, шинэ сегментийг үлдэгдэл болгож, бичнэ үү
үр дүн. Бид нэмэгдэж буй аравтын бутархайн дарааллыг олж авдаг
аравтын орны тоо: 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142;… .
Энэ дарааллыг нэг хязгааргүй байдлаар илэрхийлэх нь тохиромжтой
жижиг аравтын бутархай 1.414213562373095... гэж үзэж болно
тоо. Тиймээс, тодорхойлолтоорбодит тоо хязгааргүй
үечилсэн бус аравтын бутархай.
2. Төгсгөлийн аравтын бутархай. Рационал тоог дүрсэлсэн
Хуваагч нь зөвхөн хоёр, тавыг агуулсан бутархайг бичнэ
эцсийн аравтын бутархай, учир нь зарим үе шатанд аравтын бутархай хэмжилтийн үйл явц дуусах болно - нэгж сегментийн тодорхой хэсгийг үлдсэн хэсэгт бүхэл тоогоор хэдэн удаа хадгална.
Жишээ нь:
Хэрэв зарим бууруулж болохгүй бутархай Хэрэв хуваагч нь 2 ба 5-аас өөр анхны тоонуудыг агуулж байвал аравтын бутархай хэмжих үйл явц үе үе болж, цифрүүд (нэг ба түүнээс дээш) үе үе давтагдаж эхэлнэ.
Жишээ нь: 
3. Иррационал тоо нь оновчтой бус тоонууд юм. Тэдгээрийг төгсгөлгүй үечилсэн бус аравтын бутархай хэлбэрээр бичдэг.
Жишээ нь: .
Рационал ба иррационал тооны олонлогийн нэгдэл нь олонлогийг бүрдүүлдэгбодит тоо Р . ( ).
4 . Бодит тоо яагаад хэрэгтэй байсан бэ, тэдгээр нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юу?
Рационал тоон дээр иррационал тоог нэмэх нь аливаа сегментийн уртыг хэмжих хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй юм. Ийм байдлаар бүтээгдсэн бодит тоонуудын тусламжтайгаар бусад олон хэмжигдэхүүнүүдийг хэмжиж болнонэрлэсэн скаляр.
5 . Хажуу тал нь нэгтэй тэнцүү квадратын диагональ яагаад рационал тоогоор хэмжигдэж болохгүй гэж?
6. Бодит тоон дээрх үйлдлүүд.
Хязгааргүй аравтын бутархай нь өгөгдсөн бодит тоонд төгсгөлтэй аравтын бутархайгаар ойртох дарааллыг хэлнэ. Тэдгээр дээр арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэхийн тулд эдгээр үйлдлүүдийг төгсгөлтэй аравтын бутархай дээр хийдэг.
Жишээ нь: . Бид авах:
Үүний нэгэн адил (тооцоолуур ашиглан).
Бодит тоонуудыг тооны шулуун дээрх цэгүүдээр илэрхийлж болно. Хэрэв хоёр тоо бол б цэгээр дүрсэлсэн тооны тэнхлэг дээр, дараа нь хоорондын зайА ба Б тоонуудын зөрүүний модультай тэнцүүа у б : Үл хөдлөх хөрөнгө:
Би v . Бүрхэгдсэн материалыг бэхжүүлэх.
1. Асуултанд хариулна уу.
1) Бүхэл тоо бүр оновчтой юу? (Тийм)
2) дугаар юм үндэслэлгүй юу? (Үгүй)
3) Рационал тоонуудын нийлбэр үргэлж рационал тоо мөн үү? (Үгүй. Үе үеийн бутархайн нийлбэр.)
4) Иррационал тоог нэмснээр рационал тоо гарч чадах уу? (Үгүй)
5) Рационал тоог иррационал тоонд хуваасан хэсэг нь рационал тоо байж чадах уу? (Үгүй)
6) Иррационал тооны квадрат нь үргэлж рационал тоо мөн үү? (Үгүй. ).
2. Жишээ шийдвэрлэх.
1) Рационал ба иррационал тоонуудын жишээг өг.
2) Рационал ба иррационал тоонуудыг заана уу:
3) Энэ үнэн үү: a). б)
Бага ахлах сургуулийг давтаж байна
Интеграл
Дериватив
Биеийн эзэлхүүн
Хувьсгалын байгууллагууд
Орон зай дахь координатын арга
Тэгш өнцөгт координатын систем. Вектор координат ба цэгийн координат хоорондын хамаарал. Координатын хамгийн энгийн асуудлууд. Векторуудын цэгэн үржвэр.
Цилиндрийн тухай ойлголт. Цилиндрийн гадаргуугийн талбай. Конусын тухай ойлголт.
Конусын гадаргуугийн талбай. Бөмбөрцөг ба бөмбөг. Бөмбөрцгийн талбай. Бөмбөрцөг ба хавтгайн харьцангуй байрлал.
Эзлэхүүний тухай ойлголт. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүн. Шулуун призм эсвэл цилиндрийн эзэлхүүн. Пирамид ба конусын эзэлхүүн. Бөмбөгний хэмжээ.
III хэсэг. Математик анализын эхлэл
Дериватив. Хүчин чадлын функцийн дериватив. Ялгах дүрэм. Зарим энгийн функцүүдийн деривативууд. Деривативын геометрийн утга.
Деривативыг функцийг судлахад ашиглахӨсөх, буурах функц. Функцийн экстремум. Деривативыг график зурахад ашиглах. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд.
Эсрэг дериватив. Эсрэг деривативыг олох дүрэм. Муруй трапецын талбай ба интеграл. Интегралын тооцоо. Интеграл ашиглан талбайг тооцоолох.
Шалгалтанд зориулсан боловсролын болон сургалтын даалгавар
I хэсэг. Алгебр
Тоо гэдэг нь объектын хэмжээг тодорхойлоход ашигладаг хийсвэрлэл юм. Тоонууд нь анхдагч нийгэмд хүмүүс объектыг тоолох хэрэгцээтэй холбоотойгоор үүссэн. Цаг хугацаа өнгөрөхөд шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр тоо нь математикийн хамгийн чухал ойлголт болж хувирав.
Асуудлыг шийдэж, янз бүрийн теоремуудыг батлахын тулд ямар төрлийн тоо байдгийг ойлгох хэрэгтэй. Тооны үндсэн төрлүүдэд: натурал тоо, бүхэл тоо, рационал тоо, бодит тоо орно.
Натурал тоо гэдэг нь объектыг байгалийн жамаар тоолох замаар, эс тэгвээс тэдгээрийг дугаарлах замаар олж авсан тоо юм ("эхний", "хоёр дахь", "гурав дахь" ...). Натурал тоонуудын багцыг латин N үсгээр тэмдэглэсэн (англи хэлний natural үг дээр үндэслэн санаж болно). Бид N =(1,2,3,....) гэж хэлж болно.
Натурал тоонуудыг тэг ба сөрөг тоогоор (өөрөөр хэлбэл натурал тоонуудын эсрэг тоо) нэмснээр натурал тоонуудын багцыг бүхэл тоо болгон өргөжүүлнэ.
Бүхэл тоонууд нь олонлогийн тоонууд юм (0, 1, -1, 2, -2, ....). Энэ олонлог нь натурал тоо, сөрөг бүхэл тоо (натурал тоонуудын эсрэг) ба 0 (тэг) гэсэн гурван хэсгээс бүрдэнэ. Бүхэл тоог латин Z үсгээр тэмдэглэдэг. Бид Z=(1,2,3,....) гэж хэлж болно. Рационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх тоонууд бөгөөд m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм.
Төгсгөлтэй аравтын бутархай хэлбэрээр бичих боломжгүй оновчтой тоонууд байдаг, жишээлбэл . Жишээлбэл, та сайн мэддэг булангийн хуваах алгоритмыг ашиглан тоог аравтын бутархай болгон бичихийг оролдвол хязгааргүй аравтын бутархай авах болно. Хязгааргүй аравтын бутархайг нэрлэдэг үе үе, 3 дугаарыг давтах - тэр хугацаа.Тогтмол бутархайг дараах байдлаар товч бичнэ: 0,(3); "Тэг бүхэл тоо, гурван үе" гэж уншина.
Ерөнхийдөө үечилсэн бутархай гэдэг нь тодорхой аравтын бутархайгаас эхлэн ижил оронтой эсвэл хэд хэдэн цифр давтагддаг хязгааргүй аравтын бутархай юм - бутархайн үе.
Жишээлбэл, аравтын бутархай нь 56 үетэй үе үе; "23 бүхэл, 14 зуун ба 56" гэж уншина.
Тиймээс рационал тоо бүрийг төгсгөлгүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Мөн эсрэгээр нь үнэн: хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай бүр нь рационал тоо, учир нь үүнийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд бүхэл тоо бөгөөд натурал тоо юм.
Бодит тоо гэдэг нь тасралтгүй хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд хэрэглэгддэг тоо юм. Бодит тоонуудын багцыг латин R үсгээр тэмдэглэдэг. Бодит тоонд рационал тоо, иррационал тоо орно. Иррационал тоо гэдэг нь рационал тоонуудтай янз бүрийн үйлдлүүдийг хийсний үр дүнд (жишээ нь үндэс авах, логарифм тооцоолох) олж авсан тоонууд юм. Иррационал тоонуудын жишээ нь:
Дурын бодит тоог тоон мөрөнд харуулж болно:
Дээр дурдсан тооны олонлогийн хувьд натурал тооны олонлог нь бүхэл тоонуудын багцад, бүхэл тоонуудын багц нь рационал тоонуудын олонлогт, рационал тооны олонлог нь бүхэл тоонуудын олонлогт багтсан болно. бодит тоонуудын багц. Энэ мэдэгдлийг Эйлерийн тойрог ашиглан дүрсэлж болно.
Бие даасан шийдэлд зориулсан дасгалууд
