Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн x нь тархалтын функцээр тодорхойлогддог. "Магадлалын онол ба математик статистик" модулийн онолын материал

Дискрет санамсаргүйХувьсагч нь зөвхөн бие биенээсээ алслагдсан утгыг авдаг, урьдчилан жагсааж болох санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.
Хуваарилалтын хууль
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа нь түүний боломжит утгууд ба харгалзах магадлалын жагсаалт юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах функц юм.
,
X аргументын утга тус бүрийн хувьд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн энэ x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлох.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт
,
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга хаана байна; - санамсаргүй хэмжигдэхүүн X утгыг хүлээн авах магадлал.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит утгуудын тоолж болох багцыг авдаг бол:
.
Бие даасан n туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тооны математикийн хүлээлт:
,

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт ба стандарт хазайлт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт:
эсвэл .
n бие даасан туршилт дахь үйл явдлын тохиолдлын тооны хэлбэлзэл
,
Энд p нь үйл явдал болох магадлал.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт:
.

Жишээ 1
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн (DRV) X-ийн магадлалын тархалтын хуулийг зур - n = 8 хос шоо шидэхэд хамгийн багадаа нэг “зургаан”-ын k тохиолдлын тоо. Түгээлтийн олон өнцөгтийг байгуул. Тархалтын тоон шинж чанарыг ол (тархалтын горим, математикийн хүлээлт M(X), дисперс D(X), стандарт хазайлт s(X)). Шийдэл:Тэмдэглэгээг танилцуулъя: А үйл явдал - "хос шоо шидэх үед дор хаяж нэг удаа зургаа гарч ирнэ." А үйл явдлын P(A) = p магадлалыг олохын тулд эхлээд эсрэг үйл явдлын Ā - “хос шоо шидэх үед зургаа хэзээ ч гарч байгаагүй” үйл явдлын P(Ā) = q магадлалыг олох нь илүү тохиромжтой.
Нэг үхлийг шидэх үед "зургаа" гарч ирэхгүй байх магадлал 5/6 тул магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу
P(Ā) = q = =.
тус тус,
P(A) = p = 1 – P(Ā) =.
Асуудлын тестүүд нь Бернулли схемийн дагуу явагддаг тул d.s.v. хэмжээ X- тоо кХоёр шоо шидэх үед дор хаяж нэг зургаа гарах нь магадлалын тархалтын хоёртын хуульд захирагдана.

Энд = -ийн хослолын тоо n By к.

Энэ асуудалд хийсэн тооцооллыг хүснэгт хэлбэрээр хялбархан танилцуулж болно.
Магадлалын тархалт d.s.v. X º к (n = 8; х = ; q = )

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын олон өнцөгт (полигон). Xзурагт үзүүлэв:

Цагаан будаа. Магадлалын тархалтын олон өнцөгт d.s.v. X=к.
Босоо шугам нь тархалтын математикийн хүлээлтийг харуулж байна М(X).

d.s.v-ийн магадлалын тархалтын тоон шинж чанарыг олцгооё. X. Түгээлтийн горим нь 2 (энд П 8(2) = 0.2932 дээд тал нь). Тодорхойлолтоор математикийн хүлээлт нь дараахтай тэнцүү байна.
М(X) = = 2,4444,
Хаана xk = к– d.s.v-ийн авсан үнэ цэнэ. X. Зөрчил Д(X) бид дараах томъёог ашиглан тархалтыг олно.
Д(X) = = 4,8097.
Стандарт хазайлт (RMS):
с( X) = = 2,1931.

Жишээ 2
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн

Шийдэл.Хэрэв , дараа нь (гурав дахь шинж чанар).
Хэрэв, тэгвэл. Үнэхээр, X 0.3 магадлалтайгаар 1 утгыг авч болно.
Хэрэв, тэгвэл. Үнэхээр, хэрэв энэ нь тэгш бус байдлыг хангаж байвал
, дараа нь хэзээ тохиолдож болох үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна X 1 (энэ үйл явдлын магадлал 0,3) эсвэл 4 (энэ үйл явдлын магадлал 0,1) утгыг авна. Энэ хоёр үйл явдал үл нийцэх тул нэмэх теоремын дагуу үйл явдлын магадлал нь 0.3+0.1=0.4 магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв, тэгвэл. Үнэн хэрэгтээ үйл явдал тодорхой учраас түүний магадлал нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс түгээлтийн функцийг аналитик байдлаар дараах байдлаар бичиж болно.

Энэ функцийн график:
Эдгээр утгуудад тохирох магадлалыг олцгооё. Нөхцөлөөр төхөөрөмжүүдийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү байна: баталгаат хугацааны туршид төхөөрөмжүүд ажиллах магадлал тэнцүү байна.




Хуваарилалтын хууль нь дараахь хэлбэртэй байна.

ТАРХАЛТ, ОНЦЛОГИЙН ХУУЛЬ

Санамсаргүй хувьсагчид

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тэдгээрийн ангилал, тайлбарлах аргууд.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авч болох боловч аль нь урьдчилж мэдэгддэггүй хэмжигдэхүүн юм. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд та зөвхөн утгыг зааж өгөх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь туршилтын үр дүнд авах нь гарцаагүй. Дараа нь бид эдгээр утгыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд гэж нэрлэх болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын санамсаргүй үр дүнг тоон байдлаар тодорхойлдог тул үүнийг санамсаргүй үйл явдлын тоон шинж чанар гэж үзэж болно.

Санамсаргүй хувьсагчдыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр, жишээлбэл, X..Y..Z, тэдгээрийн боломжит утгыг харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэдэг.

Гурван төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн байдаг:

Салангид; Тасралтгүй; Холимог.

Дискретболомжит утгуудын тоо нь тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Хариуд нь элементүүдийг дугаарлаж болох олонлогийг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг. "Дискрет" гэдэг үг нь "тасралтгүй, салангид хэсгүүдээс бүрдэх" гэсэн утгатай Латин хэлнээс гаралтай.

Жишээ 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь n бүтээгдэхүүний багц дахь гэмтэлтэй X хэсгийн тоо юм. Үнэн хэрэгтээ энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь 0-ээс n хүртэлх бүхэл тоонуудын цуваа юм.

Жишээ 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бай руу эхний цохилтоос өмнөх буудлагын тоо юм. 1-р жишээн дээрх шиг боломжит утгуудыг дугаарлаж болно, гэхдээ хязгаарлагдмал тохиолдолд боломжит утга нь хязгааргүй их тоо байдаг.

ТасралтгүйЭнэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд боломжит утгууд нь тоон тэнхлэгийн тодорхой интервалыг байнга дүүргэдэг бөгөөд заримдаа энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний оршин байх интервал гэж нэрлэдэг. Иймээс аливаа хязгаарлагдмал интервал дээр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй их байна.

Жишээ 3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь аж ахуйн нэгжийн сарын цахилгаан эрчим хүчний хэрэглээ юм.

Жишээ 4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өндөр хэмжигч ашиглан өндрийг хэмжихэд гарсан алдаа юм. Өндөр хэмжигчний ажиллах зарчмаас харахад алдаа нь 0-ээс 2 м-ийн хооронд хэлбэлздэг тул энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0-ээс 2 м хүртэлх интервал юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тоон тэнхлэг дээр түүний боломжит утгыг зааж, тархалтын хуулийг тогтоосон тохиолдолд бүрэн тодорхойлогдсон гэж үзнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тухайн хуулийн дагуу эсвэл өгөгдсөн тархалтын хуулийн дагуу тархсан хэмжигдэхүүн гэнэ. Хэд хэдэн магадлал, тархалтын функц, магадлалын нягтрал, шинж чанарын функцийг тархалтын хууль болгон ашигладаг.

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн магадлалыг өгдөг. Тархалтын хуулийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд аль нь илүү, аль нь бага гарч ирэхийг туршилтын өмнө шүүж болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр, аналитик (томьёоны хэлбэрээр) болон график хэлбэрээр тодорхойлж болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох хамгийн энгийн хэлбэр бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг өсөх дарааллаар жагсаасан хүснэгт (матриц) юм.

Ийм хүснэгтийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэдэг. 1

Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x 1, x 2,...x n утгыг авахаас бүрдэх X 1, X 2,..., X n үйл явдлууд юм. Тохиромжгүй, цорын ганц боломжтой (хүснэгт санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг жагсаасан тул), өөрөөр хэлбэл. бүрэн бүлэг байгуулах. Иймд тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.Иймээс аливаа дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд

(Энэ нэгж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын хооронд ямар нэгэн байдлаар тархсан байдаг тул "тархалт" гэсэн нэр томъёо).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, тэдгээрийн харгалзах магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурвал тархалтын цувааг графикаар дүрсэлж болно. Олж авсан цэгүүдийн холболт нь магадлалын тархалтын олон өнцөгт эсвэл олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг тасархай шугам үүсгэдэг (Зураг 1).

ЖишээСугалаанд: 5000 денийн үнэтэй машин багтсан. нэгж, 250 денийн үнэтэй 4 зурагт. нэгж, 200 денийн үнэ бүхий 5 видео бичигч. нэгж Нийт 1000 тасалбар 7 хоногийн турш худалдаалагдаж байна. нэгж Нэг тасалбар худалдаж авсан сугалаанд оролцогчийн авсан цэвэр хожлын мөнгийг хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд - нэг тасалбарын цэвэр ялалт нь 0-7 = -7 мөнгөтэй тэнцүү байна. нэгж (хэрэв тасалбар хожоогүй бол), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. нэгж (хэрэв тасалбар нь видеомагнитофон, зурагт эсвэл автомашины хожилтой бол). 1000 тасалбараас хожоогүй хүмүүсийн тоо 990, заасан хожил нь 5, 4, 1 гэдгийг харгалзан магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан бид олж авна.

X; утга учир Ф(5); санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал Xсегментээс утгыг авна. Түгээлтийн олон өнцөгтийг байгуул.

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц F(x) нь мэдэгдэж байна X:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тогтоо Xхүснэгт хэлбэрээр.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөв X:

1. Дэлгүүр нь бүх төрлийн бүтээгдэхүүний чанарын гэрчилгээтэй байх магадлал 0.7 байна. Тус хороонд байрлах дөрвөн дэлгүүрт гэрчилгээ байгаа эсэхийг шалгасан байна. Шалгалтын явцад чанарын гэрчилгээ олдоогүй дэлгүүрийн тоог хуваарилах хууль гаргаж, математикийн хүлээлт, тархалтыг тооцоол.

1. 350 ижил хайрцагтай цахилгаан чийдэнг шатаах дундаж хугацааг тодорхойлохын тулд хайрцаг бүрээс нэг цахилгаан чийдэнг туршилтанд хамруулав. Сонгосон цахилгаан чийдэнгийн шаталтын дундаж хугацаа нь бүхэл бүтэн багцын дундаж шатаах хугацаанаас үнэмлэхүй утгаараа 7 цагаас бага хугацаагаар ялгаатай байх магадлалыг доороос тооцоолно, хэрэв цахилгаан чийдэнгийн шаталтын үргэлжлэх хугацааны стандарт хазайлт нь хайрцаг бүр 9 цагаас бага байна.

1. Утасны станц дээр 0.002 магадлалтай буруу холболт үүсдэг. 500 холболтын дунд дараахь зүйл тохиолдох магадлалыг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол X. Функцийн график байгуулах ба . Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс, горим, медианыг тооцоол X.

1. Автомат машин нь булны . Тэдний диаметр нь 10 мм-ийн дундаж утга бүхий хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үздэг. Хэрэв диаметр нь 0.99 байх магадлалтай бол 9.7 мм-ээс 10.3 мм-ийн хооронд байвал стандарт хазайлт хэд вэ.

Жишээ А: 6 9 7 6 4 4

Жишээ В: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Сонголт 17.

1. 35 хэсгээс 7 нь стандарт бус байна. Санамсаргүй байдлаар авсан хоёр хэсэг нь стандарт болох магадлалыг ол.

1. Гурван шоо шидэв. Унасан талуудын цэгүүдийн нийлбэр 9-ийн үржвэр байх магадлалыг ол.

1. “АДАЛ ТАЛ” гэдэг үг нь тус бүр дээр нэг үсэг бичсэн картуудаас бүрддэг. Картуудыг хольж, буцааж өгөхгүйгээр нэг нэгээр нь гаргаж авдаг. Харагдах дарааллаар нь гаргаж авсан үсгүүд нь үгийг үүсгэх магадлалыг ол: a) АДАЛ ТАЛ; б) Хоригдол.

1. Нэг саванд 6 хар, 5 цагаан бөмбөлөг байдаг. 5 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурсан. Тэдгээрийн дотор дараахь байх магадлалыг ол.
1. 2 цагаан бөмбөг;
2. 2-оос бага цагаан бөмбөг;
3. дор хаяж нэг хар бөмбөг.

1. Анэг туршилтанд 0.4-тэй тэнцүү байна. Дараах үйл явдлын магадлалыг ол.
1. үйл явдал А 7 бие даасан туршилтын цувралд 3 удаа гарч ирдэг;
2. үйл явдал А 400 туршилтын цувралд 220-оос багагүй, 235-аас ихгүй удаа гарч ирнэ.

1. Тус үйлдвэр бааз руу 5000 сайн чанарын бүтээгдэхүүн илгээсэн. Дамжуулж буй бүтээгдэхүүн бүрт гэмтэл учруулах магадлал 0.002 байна. Аяллын явцад 3-аас илүүгүй бүтээгдэхүүн гэмтэх магадлалыг ол.

1. Эхний саванд 4 цагаан, 9 хар бөмбөлөг, хоёр дахь саванд 7 цагаан, 3 хар бөмбөг байна. Эхний савнаас санамсаргүй байдлаар 3 бөмбөг, хоёр дахь савнаас 4 бөмбөг зурсан бүх бөмбөг ижил өнгөтэй байх магадлалыг ол.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөв X:

Түүний математик хүлээлт ба дисперсийг тооцоол.

1. Нэг хайрцагт 10 харандаа байна. 4 харандаа санамсаргүй байдлаар зурсан. Санамсаргүй хувьсагч X– сонгосон хүмүүсийн дундах цэнхэр өнгийн харандааны тоо. Түүний тархалтын хууль, 2, 3-р эрэмбийн эхний ба төв моментийг ол.

1. Техникийн хяналтын хэлтэс 475 нэр төрлийн бүтээгдэхүүнийг согогтой эсэхийг шалгадаг. Бүтээгдэхүүний гэмтэлтэй байх магадлал 0.05 байна. Туршилтанд хамрагдсан бүтээгдэхүүнүүдийн доторх гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог 0.95 магадлалтайгаар олоорой.

1. Утасны станц дээр 0.003 магадлалтай буруу холболт үүсдэг. 1000 холболтын дунд дараахь зүйл тохиолдох магадлалыг ол.
1. дор хаяж 4 буруу холболт;
2. хоёроос илүү буруу холболт.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын нягтын функцээр тодорхойлно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол X. Функцийн график байгуулах ба . Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс, горим, медианыг тооцоол.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн функцээр тодорхойлно:

1. Дээжээр Адараах асуудлуудыг шийдвэрлэх:
1. вариацын цуврал үүсгэх;

· түүврийн дундаж;

· түүврийн зөрүү;

Горим ба медиан;

А жишээ: 0 0 2 2 1 4

1. Вариацын цувралын тоон шинж чанарыг тооцоолох:

· түүврийн дундаж;

· түүврийн зөрүү;

түүврийн стандарт хазайлт;

· горим ба медиан;

Жишээ В: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Сонголт 18.

1. Сугалааны 10 тасалбараас 2 нь хожсон. Санамсаргүй байдлаар авсан таван тасалбараас нэг нь ялагч болох магадлалыг ол.

1. Гурван шоо шидэв. Өнхрүүлсэн цэгүүдийн нийлбэр 15-аас их байх магадлалыг ол.

1. “ПЕРИМЕТР” гэдэг үг нь картуудаас бүрдэх бөгөөд тус бүр дээр нэг үсэг бичсэн байдаг. Картуудыг хольж, буцааж өгөхгүйгээр нэг нэгээр нь гаргаж авдаг. Гарсан үсэг нь үг үүсгэх магадлалыг ол: a) PERIMETER; б) МЕТР.

1. Нэг саванд 5 хар, 7 цагаан бөмбөлөг байдаг. 5 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурсан. Тэдгээрийн дотор дараахь байх магадлалыг ол.
1. 4 цагаан бөмбөг;
2. 2-оос бага цагаан бөмбөг;
3. дор хаяж нэг хар бөмбөг.

1. Үйл явдал болох магадлал Анэг туршилтанд 0.55-тай тэнцүү байна. Дараах үйл явдлын магадлалыг ол.
1. үйл явдал А 5 сорилтын цувралд 3 удаа гарч ирнэ;
2. үйл явдал А 300 туршилтын цувралд 130-аас багагүй, 200-аас илүүгүй удаа гарч ирнэ.

1. Лаазалсан бүтээгдэхүүн хагарах магадлал 0.0005 байна. 2000 лаазаас хоёр нь гоожих магадлалыг ол.

1. Эхний саванд 4 цагаан, 8 хар бөмбөлөг, хоёр дахь саванд 7 цагаан, 4 хар бөмбөг байна. Эхний савнаас санамсаргүй байдлаар хоёр бөмбөг, хоёр дахь савнаас санамсаргүй байдлаар гурван бөмбөг сугалж авна. Бүх зурсан бөмбөг ижил өнгөтэй байх магадлалыг ол.

1. Угсрахаар ирж буй эд ангиудын 0.1% нь эхний машинд, 0.2% нь хоёрдугаарт, 0.25% нь гурав дахь, 0.5% нь дөрөв дэх машинд гэмтэлтэй байна. Машины бүтээмжийн харьцаа 4:3:2:1 байна. Санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь стандарт болсон. Эхний машин дээр уг эд анги хийгдсэн байх магадлалыг ол.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөв X:

Түүний математик хүлээлт ба дисперсийг тооцоол.

1. Цахилгаанчинд гурван гэрлийн чийдэн байдаг бөгөөд тус бүр нь 0.1-ийн магадлалтай согогтой байдаг. Гүйдлийг асаахад гэмтэлтэй гэрлийн чийдэн нэн даруй шатаж, өөр гэрлээр солигдоно. Туршилтанд хамрагдсан гэрлийн чийдэнгийн тооны тархалтын хууль, математикийн хүлээлт, тархалтыг ол.

1. Байгаа онох магадлал 900 бие даасан цохилт тус бүрд 0.3 байна. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан байг дор хаяж 240 удаа, хамгийн ихдээ 300 удаа онох магадлалыг тооцоол.

1. Утасны станц дээр 0.002 магадлалтай буруу холболт үүсдэг. 800 холболтын дунд дараахь зүйл тохиолдох магадлалыг ол.
1. дор хаяж гурван буруу холболт;
2. дөрвөөс дээш буруу холболт.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын нягтын функцээр тодорхойлно.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол. Функцуудын графикийг зур. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс, горим, медианыг тооцоол X.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн функцээр тодорхойлно:

1. Дээжээр Адараах асуудлуудыг шийдвэрлэх:
1. вариацын цуврал үүсгэх;
2. харьцангуй болон хуримтлагдсан давтамжийг тооцоолох;
3. эмпирик тархалтын функцийг зохиож, графикийг зурах;
4. Вариацын цувралын тоон шинж чанарыг тооцоолох:

· түүврийн дундаж;

· түүврийн зөрүү;

түүврийн стандарт хазайлт;

· горим ба медиан;

Жишээ А: 4 7 6 3 3 4

1. B жишээг ашиглан дараах асуудлыг шийднэ.
1. бүлэглэсэн вариацын цуврал үүсгэх;
2. гистограмм ба давтамжийн олон өнцөгт үүсгэх;
3. Вариацын цувралын тоон шинж чанарыг тооцоолох:

· түүврийн дундаж;

· түүврийн зөрүү;

түүврийн стандарт хазайлт;

· горим ба медиан;

Дээж В: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Сонголт 19.

1. Талбайд 16 эмэгтэй, 5 эрэгтэй ажиллаж байна. 3 хүнийг боловсон хүчнийх нь дугаараар санамсаргүй байдлаар сонгосон. Сонгогдсон бүх хүмүүс эрэгтэй байх магадлалыг ол.

2. Дөрвөн зоос шиддэг. Зөвхөн хоёр зоос "сүлд" байх магадлалыг ол.

3. “СЭТГЭЛ ЗҮЙ” гэдэг үг нь картуудаас бүтсэн бөгөөд тус бүр дээр нэг үсэг бичигдсэн байдаг. Картуудыг хольж, буцааж өгөхгүйгээр нэг нэгээр нь гаргаж авдаг. Гарсан үсэг нь үг үүсгэх магадлалыг ол: a) СЭТГЭЛ ЗҮЙ; б) АЖИЛТНУУД.

4. Урд 6 хар, 7 цагаан бөмбөлөгтэй. 5 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурсан. Тэдгээрийн дотор дараахь байх магадлалыг ол.

а. 3 цагаан бөмбөг;

б. 3-аас бага цагаан бөмбөг;

в. дор хаяж нэг цагаан бөмбөг.

5. Үйл явдал болох магадлал Анэг туршилтанд 0.5-тай тэнцүү байна. Дараах үйл явдлын магадлалыг ол.

а. үйл явдал А 5 бие даасан туршилтын цувралд 3 удаа гарч ирдэг;

б. үйл явдал А 50 туршилтын цувралд дор хаяж 30, 40-өөс илүүгүй удаа гарч ирнэ.

6. Нэг горимд бие биенээсээ хамааралгүй ажилладаг ижил чадалтай 100 машин байдаг бөгөөд тэдгээрийн хөтөч нь ажлын 0.8 цаг асаалттай байдаг. Ямар ч үед 70-86 машин асаах магадлал хэд вэ?

7. Эхний саванд 4 цагаан, 7 хар, хоёр дахь саванд 8 цагаан, 3 хар бөмбөг байна. Эхний савнаас санамсаргүй байдлаар 4 бөмбөг, хоёрдугаарт 1 бөмбөг сугалж авна. Сугалсан бөмбөгнүүдийн дунд ердөө 4 хар бөмбөг байх магадлалыг ол.

8. Автомашины худалдааны танхимд өдөр бүр гурван маркийн автомашин хүлээн авдаг: “Москвич” – 40%; "Ока" - 20%; "Волга" - импортын нийт автомашины 40%. Москвич машинуудын 0.5% нь хулгайн эсрэг төхөөрөмжтэй, Ока - 0.01%, Волга - 0.1%. Үзлэгт авсан машин хулгайн эсрэг төхөөрөмжтэй байх магадлалыг ол.

9. Тоонууд ба сегмент дээр санамсаргүй байдлаар сонгогдоно. Эдгээр тоо нь тэгш бус байдлыг хангах магадлалыг ол.

10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөв X:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол X; утга учир Ф(2); санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал Xинтервалаас утгыг авна. Түгээлтийн олон өнцөгтийг байгуул.

"Санамсаргүй хувьсагч" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

Даалгавар 1 . Сугалаанд зориулж 100 ширхэг тасалбар гаргасан байна. 50 ам.долларын нэг хонжвор сугаллаа. тус бүр 10 ам.долларын арван хожил. X утгын хуваарилалтын хуулийг ол - боломжит хожлын өртөг.

Шийдэл. X-ийн боломжит утгууд: x 1 = 0; x 2 = 10 ба x 3 = 50. 89 “хоосон” тасалбар байгаа тул х 1 = 0.89, 10 доллар хожих магадлал. (10 тасалбар) - х 2 = 0.10 ба 50 ам.доллар хожих -х 3 = 0.01. Тиймээс:

Хянахад хялбар: .

Даалгавар 2. Худалдан авагч бүтээгдэхүүний сурталчилгааг урьдчилан уншсан байх магадлал 0.6 (p = 0.6). Зар сурталчилгааны чанарыг сонгон хянах нь зар сурталчилгааг урьдчилан судалж үзсэн анхны худалдан авагчдын өмнө санал асуулга явуулах замаар хийгддэг. Судалгаанд хамрагдсан худалдан авагчдын тоог хуваарилах цувралыг гарга.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу p = 0.6. Эхнээс: q=1 -p = 0.4. Эдгээр утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.түгээлтийн цувралыг байгуулна:

Даалгавар 3. Компьютер нь системийн нэгж, дэлгэц, гар гэсэн гурван бие даасан элементээс бүрдэнэ. Хүчдэл нэг удаа огцом нэмэгдэхэд элемент бүрийн эвдрэлийн магадлал 0.1 байна. Бернуллигийн хуваарилалт дээр үндэслэн сүлжээнд хүчдэлийн өсөлтийн үед бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Ингээд авч үзье Бернуллигийн тархалт(эсвэл бином): магадлал n тестүүд, А үйл явдал яг харагдах болнок нэг удаа: , эсвэл:

IN Даалгавар руугаа буцаж орцгооё.

X-ийн боломжит утгууд (алдааны тоо):

x 0 =0 – аль ч элемент амжилтгүй болсон;

x 1 =1 – нэг элементийн эвдрэл;

x 2 =2 – хоёр элементийн эвдрэл;

x 3 =3 – бүх элементийн эвдрэл.

Нөхцөлөөр p = 0.1, тэгвэл q = 1 – p = 0.9. Бернуллигийн томъёог ашиглан бид олж авна

, ,

, .

Хяналт:.

Тиймээс шаардлагатай хуваарилалтын хууль:

Асуудал 4. 5000 дугуй үйлдвэрлэсэн. Нэг хайрцаг гэмтэлтэй байх магадлал . Бүх багцад яг 3 ширхэг гэмтэлтэй хайрцаг байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Хэрэглэх боломжтой Пуассоны тархалт: Энэ тархалт нь маш их байх магадлалыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг

А үйл явдлын магадлал маш бага байдаг туршилтын тоо (масс туршилт), А үйл явдал k удаа тохиолдох болно. , Хаана.

Энд n = 5000, p = 0.0002, k = 3. , дараа нь хүссэн магадлалыг олно: .

Асуудал 5. Онох магадлал бүхий эхний цохилт хүртэл буудах үед p = 0.6 буудах үед та гурав дахь суманд цохилт өгөх магадлалыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл. Геометрийн тархалтыг хэрэглэцгээе: бие даасан туршилтуудыг явуулъя, тус бүр нь А үйл явдал p тохиолдох магадлал (мөн тохиолдохгүй байх q = 1 - p) байна. А үйл явдал тохиолдсон даруйд шалгалт дуусна.

Ийм нөхцөлд k-р туршилт дээр А үйл явдал тохиолдох магадлалыг дараах томъёогоор тодорхойлно. Энд p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3. Иймд .

Асуудал 6. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах байдлаар өгье.

Математикийн хүлээлтийг ол.

Шийдэл. .

Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэдгийг анхаарна уу.

Асуудал 7. Дараах тархалтын хуулиар санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дисперсийг ол.

Шийдэл. Энд .

X-ийн квадрат утгын тархалтын хууль 2 :

Шаардлагатай хэлбэлзэл: .

Тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх (тархалт) хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог.

Асуудал 8. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтаар өгье.

Түүний тоон шинж чанарыг ол.

Шийдэл: м, м 2 ,

М 2 , м.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүний талаар бид аль нэгийг хэлж болно: түүний математик хүлээлт нь 6.4 м, 13.04 м-ийн хэлбэлзэлтэй байна. 2 , эсвэл – түүний математикийн хүлээлт нь m-ийн хазайлттай 6.4 м юм. Хоёр дахь томьёо нь илүү тодорхой байна.

Даалгавар 9. Санамсаргүй хувьсагч X түгээлтийн функцээр өгөгдсөн:
.

Туршилтын үр дүнд X утга нь интервалд агуулагдах утгыг авах магадлалыг ол .

Шийдэл. Өгөгдсөн интервалаас X утгыг авах магадлал нь энэ интервал дахь интеграл функцийн өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. . Манай тохиолдолд, тиймээс

.

Даалгавар 10. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X түгээлтийн хуулиар өгөгдсөн:

Түгээлтийн функцийг ол F(x ) болон үүнийг зур.

Шийдэл. Түгээлтийн функцээс хойш,

Учир нь , Тэр

үед;

үед;

үед;

үед;

Холбогдох график:

Асуудал 11.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X дифференциал тархалтын функцээр өгөгдсөн: .

Онох магадлалыг олинтервал тутамд X

Шийдэл. Энэ нь экспоненциал тархалтын хуулийн онцгой тохиолдол гэдгийг анхаарна уу.

Томьёог ашиглая: .

Даалгавар 12. Тархалтын хуулиар тодорхойлсон дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн тоон шинж чанарыг ол:

Мэдэгдэж байгаагаар, санамсаргүй хувьсагч тухайн тохиолдлоос хамааран тодорхой утгыг авч болох хувьсах хэмжигдэхүүн юм. Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр (X, Y, Z) тэмдэглэж, утгыг нь харгалзах жижиг үсгээр (x, y, z) тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай (дискрет) ба тасралтгүй гэж хуваадаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) тодорхой нэг магадлал бүхий утгыг авдаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг тэдгээрийн магадлалтай холбодог функц юм. Хуваарилалтын хуулийг дараах аргуудын аль нэгээр тодорхойлж болно.

1 . Хуваарилалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгч болно.

Энд λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)ашиглан түгээлтийн функц F(x) , энэ нь x утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. F(x) = P(X< x).

F(x) функцийн шинж чанарууд

3 . Хуваарилалтын хуулийг графикаар тодорхойлж болно – тархалтын олон өнцөгт (олон өнцөгт) (3-р асуудлыг үзнэ үү).

Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хуваарилалтын хуулийг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Зарим тохиолдолд хуваарилалтын хуулийн хамгийн чухал шинж чанарыг тусгасан нэг буюу хэд хэдэн тоог мэдэхэд хангалттай. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний "дундаж утга" гэсэн утгатай тоо эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайх дундаж хэмжээг харуулсан тоо байж болно.

Ийм төрлийн тоонуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг. :

• Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанар Математикийн хүлээлт (дундаж утга) дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
  M(X)=Σ x i p i
• Дуран тархалтын хувьд M(X)=np, Пуассон тархалтын хувьд M(X)=λ Тархалт дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн D(X)=M2 эсвэл D(X) = M(X 2)− 2
  . X–M(X) зөрүүг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт гэнэ.
• Дуран тархалтын хувьд D(X)=npq, Пуассон тархалтын хувьд D(X)=λ Стандарт хазайлт (стандарт хазайлт).

σ(X)=√D(X)

"Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар 1.

Шийдэл. 1000 сугалааны тасалбар гаргасан: 5 нь 500 рубль, 10 нь 100 рубль, 20 нь 50 рубль, 50 нь 10 рубль хожно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ялалт.

Асуудлын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дараах утгуудыг авах боломжтой: 0, 10, 50, 100, 500.

Ялалтгүй тасалбарын тоо 1000 – (5+10+20+50) = 915, дараа нь P(X=0) = 915/1000 = 0.915 байна.

Үүнтэй адилаар бид бусад бүх магадлалыг олно: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. Үүссэн хуулийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

X утгын математик хүлээлтийг олъё: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Төхөөрөмж нь бие даасан гурван элементээс бүрдэнэ.

Шийдэл. 1. Нэг туршилтын элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.1 байна. Нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоог хуваарилах хуулийг гаргаж, түгээлтийн полигон байгуул. F(x) тархалтын функцийг олоод график зур. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = (нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоо) дараах боломжит утгуудтай байна: x 1 =0 (төхөөрөмжийн аль ч элемент амжилтгүй болсон), x 2 =1 (нэг элемент амжилтгүй болсон), x 3 =2 ( хоёр элемент амжилтгүй болсон ) ба x 4 =3 (гурван элемент амжилтгүй болсон). Элементүүдийн эвдрэл нь бие биенээсээ хамааралгүй, элемент тус бүрийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү тул үүнийг хэрэглэж болно. Бернуллигийн томъёо
. n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 гэсэн нөхцлийн дагуу дараах утгуудын магадлалыг тодорхойлно.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;

Шалгах: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Тиймээс X-ийн хүссэн хоёр нэрийн тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

3. Бид х i-ийн боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, харгалзах магадлалыг p i ординатын тэнхлэгийн дагуу зурдаг. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамын сегментүүдтэй холбосноор бид хүссэн тархалтын полигоныг олж авна.

x > 3-ын хувьд F(x) = 1 байх болно, учир нь үйл явдал найдвартай.

4. F(x) функцийн график
X бином тархалтын хувьд:
- математикийн хүлээлт M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- дисперс D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;